Ëåêöèÿ 8.Ââåäåíèå â òåîðèþ ñëó÷àéíûõ...

Берк

ов Н

.А. М

ИРЭА

, каф

едра

выс

шая

мат

емат

ика

2

168 Ëåêöèÿ 8. Ñëó÷àéíûå ïðîöåññû

Ëåêöèÿ 8. Ââåäåíèå â òåîðèþ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ

Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåð-ñèÿ. Êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ. Âçàèìíàÿ êîððåëÿöèîí-íàÿ ôóíêöèÿ. Êàíîíè÷åñêîå ðàçëîæåíèå ñëó÷àéíîé ôóíê-öèè.Ïðîèçâîäíàÿ è èíòåãðàë ñëó÷àéíîé ôóíêöèè. Êîìïëåêñ-íûå ñëó÷àéíûå ïðîöåññû. Ñòàöèîíàðíûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ.Ìàðêîâñêèå ñëó÷àéíûå ïðîöåññû.

8.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ

Îïðåäåëåíèå 8.1. Ñëó÷àéíîé ôóíêöèåé ξ(t) íàçûâàþò ñëó÷àé-íóþ âåëè÷èíó, çàâèñÿùóþ îò íåñëó÷àéíîãî ïàðàìåòðà t. Åñëè ïàðà-ìåòð t èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê âðåìÿ, ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ íàçûâàåò-ñÿ ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì.

Ìû â îñíîâíîì áóäåì èìåòü äåëî ñî ñëó÷àéíûìè ïðîöåññàìè, îä-íàêî âñ¼ èçëîæåííîå ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáûõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé.

Ïðèìåð 8.1. Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ξ(t) = ζ · sin t, ãäå t > 0,ζ ∼ N(5; 1) ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, èìåþùàÿ íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.

Îïðåäåëåíèå 8.2. Ñå÷åíèåì ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà íàçûâàþò ñëó-÷àéíóþ âåëè÷èíó, ïîëó÷àþùóþñÿ ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè ïàðà-ìåòðà t.

Îïðåäåëåíèå 8.3. Ðåàëèçàöèåé (òðàåêòîðèåé) ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà

íàçûâàþò íåñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ àðãóìåíòà t, ïîëó÷àþùóþñÿ â ðå-çóëüòàòå íàáëþäåíèÿ (èñïûòàíèÿ) íàä ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì â òå-÷åíèå äëèòåëüíîãî âðåìåíè.

Åñëè íà ïðàêòèêå íàáëþäàþò ñëó÷àéíûé ïðîöåññ (íàïðèìåð, çà-ïèñûâàþò åãî ãðàôèê ñ ïîìîùüþ ñàìîïèñöà), òî â äåéñòâèòåëüíîñòèïîëó÷àþò îäíó èç âîçìîæíûõ åãî ðåàëèçàöèé. Ïðè ïîâòîðåíèè îïû-òà áóäåò íàáëþäàòüñÿ äðóãàÿ ðåàëèçàöèÿ. Ðåàëèçàöèþ ïðîöåññà ξ(t)áóäåì îáîçíà÷àòü ñòðî÷íûìè ëàòèíñêèìè áóêâàìè: x(t).

Åñëè â ïðèìåðå 8.1 ôèêñèðîâàòü ìîìåíò âðåìåíè t = 1, ïîëó÷èìñå÷åíèå ξ(1) = ζ · sin 1. Åñëè â ïðèìåðå 8.1 ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ζ âïåðâîì èñïûòàíèè ïðèíÿëà çíà÷åíèå 2, à âî âòîðîì � 3, òî ïîëó÷èìäâå ðåàëèçàöèè: x1(t) = 2 sin t; x2(t) = 3 sin t.

Çàìåòèì, ÷òî ñå÷åíèå ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, ðåàëèçàöèÿ �íåñëó÷àéíîé ôóíêöèåé.

