វិញ្ញសាត្រៀមប្រលង Bacc II ទី២

វញញា សារ តរៀមរលង មធយមទរយភម IIBacc

.I តេតោយចននកផលច 1 2cos sin & sin cos

3 3 4 4Z i Z i

។

ក. សរតសរ 1Z នង

2Z ជាទរងពជេណរ នង ជាទរង រតោណមារ ។ ខ. េណនា

1 2.Z Z នង 1

2

Z

Zជាទរង រតោណមារ ។

េ. ទាញរករមមលពរាកដមន 11cos

12

នង 11sin

12

។

.II ក. ត ោះសរសាយសមោរ ''( ) : 9 0E y y ។ ខ. ចររកចតមលើយ ( )f x តបើោបមនចតមលើយ ប ោះបនាា រ ( ) : 1D y x រង x ។

.III តេតោយអនេមន 10 8( )

1

x

x

ey f x

e

។

ក. េណនាលមរ lim ( )x

f x

នង lim ( )x

f x

។ ខ. េណនាឌតផរ ងសសយល dy រចទាញរក រមមលឌតផរ ងសសយលតនោះ រង

0 ln 2x ។ .IV កនងលហរតេតោយរលង ( ) : 2 4 0P x y z នងរលង ( ) : 2 4 0Q x y z ។

ក. សរតសរសមោរប រ មមរមនបនាា រ ( )L មដលរសពវត យរលងទាងពរ ត យយក ;y t t IR ។ ខ. តាងវចទរ pn ជាវចណរមា លរបសរលង ( )P នង វចទរ Qn ជាវចណរមា លរបសរលង ( )Q ចរេណនា p Qn n រចទាញបញញា កថា វចទរតនោះសរសបនង បនាា រ ( )L ។ េ. េណនាកអត តនរចនច ; A B នង C មដលជាចនចរសពវរលង ( )P ជាមយនងអកស ; ox oy នង oz រចេណនាកលាមផារតោណ ABC ។ ឃ. េណនាចងាយពរេលររយតៅរលង ( )P នង ទាញរកមាឌតរតាមអរ OABC ៕

.V តេតោយអនេមន f កនរតលើ IR ត យ 2( ) 1x

f x e x មានោប ( )C ។ ក. េណនាលមរ ( )f x ោលណា x នង x ។ ខ. េណនា នង សកាសញញា ' ( )f x ។ បងាា ញថា f មានអរបបរមាមយ រចរករមមលអរបបរមាតនាោះ ។ េ. បងាា ញថា បនាា រ ( ) : 1L y x ជាោសមររតទរមនោប ( )C មផែក នង បញញា កថា ោប ( )C តៅតលើបនាា រ ( )L ។ ឃ. េណនា ( )f x ោលណា {0;3;4}x ។ ចរេសបនាា រ ( )L នង សងោប ( )C ។ ង. េណនាកលាមផា ( )S a តៅចតនាល ោះោប ( )C នង បនាា រ ( )L តលើ [ ;0]a ។ ទាញរករមមល រមហល

មន ( )S a ោលណា a ។ តេតោយ 3

22ln 2 0,7 ; 4, 4 ; 7,3e e ។

វញញា សារ តរៀមរលង មធយមទរយភម IIBacc .I តេឪយសមោរឌតផរ ងសសយល '' 2( ) : 4 12 8 2E y x x ។

ក. កណរពហធា 2( )P x ax bx c មដល , a b នង c IR មដលរវរក ។ ខ. បងាា ញថាតបើ f ជាចតមលើយមន ( )E តនាោះ ''( ) 4( ) 0f p f p ។ េ. ត ោះសរសាយសមោរ ' ''( ) : 4 0E y y រចទាញរក ( )g x ជាចតមលើយមនសមោរ ( )E មដល '(0) (0) 0g g ។

.II តេឪយចននកផលច 2 3 2 3W i ។ ក. េណនា 2W ជាទរងពជេណរ នង ជាទរង រតោណមារ ។ ខ. ទាញយក W ជាទរង រតោណមារ ។ េ. ទាញរករមមលាកដមន 7

cos12

នង 7sin

12

។

.III តេតោយអនេមន ln1

xy

x មដល 0x ។

ក. េណនាលមរ 0

limx

y

នង limx

y

។

ខ. េណនាឌតផរ ងសសយល dy

dx នង

2

2

d y

dx ។

េ. សមលកតនាម 2

3 2

2.d y dy

x x xydx dx

។ .IV កនងលហរតេតោយរលង ( ) : 2 7 0P x y z នងរលង ( ) : 2 1 0Q x y z ។

ក. សរតសរសមោរប រ មមរមនបនាា រ ( )L មដលរសពវត យរលងទាងពរ ត យយក ;y t t IR ។ បងាា ញថា ចនច (2; 3;0)M សថរតៅតលើបនាា រ ( )L ។ ខ. ចររកវចទរាបទសមនបនាា រ ( )L នង សរតសសមោរឆលោះមនបនាា រតនោះ ។ េ. កណរម មដលបបពផរវាងរលង ( )P នង ( )Q ។

