© Andrea Berger, Martina Graner, Nadine Pacher Gleichungen und Gleichungssysteme 5. Klasse.
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© Andrea Berger, Martina Graner, Nadine Pacher
Gleichungen und Gleichungen und GleichungssystemeGleichungssysteme
5. Klasse
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Inhaltlichen GrundlagenInhaltlichen Grundlagenzur standardisierten schriftlichen Reifeprüfungzur standardisierten schriftlichen Reifeprüfung
•Inhaltsbereich Algebra und Geometrie (AG) •(Un-)Gleichungen und Gleichungssysteme
•AG 2.1 Einfache Terme und Formeln aufstellen, umformen und im Kontext deuten können
•AG 2.2 Lineare Gleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen und die Lösung im Kontext deuten können
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Inhaltlichen GrundlagenInhaltlichen Grundlagenzur standardisierten schriftlichen Reifeprüfungzur standardisierten schriftlichen Reifeprüfung
• AG 2.3 Quadratische Gleichungen in einer Variablen umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können.
• AG 2.4 Lineare Ungleichungen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, Lösungen (auch geometrisch) deuten können.
• AG 2.5 Lineare Gleichungssysteme in zwei Variablen aufstellen, interpretieren, umformen/lösen, über Lösungsfälle Bescheid wissen, Lösungen und Lösungsfälle (auch geometrisch) deuten können.
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1. Woche – 1. Stunde1. Woche – 1. Stunde
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1. Woche – 1. Stunde1. Woche – 1. Stunde
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1. Woche – 1. Stunde1. Woche – 1. Stunde
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1. Woche – 1. Stunde1. Woche – 1. Stunde
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1. Woche – 1. Stunde 1. Woche – 1. Stunde
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1. Woche – 1. Stunde1. Woche – 1. Stunde
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1. Woche – 1. Stunde1. Woche – 1. Stunde
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Gruppenarbeit / Gruppenarbeit / Gruppenpuzzle (Seite 74)Gruppenpuzzle (Seite 74)
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Gruppenarbeit / Gruppenarbeit / Gruppenpuzzle (Seite 74)Gruppenpuzzle (Seite 74)
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Gruppenarbeit / Gruppenarbeit / Gruppenpuzzle (Seite 74)Gruppenpuzzle (Seite 74)
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Gruppenarbeit / Gruppenarbeit / Gruppenpuzzle (Seite 74)Gruppenpuzzle (Seite 74)
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GrundkompetenzenGrundkompetenzen
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FormvariablenFormvariablen
• 1-2 Stunden• 2. Woche• Gegebene Gleichungen und
Textaufgaben
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TafelbildTafelbild
• Formvariablen sind Parameter, unbestimmte Zahlen. Sie sind keine Unbekannte, nach denen die Gleichung gelöst wird! Die Variable (Unbekannte) ist damit abhängig von der Formvariable.
• Eine Gleichung muss nicht für alle Werte einer Formvariable lösbar sein.
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TafelbildTafelbild
• Schritt 1 - Beispiele zu Gleichungen mit einer Formvariablen:
• Beispiel: Dazu, dass eine Gleichung nicht für alle a (und x) definiert sein muss.
• Beispiel:
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SchülerInnenSchülerInnen
• Zuerst: Für welche x ist diese Gleichung definiert
• Dann: Für welche a ist sie definiert
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Schritt I: gegebene Schritt I: gegebene GleichungGleichung• Löse x2 +2ax + (a2 – a +3) = 0 in
Abhängigkeit von der Formvariable a!• Die Gleichung ist für alle x und a
definiert• Schritt 1: Lösen wie eine normale
Gleichung
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• Da die Wurzel nur dann gezogen werden kann, wenn (a-3)>0 ist kann man nun mehrere Fälle für die Lösung unterscheiden:
• Schritt 2: Lösungsfälle unterscheiden
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Schritt II - TextaufgabeSchritt II - Textaufgabe
• Beispiel: Bernhard behauptet: „In meiner Klasse gibt es um die Hälfte mehr Burschen als Mädchen, insgesamt 24 Schüler.“ Wie viele Mädchen gehen in seine Klasse?
• Gleichung: • x…Anzahl der Mädchen
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• Suchen jetzt Lösung in Abhängigkeit zur SchülerInnenzahl der Klasse.
