thcshoabinh.pgdhoabinh.edu.vnthcshoabinh.pgdhoabinh.edu.vn/upload/34896/20200520/Nang_cao_To… ·...

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KÌ II

TOÁN NÂNG CAO

CHỦ ĐỀ1: GIAI VA BIÊN LUÂN PHƯƠNG TRINH BÂC NHÂT, BÂC HAI

HĐ của GV và HS NỘI DUNG

- Nêu vấn đề.

- HS theo dõi, hoàn thành

yêu cầu.

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

Bai 1 : Cho phương trinh mx2 – (2m + 1)x + (m + 1) = 0 (1)

a. Giai phương trinh khi m = 3

5

b. Chưng minh răng phương trinh luôn co nghiêm vơi moi gia

tri m.

c. Tim cac gia tri m đê phương trinh co môt nghiêm lơn hơn

2.

Giai :

a. Vơi m = 3

5

, phương trinh (1) trơ thanh

3

5

x2 +

1

5x +

2

5 = 0

3x2 – x – 2 = 0

Ta co : = 25 = 5

x1 = 2

3

, x2 = 1

b.

- Nêu m = 0 thi phương trinh (1) trơ thanh – x + 1 = 0

Phương trinh co nghiêm duy nhât x = 1

- Nêu m 0 thi (1) la phương trinh bâc hai

= 1 > 0

Do đo phương trinh co hai nghiêm phân biêt

Vây, phương trinh luôn co nghiêm vơi moi gia tri m.

c.

Nêu m 0 phương trinh co hai nghiêm phân biêt la

x1 = 1

x2 = 1m

m

vi x1 = 1 < 1 nên xet nghiêm x2 > 2

hay 1m

m

> 2

1m

m

- 2 > 0

1 m

m

> 0 m(1 – m) > 0 0 < m < 1

Bai 2 : Tim gia tri m đê hai phương trinh

x2 + mx + 1 = 0 (1) va x2 – (m + 1)x – 2m = 0 (2)

co it nhât môt nghiêm chung

Giai :

Gia sư x0 la môt nghiêm chung cua hai phương trinh, ta co : 2

0x + mx0 + 1 = 0 2

0x – (m + 1)x0 – 2m = 0

Trư vê theo vê, ta co :

(2m + 1)(x0 + 1) = 0

Suy ra m = 1

2

hoăc x0 = -1

- Xet m = 1

2

thay vao (1) ta co : x2 +

1

2

x + 1 = 0. Phương

trinh nay vô nghiêm, vây m = 1

2

loai.

- Xet x0 = -1, thay vao (1) ta co m = 2

Vơi m = 2 thi (1) la x2 + 2x + 1 = 0 co nghiêm kep

x1 = x2 = - 1

(2) la x2 – 3x – 4 = 0 co nghiêm x1 = - 1 ; x2 =4

Vây vơi m = 2 thi (1) va (2) co nghiêm chung la - 1


- Nêu vấn đề.

- HS theo dõi, hoàn

thành yêu cầu.

- Nêu vấn đề.


thành yêu cầu.

Bai 3 : Cho phương trình x2 -2( m + 1 )x +4m = 0

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với

mọi giá trị của m

b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 và x2 thoả mãn

điều kiện 1 2

2 1

5

2

x x

x x

Giải

a) Ta có

2 2

2

1 4 2 1

1 0

m m m m

m

b) Theo vi ét ta có 1 2 1 2 x .x 2( 1);x x 4m m

2

1 2 1 21 2

2 1 1 2

2

2

2

25 5

2 2

4 2.2( 1) 5

2( 1) 2

4 2.2( 1) 5( 1); 1

4 9 9 0; 81 144 225, 15

x x x xx x

x x x x

m m

m

m m m m

m m

1

9 15 243;

8 8m

2

9 15 3

8 4m

Bai 4: Tìm m để phương trình 2 23 (2 1) 0x mx m m có

nghiệm kép tìm n kép đó

Giải

- Nêu vấn đề.


thành yêu cầu.

2 2 2 2 29 4 2 1 9 8 4 4 ( 2)m m m m m m m

Phương trình có nghiệm kép khi 2( 2) 0 2m m

Nghiệm kép đó là 1 2

3 63

2 2

mx x

Bai 5: Tìm m để hai phương trình sau 2 1 0x mx và 2 0x x m có nghiệm chung tìm nghiệm chung đó

Giải

Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình ta có 2

0 0 1 0x mx và 2

0 0 0x x m

Trừ vế với vế của mỗi phương trình ta được ( m – 1)(x0 – 1) = 0

a) Nếu m = 1 thì hai phương trình đã cho trở thành x2 + x

+1 = 0

Phương trình này vô nghiệm do 3 0

Vậy 1m do đó x0 = 1

Thay x0 = 1 vào phương trình (1)ta được m = -2

-Với m = -2 thì phương trình x2 – 2x + 1 = 0 có nghiệm

kép x1= x2 = 1

Phương trình x2 +x – 2 = 0 có nghiệm x3 = 1; x4 = -2

Vậy nghiệm chung x0 = 1

Bài tập áp dụng:

Bài tập 1: Cho phương trình x2 + ( 2m – 1 )x – m = 0

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b) Tìm m để 2 2

1 2 1 26A x x x x đạt giá trị nhỏ nhất

Bài tập 2:Cho phöông trình baäc hai x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3 = 0

a)Tìm m ñeå phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät

b) Tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm laø 2, tìm nghieäm coøn laïi

c) Tìm m ñeå phöông trình coù hai nghieäm x1 vaø x2 thoaû maõn 2 2

1 2x +x 8

Bài tập 3: Tìm caùc giaù trò cuûa m ñeå caùc nghieäm cuûa phöông trình

a) 2 2 5 0 x m x m Thoaû maõn 2 2

1 2 10x x

b) 2 ( 1) 0x mx m Thoaû maõn 1 2 1 22 19 0x x x x

Bài tập 4: Cho phöông trình 2 3 2( 2) 0x m x m

a) Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì phöông trình coù hai nghieäm phaân bieät

b) Tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm thoaû maõn 1 22x x

c) Chöùng toû raèng A = 1 2 1 22 x x x x ñoäc laäp vôùi m

Bài tập 5: Cho phương trình bậc hai (m – 4)x2 – 2( m – 2)x + m – 1 = 0

a ) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm m để 1 2

1 15

x x

Bài tập 6: Tìm các giá trị của m để mỗi phương trình sau có nghiệm kép tìm nghiệm kép

đó

2

2

2 3 2

2

) 2( 2) 9 0

)( 4) 2 2 0

)( 1) ( 1) 0

)( 3) 0

a mx m

b m x mx m

c m x m x m m

d m x mx m

Bài tập 7: Tìm m để các phương trình sau có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó.

1/ 2mx 2(m 3)x m 1 0

2/ 2(1 4m)x 4mx m 3 0

3/ 2(m 2)x mx 2m 3 0

Bai 8 : vơi gia tri nao cua m thi :

a. Phương trinh x2 – 2mx + 2m2 – m – 6 = 0 co môt nghiêm x = 1.

b. Phương trinh 3,2x2 – 2m2x + 20m = 0 co môt nghiêm x = 5.

c. Phương trinh (m + 3)x2 – (m2 + 5m)x + 2m2 = 0 co môt nghiêm x = - 2.

d. Phương trinh (m2 – 1)x2 – 2mx + m2 + m + 4 = 0 co môt nghiêm x = 2.

CHỦ ĐỀ2: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRINH BÂC HAI


- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

Dang 1 : (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m

Vơi a + b = c + d va m 0

Vi du : Giai phương trinh sau

(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 120

(x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) = 120

Đăt t = x2 + 5x, khi đo phương trinh trơ thanh :

(t + 4)(t + 6) = 120

t2 + 10t – 96 = 0

t = 6, t = - 16

Vơi t = 6 thi x2 + 5x = 6 x = 1, x = - 6

Vơi t = - 16 thi x2 + 5x = - 16 x2 + 5x + 16 = 0 (vô

nghiêm)

Vây, nghiêm cua phương trinh la x = 1, x = - 6

Dang 2 : Phương trinh trung phương

ax4 + bx + c = 0

Cach giai : Đăt t = x2

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

Vi du : Giai phương trinh sau :

x4 – 8x2 – 9 = 0

Giai : Đăt t = x2 ( t ≥ 0). khi đo ta co phương trinh :

t2 – 8t – 9 = 0

t = - 1 (loai) , t = 9

Vơi t = 9, ta co x2 = 9 x = 3, x = - 3

Vây, nghiêm cua phương trinh la x = 3, x = - 3.

Dang 3 : (x + a)4 + (x + b)4 = c

Cach giai : Đăt t = x + 2

a b , khai triên hăng đăng thưc

bâc 4 (tam giac Passcan), ta co phương trinh bâc hai ân t,

tim t x.


(x + 1)4 + (x + 3)4 = 272 (1)

Giai : Đăt t = x + 2, ta co phương trinh :

(t – 1)4 + ( t + 1)4 = 272

t4 + 6t2 – 135 = 0 (2)

Đăt y = t2 (y ≥ 0).

(2) y2 + 6y – 135 = 0

y = 9, y = - 15 (loai)

Vơi y = 9, ta co : t2 = 9 t = 3, t = - 3

Vơi t = 3, ta co : x + 2 = 3 x = 1

Vơi t = - 3, ta co : x + 2 = - 3 x = - 5

Vây, nghiêm cua phương trinh (1) la x = 1, x = - 5.


- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

Dang 4 : Phương trinh x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0

(Chu y cac hê sô)

Cach giai : Do x = 0 không la nghiêm cua phương trinh

trên nên x 0. Chia ca hai vê cho x2, ta đươc phương

trinh : 2

1 12 0x a x b

x x

Đăt t = 1

xx

( t ≥ 2), giai pt ân t x.


x4 – 4x3 + x2 + 4x + 1 = 0

Giai :

Do x = 0 không la nghiêm cua phương trinh trên nên x0.

Chia ca hai vê cho x2, ta đươc phương trinh : 2

1 14 3 0x x

x x

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

Đăt t = 1

xx

, ta co phương trinh

t2 – 4t + 3 = 0

t = 1, t = 3

Vơi t = 1, ta co : 1

xx

= 1 x1 = 1 5

2

, x2 =

1 5

2


xx

= 3 x1 = 3 13

2

, x2 =

3 13

2

Vây, nghiêm cua phương trinh la x1 = 1 5

2

, x2 =

1 5

2

x3 = 3 13

2

, x4 =

3 13

2

Dang 5 : Phương trinh x4 + ax3 + bx2 + akx + k2 = 0

(vơi k 0)

Cach giai : Do x = 0 không la nghiêm cua phương trinh

trên nên x 0. Chia ca hai vê cho x2, ta đươc phương

trinh : 2

2 0k k

x a x b kx x

Đăt t = k

xx

( t ≥ 2), giai pt ân t x.


x4 + x3 - 8x2 + 2x + 4 = 0

Giai :

Do x = 0 không la nghiêm cua phương trinh trên nên x0.

Chia ca hai vê cho x2, ta đươc phương trinh : 2

2 212 0x x

x x

Đăt t = 2

xx

, ta co phương trinh

t2 + t - 12 = 0

t = 3, t = - 4


xx

= 3 x1 = 1 , x2 = 2

Vơi t = - 4, ta co : 1

xx

= 3 x1 = 2 2 , x2 = 2 2

Vây, nghiêm cua phương trinh la x1 = 1 , x2 = 2

x3 = 2 2 , x4 = 2 2


- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

- Nêu vấn đề.

Dang 6 : a(f(x))2 + bf(x) + c = 0

Cach giai : Đăt t = f(x)

Vi du : Giai phương thinh sau :

(x2 + 3x – 1)2 + 2(x2 + 3x – 1) – 8 = 0


yêu cầu.

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

- Nêu vấn đề.

Giai :

Đăt t = x2 + 3x – 1, ta co phương trinh :

t2 + 2t – 8 = 0

t = 2, t = - 4

Vơi t = 2, ta co : x2 + 3x – 1 = 2

x1 = 3 21

2

, x2 =

3 21

2

Vơi t = - 4, ta co : x2 + 3x – 1 = - 4 (vô nghiêm)

Vây, nghiêm cua phương trinh

x1 = 3 21

2

, x2 =

3 21

2

Dang 7 : af2(x) + bf(x)g(x) + cg2(x) = 0

- Cach giai :

+ Nêu g(x) = 0 co nghiêm la x = x0 ; khi đo nêu f(x0) = 0

thi x = x0 la nghiêm cua phương trinh.

+ Nêu g(x) 0, ta chia ca hai vê phương trinh cho g2(x).


(x2 + 6)2 – 8x(x2 + 6) + 7x2 = 0

Giai :

Ta thây x = 0 không la nghiêm cua phương trinh, chia hai

vê phương trinh cho x2, ta co :

2

2

2

6x

x

- 8

2 6x

x

+ 7 = 0

Đăt t = 2 6x

x

, ta co phương trinh t2 – 8t + 7 = 0

t = 1, t = 7

Vơi t = 1, ta co : 2 6x

x

= 1 x2 – x + 6 = 0 (vô

nghiêm)

Vơi t = 1, ta co : 2 6x

x

= 6 x2 – 7x + 6 = 0

x = 1, x = 6

Vây nghiêm cua phương trinh x = 1, x = 6.

Dang 8 : x4 = ax2 + bx + c

- Cach giai :

Chon m thoa man (2m+a)x2 +bx +c+m2 = (x + )2

Hay b2 – 4(2m + a)(c + m2) = 0, giai tim m.

Khi đo: x4 = ax2 + bx + c

x4 +2mx2 +m2 =(2m+a)x2 +bx +c+m2

(x2 + m)2 = (x + )2

Giai phương trinh vua tim đươc

Vi du : Giai phương trinh sau


yêu cầu.

x4 =6x2 - 37 x +3

Giai:

Tim m sao cho 37 – 4(2m + 6)(3 + m2) = 0 m = 5

2

Khi đo: x4 =6x2 - 37 x +3

x4 – 5x2 + 25

4 = x2 - 37 x +

37

4

(x2 - 5

2)2 = (x -

37

2)2

(x2 + x - 5

2-

37

2)( x2 - x -

5

2+

37

2) = 0

x = 1 11 2 37

2 2

, x =

1 11 2 37

2 2

,

x = 1 11 2 37

2 2

, x =

1 11 2 37

2 2


- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

Dang 9 : a(ax2 + bx + c)2 + b(ax2 + bx + c) + c = x

- Cach giai :

Đăt t = ax2 + bx + c, ta co hê phương trinh

2

t

at bt c x

2ax bx c Giai phương trinh nay băng phương

phap trư.


(x2 +3x-4)2 +3(x2 +3x - 4) = x+4

Giai :

Đăt t = x2 +3x - 4, ta co hê phương trinh 2

2

3 4

3 4

x x t

t t x

(x2 – t2) + 4(x – t) = 0

(x – t)(x + t + 4) = 0

t = x, t = - x – 4

Vơi t = x, ta co : x2 +3x – 4 = x x = 5 1 , x = 1 5

Vơi t = - x - 4, ta co : x2 +3x – 4 = - x – 4 x = 0, x = 4

Vây nghiêm cua phương trinh la x = 5 1 , x = 1 5 ,

x = 0, x = 4

Dang 10 : ax2 + bx + c= 2px qx r

(vơi aq = bp)

- Cach giai : ax2 + bx + c= 2px qx r

a(x2 + b

ax +

c

a) = 2 q r

p x xp p

Đăt t = x2 + b

ax = x2 +

q

px, ta co phương trinh mơi

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

a c rt t

a pp

, giai phương trinh nay đơn gian hơn.

Vi du : Giai phương trinh

x2 – 3x + 2 = 22 6 28x x

Giai :

Đăt t = x2 – 3x, ta co phương trinh

t + 2 = 2 14t

2

2 0

2 2 14

t

t t

t =4, t = - 6

Vơi t = 4, ta co : x2 – 3x = 4 x = - 1, x = 4

Vơi t = 4, ta co : x2 – 3x = - 6 (vô nghiêm)

Vây nghiêm cua phương trinh la x = - 1, x = 4

Bài tập áp dụng:

Bai 1: Giai phương trinh sau

a. x4 +10x3 + 26x2 + 10x + 1 = 0

b. x4 +2x3 - 6x2 - 2x + 1 = 0

c. 9x4 – 9x3 - 52x2 - 9x + 9 = 0


a. 4x4 + 2x3 - 8x2 + 3x + 9 = 0

b. x4 + x3 - 8x2 - 3x + 9 = 0

c. 9x4 + 3x3 - 32x2 + 4x + 16 = 0


a. (2x2 + x – 2)2 + 10x2 + 5x – 16 = 0

b. (x2 – 2x)2 – 2x2 + 4x – 3 = 0


a. (x2 - 3)2 + 5x(x2 - 3) + 4x2 = 0


a. x4 = 6x2 + 56 x + 3

b. x4 = x2 + 2x - 19

5


a. (x2 + 4x + 2)2 + 4(x2 + 4x + 2) = x- 2 b. (x2 - 4x + 2)2 + x2 – 4x – 4 = 0

c. (x2 + 5x - 12)2 + 5x2 + 24x – 72 = 0

Bai7: Giai phương trinh sau

a. 2x2 – 3x + 2 = 24 6 28x x b. x2 – 7x + 2 = 22 14 84x x

c. x2 – 7x + 19 = 23 21 85x x d. 6x2 – 12x + 5 = 22 4 2x x

CHỦ ĐỀ 3 : BÂT ĐĂNG THƯC. TICH CHÂT CUA BÂT ĐĂNG THƯC


- Nêu vấn đề.

- HS theo dõi, hoàn thành yêu

cầu.

- Nêu vấn đề.


cầu.

- Nêu vấn đề.


cầu.

- Nêu vấn đề.


cầu.

- Nêu vấn đề.

I. Đinh nghia:

a nho hơn b, ky hiêu a < b nêu a – b < 0

II. Cac tinh chât

1. Tinh chât 1: a < b b > a

2. Tinh chât 2: a > b, b > c a > c

3. Tinh chât 3: a > b a + c > b + c

Hê qua: a > b a – c > b – c

a + c > b a > b – c

4. Tinh chât 4: a > c, b > d a + b > c + d

a > b, c < d a – c > b – d

5. Tinh chât 5: a > b, c > 0 ac > bc

a > b, c < 0 ac < bc

6. Tinh chât 6: a ≥ b ≥ 0, c ≥ d ≥ 0 ac ≥ bd

7. Tinh chât 7: a > b > 0 an > bn

a > b an > bn (n le)

8. Tinh chât 8: a b a2n > b2n.

a + b ≥ a b (dâu “=” xay ra khi ab≥0)

a - b ≤ a b (dâu “=” xay ra khi a≥b≥0

hoăc a≤b≤0)

III. Môt sô phương phap chưng minh bât đăng thưc

1. Phương phap 1: Đê chưng minh a > b,

ta xet hiêu a – b va chưng minh a – b > 0.

