ТЕТИВНИ ЧЕТВОРОУГЛОВИalas.matf.bg.ac.rs/~mm10030/tekst/Tetivni i...
Transcript of ТЕТИВНИ ЧЕТВОРОУГЛОВИalas.matf.bg.ac.rs/~mm10030/tekst/Tetivni i...
![Page 1: ТЕТИВНИ ЧЕТВОРОУГЛОВИalas.matf.bg.ac.rs/~mm10030/tekst/Tetivni i tangentni... · Web viewУ писању документа коришћени су програми](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022071405/60f96e8646af0971236aa676/html5/thumbnails/1.jpg)
Аутор овог документа је Петар Аврамовић.
Слободно га можете читати, размењивати, копирати, штампати али само као цео документ …. у циљу сазнавања нечег новог или подсећања нечег што сте заборавили.
Немојте користити делове овог документа (текст, слике) или цео документ у комерцијалне сврхе ( пишите своје документе и цртајте своје слике сами ).
У писању документа коришћени су програми Microsoft Word 2003, Foxit PDF creator ( ако читате PDF датотеку ), AutoCAD 2006, Corel Draw 11.
текст куцао Пера слике цртао Пера
Наравно у циљу спашавања прашума немојте да штампате ову страницу већ све оне испод и штампајте са обе стране листа. Уживајте у читању.
![Page 2: ТЕТИВНИ ЧЕТВОРОУГЛОВИalas.matf.bg.ac.rs/~mm10030/tekst/Tetivni i tangentni... · Web viewУ писању документа коришћени су програми](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022071405/60f96e8646af0971236aa676/html5/thumbnails/2.jpg)
ТЕТИВНИ ЧЕТВОРОУГЛОВИ
За сваки троугао важи да му се симетрале страница секу у једној тачки.Та тачка је је- днако удаљена од темена тог троугла и она је центар описане кружнице. Симетрале страница неких четвороуглова секу се у једној тачки која је подједнако удаљена од темена датог четвороугла . Она је центар уписане кружнице око тог четвороугла . Стра- нице таквог четвороугла су тетиве кружнице чији је центар на пресеку симетрала страница .Четвороуглови који имају ту способност су квадрат, правоугаоник, једнакокраки трапез и неки трапезоиди.Сви наведени четвороуглови спадају у групу тетивних четвороуглова.
Међутим постоје четвороуглови код којих се симетрале страница не секу у једној тачкиТо су ромб, паралелограм,трапез у општем случају ,делтоид и неки трапезоиди.Они не спадају у групу тетивних четвороуглова.
Тетивни четвороуглови су они око којих може да се опише кружница тј. ако му темена припадају једној кружници .
- 1 -1.Теорема Четвороугао је тетиван ако и само ако се симетрале његове три стра- нице секу у једној тачки.
![Page 3: ТЕТИВНИ ЧЕТВОРОУГЛОВИalas.matf.bg.ac.rs/~mm10030/tekst/Tetivni i tangentni... · Web viewУ писању документа коришћени су програми](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022071405/60f96e8646af0971236aa676/html5/thumbnails/3.jpg)
Доказ. (
) Следи из чињенице да симетрале тетива кружнице пролазе кроз њен центар.( ) Ако се симетрале три странице неког чевороугла секу у једној тачки, тада је та та- чка једако удаљена од сва четири темена четвороугла.Стога је она центар кружнице ко-ја пролази кроз сва темена четвороугла.
2.Теорема Четвороугао је тетиван ако и само ако је збир свака два наспрамна угла једнак 180
Доказ.
( ) Претпоставимо да је четвороугао тетиван. Тада тачке припадајунекој кружници .Како су и са разних страна тетиве , углови и су су-плементни ( према теореми о периферијским угловима ), .С обзи-ром да је збир углова у четвороуглу , то је и .( ) Узмимо сад да је . Нека је k кружница описана око Ако је , доказ је завршен.У противном је у спољашњости или унутрашњостикружнице . Рецимо да је у спољашњости ( слика 1 ).Обележимо са ’ тачку у којој кружница k сече дуж
. По теореми о периферијским угловима следи, што повлачи
Међитим је спољашњи за , па је> Очигледна контрадикција.
Нека је тачка у унутрашњости кружнице (слика 2). Поново са С’означимо тачку у којој дуж сече кру-жницу . По теореми о периферијским угловима је
,што повлачи . Међутим је спољашњи за , је тада и
> . Контрадикција. Остаје и четвороугао је тетиван.
