Έντυπο Υποβολής – Αξιολόγησης Γ...

Έντυπο Υποβολής – Αξιολόγησης Γ.Ε.

O θνηηεηήο ζπκπιεξώλεη ηελ ελόηεηα «Τπνβνιή Εξγαζίαο» θαη απνζηέιιεη ην έληππν ζε δύν κε ζπξξακκέλα

αληίγξαθα (ή ειεθηξνληθά) ζηνλ Καζεγεηή-ύκβνπιν. Ο Καζεγεηήο-ύκβνπινο ζπκπιεξώλεη ηελ ελόηεηα

«Αμηνιόγεζε Εξγαζίαο» θαη ζηα δύν αληίγξαθα θαη επηζηξέθεη ην έλα ζην θνηηεηή καδί κε ηα ζρόιηα επί ηεο Γ.Ε., ελώ

θξαηά ην άιιν γηα ην αξρείν ηνπ καδί κε ην γξαπηό ζεκείωκα ηνπ πληνληζηή, εάλ έρεη δνζεί παξάηαζε.

ε πεξίπηωζε ειεθηξνληθήο ππνβνιήο ηνπ παξόληνο εληύπνπ, ην όλνκα ηνπ ειεθηξνληθνύ αξρείνπ ζα πξέπεη λα

γξάθεηαη ππνρξεωηηθά κε ιαηηληθνύο ραξαθηήξεο θαη λα αθνινπζεί ηελ θωδηθνπνίεζε ηνπ παξαδείγκαηνο: Π.ρ., ην

όλνκα ηνπ αξρείνπ γηα ηε 6ε Γ.Ε. ηνπ θνηηεηή ΙΩΑΝΝΟΤ ζηελ ΠΛΗ12 πξέπεη λα γξαθεί:

«ioannou_ge6_plh12.doc».

_____________________________________________________________________

ΤΠΟΒΟΛΗ ΔΡΓΑΙΑ

Ολνκαηεπώλπκν θνηηεηή

Κωδικόρ

ΘΔ ΠΛΗ 12

Ολνκαηεπώλπκν Καζεγεηή -

Σύκβνπινπ

Κωδικόρ

Σμήμαηορ

Καηαιεθηηθή εκεξνκελία

παξαιαβήο ζύκθσλα κε ην αθ.

εκεξνιόγην (εκέξα Σξίηε)

24/05/2011

Ακ. Έηορ 2010-2011

Ζκεξνκελία απνζηνιήο Γ.Δ.

από ηνλ θνηηεηή

α/α ΓΔ 6

Δπηζπλάπηεηαη (ζε πεξίπηωζε

πνπ έρεη δεηεζεί) ε άδεηα

παξάηαζεο από ηνλ Σπληνληζηή;

NAI/ΟΧΙ

Υπεύθυνη Δήλωση Φοιτητή: Βεβαηώλω όηη είκαη ζπγγξαθέαο απηήο ηεο εξγαζίαο θαη όηη θάζε βνήζεηα ηελ νπνία

είρα γηα ηελ πξνεηνηκαζία ηεο είλαη πιήξωο αλαγλωξηζκέλε θαη αλαθέξεηαη ζηελ εξγαζία. Επίζεο έρω αλαθέξεη ηηο

όπνηεο πεγέο από ηηο νπνίεο έθαλα ρξήζε δεδνκέλωλ, ηδεώλ ή ιέμεωλ, είηε απηέο αλαθέξνληαη αθξηβώο είηε

παξαθξαζκέλεο. Επίζεο βεβαηώλω όηη απηή ε εξγαζία πξνεηνηκάζηεθε από εκέλα πξνζωπηθά εηδηθά γηα ηε

ζπγθεθξηκέλε Θεκαηηθή Ελόηεηα..

____________________________________________________________________

ΑΞΙΟΛΟΓΗΗ ΔΡΓΑΙΑ

Ζκεξνκελία παξαιαβήο Γ.Δ. από ηνλ θνηηεηή

Ζκεξνκελία απνζηνιήο ζρνιίσλ ζηνλ θνηηεηή

Βαθμολογία (αξηζκεηηθώο, νινγξάθωο)

____________________________________________________________________

Τπογπαθή Τπογπαθή

Φοιηηηή Καθηγηηή-ςμβούλος

1

ΔΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΣΟ ΠΑΝΔΠΙΣΗΜΙΟ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΟΤΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ι (Θ.Δ. ΠΛΗ 12)

ΔΡΓΑΙΑ 6η

Ημεπομηνία Αποζηολήρ ζηοςρ Φοιηηηέρ: 18 Αππιλίος 2011

Ημεπομηνία παπάδοζηρ ηηρ Δπγαζίαρ: 20 Μαΐος 2011

Πξν ηεο επίιπζεο θάζε άζθεζεο, θαιό είλαη λα κειεηώληαη ηα παξαδείγκαηα θαη νη ιπκέλεο

αζθήζεηο ησλ ππνδείμεσλ θαη παξαπνκπώλ ζηα ζπγγξάκκαηα θαη ζην βνεζεηηθό πιηθό.

