㼄䀄㸄堄㔄㨄䈄㠄㈄㴄〄ጄᔄḄᰄᔄ∄ ᠄ࠄင 

䀄〄㈄㴄㠄 

ሄ㬄〄㐄㠄䘄〄 င㴄㐄䀄㔄堄㠄嬄 

⌄ᴄ᠄ሄᔄ ᜄ᠄∄ᔄ∄ ⌄ ᄄᔄḄጄ ငᐄ⌄ᰄင∄ᔄᰄင∄᠄✄ᨄ᠄ ␄ငᨄ⌄ᬄ∄ᔄ∄ᄄᔄḄጄ ငᐄ ㈀　㘀⸀

Владица Андрејић

ПРОЈЕКТИВНА ГЕОМЕТРИЈА

РАВНИ

Верзија: (12-09-2016)

УНИВЕРЗИТЕТ У БЕОГРАДУМАТЕМАТИЧКИ ФАКУЛТЕТ

БЕОГРАД 2016.

р Влаица Анрејић, доцент на Математичком факултету у Београду

ПРОЈЕКТИВНА ГЕОМЕТРИЈА РАВНИ

©2016. Владица АндрејићОво дело заштићено је лиценцом Creative Commons CC BY-NC-ND 4.0(Attribution-NonCommercial-NoDerivatives 4.0 International License). Дозвољеноје умножавање, дистриуција и јавно саопштавање дела, под условом да се наведеиме аутора. Употреа дела у комерцијалне сврхе није дозвољена. Прерада,преоликовање и употреа дела у склопу неког другог није дозвољена.

Садржај

Предговор iv

Увод v

1 Основна теорија 11.1 Аксиоматски метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Аксиоме пројективне равни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Интуитивна пројективна раван . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Аналитичка пројективна раван . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Коначна пројективна раван . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Дезаргово тврђење . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7 Пројективни простор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.8 Пројективитети . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.9 Аналитичка пројективна права . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.10Дворазмера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.11Папосово тврђење . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.12Конике Папосове равни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.13Пројективна колинеација . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.14Хармонијска четворка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.15Колинеација реалне пројективне равни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.16Фиксни елементи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.17Инволуције . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.18Конике реалне пројективне равни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501.19Корелације . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2 Напредна теорија 582.1 Координатизација пројективне равни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.2 Координатизација Дезаргове равни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.3 Латински квадрати . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.4 Егзистенција коначних равни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3 Зирка синтетичких задатака 743.1 Дезаргова теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.2 Пројективитети . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.3 Колинеације . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.4 Перспективне колинеације . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.5 Перспективне афиности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.6 Штајнерове конике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.7 Паскалова и Бријаншонова теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 923.8 Разни задаци . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

iii

4 Зирка аналитичких задатака 1014.1 Хомогене координате, дворазмера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.2 Пројективитети . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.3 Колинеације . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.4 Конике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Литература 121

Индекс појмова 125

iv

Предговор

Ова књига настала је на основу вишегодишњег искуства које је аутор стекаодржећи предавања и веже на Математичком факултету у Београду. По тренутноважећој акредитацији намењена је студентима који прате курсеве Геометрија 4 иГеометрија 5.

Предмет изучавања ове књиге је пројективна геометрија или прецизнијегеометрија пројективне равни. Теорију заснивамо синтетички тако што постепеноуводимо аксиоме и строго формално доказујемо одговарајуће теореме. Паралелносе служимо аналитичким методама да и посматрана својства демонстрирали унајважнијем специјалном случају реалне пројективне равни.

Књига оухвата четири главе. У првој глави излажемо основну теорију која семоже чути на предавањима. Друга глава садржи напредну теорију која излажекомпликованије примере и мотивише читаоца на самосталан рад увидом у многетешке пролеме из ове оласти. Последње две главе представљају зирку задатака,при чему су у трећој глави решени синтетички, а у четвртој глави аналитички задаци.Зирка садржи задатке који су рађени на вежама, као и оне који су се појављивали наколоквијумима и испитима, док многи задаци представљају оригиналан рад аутора.Књига садржи велики рој слика које су креиране помоћу програма GCLC.

у Београду 2016.В. Андрејић

v

Увод

Пројективна геометрија проистекла је из практичног пролема геометријске(линеарне) перспективе у уметности, а која подразумева цртање илузије просторнедуине, онако како то реално видимо. Геометријска перспектива заснива се наприродном закону да се удаљавањем од посматрача ликови смањују сразмерноудаљености. И математичари и уметници или су заинтересовани за принципе оветехнике, те су почели да изучавају основе које стоје иза њих. Уметници су илизаинтересовани за паралелне праве које конвергирају и секу се у недогледу, док јематематичаре занимала теорија која ће да оухвати те принципе.

Пројективна геометрија вуче корене из ране ренесансе у Италији, када јеоткривена геометријска перспектива, што је оставило далекосежне последице наразвој сликарства ренесансе. За изумитеља геометријске перспективе сматра сеБрунелески1, али заслуге носи и његов савременик Алерти2 који је анализираоприроду сликања и истраживао елементе перспективе и композиције.

Два од неколико најзначајнијих догађаја у историји геометрије догодила су секасних тридесетих година 17. века у Француској. Један је откриће и систематскаупотреа координата за коју су заслужни, независно један од другог, Декарт3 [22]и Ферма4 [27]. Координате су омогућиле интензивну употреу алгере и анализеу основама и развоју геометрије, те је тако настала аналитичка геометрија. Другидогађај је прво изучавање фигура које су перспективно инваријантне за шта језаслужан Дезарг5 [20], а што је даље условило настанак пројективне геометрије.

Дезарга можемо сматрати оснивачем пројективне геометрије. Он је увео појамесконачно далеке тачке, иако се тај појам независно појавио раније код Кеплера6у [40, стр. 93]. Дезарг је написао књигу о перспективи, као и књигу о конуснимпресецима, а поставио је и славну теорему која носи његово име. Његов рад наконикама утицао је на Паскала7 да као шеснаестогодишњак постави веома значајнутеорему. Приличан допринос пројективној геометрији 17. века дао је и Ла Ир8.

Дезаргова књига о конусним пресецима [20] сматра се за његову најважнијукњигу, као и за прву књигу из пројективне геометрије уопште. Она није иланамењена продаји, штампана је у само 50 примерака који су или подељени његовимпријатељима, али су урзо ишчезли. Било је потрено да прође два века да једнаод копија (коју је направио Ла Ир) уде поново пронађена. Додатно, Дезарговомраду је недостајала јасноћа изражавања, тако да многи нису могли у потпуностида разумеју његове идеје. Бољем разумевању свакако није допринело то што јеуместо многих математичких термина користио отаничке изразе (палма, стало,

1Filippo Brunelleschi (1377–1446), италијански архитекта, вајар и инжењер2Leon Battista Alberti (1404–1472), италијански архитекта, сликар и филозоф3René Descartes (1596–1650), француски филозоф и математичар4Pierre de Fermat (1601–1665), француски математичар и правник5Girard Desargues (1591–1661), француски математичар и инжењер6Johannes Kepler (1571–1630), немачки астроном и математичар7Blaise Pascal (1623–1662), француски математичар, физичар и филозоф8Philippe de La Hire (1640–1718), француски математичар и астроном

vi

дрво, пањ, …[16]). Све то утицало је да Дезаргов рад не уде превише цењен ван кругањегових пријатеља и колега. Кад ту додамо успешан развој аналитичке геометрије изаокупљеност математичара овом дисциплином, не чуди превише што је пројективнагеометрија остала нетакнута више од века.