• a muss also ein Vielfaches von 5 sein.
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Graphisches Lösen - Graphisches Lösen - EinführungsbeispielEinführungsbeispiel• Wir wollen als Einführungsbeispiel, das
folgende Gleichungssystem lösen:I: 4x+y = 38II: y = x-2
• Als ersten Schritt schreiben wir einmal beide Gleichungen auf y= um!
• Das wäre dann:I: y = -4x + 38II: y = x – 2
• Dies macht man damit man die Steigung der Gerade erkennen kann. Denn die allgemeine Formel lautet: y = kx + d!
• Da wir nun die Steigung wissen, können wir diese beiden Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen. Nennen wir hierbei die Gleichung I = g und II = h!
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Graphisches Lösen - Graphisches Lösen - EinführungsbeispielEinführungsbeispiel• Graphisches Darstellung:
• Um die Lösung überprüfen zu können, lösen wir die Gleichung nun auf und kommen auf das Ergebnis, dass die Gleichung einen Schnittpunkt hat und zwar bei S=(8/6).
• Stimmt das nun mit unserer graphischen Lösung? Ja!
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Parallele bzw. identische Parallele bzw. identische GeradenGeraden
• Diskussion: –Muss eine Gleichung jetzt immer
genau eine Lösung haben? Nein, eine Gleichung kann auch zwei parallele Geraden bzw. zwei identische Geraden enthalten.
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Parallele bzw. identische Parallele bzw. identische GeradenGeraden• Zeigen wir nun zwei solche Beispiele wo
wir keine eindeutige Lösung haben:
• Man kann nun erkennen, dass eine Gleichung nicht immer eindeutig lösbar sein muss.
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Übung – Beispiele Übung – Beispiele
• aus dem Buch – Seite: 208– Bsp. 525– Bsp. 526– Bsp. 527
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Handout – Zettel Handout – Zettel
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GleichsetzungsverfahrenGleichsetzungsverfahren
• I: 4x + 2y = 24• II: -7x + y = -33Dann wird umgeformt auf y=…!• I: y = -2x + 12• II: y = 7x – 33Danach setzt man die Gleichung gleich!• -2x + 12 = 7x – 33Danach löst man die Gleichung nach x auf!• -9x = -45• x = 5
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GleichsetzungsverfahrenGleichsetzungsverfahren
Nun setzt man den x-Wert, oben in eine Gleichung ein und erhält den dazugehörigen y-Wert!•y = -10 + 12•y = 2Zur Kontrolle kann man die Angabe (beide Gleichungen) einsetzen!
Die Lösung heißt nun:
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EinsetzungsverfahrenEinsetzungsverfahren
Man beginnt damit, dass man eine der Gleichungen in die Hauptform y = kx + d bringt und setzt diese dann in eine andere Gleichung für y ein. •I: 4x + 2y = 24•II: -7x + y = -33 Wir formen nun die zweite Gleichung auf y= … um!•II: y = 7x – 33 Nun setzen wir diese umgeformte Gleichung in die andere ein!
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EinsetzungsverfahrenEinsetzungsverfahren
Nun lösen wir dieses Gleichungssystem nach x auf!•4x +14x – 66 = 24•18x = 90•x = 5Danach setzen wir den x-Wert wieder in eine der anderen Gleichungen ein und erhalten so den y-Wert.•y = 2Die Lösung heißt nun:
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AdditionsverfahrenAdditionsverfahren
• I: 4x + 2y = 24• II: -7x + y = -33Wir multiplizieren nun die zweite Gleichung
mit -2, damit das y wegfällt!• I: 4x + 2y = 24• II: 14x - 2y = 66 Nun fällt uns das y weg und wir erhalten
eine Gleichung nur mit dem x-Wert:• 18x = 90• x = 5Wir erhalten nun wieder die Lösung:
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ÜbungsphaseÜbungsphase
• Danach werden einige Beispiele eigenständig von den SchülerInnen gelöst, die einzige Bedingung ist, dass sie alle Methoden einmal verwenden sollen!
• In der nächsten Stunde könnte man den Stoff durch einen Stationenbetrieb festigen!
• es gibt auch ein Handout, zum Nachschlagen für die SchülerInnen
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© Andrea Berger, Martina Graner, Nadine Pacher
Danke für eure Danke für eure Aufmerksamkeit!Aufmerksamkeit!