Задача № 23, 18, 17, 2 · 2020. 4. 20. · 2. Конъюнкция (логическое...

Комитет образования и науки Курской области

Областное государственное бюджетное образовательное учреждение

дополнительного профессионального образования

«Курский институт развития образования»

Кафедра информатизации образования

Т.С.Горбулина

К.А.Колесниченко

Алгебра логики.

Задача № 23, 18, 17, 2

ЕГЭ по информатике и ИКТ.

Курск 2020

Алгебра логики или булева алгебра работает с высказываниями и

операциями над ними.

Высказывание – это такое повествовательное предложение, о

котором можно точно сказать истинно оно или ложно.

Например, на улице идёт дождь. – высказывание

У Серёжи голубые глаза. – не высказывание.

Так как в первом случае, посмотрев в окно, мы точно сделаем вывод

о правильности утверждения, а во втором случае не указанно у какого

конкретно Серёжи голубые глаза, поэтому вывод о правильности сделать

нельзя.

Какое прекрасное утро! – не высказывание (предложение

побудительное).

Сегодня хорошее утро? – не высказывание (предложение

вопросительное).

Высказывания обозначаются буквами латинского алфавита А, B, C и

т.д.

В алгебре логики два возможных значения операций 0 – ложно, 1 –

истинно. Для каждой операции составляется таблица истинности, которая

показывает значения при всех возможных входных значениях переменной.

Рассмотрим основные операции с высказываниями и их таблицы

истинности.

1. Инверсия (отрицание) переворачивает значение переменной на

противоположное.

Обозначения : ¬ А, А̅, не А

Таблица истинности

А ¬ А

0 1

1 0

2. Конъюнкция (логическое умножение). Конъюнкция истинна тогда и

только тогда, когда оба высказывания истинны.

Обозначения : А ⋀ В, А · В, А и В, A & B


А В А ⋀ В

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

3. Дизъюнкция (логическое сложение). Дизъюнкция ложна тогда и

только тогда, когда оба высказывания ложны.

Обозначения : А ⋁ В, А + В, А или В


А В А ⋀ В

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

4. Импликация (логическое следование). Импликация ложна тогда и

только тогда, когда из истины следует ложь.

Обозначения : А → В, если А, то В

Формула представления импликации через простые операции

А → В=А̅+В


А В А ⋀ В

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

5. Эквивалентность (равносильность). Эквивалентность истинна, когда

значения входные переменных совпадают.

Обозначения : А ↔В, А ≡ В, А равносильно В, А ~ В


Формула представления импликации через простые операции

А ↔ В= (А̅̅ ̅ + 𝐵)(�̅� + 𝐴)

А В А ↔B

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Приоритет операций:

1. Инверсия

2. Конъюнкция

3. Дизъюнкция

4. Импликация

5. Эквивалентность

Законы алгебры логики

1. Коммуникативный закон

A&B=B&A A+ B = B +A

2. Ассоциативный закон

А& (B&C)=(A&B) &C, A+ (B+C)=(A+B)+𝐶 C

3. Дистрибутивный закон

A&(B+C)=(A&B)+(A&C) A+(B&C)=(A+B)&(A+C)

4. Закон идемпотентности

A&A=A A+A=A

Отсюда А&0=0, A&1=A

A+0 = A A+1=1

5. Закон двойного отрицания

�̿� = 𝐴

6. Закон поглощения

А&(A+B)=A A+(A&B)=A

7. Законы де Моргана

¬(A&B)=¬A+¬B ¬(A+B)=¬A&¬B

8. Закон исключённого третьего

A+¬A=1

Правила построения таблиц истинности

1. Ставим порядок действий над выражением, определяем сколько

переменных. Пусть k – количество переменных, m – количество

действий.

2. Количество строк= 2k+1

3. Количество столбцов = k+m

4. Последовательно заполняем столбцы

1. Построим таблицу истинности для выражения: 𝐹 = 𝐴 ∧ (𝐵 ∨ 𝐶̅)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ∨

𝐶

Решение:

Количество переменных 3

Количество действий 5

Количество строк=8+1

Количество столбцов= 3+5=8

А B C С̅ B⋁𝐶̅ 𝐵⋁𝐶̅̅̅ ̅̅ ̅̅ A∧ 𝐵⋁𝐶̅̅̅ ̅̅ ̅̅ A∧ 𝐵⋁𝐶̅̅̅ ̅̅ ̅̅ ∨ 𝐶

1 2 3 4 5 6 7 8

0 0 0 1 1 0 0 0

0 0 1 0 0 1 0 1

0 1 0 1 1 0 0 0

0 1 1 0 1 0 0 1

1 0 0 1 1 0 0 0

1 0 1 0 0 1 1 1

1 1 0 1 1 0 0 0

1 1 1 0 1 0 0 1

В начале заполняем первые три столбца для трёх переменных, они

будут всегда одинаковы. Затем получаем столбец 4, с значениями

противоположными столбцу 3. Столбец 5 получается из 2 и 4 путём

дизъюнкции, то есть 0 будет только в строке, где 0 и 0 в соответствующих

столбцах. Столбец 6 получается из 5 путём замены противоположными

значениями. 7 столбец формируется с помощью конъюнкции 1 и 6 столбца,

то есть 1 получаются только в строках с двумя единицами в

соответствующих столбцах. Столбец 8 получается из 7 и 3 с помощью

дизъюнкции, то есть 0 будет только в строках с двумя нулями в

соответствующих столбцах.

2. Построим таблицу истинности для выражения:

𝐹 = 𝐴 ∧ �̅�̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ∧ (𝐴 ∧ 𝐶)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅

Решение:

Количество переменных 3

Количество действий 6

Количество строк=8+1

Количество столбцов= 3+6=9

А B C �̅� 𝐴 ∧ �̅� 𝐴 ∧ �̅�̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ 𝐴 ∧ 𝐶 (𝐴 ∧ 𝐶)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝐴 ∧ �̅�̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ∧ (𝐴 ∧ 𝐶)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅

1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 0 0 1 0 1 0 1 1

0 0 1 1 0 1 0 1 1

0 1 0 0 0 1 0 1 1

0 1 1 0 0 1 0 1 1

1 0 0 1 1 0 0 1 0

1 0 1 1 1 0 1 0 0

1 1 0 0 0 1 0 1 1

1 1 1 0 0 1 1 0 0

В начале заполняем первые три столбца для трёх переменных, они

будут всегда одинаковы. Затем получаем столбец 4, с значениями

противоположными столбцу 2. Столбец 5 получается из 1 и 4 путём

конъюнкции, то есть 1 будет только в строке, где 1 и 1 в соответствующих

столбцах. Столбец 6 получается из 5 путём замены противоположными

значениями. 7 столбец формируется с помощью конъюнкции 1 и 3 столбца,

то есть 1 получаются только в строках с двумя единицами в

соответствующих столбцах. Столбец 8 получается из 7 путём замены

противоположными значениями. Столбец 9 – это конъюнкция 6 и 8

столбцов.

3. Для какого из указанных значений Z истинно высказывание:

((Z>3)v(Z = l)v(Z = 2))→(Z>4)?

1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4.

Решение:

Самый простой способ подставить ответы в выражение и посмотреть какое

выражение истинно.

(1>3) v (1=1) v (1=2) = 1 1>4 = 0

0 1 0

При 1 получили 1 → 0=0 неверно.

(2>3) v (2=1) v (2=2) = 1 2>4 = 0

0 0 1

При 2 получили 1 → 0=0 неверно.

(3>3) v (3=1) v (3=2) = 0 3>4 = 0

0 0 0

При 3 получили 0 → 0=1 истина.

4. Какое из приведенных имен удовлетворяет логическому условию:

(третья буква согласная → вторая буква гласная)∧ последняя буква

гласная?

1) АНТОН;

2) ЭСМЕРАЛЬДА;

3) АННА;

4) ДЖАКОМО.

Решение: Проверяем каждый из вариантов.

Антон – (1→0) ∧ 0=0 неверно

Эсмеральда – (1→0) ∧ 1=0 неверно

Анна – (1→0) ∧ 1=0 неверно

Джакомо – (0 → 0) ∧ 1=1 – верный ответ

5. Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению:

A v В̅ ∧ С ̅̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ?

1) А̅ ∨ 𝐵 ∨ 𝐶̅;

2) A v (В ∧С);

3) A v B v C;

4) Av �̅� v С̅.

Решение:

Можно воспользоваться формулами преобразований, а можно построить

таблицу истинности.

1 способ. Формулы преобразования. Воспользуемся формулами Де

Моргана A v В̅ ∧ С ̅̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ =А v В̿ v С̿. Затем законом двойного отрицания.

Получим,

А v В v С – Ответ 3

2 способ более громоздкий, но его можно использовать для

тренировки составления таблиц истинности. Составим таблицы

истинности для всех выражений и сравним последние столбцы. Таблица

истинности для A v В̅ ∧ С ̅̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅

А В С В̅ С̅ В̅ ∧ С ̅ В̅ ∧ С ̅̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ A v В̅ ∧ С ̅̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅

0 0 0 1 1 1 0 0

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 0 1 0 1 1

0 1 1 0 0 0 1 1

1 0 0 1 1 1 0 1

1 0 1 1 0 0 1 1

1 1 0 0 1 0 1 1

1 1 1 0 0 0 1 1

Таблица истинности для А̅ ∨ 𝐵 ∨ 𝐶̅;

А В С А̅ С̅ А̅ ∨ 𝐵 А̅ ∨ 𝐵 ∨ 𝐶̅;

0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 1 1

0 1 0 1 1 1 1

0 1 1 1 0 1 1

1 0 0 0 1 0 1

1 0 1 0 0 0 0

1 1 0 0 1 1 1

1 1 1 0 0 1 1

Мы видим, что последние столбцы не совпадают, значит ответ

неверный.

