МАТЕРИАЛДАР КЕДЕРГІСІ -...
400
ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ ЖОҒАРЫ ОҚУ ОРЫНДАРЫНЫҢ ҚАУЫМДАСТЫҒЫ А. ТҮСІПОВ С. ТҮСІПОВА МАТЕРИАЛДАР КЕДЕРГІСІ ОҚУЛЫҚ Екінші басылым. Өңделген Алматы, 2012
Transcript of МАТЕРИАЛДАР КЕДЕРГІСІ -...
-
1
. .
.
, 2012
-
2
53 (075.8) 22.3 7390
-
: , . . ; , . . ., . 90 : 2 - ., . , 2012. 400 .
ISN 978-601-217-306-2
() . (., .. . -2008) , - , - . , ( , - , ) .
, , .
, - .
53 (075.8) 22.3 73
. , . , 2012 , 2011
ISN 978-601-217-306-2
-
3
- , , , . - ( ) , . , , , - . , , . - .
, ii - , , , -, , . , , ( ) . , ii iiii ii i -, . , , ( - Rsistance des matriaux). die Festigkeitslehre, . , . ii iii i - .
-
4
1,- ()
: ; , , . , .
ii ii ii , , . , . , , , - (ii iiii ii 1, ). , , , , .
-
5
1,- ()
, ii - , , - -, .
-
6
1-.
1. , -
, () . , , , . , , , -, , . , , - , , - , .
1,- () .
. 2- . : , () . , , , . (3,, 3,- ).
, , , , . : , ().
, - (, ). . -, , . , ; , , , , .
-
7
2-
, , ( ) . , , .
3-
, , , ( ), :
-
8
- () - , ;
- , , - (
ciN ) (4, ).- 4,-
.
4-
, -.
(, , ) . , - . , , - -, , -, .
-
9
- . - :
1. - . , - (5,-) (5,-) .
5-
2. () , .
6-
, , - (6,-). (6,-) .
3. -. ;
-
10
, , (7,, 7,-) .
7-
4. . - (8-).
, .
8-
, . :
1. , , , . .
2. -, , . , , , i .
-
11
3. , , . , .
4. , , . .
, .
, .
.
9-
, . , , , , , , .
-
12
10-
. , . , .
(9-). , . - (10-).
2. . - .
, ( - ). . , . , . . . , , . , .
-
13
. . , .
, . () . .
11-
, P1, P2, P3, . Pn i - (11,-) . . , (P1, P2, P3, . Pn) , , . . , (, .) . . .
, - , , (11,-). S , , .
-
14
, (11,-). ( -) , - . , - . , , . , , , , . , , , () -. ( P
) ( M
)
(12,-). , - (x,y,z) , (). , .
12
: N , Q Q , , (12,-). .
-
15
( 0, 0, 0, 0, 0,x y zX Y Z M M M= = = = = ).
, (N, Qx, Qy, M, Mx, My) i . , -, , - . . , . , , - . , (N) - - .
, iii ii , () iii. i (6) ii i i ii . - , . :
1. , ( ). ().
2. . , , , .
3. , , ( N, Q, ).
4. ( 0, 0, 0, 0, 0,x y zX Y Z M M M= = = = = ) .
, . , .
3. ii , -
i .
-
16
, . (13-). A - . R . C, - . :
RPA
(1.1)
13 14-
A - - . (1.1) .
0lim R (1.2)
. , , - . . , - (14-). - , , , . -, .
4. , -
() . - , . -, . . ,
-
17
, , , . (15-). / . / - . , , (x,y,z) . / .
1
15- 16-
z - , - , / . , , :
, ,u BK v KA w = = = (1.3), ( /) ,
u , v w . , , .
(16-). ( ) l . ( ) (- ). , / , / , ,
2661
-
18
l l+ . l - l - i , ,
ll
(1.4)
- -. .
0lim ABl
ll
(1.5)
, AB - . , x, y, z . , ,x y z ii . , - . , , - , ,xy yz zx . - , . , , , . 17- .
17-
, . , , , () .
-
19
5.
, . . 1660 : ut tensio sik vis - , . 1676 .
- :
A xC P = . (1.6)
, -. () , , . , (1.6) . , - , . .
, (- ) . , , , , .
, 1 . (6) :
1 1 1A xC P = (1.7) 1 , 2
. :
-
20
2 2 2A xC P = (1.8)1 2 1 2
- . ( 1, 2 ) .
, 1 , 2 . :
1 1 1A xC P = + / 2 2xC P (1.9)1 7- ,
1 . /2xC
, 2 , 1 . , 2 / 2 . . 2
/2 , 2 1
. , . , / 2 . . 1 , , 1=0, (1.9) (1.7) , :
2 1/ 0A P = = (1.10)
2 = / 2 (1.11)
xC P = + 2 2xC P (1.12), -
. , .
, , ,
i i . (1.13)
-
21
() . () .
6. ., ,
: , i i ; , i , - ii . , ? i , ? , .
i ii, , - , . , - , i, i () . . , ii ii -. :
1. . Ii i, i .
2. (, ii) , .
3. , .
4. , ()
-
22
.
, , , , . . ii ii . , , ii iiii .
-
23
2-.
2- (N, Qx, Qy, Mb, Mx, My) . , -. , -, , - . . , . , - , . .
, (N) .
1. i i ,
(18-). , i . .
d - . (dN) , :
dN d (2.1)
i ii i
N d . (2.2)
-
24
18-
ii (2) . , ( ) , .
, (19-).
, (2.2) , .
19-
, . , - i-i i (, ,) i (20,-). . , , (, , ), (20,-). ,
-
25
, , , : , , , .
20-
- .
, (2.2) i , i =const . - , i. :
NA
= . (2.3)
2.
. l , l l+ (21,-). l - () . S S1 . ( )dz , (21,-). :
( )dzdz
= (2.4)
() .
-
26
, .
= ll
(2.5)
21-
. .
,
E = . (2.6)
- . ( ).
(2.3) , (2.4)
dzN Edz
( )dz N dzdzE
. .
l , . :
-
27
l
N dzE
. . (2.7)
. , - , () -, .
NE
. (2.8)
- ( ) .
, , - . , . , - :
0t (2.9)
- ;0t - .
- . , .
(2.10)
0N tE
3. . ,
i, : , (22,-), - - (22,-).
-
28
22-
/ = l l .
i ii i 1a a a = , a
a
i ii. :
. (2.11)
i i .
=. (2.12)
i ( ) iii ii iii i () ii, ii i i .
ii i, ii i .
l, 2k a . i k ii . , - (i ), k=a/; i d- , k = p/4.
ii i 2V k a= l -. i 1 = + l l l , - 21 ( )k a i. i i
-
29
21 ( )( )V k l l a a= + + . ii i V i,
1V VVV
=.
ii 2 2 2 2 22 22 2 2
(1 (1 ) (1 )(1 ) 1( )( )l akl a ka l klak l l a a ka l l aV
ka l ka l kla
-i -i . i:2(1 )(1 ) 1V = + .
, , i i i :
(1 2 )V = (2.13)ii i i
i, ii ii. i i 0,5 (m
-
30
z- i ii z -- - (23,-i).
23-
ii ii i, i .
0 0z A z N A z = = = (2.14) i (N) 23,- i.
i: i -, , . , z=0 N=0; z=l N A l= .
i i . :
z z (2.15)
, i , l - , ii (23,-). i, d iii . i i A z (23,-). ii
ddE
.
-
31
ii i l , d . , i, i .
dE
(2.16)
i i, i i z .
( )2
z zA dEA E
= =
l
l
, - i. i (z=0) .
2
max 2E = l
. (2.17) 23,- i.
5. .
ii i - i, i . i - (24-), i i (m-m, n-n) l ii i . , i . i, (k-k) ii. i a (24,-).
, ii (24,-). ,
, i, cosA .
i .
-
32
24- .
0z ; :
AA
.
a-
Cos , (2.18)
i
Cos , Sin , i , i (5) ,
2Cos = , (2.19)
1 22
Sin = . (2.20)
, . , i i i , , i .
i i i -.
-
33
1. =0 , NA
= = , =0,
2. =/2 , 0 = = . i i- ii i-ii i i. -, , i i .
3. i , 450 (max) i. ,
max 2 = . (2.21)
(25, -). / ,
/ 1 22
Sin = . i
i, -i +900 ,
/ / 01 1sin 2( 90 ) sin 22 2
= + = .
25-
, - i-ii , - i (25,-).
090
+= (2.22)
i i .
3661
-
34
3-.
1. .
, . , . - , (), . ( ). . ii. , - , , , .
, , -, i: , , , i i, i. -, . i - . i , .
2. .
, , (, , , ) -.
, , , , . , -, -
-
35
. , , , - .