.V តេតោយអនេមន f កនរតលើ ] 2; [ ត យ 1( ) ln(2 4) 2

2f x x x មានោប ( )C ។

ក. េណនាលមរ ( )f x ោលណា 2x នង x នង ទាញរកោសមររឈរ ។ ខ. េណនា នង សកាសញញា ' ( )f x ។ បងាា ញថា f មានអរបរមាមយ រចរករមមលអរបរមាតនាោះ ។ េ. សងតារងអតេភាព តាងអនេមន f ។ ឃ. េណនា ( )f x ោលណា { 1;4;10}x រចសងោប ( )C ។ ង. េណនា តដរតវ ( ) ( 2)[ 1 ln(2 4)]F x x x ។ េណនាកលាមផា S តៅចតនាល ោះោប ( )C នង អកស ោបសសតលើចតនាល ោះ [0;10] ។ តេតោយ ln 2 0,7 ; ln4 1,5 ; ln12 2,5 , ln 24 3 ។


.I តេមានអនេមន 2( ) 1 xf x e មានោប 1( )C នង អនេមន 2( ) 1 xg x e មានោប

2( )C ។ ក. េណនាកអត តនមនចនច A រសពវរវាងោប

1( )C នង 2( )C ។

ខ. សរតសរសមោបនាា រ 1( )L នង

2( )L ប ោះោប1( )C នង

2( )C តរៀងគនន ។ បងាា ញថាបនាា រទាងពរមកងគនន ។ .II តេឪយចននកផលច ( 6 2) ( 6 2)Z i នង

1

x iyW

i

។

ក. េណនា 2Z ជាទរងពជេណរ នង ជាទរង រតោណមារ ។ ខ. សរតសរW ជាទរងពជេណរ ។ កណរ x នង y ត យដងថា 22. 0W Z ។

.III តេតោយសមោរឌតផរ ងសសយល '' '( ) : 4 4 20E y y y x ។ ក. កណរពហធាដតកទមយមដលជាសមោរមន ( )E ។ ខ. កណរ ( )f x ជាឬសសមោរ ' '' '( ) : 4 4 0E y y y តបើអនេមន f មានរមមលបរមាតសមើ 2(1)f e ។ េ. បងាា ញថាតបើ f ជាចតមលើយមន ( )E តនាោះ f g ជាចតមលើយមន '( )E ាសមកវញតបើ f g ជាចតមលើយមន '( )E តនាោះ f ជាចតមលើយមន ( )E ។

.IV កនងលហរតេតោយរលង ( ) : 2 5 0P x y z នងបនាា រ ( ) : 3 2 ; 1 ; 3 , L x t y t z t t IR ក. េណនាកអត តនរចនចរសពវរវាងរលង ( )P នង បនាា រ ( )L ។ ខ. កណរម បនពរសពវរវាងរលង ( )P នង បនាា រ ( )L ។ េ. សរតសរសមោររលង ( )Q មដលោរតាមចនច ( 8; 1;8)A តហើយសរសបនងរលង ( )P រចេណនាចងាយ រវាងរលងទាងពរ ។

.V តេតោយអនេមន f កនរតលើ ] ; 1[ ]1; [ ត យ ( 1)( ) ln

1

e xf x

x

មានោប ( )C ។

ក. េណនាលមរ1 1

lim ( ) ; lim ( ) & lim ( )x x x

f x f x f x

នង ទាញរកោសមររឈរ ។ ខ. េណនា នង សកាសញញា ' ( )f x រចបងាា ញថា f ជាអនេមនចោះ តបើ ( 1)( 1) 0x x េ. បងាា ញថា ោប ( )C យកចនច (0;1)M ជាផចរឆលោះ ។ ឃ. សងតារងអតេភាព តាងអនេមន f នង េណនា ( 2)f នង (2)f រចសងោប ( )C ។ ង. តរោបខាងតលើ ចររកចននឬសមនសមោរ ( )f x m តាមរមមលប រ មម រ m ។

វញញា សារ តរៀមរលង មធយមទរយភម IIBacc .I តេមានអនេមន 1( ) xf x e មានោប

1( )C នង អនេមន ( ) 1 lng x x មានោប 2( )C ។

ក. បងាា ញថាោប 1( )C នង

2( )C ប ោះគនន រងចនច (1;1)A ។ ខ. សរតសរសមោរបនាា រ( )L ប ោះមខសតោងទាងពររងចនច A ។

.II ចរតោណមកងមយមានបតណាោ យ នង ទទង តរៀងគនន x នង y មដលផលបកបតណាោ យតសមើនងពរដងទទង តសមើនង 2008m ។ ក. េណនា x នង y តដើមបតោយកលាមផាចរតោណមកងតនោះធបផរ ។ ខ. េណនាកលាមផាធបផរតនោះ ។