Οη αζθήζεηο ηεο έθηεο εξγαζίαο αλαθέξνληαη ζηηο

Δνόηηηα 11 (Δθαξκνγέο ησλ νινθιεξσκάησλ)

Δνόηηηα 12: 12.1 – 12.4 (Σεηξέο Fourier)

ηνπ ζπγγξάκκαηνο ηνπ Δ.Α.Π. «Λογιζμόρ Μίαρ Μεηαβληηήρ» ηνπ Γεσξ. Γάζηνπ

Γηα ηελ θαηαλόεζε ηεο ύιεο απηήο ζπκβνπιεπζείηε επίζεο ην βνεζεηηθό πιηθό ην νπνίν

ππάξρεη ζηε http://edu.eap.gr/pli/pli12/students.htm σο εμήο:

πλνδεπηηθό Δθπαηδεπηηθό Τιηθό:

Λογιζμόρ Οινθιεξώκαηα 1, Σεηξέο Fourier

Δπί πιένλ ε εξγαζία απηή βαζίδεηαη ζε κηα επαλάιεςε ησλ βαζηθώλ ελλνηώλ ηνπ καζήκαηνο

ηηο νπνίεο πξέπεη λα γλσξίδεηε ώζηε λα πξνεηνηκαζζείηε γηα ηηο Γξαπηέο Δμεηάζεηο. Τκήκα ηεο

πξώηεο άζθεζεο αλαθέξεηαη ζηηο εθαξκνγέο ησλ νινθιεξσκάησλ θαη ε δεύηεξε άζθεζε

αλαθέξεηαη ζηηο ζεηξέο Fourier. Με ην θεθάιαην απηό θαιύπηεηαη ε ύιε ηεο ΠΛΖ 12. Οη

ππόινηπεο αζθήζεηο είλαη επαλαιεπηηθέο ζηελ ύιε ηεο Γξακκηθήο Άιγεβξαο, ηνπ Λνγηζκνύ

κίαο κεηαβιεηήο θαη ησλ Πηζαλνηήησλ.

http://edu.eap.gr/pli/pli12/students.htm

2

Άζκηζη 1 (25 μον.)

(Γηα ην εξώηεκα (α) ζπκβνπιεπζείηε ηα εδάθηα 11.2 θαη 11.4 θαη γηα ην (β) ην εδάθην 11.1 ηνπ

ζπγγξάκκαηνο ηνπ Δ.Α.Π. «Λογιζμόρ Μίαρ Μεηαβληηήρ» θαζώο θαη ην Οινθιεξώκαηα Η ηνπ

ΣΔΥ).

Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο: R

xx

xxf ,

27)(

4

3

θαη .04

,)( x

xxg

α) (5 μον.) Να ππνινγίζεηε ηνλ όγθν θαη ην εκβαδόλ ηεο (παξάπιεπξεο) επηθάλεηαο ηνπ

ζηεξενύ πνπ παξάγεηαη από ηελ πεξηζηξνθή ηνπ γξαθήκαηνο ηεο g γύξσ από ηνλ άμνλα ησλ x

γηα .31 x

β) (5 μον.) Να βξείηε ηα δηαζηήκαηα κνλνηνλίαο ηεο f θαζώο θαη ηελ κέγηζηε θαη ηελ ειάρηζηε

ηηκή ηεο.

γ) (6 μον.) Να ππνινγίζεηε ην εκβαδόλ ηνπ ρσξίνπ πνπ πεξηθιείεηαη από ηα γξαθήκαηα ησλ

ζπλαξηήζεσλ f θαη g θαη ηηο θαηαθόξπθεο επζείεο x=1 θαη x=3.

Τπόδειξη: Πξνθεηκέλνπ λα ζπγθξίλεηε ηηο ζπλαξηήζεηο f θαη g ζην δηάζηεκα [1,3],

ρξεζηκνπνηήζηε ην εξώηεκα (β).

δ) (3 μον.) Υπνινγίζηε ηε ζπλάξηεζε ( ) 4 ( )h x f x dx .

ε) (6 μον.) Να δείμεηε όηη γηα θάζε a,bR έρνπκε: aba

b

27

27ln

4

4

.

Τπόδειξη: Φξεζηκνπνηήζηε ηε ζπλάξηεζε ηνπ εξσηήκαηνο (δ), ην Θεώξεκα κέζεο ηηκήο θαη ην

εξώηεκα (β).

Λύζη

α) Σύκθσλα κε ηνπο ηύπνπο (11.3) θαη (11.8) ηνπ ζπγγξάκκαηνο ηνπ Δ.Α.Π. «Λογιζμόρ Μίαρ

Μεηαβληηήρ» ν δεηνύκελνο όγθνο V θαη ην δεηνύκελν εκβαδόλ E ππνινγίδνληαη σο εμήο:

3

1

223

1

23

1

2 .432

1.

32

3.]

32[

16)(

xdx

xdxxgV

3

1

3

1

23

1

2 )64

11(

2)

2

1

4

1(1

42)('1)(2 dx

xxdx

x

xdxxgxgS

3

1.

64

1

2dxx

Σην ηειεπηαίν νινθιήξσκα εθαξκόδνπκε ηελ αληηθαηάζηαζε dxduxu ,64

1νπόηε ην

αληίζηνηρν αόξηζην νινθήξσκα γίλεηαη

.)64

1(

3

2

3

2

64

1 33 cxcuduudxx

Σπλεπώο έρνπκε:

3

1

2/32/33

1

3 ....412127,464

65

64

193

3)

64

1(

3

2

264

1

2

xdxxE

β) Υπνινγίδνπκε ηελ παξάγσγν ηεο f :

3

24

42

24

3342

24

4343

)27(

)81(

)27(

4.)27(3

)27(

)'27()27)'.(()('

x

xx

x

xxxx

x

xxxxxf

.)27(

)3)(3)(9(24

22

x

xxxx

Παξαηεξνύκε όηη 0)(' xf ζηα δηαζηήκαηα (3,0) θαη (0,3) θαη 0)(' xf ζηα δηαζηήκαηα

(,3) θαη (3,+) (ην 0 άξα πνπ είλαη ξίδα ηεο παξαγώγνπ δελ επεξεάδεη ηελ κνλνηνλία).