Составляем следующую таблицу истинности для A v (В ∧С)

А В С В ∧ С А ∨ (𝐵 ∧ С);

0 0 0 0 0

0 0 1 0 0

0 1 0 0 0

0 1 1 1 1

1 0 0 0 1

1 0 1 0 1

1 1 0 0 1

1 1 1 1 1

Мы видим, что последние столбцы не совпадают, значит ответ

неверный.

Составляем следующую таблицу истинности для A v B v C

А В С A v B A v B v C

0 0 0 0 0

0 0 1 0 1

0 1 0 1 1

0 1 1 1 1

1 0 0 1 1

1 0 1 1 1

1 1 0 1 1

1 1 1 1 1

Получили такой же столбец, как и в первоначальной функции,

следовательно, они равносильны.

6. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических

выражений от трех аргументов: А, В, С. Дан фрагмент таблицы

истинности выражения F:

А В С F

1 1 0 1

0 0 0 0

1 0 0 1

Какое выражение соответствует F?

1) А̅ ∧ �̅� ∧ 𝐶

2)�̅� ∨ �̅� ∨ 𝐶;

3) А ∧ В ∧ 𝐶̅

4) А ∨В ∧ С̅.

Решение:

Подставляем значения из таблицы истинности в функции и ищем ту, где

нет противоречий.

1. 0*0*0=1 неверно, первый ответ не подходит.

2. 0+0+0=1 неверно, второй ответ не подходит.

3. 1*1*1=1 верно

0*0*1=0 верно

1*0*1=1 неверно

4) 1+1*1=1 верно

0+0*1=0 верно

1+0*1=1 верно

Правильный ответ 4

7. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

X Y Z F

0 0 0 0

0 0 1 0

1 1 1 1

Каким выражением может быть F?

1) X∧Y∧Z

2) �̅�⋁�̅�⋁𝑍

3) X V Y V Z

4) �̅� ∧ �̅�⋀�̅�

Решение:

Обращаем внимание на таблицу истинности при всех 0 ответ 0, при всех 1

= 1.

1) Первое выражение представляет собой конъюнкцию трёх

переменных. Таблица истинности удовлетворяет данному

выражению

2) Во втором случае дизъюнкция 3 переменных, по первой строке эта

функция не подходит, так как значение будет 1

3) Третья функция не подходит по второй строке, так как если в

дизъюнкции есть 1, ответ тоже будет 1.

4) В 4 выражении конъюнкция 3 переменных, но все переменные

берутся с отрицанием. Поэтому первая строка даёт нам результат 1,

что не соответствует таблице истинности.

Правильный ответ: 1.

8. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

x 1 х2 х3 х4 х5 х6 х7 F

0 1 0 1 1 1 0 0

1 1 0 1 0 1 0 1

0 1 0 1 1 0 1 0


1 ) (xl ⋁х2)∧ 𝑥3̅̅ ̅ ∧ х4∧ 𝑥5̅̅ ̅ ∧х6/\х7̅̅ ̅

2 ) (xl ∧х2)⋁𝑥3̅̅ ̅⋁ х4⋁𝑥5̅̅ ̅⋁х6⋁х7̅̅ ̅

3 ) (х1 ∧ х2̅̅ ̅) V х3 V 𝑥4̅̅ ̅ V х5̅̅ ̅ V х6V х7̅̅ ̅

4 ) (𝑥1̅̅ ̅V х2̅̅ ̅)/\ х3 /\ х4̅̅ ̅ /\ х5 /\ х6̅̅ ̅ /\ х7

Решение:

1) Подставляем значения из таблицы истинности

(0+1)*1*1*0*1*1=0 верно

(1+1)*1*1*1*1*1=1 верно

(0+1)*1*1*0*0*0=0 верно

Правильный ответ

9. Для таблицы истинности функции F известны значения только

некоторых ячеек:

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 F

0 1 1

0 0 0

0 1 1

Известно, что функция F задаётся одним из приведённых ниже четырёх

выражений:

1) x1 /\ (x2 → x3) /\ ¬x4 /\ x5 /\ x6 /\ ¬x7

2) x1 \/ (¬x2 → x3) \/ ¬x4 \/ ¬x5 \/ x6 \/ ¬x7

3) ¬x1 /\(x2 →¬x3) /\ x4 /\ x5 /\ x6 /\ x7

4) x1 \/ (x2 → ¬ x3) \/ x4 \/ x5 \/ ¬x6 \/ x7

Укажите в ответе номер выражения, которым задаётся функция F.

Решение: В отличие от предыдущих номеров таблица истинности

неполная, поэтому в отсутствующих значениях может быть любое число и

0 и 1.

Подставляем известные значения, ищем противоречия

1) x1*(x2 → x3) * 1 *x5 * 1* ¬x7=1 противоречий не получили

x1 * (x2 → x3) * 1 * x5 * x6 * 1=0 противоречий не получили

0 * (x2 → x3) * 0 * x5 * x6 * ¬x7=1 так быть не может, потому что в

выражении с конъюнкцией есть 0

2) x1 + (¬x2 → x3) + 1 + ¬x5 +1 + ¬x7=1 противоречий не получили

x1 + (¬x2 → x3) + 1 + ¬x5 +x6 + 1=0 не верно, если в дизъюнкции

есть 1, то результат всегда 1.

3) ¬x1 *(x2 →¬x3) *0 * x5 *1* x7=1 так быть не может, потому что в

выражении с конъюнкцией есть 0

4) x1 + (x2 → ¬ x3) + 0+ x5 + 0 + x7=1 противоречий нет

x1 + (x2 → ¬ x3) + 0+ x5 + x6+ 0=0 противоречий нет

0 + (x2 → ¬ x3) + 1+ x5 + х6 + х7=1 противоречий нет

Правильный ответ 4

10. Каждое из логических выражений F и G содержит 7 переменных. В

таблицах истинности выражений F и G есть ровно 7 одинаковых

строк, причём ровно в 6 из них в столбце значений стоит 0.

Сколько строк таблицы истинности для выражения F ⋀ G содержит 0 в

столбце значений?

Решение: Оценим из скольких строк состоит каждая функция. Так как в

каждом выражении 7 переменных 27=128 строк. Между функциями

происходит конъюнкция, следовательно, 1 будет получаться при

одинаковых значениях 1 и 1 , в случае разных значений 1 и 0=0, 0 и 1 = 0,в

случае одинаковых 0 и 0 =0.

Нам нужны 0, 1 получается только в одной строке, где одинаковые

значения и не 0, значит в остальных 127 результат 0.

11. Так как из экзамена по информатике убрали вопросы с выбором

ответа в 2016 году появилась задача №2 в изменённом виде.

Логическая функция Fзадается выражением:

F=(�̅�⋀𝑦⋀𝑧)⋁(�̅�⋀𝑦⋀𝑧)̅⋁(�̅�⋀�̅�⋀𝑧)̅

На рисунке приведен фрагмент таблицы истинности функции F,

содержащий все наборы аргументов, при которых функция F истинна.

Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F

соответствует каждая из переменных x, у, z.

Переменная 1 Переменная 2 Переменная 3 Функция

??? ??? ??? F

0 0 0 1

1 0 0 1

1 0 1 1

В ответе напишите буквы x, у, z в том порядке, в котором идут

соответствующие им столбцы (сначала - буква, соответствующая первому

столбцу, затем - буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.) Буквы в

ответе пишите подряд, никаких разделителей между буквами ставить не

нужно.

Пример. Пусть задано выражение х →у, зависящее от двух

переменных x и у, и таблица истинности:

Переменная 1 Переменная 2 Функция

??? ??? F

0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1

Тогда первому столбцу соответствует переменная у, а второму

столбцу соответствует переменная д:. В ответе нужно написать: ух.

Решение:

Проанализируем функцию F=(�̅�⋀𝑦⋀𝑧)⋁(�̅�⋀𝑦⋀𝑧)̅⋁(�̅�⋀�̅�⋀𝑧)̅

В каждой скобке выражение с конъюнкцией, значит, если

присутствует 0, выражение ложно. Между скобками дизъюнкция,

следовательно, если хотя бы одна скобка даёт 1, то и всё выражение

истинно. Обратим внимание, что

x входит в функцию только с отрицанием, выбираем для неё столбец с

наибольшим количеством 0 - 2 столбец.

Предположим, что 1 столбец y, 3 столбец z/

Проверим функцию при таких вариантах.

F=(1*0*0)+(1*0*1)+(1*1*1)=1 истина

F=(1*1*0)+(1*1*1)+(1*0*1)=1 истина

F=(1*1*1)+(1*1*0)+(1*0*0)=1 истина

Попробуем поменять местами z и y, и убедимся, что этот вариант не

подходит.

F=(1*0*0)+(1*0*1)+(1*1*1)=1 истина

F=(1*0*1)+(1*0*0)+(1*1*0)=0 ложь

Следовательно, делаем вывод, что решили правильно в предыдущем

случае.yxz – правильный ответ

12. Логическая функция F задаётся выражением x /\ ¬w /\ (¬y \/ z).

На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F,

содержащий все наборы аргументов, при которых функция F

истинна.Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F

соответствует каждая из переменных w, x, y, z.