.III តេមានសមោរ 2( ) : 4(1 cos ) 8(1 cos ) 0Z x a x a មដល a មានរមមលតៅកនងោដងទមយ ។ ក. ចរត ោះសរសាយសមោរតនោះកនងចននកផលច ។ ខ. សរតសរឬសទាងពរជាទរង រតោណមារ ត យបញញា កម ឌល នង ោេយម ង ។

.IV តេតោយអនេមន ( ) 2 tanf x x កណរតលើ 0[0;45 ] ។ ក. កណរ m នង M រមមលអមមន ' ( )f x តលើ 0[0;45 ] ។ ខ. ត យតរវសមភាពកតនើនមានកណរតលើ 0[0;45 ] សរសាយថា tan 2x x x ។

.V កនងលហរតេតោយបនចនច (3; 2;2); (6;1;5); (6; 2; 1)A B C នង (0;4; 1)D ។ ក. បងាា ញថា ABC ជារតោណមកងរង A រចេណនាកលាមផារបសវា ។ ខ. សរសាយថា បនាា រ ( ) ( )AD ABC ។ េ. េណនារមវងអងករ AD នង មាឌចរមខ ABCD ។ ឃ. េណនារមវងអងករ ; DB DC នង BC រចរកមសដលផត យជង DB នង DC ។

.V តេតោយអនេមន f កនរតលើ ] ; 2[ ]2; [ ត យ 2( ) 1 ln

2

xf x x

x



lim ( ) ; lim ( ) & lim ( )x x x

f x f x f x

នង ទាញរកោសមររឈរ ។ ខ. េណនា នង សកាសញញា ' ( )f x រចបងាា ញថា f ជាអនេមនតកើន តបើ ( 2)( 2) 0x x ។ េ. បងាា ញថាបនាា រ ( ) : 1L y x ជាោសមររតទរមនោប ( )C រង ។ ឃ. សងតារងអតេរភាពមន f នងសងបនាា រ ( )L នង ោប ( )C ។ ង. តរោប ( )C ខាងតលើ ចររកចននឬសមនសមោរ ( )f x m តាមរមមលប រ មម រ m ។


.I តេតោយចននកផលច 2

1

z ia ib

z

មដល z x iy ។

ក. េណនារមមល a នង b ជាអនេមនមន x នង y ។ ខ. សរសាយបញញា កថា តបើ 0b តនាោះតេទាញបនបនាា រមយរវកណរ នង តបើ 0a តនាោះតេទាញបន រងវងមយមដលរវកណរ ផចរ I នង ោ R ។

.II តេតោយអនេមន sin ; ( )

;

x xf x

ax b x

មដល a នង b ជាចននពរ ។

ក. កណរទនាកទនងរវាង a នង b តដើមបតោយ f ជាប រង x ។ ខ. េណនាចននពរ a នង b តដើមបតោយ f មានតដរតវរង x ។

.III តេតោយអនេមន ( )2

x xe ef x

នង ( )

2

x xe eg x

មដលកណរតលើ IR ។

ក. សកាភាពេរ នង ភាពតសសមន f នង g រចបញញា កភាពឆលោះមនោបតាងអនេមនទាងពរ ។ ខ. សរសាយបញញា កថា x IR តេបន 2 2[ ( )] [ ( )] 1f x g x ។ េ. សរសាយបញញា កថា x IR តេបន ( ) ( )g x f x ។

.IV កនងលហរតេតោយរលង ( ) : 2 2 2 0P x y z នងរលង ( ) : 2 2 4 0Q x y z ។ ក. បងាា ញថារលងទាងពរតនោះសរសបគនន រចេណនាចងាយរវាងរលងទាងពរតនោះ ។

ខ. តេតោយសមោរប រ មម រ 1 3

( ) : 3 2 ;

3 2

x t

L y t t IR

z t

។ រកកអត តនមនចនច A នង B មដល

ជាចនច រសពវរវាង បនាា រ ( )L នង រលងទាងពរ តរៀងគនន ។ េ. សរតសរសមោរមសវ ( )S មដលមានផចរសថរតៅតលើបនាា រ ( )L នង ប ោះរលងទាងពរ ។

.V តេតោយអនេមន f កនរតលើ ]0; [ ត យ 2( ) ( ) 2f x nx nx មានោប ( )C ។ ក. រកលមរចងមដន រចបញញា កថា ោប ( )C មានោសមររឈរមយ ។ ខ. សកាសញញា ' ( )f x តាមរមមល x ។ បញញា កថា f មានអរបបរមាតធៀបមយ នង កណរអរបបរមាតធៀប រច េសតារងអតេរភាពតាងអនេមន f ។ េ. រកេអត តនចនច I មយសថរតៅតលើោប ( )C តបើ 1Ix ។ សរតសរសមោរបនាា រ ( )L ប ោះោប ( )C រងចនច I ។ ឃ. ចរត ោះសរសាយសមោរ ( ) 0f x រចសងោប ( )C នង បនាា រ ( )L កនងររយ ( ; ; )o i j ។ ង. ចរត ោះសរសាយសមោរ 2( ) 2nx nx k តាមរមមលប រ មម រ k ។ តេតោយ 2 7,3e ។