За даљи развој пројективне геометрије заслужан је Монж9 који је крајем 18.века издвојио нацртну геометрију као посену математичку дисциплину и можесе рећи да је ио први прави геометричар. Почетак 19. века донео је уђењеи успон пројективне геометрије. Како наш визуелни свет има геометрију лижупројективном неголи еуклидском простору, математичари су почели све више даверују у есконачно далеке тачке, доживљавајући основне концепте геометрије каопројективне. Лепота и елеганција пројективне геометрије постепено је привуклагеометричаре, који су похрлили у ту златну ризницу и рзо извукли најприступачниједрагоцености. Неочекиване и заорављене геометријске идеје које су датирале из 17.века, али и оне из античког доа попут Папосове10 теореме, поново су откривене идуље истраживане.

Оснивач модерне пројективне геометрије ио је Понселе11, који је преузео идејесвог учитеља Монжа и разрадио их на вишем апстрактном нивоу. Он је 1822.године у свом чувеном Тракау [59] изучавао осоине које остају инваријантне подпројекцијама, а његов рад садржи све основне идеје карактеристичне за пројективнугеометрију, као што су хармонијска четворка, перспективитети, пројективитети,инволуција, а такође је увео есконачно далеку праву дуж које се секу међусонопаралелне равни.

Пројективна геометрија постала је синоним за модерну геометрију 19. века, а упочетним деценијама главне улоге играли су геометричари из Француске и Немачке.Поред Понселеа, францускушколу пројективних геометричара заступали су Карно12,Сервоа13, Жергон14, Бријаншон15 и Шал16, док су Немачку представљали Меијус17,Штајнер18, Пликер19 и Штаут20.

Значајна ствар у пројективној геометрији зила се касних двадесетих година 19.века када су уведене хомогене координате, за шта су сасвим независно заслужниМеијус, Фојерах21, Боијије22 и Пликер. Хомогене координате и њихова предностда лепо представљају есконачно далеке тачке, омогућило је плодну применуаналитичке методе у пројективној геометрији. Пројективној геометрији тако семогло приступити на два начина, аналитички и синтетички.

Аналитичари су радо употрељавали аналитичке и алгеарске технике из другихоласти математике, док су геометријске релације изражавали преко координатаи једначина. Уводне радове у аналитичку пројективну геометрију дали су Меијуси Пликер, а поред њих, у групу геометричара који су фаворизовали аналитичкиприступ спадају Шал, Кејли23 и Салмон24.

Синтетичари су или инспирисани Аполонијем25 и заступали чисто геометријскеметоде. Водич им је ила интуиција, а логика инструмент за строго формалнорезоновање, док су изегавали алгеру и мерења. Водећи геометричари који

9Gaspard Monge (1746–1818), француски математичар10Папос из Александрије, Πάππος (3. век н.е.), грчки математичар11Jean-Victor Poncelet (1788–1867), француски инжењер и математичар12Lazare Nicolas Marguerite Carnot (1753–1823), француски политичар, инжењер и математичар13Francois-Joseph Servois (1767–1847), француски свештеник и математичар14Joseph Diaz Gergonne (1771–1859), француски математичар15Charles Julien Brianchon (1783–1864), француски математичар и хемичар16Michel Chasles (1793–1880), француски математичар17August Ferdinand Möbius (1790–1868), немачки математичар18Jakob Steiner (1796–1863), швајцарски математичар19Julius Plücker (1801–1868), немачки математичар и физичар20Karl Georg Christian von Staudt (1798–1867), немачки математичар21Karl Wilhelm Feuerbach (1800–1834), немачки математичар22Étienne Bobillier (1798–1840), француски математичар23Arthur Cayley (1821–1895), ритански математичар24George Salmon (1819–1904), ирски математичар и теолог25Аполоније из Пергама, Ἀπολλώνιος (3. век п.н.е.), грчки математичар и астроном

vii

су фаворизовали синтетички приступ или су Понселе, Карно, Штајнер, Штаути Кремона26. Штајнер је проучивши сву тада постојећу литературу у Европи,систематски и синтетички изградио пројективну геометрију и поставио јој темељекао самосталној науци. Након тога, Штаут [66] је у потпуности прихватио строгиприступ и покушао да теорију заснује само на аксиомама инциденције, док су његовипретходници говорили о метрици, угловима и другим ојектима који немају улогу упројективној геометрији.

Шал, који се није лиио да користи аналитички приступ и суштински иоаналитичар, ранио је синтетички приступ. За њега се може рећи да је мислиоаналитички, али је своје доказе излагао геометријски, што је ио коминованиприступ који су касније употрељавали и други математичари [41, стр. 850]. Укоминовани метод можемо укључити и оригиналност коју је испољио Ли27, који јемислио синтетички док је резултате желео да презентује аналитички [68, стр. 54].

Еуклидови28 Елемени или су прва аксиоматизација математике. Међутим, текпред крај 19. века, они су доживели строге преправке које су попуниле многе рупеу дефиницијама и доказима. Највећи утицај на математичку јавност у оластиаксиоматике остварио је Хилерт29, написавши Основе еомерије [37]. Крајем 19.века развој пројективне геометрије ио је готово потпуно заокружен захваљујућирадовима које су дали Фано30 и Пјери31, а у којима су аксиоматски засновалипројективну геометрију по узору на Штаута.

За даље читање и продуљивање знања и историје пројективне геометријепрепоручујемо следеће ауторе: Коксетер32 [18], Хјуз33 и Пајпер34 [38], Хартсхорн35[34], Велен 36 и Јанг37 [71], Рихтер-Геерт38 [62], Клајн39 [41], Хејтинг40 [36],Страум41 [68].

Што се тиче развоја пројективне геометрије на подручју ивше Југославије,напоменимо да су први аутори или Ниче42 [54] и Првановић43 [61]. Још некиаутори на нашим просторима су: Митровић44 [50], Бокан45 и Вукмировић46 [9].Међутим, концептуално и суштински, можемо препоручити Пројекивну еомеријукоју је написао Палман47 [55].

Што се тиче практичне примене пројективне геометрије у задацима, на нашимпросторима постоји неколико зирки задатака. За синтетички приступ може секонсултовати Алимпић48, Бокан и Шнајдер49 [1], а за аналитички Вукмировић иСтанић50 [70].

