人教 A 版选修 4-2 教材解读
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人教 A 版选修 4-2 教材解读. 矩阵与变换. 杭州长征中学 朱成万 Email:[email protected]. 一、课程目标. 通过几何变换讨论二阶方阵的乘法及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念； 用变换的观点理解解线性方程组； 初步展示矩阵应用的广泛性。. 二、知识结构. 三、教材特点. 一条主线 —— 几何直观 两个过程 —— 知识、概念发生过程； 学生思维发生过程； 三种思想 —— 变换思想 数形结合 具体到抽象. 四、课时安排. 五、内容解析. 第一讲 线性变换与二阶矩阵 - PowerPoint PPT Presentation
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一、课程目标一、课程目标通过几何变换讨论二阶方阵的乘法及通过几何变换讨论二阶方阵的乘法及
性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念；性质、逆矩阵和矩阵的特征向量等概念；用变换的观点理解解线性方程组；用变换的观点理解解线性方程组；初步展示矩阵应用的广泛性。 初步展示矩阵应用的广泛性。
二、知识结构二、知识结构
三、教材特点一条主线——几何直观两个过程—— 知识、概念发生过程； 学生思维发生过程；三种思想—— 变换思想 数形结合 具体到抽象
四、课时安排四、课时安排引言第一讲 线性变换与二阶矩阵 5 课时
第二讲 变换的复合与二阶矩阵的乘法 4 课时
第三讲 逆变换与逆矩阵 5 课时
第四讲 变换的不变量与矩阵的特征向量 4 课时
学习总结报告
五、内容解析五、内容解析
第一讲 线性变换与二阶矩阵
（一） 线性变换与二阶矩阵 （二） 二阶矩阵与平面向量的乘法 （三） 线性变换的基本性质
yy
xx
'
'
yxy
yxx
0'
0'
P’(x’,y’)P(x,y)••
10
01A
矩阵把平面上的任一个点 ，变成平面上矩阵把平面上的任一个点 ，变成平面上的另一个点。它是一个几何变换的另一个点。它是一个几何变换 ..
11 、矩阵——几何变换的代数表示、矩阵——几何变换的代数表示
反射变换
几何代数化——向量几何代数化——向量平面几何变换 平面几何变换 : : 二阶矩阵乘向量二阶矩阵乘向量
22 、矩阵与向量的乘法、矩阵与向量的乘法
y
x
y
x
10
01
'
'
yxy
yxx
0'
0'
33 、常见的几种几何变换的矩阵表示、常见的几种几何变换的矩阵表示
恒等变换恒等变换伸压变换伸压变换反射变换反射变换切变变换切变变换旋转变换旋转变换投影变换投影变换
反射变换反射变换-1 0
0 1
1 0
0 -1
关于 Y轴反射变换
关于 X轴反射变换
切变变换切变变换
1 1
0 1
平行于 X轴的切变变换
投影变换投影变换
1 0
0 0X轴上正投影
1 0
0 0
4 、线性变换的基本性质
线性变换把平面上直线变成直线（或一点）
（ 1 ） A() = A ；（ 2 ） A( + ) = A + A
。
A( + ) = A + A 。
第二讲 变换的复合与二阶矩阵的乘法第二讲 变换的复合与二阶矩阵的乘法
（一） 复合变换与二阶矩阵的乘法 （一） 复合变换与二阶矩阵的乘法 （二） 矩阵乘法的性质 （二） 矩阵乘法的性质
1 、矩阵的乘法法则
01
10
2
10
01
02
1)1(01
2
100
00)1(11001
02
1
10
几何意义：连续施行两次变换
矩阵乘法满足结合律，但不满足交换律
2 、矩阵的乘法的几何意义
33 、三种运算律对比、三种运算律对比
第三讲 逆变换与逆矩阵第三讲 逆变换与逆矩阵
（一） 逆变换与逆矩阵 （一） 逆变换与逆矩阵 （二） 二阶行列式与逆矩阵 （二） 二阶行列式与逆矩阵 （三） 逆矩阵与二元一次方程组 （三） 逆矩阵与二元一次方程组
1 、从几何变换看逆矩阵；
IRRRR 30303030
211 EAAAA
dc
baA
||||
||||1
A
a
A
c
A
b
A
d
A
取负
交换
2 、二阶行列式与逆矩阵二阶行列式与逆矩阵
bcaddc
baA ||
已知变换矩阵及变换结果， 问该结果是由哪一个向量变过来的。
5
2
24
13
y
x
3 、 二阶矩阵与二元一次方程组。
524
23
yx
yx
（一）变换的不变量——矩阵的特征向量（一）变换的不变量——矩阵的特征向量（二）特征向量的应用 （二）特征向量的应用
第四讲 变换的不变量与矩阵的特征向量第四讲 变换的不变量与矩阵的特征向量
Aξ ξ
1 、特征值与征向量 矩阵的特征向量是在变换下的“不变
量”
A的一个特征值
A的属于的一个特征向量
只改变其特征向量的长度不改变其方向只改变其特征向量的长度不改变其方向
22 、变换的几何意义、变换的几何意义
小结小结矩阵与变换是新增内容，矩阵与变换是新增内容，也是我们有作为的内容也是我们有作为的内容
杭州长征中学 朱成万杭州长征中学 朱成万[email protected]@163.com
(AB)1 B1A1
矩阵乘积的逆矩阵：
先脱鞋子后脱袜子先穿袜子后穿鞋
教学建议教学建议准确把握教学要求准确把握教学要求
与大学教学相区别：与大学教学相区别：大学大学 :: 代数的运算对象代数的运算对象 ,, 主要研究运算性主要研究运算性质质 ;; 线性方程组与线性空间的表示方法线性方程组与线性空间的表示方法 ..
课程标准课程标准 :: 通过几何变换对几何图形的通过几何变换对几何图形的作用体会矩阵的几何作用作用体会矩阵的几何作用 ,, 从直观上认从直观上认识矩阵的意义识矩阵的意义 ..