.I តេតោយចននកផលច 2 2 ; 2A BZ i Z នង 2 2CZ i ។ ក. តៅចននកផលច , &A B CZ Z Z កនងរលងកផលច ( ; ; )o i j ។ ខ. រកចននកផលច

DZ តដើមបតោយចរតោណ ABCDជារតលឡោម ពមទាងតៅ DZ កនងរលងកផលច

( ; ; )o i j ។ េ. តេតោយ 6EZ នង F A

E B

Z Zi

Z Z

កណរ

FZ នង តៅ EZ នង

FZ កនងរលងកផលច ( ; ; )o i j ។

ឃ. េណនា AE នង AF រចេណនា ម E AF រចបញញច ក រតភទរតោណ AEF ។

.II តេតោយអនេមន 2sin

. ; 0( )

2010 ; 0

xa x

f x x

x b x

មដល a នង b ជាចននពរ ។

ក. កណរចននពរ b តដើមបតោយ f ជាប រង 0x ។ ខ. េណនាចននពរ a តដើមបតោយ f មានតដរតវរង 0x ។

.III តេតោយអនេមន ( ) sinxf x e x នង ( ) cosxg x e x មដលកណរតលើ IR ។ ក. េណនា ' ( )f x នង '( )g x ។ ខ. បងាា ញថា ' ' 2 2[ ( ) ( ) ] [ 2 ( ) ]f x g x f x ។

.IV តេតោយអនេមន f កនរតលើ ]0; [ ត យ 2 1( )

x nxf x

x


ក. រកលមរចងមដន រចបញញា កថា ោប ( )C មានោសមររឈរមយ នង តដកមយ។ ខ. សកាសញញា ' ( )f x តាមរមមល x ។ បញញា កថា f មានអរបបរមាតធៀបមយ នង កណរអរបបរមាតធៀប រច េសតារងអតេរភាពតាងអនេមន f ។ េ. បងាា ញថាោប ( )C មានចនចរបរមយ មដលរវកណរកអត តនរ ។ ឃ. កណរកអត តនរចនច J មដលជាចនចរសពវរវាងោប ( )C នង ោសមររតដក ។ ចរសរតសរ សមោរបនាា រ( )L ប ោះោប ( )C រង ចនច J ។ ង. សងោប ( )C នង បនាា រ( )L កនងរលង ( ; ; )o i j ។ ច. រកកលាមផា S េរជា 2cm ខណឌ ត យោប ( )C នង ោសមររតដកតលើ 2[1 ; ]e ។

តេតោយ 1

2 1,6e នង 1 0,4e ។ .V តេមាន េប ABCDEFGH មដលមានទនងតសមើ 1 ។ ចនច I ជាចនចកណាោ ល EF នង ចនច K ជាផចរ

ោតរ ADHE ។ ក. េណនាកអត តនរចនច , , , , , , , ,A B C D E F G H I នង K ។ ខ. បងាា ញថា BK IG IA ទាញរកកលាមផារតោណ AGI ។ េ. េណនាមាឌតរតាមអរ ABGI នង ទាញរកចងាយពចនច B តៅរលង ( )AGI ។

វញញា សារ តរៀមរលង មធយមទរយភម IIBacc .I តេមានអនេមន 2( )f x ax bx c មានោប

1( )C នង អនេមន 1( )g x

x មានោប

2( )C ។ ក. កណរចននពរ , a b នង c តបើតេដងថាោប

1( )C នង 2( )C ប ោះគនន រងចនច (1;1)A នង ោរគនន

រងចនច ( 1; 1)B ។ ខ. សរតសរសមោរបនាា រ( )L ប ោះមខសតោងទាងពររងចនច A ។

.II ក សោរងមយសនលករងចរតោណមកងមានវមារទាងពរ 80cm នង 60cm ។ តេោរោតរចននបន មាន ជងរមវង x ប នៗគនន តាមជងមនមសកងរបសចរតោណមកង តដើមបបរជារអបមយគនា នេរប ។ ក. បងាា ញថាមាឌរអបតនោះេ 3 2( ) 4( 65 1000 )V x x x x ។ ខ. កណររមមល x តដើមបតោយរអបតនោះមានមាឌអរបរមា ។