26Luigi Cremona (1830–1903), италијански математичар27Marius Sophus Lie (1842–1899), норвешки математичар28Еуклид из Александрије, Εὐκλείδης (3. и 4. век п.н.е), грчки математичар29David Hilbert (1862–1943), немачки математичар30Gino Fano (1871–1952), италијански математичар31Mario Pieri (1860–1913), италијански математичар32Harold Scott MacDonald Coxeter (1907–2003), ританско-канадски математичар33Daniel R Hughes (1927–2012), америчко-ритански математичар34Fred C Piper, ритански математичар35Robin Hartshorne (1938), амерички математичар36Oswald Veblen (1880–1960), амерички математичар37John Wesley Young (1879–1932), амерички математичар38Jürgen Richter-Gebert (1963), немачки математичар39Morris Kline (1908–1992), амерички геометричар40Arend Heyting (1898–1980), холандски математичар и логичар41Eldar Jens Straume (1946), норвешки геометричар42Vilko Niče (1902–1987), хрватски геометричар43Милева Првановић (1929–2016), српска геометричарка44Милан Митровић, српски математичар45Неда Бокан (1947), српска геометричарка46Срђан Вукмировић (1971), српски геометричар47Dominik Palman (1924–2006), хрватски геометричар48Бранка Алимпић (1935), српска математичарка49Загорка Шнајдер (1926–2003), српска математичарка50Зоран Станић (1975), српски математичар

viii

Глава 1

Основна теорија

1.1 Аксиоматски методРазвој математике неизежно је пратила човекова жеља да систематизује

сопствена знања. Ова тенденција посено је упечатљива код античких Грка,где кулминира систематизацијом геометрије у Еуклидовим Елеменима. Грчкиматематичари су геометрију постепено претварали у аксиоматску теорију, која кодЕуклида достиже свој коначни олик. Много векова његови Елемени сматрани су замодел савршене математичке теорије, а тек пред крај 19. века, доживели су строгепреправке које су попуниле многе рупе у дефиницијама и доказима.

У теорији нове појмове уводимо ефиницијама, чиме их описујемо преко неких већпознатих појмова. На самом почетку Елеменаа, Еуклид покушава да дефинишесве геометријске појмове којима ће се авити. Међутим, у питању нису строгедефиниције већ само кратка ојашњења елементарних геометријских појмова,изложена са намером да у свести читаоца створе интуитивне представе [48, стр. 41].Да и спречили зачаран круг (дефинисање једног појма преко другог, а тог другогпреко првог, те тако у круг) неке појмове морамо прихватити као основне и њих недефинишемо. Основне појмове делимо у две класе, на основне ојекте (као што сутачке, праве, равни) и основне релације између тих ојеката (као што су инциденција,између, подударност).

Тврђење у аксиоматској теорији је исказ у којем се јављају само основни појмовитеорије као и логички појмови. Аксиоматски метод се користи да пружи поузданеи ојективне резлоге зашто је нека хипотеза о математичким ојектима истинита.Он се заснива на логичко дедуктивној аргументацији која утврђује оказе за некатврђењa у теорији коју посматрамо. Докази тврђења су аргументи азиранина истинитости претходно доказаних тврђења, али како та претходна тврђењатакође захтевају претходно доказана тврђења, морамо изећи есконачни регрес(есконачна хијерархија нових и нових тврђења неопходних за доказивање онихпретходних). Зог тога теорију заснивамо на основним тврђењима која не захтевајудоказ и зовемо их аксиоме теорије. Дакле, тврђење важи ако је у питању аксиома илиуколико је дедуктивно изведено из аксиома, те тада кажемо да је оно еорема (илилема уколико јој је примарна улога да установи значајан корак у доказу неке удућетеореме).

Основни појмови у аксиоматској теорији остају непрецизирани, док аксиомеможемо сматрати њиховим имплицитним дефиницијама. Свако окружење у којемосновни појмови имају интерпретацију у којој све аксиоме теорије важе зовемо моелте теорије. Историјски, арем неки модели аксиоматске теорије претходе теорији.На пример, Еуклид је желео да изегне произвољност у интерпретацији основнихпојмова јер није могао да дозволи да тачке, праве и равни уду интерпретиране ило

1

како другачије до онако како је то чињено у Платоновој1 Академији [48, стр. 43].Међутим, у модерној аксиоматици која потиче од Хилерта, аксиома се више не

посматра као несумњива истина до које стижемо интуицијом. Поента је да ми неизучавамо ојекте, већ релације између ојеката у којима се види сама суштинаматематичког концепта. Према томе, геометријска аксиоматизација подразумевауклањање ило какве зависности од ојеката реалног света са којима је првоитномогла ити повезана. Хилерт је, ако је веровати његовом ученику Блументалу2, подутицајем апстрактног погледа на геометријске појмове изјавио да математичар мораувек ити у стању да уместо ачке, раве и равни, говори солови, солице и криле заиво [7, стр. 402–403].

Наравно, овакав апстрактни приступ није уклонио слике из геометријских књига.Ако је књига доро написана слике могу ити изостављене ез гуитка доследности.Оне нису од суштинске важности, а њихов главни циљ је да нам олакшају памћење,праћење и разумевање сложених доказа. Са друге стране, слике увек прете данас наведу на погрешан пут некоректном употреом просторне интуиције. Морамоити јако оазриви зог ове опасности која је проузроковала многе грешке чак и уодличним радовима из аксиоматике [36, стр. 4].

Уколико изведемо неку теорему у некој аксиоматској теорији, ми смо такођедоказали теореме одговарајуће почетној у свим моделима теорије. На овај начинаксиоматски метод нам дозвољава огромну уштеду на доказима. Свака теорема утеорији је тачна у сваком моделу теорије, али тврђење може ити тачно у некоммоделу, а да није у питању теорема. Посену пажњу у књизи оратићемо на моделетеорије што оправдавају следеће осоине аксиома на које се често фокусирамо.

За аксиоматску теорију кажемо да је нероивречна уколико се из ње не можеизвести логичка контрадикција, односно уколико не постоји неко тврђење за којесу и оно и његова негација теореме у тој теорији. Најлакши начин да докажемонепротивречност теорије је да оезедимо неки њен модел. За аксиому кажемода је независна уколико се не може доказати ни оповргнути из осталих аксиоматеорије. Аксиоматска теорија је независна уколико је свака од њених аксиоманезависна. Независност аксиоме уоичајено се доказује конструкцијом модела укојем важе све аксиоме осим те. Уколико се свако тврђење у теорији или његованегација могу доказати кажемо да је теорија оуна. Дакле, у потпуној теорији непостоји тврђење које можемо додати на систем аксиома и тако доити непротивречнутеорију. Уколико су свака два модела аксиоматске теорије изоморфна (суштински,постоји само један модел теорије) кажемо да је она каеорична. Категоричнатеорија је оавезно потпуна, али орнуто не мора да важи. У неким ситуацијамакатегоричност није захвална осоина јер се теорија не може даље уопштавати.

