結構學 (一 )

第七次作業97/05/15

諧和變位法 (method of consistent deformations)

柔度法 ,疊加法 將靜不定結構分析以穩定靜定結構取代

移除束制、以贅力取代 贅力處滿足變位相容 (compatibility)

計算外載重於贅力處之變位 計算贅力單獨施加時各贅力處之變位 代入諧和方程式求解贅力

題目一 決定下圖所示構架之反力並繪製構件之彎矩圖。 EI為定值。

題目一 (a) 先決定放鬆哪個束制，成為靜定結構 以支承 C之水平反力為贅力，則 C點鉸支承變成滾支承，即形成靜定基元結構

C點滿足變位諧和 ΔCH=0 00 CCCC X

題目一 (b) 在基元結構上，外載重 P產生 C點位移

AD斷面之彎矩函數 (A): M=5x,m=-0.5x BD斷面之彎矩函數 (B): M=5x,m=-6+0.5x

EIEI

x

EI

x

EI

xxdx

EI

xxC

5401530

5.0655.05

6

0

26

0

6

0

6

00

　 　　 　

題目一 (c) 在基元結構上，單位贅力產生 C點位移

AD斷面之彎矩函數 (A): M=-0.5x,m=-0.5x BD斷面之彎矩函數 (B): M=-6+0.5x, m=-

6+0.5x BC斷面之彎矩函數 (C): M=-x,m=-x

題目一 (d) 在基元結構上，單位贅力產生 C點位移

代入諧和方程式，求解贅力 Xc

EIEIEI

xxx

dxEI

xxdx

EI

xxxx

dxEI

xdx

EI

xdx

EI

xCC

2162161081083635.0

3665.125.063625.0

5.065.0

6

0

23

6

0

26

0

222

6

0

26

0

26

0

2

　 　 　

　 　 　

)(5.2216

5400

216540

00

kipsXXEIEI

X

CC

CCCC

題目一 (e) 將 P及贅力 Xc(=2.5)產生之反力合併

題目一 (f) 繪製彎矩圖

題目二 P力施加於 AB跨之中點，以 B點內彎矩為贅力，分析下圖所示連續梁，求得各支承反力及 B點轉角。此樑為一度靜不定， EI為定值。

題目二 (a) 依題目以 B點內彎矩為贅力，則 B點變成內部鉸接點

B點之諧和方程式020 0Re, BBlB Mor

題目二 (b) 在基元結構上，外載重 P產生 B點轉角

AD斷面之彎矩函數 (A): M=0.5Px,m=x/L BD斷面之彎矩函數 (B): M=0.5Px,m=1-x/L

0

)(16

25.05.0

15.05.0

,0

22/

0

22/

0

2/

0

2/

0,0

RB

LL

LL

LB

EI

PL

EI

Pxdx

EI

Px

dxEI

LxPx

dxEI

LxPx

逆　 　　 　

題目二 (c) 在基元結構上，單位彎矩贅力產生 B點轉角 AB斷面之彎矩函數 (A): M=x/L,m=x/L

EI

L

EIL

x

dxEIL

xdx

EILx

Lx

L

LL

330

2

3

0 2

2

0

　 　

題目二 (d) 將前面二式代入諧和方程式，求解 MB

進而求得各支承反力32

3

032

16

2

PLM

MEI

L

EI

PL

B

B

題目二 (e) B點轉角 θB可以從 AB桿右端或 BC桿左端求得

)(3232

3

30

)(3232

3

3162

,0

22

,0

逆

逆

EI

PLPL

EI

LM

EI

PLPL

EI

L

EI

PLM

BRBB

BLBB

題目三 請利用諧和變位法計算下圖支承 e的反力，其中彈簧支承的柔性係數 f=0.2cm/kN；樑元件的彎矩剛性 (bending rigidity) EI=30,000kN．m2。

題目三 (a) 以 b點彈簧反力為贅力 b點之諧和方程式

fRbbbbb 0

題目三 (b) 在基元結構上，外載重產生 b點變位

ab斷面之彎矩函數 (a): M=10x/3,m=2x/3 bc斷面之彎矩函數 (b): M=10+10x/3,m=2-x/3 cd斷面之彎矩函數 (d): M=20x/3,m=x/3

題目三 (c) 在基元結構上，外載重產生 b點變位

)(5.62255.730

2725

65

10910

95

35

10920

233

20

23

2310

1032

310

3

0

32

3

0

222

3

0

3

0

3

00

向下　 　

　 　　 　

EIEI

EI

xxx

dxEI

xxxx

dxEI

xx

dxEI

xx

dxEI

xx

b

題目三 (d) 在基元結構上，贅力產生 b點變位

ab斷面之彎矩函數 (a): M=-2Rbx/3,m=2x/3 bc斷面之彎矩函數 (b): M=-2Rb+Rbx/3, m=2-

x/3 cd斷面之彎矩函數 (d): M=-Rbx/3,m=x/3

題目三 (e) 在基元結構上，贅力產生 b點變位

)(8536

275

32

181832

294

233

23

23

232

32

3

0

32

3

0

222

3

0

3

0

3

0

向上　 　

　 　　 　

bb

bb

bbb

b

bb

REI

REI

REI

xxx

dxREI

xxxx

dxEI

xxR

dxEI

xxRR

dxEI

xxR

題目三 (e) 將前二式代入諧和方程式

)(919.05.6268

6085.62100

2.085.62

kNRR

RR

RREIEI

bb

bb

bb