.III តេតោយអនេមន 2 3

( )2

x xf x

x

មានោប ( )C មានមដនកណរ { 2}D IR ។

ក. សរតសរ f ជារង ( )2

cf x ax b

x

មដល , a b នង c រវរក ។

ខ. បងាា ញថា ] 1;0[x តេមានចននពរ m នង M មដល '( )m f x M ។

េ. ត យតរវសមភាពកតណើ នមានកណរ បងាា ញថា ] 1;0[x តេបន 25 7 3

2 14 4 2

x xx x

x

.IV តេមានបចនច , A B នង C តហើយសាលវចទរ 2 3 4 AB i j k នង 6 2 2 AC i j k ។ ក. បងាា ញថាបចនច , A B នង C បតងក ើរបនរតោណមយ រចេណនាកលាមផារបសវា ។ ខ. តបើចនច M កណាោ ល BC ចរេណនា វចទរ AM នង រមវងអងករ AM ។ េ. េណនាកអត តនរចនច B , C នង M តបើ ចនច (0;0;1)A ។ ឃ. េណនាកអត តនរចនច Dជាចនចឆលោះមនចនច A តធៀបនងចនច M ។ ង. េណនាមាឌតរតាមអរ ABCD ។

.V តេតោយអនេមន f កនរតលើ IR ត យ 2

4 4( )

xf x

x


ក. រកលមរចងមដនរចបញញា កថាោប ( )C មានោសមររតដកមយ។ ខ. សកាសញញា ' ( )f x តាមរមមល x ។បញញា កថា f មានអរបបរមាមយនងអរបរមាមយរចកណរ

បរមាតនាោះ ។ េ. េសតារងអតេរភាពតាងអនេមន f ។ ឃ. សរតសរសមោរបនាា រ ( )L ប ោះោប ( )C រងចនចមដលមានោបសសសម 0 ។ ង. េណនា ( 2)f រចសងោប ( )C នង បនាា រប ោះ ( )L ។

80 2x x

50 2x


.I តេឳយចននកផលច 1 3

1 3

iW

i

។

១. កណរចននពរ x នង y មដល W x iy ។ ២. កណរម ឌល នង ោេយម ងមនចននកផលច W ។ ៣. េណនា 3W ជាទរង រតោណមារ រចជាទរងពជេណរ ។

.II តេតោយសមោរឌតផរ ងសសយល '( ) : 4 4cosE y y x ។ ក. កណរចតមលើយសមោរឌតផរ ងសសយល ' '( ) : 4 0E y y ។ ខ. កណរចននពរ a នង b មដលអនេមន ( ) cos sing x a x b x ជាចតមលើយមនសមោរ ( )E ។

.III តេមានអនេមន f កណរត យ 2

3 2

5 20 6( )

2

x xf x

x x x

។

1. សរតសរ ( )f x ជារង 2

( )1 ( 1)

A B Cf x

x x x

មដល , A B នង C ជាជននតេររវកណរ ។

2. េណនា 2

3 2

5 20 6

2

x xdx

x x x

។

.IV ក. តេមានអនេមន f កណរតលើ IR ត យ 1

; 1( ) 4

3 2 ; 1

xf x

x x

។

តរើអនេមន f មានតដរតវរង 1x មដរតទ ?

ខ. ត យតររបមនោ 0

1lim 1

h

x

e

h

ចរេណនា

1lim

1

x

x

e e

x

រចទាញរកបនាល យភាពជាបមនអនេមន

( )1

xe eg x

x

។

.V តេតោយអនេមន f កនរតលើ ]0; [ ត យ 1( ) 1

nxf x x

x

មានោប ( )C កនងររយ ( ; ; )o i j ។

ក. សងតារងអតេរភាពមនអនេមន 2( ) 2 lng x x x (មនាបចេណនាលមរតទ) រចសកាសញញា មន ( )g x តលើ ]0; [ ។ ខ. េណនា

0lim ( )x

f x

នង lim ( )x

f x

។

េ. សកាទនាកទនង '

2

( )( )

g xf x

x ។ សងតារងអតេរភាពមន f ។

ឃ. បងាា ញថា បនាា រ ជាោសមររតទរមន f ។ ង. រកចនចរសពវរវាងោប ( )C នង បនាា រ ( )L ។ បញញា កទតាងមនោប ( )C នង បនាា រ ( )L នង សង មខសតោង ( )C ។ ច. េណនាមផាមដលខណឌ ត យ ោប ( )C នង អកសោបសសតលើចតនាល ោះ [1 ; ]e ។

.VI តៅកនងររយអររនមា ល (0; ; ; )i j k មនលហរមានទសតៅវជាមាន ។តេតោយចណច (1;2;1)A (0;2;3)B ។ ក. សរតសរសមោរបនាា រប រ មម រ ( )L ោរតាមចណច A មានវចទរាបទស AB ។ ខ. រកសមោររលង ( )P មដលមកងនងវចទរ AB ោរតាម ចណច (0;3;2)C ។

េ. រកកអត តនចណចរសពវរវាងរលង ( )P នង បនាា រ ( )L ។ ឃ. េណនា AB AC រចេណនាកលាមផារតោណ ABC ។ ង. េណនាមាឌតរតាមអរ OABC នង ចងាយពេលររយតៅរលង ( )ABC ។ ច. រកចងាយពចណច C តៅបនាា រ ( )L ។