Пројективну геометрију равни заснивамо као аксиоматску теорију, те најпреуводимо основне појмове. Посматрамо два основна скупа и њих оележавамо са Tи P. Елементе скупа T зовемо ачке и оележавамо великим латиничним словима:A,B,C,D, . . . док елементе скупа P зовемо раве и оележавамо малим латиничнимсловима: a, b, c, d, . . . Између ових скупова уводимо основну релацију I ⊆ T × P којузовемо релација инциенције.

Реченица „Тачка A је инциенна са равом p“ има симолички запис AIp или (A, p) ∈I, а еквивалентно можемо рећи „Права p је инциенна са ачком A“ или записатиpIA. Често се по узору на интуитивну раван, уколико не постоји могућност зауне,користи интуитивни начин изражавања. На пример, претходне реченице можемоисказати са „Тачка A лежи на равој p“ или „Тачка A риаа равој p“, у ознаци A ∈ p,односно са „Права p ролази кроз ачку A“ или „Права p саржи ачку A“, у ознаци p ∋ A.

Уколико тачка A није инцидентна са правом p, можемо писати A�Ip или (A, p) /∈ I. Танегација се интуитивно може исказати уацивањем речце „не“ на одговарајуће место(не лежи, не риаа, не ролази кроз, не саржи), односно записати A /∈ p.

Из полазних појмова дефиницијама можемо доити нове изведене појмове. Акопостоји заједничка права са којом су инцидентне неке тачке, онда за те тачке кажемо

1Платон, Πλάτων (4. и 5. век п.н.е), грчки филозоф и еседник2Ludwig Otto Blumenthal (1876–1944), немачки математичар

2

да су колинеарне. Ако постоји заједничка тачка са којом су инцидентне неке праве,онда за те праве кажемо да су конкуренне. Често имамо потреу да нагласимо тузаједничку тачку или да преко ње оправдамо конкурентност правих, те ћемо рећи дасу праве конкуренне у тој заједничкој тачки.

1.2 Аксиоме пројективне равниЗаконитости које важе између основних појмова у геометрији описују се

аксиомама. Уоичајено је да се најпре поставе аксиоме инциденције (аксиоме везе)које описују основне осоине релације инциденције. У свакој геометрији је такођеуоичајено да се најпре постави следећа аксиома.

Аксиома 1.1. Посоји јеинсвена рава која је инциенна са ве различие ачке.

Ова аксиома заправо је оједињење прве две Хилертове аксиоме. Прве, којакаже да постоји права која пролази кроз две различите тачке, и друге, по којој непостоји више од једне такве праве. За различите тачке A и B, јединствену праву изАксиоме 1.1 која их садржи зовемо сојница ачака A и B и оележавамо са A∨B. Такосмо доили оерацију сајања која двема различитим тачкама додељује одговарајућуправу, њихову спојницу.

Непосредна последица Аксиоме 1.1 је да праву одређују ило које две њене тачке,односно ако су C и D различите тачке праве A∨B, тада су A и B тачке праве C∨D.Такође важи да две различите праве не могу имати више од једне заједничке тачке,односно са две различите праве може ити инцидентна највише једна тачка. Додатно,можемо рећи да су сваке две тачке колинеарне.

Упечатљива одлика пројективне геометрије је симетрија у улогама које играјутачке и праве у дефиницијама и теоремама. Овде до изражаја долази апстрактнипоглед на аксиоматску геометрију, те овој симетрији можемо приступити кроз језик.Свако тврђење у пројективној равни (исказ који укључује тачке, праве и инциденцијуизмеђу њих) може се модификовати тако што речи тачка и права замене места, причему се евентуално изврше потрене граматичке корекције.

Дефиниција 1.1. Дуално врђење неком тврђењу је тврђење које се доија заменомречи тачка и права у почетном тврђењу.

Прецизније речено, реч „тачка“ мења се речју „права“, а реч „права“ мења серечју „тачка“. Важно је напоменути да уколико тврђење садржи додатне терминеморамо извршити и додатне промене у складу са њиховим дефиницијама. Например, за доијање дуалног тврђења морамо у почетном тврђењу узајамно заменитиречи „лежи на“ са „пролази кроз“, „припада“ са „садржи“, а „колинеарно“ са„конкурентно“. Симетрија између скупова T и P коју смо најавили види се крозтакозвани Принцип дуалности.

Тврђење 1.1 (Принци уалноси). Ако је неко врђење еорема, она је њему уалноврђење акође еорема.

Принцип дуалности је метатеорема јер је заправо пре теорема о математицинеголи теорема унутар саме математике. Другим речима, Принцип дуалности јетеорема о теоремама. Доказ ове веома јаке теореме врши се провером дуалнихтврђења за све аксиоме у теорији, које свакако важе уколико је Принцип дуалностина снази. Ако је неко тврђење теорема, то за њега постоји доказ изведен из аксиома.Уколико читав доказ преведемо дуално, доијамо доказ дуалног тврђења расписанпреко дуала аксиома, које се даље расписују преко самих аксиома, одакле следи даје дуално тврђење теорема.

Претходна дискусија говори да Принцип дуалности важи ако и само ако је дуалсваке аксиоме валидан. Како желимо да Принцип дуалности имамо на сталномрасполагању, погледајмо како гласи дуал Аксиоме 1.1 и уведимо га као нову аксиому.

3

Аксиома 1.2. Посоји јеинсвена ачка која је инциенна са ве различие раве.Подсетимо се апсолутне геометрије равни, у којој се уводи појам паралелности,

где кроз тачку ван праве постоји права која не сече почетну праву. У еуклидскојравни постоји тачно једна таква права (Плејферова3 аксиома), док у хипероличкојравни имамо ар две такве праве (аксиома Лоачевског4). Међутим, у пројективнојравни такве праве не постоје, јер Аксиома 1.2 каже да се сваке две различите правесеку, што уједно значи и да нема паралелних правих.

Напоменимо да се Аксиома 1.2 може ослаити тако да гарантује само егзистенцијузаједничке тачке јер јединственост онда следи из раније поменуте осоине Аксиоме1.1. Међутим, како желимо упечатљив поглед на Принцип дуалности одлучили смода као аксиому ипак задржимо директан дуал Аксиоме 1.1.

За различите праве p и q, јединствену тачку из Аксиоме 1.2 која им припада зовемосецише (ресечна ачка) равих p и q и оележавамо са p∧q. Тако смо доили оерацијусечења која двема различитим правама додељује одговарајућу тачку, њихово сециште.Приметимо да су спајање и сечење дуалне операције, односно да су спојница исециште дуални појмови.

Како празни скупови, T = P = I = ∅ очигледно испуњавају ое аксиоме, потренанам је аксиома која гарантује егзистенцију основних ојеката од којих можемо почетида постепено градимо теорију.Аксиома 1.3. Посоје чеири ачке међу којима нема ри колинеарне.

Аксиома 1.3 служи да поред већ наведених празних скупова елиминише још некенеинтересантне случајеве. Уколико важи Аксиома 1.1 и Аксиома 1.2, али не иАксиома 1.3, кажемо да је у питању еенерисана ројекивна раван, а једноставномпретрагом по могућим случајевима, испоставља се да граде две суштински различитефамилије.