, . , . , . , , . , , . , .
-. , . . - . - . , .
, . , - , .. . , - .
3. .
- . i i i: .
i - ,
-
36
. -5 -. 26- .
26-
() (4, 11) (13) (8) , (30) . i (10) ( ) , (2) .
(21, 23) (12) i. (18) (31) . - , . i (17) . .
-
37
27-
-
38
. (27-)
-30 . , - () . (1) (5) - . , (11) (9) . (12,13) , (12) (12) . , .
, , . , , . 28- . , - . , ( - ), - , . ( ) 10-15 -. , (( ), - , (28-). . 5- , 5d . -, . , . , , .
28-
-
39
( , , ..). , -
, .
4. . . 29- ()
. .
29- .
. ,
.
, 29- - , , , , . , -.
, . , , . . - , , - (30-) , . , .
-
40
. , . , - , . - (31-). .
30-
, . () ( ).
31-
, , , , , -, .
, -, . (32-) . , , , ( 0 =l ).
-
41
( ), , () ( 0 =l ) L (32-) L - . , , L .
, L (32-).
32-
. l c = + . ,
, , (), (33-). :
1. ;2. ( ),
.
33-
-
42
. .
5. .
, . .
. , . . - , (34-).
34- 35-, -
. , (35-).
, . - . -. - . ( ) (36--). . , , . 37,- , 45 - . (37,-).
-
43
36- 37-
, - - .
38-
, , , 10 . 38- .
6. . , .
, ( ) ( ) - . ( )f - , l , - . - , l - . - . l
-
44
( ) = (39-). . , - .
, ( ). , . , .
39-
, 1
. ,
dd
1E (%)
. , ,
( ) . - -, (=0) , , . , -, - . , - . , , 5(1 5) 10 = , , 0,001-0,005% ,
-
45
, 0,001 - 0,005 . , .
- ,
- (39- - , , - ). , , - 0,002 = 0, 2% .
, ( ) (( ) -. , . :
-
0
0
100%ll
= , (3.1)
- 0 1
0
100% , (3.2)
-
0 0
TWaA l
= , (3.3)
-
0 0
TT
WaA l
= . (3.4)
W W . (W0, W) , .
(
-
46
) . , , , . , , -. (40-). . / (( / ).
1) HA
,
, HA .
2) / . ,
.
40- ( ) ,
( ) .
(1 ) 1H HA + ,
0 1A .
-
47
0 1HH
AA
= . (3.5)
/
/0 1 HH
AA E
. (3.6)
/ , / / . - / , . , // . , - , // . , - . ( ) , . ( ) 6-7 41- . , , . - . - -. , () , .
41-,
, , .
-
48
. - .
- . . - . , , - , - . . 2-5 %- , , . : , , , . - , .
- . - . 42- . - (
A). ( )
43- . . . ,
- ,
- .
42- 43-
-
49
, . 0,2 0,4ak
, 0,1 0,2ak .
, - , .
. , - . , . , , - . , , - .
, .
, - , , . , , . , () .
. , 10 .
4661
-
50
4-.
, , . , . , . .
1. -
, , - . smax . smax -, . , , (smax) :
0,1 0,2ak . (4.1)
s , i- . - ,
. , ik
,
, . - . s =s, - - s = s . , , i - , i- - , :
-
51
ik
ik (4.2)
, , :
[ ]max (4.3)
2.
, .
, :
1. - . , (smax) , . 5 %- . (5 % -) , .
2. . .
maxN (4.4)
3. . , , , ( )N f P= . i, , i :
maxN (4.5) ,
:
( )P (4.6)
-
52
3. -
, .
. :
1) , , ;
2) () -, ;
3) () , , .
I. () (..) . :
. .N A R k m , (4.7)
, R - , , , 1k - (, 0,8 0,9), 1m - () ( , ; ..). R k .
II. :
l f , (4.8)
: l - () , f . , () - .
III. .
-
53
4.
.
44-
, . - 2, l , i 44,- .
1. (N) . - , , , - . , - , i . . . - . , , z1 (44,-). ii (45,-). i , N1-i .
N1=const , -, , (44,-).
-
54
45-
, . i , ii i (45,-).
0;z = 2 0;N P = 2N P= . , (N2)
. 44,- . 45,- . N3=0 . - 44,- . , : -, . , .
2. , , . ( 1z a , 2 ( )z a ) . , , .
-
55
46-
i .
iii : 11
1
N PA A
= = .
ii :2
22 2
N PA A
= = .
ii : 333
0NA
= =.
zo i , (46-).
5. ()
- . , -, . : i . i -
-
56
, ii i ii , i , i i i -, .
i, i iii , i.
i i (47-). i i , i ii i ii ii . i i , . i i ii , ii ii , -, ii i, ii ii .
47-
, iii , - n i. i i ii i . ii, ii i ii ii . i i i .
6. 1-. i i ii (48,-)
. P ql= ,
-
57
q . 2 , .
ii i, i - , .
48-
. ii i, , . i ii i (48,-), i i i - ( 0 0 ). i .
-
58
0x = 2 0A BR ql ql R + + = B AR R ql= ()i iii () i i, i
. , . i ii ii -. i i , , i , / - i . , , , i . : bR - , P ql= q .
ii ii i , - .
, -, ( 5l - ) .
, 0B q P RB = + + = ()
, . 48,- . :
I AN R= , II AN R qx= , 2III AN R ql= , IV AN R ql= . ()
- i iii
P aE
, () .
2 2 22 02
A A A AR l R l ql R l ql R l qlEA EA EA EA
+ + + = .
87A
R ql= .
AR () i
17B
R ql= ()
. I.ii (RA, RB) i, ii
-
59
ii i (Ni) , - (48,-).
) 87I
N ql= ; 10 x l , IN const= ( ).
) 287II
xN qll
=
; 20 2x l
- 2 0x = 87II
N ql= ;
- 2 2x l= 67II
N ql= .
) 67III
N ql= , IIIN const= ( ).
) 17IV
N ql= , IVN const= ( ).
II. i ( i ) ,
(48,-).
) 4
7Iql
EA = ; 10 x l - I const = (-
).
) 28 714II
xqlA l
=
; 20 2x l
- 2 0x = 4
7IIql
A = ;
- 2 2x l= 3
7IIql
A = .
) 6
7IIIql
A = , III const = ( ).
) 1
7IVql
A = , IV const = ( ).
III. ( i ) -
, (48,-).
-
60
) 14
7Iql x
EA = ; 10 x l .
- 1 0x = 0I = ;
- 1x l= 24
7Iql
A = .
) 2 2
0
1 8 47 7
x
IIqlql qx dx
EA EA = +
22
2 22
447 7 4II
x xqlEA l l
= +
- .
( 20 2x l ).
- 2 0x = 24
7IIql
EA = ;
- 2 2x l= 25
7IIql
EA = ;
, - . :
- 2
22
2
24 07 4
IId xqldx EA l l
087
x l 20,897 ql
EA.
) 2
3657III
xqlEA l
, 30 x l .
- 3 0x 25
7IIIql
EA;
- 3x l 21
7IIIql
EA;
) 2
4 17IV
xqlA l
, 40 x l .
- 4 0x 21
7IVql
EA;
- 3x l 0IV . 48,- .
-
61
7.
, . () .
7.1. i, ii i (49,-). i ii i . ii , I-I i i i. ii , ii ii (49,-).
49-
ii i i, i, ii N1, N2 N3 ii. Ii i i ii , i i ( ii i i ). i i . i i SM=0 ii 0 0 -ii -. , i i .
31
1 3 2
0, sin sin 0
0, cos cos 0
Y N N P
z N N N
= =
= + + =
()
iii (N1, N2 N3) i i i -. i ii .
-
62
i ii i. i i iii ii , i i (1) iii . i i, i 50- i. i , i-ii iii . i i . i i , ii i (49-), , . , -. i, iii 1CL = l , iiii 2CK = l , iiii 3C . ii , i, ii (x) .
, L, K i - 1 i i . i (), , i i , LC1, KC1 DC1 i (50-).
, ii i ( i i).
50-
CK BLC1 - , i .
-
63
2 3 12 cos 0 =l l l ()
1l , 2l 3l , ii ii . i (, , ) i .
22 3 1
1 3
1 2 3
4 cos 1,5 3 0sin sin 0cos cos 0
N N NN N PN N N
=
= + + =
31 3
(4cos 1,5)(8cos 1,5)sin
PN
+=
+
2 3
1,5 cos(8cos 1,5)sin
PN
=
+3
3 3
(4cos 3)(8cos 1,5)sin
PN
+=
+ii ii ii ,
i , , .
, ii i i , i ii- ii . , 49,-i i , , i i i? i. i (1) (2) i i i. , i ii i , , i i .