Vi du: Chưng minh bât đăng thưc (a + b)2 ≥ 4ab

Chưng minh:

Xet hiêu (a + b)2 - 4ab = a2 + 2ab + b2 – 4ab

= a2 - 2ab + b2 = (a – b)2 ≥ 0.

Vây, (a + b)2 ≥ 4ab. Đăng thưc xay ra khi a = b.

2. Phương phap 2: Đê chưng minh a > b, ta dung cac

phép biên đôi tương đương đê đưa bât đăng thưc cân

chưng minh vê môt bât đăng thưc hiên nhiên đung.

Vi du: Chưng minh bât đăng thưc:

a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc

Chưng minh:

a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc

2a2 + 2b2 + 2c2 ≥ 2ab + 2ac + 2bc

a2 – 2ab + b2 + a2 – 2ac + c2 + b2 – 2bc + c2 ≥ 0

(a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2 ≥ 0 (đung vơi moi a,b,c)

Vây, a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc. Đăng thưc xay ra khi

a = b = c.


cầu.

- Nêu vấn đề.


cầu.

3. Phương phap 3: Dung cac bât đăng thưc trung gian đa

biêt va cac tinh chât cua bât đăng thưc đê suy ra bât đăng

thưc cân chưng minh.


a2 + b2 + c2 + 3 ≥ 2(a + b + c).

Chưng minh:

Ta co: (a – 1)2 = a2 – 2a + 1 ≥ 0 vơi moi a.

(b – 1)2 = b2 – 2b + 1 ≥ 0 vơi moi b.

(c – 1)2 = c2 – 2c + 1 ≥ 0 vơi moi c.

Công theo vê, ta co:

a2 + b2 + c2 -2(a + b + c) + 3 ≥ 0

a2 + b2 + c2 + 3 ≥ 2(a + b + c).

Đăng thưc xay ra khi a = b = c = 1

4. Phương phap 4: Dung phương phap phan chưng.


(a + b)2 ≥ 4ab

Chưng minh:

Gia sư: (a + b)2 < 4ab

a2 + 2ab + b2 – 4ab < 0

(a – b)2. Điêu nây vô ly.

Vây, (a + b)2 ≥ 4ab. Đăng thưc xay ra khi a = b.


- Nêu vấn đề.


cầu.

- Nêu vấn đề.


cầu.

Bai 1: Cho a,b,c,d,e la cac sô thưc. Chưng minh răng:

a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e)

Giai:

Xet hiêu a2 + b2 + c2 + d2 + e2 – a(b + c + d + e)

= a2 + b2 + c2 + d2 + e2 – ab – ac – ad – ae

= 2

2

4

aab b

+

22

4

aac c

+

22

4

aad d

+

22

4

aae e

= 2

2

ab

+

2

2

ac

+

2

2

ad

+

2

2

ae

≥ 0

Do đo: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 – a(b + c + d + e) ≥ 0

a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e)

Dâu “=” xay ra khi b = c = d = e = 2

a

Bai 2: Cho hai sô a, b thoa man điêu kiên: a + b = 1.

Chưng minh răng: a3 + b3 + ab ≥ 1

2

Giai:

a3 + b3 + ab ≥ 1

2 a3 + b3 + ab -

1

2 ≥ 0

- Nêu vấn đề.


cầu.

(a + b)(a2 – ab + b2) + ab - 1

2 ≥ 0

a2 + b2 - 1

2 ≥ 0 ( do a + b = 1.)

2a2 + 2b2 - 1 ≥ 0 2a2 + 2(1 – a)2 – 1 ≥ 0

4a2 – 4a + 1 ≥ 0 4(a - 1

2)2 ≥ 0 (đung)

Dâu “=” xay ra khi a = b = 1

2

Bai 3: Cho hai sô x, y thoa man x + y = 2. Chưng minh

răng: x4 + y4 ≥ 2.

Giai:

ta co: (x2 + y2)2 ≥ 0

x4 + y4 ≥ 2x2y2

2(x4 + y4) ≥ (x2 + y2)2 (a)

Ta co: (x – y)2 ≥ 0

x2 + y2 ≥ 2xy

2(x2 + y2) ≥ ( x + y)2 = 4 (do x + y = 2.)

x2 + y2 ≥ 2 (b)

tư (a), (b) suy ra x4 + y4 ≥ 2.

Dâu “=: xay ra khi x = y = 1.

BÀI TẬP ẤP DỤNG

Bai 1: Chưng minh bât đăng thưc.

a. a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc

Giai: Ta co: a2 + b2 ≥ 2ab, a2 + c2 ≥ 2ac, c2 + b2 ≥ 2cb; công theo vê ta co:

2(a2 + b2 + c2) ≥ 2(ab + ac + bc) a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc

Dâu “=” xay ra khi a = b = c

b. a3 + b3 ≥ ab(a + b) , vơi a, b > 0. (hd: chia hai vê cho a + b)

Giai: a3 + b3 ≥ ab(a + b) a2 – ab + b2 ≥ ab (a – b)2 ≥ 0, đung vơi moi a,b.

Dâu “=” xay ra khi a = b

c. a2 + b2 + c2 ≥ a(b + c) (Nhân hai vê cho 2, chưng minh biêu thưc ≥ 0)

Giai:

a2 + b2 + c2 ≥ a(b + c) 2a2 + 2b2 + 2c2 ≥ 2ab + 2ac

(a –b)2 + (a – c)2 + b2 + c2 ≥ 0, đung vơi moi a,b,c.


d. (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + xz)

Giai:

(x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + xz)

x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz – 3xy – 3xz – 3yz ≥ 0

1

2 [(x – y)2 + (x – z)2 + (y – z)2] ≥ 0

Dâu “=” xay ra khi x= y = z.

CHỦ ĐỀ 4 :BÂT ĐĂNG THƯC CÔ SI


- Nêu vấn đề.


cầu.

- Nêu vấn đề.


cầu.

- Nêu vấn đề.


cầu.

- Nêu vấn đề.


cầu.

- Nêu vấn đề.


cầu.

- Nêu vấn đề.


cầu.

- Nêu vấn đề.


cầu.

I. Bât đăng thưc Cô si. (Cauchy 1789 – 1857, Phap)

a. Dang Tông quat:

Vơi a1, a2,..., an cac sô không âm, ta co:

1 2 ... n

n

a a a ≥ 1 2. ....n

na a a

dâu “=” xay ra kh a1= a2 = ...= an.

- Dang tương tư:

+ Dang 1: a1 + a2 + ... + an ≥ n1 2. ....n

na a a

+ Dang 2: a1.a2...an 1 2 ...n

na a a

n

b. Vơi a, b la hai sô không âm, ta co:

+ 2

a bab

+ a + b ≥ 2 ab

+ 2

2

a bab

+ 2

a b ≥ 4ab

+ 1 1 4

a b a b

c. Vơi a, b, c la ba sô không âm, ta co:

+ 3

3

a b cabc

+ a + b + c ≥ 3 3 abc

+ 3

3

a b cabc

+ 3 a b c ≥ 27abc

+ 1 1 1 9

a b c a b c

hay (

22 2 2 x y zx y z

a b c a b c

)

d. Hê qua:

- Nêu hai sô dương thay đôi nhưng co tông không đôi thi

tich cua chung lơn nhât khi va chi khi hai sô đo băng

nhau.

- Nêu hai sô dương thay đôi nhưng co tich không đôi thi

tông cua chung nho nhât khi va chi khi hai sô đo băng

nhau.

II. Bai tâp ap dung:

Bai 1: Cho a,b,c > 0. Chưng minh răng:

1 1 1

9a b ca b c

Giai:

Ap dung bât đăng thưc Cô-si cho ba sô dương a, b, c, ta

co:

a + b + c ≥ 33 abc (1)

Ap dung bât đăng thưc Cô-si cho ba sô dương 1

a,

1

b,

1

c, ta

co: 1

a+

1

b+

1

c ≥ 3

13

abc (2)

Nhân vê theo vê tư (1),(2) ta co:

1 1 1

a b ca b c

33 abc . 3

13

abc = 9

Dâu “=” xay ra khi a = b = c.


- Nêu vấn đề.


cầu.

- Nêu vấn đề.


cầu.

Bai 2: Cho a,b,c >0 va a + b + c = 1. Chưng minh răng: 1 1 1

1 1 1 8a b c

Chưng minh:

Ta co: 1 1 1

1 1 1a b c

=

1 1 1a b c

a b c

= b c c a a b

a b c

(1)

Ap dung bât đăng thưc Cô-si cho hai sô dương b,c ta co:

b + c ≥ 2 bc

Ap dung bât đăng thưc Cô-si cho hai sô dương a,c ta co:

a + c ≥ 2 ac

Ap dung bât đăng thưc Cô-si cho hai sô dương b,c ta co:

b + a ≥ 2 ab

nhân lân lươt cac bât đăng thưc trên, ta co:

(b + c)(a + c)(a + b) ≥ 2 bc .2 ac .2 ab

b c a c a

abc

b ≥

8abc

abc = 8

Vây, 1 1 1

1 1 1 8a b c

Dâu “=” xay ra khi a = b = c.

Bai 3: Chưng minh răng:

a. 2

2

22

1

x

x

, vơi moi x.