Прва фамилија дегенерисаних равни представља се тачком T која није инцидентнаса правом p, тако да постоји произвољан (не нужно коначан) скуп Λ и колинеарнетачке Tα за α ∈ Λ инцидентне са p, као и праве које су спојнице тачке T са сваком одтачака Tα. Строго формално ову фамилију можемо записати са

T = {T} ∪∪α∈Λ

{Tα}, P = {p} ∪∪α∈Λ

{pα}, I =∪α∈Λ

{(T, pα), (Tα, pα), (Tα, p)}.

· · ·

Приметимо да је рој тачака равни из ове фамилије једнак роју правих, те је дуалнараван истог типа.

Друга фамилија дегенерисаних равни представља се са два произвољна скупаиндекса Λ и Σ, тако да су све тачке Tα за α ∈ Λ колинеарне, а све праве pβ за β ∈ Σконкурентне. Формално можемо записати

T =∪α∈Λ

{Tα}, P =∪β∈Σ

{pβ}, I =∪α∈Λ

{(Tα, p)} ∪∪β∈Σ

{(T, pβ)}, за неко T ∈ T , p ∈ P.

· · ·

· · ·

3John Playfair (1748–1819), шкотски научник и математичар4Николай Иванович Лоачевский (1792–1856), руски математичар

4

Посено, у случају Λ = ∅ ̸= Σ имамо само једну праву, односно P = {p}, T = I = ∅,док у случају Λ ̸= ∅ = Σ имамо само једну тачку T = {T},P = I = ∅, те већ виђеноT = P = I = ∅ за Λ = Σ = ∅.

Дефиниција 1.2. Пројекивна раван је модел система (T ,P, I) који испуњава Аксиоме1.1, 1.2 и 1.3.

Систем тачака и правих са релацијом инциденције који испуњава наше аксиомеje пројективна раван, а како смо укључили Аксиому 1.3 можемо рећи да је онанедегенерисана. Погледајмо какав утицај на Принцип дуалности има увођење новеаксиоме. Како су Аксиома 1.1 и Аксиома 1.2 једна другој дуалне остаје проверада ли важи дуал Аксиоме 1.3. Да ли постоје четири праве међу којима нема триконкурентне?

Како по Аксиоми 1.3 постоје тачке A,B,C,D међу којима нема три колинеарне, онесу све различите. По Аксиоми 1.1 постоје праве A∨B, B∨C, C∨D, D∨A, а испоставља седа оне испуњавају тражене услове. Претпоставимо супротно, да међу њима постојетри конкурентне, и нека су, не умањујући општост, A∨B, B∨C и C∨D инцидентне санеком тачком S. Ако је S = B, зог SI(C∨D) имамо колинеарне B,C,D. Иначе је S ̸= B,одакле из SI(A∨B) и SI(B∨C) доијамо A∨B = S∨B и B∨C = S∨B, односно A∨B = B∨C,те су колинеарне A,B,C. Овом контрадикцијом показали смо да уколико је (T ,P, I)пројективна раван, онда је то и (P, T , I), чиме смо доказали наредну теорему.

Теорема 1.2. У ројекивној равни важи Принци уалноси.

Принцип дуалности је веома користан, можемо га механички применити на свакотврђење у теорији и тако доити нове резултате. Некад је резултат еквивалентанпочетној теореми, некада њеном орату, али често је у питању нов резултат, такода у принципу можемо сматрати да се рој теорема на овај начин удвостручује. Кодувођења нових аксиома увек ћемо имати у виду Принцип дуалности (Тврђење 1.1), теза сваку нову аксиому испитати њен дуал.

Откриће Принципа дуалности везује се за двадесете године 19. века и два имена.Принцип дуалности први је експлицитно поставио Жергон у [30] који је уједно иувео термин дуалност да и означио везу између оригиналне и њој дуалне теореме.Са друге стране, Понселе је нешто раније увидео дуалност у вези пола и полареизучавајући конике, о чему је писао у [59], а онда формулисао општији метод у[60]. Између њих двојице уследио је дуг и непријатан спор по питању приоритетана откриће Принципа дуалности. Са становишта модерне аксиоматике Принципдуалности је прилично очигледна ствар, али док је пројективна геометрија ила уповоју није ило коректне формалне теорије, те је тада дуалност ила далеко одочигледног.

1.3 Интуитивна пројективна раванЕуклидски простор, који познајемо из елементарне геометрије, оједињује како

очигледне, тако и оне неочигледне геометријске осоине ојеката који постоје устварном свету око нас. Еуклидска раван тако представља раван дводимензионипростор који даје сложен и прилично доар опис стварног света заснован нанашем геометријском опажању и искуству. Међутим, постојање паралелних правихоповргава Аксиому 1.2, тако да еуклидска раван није пројективна раван.

Еуклидска раван укључује приличан рој ствари које можемо да меримо, попутрастојања, углова и површина. Ако се одрекнемо те метричке структуре и задржимосамо концепт инциденције, остаје нам лепа и нетривијална геометрија афине равни.Нека је E = (TE,PE, IE) еуклидска афина раван, где су TE тачке, PE праве, а IE њенарелација инциденције.

Реализација пројективне равни врши се кроз модел који испуњава дате аксиомеинциденције. Како основни пролем еуклидске равни лежи у Аксиоми 1.2, потреноје измислити неке „имагинарне“ тачке у којима ће се сећи паралелне праве. То

5

можемо остварити тако што за тачке нове равни прогласимо праменове правих уравни E. На први поглед ова конструкција делује прилично апстрактно, али праменконкурентних правих које се секу у некој тачки из TE се природно поистовећујеса том тачком. У еуклидској равни праменови се јављају у два олика, односнопоред праменова конкурентних правих постоје праменови паралелних правих, што једодатак који оживљава Аксиому 1.2. Дакле, тачке нове равни су праменови правих уE, праве ћемо задржати, док нову релацију инциденције уводимо на природан начин.Неки прамен, као тачка нове равни, иће инцидентан са правом уколико је садржи,односно ако је та права једна од правих из почетног прамена.

Свакој правој у овој конструкцији придружујемо додатну тачку која представљапрамен правих паралелних са њом. Тако су паралелне праве инцидентне сазаједничком таквом тачком за коју кажемо да је есконачна ачка (есконачно алекаачка [50], ескрајно алека ачка [61], неизмерно алека ачка [54], иеална ачка,нерава ачка [55]). Дакле, свака права p ∈ PE, осим регуларних тачака које јојприпадају, садржи и есконачну тачку ∞[p], где је [p] класа еквиваленције свих правихпаралелних са p. Додатно уводимо есконачну раву која садржи све есконачне тачке,а коју оично оележавамо са u∞ . Овако дефинисане основне скупове и релацијеможемо формализовати са

T∞ = TE ∪∪

p∈PE

{∞[p]}, P∞ = PE ∪ {u∞}, I∞ = IE ∪∪

p∈PE

{(∞[p], p), (∞[p], u∞)}.