, ii i . , , i; , . , i i i. i, - (51-).
49,-i
-
64
(51,-). i (51,-).
/1 3
/1 3 2
0, sin sin 0 ( )
0, cos cos 0 ( )
Y N N P
Z N N N
i i () () i ii .
51-
(51,-) () i . :
2 3 12 cos 0 + =l l l (/) (/)
, (/ / /) . , N1, N2 N3 . , (d, e, ) - .
7.2-. i, ii i . , (52,-). -: 44 10P H= ; 060 = ;[ ] 1,5n = . - -45; l ; 370 ; 51 2 10E A . -16; - 2l ; 0,2 220 ; 3A . .
ii i . ii
-
65
, , ii (52,-). 1N /1N ,
2N - i . Ii i i ii , i i ( ii i i ).
52-
i i . i i , SM=0 ii 0 0 -ii . , i i .
/
1 10 sin sin 0x N N = + = ()
210 2 0Y N cos N P= = ()
() ( /1 1N N= ) , y . , - ().
iii (N1 N2) i i i . i ii . i ii i.
5661
-
66
i i iii ii , i i ( / ) iii . i i, i 52,- i. i , i-ii iii . i i .
i, iii / 2C iiii / 2C . ii , i, ii ( ) . -. i (), , i i ,
/ / /C C i . , ii i ( i i). -, i
1 2 cos = l l ()
1l , 2l
11
1
N llE A
=
, 2
221
23N llE A
=
()
:5
14
2
2 10 2,67,7 10
EE
= = =
()
(, ) - , ii ii
1 23 2 cos 0N N + = ()
i ( ) i .
1 2
1 2
2 cos3 2 cos 0
N N PN N
= + =
()
-
67
44
1 2
2 cos 2 4 10 0,5 1,9 103 4 cos 3 4 2,6 0,25
PN H
= = =
+ + ,
44
2 2
3 3 4 10 2,2 103 4 cos 5,72
PN H
= = =
+.
ii ii ii , i , , , .
, ii i . , , i; . - , i ii i .
.
1370 247
n 1,5,
0,22
220 147n 1,5
- . :
45 2 21
61
1,9 10 7,7 10 0,77247 10
NA .
:4
5 2 226
2
2, 2 10 4,98 10 0,4983 3 147 10
NA .
. ,
21 0,77A A , 2 22 3 3 0,77 2,31A A .
7.3-. . , -
-
68
. , , , , . , 7.2- .
( 0P = ), 100T K =- , (53-). 51, 25 10 1/ K .
, (53,-). i i SM=0 ii 0 0 -ii .
53-
, i i .
/1 10 sin sin 0x N N = + = ()
/1 10 sin sin 0x N N = + = ()
() ( /1 1N N= ) , y . , - ().
iii (N1 N2) i i i .
-
69
i ii . i ii i. i i iii ii , i i ( / ) iii . i i, i 53,- i. i , i-ii iii . i i . , - /CC ; . - 2CC . .
, - .
2 1 1tCC T= = l l . ,
- . , , , -,
/ / / / 1 12 2 1 1 1
1
NCC C C TE
. / /1 2l C C
, / / /CC C
/ /
/ cosCCCC
= / / 2 cosCC l = 2 2 1 1
12 1
( ) cosN NTEA EA
= l ll ()
( ) .
2 2 1 11
2 1
1 2
cos
2 cos 0
N l N ll TEA EAN N
=
=
, N1 N2
-
70
311 2
312 2
3 10 10 ,3 46 cos 10 10 .
3 4 cos
EN Hos
EN H
7.4-. , , ( ) -, , . , (54-).
, . , - , ( ), .
54- . - . , [ ] - , - [ ] .
, , / / /K C . / /1 3C C l= ,
/ /C , / 1KK l= , / 2BB l= .
, . , , (54--) . , 1- 2- , 3- . - .
-
71
54-
. .
31 2
3 2
0;
2 0;K
y N N N
M N a N a 1 3
3 2
0;
2 0;B
K
M N N
M N a N a
() ,
. , , , . - - . , (54,-).
/ / / / / / / /
/ / // / / / / /
/ / / 22B B ()
-
72
55-
54,- / / / / / /3 1 2 1,l l B B l l .. () . ,
3 1 2 12 2l l l l = 2 3 12 l l l = + .
() .
32 122 3
N lN l N lE A E A E A
= +
2 3 13 3 3EA N l N l N l = +
() , () () ,
i
79
1
3
2
3 ;10
3 ;103 .
5
ENlENl
ENl
, 1- 3- , 2- . 55- .
-
73
1
3
2
3 ;10
;10
3 .10
El
ENl
ENl
=
=
=
, , , .
:[ ] [ ]max
310
El
= =
[ ]10
3l
E
= .
7.5-. , - . , (56-). () -. . - . , (57-).
. . , , . , , . , , .
1 22 cos 0N N = ()
-
74
56- 57-
- - . , (58-). - , . , , / (58-).
58-
/ - i .// - 2l -ii . // = .///= l - iii ./= l ./ /
// /
/
2 , 2 ( )AA BB .
-
75
() .
21
2 ( )cosN aE N a
, () () , i :
31 3
32 3
cos(cos 4)
2 cos(cos 4)
ENa
ENa
:
-
76
5-.
, , , ( ), . - i. , - .
1. -
(59-),
xA
S y dA= , 1yA
S x dA= (5.1) . iii -
ii, ii ii i . i 3, 3... - i i . i -, i i. 1 1 1x O y ii i ii ,
1 1xA
S y dA= , 1 1yA
S x dA= (5.2)i i 1x i , 1y ci
, 2 2 2x O y i (60-). i :
2 2xA
S y dA= , 2 2yA
S x dA= (5.3)60- x2 = x1-a, y2 = y1-c i pii . ii
.
( )2 1 1xA A
S y C dA y dA c A= = , ii
( )2 1 1yA A
S x a dA x dA a A= = .
-
77
59-
59- 60-
Eii i, i ii :
2 1 ,x xS S c A= 2 1 .y yS S a A= (5.4)
, i , , - iii i.
, 1x ii i - i,
5h
2x ii i (61-).
(5.1) : 1xA
S y dA= . - i 1x cie y
ydA b dy= i .
61-
-
78
b .
1y
h ybh
= .
,
( )1 1 10
h
xbS h y y dyh
= i
2
1 6xb hS =
i ii i (Sx2) , i (5.4) .
2 1x xS S c A= , 1( , )
5 2hc A b h= =
2 2
21
6 5 2 15xb h h bhS bh= = .
, , ii , 5h
i i
2
2 15xb hS = .
2. . i , -
. i ipeyi . i i ,
ii . i, 2 , 2 , 1 1 . i
2 0yS = , (5.5)
10 ,xS c 10 yS a .
i (11) ii -.
-
79
1 ,xSc y 1ySa x (5.6)
i i, -i .
iii i, i i . , i .
1) , iii - ii, . i 1 ci ii. i i , i ii (62-).
i 2
1 6xb hS =
. ii ,
2
1 61 32
x
bhS hy
b h.
, i, 3h
(62-).
2) i 63- i, i i . i i , . , i i . ii i i .
-
80
62- 63-
i, (5.6)
1xSy . ()
i :
2
2R . ()
i i , i i i. i i:
2 2 2x y R+ = ()
22 2 223
0 0 0
22 3
R xR R x R
xR
yS ydxdy dx ydy dx R ()
ii () -,
3
2
23 0, 424
32
R ARy RR ()
3) (64-) i . : 1 260 , 20 , 50 , 8 .h b b
-
81
64-c
i i , . , i i , 0Cx = , cy . : ( 2 50, 8b = = ) ( 160, 20h b= = ) .
, 1x - ,
42
60 850 8 136002 2 2 2k khS A y b .
(64-) i i, (5.6) :
1 0 13600 8,550 8 20 60
x kC
S S Sy yA
.
, 1x ( ).
6661
-
82
3. i
, i .
2xJ y d , 2yJ x d , 2J d , xyJ xy d (5.7)
i, i i, iii i, i i . i - 4, 4, 4. i i . i , ii ii i 65- i . i x1o1y1 ii i ii .
21 1 ,xJ y d
21 1yJ x d , 1 1 1 1x yJ x y d (5.8)
i x1o1y1 i - x2o2y2 ii i .
22 2 ,xJ y d
22 2yJ x d , 2 2 2 2x yJ x y d (5.9)
2 1y y c= 2 1x x a= . i , ii -
i. :
22 1 12x xJ J cSx c
22 1 12x yJ J aSy a
2 2 1 1 1 1x y x yJ J aSx cSy a c
(5.10)
1 1 i , 1 0Sx = , 1 0Sy = .
.
.