Chưng minh:

Ap dung bât đăng thưc Cô-si cho hai sô dương x2 + 1 va 1

ta co: x2 + 1 + 1 ≥ 2 2( 1).1x

- Nêu vấn đề.


cầu.

x2 + 2 ≥ 2 2 1x 2

2

22

1

x

x

Dâu “=” xay ra khi x2 + 1 = 1 x = 0

b. 8

61

x

x

, vơi moi x > 1.

Chưng minh:

Ap dung bât đăng thưc Cô-si cho hai sô dương x – 1 va 9

ta co: x – 1 + 9 ≥ 2 ( 1).9x

x + 8 ≥ 6 1x 8

61

x

x

Dâu “=” xay ra khi x - 1 = 9 x = 10


- Nêu vấn đề.


cầu.

- Nêu vấn đề.


cầu.

Bai 4: Cho a,b,c >0 thoa 1

1 a +

1

1 b +

1

1 c ≥ 2.

Chưng minh răng: abc 1

8.

Chưng minh:

Ta co: 1

1 a +

1

1 b +

1

1 c ≥ 2.

(1 + b)(1 + c) + (1 + a)(1 + c) + (1 + a)(1 + b)

≥ 2(1 + a)(1 + b) (1 + c)

Rut ron, ta đươc: 1 ≥ 2abc + ab + ac + bc (1)

Ap dung bât đăng thưc Cô-si cho bôn sô dương, ta co:

2abc + ab + ac + bc ≥ 4 3 3 34 2a b c (2)

Tư (1),(2) ta co: 3 3 34 2a b c 1

4

Hay a3b3c3 9

1

2

Do đo: abc 3

1

2 =

1

8 (đpcm)

Dâu “=” xay ra khi a = b = c = 1

2

Bai 5: Cho a, b > 0, m N. Chưng minh răng:

11 1 2

m m

ma b

b a

.

Chưng minh:

Ap dung bât đăng thưc Cô-si cho hai sô dương, ta co:

1 + a

b ≥ 2

a

b 1 2

m mm

m

a a

b b

(1)

1 + b

a ≥ 2

b

a 1 2

m mm

m

b b

a a

(2)

Tư (1)(2) ta co:

1 1 2

m m m mm

m m

a b a b

b a b a

(3)

Ap dung bât đăng thưc Cô-si cho hai sô dương, ta co: m m

m m

a b

b a ≥ 2 (4)

Tư (3)(4) ta co:

11 1 2

m m

ma b

b a

Dâu “=” xay ra khi a = b.

BÀI TẬP ẤP DỤNG

- Xem lại kiến thức vừa học.

Bai 1: Cho a,b, > 0. Chưng minh răng: (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab.

Bai 2: Cho a,b, > 0. Chưng minh răng: 1 1

4a ba b

Bai 3: Chưng minh răng: (a2 + b2)(b2 + c2)(c2 + a2) ≥ 8a2b2c2 vơi moi a, b , c.

Bai 4: Chưng minh răng: (1 + a +b)(a + b + ab) ≥ 9ab. Vơi a, b ≥ 0.

Bai 5: Chưng minh răng: 3a3 + 7b3 > 9ab2. Vơi a, b ≥ 0.

(hd: 3a3 + 7b3 > 3a3 + 6b3 = 3a3 + 3b3 + 3b3.

Bai 5: Cho a, b, c la đô dai ba canh cua môt tam giac, p la chu vi. Chưng minh răng:

1 1 1 1 1 12

p a p b p c a b c

(hd: tinh theo cach xoay vong


a. a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc








Giai:

a2 + b2 + c2 ≥ a(b + c) 2a2 + 2b2 + 2c2 ≥ 2ab + 2ac



d. (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + xz)

Giai:

(x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + xz)


1

2 [(x – y)2 + (x – z)2 + (y – z)2] ≥ 0


CHỦ ĐỀ 5 : BÂT ĐĂNG THƯC BUNHIACOPXKI


- Nêu vấn đề.


cầu.

- Nêu vấn đề.


cầu.

- Nêu vấn đề.


cầu.

- Nêu vấn đề.


cầu.

I. Bât đăng thưc Bunhiacopxki

Vơi moi sô a1, a2, a3,.. an, b1, b2, ...bn. ta luôn co:

(a1.b1 + a2.b2 + ....+ an.bn)2

(a12 + a2

2 + a32... + an

2 )(b1

2 + b22 ... + bn

2 )

Dâu “=” xay ra khi 1

1

a

b = 2

2

a

b = .... = n

n

a

b

* Bât đăng thưc Bunhiacopxki cho bôn sô:

(ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2)

Dâu “=” xay ra khi a b

c d

II. Ap dung

1. Chưng minh bât dăng thưc

Bai 1: Cho x2 + y2= 1, Chưng minh răng: 2 3x y 13

Chưng minh:

Ap dung bât đăng thưc Bunhiacopxki cho 4 sô: 2; 3, x, y

ta co: (2x + 3y)2 (22 + 32)(x2 + y2)

(2x + 3y)2 13.1

2 3x y 13

Dâu “=” xay ra khi 2 3

x y va x2 + y2= 1

Hay 2 2

4 9

x y =

2 2

4 9

x y

=

13

1 = 13

x2 = 4

13

x = 2

13, y =

3

13 hoăc x =

2

13

, y =

3

13

Bai 2: Cho a,b,c ≥ 0 va a + b +c = 1. Chưng minh răng:

a b + b c + c a 6 .

Chưng minh:

Ap dung bât đăng thưc Bunhiacopxki, ta co:

(1. a b + 1. b c + 1. c a )2

(1 + 1 + 1)(a + b + b + c + c+ a)

( a b + b c + c a )2 3. 2 = 6

a b + b c + c a 6 .

Dâu “=” xay ra khi 1 1 1

a b b c c a

va a + b +c = 1

Ta co: 1 1 1

a b b c c a

=

1 1 1

2( )a b c

=

3

2.1 =

3

2

a = b = c = 1

3

Hoạt động của giáo viên, học

sinh

NỘI DUNG

- Nêu vấn đề.


cầu.

- Nêu vấn đề.


cầu.

- Nêu vấn đề.


cầu.

Bai 3: Cho a2 + b2 + c2 = 1 va m2 + n2 = 1. Chưng minh

răng: 2am bn c .

Chưng minh:

Ap dung bât đăng thưc bunhiacopxki, ta co:

(am + bn + 1.c)2 (a2 + b2 + c2)( m2 + n2 +12)

(am + bn + c.1)2 1. 2 = 2

2am bn c .

Dâu “=” xay ra khi 1

a b c

m n va a2 + b2 + c2 = 1

va m2 + n2 = 1

hay a = 2

m , b =

2

m, c =

1

2

Bai 4: Cho ba sô a, b, c thoa man a + b + c = 1. Chưng

minh răng: a2 + b2 + c2 ≥ 1

3

Chưng minh:

Ap dung bât đăng thưc bunhiacopxki, ta co:

(12 + 12 + 12)(a2 + b2 + c2) ≥ (1.a + 1.b + 1.c)2

3(a2 + b2 + c2) ≥ 1

a2 + b2 + c2 ≥ 1

3

Dâu “=” xay ra khi a = b =c = 1

3.

Bai 5: Cho a + b = 1. Chưng minh răng: a4 + b4 ≥ 1

8.

Chưng minh:


(1.a + 1.b)2 (12 + 12)(a2 + b2)

(a + b)2 2(a2 + b2)

1 2(a2 + b2)

1

2 a2 + b2


(1. a2 + 1.b2)2 (12 + 12)(a4 + b4)

1

4 (a2 + b2)2 2(a4 + b4)

1

8 a4 + b4.

Vây, a4 + b4 ≥ 1

8.

Dâu “=” xay ra khi a = b = 1

2.

ÁP DỤNG


a. a2 + b2 + c2 ≥ ab + ac + bc








Giai:

a2 + b2 + c2 ≥ a(b + c) 2a2 + 2b2 + 2c2 ≥ 2ab + 2ac



d. (x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + xz)

Giai:

(x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + xz)


1

2 [(x – y)2 + (x – z)2 + (y – z)2] ≥ 0


Bai 2: Cho a,b, > 0. Chưng minh răng: (a + b)(1 + ab) ≥ 4ab.

Bai 3: Cho a,b, > 0. Chưng minh răng: 1 1

4a ba b

Bai 4: Chưng minh răng: (a2 + b2)(b2 + c2)(c2 + a2) ≥ 8a2b2c2 vơi moi a, b , c.

Bai 5: Chưng minh răng: (1 + a +b)(a + b + ab) ≥ 9ab. Vơi a, b ≥ 0.

Bai 6: Chưng minh răng: 3a3 + 7b3 > 9ab2. Vơi a, b ≥ 0.

(hd: 3a3 + 7b3 > 3a3 + 6b3 = 3a3 + 3b3 + 3b3.

Bai 7: Cho a, b, c la đô dai ba canh cua môt tam giac, p la chu vi. Chưng minh răng:

1 1 1 1 1 12

p a p b p c a b c

(hd: tinh theo cach xoay vong)

CHỦ ĐỀ 6 : CƯC TRI LUYÊN TÂP BÂT ĐĂNG THƯC

Hoạt động của giáo viên,

học sinh

NỘI DUNG

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

I. Tim cưc tri dưa vao bât đăng thưc Cô-si.

+ Nêu a.b = k thi min(a+b) = 2 k a = b.