Перем. 1 Перем. 2 Перем. 3 Перем. 4 Функция

??? ??? ??? ??? F

0 0 1 0 1

0 0 1 1 1

1 0 1 1 1 В ответе напишите буквы w, x, y, z в том порядке, в котором идут

соответствующие им столбцы (сначала – буква, соответствующая первому

столбцу; затем – буква, соответствующая второму столбцу, и т.д.) Буквы в


нужно.

Пример. Если бы функция была задана выражением ¬x \/ y, зависящим от

двух переменных: x и y, и был приведён фрагмент её таблицы истинности,


Перем. 1 Перем. 2 Функция

??? ??? F

0 0 1

1 0 1

1 1 1

Тогда первому столбцу соответствовала бы переменная y, а второму

столбцу –переменная x. В ответе следовало бы написать: yx.

Решение: Проанализируем функцию

F= x * ¬w * (¬y + z). x соединён с остальными переменными конъюнкцией,

следовательно, его значение совпадает с F и должно быть все 1, то есть

переменная 3 = x. Переменная w входит в выражение с отрицанием,

следовательно, в столбце должны быть все 0 – переменная 2. В скобках,

чтобы получалась 1 или z=1 или y=0. Переменная 4 – z, переменная 1 y.

Итого получаем таблицу:

Перем. 1 Перем. 2 Перем. 3 Перем. 4 Функция

y W x z F

0 0 1 0 1 верно

0 0 1 1 1 верно

1 0 1 1 1 верно

Ответ: ywxz

13. Логическая функция F задаётся выражением (z → х) ⋀ у ⋀𝑧̅.


соответствует каждая из переменных х , у , z .

Перем. 1 Перем. 2 Перем. 3 Функция ??? ??? ??? F 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0

В ответе напишите буквы х , у , z в том порядке, в котором идут

соответствующие им столбцы (сначала — буква, соответствующая 1-му

столбцу; затем — буква, соответствующая 2-му столбцу; затем — буква,

соответствующая 3-му столбцу). Буквы в ответе пишите подряд, никаких

разделителей между буквами ставить не нужно.

Пример. Пусть задано выражение х → у, зависящее от двух переменных

х и у , и таблица истинности:

Перем. 1 Перем. 2 Функция ??? ??? F 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1

Тогда 1-му столбцу соответствует переменная у , а 2-му столбцу

соответствует переменная х . В ответе нужно написать: у х .

Решение: Анализируем функцию

F=(z → х) ⋀ у ⋀𝑧̅.

Переменная y имеет такие же значения, как и F, z наоборот, имеет

противоположные значения. В скобке выражение ложно только когда z

истина, а x ложь. Наиболее близко в функции 3 столбец, 1 столбец, скорее

всего, z, тогда столбец 2 остаётся за x. Проверим нашу гипотезу.

Перем. 1 Перем. 2 Перем. 3 Функция z x y F 0 0 0 0 верно 0 0 1 1 верно 0 1 0 0 верно 0 1 1 1 верно 1 0 0 0 верно 1 0 1 0 верно 1 1 0 0 верно 1 1 1 0 верно

Правильный ответ: zxy

Диаграммы Эйлера Вена

Диаграммы Эйлера Вена показывают отношения между подмножествами.

Разберём некоторые из них.

1. Конъюнкция двух подмножеств А&В на диаграмме обозначается

следующим образом:

2. Дизъюнкция двух подмножеств А│В на диаграмме обозначается

следующим образом:

А B

3. Рассмотрим возможные варианты для трёх подмножеств.

А&B&C

A&B A&C B&C

C&(A │ B) B&(A │ C) A& (B │ C)

А В

С

А А А В В В

С С С

А В

С

А В В

А

С С

А А А В

В

С С С

В

B │ A&C A │ B&C C │ A&B

BǀC AǀC AǀB

Объединение всех трёх множеств даёт нам полностью закрашенную

фигуру.

1. В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите

номера запросов в порядке возрастания количества страниц, которые

найдет поисковый сервер по каждому запросу Для обозначения

логической операции «ИЛИ» в запросе используется символ |, а для

логической операции «И»

1. принтеры & сканеры & продажа

2. принтеры & продажа

3. принтеры | продажа

4. принтеры | сканеры | продажа

Решение:

Рассмотрев рисунки, приведённые выше, делаем вывод, что самое

маленькое множество принтеры & сканеры & продажа, затем принтеры &

продажа, потом принтеры | продажа и в завершении самый большой запрос

принтеры | сканеры | продажа

2. В таблице приведены запросы и количество страниц, которые

нашел поисковый сервер по этим запросам в некотором сегменте

Интернета:

Сколько страниц (в тысячах) будет найдено по запросу

Гомер & Одиссея & Иллиада?

В А А А

В В В

С С С

Запрос Количество страниц (тыс.)

Гомер & Иллиада 200

Гомер & (Одиссея | Иллиада) 470

Гомер & Одиссея 355

Решение:

Гомер & (Одиссея | Иллиада)= Гомер & Иллиада+ Гомер & Одиссея -

Гомер & Одиссея & Иллиада

Гомер & Одиссея & Иллиада= Гомер & Иллиада+ Гомер & Одиссея -

Гомер & (Одиссея | Иллиада)

Гомер & Одиссея & Иллиада=200+355-470=85 тыс. стр.

3. В языке запросов к поисковому серверу для обозначения логической

операции «ИЛИ» используется символ ǀ, а для логической операции «И» —

&. В таблице приведено количество страниц, которое находит поисковая

система по каждому запросу.

Запрос Количество найденных страниц (в тысячах)

Корвет | Линкор \ Фрегат 30

Фрегат 17

Линкор 12

Корвет 8

Линкор & Фрегат 4

Корвет & Линкор 3

Корвет & Линкор & Фрегат 2

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено этой поисковой

системой по запросу Корвет & Фрегат ?

Решение:

О Г

И

Корвет | Линкор \ Фрегат= Фрегат+ Линкор + Корвет – Линкор &

Фрегат - Корвет & Линкор - Корвет & Фрегат - Корвет & Линкор &

Фрегат

Нам необходимо найти Корвет & Фрегат. Выразим из формулы то,

что нужно найти:

Корвет & Фрегат= Фрегат+ Линкор + Корвет – Линкор & Фрегат -

Корвет & Линкор+ Корвет & Линкор & Фрегат - Корвет | Линкор ǀ Фрегат

Корвет & Фрегат=17+12+8-4-3+2-30=3 (тысячи) страниц

4. В языке запросов поискового сервера для обозначения логической

операции «ИЛИ» используется символ «|», а для обозначения логической

операции «И» – символ «&». В таблице приведены запросы и количество

найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Запрос Найдено страниц

(в сотнях тысяч)

Слон 51

Хобот 26

Ладья 29

Слон & Хобот 18

Ладья & Слон 16

Ладья & Хобот 0

Какое количество страниц (в сотнях тысяч) будет найдено по запросу

Ладья | Слон | Хобот?

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно,

так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за

время выполнения запросов.

Решение: Нарисуем диаграммы Эйлера – Вена для нашей задачи.

Так как Ладья & Хобот = 0, то

Ладья | Слон | Хобот= Слон+ Хобот+ Ладья- Слон & Хобот- Ладья & Слон=

51+26+29-18-16=72 (сотни тысяч) страниц

Л С

Х


операции «ИЛИ» используется символ «|», а для обозначения логической

операции «И» – символ «&». В таблице приведены запросы и количество

найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.

Запрос Найдено страниц (в тысячах)

Пушкин & Лермонтов 360

Пушкин & Гоголь 260

Пушкин & (Лермонтов | Гоголь) 550

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу

Пушкин& Лермонтов & Гоголь




Решение:

Пушкин & (Лермонтов | Гоголь)= Пушкин & Лермонтов+ Пушкин &

Гоголь- Пушкин& Лермонтов & Гоголь

Выразим отсюда Пушкин& Лермонтов & Гоголь

Пушкин& Лермонтов & Гоголь= Пушкин & Лермонтов+ Пушкин &

Гоголь - Пушкин & (Лермонтов | Гоголь)

Пушкин& Лермонтов & Гоголь=360+260-550=70 (тысяч) страниц


операции «ИЛИ» в запросе используется символ |, а для логической

операции «И» — символ - &. В таблице приведены запросы и количество

страниц, найденных поисковым сервером по этим запросам в некотором

сегменте сети Интернет:


Администрирование 640

Администрирование & ОС 290

ОС 930

OС & Программирование 380

Программирование 800

Администрирование &

Программирование

0


Администрирование | ОС | Программирование?




Решение: Обращаем внимание, что Администрирование & Программирование =

0

Следовательно, наша таблица соответствует схеме:

Администрирование | ОС | Программирование = А+ОС+П - А&ОС – П &

ОС

Администрирование | ОС | Программирование=640+930+800 – 290 –

380=1700

7. В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите

номера запросов к порядке возрастания количества страниц, которые

найдет поисковый сервер по каждому запросу. Для обозначения

логической операции «ИЛИ» в запросе используется символ │, а для

логической операции «И» —&

Запрос

1 кролики | лисицы

2 (зайцы & кролики) │(лисицы & волки)

3 зайцы & кролики & лисицы & волки

4 зайцы & кролики

А ОС

П

Решение: Изобразим каждое множество и увидим, какое из них больше.

кролики | лисицы (зайцы & кролики) │(лисицы &

волки)

зайцы & кролики & лисицы & волки

зайцы & кролики

Требуется расставить в порядке возрастания. Самым маленький

запрос зайцы & кролики & лисицы & волки, затем зайцы & кролики,

потом (зайцы & кролики) │(лисицы & волки) и самое большое количество

кролики | лисицы.