Σπλεπώο ε f είλαη γλεζίσο αύμνπζα ζην δηάζηεκα )3,3( θαη γλεζίσο θζίλνπζα ζε θαζέλα από

ηα δηαζηήκαηα )3,( θαη ),3( . Δπίζεο έρνπκε:

0

)27

1(

1lim

)27

1(

lim)(lim

44

4

3

xx

xx

xxf xxx , 0)( xf γηα 0x , 0)( xf γηα

0x θαη 0)0( f .

Άξα ε κέγηζηε ηηκή ηεο f είλαη γηα x=3 ίζε κε 4

1

273

3)3(

4

3

f θαη ε ειάρηζηε ηηκή γηα x=3

ίζε κε 4

1

273

3)3(

4

3

f .

Σπκπεξαίλνπκε άξα όηη

4

1)(

4

1 xf

γηα θάζε xR.

γ) Από ην εξώηεκα (β) ζπκπεξαίλνπκε όηη γηα θάζε 1x έρνπκε ),(4

1

4)( xf

xxg άξα

ην γξάθεκα ηεο g ζην δηάζηεκα [1,3] βξίζθεηαη πάλσ από απηό ηεο f. Τν δεηνύκελν εκβαδόλ

άξα είλαη

3

1 4

33

1

3

1 4

33

1 274)

274())()(( dx

x

xdx

xdx

x

xxdxxfxgE .

Τν πξώην νινθιήξσκα ππνινγίδεηαη εύθνια θαη είλαη

3

1

3

1

2/3 )133(6

1

3

2.

4

1

4xdx

x.

Σην δεύηεξν εθηεινύκε ηελ αληηθαηάζηαζε dxxduxu 34 4,27 θαη έρνπκε

cxcuu

dudx

x

x27ln

4

1ln

4

1

4

1

27

4

4

3

άξα

7

27ln

4

1

28

108ln

4

128ln

4

1108ln

4

1)27ln(

4

1

27

3

1

43

1 4

3

xdxx

x.

Σπλεπώο

...361877,07

27ln

4

1)133(

6

1E

δ) 3 4 4

4

4 4 4

4 ( 27) ' ( 27)( ) 4 ( ) ln( 27)

27 27 27

x x d xh x f x dx dx dx x C

x x x

4

ε) Θεσξνύκε ηε ζπλάξηεζε ηνπ πξνεγνύκελνπ εξσηήκαηνο 4( ) ln( 27) , .h x x C x R

Έρνπκε 4 3

4 4

( 27) ' 4'( ) ' 4 ( )

( 27) 27

x xh x C f x

x x

θαη άξα από ην εξώηεκα (β) ζπκπεξαίλνπκε όηη

1)(' xh

γηα θάζε xR. Αλ ηώξα a,bR ηόηε από ην ζεώξεκα κέζεο ηηκήο έπεηαη όηη ππάξρεη c κεηαμύ

ησλ a θαη b ηέηνην ώζηε )).((')()( abchahbh . Άξα

ababchahbh .)(')()( .

Παξαηεξώληαο ηώξα όηη

27

27ln)27ln()27ln()()(

4

444

a

babahbh έρνπκε ην

δεηνύκελν.


(Σπκβνπιεπζείηε ηα εδάθηα 12.2 θαη 12.4 ηνπ ζπγγξάκκαηνο ηνπ Δ.Α.Π. «Λογιζμόρ Μίαρ

Μεηαβληηήρ»)

Γίλεηαη ε 2π-πεξηνδηθή ζπλάξηεζε f κε xexf )( γηα x .

α) (5 μον.) Διέγρνληαο ηε ζπλέρεηα ηεο ζπλάξηεζεο ζην ζεκείν π, λα βξείηε όια ηα ζεκεία ζηα

νπνία ε f δελ είλαη ζπλερήο.

β) (10 μον.) Να βξείηε ηε ζεηξά Fourier ηεο f.

γ) (5 μον.) Μειεηώληαο ηελ παξαπάλσ ζεηξά Fourier ζην ζεκείν x λα ππνινγίζεηε ην

άζξνηζκα

12 1

1

n n .

Τπόδειξη: Λάβεηε ππ’ όςε ηε ζρέζε (12.31) ζει. 194 ηνπ ζπγγξάκκαηνο ηνπ Δ.Α.Π.

«Λογιζμόρ Μίαρ Μεηαβληηήρ».

Λύζη

α) Ζ f είλαη ζπλερήο, σο εθζεηηθή, ζην αλνηθηό δηάζηεκα (π, π) θαη άξα αθνύ είλαη 2π-

πεξηνδηθή ζε θάζε αλνηθηό δηάζηεκα ηεο κνξθήο ((2k1)π, (2k+1)π), kZ.

Γηα ην ζεκείν x=π έρνπκε

eexf x

xx

lim)(lim . Γηα λα βξνύκε όκσο ην όξην από ηα

δεμηά παξαηεξνύκε όηη αλ 3 x ηόηε 2)2()( xexfxf θαζώο ην x2π βξίζθεηαη

ζην δηάζηεκα [π, π). Άξα

eeeexf x

xx

22lim)(lim .