+ Nêu a+b=k thi max(a.b) = 2

2

k

a = b.

* Mơ rông:

+ Nêu a1.a2.....an = k thi min(a+ a2 +....+ an) = n n k

a = = a2 =....=an

+ Nêu a+ a2 +....+ an =k thi max(a1.a2.....an) = n

k

n

a = a1=a2=....=an

II. Tim cưc tri dưa vao bât đăng thưc Bunhiacopxki.

+ Nêu a1.x1 + a2.x2 +...+anxn = k (k la hăng sô) thi:

Min(x12 + x2

2 + ...+ xn2) =

2

2 2 2

1 2 ... n

k

a a a

Dâu “=” xay ra khi: 1

1

a

b = 2

2

a

b = .... = n

n

a

b

+ Nêu x12 + x2

2 + ...+ xn2 = k2, thi:

Max(a1.x1 + a2.x2 +...+anxn) = 2 2 2

1 2 ... nk a a a

Dâu “=” xay ra khi: 1

1

a

b = 2

2

a

b = .... = n

n

a

b

III. Ap dung

Bai 1: Tim GTNN cua A = 12

1 3

x

x

, vơi x > 1.

Giai:

Ta co: A = 12

1 3

x

x

=

12 1 1

1 3 3

x

x

.

Ta co: vơi x > 1 thi 12 1

;1 3

x

x

la hai sô dương co tich

12 1. 4

1 3

x

x

không đôi; do đo tông cua chung nho nhât

12 1

1 3

x

x

(x – 1)2 = 36 x = - 5 (loai), x = 7

(nhân)

Vây, minA = 13

3 x = 7.

Bai 2: Cho 5a + 7b = 20, vơi a,b > 0. Tim GTLN cua

P = a.b

Giai:

Ta co: 35P = 5a.7b, vơi 5a + 7b = 20 không đôi, nên tich

cua chung lơn nhât khi va chi khi hai sô đo băng nhau,

hay 5a = 7b.

Do đo max35P = 2

20

2

= 100

Hay maxP = 20

7 a = 2; b =

10

7

Bài 3: Cho a + b + c = 5.

Tim GTNN cua A = a2 + b2 + c2.

Giai:

Ta co: (1.a + 1.b + 1.c)2 (12 + 12 + 12)(a2 + b2 + c2)

(a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2)

25 3(a2 + b2 + c2)

Hay A = a2 + b2 + c2 ≥ 25

3

Vây, minA = 25

3 a = b = c =

5

3


học sinh

NỘI DUNG

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

Bai 4: Vơi moi sô thưc a, tim GTNN cua biêu thưc:

A = 2

2

2

1

a

a

.

Giai:

Ta co: A = 2

2

2

1

a

a

=

2

2

1 1

1

a

a

=

2 2

2

( 1) 1

1

a

a

= 2 1a + 2

1

1a

Ap dung bât đăng thưc Cô-si cho hai sô dương 2 1a ,

2

1

1a , ta co:

A = 2 1a + 2

1

1a ≥ 2 2

2

11.

1a

a

= 2

Vây. minA = 2 2 1a = 2

1

1a a = 0.

Bai 5: Cho x > 0. Tim GTNN cua biêu thưc:

B = 22 6 5

2

x x

x

Giai:

Ta co: B = 22 6 5

2

x x

x

= x – 3 +

5

2x = x +

5

2x - 3

Ap dung bât đăng thưc Cô-si cho hai sô dương x, 5

2x , ta

co:

B = x + 5

2x - 3 ≥ 2

5.2

xx

- 3 =9 25

2 - 3 = 10 - 3

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

Vây, minB = 10 - 3 x = 10

2

Bai 6: Cho x > 0.Tim GTNN cua C = 3 2000x

x

Giai:

Ta co: C = 3 2000x

x

= x2 +

1000

x +

1000

x

Ap dung bât đăng thưc Cô-si cho ba sô dương x2, 1000

x,

1000

x, ta co:

C = x2 + 1000

x +

1000

x ≥ 2

31000 1000

3 . .xx x

= 3.100 = 300

Vây, minC = 300 x = 10.

Bai 7: Cho 1

2 x 1. Tim GTLN cua D = (1 – x)(2x – 1)

Giai:

Ta co: D = (1 – x)(2x – 1) = 1

2(2 – 2x)(2x – 1)

Ap dung bât đăng thưc Cô-si cho hai sô dương

(2 – 2x); (2x – 1), ta co:

D = 1

2(2 – 2x)(2x – 1)

1

2

2

2 2 2 1

4

x x = 1

2.

1

4=

1

8

Vây, maxD = 1

8 x =

3

4.


học sinh

NỘI DUNG

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

- Nêu vấn đề.

Bai 8: Cho x, y, z thoa xy + yz + zx = 4. Tim MinA, biêt

A = x4 + y4 + z4.

Giai:


(xy + yz + zx)2 (x2 + y2 + z2)( y2 + z2 + x2)

42 (x2 + y2 + z2)2 hay 16 (x2 + y2 + z2)2 . (1)


(x2 + y2 + z2)2 (12 + 12 + 12)(x4 + y4 + z4)

(x2 + y2 + z2)2 3.(x4 + y4 + z4). (2)

Tư (1)(2) ta co:

16 3.(x4 + y4 + z4)

x4 + y4 + z4 ≥ 16

3

Vây, minA = 16

3 x = y = z =

2

3


yêu cầu.

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

Bai 9: Cho x, y, z thoa x, y, z ≥ - 1 va x + y + z = 1. Tim

maxB, biêt B = 1 x + 1 y + 1 z .

Giai:


( 1 x + 1 y + 1 z )2 (12 + 12 + 12)(1+x +1+y+1+z)

( 1 x + 1 y + 1 z )2 3.4

1 x + 1 y + 1 z 2 3

Vây, maxB = 2 3 x = y = z = 1

3

Bai 10: Cho x2 + y2 = 1.Tim maxC, biêt C =x 1 y +y

1 x

Giai:


(x 1 y +y 1 x )2 (x2 + y2)(1 + y + 1 + x)

(x 1 y +y 1 x )2 x + y + 2. (1)


(x + y)2 (12 + 12)( x2 + y2)

(x + y)2 2.(x2 + y2) = 2

x + y 2

x + y + 2 2 + 2. (2)

Tư (1)(2), ta co:

(x 1 y +y 1 x )2 2 + 2.

x 1 y +y 1 x 2 2

Vây, maxC = 2 2 x = y = 2

2

Bai 1: Cho x không âm. Tim GTNN cua A = 8

1

x

x

(hd:

8

1

x

x

=

2( 1) 9

1

x

x

Bai 2: Cho x > 0.Tim GTNN cua B = 3

2

2 27x

x

(hd:

3

2

2 27x

x

= x + x +

2

27

x )

Bai 3: Cho x > 0.Tim GTNN cua C = 2 2 17

2( 1)

x x

x

(hd:

2 2 17

2( 1)

x x

x

=

2( 1) 16

2( 1)

x

x

=

1 8

2 1

x

x

Bai 4: Cho – 3 x 3. Tim GTLN cua D = 2. 9x x (hd: 2. 9x x = 2 2(9 )x x )

Bai 5: Tim GTLN cua A = 5x + 23 x . (hd: [( 5x )2 + ( 23 x )2][12 + 12] ≥A2

Bai 6: Cho x + y = 15.Tim GTLN cua B = 4x + 3y .

(hd: y = 15 – x, [( 4x )2+( 3y )2][12+12] ≥ B2.

Bai 7: (bai a,b126/ 167;c 131/176 – BĐTCL-C2.)

a. Tim GTLN cua A = x3(16 – x3). Vơi 0 < x3 < 16. (Hd: Cô-si)

b. Tim GTNN cua B =

21998x

x

, với x > 0 (Hd: khai triên tư, Cô-si)

c. Cho xy + yz + zx = 1. Tim GTNN cua C = x4 + y4 + z4 (Hd: Bunhiacopxki)

CHỦ ĐỀ 7 : ĐINH LY TALET MƠ RÔNG. TICH CHÂT CHUM ĐƯƠNG

THĂNG


học sinh

NỘI DUNG

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

I. Ưng dung đinh ly Talet, đinh ly đao cua đinh ly

Talet, hê qua cua đinh ly Talet trong giai cac bai toan

đông quy.

Bài số 1: Cho ba tia 0a, 0b, 0c cắt hai đường thẳng song

song m, m’ lần lượt tại A, A’ 0a ; B, B’ 0b ; C, C’

0c .

Chưng minh răng:

Chưng minh:

- Do AB //A’B’ ta co:

' ' '

AB OB

A B OB . (1)

- Do BC //B’C’ ta co:

' ' '

BC OB

B C OB . (2)

Tư (1)(2) suy ra:

' ' ' '

AB BC

A B B C

* Mơ rông: cho bốn tia 0a, 0b, 0c, 0d cắt hai đường thẳng

song song m và m’ tại các điểm theo thứ tự tại A, A’

0a ; B, B’ 0b ; C, C’ 0c ; D,D’0d .