Берк

ов Н

.А. М

ИРЭА

, каф

едра

выс

шая

мат

емат

ика

2

Ëåêöèÿ 8. Ñëó÷àéíûå ïðîöåññû 169

8.2. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ

Îïðåäåëåíèå 8.4. Ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà

íàçûâàþò íåñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ m(t), êîòîðàÿ ïðè êàæäîì t ðàâíàìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ ñîîòâåòñòâóþùåãî ñå÷åíèÿ:

mξ(t) =M

(ξ(t)

). (8.1)

Ãåîìåòðè÷åñêè m(t) ÿâëÿåòñÿ êðèâîé, çàíèìàþùåé ¾ñðåäíåå ïî-ëîæåíèå¿ ñðåäè âñåõ ðåàëèçàöèé ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà. Åñëè ξ(t) �ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, à f(t) � íåñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ, òî m(t) îáëàäàåòñëåäóþùèìè î÷åâèäíûìè ñâîéñòâàìè (äîêàæèòå èõ ñàìîñòîÿòåëüíîíà îñíîâàíèè ñâîéñòâ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ):

(1) M(f(t)

)= f(t),

(2) M(f(t) · ξ(t)

)= f(t) ·M

(ξ(t)

),

(3) M(ξ1(t)± ξ2(t)

)=M

(ξ1(t)

)±M

(ξ2(t)

).

Ïðèìåð 8.2. Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè-÷èíû ξ(t) = U sin2 t + 3 cos2 t, ãäå U � ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ìàòåìà-òè÷åñêîå îæèäàíèå êîòîðîé ðàâíî 5.

IÈñïîëüçóåì âñå òðè ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèå. Ïðèýòîì ó÷èòûâàåì, ÷òî sin2 t è 3 cos2 t � íåñëó÷àéíûå ìíîæèòåëè.

M [ξ(t)] =M [U sin2 t+ 3 cos2 t] =M [U sin2 t] +M [3 cos2 t] =

= sin2 t ·M(U) + 3 cos2 t = 5 sin2 t+ 3 cos2 t = 3 + 2 sin2 t.

Îòâåò: M [ξ(t)] = 3 + 2 sin2 t. JÎïðåäåëåíèå 8.5. Äèñïåðñèåé ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà íàçûâàþò

íåñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ σ2(t), êîòîðàÿ ïðè êàæäîì t ðàâíà äèñïåðñèèñîîòâåòñòâóþùåãî ñå÷åíèÿ:

σ2ξ(t) = D

(ξ(t)

). (8.2)

Äèñïåðñèÿ õàðàêòåðèçóåò ñòåïåíü ðàññåÿíèÿ ðåàëèçàöèé ñëó÷àé-íîãî ïðîöåññà îêîëî åãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ.

Íàðÿäó ñ äèñïåðñèåé ðàññìàòðèâàåòñÿ òàêæå ñðåäíåå êâàäðàòè÷å-

ñêîå îòêëîíåíèå ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà: σξ(t) =

√D(ξ(t)

).

Î÷åâèäíû ñâîéñòâà äèñïåðñèè σ2ξ(t):

(1) σ2ξ(t) > 0,

(2) D(f(t)

)= 0,

Берк

ов Н

.А. М

ИРЭА

, каф

едра

выс

шая

мат

емат

ика

2


(3) D(f(t) · ξ(t)

)= f 2(t) ·D

(ξ(t)

),

(4) D(ξ(t)± f(t)

)= D

(ξ(t)

).

Ïðèìåð 8.3. Íàéòè äèñïåðñèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûξ(t) = 2U sin 2t + 3 cos 2t + 12, ãäå U � ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà äèñïåð-ñèÿ êîòîðîé ðàâíà 0,5.

IÈñïîëüçóåì âñå ñâîéñòâà äèñïåðñèè äëÿ íåñëó÷àéíûõ ìíîæèòå-ëåé 2 sin 2t, 3 cos 2t è 12:

D[ξ(t)] = D[2U sin 2t+3 cos 2t+12] = D[2U sin 2t]+D[3 cos 2t]+D[12] =

= (2 sin 2t)2 ·D(U) + 0 + 0 = 4 sin2 2t · 0,5 = 2 sin2 2t.

Îòâåò: D[ξ(t)] = 2 sin2 2t. J

8.3. Êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñâÿçè ìåæäó ðàçëè÷íûìè ñå÷åíèÿìè ñëó÷àéíîãîïðîöåññà èñïîëüçóåòñÿ êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ.