-
83
22 1x xJ J c
22 1y yJ J a
2 2 1 1x y x yJ J a c
(5.11)
(5.7) . 65- 2 2 2x y = + :
2 2 2 2 2( ) y xA A A A
J dA x y dA x dA y dA J J = = + = + = + (5.12)
65-
(5.11) , -: ii i, ii i .
1-. iii h i i ii (1, 1) i i (2, 2) i . , 1 i , dy ii i (66-).
dA dy b= . i .
i i,
.
-
84
322 2
1
2
12
h
xh
bhJ y dA y bdy+
= = = . ()
ii:
3
1 12yhbJ = . ()
2 2 ii i, (5.11) .
22 1x xJ J c A= + ,
22 1y yJ J a A= + ()
ii
2hc = ,
2ha = ()
66-
3
2 3xbhJ = ,
3
2 3yhbJ = ()
2-. i (67-) i i (Jx ,Jy) i .
-
85
67-
i . r r+dr i i i i, i . - 2dA d = .
.
( )4 4
2 2 3
0 0
2 24 32
K K R DJ dA d d = = = = =
.i i ii
:x yJ J J= = .
i x yJ J= 2 xJ J =
2x yJ
J J = = .
4
2x yDJ J = = (i: 4, 4, 4).
4. i ii i
, ii ii i . i i iii, i i . - Jx, Jy Jxy . i, i XOY i a . i i v ii (68-). i i Ju, Jv Juv . ii ,
2u
A
J v dA= , 2vA
J u dA= , uvA
J uv dA= .
-
86
68-
u v i . i =x, AB=y OD=u AD=v . i : u=OD=OK+KL+LD, v=AD=AC-DC; OKB OK=OBCosa=xCosa i BLK KL=LBSina ADL LD=ALSina i ii i.
u xCos LBSin ALSin xCos ySin = + + = + . (5.13) ii, ADL ODC , v -
:xSin Cos = + (5.14)
, i .
( )2uA
J yCos xSin dA = ,( )2V
A
J ySin xCos dA = + ,( )( )uV
A
J yCos xSin ySin xCos dA = +.
, i :
-
87
2 22u x xy yJ J Cos J Sin J Sin = + ,
2 22u x xy yJ J Sin J Sin J Cos = + + , (5.15)
222
x yuV xy
J JJ J Cos Sin
= +
. i i i i-ii ,
u V x yJ J J J Const+ = + = i i. , i i ii i , i i i. ii i, ii , iii . , ii i i, i i ii i (max), iii i (min) . i i i, ii Ju ii , i ii.
22 xy
y x
Jtg
J J =
(5.16) ii
i ii (Jv) i i.
i i , i i . , , , . i i - i i .
i i, ii - ii.
2 22 2
x y y xu xy
J J J JJ Cos J Sin
+ = ,
2 22 2
x y y xV xy
J J J JJ Cos J Sin
+ = + + .
-
88
, 2
11 2
Costg
=+
2
21 2
tgSintg
=+
i i, ii a .
2max 2min 2 2
x y y xxy
J J J JJ J
+ = +
(5.17).
-
89
6-. .
1.
, . .. (.. . - 1986.).
ii, , , i (69).
ii (69) i
P
=l
,
- .
6969-
, , , - - .
(70,-). (m) i
-
90
. (70,,-) i ii i
2m R k = ,
70-
22
mR
= (6.1)
R- ,- .
2. .
(71,-). .
i, . i , .
-
91
i () , - +90 .
1 (71,-).
71-
, ii ' iii .
1AAtg
AB =
. 71.- .
/ / ,AA AD DA= + / / ,AD AA Cos=
/ / / / ,DA A A Sin= ,AL AB Sin= BL AB Cos= .
KA/ . BLAK- - , // ( l ) , // / ( a ) .
/ /AA AD DA= + , / /AA
AL= ,
/ / //A A
AL = = .
i ,
( )
/ / / / / /
1 .
AD DA AA Cos A A Sin AL Cos BL Sin Sin CosAB AB AB
Sin Cos Sin Cos
+ + + = = = = +
+ = +
-
92
E = ,
1 22
Sin , 90 1 22Sin .
( )
90 1 2Sin . (6.2)
.
22
Sin =.
i (2) ,
2(1 )E
+= (6.3) i i i ,
ii . i .
2(1 )E
=
+ (6.4)
2(1 )E
+ - G i i,
i iii ii ii
i (i i ).
, . : - i i ( i); - i; G iii ii ii i ( i).
-
93
2(1 )EG
=
+ . (6.5)
, ii :
G = . (6.6)
( -), . i . , i .
3. , ()
, . .
, , , - () , i. - (72-).
72
-
94
73-
72,- , i . -, , . , , - (72,-). , . 73- .
4.
, ( -) . i . , , - .
, (74,-). , dz- , (74,-). , - +d . , d .
-
95
74- 1 ,
(74,-). 1 .
1 , dz , 1 , - d , d dz = .
, ddz = ()
ddz ,
. = (6.7)
, .
G = () ,
. , (75-).
75-
-
96
, - dA .
dA - . , () , :
d ()
, dA - , r; - , . , , () . () .
2
M G dA = . G ,
() ,
2
M G dA = () -
, (4 4). , Jp
2
J dA = (6.8), M G J =
MGJ
= . (6.9)
- , (6.7) .
Mddz GJ
=
M dzdGJ
=
, .
M dzGJ
= , (6.10)
-
97
- , l - -.
, .
MG J
=l
(6.11)
(6.9) - .
MGG J
=
,
MJ
= . (6.12)
. Jp , . . , , (76-).
, , , .
maxmax
MJ
= (6.13)
Jp /max - W , .
MWW
= (6.14)
7661
-
98
76-
, -.
max
MW
= (6.15)
, - c - .
5.
. , (77-). , , 450- , ( = ) .
, , - . (max), , - .
-
99
[ ]max , [ ]MW
.
77
, .
[ ]MW
= [ ]16MD
= (6.16)
, . , - , (): [ ] [ ] .
-.
[ ]maxM
G J
=
maxM
G J
=
[ ] 6.17)
-
100
7-.
, - - . , . , , . - . , , .
1. . , ,
ii i. , . , () (Q) . (i i) i - .
i , ii ii , (Qi) , i (i) ii . ii, ii ii , , i iii (80-).
.1-. ,
(78- 6 , 2 ).
78-
-
101
yAz . , R H. - R . , . , , . , 78- (R, R H) , i . :
1) z=0; HA=0 :
i , .
2) MA=0; -P3- P8+RB6=0 RB=4,4 (),3) MB=0; -P3+ P2-RA6=0 RA=0,4 ().
i -, i i . i Y=0, i .
4) Y=0; RA -2,4-2,4+ RB = 0 0 0 . -,
. (79 ).
. , , , . i . , .
-
102
79-
, - , 3, 0 3z . - i. i z1 iii. , (80-). , ii , (80,-).
-i ,
-
103
ii -i i. ii i i , i .
80- 80- i
:
0y 1 0AR Q 1 0, 4AQ R . - Q1
. ( ).
1z
1 0zM 1 1 0AR z M .
, 1 10, 4M z= i . i 1z ii i , () . , , .
1) 1 0z 1 ,
2) 1 3z 1=1,2 .
( 23 6z ) . , z2 i , (81-).
, i -
-
104
0y 2 0AR Q 2 0, 4 2,4 2,0AQ R .
81-
- 2Q - . 2z , , ( ).
2z
2 0zM 2 2 2( 3) 0AR z z M .
, 2 2 2( 3)AM R z z i . i 2z ii i , () . , -, .
1) 1 3z 1=1,2 ,
2) 2 6z 2 = - 4,8 . 79,-
. ,
, . , i . Z3 i (82-).
-
105
82-
.0y 3 0Q 3 2, 4Q .
, Q3 , . i, . .
3z :
2 0zM 2 2 0BR z M .
, 3 3(8 )M z i . i 2z ii i , () . , -, .
1) 3 6z 3 = -4,8 .
2) 2 8z 1=0. .
79- .2-.
(83,-).
83-
-
106
yAz . , - R H. - R . , . , , . , 83,- - (R, R H) , i .
1) Sz=0 HA=0. i ,
- .
2) MA=0; 4 2 5 0Bq M R 2 8 1 3
5BR .
3) MB=0; 4 3 5 0Aq M R 2 12 1 5
5AR .
i -, i i . i SY=0, i .
4) SY=0; 4 0A BR q R + = 0 0 . -,
. .
. , , , . i . I .
, () , 4, 0 4z . i. (83,-).
i z1 iii. , (83,-).
0y 1 1 0AR q z Q 1 1AQ R q z .
-
107
83,-
- 2Q . 1z ,
, (83,- ).
1) 1 0z 1 5AQ R ,
2) 1 4z 1 1 5 2 4 3AQ R q z .