Последица Четвороугао је тетиван ако и само ако је спољашњи угао код једног темена подударан са уну- трашњим углом код њему дијагоналног темена. Доказ. Следи директно из теореме 2.
Из теореме 2 јасно је зашто су квадрат правоугаоник, и једнакокраки трапез тетивничетвороуглови а правоугаоник, ромб и трапез у општем случају нису.
. - 2 - Уколико је тачка ван праве и , кажемо да се дуж види из тачке
под углом .Користећи овај појам долази се до још једне теореме.
![Page 4: ТЕТИВНИ ЧЕТВОРОУГЛОВИalas.matf.bg.ac.rs/~mm10030/tekst/Tetivni i tangentni... · Web viewУ писању документа коришћени су програми](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022071405/60f96e8646af0971236aa676/html5/thumbnails/4.jpg)
Теорема 3 Четвороугао је тетиван ако и само ако му се свака страница види из преостала два темена под подударним угловима.
Доказ.
( )Нека је тетивни четвороугао и описана кружница.Тада су и углови под којима се страница види из тачака и , редом. Како су то перифери- јски углови над луком , следи њихова подударност.Слично је и за остале странице четвороугла. ( ) Претпоставимо да је у четвороуглу
. Нека је кружница описана око . Ако доказ је готов.
Претпоставимо супротно. Нека је у спољешњости кружнице .Обележимо са С’тачку у којој кружница
сече дуж ( слика 3 ) .Тада је односно . Meђутим је спољ- ашњи за и такав већи од . Контрадикција.Нека је сада тачка у унутрашњости кружнице .Са
означимо тачку у којој кружница сече праву ВС (слика 4) . Тада је и .
Meђутим је спољашњи за и такав већи од .
Контрадикција.
Брахмагупта Површина S тетивног
четвороугла, чије су странице дата је формулом
где је ѕ полуобим тј.
. Oву особину има сваки тетуван четвороугао.
Примери
Пример У троуглу угао код темена је .Ако су и висине и С’ сре- дина странице , тада је једнакостраничан. Решење Тачке леже на кружници чији јe центар тачка . Отуда је .Даље
је централни угао кружнице који одговара перифе- ријском . Следи . Отуда је
једнакостраничан.
- 3 - Пример (Птоломеј) ако су странице а и дијагонале тетивног четвороугла
тада је Решење Нека је тетивни четвороугао, где је , , ,
![Page 5: ТЕТИВНИ ЧЕТВОРОУГЛОВИalas.matf.bg.ac.rs/~mm10030/tekst/Tetivni i tangentni... · Web viewУ писању документа коришћени су програми](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022071405/60f96e8646af0971236aa676/html5/thumbnails/5.jpg)
и описана кружница (слика 6). Уочимо на дијагонали АС тачку Е такву да је ( 1 ) Како је (периферијски углови над луком ),троуглови и су слични.Слeди : : односно ( 2 ) Из (1) следи ,a како jе троуглови и такође слични. Имамо
: : ,
односно ( 3 ) Сабирањем (2) и (3) добијамо )
Пример Нека су и тачке на страницама и троугла редом. Четворо- угао је тетиван ако и само ако је , где је центар кружнице описане око Решење ( Претпоставимо да су и редом тачке на страницама и троугла , та- кве да је четвороугао тетиван. Нека је кружница описана око и њена тангента у тачки ( слика 7 ). На основу теореме о углу између тетиве и тан- генте је .С друге стране,из те- тивног четвороугла следи (последица 1).Стога је .Из те- ореме о трансфензалним угловима следи . Како је
,то је . . ( Претпоставимо да је , и . Тада је и због тога , . Како је иz
истог разлога као горе , то је и . На основу последице 1 четвороугао је тетиван.
Кључне речи: Тетива ,кружница, четвороугао, угао
- 4 - ТАНГЕНТНИ ЧЕТВОРОУГЛОВИ
Као што око сваког четвороугла не може да се опише кружница , тако ни у сваки четвороугао не може да се упише кружница.У ромб, квадрат, делтоид и неке трап- езоиде је могуће уписати кружницу, док то например није могуће у правоугаонику различитом од квадрата и паралелограму различитом од ромба.Четвороуглове у које може да се упише кружница зовемо тангентним. Име долази из чињенице да
![Page 6: ТЕТИВНИ ЧЕТВОРОУГЛОВИalas.matf.bg.ac.rs/~mm10030/tekst/Tetivni i tangentni... · Web viewУ писању документа коришћени су програми](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022071405/60f96e8646af0971236aa676/html5/thumbnails/6.jpg)
су праве одређене страницама таквих четвороуглова тангенте једне кружнице.