Ответ: 3421

8. Пусть М&К — выражение, обозначающее поразрядную конъюнкцию

неотрицательных целых чисел М и К (логическое «И» между

соответствующими битами двоичной записи).

Так, например, 12&9 = 11002&10012 = 10002 = 8.

Определите такое наименьшее натуральное число А, что выражение

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любом

натуральном значении переменной X).

Решение: В начале переведём числам в двоичную систему счисления, так

как речь идёт о битах и двоичной записи.

12010=128-8=27-2

3=10000000-1000=11110002

9610=64+32=26+2

5=1000000+100000=11000002

Затем упростим выражение, сняв импликацию. Получим

X&120=0+x&96=0+x&A≠0=1

111100

0

=0 110000

0

=0 P �̅� A

1 1 1 1 1 0

10 1 10 1 1 0

100 1 100 1 1 0

1000 0 1000 1 1 0

10000 0 10000 1 1 0

100000 0 100000 0 0 1 100000

100000

0

0 100000

0

0 0 1 100000

0

Обозначим P= X&120=0+x&96=0, тогда значение x&A≠0, должно

существовать где P – ложно А должно существовать.

A=11000002=96 Ответ: 96

9. Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных

целых чисел m и n. Так, например, 14&5 = 11102&01012 = 01002 = 4.

Для какого наименьшего неотрицательного целого числа А формула

x&39 = 0 \/ (x&41 = 0 → x&А ≠ 0)

тождественно истинна (т.е. принимает значение 1 при любом

неотрицательном целом значении переменной х)?

Решение:

Переведём числа в двоичную систему счисления:

39=32+4+2+1=25+2

2+2+2

0=100000+100+10+1=1001112

41=32+8+1=25+2

3+2

0=100000+1000+1=1010012

Затем упростим выражение, сняв импликацию. Получим

x&39 = 0 \/ (x&41 = 0 → x&А ≠ 0)=

x&39 = 0 + x&41 ≠ 0 +x&А ≠ 0=1 P= x&39 = 0 + x&41 ≠ 0

Составим и заполним таблицу:

100111 =0 101001 ≠ 0 P (дизъюнкция) �̅� A

1 0 1 1 1 0

10 0 10 0 0 1 10

100 0 100 0 0 1 100

1000 1 1000 1 1 0

10000 1 10000 0 1 0

100000 0 100000 1 1 0

А=100+10=1102=4+2=6

Ответ:6

10. Пусть М&К — выражение, обозначающее поразрядную конъюнкцию

чисел М и К (логическое «И» между соответствующими битами двоичной

записи). Определите такое наименьшее натуральное число А, что

выражение

((Х&68 ≠ 0) →(Х&36 = 0)) →(Х&А = 0) тождественно истинно (то

есть принимает значение 1 при любом натуральном значении

переменной X)?

Решение: Переведём в двоичную систему счисления

68=64+4=26+2

2=1000000+100=1000100

36=32+4=25+2

2=100000+100=100100

((Х&68 ≠ 0) →(Х&36 = 0)) →(Х&А = 0)=1

Упростим выражение, сняв импликацию.

((Х&68 ≠ 0) →(Х&36 = 0)) →(Х&А = 0)=1

(Х&68 ≠ 0) → (Х&36 = 0)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ +(Х&А = 0)= (Х&68 = 0) + (Х&36 = 0)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ +(Х&А = 0)=

(Х&68 ≠ 0) ∗ (Х&36 ≠ 0)+(Х&А = 0)=1

Составим и заполним таблицу:

1000100 ≠0 100100 ≠ 0 P (конъюнкция) A

1 0 1 0 0

10 0 10 0 0

100 1 100 1 1 100

1000 0 1000 0 0

10000 0 10000 0 0

100000 0 100000 1 0

1000000 1 1000000 0 0

А=100=4

Ответ: 4

11.Обозначим через m&n поразрядную конъюнкцию неотрицательных



(х&35 = 0) ∧ ¬(х&А = 0 → х&31 = 0) тождественно ложна (т. е.

принимает значение 0 при любом неотрицательном целом значении

переменной х)?

Решение: Упростим выражение, получим

(х&35 = 0) ∗ ¬(х&А ≠ 0 + х&31 = 0) = (х&35 = 0)* (х&А = 0)*(х&31 ≠

0)=0

Переведём числа в двоичную систему счисления

35=32+2+1=25+2+2

0=100000+10+1=100011

31=32-1=100000-1=11111

Составим таблицу:

(100011=0)* ( 11111≠ 0)* ( х&А = 0)= 0

P

A=10000+1000+100=111002=28

12. На числовой прямой даны два отрезка: D = [15; 40] и C = [21; 63].

Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, что

формула

(x ∈ D) → ((¬(x ∈ C) /\ ¬(x ∈ A)) → ¬(x ∈ D))

истинна (то есть принимает значение 1 при любом значении

переменной х).

Решение:

Упростим данное выражение, снимая импликацию и используя формулы

алгебры логики.

𝐷 → ((𝐶̅ ∗ �̅�) → 𝐷)̅̅̅̅ = �̅� + 𝐶̅ ∗ �̅�̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ + �̅� = �̅� + 𝐶 + 𝐴 = 1

Нам необходимо найти наименьшую возможную длину А, значит он

будет находится только там, где остальные выражения дают 0. Так как D

входит с отрицанием, 0 будет только на отрезке, где есть D [15; 40], С

перекрывает часть этого отрезка [21; 63]. Значит на А остаётся [15,21]

Длина 21-15=6

13. На числовой прямой даны отрезки Р = [5, 13] и Q = [8, 19]. Укажите

наименьшую возможную длину такого отрезка А, что формула

((х € Р)/\ ¬( x €А)) → ((х € Q)/\ ¬х € А)) верна при любых значениях х.

Решение:

100011 =0 11111 ≠ 0 P A

1 0 1 1 0

10 0 10 1 0

100 1 100 1 1 1

1000 1 1000 1 1 1

10000 1 10000 1 1 1

100000 0 100000 0 0

F= (P*�̅�) →(Q*�̅�) = 𝑃 ∗ �̅�̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ + 𝑄 ∗ �̅� = �̅� + 𝐴 + 𝑄 ∗ �̅�

Начертим отрезки на числовой прямой и учтём, что отрезок А имеет

конечную длину, и она должна быть наименьшей, поэтому рассмотрим

каждый отрезок в отдельности и необходимость существования А на нём.

Промежутки в начале и конце числовой прямой не рассматриваем,

так как длина А конечна.

[5,8] На данном отрезке P=1, Q=0. Подставим значения в функцию и

проанализируем. F=0+A+0*�̅�, если А не будет существовать на этом

отрезке F=0, что противоречит условию, следовательно, А€[5,8].

[8,13] На данном отрезке P=1, Q=1. Подставим значения в функцию

и проанализируем. F=0+A+1*�̅�, если А не будет существовать на отрезке,

1 даст выражение 1*А̅, значит А возможно на этом отрезке, но

необязательно.

[13,19] На данном отрезке P=0, Q=1. Подставим значения в функцию

и проанализируем. F=1+A+1*�̅�, выражение равно 1 при любом А, значит А

возможно на этом отрезке, но необязательно.

Единственный вариант, А€[5,8]. Минимальная длина = 8-5 =3

14. На числовой прямой даны два отрезка: Р = [2,35] и Q = [12,54].

Укажите наибольшую возможную длину такого отрезка А, что логическое

выражение

((x€ Р)→ ((x € Q) ˄ (х € Р))) → ¬(х € А)

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении

переменной х

Решение: Упростим выражение, обозначив выражения буквами P, Q,A.

(P→(Q*P))→�̅�=(�̅� + 𝑄 ∗ 𝑃)→�̅� = �̅� + 𝑄 ∗ 𝑃̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ + �̅� = �̅̅� ∗ 𝑄 ∗ 𝑃̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ + �̅� = 𝑃 ∗

(�̅� + �̅�) + �̅� = 𝑃 ∗ �̅� + �̅� = 1

Из выражения видно, что А может существовать только там, где

P*�̅� = 1.

5 8 13 19

Начертим отрезки на числовой прямой и найдём значение для А.


проанализируем. F=1*1+ �̅�, если А будет существовать на этом отрезке

F=1, что не противоречит условию, следовательно, А€[2,12].


проанализируем. F=1*0+�̅�, если А будет существовать на этом отрезке

F=0, что противоречит условию.


проанализируем. F=0*0+�̅�, если А будет существовать на этом отрезке

F=0, что противоречит условию.

Единственный вариант, А€[2,12]. Минимальная длина = 12-2 =10

15. На числовой прямой даны два отрезка: D = [31; 54] и K = [43; 72].

Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка A, что формула

(x ∈ D) → ((¬(x ∈ K) /\ ¬(x ∈ A)) → (x ∈ K)

истинна при любом значении переменной х, то есть принимает значение 1

при любом значении переменной х.

Решение: Упростим выражение, сняв импликацию.

D → (𝐾 ̅̅̅*А̅)→ K=�̅� + �̅� ∗ �̅�̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ + 𝐾 = �̅� + 𝐾 + 𝐴

Начертим отрезки:

Так как А наименьшее, рассматриваем только случай где без А 1 не

получается. Отрезок D в выражении берётся с отрицанием, значит везде,

где его нет выражение равно 1.

Остается [31; 54], но на отрезке [43,54] 1 даёт К, следовательно, А там не

нужно.

16. На числовой прямой даны два отрезка: Р = [15, 28] и Q = [5, 19].

Укажите наибольшую возможную длину промежутка А, для которого

формула (х € А) → ((х € Р) ↔ ¬(х е Q))

2 12

2

35 54

31 43

2

54 72

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении

переменной х.