Да ли овако конструисан интуитивни модел EP2 = (T∞,P∞, I∞) заиста испуњава свеаксиоме пројективне равни?

Како постоје два типа тачака (оичне и есконачне), за различите тачке изАксиоме 1.1 дискутујемо три случаја. Ако су ое тачке из TE то по еуклидскојаксиоми постоји јединствена права из PE која је са њима инцидентна. Та права јепо дефиницији и права из P∞ која их садржи, док их додатна права u∞ не садржи, јерје инцидентна само са есконачним тачкама. Ако је једна тачка еуклидска A ∈ TE, адруга есконачна ∞[p] за неко p ∈ PE, то (по Плејферовој аксиоми) постоји јединственаеуклидска права q кроз A која је паралелна са p, односно ∞[p] = ∞[q]. Коначно, ако суое тачке есконачне, јединствена права кроз њих је очигледно u∞, док све осталеправе садрже само једну есконачну тачку.

За различите праве из Аксиоме 1.2 такође имамо дискусију. Ако су ое праве p и qеуклидске и међусоно паралелне, њима одговара јединствена тачка ∞[p] = ∞[q]. Акосу ое праве еуклидске и нису паралелне, онда имају оичан еуклидски пресек и тоје јединствена тачка. Пресек праве u∞ и еуклидске праве p је јединствена тачка ∞[p].

Што се тиче Аксиоме 1.3, довољно је, на пример, једноставно изарати четиритемена произвољног квадрата, тако да она очигледно важи. Овако смо испитали светри аксиоме и показали да је интуитивна пројективна раван EP2 = (T∞,P∞, I∞) заистапројективна раван.Теорема 1.3. Инуиивни моел EP2 је ројекивна раван.

Напоменимо да Аксиоме 1.1, 1.2 и 1.3 чине минимални скуп аксиома пројективнеравни. Касније ћемо увести друге аксиоме које пројективну раван повезују са њенимгеометријским пореклом. У анализи интуитивног модела EP2 нису нам иле потренесве аксиоме еуклидске геометрије, већ само аксиоме инциденције са Плејферовомаксиомом, односно посматрали смо еуклидску раван као афину раван. Еуклидскагеометрија је рестриктивнија од пројективне геометрије, тако да је она само једанњен подскуп. Интуитивни модел EP2 нам зато омогућава да задатке из еуклидскеравни преацимо у пројективну раван, тамо их решимо, те на крају закључке вратимоназад у еуклидску раван, што ћемо оилато користити у задацима у Глави 3.

Историјски, концепт есконачне тачке потиче са почетка 17. века. Прво се појавиокод Кеплера [40, стр. 93] који 1604. помиње да параола има две жиже од којихје једна есконачно далека, а налази се у пресеку правих паралелних оси. Дезарг[20] је 1639. у свом делу писао како паралелне праве имају заједнички завршетак наесконачној удаљености.

6

1.4 Аналитичка пројективна раванИако се есконачна права интуитивне пројективне равни (проширене еуклидске

равни EP2) јавља на специфичан начин, њена унутрашња природа не разликује сеод осталих правих. Конструкција те пројективне равни на другачији начин показаћеда се праве међусоно геометријски не разликују. У овој конструкцији посматрамотродимензиони векторски простор. Тачке пројективне равни иће праве које пролазекроз координатни почетак, док ће праве ити равни које пролазе кроз координатнипочетак. Ова идеја може се генерализовати на следећи начин.

Нека је F произвољно поље. Посматрајмо F3, скуп свих уређених тројки елеменатаиз F, који има структуру векторског простора над F димензије три. Напоменимо данајважнији случај представља поље реалних ројева (F = R), али како сви рачунипролазе за произвољно поље, држаћемо се уопштене приче. Напоменимо да ћемокасније подразумевати да F3 има стандардни скаларни и векторски производ.

За произвољно x = (x1, x2, x3) ∈ F3 различито од нуле, праву кроз координатнипочетак која садржи x чини скуп {λx : λ ∈ F}, што је векторски потпростор од F3димензије један. Сасвим слично, за линеарно независне x и y из F3, раван крозкоординатни почетак која их садржи чини скуп {λx + µy : λ, µ ∈ F}, а он је векторскипотпростор од F3 димензије два. Овај дводимензиони потпростор садржи многеједнодимензионе потпросторе, који се могу доити фиксирањем скалара λ и µ, теузимањем потпростора који генерише вектор λx+µy. Важно је приметити да различитизор λ и µ који су у истом односу дају исти потпростор.

Строго формално можемо дефинисати основне елементе пројективне равни над Fна следећи начин:

TF представља једнодимензионе потпросторе од F3;PF представља дводимензионе потпросторе од F3;

Инциденција UIFV значи да је U ∈ TF потпростор од V ∈ PF.

Конкретну координатну репрезентацију векторских потпростора од F3 доијамотакошто посматрамо класе уређених тројки вектора из F3\{(0, 0, 0)} сечене по релацијисразмерности. У питању је релација еквиваленције ∼, за коју је (x1, x2, x3) ∼ (y1, y2, y3)ако и само ако постоји λ ∈ F \ {0} тако да је yi = λxi за i ∈ {1, 2, 3}. Скуп свих таквихкласа еквиваленције, где су сразмерни вектори у истој класи, означимо са

K = F3 \ {(0, 0, 0)} /∼ = F3 \ {(0, 0, 0)}

/F \ {0} .

Ако је потпростор од F3 димензије један, он је генерисан неким вектором(x1, x2, x3) ̸= (0, 0, 0), а његови елементи припадају класи еквиваленције из K за векторпредставник (x1, x2, x3). Скуп тачака је TF = K, а уколикоA ∈ TF има вектор представник(x1, x2, x3) кажемо да тачка A има хомоене кооринае (x1 : x2 : x3).

Потпростор од F3 димензије два је олика {(x1, x2, x3) ∈ F3 : u1x1 + u2x2 + u3x3 =0} и он се може једнозначно, до на множење ненула скаларом, изразити својимвектором нормале (u1, u2, u3) ∈ F3 \ {(0, 0, 0)}. На овај начин успоставља се ијекцијаизмеђу дводимензионих и једнодимензионих векторских потпростора од F3. То намомогућава да праве такође видимо као скуп PF = K, а уколико p ∈ PF има векторпредставник, односно вектор нормале, (u1, u2, u3) кажемо да права p има хомоенекооринае [u1 : u2 : u3].

Скупове TF = K и PF = K треа схватити као дисјунктне копије простора K. За раду аналитичком моделу погодно је увести ознаке за вектор представник елемента изK, јер он одређује његове хомогене координате. Вектор представник тачке или правеоележаваћемо стрелицом изнад. На пример, −→X означава неки вектор представниктачке X, док −→x означава неки вектор представник праве x. Како тачке и праве имајумного вектора представника (сви они су међусоно сразмерни), уколико је итно којиод њих смо фиксирали, то ћемо посено нагласити. Повратак са вектора на тачку илиправу можемо извести користећи угласте заграде за класу еквиваленције, на примерважи [−→X ] = X, односно [−→x ] = x.