Σπλεπώο ε f είλαη αζπλερήο ζην x=π θαη άξα ιόγσ πεξηνδηθόηεηαο θαη ζε όια ηα (2k+1)π, kZ.

5

β) Σύκθσλα κε ηνπο ηύπνπο (12.17)-(12.20) ζει. 190 ηνπ ζπγγξάκκαηνο ηνπ Δ.Α.Π.

«Λογιζμόρ Μίαρ Μεηαβληηήρ» ε ζεηξά Fourier ηεο 2π-πεξηνδηθήο ζπλάξηεζεο f είλαη

1

0 )sincos(n

nn nxbnxaa όπνπ

22

1)(

2

10

eedxedxxfa x

nxdxenxdxxfa x

n cos1

cos)(1

nxdxenxdxxfb x

n sin1

sin)(1

Τα παξαπάλσ νινθιεξώκαηα κπνξνύλ λα ππνινγηζηνύλ εθαξκόδνληαο παξαγνληηθή

νινθιήξσζε (θαη ζηα δύν) σο εμήο:

dxnxenxenxdxea xxx

n )'(cos]cos[cos)'(

n

nx bneenxdxnenene )()1(sin)cos(cos

θαη

dxnxenxenxdxeb xxx

n )'(sin]sin[sin)'(

n

x annxdxnenene cos)sin(sin .

Σπλεπώο

nnn

n

n nabnbee

a

,)()1(

θαη

.)1(

)()1(,

)1(

)()1(22

n

eenb

n

eea

n

n

n

n

Άξα ε ζεηξά Fourier ηεο f είλαη ε:

.)sin(cos1

)1(

2

1

12

n

n

nxnnxn

ee

γ) Ζ ζπλάξηεζε f είλαη θαηά ηκήκαηα ζπλερήο ζύκθσλα κε ην εξώηεκα (α) θαη επηπιένλ έρεη

ζπλερή θαη θξαγκέλε παξάγσγν ζην (π, π). Σπλεπώο κπνξνύκε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηελ

ζρέζε (12.31) ηνπ ζπγγξάκκαηνο ηνπ Δ.Α.Π. «Λογιζμόρ Μίαρ Μεηαβληηήρ» θαη λα

ζπκπεξάλνπκε όηη ε ζεηξά Fourier ηεο ζπγθιίλεη γηα x=π ζηελ ηηκή

6

).(2

1))(lim)((lim

2

1))()((

2

1

eexfxfff

xx

Θέηνληαο άξα x=π ζηε ζεηξά ηνπ εξσηήκαηνο (β) βξίζθνπκε

.2

)sin(cos1

)1(

2

1

12

eennn

n

ee

n

n

Σπλεπώο αθνύ nnnn )1(sincos βξίζθνπκε

.7..1.076674042

1.

21

1

12

ee

ee

nn


Έζησ ν ηεηξαγσληθόο πίλαθαο

3 1 1

2 1 2

0 1 2

A

.

α) (10 μον.) Να βξεζνύλ ην ραξαθηεξηζηηθό πνιπώλπκν, νη ηδηνηηκέο θαη ηα ηδηνδηαλύζκαηα ηνπ

πίλαθα A .

β) (5 μον.) Δίλαη ν πίλαθαο A δηαγσλνπνηήζηκνο; Δάλ λαη, λα βξεζεί έλαο αληηζηξέςηκνο

πίλαθαο P ηέηνηνο ώζηε 1 PDPA , όπνπ ν D είλαη έλαο δηαγώληνο πίλαθαο.

Λύζη

α) Τν ραξαθηεξηζηηθό πνιπώλπκν ηνπ πίλαθα A δίλεηαη από ηε ζρέζε (αλαπηύζζνληαο ηελ

νξίδνπζα σο πξνο ηελ πξώηε ζηήιε):

)2)(1)(3()3(2)3(2)2)(1)(3(

))1(2(2)2)2)(1)((3(

21

110

21

11)2(

21

21)3(

210

212

113

)det()(

IAA

Οη ηδηνηηκέο ηνπ πίλαθα Α είλαη νη ιύζεηο ηεο εμίζσζεο 0)( A . Δπνκέλσο είλαη νη εμήο:

3,2,1 321

Γηα λα βξνύκε ηα αληίζηνηρα ηδηνδηαλύζκαηα ζα κειεηήζνπκε ηα ζπζηήκαηα:

.3,2,1, iA ixx

Έρνπκε:

Α) Γηα ηελ ηδηνηηκή 11 ην αληίζηνηρν ηδηνδηάλπζκα πξνθύπηεη από ηε ιύζε ηνπ παξαθάησ

ζπζηήκαηνο:

7

1 1 1 2 3 1 1 2 3

2 2 1 2 3 2 1 3

3 3 2 3 3 2 3

1 3

3

2 3

3 1 1 3 2 0

2 1 2 2 2 2 2 0

0 1 2 2 0

, .

x x x x x x x x x

A x x x x x x x x

x x x x x x x

x xx

x x

x x

R

Καηά ζπλέπεηα ην ζύλνιν ησλ ηδηνδηαλπζκάησλ πνπ αληηζηνηρνύλ ζηελ ηδηνηηκή 11 είλαη ην:

}0{\:

1

1

1

}0{\: 3

3

3

3

1RR kkx

x

x

x

V . Θεσξνύκε ην δηάλπζκα

1

1

1

1v από ην

ζύλνιν 1

V σο αληίζηνηρν ηδηνδηάλπζκα ηεο ηδηνηηκήο 11 .

