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Álgebra CBC A-62 para Ingenieria (soluciones de ejercicios de las prácticas)
Práctica 6
Soluciones
Soluciones
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Respuesta: u y v so solucion del sistema S, z y w del Homogéneo S0
Respuesta: a = 2
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Respuestas:
a) Matriz escalonada en las filas Matriz escalonada en las filas reducida �100 210
1� ��1 27−9 � �100
010001 −37−9 �
b) Matriz escalonada en las filas Matriz escalonada en las filas reducida �100 210
120320
−11−2 � �100
010 −320−120 −31−2 �
Respuestas
a) con b = ( 1 , 2 ) Sol={( 1+5k , -4k , k ) con k ε R} Sistema Compatible Indeterminado
con b = ( 0 , 0 ) Sol={( 5k , -4k , k ) con k ε R} Sistema Compatible Indeterminado
b) con b = ( 3 , 1 , -1 ) Sol={( -1 , 2 , 0 )} Sistema Compatible Determinado
con b = ( 0 , 0 , 0 ) Sol={( 0 , 0 , 0 ) } Sistema Compatible Determinado
con b = ( 1 , 0 , 1 ) Sol={( 3/2 , 0 , ½ ) } Sistema Compatible Determinado
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Respuestas :
c) con b = ( 5 , 3 , 2 ) Sol={( 12/5-4/5k , -1/5+
2/5k , k ) con k ε R } S.C.Indeterminado
con b = ( -1 , 1 , 2 ) Sol={ vacio } Sistema Incompatible
con b = ( 0 , 0 , 0 ) Sol={( -4/5k , 2/5k , k ) con k ε R } S.C.Indeterminado
d) con b = ( 0 , 0 , 0 ) Sol={( 17/3 k , -3 k , 5/3k , k ) con k ε R } S.C.Indeterminado
con b = ( 1 , 0 , 0 ) Sol={( 1+17/3 k , -3 k , 5/3k , k ) con k ε R } S.C.Indeterminado
con b = ( 0 , 1 , 0 ) Sol={( -8/3 + 17/3 k , 1 -3 k , -2/3 + 5/3k , k ) con k ε R } S.C.Indeterminado
Respuestas:
a) Sol ={ 1 , 2 , -3 )}
b) Sol= {(x,y,z) = t . ( 1 , 2 , -3 ) con t ε R}
c) Sol= {(x,y,z) = ( 1 , 3 , --1 ) + t . ( 1 , 2 , -3 ) con t ε R}
Respuestas:
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a) Sol = {(x,y,z) = k (1,-3,3) con k ε R} y Sol = {(x,y,z) = t (0,2,0) con t ε R}
b) Sol = {(x,y,z) = (1,3,1) + t (0,2,0) + k (1,-3,3) con t y k ε R} o 3x-z=2
a) Una solucion puede ser: ( 3 , 2 , 3 ), otra solución puede ser ( 1 , 3 , 4 )
b) Recta Solución L: ( x , y , z ) = ( 2 , -1 , -1).t + (1,3,4) (puede haber otras expresiones para la misma recta).
Respuestas:
a) B= �1 −20 1 � b) No existe c) B = �. �−1 01 0� + �. �0 −10 1 �
d) � = �−6 − ��8 − ��−5 1 �
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Matriz Inversa Matriz Inversa
A |�| = 1 A-1 = A
�1 00 1� F |�| = 0 No existe F-1
B |�| = 9 �1 3� 00 1 3� � G | | = 2 �1 −1 2�0 1 2� �
C |!| = −1 C-1 = C
�1 20 −1� H |"| = −2 �−1 −1 2�0 1 2� �
D |#| = 0 NO existe D-1 G+H | + "| = 0 No existe (G+H)-1
E |$| = −4 G.H | . "| = −4 �−1 1 4�0 1 4� �
Respuesta: Si es solución.
Reemplazar en la expresión X por A-1 y luego pos-multiplicar por A ambos miembros …
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S1 junto a S2 (la intersección) forman un Sistema Compatible Determinado y como Además es Homogéneo,
entonces la única solución es la trivial, es decir (0,0,0,0)
Analizando los rangos de las matrices, el sistema a) es Compatible Indeterminado, tiene infinitas soluciones
además de la trivial, el sistema b) sólo tiene la solución trivial.
El sistema homogéneo tiene solución única para k distinto de -2, de1 y de-1
Para k = -4 o k= 0 el sistema es Sistema Compatible Indeterminado (tiene infinitas soluciones no triviales).
Respuesta: El sistema es Compatible (Indeternimado) para todas las ternas (a,b,c) tales que –a-2b+c=0
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Si k=-6 el sistema es Incompatible… Si k = -6 el sistema es compatible y la solución será de la forma:
(x1,x2,x3,x4) = (2,0,0,6) + r.(6,1,0,0) + t.(2,0,1,4) con r y t pertenecientes a los reales.