7

Векторе можемо уједно сматрати и колона матрицама, што нам омогућава да некеизразе или системе једначина једноставно запишемо у матричном олику. При томможемо користити стандардне операције у тродимензионом векторском простору каошто су скаларни производ (у ознаци ·), векторски производ (у ознаци ×) и мешовитипроизвод (у ознаци [_, _, _]).

Преостаје нам да испитамо релацију инциденције IF. Једнодимензиони просторU ∈ TF садржан је у дводимензионом простору V ∈ PF, уколико је U један од праваца уV , односно уколико је U нормалан на вектор нормале од V , док су вектори нормалниуколико је њихов скаларни производ једнак нули. Дакле, тачка A = (x1 : x2 : x3) ∈ TF јеинцидентна са правом p = [u1 : u2 : u3] ∈ PF и пишемо AIFp, ако и само ако је

−→A · −→p = 0,

односно ако важи u1x1 + u2x2 + u3x3 = 0. Матрични запис ове једначине инциденцијегласи (−→p )T−→A = 0, односно (−→A )T−→p = 0, где _T представља транспонат матрице.

На овај начин описали смо аналитички модел пројективне равни FP2 = (TF,PF, IF),што доказујемо провером уведених аксиома. Нека су A = (a1 : a2 : a3) и B = (b1 : b2 : b3)различите тачке. Права p = [u1 : u2 : u3] инцидентна је и са A и са B ако и само аковажи −→A · −→p = 0 и −→B · −→p = 0, што се може матрично записати са

(a1 a2 a3b1 b2 b3

)u1u2u3

= (00

).

Матрица са леве стране је ранга два јер се састоји од линеарно независних вектора−→A и −→B који су уписани у врсте. Самим тим, простор решења матричне хомогенеједначине је потпростор димензије један, те постоји јединствена права [u1 : u2 : u3] сатраженим осоинама.

Проверили смо Аксиому 1.1, а сасвим слично, из дуалних симетрија, проверавамоАксиому 1.2. Што се тиче Аксиоме 1.3, лако је приметити да међу тачкама (1 : 0 : 0),(0 : 1 : 0), (0 : 0 : 1) и (1 : 1 : 1) нема три колинеарне.

Овим смо показали да свако поље F генерише аналитички модел пројективнеравни FP2 = (TF,PF, IF), што нам омогућава да повежемо геометрију са алгером и такомноге резултате доијемо директним рачуном. Није лоше напоменути да претходнирачун пролази и за произвољно тело F, тако што посматрамо F3 као модул над F ињегове подмодуле, о чему ћемо говорити касније (Теорема 2.4).

Теорема 1.4. Аналиички моел FP2 је ројекивна раван за свако оље F.

Пројективна раван над пољем F је аналитичка пројективна раван FP2, док се улитератури среће и ознака PG(2,F). Проверa аксиома за FP2 може се конкретизоватидо краја, односно можемо тачно изразити две основне операције генерисанеаксиомама, операцију спајања (∨) и операцију сечења (∧).

Нека су A = (a1 : a2 : a3) и B = (b1 : b2 : b3) различите тачке у FP2. Како су тачке A и Bинцидентне са правом p = A∨B, то је −→A · −→p = 0 и −→B · −→p = 0. Одавде је −→p нормално и на−→A и на −→B , те има правац њиховог векторског производа, што нас доводи до формуле−−−→A∨B =

−→A ×

−→B , док конкретан рачун даје

p =

[∣∣∣∣a2 a3b2 b3∣∣∣∣ : − ∣∣∣∣a1 a3b1 b3

∣∣∣∣ : ∣∣∣∣a1 a2b1 b2∣∣∣∣] .

Наравно, како су тачке A и B различите то су −→A и −→B линеарно независни, те њиховвекторски производ није нула вектор, самим тим не постоји могућност да доијемонепостојећу праву [0 : 0 : 0].

Сасвим слично, нека су p = [p1 : p2 : p3] и q = [q1 : q2 : q3] различите праве у FP2. Какосу праве p и q инцидентне са тачком A = p∧q, то је −→A · −→p = 0 и −→A · −→q = 0. Одавде је −→Aнормално и на −→p и на −→q , те је −−→p∧q = −→p ×−→q , док конкретан рачун даје

A =

(∣∣∣∣p2 p3q2 q3∣∣∣∣ : − ∣∣∣∣p1 p3q1 q3

∣∣∣∣ : ∣∣∣∣p1 p2q1 q2∣∣∣∣) .

8

Дакле, спајање и сечење се реализују као векторски производ. Како тај резултатчесто користимо у рачуну, записаћемо га у виду следеће леме.

Лема 1.5. За различие ачке A и B у FP2 важи −−−→A∨B = −→A ×−→B . За различие раве p и q уFP2 важи −−→p∧q = −→p ×−→q .

Разне аналитичке пројективне равни FP2 доијамо заменом конкретног пољауместо F. За F можемо узети поље C комплексних ројева или Q рационалнихројева и доити одговарајуће пројективне равни CP2 и QP2. Међутим, најчешће заF постављамо поље R реалних ројева, што нас доводи до реалне ројекивне равниRP2 = (TR,PR, IR). Увођењем координатног система, односно хомогених координата,оље можемо схватити раније уведену интуитивну пројективну раван EP2 (додавањеесконачних тачака и есконачне праве на еуклидску раван) на чист алгеарскиначин.

Еуклидска раван E се помоћу координатне репрезентације идентификује са R2.Наиме, свакој тачки из E се придружује (x1, x2) ∈ R2, док се свака права састојииз тачака (x1, x2) ∈ R2 које задовољавају једначину u1x1 + u2x2 + u3 = 0. Међутим,третирање праве као јединственог ојекта, а не као скупа тачака, доводи нас доњене репрезентације преко параметара (u1, u2, u3). Напоменимо да (0, 0, 1) овде непредставља праву јер тада наведена једначина гласи 1 = 0.

Посматрајмо сада E као раван смештену у еуклидски простор R3. На пример,то може ити раван дата једначином x3 = 1, где свакој тачки еуклидске равни(x1, x2) одговара вектор (x1, x2, 1). Посматрајмо сада вектор (x1, x2, x3) из R3. Акопоследња компонента није једнака нули (x3 ̸= 0) тај вектор можемо поистоветитиса једнодимензионим потпростором који је њиме разапнут, а он сече смештенуеуклидску раван у (x1x3 ,

x2x3, 1), односно у тачки (x1x3 ,

x2x3) ∈ E.

Преостали вектори су олика (x1, x2, 0) ∈ R3. Ако пођемо од тачке (p1, p2) ∈ E ипратимо праву са правцем (k1, k2) доијамо векторе олика (p1 + tk1, p2 + tk2, 1). Овивектори сразмерни су векторима (p1t + k1,

p2t + k2,

1t ), при чему када t тежи ка +∞ или

−∞, наш вектор тежи ка (k1, k2, 0). Самим тим, вектори олика (x1, x2, 0) одговарајуесконачним тачкама, или конкретније, (x1, x2, 0) је есконачна тачка која одговараправој са правцем (x1, x2).