Β) Γηα ηελ ηδηνηηκή 22 ην αληίζηνηρν ηδηνδηάλπζκα πξνθύπηεη από ηε ιύζε ηνπ παξαθάησ


1 1 1 2 3 1 1 2 3

2 2 1 2 3 2 1 2 3

3 3 2 3 3 2

1 3

3

2

3 1 1 3 2 0

2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 0

0 1 2 2 2 0

, .0

x x x x x x x x x

A x x x x x x x x x

x x x x x x

x xx

x

x x

R

Καηά ζπλέπεηα ην ζύλνιν ησλ ηδηνδηαλπζκάησλ πνπ αληηζηνηρνύλ ζηελ ηδηνηηκή 22 είλαη

ην:

}0{\:

1

0

1

}0{\:0 3

3

3

2RR kkx

x

x

V . Θεσξνύκε ην δηάλπζκα

1

0

1

2v από ην

ζύλνιν 2


Γ) Γηα ηελ ηδηνηηκή 33 ην αληίζηνηρν ηδηνδηάλπζκα πξνθύπηεη από ηε ιύζε ηνπ παξαθάησ


1 1 1 2 3 1 2 3

2 2 1 2 3 2 1 2 3

3 3 2 3 3 2 3

1

3

2 3

3 1 1 3 3 0

3 2 1 2 3 2 2 3 2 2 2 0

0 1 2 2 3 0

0, .

x x x x x x x x

A x x x x x x x x x

x x x x x x x

xx

x x

x x

R

Καηά ζπλέπεηα ην ζύλνιν ησλ ηδηνδηαλπζκάησλ πνπ αληηζηνηρνύλ ζηελ ηδηνηηκή 33 είλαη

ην:

}0{\:

1

1

0

}0{\:

0

3

3

33RR kkx

x

xV . Θεσξνύκε ην δηάλπζκα

1

1

0

3v από ην

ζύλνιν 3


β) Σύκθσλα κε ηε Βηβιίν ΔΑΠ ζει. 284, Παξαηεξήζεηο 1,2, επεηδή ν πίλαθαο Α, έρεη

δηαθεθξηκέλεο ηδηνηηκέο είλαη δηαγσλνπνηήζηκνο κε πίλαθα νκνηόηεηαο Ρ, ν νπνίνο πξνθύπηεη αλ

βάινπκε ηα αληίζηνηρα ηδηνδηαλύζκαηα σο ζηήιεο. Έηζη έρνπκε:

8

111

101

011

),,( 321 vvvP

θαη αληίζηνηρν

300

020

001

),,(diag 321 D .

Δύθνια επαιεζεύεηαη όηη 1 PDPA .


Έζησ ε γξακκηθή απεηθόληζε 33RR :f κε πίλαθα αλαπαξάζηαζεο σο πξνο ηελ θαλνληθή

βάζε ηνπ R3 ηνλ

41

341

121

A

θαη ην δηάλπζκα 3Rv ),10,6( .

Να βξεζεί γηα πνηεο ηηκέο ησλ παξακέηξσλ , ην v αλήθεη ζην Imf. Σε όιεο ηηο πεξηπηώζεηο

πνπ απηό ζπκβαίλεη λα βξείηε όια ηα αληίζηνηρα 3

321 ),,( Rxxx γηα ηα νπνία

v),,( 321 xxxf .

Λύζη

Ζ ζπλζήθε v),,( 321 xxxf είλαη ηζνδύλακε κε ηελ

10

6

41

341

121

3

2

1

x

x

x

δειαδή κε ην γξακκηθό ζύζηεκα:

321

321

321

4

1034

62

xxx

xxx

xxx

(1)

Σπλεπώο ην v αλήθεη ζην Imf αλ θαη κόλν αλ ην παξαπάλσ ζύζηεκα είλαη ζπκβηβαζηό, νη δε

αληίζηνηρεο ιύζεηο ηνπ απνηεινύλ θαη ηα δεηνύκελα 3

321 ),,( Rxxx .

Γεκηνπξγνύκε ηνλ επαπμεκέλν πίλαθα ηνπ ζπζηήκαηνο:

9

.

10

2

6

300

110

121

6

2

6

120

110

121

4

6

41

220

121

10

6

41

341

121

)(

233

22133122

2

2

1,

rrr

rrrrrrrr

bA

Από ηνλ παξαπάλσ θιηκαθσηό πίλαθα πξνθύπηνπλ ηα εμήο:

1) Τν ζύζηεκα έρεη κηα αθξηβώο ιύζε αλ .03 δειαδή .3

2) Τν ζύζηεκα έρεη άπεηξεο ιύζεηο όηαλ 010θαη 03 δειαδή

10.θαη 3

3) Τν ζύζηεκα δελ έρεη ιύζε όηαλ 03 θαη 10 δειαδή όηαλ

10θαη 3 .

Σπλεπώο ην v αλήθεη ζην Imf αλ θαη κόλν αλ είηε 3 ή 10θαη 3 .

Σηελ πξώηε πεξίπησζε πνπ 3 (πεξίπησζε (1)) ππάξρεη κνλαδηθό 3

321 ),,( Rxxx κε

v),,( 321 xxxf θαη βξίζθεηαη σο εμήο: Από ηελ (α) έρνπκε ην ζύζηεκα

10)3(

2

62

3

32

321

x

xx

xxx

(2)

Με αληηθαηάζηαζε μεθηλώληαο από ην x3 έρνπκε:

.3

216,

3

24,

3

10123

xxx

Άξα ην δεηνύκελν (κνλαδηθό) δηάλπζκα είλαη ην

)3

10,

3

24,

3

216(),,( 321

xxx .