83,- 83,-
1z -
1 0zM 11 1 1 02A
zR z q z M 11 1 1 2AzM R z q z .
i 1z ii i , () .
, , . ( ).
-
108
1) 1 0z 1 ,
2) 1 4z 1=4,0 ,
3) 1 1 0AQ R q z 15 2,52
ARzq
, 1 2,5z
12,52,5 2 2,5 6,252A
M R .
83,-
, , . , i . , 2z i (83,-).
:
0y 2 0BQ R 2 3BQ R .
, Q3 , .
-
109
i, . (83,-). 2z
2 0zM = 2 2 0R z M + =
, 2 2M R z= i . i 2z ii i , () . , , .
1) 2 0z 1 ,
2) 2 1z 1=3 . .
83,- .
2. ,
i , . (84,-).
84-
dz . Q M ,
-
110
, , : Q+dQ +dM . , - , q = const (84,-).
dz .
0,y = ( ) 0Q g dz Q dQ+ + = dQ qdz= .
ii i dz-
dQ qdz
= (7.1)
, i , .
2
0( )0, ( ) 0
2dzM M Q dz q M dM = + + + =
2( )
2dzq - i ,
. :
, .dMQ dz dM Qdz
= = (7.2)
, (Q), . z , (7.1) :
2
2
d M qdz
= . (7.3)
- . , .
-
111
3. ,
, Q=0. (85-). , z . , (86-) .
6- .
1) 0.x =2) 0.y =dN , () ,
0=0;
85-
3) 0.z 0dN dN d
A
N d
(7.4)
-
112
86-
4) 0yM = . 0dN x = 0A
x dA = (7.5)5) 0xM = . dN y M =
A
y dA M = (7.6)6) 0zM = . -i , 0 0. -
, , .
. , , dz , () (87-) .
, . , () , , -, .
-
113
87-
, , dz , , . , , . () . , (-) . 87- CD i. :
1 ddz
=
(7.7) ()
. iii ii dz- , ii = (+y)d. :
( ) ( ) ;AB dz y d dz y d d l y d = = + = + = l
:
8661
-
114
yd ydz d
= = =
l
(7.8) , - i .
yE E
= = (7.9)
i ii i i, (7.4), (7.5), (7.6) (7.9) i. , (7.9) (7.4) i
0A A
EdA y dA
= =
ii E i i , i .
0
E ydA
= 0E
0
ydA = -
, i ii.
;x
S ydA= ;y
S xdA= (7.10) i (6-) i ii
i i. ,
, () . x , .
, (7.9) (7.5) i .
0A A
Ex dA x ydA
= = .
-
115
0E xydA , 0,E
i i - ii.
xyJ x y dA . (7.11) -
, . , , .
(7.9) (7.3) .
,Ey ydA M 2E y dA .
(6-) ii, i
2xJ y dA 2yJ x dA (7.12)
, i i .
xE J M
= .
i
1
x
MEJ
= . (7.13)
i =const , . xEI . ( : i )).
(7.9) - .
-
116
MJ
(7.14)
4.
.
. i , , , . . , - ( )f M = - ( )Q = (88-).
88-
, , () . -, .
I. .II. .
-
117
1) . - , , , . , Q=const , (89-).
, - zl . y - , 89- .
= . , i, Q=const , - .
x
x
MJ
max
maxx
MW
(7.15)
. , , , .
89-
, dz (90,-). (90,, -), , - - (90,-).
, d . i z -.
-
118
0,z = ( ) 0yN b dz N dN+ + = (7.16)
y
dNdz b
= (7.17)
N d /
12MN y d .
90- i - ,1 - (90, ),
/1 xd S - .
, *x
x
M SNJ
= (7.18)
ii,
( ) *
xx
M dMN dN S
J+
+ = (7.19)
-
119
i i
*x
x
dM SdNJ
= (7.20)
i (7.17)
*x
x x
Q SJ b
= (7.21)
(7.21) . . , .
2) , (Q const ) . , . . - , . . , , , ,
x
x
M yJ
= , *
y x
x y
Q SJ b
=
(7.22)
5. ii , ii
ii i ii . i 91- i i ii . ii M = Pl . , . 92- . .
ii , i - i . , i , ii . ii .
-
120
, .
, 93- .
91- 92-
, , .
93- , -
. , , n (94,-).
-
121
max 22
6
( )6
x
PM Ph nb hW bh
n
= = =l
l .
94-, ,
- (94,-). i i /; i :
max 2 2
6
6x
PM Plh nW bhb h
n
= = =
l
., , ii,
(95,-). , , (95,-).
95-
-
122
3 max 2
6Pbh
= l
. - , n
, n , , n .
6. .
. -. (96-). z () (z) - (001) . f (96,-). , , , (96,-). , i i i , . .
96-
, i , , . - z,
( )y z= (7.23)
-
123
, . = (z) z .
dytqdz
=. (7.24)
, , (
-
124
97-
, i i , dy
dz
2
0dydz
= -
.
2
2
1 d ydz
= . (7.28)
(7.26) (7.28) :2
2
d y Mdz EJ
= (7.29)
(I=const), , :
Iy , 2
2xd yM EJdz
= , 3
3xd yQ EJdz
= , (7.30)
:- q = const ,
4
41
,d y q constdz EJ
= = .
-
125
- , q = , .
- , - .
7. ,
, , . , n , 2n . , (I=const) , . :
) , ;
) , ;
) , ;
) (z-i) , - i- -;
) .
98,-
-
126
, (98,-).
) , , (98,-, V- ). , ) (z-)0 .
:
1 0 , 0
2 iM z a a z b 0
3 ,i iM z a P z b b z c
20
4 ,2i iz c
M z a P z b q c z d
2 20
5 .2 2i iz c z d
M z a P z b q q d z l
.
0 z a , a z b , b z c , c z d , d z l .
98,-
-
127
, - , .
1 1,IEI y C
2
3 3 ,2I
i i
z bEI y C M z a P
2 3
4 4 ,2 6I
i i
z b z cEI y C M z a P q
2 3 3
5 5 .2 6 6I
i i
z b z c z dEI y C M z a P q q
, /= (z= , 1=2 1
/=2 /; z = , 2=3; )
. ( EI const= )
1 2 3 4 5 0C C C C C EJ= = = = = .0 - . :
1 1 02
2 2 0
2 3
3 3 0
3 42
4 4 0
3 4 4
5 5 0
,
( ) ,2
( ) ( ) ,2 6
( ) ,2 6 24
( ) .2 6 24 6
i
i i
i i
i i
EJy D EJ zz aEJy D EJ z M
z a z bEJy D EJ z M P
a b z cz aEJy D EJ z M P q
z b z c z dz aEJy D EJ M P q q
.
-
128
1 2 3 4 5 0D D D D D EI f= = = = = ,f0 - ., ,
.
( ) ( ) ( ) ( )2 3 4 40 0 2 6 24 24x x x x x c II i III IV
z a z b z c z dEJ f EJ y EJ f EJ z M P q q
v
= = + + + +
: - , - , - .
8.
. , ; i , .
[ ]max (7.31)
[ ]maxmaxx
M yJ
= (7.32)
max
xJy
i i
, Wx ii,
max
xx
JWy
= (7.33)
, ii ii ii i -, iii i .
[ ]x
MW
(7.34)
-
129
ii , i i iii i, i i i .
[ ]xMW
(7.35)
, i i i (7.34) i .
[ ] [ ]xM W (7.36) , , -
,
[ ]max (7.37)[ ]max (7.38)
, .
, , . , .
, i , , . , -. i, , , . .
, .
[ ]maxmaxMW
= (7.39)
[ ]max maxmaxQ S
J b =
(7.40)9661
-
130
, . -, , :
[ ] [ ]f .
-. ,
[ ]max , (7.41)[ ]max f (7.42)
-
131
8-.
, . , , -. , , ( , i ..) . ?
.
1. -
(99-). , . , -.
99-
, . , , . , ,
-
132
, . i , i (100-).
100-
, , (, , z). , : ii, - ( , ,xy yz zx ). 100- - , - , - , - .
: * xx x dxx = =
, xyIxy xy dyy
= +
, ii.
- , ii - . . i , i (i i) .
X, , Z ii , i i. i i - dV, dV ZdV . i dV=dddz i i.
-
133
=0 =0 =0 =0 (8.1)
z=0 z=0 ,
(101-). S=0 i :
0.
xyx xzx x xy xy xz xzdx dydz dydz dy dxdz dxdz dz dxdy dxdyx y z
x dx dy dz
+ + + + + + + =
, , (dV= d d dz)
0xyx xz Xx y z
+ + + =
. (8.2)
101-
ii, z i , i -.
(8.3)
0yx y yz Zx y z
+ + + =
(8.4)
-
134
, , .