Решение:

Упростим выражение А → (P ↔ �̅�) = �̅� + (𝑃 ↔ �̅�)=1

Начертим отрезки:

Из формулы видно, что А может существовать только там, где выражение

(𝑃 ↔ �̅�)=1, а оно равно 1, когда P=1, Q=0 или P=0, Q=1,таких отрезков 2

[5,15] и [19,28]. В условии сказано наибольшую возможную длину

промежутка: наибольшая длина 15-5=10, 28-19=9

Ответ: 10

17. Даны множества P = {5,8,19,24,42,124}, Q = {3,8,12,24,64,127,211} и

А. Элементами множества являются натуральные числа. Известно,

что выражение

((x € А)→¬ ((x € Р) V (х € A))) V ¬((х € Q) →¬(х € Р)).

истинно (т. е. принимает значение 1) при любом значении переменной х.

Определите наибольшее возможное значение суммы элементов множества

А.

Решение:

Упростим данное выражение:

(А→𝑃 + 𝐴̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ )+𝑄 ⟶ �̅�̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = (�̅� + �̅� ∗ �̅�)+�̅� + �̅�̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = �̅� + 𝑄 ∗ 𝑃=1

Множество А может быть только там, где Q*P=1. Это те значения Q и P,

которые есть ив том и в том множестве. А={8,24} S=24+8=32

Ответ 32

18. Элементами множеств A, P, Q являются натуральные числа, причем

Р = {1, 3, 4, 9,11, 13, 15, 17, 19, 21}, Q = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27,

30}. Известно, что выражение

( (х € Р) → (х €А)) V (¬(х € А)→ ¬(х € Q) )

5 15

2

19 28


Определите наименьшее возможное количество элементов в множестве А.

Решение: Упростим выражение (P→A) +(�̅� → �̅�) = �̅� + 𝐴+�̅̅� + �̅� = �̅� +

𝐴 + �̅�=1

Видим, что в множество А должны обязательно входить общие элементы P

и Q

А={3,9,15,21}

Количество 4

19. Элементами множеств А, P, Q являются натуральные числа, причём

P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}, Q = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40,

45, 50}.

Известно, что выражение

( (x €A) → (x €P) ) /\( (x €Q) → ¬(x €A) )

истинно (то есть принимает значение 1) при любом значении


Определите наибольшее возможное количество элементов во множестве

A.

Решение: Упростим выражение

(А→P) * (Q→�̅�) =(�̅� + 𝑃) * (�̅� + �̅�)

Делаем вывод, что в А содержаться элементы, которые есть в P, но нет в Q.

A={2,4,6,8,12,14,16,18}

Ответ: 8

20. Пусть Р — множество всех 8-битовых цепочек, начинающихся с 1, Q

— множество всех 8-битовых цепочек, оканчивающихся на 1011, а А

— некоторое множество произвольных 8-битовых цепочек. Сколько

элементов содержит минимальное множество А, при котором для

любой 8-битовой цепочки х истинно выражение

((х € Р) ⋀ ¬(х € Q)) → (х € А)?

Решение: Упростим выражение:

(𝑃 ∗ �̅�)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ +A=�̅� + 𝑄 + 𝐴

Множество Р состоит из 8-битовых цепочек, начинающихся с 1, то

множество �̅� состоит из цепочек, начинающихся с 0. Следовательно, на

оставшихся 7 местах в этих цепочках стоят произвольные наборы нулей и

единиц. Всего таких наборов 27 = 128. Значит, множество Р состоит из 128

элементов.

Так как множество Q состоит из 8-битовых цепочек,

оканчивающихся на 1011, На первых 4 местах в этих цепочках стоят

произвольные наборы нулей и единиц. Всего таких наборов 24 = 16.

Значит, количество цепочек, удовлетворяющих условию 16.

Количество цепочек, удовлетворяющих условию �̅� + 𝑄, можно

найти как сумму цепочек множеств P и Q за вычетом цепочек, которые

начинаются на 0 и оканчиваются на 1011. В таких цепочках на оставшихся

трёх местах может стоять произвольный набор нулей и единиц.

Следовательно, всего таких цепочек 23 = 8.

Итак, количество цепочек, удовлетворяющих условию, равно 128 +

16 - 8 = 136

По условию требуется найти наименьшее количество элементов

множества А, при котором истинно исходное выражение. Очевидно,

множество А должно содержать только те цепочки, которые не

удовлетворяют условию �̅� + 𝑄. Так как всего 8-битовых цепочек 28 = 256,

то множество А должно содержать

256 — 136 = 120 цепочек.

21. Для какого наименьшего целого числа А формула 1 2 3 4

((х • х <А) →(х < 7)) ˄ ((у < 4) → (y • y < A))

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любых целых

неотрицательных х и у?

Решение:

В нашем выражении между двумя скобками стоит конъюнкция, она

истина только в одном случае, если истины оба выражения, которые она

связывает. Из таблицы истины для импликации, мы знаем, что она истина

всегда, кроме случая 1→0, именно его мы должны исключить в каждой из

скобок.

Если x<7 во второй скобке 1 и импликация не зависит от А, проблемы

начинаются при х=7, во второй скобке 0, тогда в первой не должно быть 1,

49<А не должно выполняться. Значит А≤49.

Если y<4 равно 0,испликация истина, сложности начинаются c y=3. Если

третья скобка истина, мы должны исключить вариант, когда скобка 4

ложна.

9<A должно выполняться, то есть А≥10. Так как требуется найти

наименьшее А, ответ 10.

22. Для какого наименьшего целого числа А формула 1 2 3 (3 · х + у < А) v (х < у) v (16 ≤х)



Решение: Начинаем решение с третьей скобки. Пока х≥16 третья скобка

равна 1, между скобками стоит дизъюнкция, следовательно, всё

выражение, будет истинно. Начинаем перебор с x=15, тогда третья скобка

0, если y также равно 15, вторая скобка тоже ложна, тогда 1 должна

обязательно быть истинной. 3·15+15=45+15=60<A. Очевидно A=61.

23. Для какого наибольшего целого неотрицательного числа А выражение

(x ∙ y > A) \/ (x > y) \/ (8 > x)

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых

неотрицательных x и y?

Решение:

Рассмотрим последнюю скобку, х<8, становится ложным только при x=8,

и больше, если x=8 и y=8, последние две скобки обращаются в 0,

следовательно, первая должна давать 1, 64>А, А=63. Очевидно, при

увеличении x и y, произведение будет увеличиваться, и будет больше 64.


(69 ≠ y + 2x) \/ (A < x) \/ (A < y)



Решение:

Посчитаем предельное значение А при x=A и y=A, А+2А=69, А=23. Эти

значения x и y надо исключить, следовательно, А=22.

25. Для какого наименьшего целого числа А формула

1 2 3 4

((х • х ≤ А) →(х ≤ 7)) ˄ ((у < 4) (у • у ≤ А))



Решение:

Решение:

В нашем выражении между двумя скобками стоит конъюнкция, она

истина только в одном случае, если истины оба выражения, которые она

связывает. Из таблицы истины для импликации, мы знаем, что она истина

всегда, кроме случая 1→0, именно его мы должны исключить в каждой из

скобок.

Если x≤7 во второй скобке 1 и импликация не зависит от А, проблемы

начинаются при х=8, во второй скобке 0, тогда в первой не должно быть 1,

64≤А не должно выполняться. Значит А<64.

Если y<4 равно 0,испликация истина, сложности начинаются c y=3. Если

третья скобка истина, мы должны исключить вариант, когда скобка 4

ложна.

9≤A должно выполняться, то есть А≥9. Так как требуется найти

наименьшее А, ответ 9.


(у + 5х ≤ 34) → ((у - х > 4) v (у ≤А)

тождественно истинна, то есть принимает значение неотрицательных х и

у!

Решение:

Преобразуем выражение, сняв импликацию, получим

(у + 5х >34) + (у - х > 4) + (у ≤А)=1

Дизъюнкция ложна тогда и только тогда, когда все три скобки ложны, если

первые две скобки превратить в равенства, они будут ложны и это будут

минимальные ограничения для третьей скобки, находим точку пересечения

первых двух равенств, решая систему уравнений:

y+5x=34 y=4+x, 4+x+5x=34, x=5, y=9

y – x =4

При этих значения А=9.

Системы логических уравнений

1. Сколько существует различных наборов значений логических

переменных х1, x2,.. x9,x10 которые удовлетворяют всем

перечисленным ниже условиям?

((x1≡x2)˅(x3≡x4))˄((¬x1≡x2) ˅(¬x3≡x4))=1

((x3≡x4)˅(x5≡x6))˄((¬x3≡x4) ˅(¬x5≡x6))=1

((x5≡x6)˅(x7≡x8))˄((¬x5≡x6) ˅(¬x7≡x8))=1

((x7≡x8)˅(x9≡x10))˄((¬x7≡x8) ˅(¬x9≡x10))=1

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений х1,

x2,.. x9,x10, при которых выполнима данная система равенств. В качестве

ответа нужно указать количество таких наборов.

Решение

Выпишем первое уравнение ((x1≡x2)˅(x3≡x4))˄((¬x1≡x2) ˅(¬x3≡x4))=1

Составим таблицу возможных решений

x1 x2 x3 x4

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 0

Итого 8

Обобщим количество решений

При х1=0, х2=0 2 решения




Уравнение симметричное.

Значения х3=0, х4 = 0 получается 2 раза при 10 и 01.

Значения х3=0, х4 = 1 получается 2 раза при 00 и 11.