.I ១.) តេតោយចននកផលច 2 2cos sin

5 5z i

។

ក. េណនា 5z រចទាញរករមមលពរាកដមនកតនាម 2 3 41W z z z z ។ ខ. សរតសរ 4(1 )z ជាទរង រតោណមារ ។

២.) ត ោះសរសាយសមោរ 2007 20082007 2008 log ( . ) log

2007 2008z z

iz i z z

i

។

.II កមហ នមយតជសតរសបេលកចលបតរោរងារ ចនន 3នាក កនងចតណាមបេលក កពាកយ 32នាក ។ កនង តនាោះមានសតសោ 20នាក ។ ក. រករបបមដលតជសបនសតសោទាង3នាក ។ ខ. រករបបមដលតជសបនសតសោ 2 នាក នង បរស 1នាក ។ េ. រករបបមដលតជសបនសតសោ 1នាក នង បរស 2 នាក ។

.III h ជាអនេមនពហធាកណរត យ 3 2( ) 3 2 1h x x x x ។ ក. េណនាតដរតវទមយ 'h x នង តដរតវទពរ ''h x ។ ខ. បងាា ញថា ចតពាោះេប [1 ;2]x តេបន '1 ( ) 2h x េ. កណរអនេមនលតនមអ រ f នង g មដលតផាៀងផទា រ ចតពាោះេប [1 ;2] ( ) ( ) ( ) x f x h x g x ។

.IV តេឳយ 21

0

cos

1 2sin

xI dx

x

នង 2

20

sin 2

1 2sin

xI dx

x

។

ក. េណនា 1I នង 1 2I I ។ ខ. ទាញរករមមល 2I ៕

.V តេតោយអនេមន f កនរតលើ ]0 ; [ ត យ 1 1( )

1

xf x n

x x

មានោប ( )C កនងររយ ( ; ; )o i j ។

ក. េណនាតដរតវទមយ ' ( )f x រចរកទសតៅអតេរភាពមន f ។ ខ. េណនាលមរមន f រង 0 នង ។ េ. សងតារង អតេរភាព នង ទាញរកសញញា មន f ចតពាោះ ] 0 ; [x ។ ឃ. សងសខសតោង ( )C កនងររយ ( ; ; )o i j ។ ង. យក ( )g x ជាអនេមន កណរតលើ ] 0; [ ត យ 1

( )x

g x x nx

។ ចរកណរ 'g x រចតរ

សនរខាងតលើទាញរកអតេរភាពមន g តលើ ] 0; [ ។ ច. តផាៀងផទា រថា g h k ត យ h នង k ជាអនេមនកណរតលើ ] 0; [ ត យ (1 )

( )n x

h xx

នង

1( )k x

x ។

.VI តៅកនងររយអររនមា ល ( 0 ; ; ; )i j k មនលហរមានទសតៅវជាមាន ។ តេតោយចណច (1;1;1)A (2;0;3)B , ( 1;2;0)C នង (2;4;2)D ។ ក. សរតសរសមោរបនាា រប រ មម រ ( )L ោរតាមចណច A មានវចទរាបទស AB ។

ខ. េណនា n AB AC រចទាញរកកលាមផា រតោណ ABC ។ េ. សរតសរសមោររលង ( )ABC ។ ឃ. េណនា .AB AD នង .AC AD ទាញថា [ ]AD ជាកពសមនតរតាមអរ ABCD ។

ង. េណនា AD នង មាឌតរតាមអរ ABCD ។


.I តេឳយចននកផលច 1 3

2(1 ) 2

iZ

i

។

១. កណរចននពរ x នង y មដល Z x iy រចសតសរជាទរង រតោណមារ ។ ២. េណនា 100Z ត យតោយលទធផលជាទរងពជេណរ ។ ៣. ត ោះសរសាយសមោរកនងសនកផលច 2 3 1 0Z Z ។

.II ក.) តផាៀងផទា រថា 2( ) x xg x e e ជាចតមលើយមនសមោរ '' '( ) : 2 xE y y e ។ ខ.) ត ោះសរសាយសមោរ ' '( ) : ( 2 ) 0F y y ។ តាង ( )f x ជាចតមលើយមន ( )F ។ េ.) បងាា ញថា ( ) ( )y f x g x ជាចតមលើយមនសមោរ ( )E ។