[ ] [ ]zx xz = , zy yz = , yx xy = (8.5)
, (8.2), (8.3) (8.4) (8.5) , . ((8.2), (8.3), (8.4)) - . , , .
2.
i, . , . d, d dz (102-). = dz; O = dx; O = dy; Cos (x,h) = l ; Cos (y,h) = m; Cos (z,h) = n.
h , d . - l, m n , 102- .
102- x ,
-
135
0x = , 2 0x xy xzx d d d m d n =lx xy xzX m n = + + l (8.6)
(, z) , , i i .
yz xy xzX m n = + + l
yx xy xzY m n = + + l (8.7)zx xy zZ m n = + + l
i, () , 0 . (8.7) - . , (, , z , , ,xy yz zx ), (8.7) i i - i .
3. . i i ,
, i - ii. -. . i i - i . ac - (103-).
103-
-
136
- (, , z, , ,xy yz zx ) ii . N , h i ii. i l, m n . i (*) ii . i .
1) :
X N= l , Y N m
= , 2Z N n= (8.8)
2) :
x xy xzX m n = + + l
yx y yzY m n = + + l (8.9) yz zy zZ m n = + + l
(8.8) i i (8.9) , ii ii i i
( )* 0x xy xyN m n + + =l , ( )4 0yz y yzN m n + + =l , (8.10) ( ) 0zx zy zm N n + + =l . ii l, m n ipi
i . i iii ii, i
2 2 2 1m n+ + =l . (8.11) , iii i
.
*
*
*
, ,
, , 0
, ,
x xy xz
zx y yz
zx zy z
N
N
N
=
. (8.12)
-
137
, i i:
( ) ( )( ) ( )3 2* * 2 2 2 *, ,
, , 0
, ,
x xy xz
x y z x y y z z x xy yz zx yx y yt
zx zy z
N N N
+ + + + + = (*)
, . i . .
x y z II + + = , (8.13)2 2 2x y y z z x xy yz xz III + + = , (8.14)
, ,
, ,
, ,
x xy xz
yx y yz III
zx zy z
I
= . (8.15)
II , III IIII - - . (N1
*, N2* N3
*) ( ) s1, s3, ,
1 2 3 > > . (8.16) i.
, JIII=0 , (*) i -. . , i .
4. ,
. , (*) i (JIII=0).
0z xz yz = = = , (8.17)
-
138
( ) ( )( ) ( )3 2* * 2 * 0x y x y xyN N N + + = , (8.18)
( ) ( ) ( ) ( )2* * * 2 0x y x y xyN N N + + = . (8.19) N3
* = 0 . ( ) ii i i
( ) ( )2* 21,2 1 42 x y x y xyN = + + +
. (8.20)
( ):
( )2 21 1 ( ) 42 x y x y xy = + + + +
, (8.21)
2 0 = , (8.22)
( ) ( )2 23 1 42 x y x y xy = + + +
. (8.23)
x y . -, 0y = ,
( )2 21,2 1 42 = +
(8.24)
. , s1 s3 . , (104,-).
104-
-
139
, i i iii , s1>s2>s3 , . . - 104,- i . , ii (a - ). (104, ) h t .
0, 1 3dzdy dy dz Cos dy dz tq Sin
Cos
2 23iCos Sin ,
(8.25)
0t , 1 3dzdy dy dz Sin dy dz tq Cos
Cos
1 3 Sin Cos . (8.26)
, .
1 3 1 3 22 2
Cos , (8.27)
1 3 22
Sin . (8.28)
(8.27) . .
( )1 3 0d Sind
= =.
1) a = 0 , : max 1, = 2) a=p/2 , : min 1. =
-
140
.
( )1 3 2d Cosd
= ;
2 42 = +
., 45 (
4 = )
, 1 3max
2 =
.5. . , -
:-
, ;- , (i)
.
, , , .
, , 0 (105-).
, , . , 0 . i i dy .
105-, z ,
. ,
-
141
, z dx (- dz) . , , . , 0 . , 1, , 1M MM = . (105-)
1 1 1( )u f x y z - ,
2 1 1( )v f x y z - ,
3 1 1( )w f x y z - z .
6.
(, , z) - , z (106-). D , 1 1 1 1D (106-).
1 , 1 , 1 , D D1 . u w , 1 1 1( )u f x y z= ,
3 1 1( )w f x y z= . ,
.CD AB dxAC BD dz
= == =
106-
-
142
dx
( )1 , ,uu x dx y z u dxx
= + = + .
= dx 1uu u dxx
=
.
,
1x
u u u dxdx x
= =
; udxx
=
.
. .y
vy
=
. , 106-- .
, + . xoz , zx .
zx = +II
1II I
I II
w wdxB B x xtq u uA B dx dxx x
= = =
+ +
.
ux
wx
=
. uz
=. ,
zxu wz x
= +
.
.
xyv ux y
= +
,
yzw vy z
= +
.
-
143
,
,
,
x
y
z
uxvywz
=
=
=
,
,
.
xy
yz
zx
v ux yw vy zu wz x
= +
= +
= + (8.29)
7. .
. , - , - , . , . - .
3 2 0I II IIIJ J J + = (8.30) , -
. I
x y zJ = + + , (8.31)
2 2 21 1 14 4 4
IIx y y z z x xy yz zxJ = + + , (8.32)
1 12 2
1 12 21 12 2
x xy xy
IIIyx y yz
zx zy z
J
=
. (8.33)
, , .
(dx, dy, dz)
-
144
dx(1+ex), dy(1+ey) dz(1+ez) . ,
1V V V = ,
(1 ) (1 ) (1 )x y zV dx dy dz = + + + .
,
( )x y zV dxdydz = + + e .
x y zVe
V = = + + . (8.34)
, e . , ( e ) - .
8.
, , - . - , .
E = . (8.35)
(107-). , ( 1 ) , (108-). , , .
11 ,I
E =
12 ,I
E = 13
I
E = (8.36)
2 0 , 1 3 0 = = (109-).
-
145
107- , ,
,
21 ,II
E =
2
2 ,II
E =
2
3II
E =
(8.37) ,
, 3
1III
E = ,
32III
E = , (8.38)
3
3III
E =
108- 109-
, (8.36), (8.37( (8.38) - , .
10661
-
146
( )1 1 2 3
1E
= + ,
( )2 2 3 11E
= + , (8.39)
( )3 3 1 21E
= + .
, - (110-).
110- ( z)
, xzxz G = ,
, xz . , - .
( )1x x y zE = + xy
xy G
= , ( )1y y z xE
= + yz
yz G
= , (8.40)
( )1z z x yE = + xz
zx G = .
(8.39), (8.40) .
9. ( 1 0 , 2 0 , 3 0 )
. ,
-
147
. , x dx dz x dx .
12 x x
dy dz dx .
- .
, xy dx dz xy dy ,
12 xy xy
dx dz dy
,
( )12 x x y y z z xy xy yz yz zx zx
dU dx dy dz = + + + + + .
(8.41) ,
( dV dx dy dz= ) .
( ) ( )2 2 2 2 2 20 1 122 2x Y z x y y z z x xy yz zxdUUdV E G
= = + + + + + + +
(8.42)
( ) ( )2 2 2 2 2 21 2 3 1 2 2 3 3 11 122 2o xy yz zcU E G = + + + + + + + (8.43)
, U0 .
0V
U U dV= (8.44) -
(U) (U) . -, .
-
148
( )1 2 31 2
6okU
E = + + , (8.45)
2 2 21 2 2 3 3 1
16
U . (8.46)
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 21 16 2 x y y z z x xy yz zxU G + = + + + + +
(8.47) i
i i .1-.
, 10 (111-). ( ): 10,00110,001.
101010 () ( : 6 21 10 / , 0,32E). , (0,001). 1000 .
..
, 3 .2
31000 1000 /
1PA
.
111-
-
149
, , ,
1 2 = . , ,
41 2
10,001 10 1 1010
= = = .
, . 1 2 =
[ ]1 1 2 31 ( )E
= + 1 3
1 2 1E
+
= = .
,
6 42
1 21 10 1 10 0,32 1000 324 /
1 0,32.
.2-. ,
, .
112-
3-. =20 (202020) , 24 z (112-). - 0,18. = ,x yN N ,
24000zN . . ( 1 2 3 f f ) .
-
150
9-.
,
. , , .
1. ,
. , , , . , , .
(, , ..) , . , . , , .
, (, , . .) , .
) (1>2>3) ;)
; ) i,
i i, i ii (1=a 1=) , - [] ;
) (
-
151
, ) - , .
, () .
2. () ,
. : 1)
. , : , , . , , . , , , , . , .
2) , .
. . , XVII . (1833 .) (1856 .) . , .