Четвороугао је тангентан ако постоји кружница која додирује све његове странице.
Теорема 4 Четвороугао је тангентан ако и само ако се симетрале његових углова
секу у једној тачки.
Доказ.
Нека је тангентан четвороугао и центар уписане кружнице. Тачка је једнако удаљена од кракова и , па лежи на симетрали угла . Исто важи за симетрале углова
Нека се симетрале унутрашњих углова четвороугла секу у тачки . Тада је тачка једнако удаљена од њихових кракова, тј. од страница четвороугла.Ако то
растојање означимо са , кружница ( додирује све странице четвороугла. Напомена. Из другог дела доказа није тешко закључити да је за тангентност четво- угла довољно да се симетрале три унутрашња угла секу у једној тачки ; тада и четвр-
та симетрала пролази кроз ту тачку.
Теорема 5 Четвороугао је тангентан ако и само ако је
Доказ.
Претпоставимо да је тангентан четвороугао. Нека уписана кружница до- дирује странице редом у тачкама .( слика 8 ).
На основу теореме о подударности тангентних дужи повучених из тачке на кружницу добијaмо: , , ,
Отуда је ( )( )
( ) ( )
- 5 -
( Нека у четвороуглу важи једнакост . ( 1 )
Ако је , тада из ( 1 ) следи . је делтоид (слика 9 )
Из подударности троуглова и следи да дијагонала полови углове и
и да се симетрале углова и секу у ис- тој тачки на Дакле, симетрале унутрашњих углова делтоида секу се у једној тачки и делтоид
је, према теореми 4 , тангентан четвороугао. Узмимо да је,рецимо > ( За < доказ је сличан ).
Тада је, због (1) > . Уочимо на страницама и
![Page 7: ТЕТИВНИ ЧЕТВОРОУГЛОВИalas.matf.bg.ac.rs/~mm10030/tekst/Tetivni i tangentni... · Web viewУ писању документа коришћени су програми](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022071405/60f96e8646af0971236aa676/html5/thumbnails/7.jpg)
тачке и , редом, такве да је и ( слика 10 ).Троуглови и су очигледно
једнакокраки. Исто важи и за с обзиром да је, на основу ( 1 ) ,
Из тога следи да се
симетрале углова код темена четворо- угла поклапају са симетралама страница
. Како се симетрале страница троугла секу у тачки центру описане кружнице, у истој та- чки
секу се и симетрале угловa четворугла . На основу напомене из теореме 4
је тангентан четвороугао.
Примери
Пример Нека је тетивни четвороугао чије се
дијагонале секу у тачки .Ако су нормалне пројекције тачке на странице
редом,та- да је четвороугао тангентан.
Решење Ако се симетрале унутрашњих углова
четвороугла секу у једној тачки, четвороугао је тангентан по теореми 4.
Узмимо прво да тачке леже на страницама четвороугла (слика 11). Како су углови и прави, четвороугао
је тетиван,из чега сле- ди ( 1 )
Слично из тетивног четвороугла следи ( 2 )
по услову задатка и четвороугао је тетиван, па је ( 3 )
Из(1),(2)и(3)следи ,тј. тачка лежи на симетрали угла
.На исти начин сепоказује да тачка лежи на симетралама углова и .
Уколико неке од тачака леже на продужецима страница четвороугла
,доказ је сличан.
- 6 - Пример Четвороугао је тангентан ако и само ако
се кружнице уписане у троу- глове и додирују.
Решење Нека је тангентан четвороугао. Показаћемо да се кружнице и уписане редом у троуглове и додирују.То је еквивалентно са чињеницом да
![Page 8: ТЕТИВНИ ЧЕТВОРОУГЛОВИalas.matf.bg.ac.rs/~mm10030/tekst/Tetivni i tangentni... · Web viewУ писању документа коришћени су програми](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022071405/60f96e8646af0971236aa676/html5/thumbnails/8.jpg)
додирују дијагоналу у истој тачки. Претпоставимо супротно,тј. да додирује у тачки а у тачки (слика 12). Тада је
Уколико је распоред тачака имамо
<
тј. < Међутим из теореме 5 следи . Контрадикција.
На сличан начин за распоред
добијамо > , што је такође ко- нтрадикција.Тако остаје
тј. кружнице и се додирују.
Претпоставимо да кружнице и додирују дијагоналу у тачки ( слика 13 ). Тада је
Следи
и четвороугао је тангентан на основу теореме 5.