.III ក. េណនាលមរ 0

1 sin 3lim

x

x

e x

x x x

នង

0lim

1x

x

n x

។

ខ. េណនា 2 'xy x y ត យដងថា xe nx

yx

។

. )IV a កណរចននពរ , A B នង C តដើមបតោយ 2 2

2 1

( 1) 1

x A B C

x x x x x

ចតពាោះេប x មដល 0; 1x x ។

)b េណនាោងតរោល 2

21

2 1

( 1)

xK dx

x x

។

.V មានចននពរ a នង b តហើយ g ជាអនេមនកណរតៅតលើ ] 0 ; [ ត យ ln( )

xg x ax b

x ។

ក. កណរចននពរ a នង b តដើមបតោយមខសតោងតាងអនេមន g ោរតាមចណច (1;0)A នង រង ចណចតនោះមានបនាា រប ោះសរសបនងសមោរបនាា រ 2y x ។ យក ln

( ) 1x

f x xx

កណរតលើ ] 0 ; [ ។ ខ. យក 2( ) 1 lnh x x x កណរតលើ ] 0 ; [ ។ .a េណនា 'h តហើយទាញរកទសតៅអតេរភាពមន h ។ .b សងតារងអតេរភាពមន h តហើយាបសញញា មន ( )h x ។ េ. េណនា 'f x តហើយរកទនាកទនងរវាង 'f x នង h x រចទាញរកសញញា 'f x ។ ឃ. កណរលមរមន f រង 0 នង រចសងតារងអតេរភាពមន f ។ ង. ោប ( )C តាងអនេមន f កនងររយអរនរតម ( 0 ; ; )i j នង មានសមោរបនាា រ( ) : 1L y x ។ .i បងាា ញថា បនាា រ L ជាអសមររតទរមន f ោលណា x ខរជរ ។ .ii សកាទតាងតធៀបរវាង ោប C នង បនាា រ L ។ .iii សងសខសតោង C នង បនាា រ L កនងររយអរនរតម ( 0 ; ; )i j ។

.VI តៅកនងររយអររនមា ល ( 0 ; ; ; )i j k មនលហរមានទសតៅវជាមាន ។ តេតោយចណច (3; 5; 2)A ( 2; 4; 1)B , ( 1;3;0)C , (0; 2;0) ; ( 2;4;2) ; ( 2;0;1)D E u នង (3; 3; 2)v ។ ក. សរតសរសមោររលង ( )P ោរតាមចណច B នង សរសបនងវចទរ ; u v ។ ខ. សរតសរសមោររលង ABC នង ADE នង បងាា ញថារលងទាងពរសរសបគនន តហើយសរសបនងរលង ( )P ។

េ. សរតសរសមោរបនាា រប រ មម រ ( )L មដលមកងនងរលង ( )P ោរចណច A ។

វញញា សាររលង 2007Bacc II .I (10) តេឳយចននកផលច ( 3 1) ( 3 1)A i នង

1

x iyB

i

មដល x នង y ជាចននពរ ។

១. សរតសរ 2A ជាទរង ពជេណរ នង ជាទរង រតោណមារ ។ ២. សរតសរ B ជាទរងពជេណរ ។ រកចននពរ x នង y ត យដងថា 22 0B A មដល B ជាចននកផលចឆលល សមន B ។

.II (15) តយើងមានសមោរ '( ) : ln 3 0E y y ។ ក. រកសនចតមលើយមន ( )E ។ ខ. កណរ f មដលជាចតមលើយមន E ត យដងថា (1) 2f ។ េ. បងាា ញថា 1( ) 3xg x ជាចតមលើយមន ( )E ។ សមាល '( ) ( ) lnx xU x a U x a a ។

.III (15) ក. កណរចននពរ , a b នង c តដើមបតោយ 2

2

2 2

( 1) ( 2) 1 1 2

x x a b c

x x x x x

ចតពាោះេប x មដល

2; 1x x ។

ខ. េណនាោងតរោល 2

0

21

2 2

( 1) ( 2)

x xJ dx

x x

៕

.IV (15) ១. េណនាលមរ 2

ln 1lim , 0

x

x

e xx

x

។

២. េណនាតដរតវ មន ln( 1) , 1xy e x x ។ ទាញរកពមទវមនអនេមន 1( ) ln( 1)

1

xx e

f x e xx

ត យដងថា (0) 1f ។ .V (35) តៅកនងររយអររនមា ល ( 0 ; ; ; )i j k មនលហរមានទសតៅវជាមាន ។ តេតោយចណច (0;0;3)S នង

វចទរ (1;1;1)u ។ ក. សរតសរសមោរប រ មម រមនបនាា រ L មដលោរតាមចណច S តហើយសរសបនងវចទរ u ។ ខ. ចណច ; ;M x y z សថតៅកនងរមយ ( 0 ; ; ; )i j k ។ េណនា ផលេណ .u SM ។ កណររកសមោរ មយមដលជាបទាកទងនង , ,x y z តដើមបតោយវចទរ SM អរកណាលនងវចទរ u ។ តរើសនចណចM ជាអវ? េ. តេឳយចណច 3;0;0A នង 0;3;0B ។ បងាា ញថារតោណ SABជារតោណសមងស ។ ឃ. េណនាផលេណ SA SB រចទាញរកកលាមផា រតោណ SAB ។ ង. រកសមោរមសវមដលមានផចរ O តហើយោរតាមចណច ,S A នង B ។