, 1>2>3 , max > 1. ,
1 = [] (9.1)
[] - .. .
, -
-
152
1686 , 1826 , - 1837 , 1839 . .
( )max 1 1 2 31E
= = + ,
maxmax E
= .
, i
( )max 1 2 3 = + . :
( ) [ ]1 2 3 + (9.2) .
i , . , , .
. . - - . 1773. i . , , (tmax) . , .
i.
( )max 1 312
=
(113-).
-
153
( )
113- . -
.
1 31 12 2
. (9.4)
,
max ,2 = [ ] [ ]
2
= . (9.5)
(9.3) (9.4) ,
[ ]max (9.6)[ ]1 3 (9.6)
. . , , . , (1885.), . .
, (1904 .), (1913 .) (1923 .) - .
-
154
- .
, :
( ) ( ) ( )2 2 2max 1 2 2 3 3 116
UE + = + + + (9.7)
i
21 26
U (9.8)ii :
[ ]max U U (9.9)
21 26
U (9.10)
(9.6) (9.9)
( ) ( ) ( ) [ ]2 2 21 2 2 3 3 112
+ + (9.11)
3. .
, , . . , . , .
1 3 (9.12) :
-- ;
-
155
- .
a - i, .
ii , ii i ( ).
4. . ,
:
. (9.13)
- () ; [] - ; , :
max 1I ,
max 1 2 3II E ,
max 1 32III ,
2 2 21 2 2 3 3 1
12
IV ,
1 3 .
(9.14)
-
156
10-. ( )
. () . . .
1. ,
, . , (114,,-). , , , .
xM M Sin= , yM M Cos= (10.1)
114-
, ,
ix y
y xM Sin CosJ J
= +
(10.2)
-
157
, . i , .
0x y
y xSin CosJ J
+ = xy
Jy x tqJ
= . (10.3)
, ii .
- 12
1kk
=
. 1=tg, 2 xy
Jk ctgJ
= ,
, J = J . x yI I 1
2
1kk
. , ,
. , , ,
x yI I= ,
.
* * , :
maxyx
x y
M xM yJ J
= + . (10.4)
ii :
[ ]yxx y
M xM yJ J
+ . (10.5)
i , ( ), i .
-
158
2.
, i , .
( , )P pA x y i (115,-).
i , (115,-). :
,x PM P y x (10.6) ,
, - , . , (N=) ,
x
x
M yJ
= y
y
M xJ
= .
115- , i ii
-
159
pPi
x y
P x xP y yPJ J
(10.7)
. , , . ,
1 0p Py y
y y x xJ J
(10.8)
. i.
1 ,cA
= ,P
y
X bJ
= p
x
ya
J= (10.9)
i (10.8) i
0ay bx c+ = (10.10)
, ii - (116-).
2 2
COCa b
2 2
2 2
1
P P
x y
OCy xJ J
, ( ).
-
160
116- , ,
, , . , . , , . , , .
k(**) (116-), .
*
max1 P P
x y
y y x xPJ J
(10.11)
ii
[ ]max (10.12)
3. , , ,
, i i , . ,
-
161
, , . , , , , . , , , . , .
, , ii (117, 117,-).
117-
(z z) (118-) , . . , (119-), . , i, i .
11661
-
162
118-
() (Q) ,
N , Q SJ b
(10.13)
119- , i ( )
, .
MNW
, *M Q S
W J b (10.14)
, , - . , i i .
-
163
11-.
, . - .
- ( - ) . , , , .
1.
() . , . i, ( ) .
, , . ( ) , - . .
1.- . (120-) , , . :
1 , 2 , 3 , 4 .
, , .
-
164
120-
, , . iii i () 121- i.
121-2.- i. ii (122-)
i , . i i , - .
122-, ii i ii
i i, i .
-
165
- iii i 123- i.
123-
3. . , . , , , , (124-).
124-
, i i , .
2. -i , (
) i - . , , i, .
-
166
(-) ii, , . , , , i. i , , , . , , , ( ) .
i, , , (125-).
125-
(125,-) 125,- . , . (125,-),
-
167
i , , i . , 125,- . i (126,-).
126- . i ii, , , i i (126,-). , i ii .
i, i i i i . i-ii i iiiii (127-). ii ii , i m-m i , i n-n i i.
126-
i i ii. i,
-
168
/ (126,-) . i, i ( ) , ii ( ) . i, i i i i. i i, ii i ii i . i, i i .
127-
, - , . :
- , , ;
- , (128-).
128-
-
169
i, - ( ) , 1- i , , -1 -1 . , 2- i , 3- i, .
, ( ) . , , (--, - -) i. , . , , , i , .
129-
, 129- ) ) i
, )
-
170
, i. .
3. ii -
, . i, S , - . i i . =3, .
S = 3+2(-3) = 2 - 3.
, Si < 2 - 3 , . , (130-) i . i i i, i (130,-). (130,-), , .
130-
, 2 3iS k . ,
. , (131-). iii () i 2 3iS k= , ii () i 2 3iS k , .
-
171
131-
, - . , . , - .
: 1. .2.
, - .3.
, .
4. . . ,
( , ..) - .
, - , -3 , n = -3
-
172
, 132- , - .
132-
() , , , n = 3 - 3 = 0. , . () . , , L, LD , , , N, Q, M . . , 6. : n = 6 - 3 = 3. , , - 3, .
() - n = 6 - 3 = 3.
. - , . . , ) - , , ) . . , ()
-
173
. , , .
M() = 0, M() = 0.
, , . , n- , , n , n . n , . , .
133-
, ( ), () .
-
174
, (, ) . , (133,-) , , . , (133, - ).
X1, 2, X3, X4 5 (133,-) .
5. . -
. , ( ) :
- - ,
- ,- (X1, 2, X3, ... X)
, . , . , , ,
- , .
, (134,-). . . , , . = 3 + 1 + 3 = 7 : n = - 3=7 -3 = 4. n = 4- , .
134,-
-
175
. , . 134,- .
134 ,
. ik . , - .
, (*) . , , . 1 , 2, 3 . , , ,
1 (1 , 2, 3, ... ) = 0 (11.1)
( P, q, ... 1 , 2, ...) (1) .
-
176
2 (1 , 2, 3, ... ) = 0, 3 (1 , 2, 3, ... ) = 0 , (11.2) 4 (1 , 2, 3, ... ) = 0. 2 -
, 3 - . , 4 - . ,
4 (1 , 2, 3, ... ) = 0. () ,
.
1 (1 , 2, 3, ... ) = 1 1 + 1 2 + ... + 1 = 0 ...................................................... (11.3)4 (1 , 2, 3, ... ) = 4 1 + 4 2 + ... + 4 = 0
Xi ixk . Xk , = 1,
ixk = ik . (11.4) , Xi
ixk = ik (11.5)
, (3) .11X1 + 12X2 + 13X3 + 14X4 + 1p = 0 21X1 + 22X2 + 23X3 + 24X4 + 2p = 0 (6)31X1 + 32X2 + 33X3 + 34X4 + 3p = 041X1 + 42X2 + 43X3 + 44X4 + 4p = 0
. - ,
-
177
11X1 + 12X2 + . . . + 1X + 1p = 0,21X1 + 22X2 + . . . + 2X + 2p = 0,. . . . . . . . . . . (11.7). . . . . . . . . . .1X1 + 2X2 + 43X3 + X + p = 0.
(11.7) .
ik ( = 1) , ( ) . . , , . ( ).
6.
.1- . (135,-)
, .
135 -
( =6-3=3)
12661
-
178
(135,-). 135,- . .
11X1 + 12X2 + 13X3 + 1q = 0,21X1 + 22X2 + 23X3 + 2q = 0,31X1 + 32X2 + 33X3 + 3q = 0.
-, , , .
(I) , . - , . 1=1, 2=1, X=1 (136-).
11 . ,
11 = 3
1 11 1 1 2 20( 2 2 2 2 2 )
2 3 3lM M l l l l l l
EI EI EI
= + = .
136-, 12 -
,
-
179
3
112 21
3lM M
EI EI
= = .
.
13 = 24l
EI, 1q =
46qlEI
, 12 = 21, 22 = 3
3lEI
,
23 = 2
2lEI
, 2q = 4ql
EI, 31 = 13, 33 =
3lEI
, 3q = 310
3qlEI
.
20lX1-3lX2+12X3=18ql2,
-6lX1+2lX2-3X3= -6ql2,
24lX1-3lX2+18X3=20ql2.
, . : 1=1,083ql, 2= -0,34ql, 3= -0,39ql2. .
.
137-
(1, 2, 3) (137-), . (137,-).
-
180
138-
, (138-). , . , .
MA=2,166ql2+0,34ql2-0,39ql2-2ql2=0,16ql2.