Значения х3=1, х4 = 0 получается 2 при 00 и 11.

Значения х3=1, х4 = 1 получается 2 при 10 и 01.

Рассмотрим уравнение 2.

((x3≡x4)˅(x5≡x6))˄((¬x3≡x4) ˅(¬x5≡x6))=1 Оно аналогичное 1.

Следовательно, количество решений при входных данных будет такое же.

Количество

полученных

решений

после 1

уравнения

х3 х4 Количество

решений

2 0 0 2*2=4

2 0 1 2*2=4

2 1 0 2*2=4

2 1 1 2*2=4

Итого 16

Видим, что количество решений увеличивается ровно в 2 раза,

значит, при добавлении нового уравнение количество решений

увеличивается вдвое.

16*2 = 32, 32 * 2=64 решения.

Ответ 64 решения


переменных х1, x2,.. x5,y1, y2 .. y5 которые удовлетворяют всем


В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений х1, x2,..

x5,y1, y2 .. y5, при которых выполнима данная система равенств. В

качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

(y1˄(x1→y2)) ˅ (x1≡x2)=1

(y2˄(x2→y3)) ˅ (x2≡x3)=1

(y3˄(x3→y4)) ˅ (x3≡x4)=1

(y4˄(x4→y5)) ˅ (x4≡x5)=1

Решение:

Выпишем первое уравнение (y1˄(x1→y2)) ˅ (x1≡x2)=1


1 уравнение:

Значения х2=0, y2 = 0 получается 2 раза при 00 и 01.

Значения х2=0, y2 = 1 получается 3 раза при 00, 01, 11.



Рассмотрим второе уравнение (y2˄(x2→y3)) ˅ (x2≡x3)=1

Составим таблицу для входных данных для 2 уравнения

x1 y1 x2 y2

0 0 0 0

0 0 0 1

0 1 0 0

0 1 0 1

0 1 1 0

0 1 1 1

1 0 1 0

1 0 1 1

1 1 1 0

1 1 1 1

1 1 0 1

Итого 11

х1 y1 Количество решений

0 0 2 решения




11 решений


полученных решений

после 1 уравнения

х2 y2 Количество

решений

2 0 0 2*2=4

3 0 1 3*4=12

3 1 0 3*2=6

3 1 1 3*3=9

Итого 31

Значения х3=0, y3 = 0 получается 2+3=5 раз при 00 и 01.

Значения х3=0, y3 = 1 получается 2+3+3=8 раз при 00, 01, 11.



Рассмотрим третье уравнение (y3˄(x3→y4)) ˅ (x3≡x4)=1






решений

5 0 0 5*2=10

8 0 1 8*4=32

9 1 0 9*2=18

9 1 1 9*3=27

Итого 87

Значения х4=0, y4 = 0 получается 5+8=13 раз при 00 и 01.

Значения х4=0, y4 = 1 получается 5+8+9=22 раза при 00, 01, 11.



Рассмотрим четвёртое уравнение (y4˄(x4→y5)) ˅ (x4≡x5)=1






решений

13 0 0 13*2=26

22 0 1 22*4=88

26 1 0 26*2=52

26 1 1 26*3=78

Итого 244

Ответ 244 решения.


переменных x1, х2, ... х9, х10, которые удовлетворяют всем


(x1≡x2)˅((x3˄x4)˅(¬x3˄¬x4))=1

(x3≡x4)˄((x5˄x6)˅(¬x5˄¬x6))=0

(x5≡x6)˅((x7˄x8)˅(¬x7˄¬x8))=1

(x7≡x8)˄((x9˄x10)˅(¬x9˄¬x10))=0

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений х1, х2 ...

х9, х10, при которых выполнена данная система равенств. В качестве

ответа вам нужно указать количество таких наборов.

Решение:

Выпишем первое уравнение (x1≡x2)˅((x3˄x4)˅(¬x3˄¬x4))=1


Значения х3=0,х4 = 0 получается 4 раза при 00, 01,10,11.

Значения х3=0,х4 = 1 получается 2 раза при 00, 11.

Значения х3=1,х4 = 0 получается 2 раза при 00, 11.

Значения х3=1,х4 = 1 получается 4 раза при 00,01, 10, 11.

Рассмотрим второе уравнение (x3≡x4)˄((x5˄x6)˅(¬x5˄¬x6))=0

Составим таблицу для входных данных для 2 уравнения, так как оно

отлично от первого, сделаем таблицу истинности развёрнутую

x1 х2 x3 х4

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 0 1

1 1 1 0

1 1 1 1

Итого 12


решений





12 решений

1 уравнение


полученных

решений после 1

уравнения

х3 х4 х5 х6 Количество решений

4 0 0 0 1 4*2=8

0 0 1 0

2 0 1 0 0

2*4=8 0 1 0 1

0 1 1 0

0 1 1 1

2

1 0 0 0

2*4=8 1 0 0 1

1 0 1 0

1 0 1 1

4 1 1 0 1 4*2=8

1 1 1 0

Итого 32

Сводная таблица решений 2 уравнения.

х3 х4 Количество решений





Значения х5=0, х6 = 0 получается 2+2=4 раза при 01 и 10.

Значения х5=0, х6 = 1 получается 4+2+2+4=12 раз при 00, 01, 10,11.

Значения х5=1, х6 = 0 получается 4+2+2+4=12 раз при 00,01, 10, 11.

Значения х5=1, х6 = 1 получается 2+2=4 раза при 01, 10.

Рассмотрим третье уравнение (x5≡x6)˅((x7˄x8)˅(¬x7˄¬x8))=1, оно

решается аналогично первому, поэтому воспользуемся сводной таблицей

решений для 1 уравнения.






решений

4 0 0 4*4=16

12 0 1 12*2=24

12 1 0 12*2=24

4 1 1 4*4=16

Итого 80

Значения х7=0, х8 = 0 получается 4+12+12+4=32 раза при 00, 01,10,11.

Значения х7=0, х8 = 1 получается 4+4=8 раз при 00, 11.

Значения х7=1, х8 = 0 получается 4+4=8 раз при 00, 11.

Значения х7=1, х8 = 1 получается 4+12+12+4=32 при 00,01, 10, 11.

Рассмотрим четвёртое уравнение (x7≡x8)˄((x9˄x10)˅(¬x9˄¬x10))=0 оно

решается аналогично второму, поэтому воспользуемся сводной таблицей

решений для 2 уравнения.






решений

32 0 0 32*2=64

8 0 1 8*4=32

8 1 0 8*4=32

32 1 1 32*2=64

Итого 192

Ответ 192 решения.


переменных х1, х2, х3, х4, х5, х6, у1, у2, y3, y4, y5, y6, которые

удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

(x1→x2) ˄ (x2→x3) ˄ (x3 →x4) ˄ (x4 → x5) ˄ (x5 → x6)=1

(y1→y2) ˄ (y2→y3) ˄ (y3 →y4) ˄ (y4 → y5) ˄ (y5 → y6)=1

x1→y1=1

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений

переменных x1, х2, х3, х4, х5, х6, у1, у2, у3, y4, y5, y6, при которых

выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать

количество таких наборов.

Решение:

Выпишем первое уравнение

(x1→x2) ˄ (x2→x3) ˄ (x3 →x4) ˄ (x4 → x5) ˄ (x5 → x6)=1


x1 х2 x3 х4 x5 x6

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 1 1

0 0 0 1 1 1

0 0 1 1 1 1

0 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

Итого 7

Выпишем второе уравнение

(y1→y2) ˄ (y2→y3) ˄ (y3 →y4) ˄ (y4 → y5) ˄ (y5 → y6)=1

Оно абсолютно аналогично первому и имеет ровно 7 таких же решений.

Третье уравнение связывает х1 и y1, если х1 = 1, то y1 не может быть

нулём x1→y1=1.

Первые 6 наборов для х дают на по 7 наборов для y, следовательно,

количество решений 7*6 = 42,

В последнем наборе x1=1, следовательно, из 7 наборов для y подходит

только 1 последний, в котором y1=1.

То есть общее количество решений 42+1=43 решения.


переменных х1, х2, х3, х4, х5, х6, х7,х8, у1, у2, y3, y4, y5, y6,y7,y8 которые

удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

(¬(х1˄y1))≡(x2˄y2)

(¬(х2˄y2))≡(x3˄y3)

…

(¬(х7˄y7))≡(x8˄y8)


переменных х1, х2, х3, х4, х5, х6, х7,х8, у1, у2, y3, y4, y5, y6,y7,y8, при

которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно

указать количество таких наборов.

Решение:

Выпишем первое уравнение (¬(х1˄y1))≡(x2˄y2)


Значения х2=0,y2 = 0 получается 1 раз при 11.



Значения х2=1,y2 = 1 получается 3 раза при 00,01, 10.

Рассмотрим второе уравнение (¬(х2˄y2))≡(x3˄y3)


Количество полученных решений после

1 уравнения х2 y2 Количество решений

1 0 0 1*1=1

1 0 1 1*1=1

1 1 0 1*1=1

3 1 1 3*3=9


0 0 1 решение




6 решений

x1 y1 x2 y2

0 0 1 1

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 0 1

1 1 1 0

Итого 6


Значения х3=0,y3 = 0 получается 3 раза при 11.



Значения х2=1,y2 = 1 получается 1+1+1=3 раза при 00,01, 10.

Рассмотрим третье уравнение (¬(х3˄y3))≡(x4˄y4). Составим таблицу

для входных данных для 3 уравнения





решений

3 0 0 3*1=3

3 0 1 3*1=3

3 1 0 3*1=3

3 1 1 3*3=9

Итого 18




Значения х4=1,y4 = 1 получается 3+3+3=9 раз при 00,01, 10.