Suy ra:

' ' ' ' ' '

AB BC CD

A B B C C D

* Tông quat: “ Nếu các đường thẳng đồng quy tại một

điểm và cắt hai đường thẳng song song thì chúng định ra

trên hai đường thẳng song song ấy các đoạn thẳng tương

ứng tỷ lệ”

Bai 2: Cho ba đường thẳng a, b, c cắt hai đường thẳng

song song m, m’ lần lượt tại A, A’ a ; B, B’ b ; C, C’

c sao cho )1(''''

kkCB

BC

CA

AC

Chứng minh rằng các đường thẳng a,b,c đồng

quy tại một điểm

'''' CB

BC

BA

AB

Chưng minh:

Giả sử hai đường thẳng a, b

cắt nhau tại 0

ta cần chứng minh đường

thẳng c đi qua 0

Gọi giao điểm của đường

thẳng 0C với m’

là C” . Khi đó , theo định lý thuận ,ta có :

'''' CB

BC

AC

AC Mặt khác theo GT

'''' CB

BC

CA

AC

Từ đó suy ra A’C”=A’C’ và B’C’=B’C” ''' CC Vậy

c đi qua 0 hay a, b, c đồng quy tại 0

* Tông quat: “ Nếu ba đường thẳng cắt hai đường thẳng

song song và định ra trên hai đường thẳng đó những

đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ thì ba đường thẳng đó đồng

quy”.


học sinh

NỘI DUNG

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

Bai 3: Cho tam giác nhọn ABC ,các đường cao

AD,BE,CF. Gọi I,K,M,N theo thứ tự là chân các đường

vuông góc kẻ từ D đến BA, BE, CF, CA. Chứng minh

rằng bốn điểm I,K,M,N thẳng hàng .

Chưng minh:

Gọi H là giao điểm của AD,

BE, CF

ta có

/ /

BI BD BK

IF DC KE

IK FE

(1)

Tương tự MN//FE (2)

Ta lại có

FEINEA

NE

HA

DH

FA

IF// (3)

Từ (1),(2) và (3) suy ra I,K,M,N thẳng hàng

Bai 4:Cho hình thang ABCD(AB//CD). Đường thẳng qua

A song song với BC cắt BD tại E, đường thẳng qua B

song song với AD cắt CD tại H, đường thẳng qua H song

song với BD cắt BC tại I. Chứng minh rằng:

a/ EI//AB

b/ Ba đường thẳng EI,BH,ACđồng quy

Chưng minh:

Gọi F là giao điểm của BH và AC ,G là giao điểm của AE

và CD

a/ Vì HI // BD =>HC

DH

IC

BI (1)

Vì DG // AB =>

DG

AB

EG

AE

ED

BE (2)1

các tứ giác ABHD,

ABCG là hình bình hành

nên

DH = AB = GC suy ra DG = HC thay vào (1) =>

DG

AB

IC

BI (3)

Từ (2)(3) => ED

BE

IC

BI suy ra EI // DC hay EI // AB (4)

b/ Từ (2) và (3) ta có HC

AB

DG

AB

ED

BE

IC

BI

lại có HC // AB => FC

AF

HC

AB do đó

FC

AF

IC

BI

suy ra FI // AB hay FI // CD (5)

từ (4) và (5) => EI, BH, AC đồng quy


học sinh

NỘI DUNG

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

Bai 5: Cho ABC. Trên cac canh AB, AC lây cac điêm

M, N. Tư M ke đương thăng song song vơi AC căt BN tai

D. Tư N ke đương thăng song song vơi AB căt CM tai E.

Chưng minh răng: DE // BC.

Chưng minh:

Bai 6: Cho hinh binh hanh ABCD. Tư môt điêm M trên

đương cheo AC (M không la trung điêm AC) ve cac

đương thăng song song vơi cac canh cua hinh binh hanh,

chung lân lươt căt AB, BC, CD, DA tai E, F, G, H. Chưng

minh răng:

a. HE // GF.

b. Ba đương thăng FE, GH, AC đông quy.

Chưng minh:

BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bai 1: (Bai 114/147-BTNC&MSCDT8)

Cho hinh chư nhât EFGH co tâm O nôi tiêp tam giac ABC, E AB, F AC,

G,HBC. Goi M, N lân lươt la trung điêm BC, đương cao AI. Chưng minh răng M, O, N

thăng

Bai 1: Chứng minh rằng hai đường thẳng chứa hai cạnh bên và đường thẳng nối

trung điểm của hai đáy của một hình thang đồng quy .

Chứng minh :

Vì M là trung điểm của AB nên :

MA = MB

Vì N là trung điểm của CD nên :

ND = NC

từ đó suy ra : NC

MB

DN

AM

Theo kết quả trên ta được AD,BC,MN đồng quy.

Bai 2: Chứng minh rằng nếu hai cạnh bên của một hình thang cắt nhau thì đường

thẳng đi qua giao điểm đó và giao điểm hai đường chéo sẽ đi qua trung điểm của các đáy

của hình thang .

a/ Giả sử hình thang ABCD có hai cạnh bên AD,BC

Cắt nhau tại E và hai đường chéo AC,BD cắt nhau tại F . Gọi

giao điểm của EF với AB ,CD

theo thứ tự là M,N . Với hai đường thẳng song song AB,CD và

ba đường thẳng đồng quy ED,

EN,EC ta có NC

MB

DN

AM , do đó

NC

DN

MB

AM (1) . Với hai đường thẳng song song AB,CD và ba

đường thẳng đồng quy AC,MN,BD ta có DN

MB

NC

AM , do đó

ND

NC

MB

AM (2) Từ (1) và

(2) suy ra DN

NC

NC

DN do đó DN=NC nên N là trung điểm của CD . Từ DN=NC và (2) suy

ra AM=MB nên M là trung điểm của AB .

Tuần 30 Tiết 85 Ngày sọan: 5/3/2019

CHỦ ĐỀ7 :ĐINH LY XÊ-VA, MÊ-NÊ-LA-UYT


học sinh

NỘI DUNG

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

- Nêu vấn đề.

I. Đinh ly Mê-nê-la-uyt

(Menelaus nha toan hoc cô Hy lap)

Bai toan: Cho M,N,P lần lượt nằm trên ba cạnh

AB,BC,CA( hoặc trên các đường thẳng chứa các cạnh)

của tam giác ABC. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ

để M,N,P thẳng hàng là 1.. PA

PC

NC

NB

MB

MA

Chưng minh:

* Điều kiện cần : Giả sử M,N,P thẳng

hàng

Từ A kẻ AQ // BC cắt MN ở Q ta có :

Từ MBN => NB

AQ

MB

MA

Từ PNC => AQ

NC

PA

PC

Nhân từng vế hai đẳng thức trên ta được

.MA PC NC

MB PA NB nhân 2 vế với

NC

NB

ta có 1.. PA

PC

NC

NB

MB

MA

* Điều kiện đủ :


yêu cầu.

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

Cho ba điểm M,N,P trên ba cạnh tam giác thoả mãn điều

kiện

Nối MP kéo dài cắt BC ở

N’, theo (cmt) thì :

Từ đó suy ra NC

NB

CN

BN

'

' Vì N’ và N cùng ở trong đoạn

BC nên N’ N, tức là M,P,N thẳng hàng .

II. Bai tâp ap dung

Bai 1: Trên hai cạnh AB, AD của hình bình hành ABCD,

Lấy hai điểm tương ứng M,N . Gọi P là điểm sao cho

AMPN là hình bình hành và Q là giao điểm của BN với

MD. Chứng minh rằng ba điểm C,P,Q thẳng hàng .

Chưng minh:

Vì ba điểm N,Q,B thẳng

hàng nên theo bài 3 ta

có 1.. MA

BM

QM

QD

ND

NA

Gọi K là giao điểm của

CD với đường thẳng

MP . Khi đó BCKM ,

NDKP là các hình bình hành nên PK

PM

ND

NA và

CD

CK

BA

BM Do đó

QM

QD

CD

CK

PK

PM

CD

CK

QM

QD

PK

PM

BA

BM

QM

QD

ND

NA......1

Vì C,P,Q nằm trên các đường thẳng chứa các cạnh của

tam giác MDK theo bài toán 9 và đẳng thức trên suy ra

C,P,Q thẳng hàng .


học sinh

NỘI DUNG

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

I. Đinh ly Xê-va (G. Ceva 1648-1734 nha toan hoc Y)

Cho ba điểm P,Q,R theo thứ tự ở trên các cạnh

BC,CA,AB ( hay các đường thẳng chứa các cạnh ) của

tam giác ABC nhưng không trùng đỉnh nào của tam giác

1.. PA

PC

NC

NB

MB

MA

1.'

'.

PA

PC

CN

BN

MB

MA

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

đó . Điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng AP,BQ,CR

đồng quy là 1.. RB

RA

QA

QC

PC

PB

Chưng minh:

Giả sử ba đường thẳng

AP,BQ,CR đồng quy tại I

theo đinh ly Mê-nê-la-uyt

vào tam giác ABP và đường

thẳng RIC

ta có 1.. RB

RA

IA

IP

CP

CB , áp

dụng định lý đó vào tam

giác ACP và đường thẳng BIQ, ta có 1.. IP

IA

QA

QC

BC

BP

Nhân các vế tương ứng của hai đẳng thức đó với nhau, ta

được

1..... IP

IA

QA

QC

BC

BP

RB

RA

IA

IP

CP

CB Từ đó suy ra

1.. RB

RA

QA

QC

PC

PB

Ngược lai, giả sử ba đường thẳng AP,BQ,CR thoả mãn

điều kiện 1.. RB

RA

QA

QC

PC

PB

Khi đó, hai trường hợp có thể xảy ra .

Trường hợp hai trong ba đường thẳng AP,BQ,CR cắt

nhau ; chẳng hạn AP cắt BQ tại I .Khi đó CI phải cắt AB

tại điểm R’ nào đó . Theo kết quả (cmt) ta có

1'

'..