Respuestas: a) SistCompIndet si a=-6 y b=2, SistCompDeter si a≠-6 , SistIncompat si a=-6 y b ≠2
b) SistCompIndet si a≠-1 y a≠1 o si a=-1 y b = -2
Respuestas: a) SistCompIndet si a=-1 y b=0 o si a≠-1 y 3b+6a+6 = 0
Respuestas: para solucion única a≠2/3 y b=1
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Respuesta: para k≠1 y k≠-1
Respuesta: no hay valores de los parámetros a y b de manera que la solución sea una recta. La solucion es un
plano (1x+1y-1z=1) si a= 1 y b=-1, y si a≠1 el sistema es Compatible Determinado y hay una única solución.
Respuestas: S1:Punto, S2:Recta, S3:Recta, S4:todo el Plano R2, S5:Recta
Respuestas: S1:Punto, S2:Recta, S3:Recta, S4:Plano , S5:Plano, S6:Plano , S7:Plano
Respuestas: a) (si pertenece) (1,2)= 2*(2,3) + (-1)*(3,4) b) (si pertenece) (-1,½,2) = -½*(2,-1,-4)
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Respuestas: c) (si pertenece) (1,2,3)= 1*(-1,1,3) + 1*(2,1,0) d) (No pertenece)
Respuestas: e) (si pertenece) (-1,2,2)= 2*(1,2,3) + 1*(-3,-2,-4)+0*(0,4,5)
d) (si pertenece) (x,y,z) = z*(1,1,1)+(y-z)*(1,1,0)+(x-y)*(1,0,0)
Respuestas: a) S=<(3;2)> b) S=<(0,1,0)>
Respuestas: c) S=<(1,-2,0);( 0,3,1)> d) S=<(-7,4,1,0);(-1,1,0,1)>
Respuesta: c) S={(0,0)}, S es el vector nulo, Sub Espacio de dimension 0
Respuestas: a) S={ (x,y) ε R2 : y+3x=0} b) S={ (x1,x2,x3) ε R3 : x1+x2+x3=0}
Respuestas: c) S={ (x1,x2,x3) ε R3 : : x1-2x2+2x3=0} d) S={ (x1,x2,x3,x4) ε R4 : 2x3-x2=0 ; 2x4-2x1+2x2=0}
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Respuestas: a) y b) S esta incluido en T
Respuestas: c) S no esta incluido en T d) S esta incluido en T
Respuestas: e) S no esta incluido en T f) S esta incluido en T
Respuestas: a) El conjunto es LI b) El conjunto es LD
Respuestas: c) El conjunto es LD d) El conjunto es LD
Respuestas: e) El conjunto es LI f) El conjunto es LD
Respuestas: g) El conjunto es LD d) El conjunto es LI
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Respuestas: i) El conjunto es LD j) El conjunto es LI
Respuestas: a) El conjunto es base y la dim es 2 b) El conjunto No es base, la dim es 2
Respuestas: c) El conjunto es base y la dim es 3 d) Una base es {(1;3/2)}, la dim es 1
Respuestas: e) El conjunto es una recta, dim 1 y una base es {(-1,1,1)}
f) Una base es {(3,-1,1,0);(0,2,0,1)} , la dim es 2
Respuestas: a) Base de S∩T = {(2,1,-1)} su dimension es 1
b) Base de S∩T = {(2;-5/2,9/2)} su dimension es 1
En ambos casos puede haber otras soluciones
Respuestas: c) Base de S∩T = {(-2,1,-3)} su dimension es 1
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d) Base de S∩T = {(2,1,-1)} su dimension es 1
En ambos casos puede haber otras soluciones
Respuestas: e) Base de S∩T = {(1,0,1,-1)} su dimension es 1
En ambos casos puede haber otras soluciones
Ejercicios Surtidos
Respuestas: El vector dado es solución si a=3 y b=-1, para estos valores, solución general es:
(x1,x2,x3,x4) = (0,,-1,0,0) + α (1,1,1,0) + β (1,2,0,1)
Puede haber otras expresiones para la solucion
Respuestas: Solución de Ax=b es (x1,x2,x3) = (1,-1,0) + α (-2,-2,-1)
Solución que cumple la ecuación adicional (con α = -5) (11,9,5)
Respuestas: Solución k=-1
Recta (x1,x2,x3) = (2,0,-1) + α (0,1,-2)
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Respuestas: Solución a=-2
Respuestas: Solución Recta (x1,x2,x3) = α (-3,9,2)
Puede haber otras expresiones para la solucion
Respuestas: Solución a= ½ y b = 1
Recta (x1,x2,x3,x4) = ( -6 + 6 k ; 5 - 3 k ; 14 – 12 k ; k)
Puede haber otras expresiones para la solucion
Respuestas: Solución a= 2
Recta (x,y) = ( 1/7 ; 9/7 )
Puede haber otras expresiones para la solucion
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Respuestas: Solución k= -1
Respuestas: Solución a) NO b) NO, c) SI, d) NO
Respuestas: Base de S = {(1,1,0),(0,2,1)} Base de T = {(1,2,1),(2,-1,-2)}
Base de S ∩ T = {(3,1,-1)}
Base de R3 = {(1,1,0),(3,1,-1),(1,2,1)}