Σηελ δεύηεξε πεξίπησζε πνπ 10θαη 3 (πεξίπησζε (2)) ππάξρνπλ άπεηξα 3

321 ),,( Rxxx κε v),,( 321 xxxf θαη βξίζθνληαη σο εμήο: Γηαγξάθνληαο ηελ ηειεπηαία

εμίζσζε, από ηo ζύζηεκα (2) έρνπκε ην ζύζηεκα:

32

31

32

331

32

321

2

2

2

6)2(2

2

62

xx

xx

xx

xxx

xx

xxx

νπόηε ηα δεηνύκελα (άπεηξα) ),,( 321 xxx είλαη ηα

.),1,1,1()0,2,2(),2,2(),,( 33333321 R xxxxxxxx


α) (5 μον.) Να εμεηάζεηε σο πξνο ηε ζύγθιηζε ηηο παξαθάησ ζεηξέο:

i) n

n n

n

10

14

1

ii)

123 235

73

n nn

n

β) (5 μον.) Να ππνινγίζεηε ηα παξαθάησ όξηα

10

i) 30

3sin22sin3lim

x

xxx

ii) )15(lim 4 34 xxxx

Τπόδειξη: Γηα ην βii) κπνξείηε είηε λα ρξεζηκνπνηήζεηε ηελ ηαπηόηεηα

4 4 3 2 2 3( )( )A B A B A A B AB B ή λα ζέζεηε 1

yx

θαη λα εθαξκόζεηε θαλόλα

L’Hospital.

Λύζη

α) i) Δθόζνλ )!3!.(

)!4(4

nn

n

n

n

ζα εθαξκόζνπκε ην θξηηήξην ηνπ ιόγνπ, γηα

nnnn

na

10

1

)!3!.(

)!4( .

Έρνπκε

)13)(23)(33)(1(10

)14)(24)(34)(44(

10)!33()!1()!4(

10)!3(!)!44(

10

110

1

)!3!.(

)!4(

)!33)!.(1(

)!44(

1

11

nnnn

nnnn

nnn

nnn

nn

n

nn

n

a

an

n

n

n

n

n

άξα

1270

256

3.10

4

)1

3)(2

3)(3

3)(1

1(10

)1

4)(2

4)(3

4)(4

4(

limlim3

4

1

nnnn

nnnn

a

a

n

n .

Σπλεπώο ε ζεηξά ζπγθιίλεη.

ii) Θέηνληαο 235

7323

nn

nbn έρνπκε

.23

5

73

1

235

73

33

3

nn

n

n

nn

n

n

nbn

Θα ζπγθξίλνπκε άξα ηελ ζεηξά κε ηελ n

cn

1 ε νπνία γλσξίδνπκε όηη απνθιίλεη,

εθαξκόδνληαο ηo γεληθεπκέλν θξηηήξην ζύγθξηζεο ζεηξώλ (βι. παξάγξαθν 3.2.2 ηνπ

θεθαιαίνπ Σεηξέο ηνπ ΣΔΥ Λνγηζκόο) ζηηο ζεηξέο κε γεληθνύο όξνπο bn θαη cn.

Έρνπκε 0, nn cb θαη 05

3

235

73

limlim

3

nn

n

c

b

n

n . Σπλεπώο ε δνζείζα ζεηξά

απνθιίλεη.

β) i) (1ορ

ηπόπορ) Θα ρξεζηκνπνηήζνπκε ηνλ θαλόλα L’Hospital, παξαγσγίδνληαο αξηζκεηή θαη

παξνλνκαζηή κέρξη λα θηάζνπκε ζε γλσζηό ή εύθνια ππνινγίζηκν όξην. Θέηνληαο άξα

3)(,3sin22sin3)( xxgxxxf έρνπκε 0)(lim)(lim 00 xgxf xx άξα ην )(

)(lim 0

xg

xfx

είλαη απξνζδηόξηζηε κνξθή 0

0.

Έρνπκε 23)(',3cos62cos6)(' xxgxxxf , 0)('lim,066)('lim 00 xgxf xx άξα

11

θαη ην )('

)('lim 0

xg

xfx

είλαη απξνζδηόξηζηε κνξθή 0

0, xxgxxxf 6)('',3sin182sin12)('' ,

άξα θαη ην )(''

)(''lim 0

xg

xfx είλαη απξνζδηόξηζηε κνξθή

0

0 θαη

6)(''',3cos542cos24)(''' xgxxxf άξα

56

2454

6

3cos542cos24lim

)('''

)('''lim 00

xx

xg

xfxx .

Σπλεπώο εθαξκόδνληαο ηνλ θαλόλα L’Hospital ηξεηο θνξέο ζπκπεξαίλνπκε όηη ην όξην

)(

)(lim 0

xg

xfx ππάξρεη θαη είλαη ίζν κε 5.

(2ορ

ηπόπορ) Φξεζηκνπνηώληαο ηνλ ηύπν ηνπ Taylor γηα ηελ ζπλάξηεζε sinx έρνπκε

...!56)!12(

)1(sin

0

5312

n

nn xx

xxn

x

ζπκπεξαίλνπκε όηη

....!5

2.33.2

6

2.33.2

...)!5

)3(

6

)3(3(2...)