Рассмотрим четвёртое уравнение (¬(х4˄y4))≡(x5˄y5)






решений

3 0 0 3*1=3

3 0 1 3*1=3

3 1 0 3*1=3

9 1 1 9*3=27

Итого 36





Рассмотрим пятое уравнение (¬(х5˄y5))≡(x6˄y6)






9 0 0 9*1=9

9 0 1 9*1=9

9 1 0 9*1=9

9 1 1 9*3=27

Итого 54





Рассмотрим пятое уравнение (¬(х6˄y6))≡(x7˄y7)






решений

9 0 0 9*1=9

9 0 1 9*1=9

9 1 0 9*1=9

27 1 1 27*3=81

Итого 108





Рассмотрим седьмое уравнение (¬(х7˄y7))≡(x8˄y8)






решений

27 0 0 27*1=27

27 0 1 27*1=27

27 1 0 27*1=27

27 1 1 27*3=81

Итого 162

Ответ 162


переменных

x1, x2, … x6, y1, y2, … y6, которые удовлетворяют всем перечисленным

ниже условиям?

(x1 → (x2 /\ y2)) /\ (y1 → y2) = 1

(x2 → (x3 /\ y3)) /\ (y2 → y3) = 1

(x3 → (x4 /\ y4)) /\ (y3 → y4) = 1

(x4 → (x5 /\ y5)) /\ (y4 → y5) = 1

(x5 → (x6 /\ y6)) /\ (y5 → y6) = 1

x6 → y6 = 1


переменных x1, x2, … x6, y1, y2, … y6, при которых выполнена данная

система равенств.

В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Решение:

Выпишем первое уравнение (x1 → (x2 /\ y2)) /\ (y1 → y2) = 1



Значения х2=0,y2 = 1 получается 2 раза при 00, 01.


Значения х2=1,y2 = 1 получается 4 раза при 00,01, 10,11.

Рассмотрим второе уравнение (x2 → (x3 /\ y3)) /\ (y2 → y3) = 1





решений

1 0 0 1*4=4

2 0 1 2*2=4

1 1 0 1*1=1

4 1 1 4*1=4

Итого 13


Значения х3=0,y3 = 1 получается 2+1=3 раза при 00, 01.


Значения х3=1,y3 = 1 получается 1+2+1+4=8 раз при 00,01, 10,11.

Рассмотрим третье уравнение (x3 → (x4 /\ y4)) /\ (y3 → y4) = 1

x1 y1 x2 y2

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 1 1

Итого 8

x1 y1 Количество

решений










решений

1 0 0 1*4=4

3 0 1 3*2=6

1 1 0 1*1=1

8 1 1 8*1=8

Итого 19


Значения х4=0,y4 = 1 получается 1+3=4 раза при 00, 01.



Рассмотрим четвёртое уравнение (x4 → (x5 /\ y5)) /\ (y4 → y5) = 1





решений

1 0 0 1*4=4

4 0 1 4*2=8

1 1 0 1*1=1

13 1 1 13*1=13

Итого 26


Значения х5=0,y5 = 1 получается 1+4=5 раз при 00, 01.



Рассмотрим пятое уравнение (x5 → (x6 /\ y6)) /\ (y5 → y6) = 1





решений

1 0 0 1*4=4

5 0 1 5*2=10

1 1 0 1*1=1

19 1 1 19*1=19

Итого 34


Значения х6=0,y6 = 1 получается 1+5=6 раз при 00, 01.



Последнее уравнение x6 → y6 = 1 не выполняется при x6=1, y6=0 у нас это

решение 1, следовательно, его необходимо убрать.

34 – 1 =33

Ответ: 33

Задачи для самостоятельного решения:

1. Какое логическое выражение равносильно выражению ¬А ˄¬ (¬ В ˄ С)?

1) ¬А˄В˄¬С 2) ¬А˄¬C v B 3) ¬A˄(B v ¬C) 4) (¬А˄В)˄С

2. Формулой логического высказывания

«В июле мы с друзьями поедем на Селигер, и если катер будет на ходу, то

рыбалка должна быть удачной»

является...

1) А˄(В→С)

2) (А ˄ В) С v D

3) (А ˄ В) ↔ (С ˄ D)

4) А ˄ В → С

3. Для какого символьного выражения неверно высказывание:

Первая буква гласная → ¬(Третья буква согласная)?

1) abedc 2) becde 3) babas 4) abcab

4. Символом F обозначено некоторое логическое выражение от трех

аргументов: X, У, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

X Y Z F

0 1 0 0

1 0 1 0

1 1 1 0


1) ¬Х ˄ У ˄ ¬Z 2) ¬Х V У V ¬Z

3) ¬Х ˄Y ˄Z 4) X V У V¬Z

5. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F.

xl х2 х3 х4 х5 х6 х7 х8 F

1 1 1 0 1 1 0 0 1

1 0 1 0 1 0 1 0 0

1 1 1 0 0 0 0 0 1


1) xl ˄ х2 ˄ х3 ˄ ¬х4 ˄ х5 ˄ ¬х6 ˄ ¬х7 ˄ х8

2) xl ˄ х2 ˄ х3 ˄ ¬х4 ˄ х5 ˄ ¬х6 ˄ х7 ˄ х8

3) ¬xl v х2 v ¬х3 v х4 v ¬х5 v х6 v ¬х7 v х8

4) ¬xl v х2 v ¬х3 v х4 v х5 v х6 v ¬х7 v х8

6. Логическая функция F задаётся выражением

(x /\ ¬y /\¬z) \/ (x /\ y /\ z) \/ (x /\¬y /\ z).

На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F,


Определите, какому столбцу таблицы истинности

функции F соответствует каждая из переменных x, y, z.

Перем. 1 Перем. 2 Перем. 3 Функция

??? ??? ??? F

1 1 0 1

1 0 0 1

1 1 1 1

В ответе напишите буквы x, y, z в том порядке, в котором идут

соответствующие им столбцы (сначала – буква, соответствующая первому

столбцу; затем – буква, соответствующая второму столбцу, и т.д.) Буквы в


нужно.

Пример. Если бы функция была задана выражением ¬x \/ y,

зависящим от двух переменных: x и y, и был приведён фрагмент её

таблицы истинности, содержащий все наборы аргументов, при которых

функция F истинна.

Перем. 1 Перем. 2 Функция

??? ??? F

0 0 1

1 0 1

1 1 1

Тогда первому столбцу соответствовала бы переменная y, а второму

столбцу – переменная x. В ответе следовало бы написать: yx.

7. Укажите значения логических переменных Х,Y, Z, T, при которых

логическое выражение (X → Y) V ((X ˄ ¬Z) → T) ложно. Ответ запишите в

виде строки из четырёх значений переменных X, Y, Z и Т соответственно.

Так, например, строка 1100 соответствует тому, что X = l,Y = 1, Z = 0,T =

0.

8. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений

от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы истинности выражения

F:

X Y Z F

1 0 0 1

0 0 0 1

1 1 1 0

Какое выражение соответствует F?

1) ¬X /\ ¬Y /\ ¬Z

2) X /\ Y /\ Z

3) X \/ Y \/ Z

4) ¬X \/ ¬Y \/ ¬Z

9. Логическая функция F задаётся выражением (¬x˄y)˅ (y ˄z). На рисунке

приведён фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий все

наборы аргументов, при которых функция F истинна.


соответствует каждая из переменных х, у, z.

Переменная 1 Переменная 2 Переменная 3 Функция

??? ??? ??? F

0 1 0 1

0 1 1 1

1 1 1 1

В ответе напишите буквы х, у, z в том порядке, в котором идут

соответствующие им столбцы (сначала буква, соответствующая первому

столбцу, затем буква, соответствующая второму столбцу, и т. д.) Буквы в


нужно. Пример. Пусть заданы выражение х → у, зависящее от двух

переменных х и у, и таблица истинности.

10. Для таблицы истинности функции F известны значения только

некоторых ячеек:

xl х2 х3 х4 х5 х6 х7 F

1 0 1

0 0 0

0 1 0


1) xl ˄(х2→х3)˄х4˄х5˄х6˄¬х7

2) ¬xl V (¬х2 → х3) V ¬х4 V ¬х5 V х6 V ¬х7

3) ¬xl ˄ (х2 → ¬х3) ˄ х4 ˄ х5 ˄¬х6 ˄ х7

4) xl V (х2 →¬х3) V ¬х4 V х5 V ¬х6 V х7


операции «ИЛИ» используется символ «|», а для логической операции «И»

— символ «&». В таблице приведены запросы и количество найденных по

ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.


Фрегат ǀ Эсминец 7800

Фрегат & Эсминец 1300

Эсминец 4100

Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу: Фрегат?

Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так

что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время

выполнения запросов.

12. На языке запросов поискового сервера для обозначения логической

операции «ИЛИ» используется символ |, а для логической операции «И» —

символ &.

Поисковый сервер в автоматическом режиме составил таблицу ключевых

слов для сайтов некоторого сегмента сети. Вот её фрагмент:

Ключевое слово Количество страниц (в сотнях тысяч)

Каникулы & Зима 320

Зима | Отдых 1840

Отдых 1200

Зима | Каникулы | Отдых 2300

Каникулы & Отдых 0

Сколько страниц (в сотнях тысяч) будет найдено по запросу Каникулы |

Отдых?



— символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц

некоторого сегмента сети Интернет.