, ( , ) . .
2- . (139,-). , , CD . , EI=const. : P=120 kH, r=200 c.
139-
, (RA, HA, MA, RB) .
-
181
(139,-), , , . .
11X1 + 1p = 0 (11.8)
(11, 1p) , . , , CD .
, . , , , =1 .
-CD : M1 = z2,- : M1 = z3 = r =rsin = r(1+sin) :-CD : Mp = -P(z2-r/2) = -P/2(2z2-r),- : Mp = -P(z3-r/2) = -Pr/2(1+2sin),
.
11 = 2
2 21 1 2 2
0 0
1 1 1 (1 sin )r
l
M M dz z z dz r rdEI EI EI
= + + .
3
11(28 9 ) 4,69
12r
EI EI += =
/22
1 1 2 2/2 0
1 1 Pr( (2 ) ( 2sin ) (1 sin )2 2
r
p pl r
PM M dz z r z dz r r rdEI EI
= = + + + 3 3
11( 3) Pr Pr3,07
2EI EI += =
-
182
3 3
1 1Pr4,69 3,07 0 0,65 78 .B
r X X R P kHEI EI
= = = =
. z = 0; HA = 0,y = 0; RA P + RB = 0, RA = 42 kH.MA = 0; RB2r -P1,5r +MA = 0, MA = 48kH. , (
) : 1. . 2. . 3. . 4. . 5.
. 6. ,
. 7.
, .
7. -
. :
- , , - , - , - .
- , , , .
- , ,
-
183
- , - , - .
, .
, (140-). : , (N) , ( ) , , () (Qx, Qy) .
140-
.
4.1. (141,-).
( 0-0) .
:
1) , S=9-3=6.,
.
-
184
141-
2) . 141, , .
141,- , , , . , () . , 141,- , (1, 2, .... 6) , .
3) 142- .
142-4) .
-
185
10,
n
ij j ipj
X =
+ =
i = 1, 2, . n, n = 6.5)
. (143-).
( ij ) - -, 143- , : 12 13 15 0 = = = =L .
, . , - .
11X1 + 14X4 + 1 = 041X1 + 44X2 + 4 = 022X2 + 23X3 + 25X5 + 26X6 + 2 = 032X2 + 33X3 + 35X5 + 36X6 + 3 = 052X2 + 53X3 + 55X5 + 56X6 + 5 = 062X2 + 63X3 + 65X5 + 66X6 + 6 = 0
143-
, .
-
186
, . , , . (144,-). , (144,-)
1 = 0, 4 = 0., 1= 0, X4 = 0.
: , , , .
144-
, , , .
145- , 145-
.
-
187
4.2.
, . , , - , .
, (146,-) .
146,-, 146,- . , Zi - 146,- , :
X1 = Z1 + Z2 , X4 = Z1 Z2,X2 = Z3 + Z4 , X5 = Z3 Z4,X3 = Z5 + Z6 , X6 = Z5 + Z6.
, i .
146-
1- . 147- . . h a= .
-
188
, 147,- . 147,- .
- : X1 X3 = HA ; - : X2 = RB; - : X3 X1 = HC.
147-
. 11X1 + 12X2 + 13X3 + 1 = 0,21X2 + 22X2 + 23X3 + 2 = 0,31X1 + 32X2 + 33X3 + 3 = 0.
(148-).
148-
-
189
. 3
1153
aEI
= , 3
12 4aEI
= , 3
22 12aEI
= , 23 0 = , 13 0 = ,
3
333aEI
= , 3
1316p
PaEI
= , 3
211192p
PaEI
= , 3
3 16pPa
EI = .
X1 = 0,017P, X2 = 0,64P, X3 = - 0,021P.
, ( ) (HA, RB, HC) , (149-), .
( ) 150- .
149-
HA=X1 X3 = 0,038P, RB = X2 = 0,64P, HC = X3 X1 =0,004P.
-
190
150-
, RA, RC H .
0;z = 0A B CH H H + = 0,034BH P= ,
0AM = ; 0,5 0,64 2 0CP a Pa R a + = PRC 07,0= , 0;CM = 1,5 0,64 2 0AP a Pa R a = 0, 43AR P= .
.
0;y = 0,07 0,43 0,64 0P P P P+ = .
2-. (N, Q, M) (151,-).
():- ,
, n = 9-3 = 6,- 151,- ,- 151,-,- 151-;- ;
, (X1, X2, X3) .
-
191
151- 11X1 + 12X2 + 13X3 + 1 = 0,21X2 + 22X2 + 23X3 + 2 = 0,31X1 + 32X2 + 33X3 + 3 = 0.
152-- ,
152-.- .
-
192
111196
EI =
, 12
652EI
= ,
13218EI
=,
22565,3
EI =
, 23
148EI
= ,
3352EI
=,
192
p EI =
, 2
1376p EI
=,
3324
p EI =
.- ,
. X1 = - 4,961, X2 = - 4,237, X3 = 14,970.
153-
.
) , , (153-),
) , (153-) , (154-).
:
-
193
- : 1=0+0+14,97=14,97;- : M2=24,8+0-
14,97=9,83;- : M/2=M2. (3,4,5,6)
, .
154-
) , .
, (154-) . - - .
- .
- (1-2-3-4 )
13661
-
194
14,97 9,83 4,23 9,83 8,46 8,165 5 8 02 2 2
+ + .
8. ,
, , . . (155,-).
. (155,-). , (155,-), , (155,,-).
, , .
155- .
156- .
-
195
156,- . , 156,- . (1 3 5) , (2, 4 6) .
11X1 + 12X2 + . . . + 16X6 + 1 = 0,21X1 + 22X2 + . . . + 26X6 + 2 = 0,. . . . . . . . . . . (*). . . . . . . . . . .61X1 + 62X2 + 63X3 + 66X6 + 6 = 0.
(*) - ,
11X1 + 13X3 + 15X5 + 1 = 0,31X1 + 33X3 + 35X5 + 3 = 0, ()
51X1 + 53X3 + 55X5 + 5 = 0. 22X2 + 24X4 + 26X6 + 2 = 0,
42X2 + 44X4 + 46X6 + 4 = 0, () 62X2 + 64X4 + 66X6 + 6 = 0.
156-
-
196
:-
(158,-), 1 0,p = 3 0,p = 5 0p = 1=0, X3=0, X5=0;
- ( ), 2 0,p = 4 0,p = 6 0p = , 2=X4=X6=0;
- , .
, , , .
, . , . (157,-) .
1-. (157,-) , . EIx, GI .
157-
. () , . () -
-
197
, , , - .
157,- . .
11X1 + 1 = 0.
(158,,-).
158-
.
111 1 1 12 2 1 1 2 2 1 1 4
x x
l l lEI EI EI EI
,
21
2 1 2 1 41 2 12p x
Pl l Pl l PlEI GI EI GI
.
1( 4 )
4( )x
x
Pl GI EIXGI EI
.
,
1 1,3;xEIGI
1
416,2 0,674
4 2,3 41
x
x
EIGIPl PlX PlEIGJ
.
-
198
159- .
159-
-
199
12-. .
. .
1. . , .
2. () . , : , (160,-). (160,-).
3. . ; , , .
4. . - . , .
1. ii ii, ()
, i (160,-) . i ii i i . i i , , i , iii i . , i . i, i ii i.
-
200
160-
i i . i , ii , ii . i .
, ( ii i ) . :
1. , , , . .
2. , , . , , , i .
3. , , . , .
4. , , .
-
201
.
i ii ii , i i (i) .
2. i i
h c (161- ).
ii m, ii ( i ) t ii. - ii iii (161,-).
, m t i - . i (161,-) i ds1 ds2 i (162-).
161-
i m t i i. m , , t i.
-
202
162-
i i, 162- i i i . m h ds2 t h ds1. , i i ( 1 2P ds ds ) i. i , i i
1 2 2 1 0m tP ds ds h ds d h ds d = .
1m
dsd
= , 2t
dsd
=
m t
m t
Ph
+ = (12.1)
i ii. i i
. i, i i i, i iii ii (163-). ii i ii .
i i i i i- i
-
203
(12.2) i m i ,
(12.3)
163- iii i (2.1) t i . , i
i i i . , ii i-ii . , i .
i , i i .
1-i . i , , i i () i , ii ii i , () i i iii .
() i i (164-) ii. ii i . i .
Px = cos d. ()
-
204
i i i ii . d- i
, i ( ) d/=dcos,
= d
/ = / . ()
64- , ii i
i, i , i . , i.
2-i . i (165-), ii i
165-
-
205
iii d i ii i i, i , d/.
i = x , d i i x d/ .
i ii , x d/ - d i i . , ii i , i i . , i .
3. i -
1-. R, h ii i (166,-). i . i m = t = R i ii