BR

AR

QA

QC

PC

PB từ hai đẳng thức trên suy ra

RB

RA

BR

AR

'

'

nên R’ trùng với R .Do đó ba đường thẳng AP,BQ,CR

đồng quy .

Trường hợp còn lại là trường hợp ba đường thẳng

AP,BQ,CR song song với nhau ,trường hợp này không thể

xảy ra.


học sinh

NỘI DUNG

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

Bai 1:

Cho tam giác ABC, một điểm D trên cạnh AB, một điểm

E trên cạnh AC và trung điểm M của cạnh BC. Chứng

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

minh rằng DE//BC khi và chỉ khi ba đường thẳng

AM,BE,CD đồng quy .

Chưng minh:

Vì M là trung điểm của BC

nên 1MC

MB. Do đó

EA

EC

DB

DA

EA

EC

MC

MB

DB

DA... .

Vì vậy, ba đường thẳng

AM,BE,CD đồng quy khi và

chỉ khi:

1... EA

EC

DB

DA

EA

EC

MC

MB

DB

DA hay

EC

EA

DB

DA

tức là DE//BC

Bai 2:

Chứng minh rằng nếu ba tam giác đều ABD, BCE,

CAFnằm phía ngoài tam giác ABC thì ba đường thẳng

AE,BF,CD đồng quy .

Chưng minh:

Gọi P là giao điểm của

AE và BC, Q là giao

điểm của BF và CA, R là

giao điểm của CD và AB

. Hai tam giác ABE và

ACE có chung cạnh AE

nên tỷ số diện tích của

chúng bằng tỉ số các

khoảng cách từ B và C

đến cạnh chung AE.

Theo định lý Talét trong tam giác, tỉ số khoảng cách đó

bằng PC

PB. Do đó

ACE

ABE

S

S

PC

PB

. Tương tự, ta có

DBC

CAD

AFB

FCB

S

S

RB

RA

S

S

QA

QC

, . Do đó

DBC

CAD

FAB

FCB

ACE

ABE

S

S

S

S

S

S

RB

RA

QA

QC

PC

PB

.... .

Vì ABE = DBC (c.g.c) , ACE = FCB (c.g.c) ,

FAB = CAD (c.g.c)

nên 1....

DBC

CAD

FAB

FCB

ACE

ABE

S

S

S

S

S

S

RB

RA

QA

QC

PC

PB theo định

lý Céva , ba đường thẳng AE,BF,CD đồng quy .

ÁP DỤNG


Cho ABC, trên đương trung tuyên AD lây điêm O. Tia CO căt AB tai M, tia BO

căt AC tai N. Chưng minh răng SBOM = SCON.

CHỦ ĐỀ 8: LUYÊN TÂP CHUNG VỀ CHƯƠNG TAM GIAC ĐÔNG DANG

VÀ CÁC ĐỊNH LÝ BỔ SUNG - ĐINH LY XÊ-VA, MÊ-NÊ-LA-UT


sinh

NỘI DUNG

- Nêu vấn đề.


cầu.

- Nêu vấn đề.


cầu.

Bai 1: Cho ABC. Môt đương thăng d căt cac canh AB

tai D, Căt canh AC tai E, căt đương thăng BC tai N. Goi

O la giao điêm cua BE va CD. Tia AO căt BC tai M.

Chưng minh răng hai điêm M,N chia trong va chia ngoai

đoan thăng BC theo cung môt ti sô.

Chưng minh:

Vi AM, BE, CD đông quy tai O,

Bai 2: Cho ABC co AB = 4 cm, AC = 3 cm. Trên cac

canh AB, AC lân lươt lây cac điêm D, E sao cho

AD=2AE. Điêm F chia đoan thăng DE theo ti sô 3

2 (

3

2

FD

FE ). Tia AF căt BC tai M. Chưng minh răng M la

trung điêm cua BC.

Chưng minh:


sinh

NỘI DUNG

- Nêu vấn đề.


cầu.

- Nêu vấn đề.


cầu.

Hê qua cua hai tam giac đông dang:

Nêu hai tam giac đông dang thi:

- Ti sô hai chu vi băng ti sô đông dang.

- Ti sô hai trung tuyên băng ti sô đông dang.

- Ti sô hai phân giac băng ti sô đông dang.

- Ti sô hai đương cao băng ti sô đông dang.

- Ti sô hai diên tich băng binh phương ti sô đông dang.

Bai 1:


sinh

NỘI DUNG

- Nêu vấn đề.


cầu.

Bai 2:

Chưng minh:

- Nêu vấn đề.


cầu.

Bai 3:

Chưng minh:

ÁP DỤNG


Cho hinh binh hanh ABCD. Ve AH CD, AK BC. Chưng minh răng:

KAH ABC

Bai 2: (Bai 55/74-CDBDHSGTTHCS-HH)

Cho KLM. Trên hai canh KL, LM lây hai điêm A, B sao cho 1

3

KA

LA ,

4

1

LB

MB . Goi C la

giao điêm KB va MA. Tinh SKLM, biêt SKLC = 2.


Cho hinh thang ABCD (AB//CD), Â = D = 900. AB=2cm, CD=4,5cm, BD=3cm. Chưng

minh răng BCBD.

(hd: BAD DBC c.g.c Â = DBC = 900 BCBD.)

CHỦ ĐỀ 9 : HÊ THƯC LƯƠNG TRONG TAM GIAC VUÔNG


sinh

NỘI DUNG

- Nêu vấn đề.

+ Chưng minh dưa vao HAC

đông dang ABC, lâp ti sô.

+ Chưng minh dưa vao HAC

đông dang HBA, lâp ti sô.

+ Chưng minh dưa vao diên

tich.

+ Chưng minh dưa vao diên

tich va đinh ly Pytago.


cầu.

- Nêu vấn đề.


cầu.

I. Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó

trên cạnh huyền.

b2 = ab', c2 = ac'.

h2 = b’.c’

b.c = a.h

2 2 2

1 1 1

h b c

II. Ap dung

Bai 1: Tinh x, y trong cac hinh sau:

A

C B H

h c b

c' b'

a

- Nêu vấn đề.


cầu.

- Trong hình a ta có: 2 2x y 5 7 74 .

Theo hê thưc 1 ta co: 52 = (x + y).x x = 25 25

x y 74

Tương tư : 72 = (x + y).y 27 49

yx y 74

- Trong hình b ta có x+ y = 16

Theo hệ thức 1, ta có: 142 = 16.y y = 12,25

x = 16 – 12,25 = 3,75

- Trong hình a ta có: x2 = (2 + 6). 2 = 16 x = 4

Tương tư : y2 = (2 + 6). 6 = 48 y = 48 4 3 .

- Trong hình b ta có: x2 = 2.8 = 16 x = 4


sinh

NỘI DUNG

- Nêu vấn đề.


cầu.

- Nêu vấn đề.


cầu.

Bai 1:

Ta co: AB = 2 2 2 216 25 881 29,68AH BH

Ta co: AB2 = BC.BH = 29,68. 25

BC = AB2: BH = 29,682 : 25 35,24

Ta co: AC = 2 2 2 235,24 29,68 18,99BC AB

Ta co: CH = 2 2 2 218,99 16 10,24AC AH

Bai 2:

Cho tam giac vuông vơi hai canh goc vuông co đô dai la 5

va 7, ke đương cao ưng vơi canh huyên. Hay tinh đương

cao nay va cac đoan thăng ma no chia ra trên canh huyên.

Giai:

- Nêu vấn đề.


cầu.

Bai 3:

Đương cao cua môt tam giac vuông chia canh huyên

thanh hai đoan thăng co độ dai la 3 va 4. Hay tinh cac

canh goc vuông cua tam giac nay.

Giai:


sinh

NỘI DUNG

- Nêu vấn đề.


cầu.

Bai 4: Cho ABC vuông tai A. Biêt 5

6

AB

AC , đương cao

AH = 30cm. Tinh HB, HC.

Giai:

Bai 5: Cho ABC vuông tai A. Đương cao AH. Chu vi

cua tam giac ABH la 30cm va chu vi ACH la 40cm.

Tinh chu vi ABC.

Giai:


sinh

NỘI DUNG

- Nêu vấn đề.


cầu.

Bai 6: Cho ABC vuông tai A. Canh AB=6cm, AC=8cm.

Cac đương phân giac trong va ngoai cua goc B căt đương

thăng AC lân lươt tai M, N. Tinh cac đoan thăng AM,

AN.

Giai:

- Nêu vấn đề.


cầu.

Bai 7:Tinh canh đay BC cua tam giac cân ABC biêt

đương cao ưng vơi canh đay băng 15,6cm va đương cao

ưng vơi canh bên băng 12cm.

Giai:


sinh

NỘI DUNG

- Nêu vấn đề.


cầu.

Bai 8: Cho hinh thang ABCD vuông tai A co canh đay

AB = 6cm, canh bên AD = 4cm va hai đương cheo vuông

goc vơi nhau.

Tinh đô dai cac canh DC, CB, đương cheo DB.

Giai:

- Nêu vấn đề.


cầu.

Bai 9:

ÁP DỤNG

Bai 1: Cho ABC vuông tai A co đương cao AH=12cm. Hay tinh canh huyên BC

nêu HB : HC = 1 : 3.

Bai 2: Tinh x, y trong cac hinh sau:

Bai 3: Đương cao cua môt tam giac

vuông ke tư đinh goc vuông chia canh huyên thanh hai đoan, trong đo đoạn lơn băng

9cm. Hay tinh canh huyên cua tam giac vuông đo nêu hai canh goc vuông co ti lê 6 : 5.