Једначина праве у хомогеним координатама постаје u1x1 + u2x2 + u3x3 = 0. Пресекса смештеном еуклидском равни x3 = 1 даје еуклидску једначину праве у равни u1x1+u2x2 + u3 = 0. Једини тип вектора коме не одговара права је она са u1 = u2 = 0, u3 ̸= 0,кад једначина после дељења са u3 постаје x3 = 0. У питању је права са хомогенимкоординатама [0 : 0 : 1] која садржи све есконачне тачке, те је у питању есконачнаправа.

Хомогене координате су откривене касних двадесетих година 19. века, азанимљиво је да је до њих независно дошло чак четири математичара. Меијусоваоригинална формулација хомогених координата појавила се у [51], где је увеокоординатни систем у којем је позиција тачке одређена центром масе (арицентром)система који се састоји од три темена троугла. Боијије је у [8] први употреиотрилинеарне координате у којима је позиција тачке одређена релативним односимарастојања од три странице троугла и тако дошао до хомогених координата. Фојерахје хомогене координате увео у својој књизи [28], његов приступ ио је геометријскиуместо механички, при чему је у три димензије покрио оно што је Меијус урадио уравни. Сва тројица математичара су до својих резултата дошла сасвим независно исимултано, односно 1827. године. Нешто касније, Пликер је дошао до хомогенихкоордината, али за разлику од својих претходника он је њима приступио напотпуно нов начин разрадивши методологију посматрања праве као елемента, а својкоординатни систем описао је у [58].

9

1.5 Коначна пројективна раван

Концепт пројективне равни заснован на наведене три аксиоме инциденције јеприлично општи. Интуитивни модел EP2 само је једна од могућности, док је питањекомплетне класификације свих могућих пројективних равни прилично далеко одљудског разумевања. Испоставља се да пројективна раван не мора имати есконачанрој елемената, тако да се природно поставља питање како изгледа најмања могућапројективна раван, односно она са најмање тачака.

Аксиома 1.3 гарантује езгистенцију тачака A,B,C,D, међу којима нема триколинеарне. Ове тачке морају ити различите, иначе две исте са произвољномтрећом јесу колинеарне. По Аксиоми 1.1 сваки пар тих тачака одређује јединственуспојницу, што генерише укупно

(42

)= 6 различитих правих. Аксиома 1.2 захтева да

сваки пар различитих правих мора имати јединствено сециште. Постоје тачно трисецишта која недостају, а у питању су E = (A∨B)∧ (C ∨D), F = (A∨C)∧ (B ∨D) иG = (A∨D)∧(B∨C), што гарантује нове три тачке E, F и G. Поновна примена Аксиоме1.1 захтева постојање нових правих E∨F , E∨G и F∨G које се разликују од оних почетнихшест, али могу ити исте међусоно. Како свакако имамо ар једну нову праву,рој правих не може ити мањи од седам, као ни рој тачака. Најједноставније јепоставити E, F и G тако да уду колинеарне, чиме се комплетира пројективна раван.Оваква конструкција има седам тачака и седам правих, а једноставно се проверавада испуњава све три аксиоме. Овако конструисану минималну пројективну раванназивамо Фаноова раван.

A B

C

D

A B

C

D

A B

C

D

E

F G

A B

C

D

E

F G

Фаноова раван име је доила по „оцу коначне геометрије“ који је у свом раду[26] први конструисао коначни тродимензиони пројективни простор са 15 тачака,35 правих и 15 равни, тако да свака права садржи тачно 3 тачке, док су све равнизаправо Фаноове равни са 7 тачака.

Коначна ројекивна раван је пројективна раван (T ,P, I) за коју су скупови T и Pконачни. Најлакше је можемо доити као специјалан случај аналитичке пројективнеравни FP2 када поље F заменимо неким коначним пољем. Најједноставнији примериконачних поља су проста поља (минимална потпоља која садрже јединицу). За свакипрост рој p имамо Zp = Z

/pZ = {0, 1, . . . , p−1}, скуп целих ројева по модулу p, где сваки

елемент a ̸= 0 захваљујући малој Фермаовој теореми има мултипликативни инверзap−2, те је Zp поље. Минимално поље Z2 има само два елемента (0 и 1), а њему одговарааналитичка пројективна раван Z2P2.

10

A

(1 : 0 : 0)

B

(0 : 1 : 0)

C (0 : 0 : 1)

D (1 : 1 : 1)

E (1 : 1 : 0)

F(1 : 0 : 1)

G(0 : 1 : 1)

[0 : 1 : 0] [1 : 0 : 0]

[0 : 0 : 1]

[0 : 1 : 1]

[1 : 1 : 0]

[1 : 0 : 1]

[1 : 1 : 1]

Међутим, ако пажљиво нацртамо слику, лако можемо препознати да је Z2P2 управопретходно дефинисана Фаноова раван. Свака права Фаноове равни садржи тачнотри тачке, а можемо показати да је то минималан рој тачака на правој у свакојпројективној равни.

Лема 1.6. Свака рава ројекивне равни инциенна је са ар ри ачке.

Доказ. Нека је p ∈ P произвољна права која је инцидентна са највише две тачке.Аксиома 1.3 утврђује постојање четири тачке међу којима нема три колинеарне. Некаје A тачка која није инцидентна са p (постоје ар две такве тачке), а нека су B, C иD преостале. Праве A∨B, A∨C и A∨D инцидентне су са A, међусоно су различите(на пример A∨B = A∨C повлачи колинеарност A, B и C) и различите од p. Сада сусецишта p∧(A∨B), p∧(A∨C) и p∧(A∨D) три различите тачке инцидентне са правом p,што је контрадикција. �

Принцип дуалности, односно Теорема 1.2, омогућава да ез доказа поставимо новутеорему која је дуална некој већ доказаној теореми. Директна примена на Лему 1.6одмах даје њен дуал.

Лема 1.7. Свака ачка ројекивне равни инциенна је са ар ри раве.

У Фаноовој равни, свака права инцидентна је са тачно три тачке, а свака тачкаинцидентна је са тачно три праве. Појављивање истих ројева није случајно, о чемуговори наредна лема.

Лема 1.8. За коначну ројекивну раван осоји консана k, аква а је свака раваинциенна са ачно k ачака, ок је свака ачка инциенна са ачно k равих.

Доказ. Нека је p права која је инцидентна са тачно k тачака. Нека је q ̸= p произвољнаправа и A = p∧q. По Леми 1.7 постоји права rIA различита од p и q, док по Леми 1.6постоји тачка SIr различита од A. Свака тачка X инцидентна са p генерише тачку(X ∨S)∧q инцидентну са правом q. Ако за неке тачке X и Y инцидентне са p важи(X∨S)∧q = (Y ∨S)∧q, ило и X∨S = Y ∨S (= ((X∨S)∧q)∨S) и одатле X = Y . Дакле,различите тачке са p генеришу различит