Кључне речи: тангента, четвороуго, круг
- 7 -
ТЕТИВНО-ТАНГЕНТНИ ЧЕТВОРОУГЛОВИ
Четвороугао за који постоји и описана и уписана кружница зове се тетивно- -тангентни. У ту групу спада квадрат, неки једнакокраки трапези и неки
трапезоиди који имају особину да постоји кружница која може бити описана око њега и још једна која се може уписати у њега.
![Page 9: ТЕТИВНИ ЧЕТВОРОУГЛОВИalas.matf.bg.ac.rs/~mm10030/tekst/Tetivni i tangentni... · Web viewУ писању документа коришћени су програми](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022071405/60f96e8646af0971236aa676/html5/thumbnails/9.jpg)
Четвороугао је тетивно-тангентан ако постпји кружница која садржи сва његова темена и кружница која додирује све његове странице.
Теорема 6 Сваки тетивно-тангентни четвороугао може се добити из
неког тетивног четвороугла чије су дијагонале узајамно нормалне. При
томе су нормалне пројекције тачке пресека дијагонала четво- угла на његове странице.
Доказ.
Нека је центар кружнице уписане у тетивно тангентни четвороугао . У тачкама уочимо праве које су нормалне на праве редом (слика 14 ). Обележимо са редом пресеке правих и , и и , и Тврдимо да је тражени четвороугао.
Из тетивног четвороугла следи
( 1 )
где је Слично из тетивног четвороугла
имамо ( 2 )
где је .Како је (јер је тетивни четвороугао),из (1) и (2)следи односно На сличан начин показује се да су и углови и прави.То значи да су дија- гонале четвороугла узајамно нормалне и да се секу у тачки Дакле, тачке
су нормалне пројекције тачке пресека дијагонала четвороугла на његове странице. Остаје још да се покаже да је тетивни четвороугао.Из тетивног четвороугла
је
( 3 )
( 4 )
- 8 -
док је из тетивног четвороугла
( 5 )
![Page 10: ТЕТИВНИ ЧЕТВОРОУГЛОВИalas.matf.bg.ac.rs/~mm10030/tekst/Tetivni i tangentni... · Web viewУ писању документа коришћени су програми](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022071405/60f96e8646af0971236aa676/html5/thumbnails/10.jpg)
( 6 )
где је и Како је из (3),(4),(5) и (6) следи
На основу теореме 2 четвороугао је тетиван.
Површина тетивно-тангентног четвороугла
Површина тетивно-тангентног четвороугла, чије су странице дата је формулом . Објашњење: Због тангентности имамо , одакле је ( је полуобим ).То даље повлачи , , ,
. Када све то уврстимо у формулу Брахмагупте добијамо .
Кључне речи: тетива, тангента, кружница, четвооугао, теорема
- 9 -
Литература
1 Војислав Петровић , Тетивни и тангентни четвороугловиПросветни преглед , Београд 1996.
![Page 11: ТЕТИВНИ ЧЕТВОРОУГЛОВИalas.matf.bg.ac.rs/~mm10030/tekst/Tetivni i tangentni... · Web viewУ писању документа коришћени су програми](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022071405/60f96e8646af0971236aa676/html5/thumbnails/11.jpg)
2 Владимир Стојановић , Тетиве и тангенте ( лектира математископа – књига 4 ) ИП МАТЕМАТИСКОП , Београд 2004.
3 Математика општа енциклопедија Larousse1967. LIBRAIRE LAROUSSE , Parizза Југославију – ИП ,, Вук Караџић ‘‘ , Београд 1973.
- 10 - САДРЖАЈ
1. Тетивни четвороуглови……………………………………………. 1
2. Тангентни четвороуглови………………………………………….. 5
3. Тетивно-тангентни четвороуглови………………………………... 8
![Page 12: ТЕТИВНИ ЧЕТВОРОУГЛОВИalas.matf.bg.ac.rs/~mm10030/tekst/Tetivni i tangentni... · Web viewУ писању документа коришћени су програми](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022071405/60f96e8646af0971236aa676/html5/thumbnails/12.jpg)
4. Литература…………………………………………………………..10
Аутор овог документа је Петар Аврамовић.
Слободно га можете читати, размењивати, копирати, штампати али само као цео документ …. у циљу сазнавања нечег новог или подсећања нечег што сте заборавили.
Немојте користити делове овог документа (текст, слике) или цео документ у комерцијалне сврхе ( пишите своје документе и цртајте своје слике сами ).
У писању документа коришћени су програми Microsoft Word 2003, Foxit PDF creator ( ако читате PDF датотеку ), AutoCAD 2006, Corel Draw 11.
текст куцао Пера слике цртао Пера