Bai 4: (VD1/84-NC&PTT9t1)

Tinh diên tich hinh thang ABCD co đương cao BK băng 12cm, hai đương cheo AC

va BD vuông goc vơi nhau, BD = 15cm.

(hd: Qua B, Ke đương thăng song song AC, căt DC ơ E)

CHỦ ĐỀ 10 : TI SÔ LƯƠNG GIAC CUA GOC NHON


sinh

NỘI DUNG

- Nêu vấn đề.


cầu.

I. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn.

- Nêu vấn đề.


cầu.

- Nêu vấn đề.


cầu.

- Nêu vấn đề.


cầu.

- Nêu vấn đề.


cầu.

- Nêu vấn đề.

II. Ti sô lương giac cua hai goc phu nhau

III. Môt sô hê thưc vê canh va goc cua tam giac vuông.

IV. Ap dung

Bai 1: Cho ABC vuông tai A, B = 300, BC = 8cm. Hay

tinh canh AB.

Giai:

Ta co: cosB = AB

BC

Hay cos300 = 8

AB

AB = 8.cos300 = 8. 0,866 6,928 (cm).

Bai 2: Cho ABC vuông tai A, AB = 6cm, B = . Biêt

tg = 5

12 . Tinh AC, BC.

Giai:

Ta co tg = AC

AB hay

5

12 =

6

AC

AC = 5.6

12 = 2,5 (cm).

Bai 3: Tinh x trong môi tam giac vuông sau.

A B

C

300

8


cầu.

Ta co: tg470 = 63

x x =

0

63

47tg =

63

1,072 58,769

Ta co: cos380 = 16

x x =

0

16

38cos =

16

0,788 20,305


sinh

NỘI DUNG

- Nêu vấn đề.


cầu.

- Nêu vấn đề.


cầu.

- Nêu vấn đề.


cầu.

- Nêu vấn đề.


cầu.

- Câu b hoc sinh tư lam ơ nha.

Bai 4: Cho ABC vuông tai A, AB = 6cm, AC = 8cm.

Tinh cac ti sô lương giac cua goc B, tư đo suy ra ti sô

lương giac cua goc C.

Giai:

Ta co: BC = 2 2AB AC = 2 26 8

= 10 cm.

sin B = 8 4

10 5

AC

CB = cosC

cos B = 6 3

10 5

AB

CB = sinC

tg B = 8 4

6 3

AC

AB = cotgC

cotg B = 6 3

8 4

AB

CA = tgC .

Bai 5: Cho ABC vuông tai A, đương cao AH. Tinh

sinB, sinC trong môi trương hơp sau, biêt:

a. AB = 13, BH = 5

b. BH = 3, CH = 4.

Giai:

a. Ta co: AH = 2 2AB BH = 2 213 5 = 12.

sinB = AH

AB =

12

13 0,9231

Ta co: AB2 = BC. BH hay 132 = BC. 5 BC = 33,8

sinC = AB

BC =

13

33,8 0,385

B A

C

8

6

- Nêu vấn đề.


cầu.

Bai 6: Cho hinh ve sau, hay viêt môt phương trinh đê co

thê tim đươc x. (không giai)

Giai:

Ve đương cao xuât phat tư đinh goc 700.

Ta co phương trinh x.sin300 = 4.sin800.

Bai 7: Cho hinh ve sau, tinh sinL.

Giai:

Ke đương cao MH, ta co ML.sinL = MN.sinN (cung băng

MH)

Hay 4,2. sinL = 2,8. sin300

sinL = 02,8.sin 30

4,2 0,3333.


sinh

NỘI DUNG

- Nêu vấn đề.


cầu.

- Nêu vấn đề.


cầu.

I. Tinh chât

sin2 + cos2 = 1.

tg = sin

cos

cotg = cos

sin

tg. cotg = 1.

II. Bai tâp

Bai 1: Cho sin = 1

2 . Hay tinh cos, tg, cotg.

(00<<900)

Giai:

Ta co cos = 21 sin = 2

11

2

= 3

2

tg = sin

cos

=

1

2

3

2

= 3

3

H

A

C B H

h c b

c' b'

a

- Nêu vấn đề.


cầu.

- Nêu vấn đề.


cầu.

cotg = 1

tg =

1

3

3

= 3

Bai 2:

Cho hinh thang vuông ABCD vơi hai đay la AD, BC co

Â= B =900, ACD =900, BC=4cm, AD=16cm. Hay tinh cac

goc C, D cua hinh thang.

Giai:

Ke đương cao CH cua ACD. Khi đo: AH = BC = 4cm,

HD = AD – AH = 12. tư đo

HC2 = HA.HD = 48, vây HC = 4 3

Trong tam giac vuông HCD ta co:

tgD = HC

HD =

4 3

12 =

3

3 D = 300.

Suy ra BCD = 1800 – 300 = 1500.

Bai 3: Tinh cac goc cua hinh thoi biêt hai đương cheo cua

no co đô dai la 2 va 2 3 .

Giai:

Gia sư hai đương cheo AC=2 3 , BD=2, ta co:

tg DAC = OD

OA =

1 3

33 suy ra: DAC = 300.

Suy ra Â = 600 = C

Va B D = 1200.


sinh

NỘI DUNG

- Nêu vấn đề.


cầu.

Bai 4: Cho tam giac nhon ABC. Hai đương cao BD, CE.

Chưng minh răng:

a. SADE = SABC. cos2A.

b. SBCDE = SABC. sin2A.

Chưng minh:

- Nêu vấn đề.


cầu.

Bai 5:

Giai:

ÁP DỤNG

Bai 1: Đương cao BD cua môt tam giac nhon ABC bang 6, đoan thăng AD băng 5.

a. Tinh diên tich ABD.

b. Tinh AC.

Bai 2: Cho cos = 3

4 . Hay tinh sin, tg, cotg. (00<<900)

Bai 3: Cac canh cua hinh chư nhât băng 3cm, 3 cm, Hay tinh cac goc tao bơi

đương cheo va cac canh cua hinh chư nhât.

CHỦ ĐỀ : ÔN LUYÊN VÊ CƯC TRI HINH HOC


học sinh

NỘI DUNG

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

- Nêu vấn đề.

I. Kiến thức

1. Trong ∆ABC có:

a. AB AC < BC < AB + AC

b. ABC ACB AC ≤ AB.

2. Với ba điểm bất kỳ A, B, C, thì: AB ≤ AC + CB

Dấu “=” xảy ra khi C thuộc đoạn thẳng AB.

3. Quan hệ đường vuông góc và đường xiên, đường xiên

và hình chiếu.

a. Đường vuông góc ngắn nhất.

b. Đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn.

4. Bất đẳng thức Cô-si.


yêu cầu.

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

Nếu x ≥ 0, y ≥ 0 thì: x + y 2 xy .

dấu bằng xảy ra khi x = y

II. Áp dụng

Bài 1:


học sinh

NỘI DUNG

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

Bài 2:


học sinh

NỘI DUNG

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

Bài 3:

Cho O là trung điểm của đoạn AB. Trên cùng một nửa

mặt phẳng có bờ là cạnh AB vẽ tia Ax, By cùng vuông

góc với AB. Trên Ax lấy C (khác A)./ qua O kẻ đường

thẳng vuông góc với OC, cắt By tại D.

a. Chứng minh AB2 = 4. AC. BD.

b. Kẻ OM CD tại M. Chứng minh AC = CM.

c. Từ M kẻ MH AB tại H. Chứng minh BC đi qua

trung điểm MH.

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

- Nêu vấn đề.


yêu cầu.

d. Tìm vị trí C trên Ax để diện tích ABDC nhỏ nhất.

Chứng minh:

a. OAC đồng dạng DBO (g – g)

2

. .

. . 4. .2 2

OA ACOAOB AC BD

DB OB

AB ABAC BD AB AC BD

b. Theo câu a, ta có:

OAC đồng dạng DBO (g – g) OC AC

OD OB mà: OA = OB

OC AC OC OD

OD OA AC OA

Chứng minh OAC đồng dạng DOC (c – g – c)

ACO OCM

Chứng minh OAC đồng dạng OMC (g – g)

AC = MC.

c. Ta có OAC = OMC OA = OM, CA = CM OC

là trung trực của AM OC AM,

Mặt khác OA = OM = OB AMB vuông tại M

OC // BM (cùng vuông góc AM) hay OC // BI.

ABI có OM đi qua trung điểm AB, song song BI suy ra

OM đi qua trung điểm AI IC = AC.

MH // AI, theo hệ quả ddingj lý Ta let ta có:MK BK KH

IC BC AC , mà IC = AC MK = HK BC đi qua

trung điểm MH.

d. ABDC là hình thang vuông SABDC = 1

.2

AC BD AB

Ta thấy AC, BD > 0, nên theo BĐT Cô si ta có:

AC + BD 2

212 . 2

4 2ABDC

ABAC BD AB S AB

Dấu bằng xảy ra khi AC = BD = 2

AB = OA

thcshoabinh.pgdhoabinh.edu.vnthcshoabinh.pgdhoabinh.edu.vn/upload/34896/20200520/Nang_cao_To… ·...

Documents

Transcript of thcshoabinh.pgdhoabinh.edu.vnthcshoabinh.pgdhoabinh.edu.vn/upload/34896/20200520/Nang_cao_To… ·...