!5

)2(

6

)2(2(33sin22sin3

555

333

5353

xx

xxx

xxxxx

άξα

....!5

2.33.25

3sin22sin3 255

3

x

x

xx

θαη

.53sin22sin3

lim30

x

xxx

ii) (1ορ

ηπόπορ) Θέηνληαο xBxxA ,154 34 έρνπκε

))((15 3223443 BABBAABABAx

άξα

.4

5

115

1)15

1()15

1(

15

lim

15)15()15(

15lim

)15(lim

44

24

4

34

4

3

324 3424 3434 34

3

4 34

xxxxxx

x

xxxxxxxxx

x

xxx

x

x

x

(2ορ

ηπόπορ) Τν όξην είλαη απξνζδηόξηζηε κνξθή )( ηελ νπνία κεηαηξέπνπκε ζε 0

0 σο

εμήο:

12

x

xxxxx xx 1

115

1

lim)15(lim

44

4 34

.

Σηε ζπλέρεηα εθηεινύκε ηελ αληηθαηάζηαζε x

y1

θαη εθαξκόδνπκε ηνλ θαλόλα L’Hospital (ή

βξίζθνπκε ηελ παξάγσγν ζην 0 ηεο αληίζηνηρεο ζπλάξηεζεο) θαη έρνπκε

43

4 344

3

4 4 34 4

4 3/40 0 0

1 11 5 1

1 1lim ( 5 1 ) lim ( 1 5 ) lim

1

1 5 1 ( 1 5 ) ' 1 5 4 5lim lim lim .

( ) ' 4 (1 5 ) 4

x x x

y y y

x xx x x x x

x x

x

y y y y y

y y y y


α) Έλα ζπξηάξη πεξηέρεη έμη δηαθνξεηηθά λνκίζκαηα, ηα Ν1,Ν2,…,Ν6. Ζ πηζαλόηεηα λα

εκθαληζηνύλ γξάκκαηα αλ ζηξίςνπκε ην λόκηζκα Νk είλαη ίζε κε 6,...,2,1,5

1

k

k (π.ρ. ην

λόκηζκα Ν1 έρεη θαη ζηηο δύν όςεηο θνξώλα θαη ην Ν6 έρεη θαη ζηηο δύν όςεηο γξάκκαηα θιπ).

Γηαιέγνπκε ζηελ ηύρε έλα λόκηζκα από ην ζπξηάξη θαη ην ζηξίβνπκε δύν θνξέο. Θεσξνύκε σο

Α ην ελδερόκελν ζηελ πξώηε ξίςε λα εκθαληζηνύλ γξάκκαηα θαη σο Β ην ελδερόκελν ζηε

δεύηεξε ξίςε λα εκθαληζηεί θνξώλα.

(i) (5 μον.) Να βξείηε ηελ πηζαλόηεηα λα έρνπκε δηαιέμεη ην λόκηζκα Νk (γηα θαζεκία από ηηο

ηηκέο 1,2,...,6k ) εάλ είλαη γλσζηό όηη ζηελ πξώηε ξίςε εκθαλίζηεθαλ γξάκκαηα.

(ii) (5 μον.) Να βξείηε θαη λα ζπγθξίλεηε ηηο πηζαλόηεηεο P(Β|Α) θαη Ρ(Β). Δίλαη ηα

ελδερόκελα Α θαη Β αλεμάξηεηα; Μπνξείηε λα εξκελεύζεηε ην απνηέιεζκα;

Τπόδειξη: Θεσξείζηε ην ελδερόκελν Δk λα δηαιέμακε ην λόκηζκα Νk, k=1,2,..,6 θαη εθαξκόζηε

Θεώξεκα Οιηθήο Πηζαλόηεηαο θαη ηνλ ηύπν ηνπ Bayes.

β) Ζ πνζόηεηα δηνμεηδίνπ ηνπ άλζξαθα πνπ παξάγεηαη ζε κηα ρεκηθή αληίδξαζε είλαη ηπραία

κεηαβιεηή κε ζπλάξηεζε ππθλόηεηαο πηζαλόηεηαο:

1αλ

1αλ0)(

xax

xxf

b

όπνπ a,bR, θαη κέζε ηηκή ίζε κε 1,5 gr.

i) (5 μον.) Να πξνζδηνξίζεηε ηα a,b θαη ηε δηαζπνξά ηεο παξαπάλσ ηπραίαο κεηαβιεηήο.

ii) (5 μον.) Να βξείηε ηελ πηζαλόηεηα λα παξήρζεζαλ ην πνιύ 4 gr δηνμεηδίνπ ηνπ άλζξαθα

αλ είλαη γλσζηό όηη παξήρζεζαλ ηνπιάρηζηνλ 2 gr.

13

Λύζη

α) Έζησ Δk ην ελδερόκελν λα δηαιέμακε ην λόκηζκα Νk, k=1,2,..,6. Τα ελδερόκελα Δ1,…,Δ6

απνηεινύλ δηακέξηζε ηνπ δεηγκαηηθνύ ρώξνπ, Ρ(Δk)=1/6 θαη επηπιένλ καο δίδεηαη όηη

.6,...,2,1,5

1)EA( k

k

kP

Αθνύ θαη ε δεύηεξε ξίςε γίλεηαη κε ην ίδην λόκηζκα ζπκπεξαίλνπκε όηη

6,...,2,1,5

6

5

11)EB( k

k

kkP

θαη αθνύ από ηε ζηηγκή πνπ έρνπκε δηαιέμεη ην λόκηζκα ηα δύν απνηειέζκαηα ησλ ξίςεσλ

είλαη αλεμάξηεηα, έρνπκε επίζεο:

.6,...,2,1,25

)6)(1(

5

6.