варенье & груша & яблоко 120

варенье & груша 235

варенье & яблоко 435

Компьютер печатает количество страниц (в тысячах), которое будет

найдено по следующему запросу:

(груша | яблоко) & варенье Укажите целое число, которое напечатает

компьютер.






– символ «&».

В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц

некоторого сегмента сети Интернет.


протон & бозон 165

протон & фотон & бозон 80

фотон & бозон 125

Компьютер печатает количество страниц (в тысячах), которое будет

найдено по следующему запросу:

(протон | фотон) & бозон

Укажите целое число, которое напечатает компьютер.






- символ «&». В таблице приведены запросы и количество найденных по

ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.


Франция & Германия 274

Германия & (Франция ǀ Австрия) 467

Франция & Германия & Австрия 104


Германия & Австрия?




16. На числовой прямой даны отрезки Р = [5, 13] и Q = [8, 19]. Укажите

наибольшую возможную длину такого отрезка А, что формула

¬((х € Р) → ¬(х € Q)) V ¬(х € А) верна при любых значениях х.

17. На числовой прямой даны два отрезка: Р = [11, 21] и Q = [15, 40].

Укажите наибольшую возможную длину промежутка А, для которого

формула (х € А) → ¬((х € Р) ~ (х € Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении


18. Элементами множеств А, Р, Q являются натуральные числа, причём Р =

{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}, Q = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30}.

Известно, что выражение

( (X € Р) → (X € А) ) V (¬(X € А) → ¬(х € Q) )


Определите наименьшее возможное количество элементов в множестве А.

19. Даны множества Р = {3,6,12,22,54,103}, Q = {3,8,12,24,54,107, 211} и А.

Элементами множества являются натуральные числа. Известно, что

выражение

(¬(х € A) v ¬((х € Q) ˄(х € Р))) →¬(x€А)


Определите наибольшее возможное значение суммы элементов множества

А.




x&51 = 0 \/ (x&11 = 0 → x&А ≠ 0)

тождественно истинна (т.е. принимает значение 1 при любом



целых

чисел m и n. Например, 14&5 = 11102&01012= 01002 = 4.


((х&28 ≠ 0) V (x&45 ≠ 0)) → (х& 17 = 0 → х&А ≠ 0)

тождественно истинна (т. е. принимает значение 1 при любом



(48 ≠ y + 2x) \/ (A < x) \/ (A < y)




(2x + y ≠ 70) \/ (x < y) \/ (A < x)



24. Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А выражение

(y + 2x < A) \/ (x> 30) \/ (y> 20)



25. Для какого наименьшего целого неотрицательного числа А выражение

(x ∙ y < A) \/ (x < y) \/ (7 ≤ x)




(у + 2х <> 27) -> ((у - х > 3) v (у <, А))



27. Для какого наименьшего целого неотрицательно числа А выражение

(5 · х + 2 · у ≠ 32) V (х > А - 8) V (у > А + 1)

тождественно истинно (то есть принимает значение 1 при любых целых

неотрицательных значениях переменных х и у)?

28. Для какого наименьшего целого числа А выражение

((x • х < А) V (х ≥ 8)) ˄ ((у • у < А) →(у < 8))


неотрицательных значениях переменных т и у)?

29. Для какого наименьшего целого числа А выражение

((x4 < А) →(х ≤ 2)) ˄((у < 7) →(у2 < А))


неотрицательных значениях переменных х и у)?

30. Сколько существует целых значений числа А, при которых формула

((x < 5) → (х2 < А)) ˄ ((у2 ≤ А) (у ≤ 5)) тождественно истинна при любых

целых неотрицательных x и у?

31. Сколько существует целых значений числа А, при которых формула

((х <А)→(х2< 100)) ˄((у2 ≤ 64)→ (у ≤ А)) тождественно истинна при

любых целых неотрицательных x и у?



x1, x2, … x8, y1, y2, … y8, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже

условиям?

(y1 → (y2 /\ x1)) /\ (x1 → x2) = 1

(y2 → (y3 /\ x2)) /\ (x2 → x3) = 1

…

(y7 → (y8 /\ x7)) /\ (x7 → x8) = 1

y8 → x8 = 1


переменных x1, x2, … x8, y1,y2, … y8, при которых выполнена данная

система равенств.

В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.



x1, x2, ... x9, y1, y2, ... y9, которые удовлетворяют всем перечисленным

ниже условиям:

(¬(x1 ≡ y1) →¬(x2 ≡ y2)) /\ (x1 →x2) /\ (y1 →y2) = 1;

(¬(x2 ≡ y2) →¬(x3 ≡ y3)) /\ (x2 →x3) /\ (y2 →y3) = 1;

…

(¬(x8 ≡ y8) →¬(x9 ≡ y9)) /\ (x8 →x9) /\ (y8 →y9) = 1.


переменных x1, x2, ... x9, y1, y2, ... y9, при которых выполнена

данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать

количество таких наборов/

34. Cколько существует различных наборов значений логических

переменных x1, х2, ..., х8, y1, y2, …, y8, которые удовлетворяют всем


(¬x1→x2)⋀¬(x1→¬x3) ⋀(¬𝑥2 →y1)=1

(¬x2→x3)⋀¬(x2→¬x4) ⋀(¬𝑥3 →y2)=1 ….

(¬x6→x7)⋀¬(x6→¬x8) ⋀(¬𝑥7 →y6)=1

(¬x7→x8)⋀¬(x7→¬ y7)=1

(¬y7→y8)=1


переменных х1, х2, ... х10, которые удовлетворяют всем перечисленным

ниже условиям?

((х1 ↔х3) V (х2↔x4)) ⋀ (¬((х1 ↔x3) ⋀ (х2↔х4))) =0

((х2 ↔х4) V (x5 ↔x7)) ⋀ (¬((х2 ↔x4) ⋀ (х5 ↔x7))) =0

((х5 ↔х7) V (x6 ↔x8)) ⋀ (¬((х5 ↔x7) ⋀ (х6 ↔x8))) =0

((х6 ↔х8) V (x9 ↔x10)) ⋀ (¬((х6 ↔x8) ⋀ (х9 ↔x10))) =0

((х1 ↔х3) →(x2 ↔x4)) →x5 =0

((х5 ↔х7) →(x6 ↔x8)) →x10 =0

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений х1, х2, ... хд,

х10, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа

Вам нужно указать количество таких наборов.

Список использованной литературы:

Интернет- источники

1. www.fipi.ru

2. http://kpolyakov.spb.ru/school/ege.htm

3. https://inf-ege.sdamgia.ru

Учебные пособия

1. Евич, Jl. Н.Информатика и ИКТ. Подготовка к ЕГЭ-2020

тренировочных вариантов по демоверсии на 2020 год : учебно-методическое

пособие / Под ред. Л. Н. Евич, С. Ю. Кулабухова. — Ростов-на-Дону:

Легион, 2019.

2. ЕГЭ-2020: Информатика: самое полное издание типовых вариантов

заданий / авт.-сост. Д.М. Ушаков, А.П. Якушкин. — Москва: ACT : Астрель,

2019. — 316, [4] с. — (Федеральный институт педагогических измерений).

3. ЕГЭ. Информатика и ИКТ : типовые экзаменационные варианты : 10

вариантов / С.С. Крылов, Т.Е. Чуркина. — М. : Издательство «Национальное

образование», 2019.

4. ЕГЭ. Информатика и ИКТ: типовые экзаменационные варианты : 20

вариантов / С.С. Крылов, Т.Е. Чуркина. — М. : Издательство «Национальное

образование», 2019.

5. Зорина Е. М. ЕГЭ 2020. Информатика : сборник заданий / Е. М. Зорина,

М. В. Зорин. — М.: Эксмо, 2019.

6. Лещинер, В.Р. Оптимальный банк заданий для подготовки к ЕГЭ.

Единый государственный экзамен 2020. Информатика. Учебное пособие. /

В.Р. Лещинер, С.С. Крылов, А.П. Якушкин. - Москва: Интеллект-Центр,

2019. – 176 с.

7. В.Р. Лещинер, М.А. Ройтберг Методические рекомендации для

учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников

ЕГЭ 2019 года по информатике и икт.

http://www.fipi.ru/

http://kpolyakov.spb.ru/school/ege.htm

https://inf-ege.sdamgia.ru/

8. Лещинер В. Р. ЕГЭ 2020. Информатика. Типовые тестовые задания / В.

Р. Лещинер. — М. : Издательство «Экзамен», 2019. — 151, [ 1 ] с. (Серия

«ЕГЭ. Типовые тестовые задания»)

9. Крылов С. С. ЕГЭ 2018. Информатика. Тематические тестовые задания

/ С. С. Крылов, Д. М. Ушаков. — М. : Издательство «Экзамен», 2018.

10. Ройтберг М. А., Зайдельман Я. Н. Информатика и ИКТ. Подготовка к

ЕГЭ в 2020 году. Диагностические работы. — М.: МЦНМО, 2019.

11. Ушаков, Денис Михайлович. ЕГЭ-2020: Информатика : 10

тренировочных вариантов экзаменационных работ для подготовки к

единому государственному экзамену / Д.М. Ушаков. — Москва: ACT, 2019.

12. Ушаков, Денис Михайлович. ЕГЭ-2020 : Информатика : 20 вариантов

экзаменационных работ для подготовки к единому государственному

экзамену / Д.М. Ушаков. — Москва: ACT: Астрель, 2019.

Задача № 23, 18, 17, 2 · 2020. 4. 20. · 2. Конъюнкция (логическое...

Documents

Transcript of Задача № 23, 18, 17, 2 · 2020. 4. 20. · 2. Конъюнкция (логическое...