.VI (35)តេតោយអនេមន f កនរតលើ ] ;0[ ]1; [ ត យ 1( ) ln

2

x xf x

x



lim ( ) ; lim ( ) & lim ( )x x x

f x f x f x

នង ទាញរកោសមររទាងពរ ។ ខ. េណនា នង សកា ' ( )f x តបើតេដងថា ( 1) 0x x ចតពាោះេបx D ។ េណនារមមលអរបរមា នង

អរបបរមាមន f នង សងតារងអតេរភាពមន f ។ េ. បងាា ញថា បនាា រ :

2

xL y ជាោសមររតទរមនមខសតោង ( )C ។

ឃ. សងោសមររទាងអស នង មខសតោង ( )C តៅកនងរមយអរណរមា ល មយ ។ ង. រករមមល a តដើមបឳយសមោរ 1

ln2

x xa

x

មានឬសពរអវជាមានតផសងគនន ត យតរោប ( )C ។

តេឳយ 1ln 2 0,7 ; ln ln 2 0,7

2 ។

វញញា សារ តរៀមរលង មធយមទរយភម IIBacc .I តេឳយតារងអតេភាពមនអនេមន ( )y f x ដចខាងតោម ៖

x 3 2 2 3 ' ( )f x ( )f x

ក. រកមដនកណរមនអនេមន f រចកណរលមរចងមដន នង ោសមររឈរ ។ ខ. កណរចណច អរបរមា នង អរបបរមា មនអនេមន f ។ េ. សងោប ( )C តាងអនេមន f តបើោសមររ តទរមន f េ 2y x ។

.II ១.)មានអនេមន 22 5 2x xg x e e ។ ក.) ត ោះសរសាយសមោរ ( ) 0g x ។ ខ.) សកាសញញា '( )g x ។ ២. ) តេយកអនេមន 1

( )2( 1)x

f x xe

មានោប ( )C ឯកតាតលើអកសេ 1cm ។

ក. រកមដនកណរមន f ។ េណនាលមចងមដន រចបញញា កោសមររឈរ ។ ខ. បងាា ញោប ( )C យកបនាា រ 1( ) :L y x នង 2

1( ) :

2L y x ជាោសមររតទរ ។

េ. េណនា 'f x ជាអនេមនមន ( )g x ។ បងាា ញថា f មានអរបបរមាមយ នង អរបរមាមយ ។ េណនារមមលអរបបរមា នង អរបរមាតនាោះ ។ ឃ. សងតារងអតេេរភាពមន f នង សងបនាា រ 1( )L , 2( )L នង ោប ( )C កនងររយមរមយ ។ តេតោយ 1

ln ln 2 0,72 ។

.III ១. តេមាន h ជាអនេមនកណរតលើ IR ត យ ( ) (1 ) 1xh x e ។ េណនា ' ( )h x នង សងតារងអតេរភាពមន h (ត យមនបចេណនាលមរចងមដនតទ )។ ២. តេមាន f ជាអនេមនកណរតលើ IR ត យ ( ) (2 ) 2xf x e x ។ ក. េណនាលមរ lim ( )

xf x

នង lim ( )

xf x

។ េណនា ' ( )f x ។ ត យតរលទធផលសនរទ១ ចរទាញរក

សញញា ' ( )f x រចេសតារងអតេរភាព មន f ។ ខ. បងាា ញោប ( )C យកបនាា រ ( ) : 2L y x ជាោសមររតទរ រចបញញា កទតាងរវាងោប ( )C នង បនាា រ ( ) : 2L y x ។ េ. រកចនច ( ; )M x y តៅតលើោប ( )C តបើបនាា រប ោះរងចណចតនោះសរសបនងបនាា រ( )L រចសរតសរបនាា រ ប ោះ ( )T តនោះ ។ ឃ. បងាា ញថា ោច ( )C មានចណចរបរមយ នង េណនាចណចរបរតនោះ ។ ង. េស ( ), ( )L T នង សងោប ( )C កនងររយមរមយ ។

7

3

.IV តេតោយមសវ 2 2 2( ) : ( 3) ( 2) ( 1) 100S x y z នង រលង ( ) : 2 2 9 0P x y z ។ ក. ទាញរកផចរ I នង ោ R មនមសវ( )S ។ ខ. សរតសរសមោរប រ មម រ ( )L ោរ I នង មកងរលង ( )P ។ េ. បងាា ញថា មសវ ( )S រសពវនង រលង ( )P បនរងវង ( )C មយ ។ ឃ. េណនាផចរ J នង ោ 'r មនរងវង ( )C ។

.V I r

P

(S)

M J

R (C)

វិញ្ញសាត្រៀមប្រលង Bacc II ទី២

Education

Transcript of វិញ្ញសាត្រៀមប្រលង Bacc II ទី២