5

1)EBA( k

k

kkkkP

(i) Δδώ καο δεηείηαη λα βξνύκε ην A).E( kP Φξεζηκνπνηώληαο ην Θεώξεκα Οιηθήο

Πηζαλόηεηαο έρνπκε

6

1

6

1 2

1

6

1).

5

5...

5

1

5

0(

6

1.

5

1)E()EA(A)(

k k

kk

kPPP

θαη άξα από ηνλ ηύπν ηνπ Bayes

.6,...,2,1,15

1

2

16

1.

5

1

A)(

)E()EA(A)E(

kk

k

P

PPP

kk

k

Έηζη 0A)E( 1 P (πξνθαλώο αθνύ ήξζαλ γξάκκαηα δελ κπνξεί λα είρακε δηαιέμεη ην λόκηζκα

Ν1 κε ηηο δύν θνξώλεο), 15

1A)E( 2 P ,

15

2A)E( 3 P ,

5

1

15

3A)E( 4 P ,

15

4A)E( 5 P ,

.3

1

15

5A)E( 6 P

(ii) Όπσο θαη ζην (α) έρνπκε

6

1

6

1 2

1

6

1).

5

0...

5

4

5

5(

6

1.

5

6)E()EB(B)(

k k

kk

kPPP

θαη

.15

2

6

1).

25

5.0...

25

4.1

25

0.5(

6

1.

25

)1)(6()E()EBA(B)A(

6

1

6

1

k k

kk

kkPPP

Άξα

.15

4

2

115

2

A)(

)AB(A)B(

P

PP

Παξαηεξνύκε ηώξα όηη

B).(2

1

15

4A)B( PP

Άξα ηα ελδερόκελα Α θαη Β δελ είλαη αλεμάξηεηα, θαη κάιηζηα ε πξαγκαηνπνίεζε ηνπ Α

κεηώλεη ηελ πηζαλόηεηα πξαγκαηνπνίεζεο ηνπ Β. Απηό ζπκβαίλεη δηόηη ην λα έξζνπλ ζηελ

πξώηε ξίςε γξάκκαηα καο δίλεη θάπνηα πιεξνθνξία γηα ην πνην κπνξεί λα είλαη ην λόκηζκα πνπ

14

επηιέμακε, όπσο θαίλεηαη από ηηο δηάθνξεο πηζαλόηεηεο πνπ βξήθακε ζην εξώηεκα (i). Π.ρ.

απνθιείεηαη λα είλαη ην λόκηζκα Ν1, κε ζρεηηθά κηθξή πηζαλόηεηα είλαη ην Ν2 θ.ν.θ. Σπλεπώο ε

δεύηεξε ξίςε ηνπ ηδίνπ λνκίζκαηνο επεξεάδεηαη θαη κάιηζηα πξνο ηελ θαηεύζπλζε λα

μαλαέξζνπλ γξάκκαηα, δειαδή κεηώλεηαη ε πηζαλόηεηα λα ζπκβεί ην Β.

β) i) Έζησ X ε ηπραία κεηαβιεηή πνπ παξηζηάλεη ηελ ελ ιόγσ πνζόηεηα δηνμεηδίνπ ηνπ

άλζξαθα. Αθνύ ε f είλαη ζπλάξηεζε ππθλόηεηαο πηζαλόηεηαο ζα πξέπεη λα έρνπκε

R xxf ,0)( άξα 0a θαη 1)(

dxxf άξα

1)(1 dxaxdxxf b .

Τν αληίζηνηρν αόξηζην νινθιήξσκα είλαη

1,ln

1,1

1

bxa

bb

ax

dxax

b

b

θαη θαζώο ην xx lnlim θαη

1lim b

x x όηαλ ην b+1>0 ζπκπεξαίλνπκε όηη

πξέπεη λα έρνπκε b<1 θαη άξα

.11

)1(lim

1lim1

1

11

1

b

a

b

ya

b

axdxax

b

y

yb

y

b

Δπίζεο

1

1)(][5,1 dxaxdxxxfXE b

άξα όπσο θαη παξαπάλσ ζπκπεξαίλνπκε όηη πξέπεη λα έρνπκε b<2 θαη

.22

)1(lim

2lim5,1

2

11

21

b

a

b

ya

b

axdxax

b

y

yb

y

b

Έρνπκε άξα

.4,3)2(5,1)1( babba

Δπίζεο

33

lim33.)(][1

1

2

1

4222

y

yx

dxxdxxxdxxfxXE

νπόηε

.4

3)

2

3(3][][][ 222 XEXEXVar

ii) Εεηείηαη ε δεζκεπκέλε πηζαλόηεηα ( 4 2).P X X Έρνπκε

8

1lim3)2(

22

34

y

y xdxxXP

θαη 44

4 3

2 2

1 1 7({ 4} { 2}) (2 4) 3

8 64 64P X X P X x dx x .

Σπλεπώο έρνπκε

({ 2} { 4}) 7/64 7( 4 2) .

( 2) 1/8 8

P X XP X X

P X

Έντυπο Υποβολής – Αξιολόγησης Γ...

Documents

Transcript of Έντυπο Υποβολής – Αξιολόγησης Γ...