Îïðåäåëåíèå 8.6. Êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà

íàçûâàþò íåñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ äâóõ àðãóìåíòîâ Kξ(t1; t2), ðàâíóþêîððåëÿöèîííîìó ìîìåíòó ñå÷åíèé ξ(t1) è ξ(t2):

Kξ(t1; t2) =M((ξ(t1)−m(t1)

)·(ξ(t2)−m(t2)

)). (8.3)

Åñëè ââåñòè ïîíÿòèå öåíòðèðîâàííîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà

ξ◦

(t) = ξ(t)−m(t), (8.4)

òî îïðåäåëåíèå 8.6 çàïèøåòñÿ êîðî÷å:

Kξ(t1; t2) =M(ξ◦

(t1) · ξ◦

(t2)). (8.5)

Ïðèìåð 8.4. Äëÿ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà èç ïðèìåðà 8.1 íàéòèmξ(t),

σ2ξ(t), Kξ(t1; t2).

IÏîëüçóÿñü ñâîéñòâàìè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè,ïîñêîëüêó ζ ∼ N(5; 1), ïîëó÷àåì:

mξ(t) =M

(ξ(t)

)=M(ζ · sin t) =M(ζ) · sin t = 5 sin t,

σ2ξ(t) = D

(ξ(t)

)= D(ζ · sin t) = D(ζ) · sin2 t = sin2 t,

Kξ(t1; t2) =M((ζ · sin t1 − 5 sin t1) · (ζ · sin t2 − 5 sin t2)

)=

=M((ζ − 5)2 sin t1 sin t2

)= D(ζ) sin t1 sin t2 = sin t1 sin t2.

Берк

ов Н

.А. М

ИРЭА

, каф

едра

выс

шая

мат

емат

ика

2


Îòâåò: mξ(t) = 5 sin t; σ2

ξ(t) = sin2 t; Kξ(t1; t2) = sin t1 · sin t2.J

Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè ñëó÷àéíîãî ïðî-öåññà.

(1) Kξ(t1; t2) = Kξ(t2; t1) ,(2) Kξ(t; t) = σ2

ξ(t),

(3) |Kξ(t1; t2)| 6 σξ(t1) · σξ

(t2),(4) Åñëè η(t) = ξ(t)+φ(t), ãäå φ(t)� íåñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà

Kη(t1, t2) = Kξ(t1, t2).(5) Åñëè η(t) = ξ(t) ·φ(t), ãäå φ(t)� íåñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà

Kη(t1, t2) = Kξ(t1, t2)φ(t1)φ(t2).

Åù¼ äâà ñâîéñòâà êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè áóäóò ïðèâåäåíû âï. 8.4.

Íàðÿäó ñ êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ðàññìàò-ðèâàåòñÿ íîðìèðîâàííàÿ êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ:

ρξ(t1; t2) =

Kξ(t1; t2)

σξ(t1) · σξ

(t2). (8.6)

Ñâîéñòâà íîðìèðîâàííîé êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè àíàëîãè÷íûñâîéñòâàì êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè:

(1) ρξ(t1; t2) = ρ

ξ(t2; t1),

(2) ρξ(t; t) = 1,

(3) |ρξ(t1; t2)| 6 1.

Ïðèìåð 8.5. Íàéòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, êîððåëÿöèîí-íóþ ôóíêöèþ è äèñïåðñèþ ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ξ(t) = U · et + sin t, ãäåU � ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ ÷èñëîâûìè ïàðàìåòðàìè M(U) = 10,D(U) = 2.

IÏîëüçóÿñü ñâîéñòâàìè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè,ïîëó÷àåì:

mξ(t) =M

(ξ(t)

)=M

(U · et + sin t

)=M(U) · et +M(sin t) = 10 et + sin t.

Íàéä¼ì öåíòðèðîâàííóþ ôóíêöèþ (8.4),

ξ◦

(t) = ξ(t)−m(t) = U · et + sin t− 10 et − sin t = (U − 10) · et.Íàéä¼ì êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ:

Kξ(t1; t2) =M(ξ◦

(t1)ξ◦

(t2))=M

((U − 10) · et1 · (U − 10) · et2

)=

= et1et2 ·M((U − 10)2

)= et1+t2D(U) = 2et1+t2 .

Берк

ов Н

.А. М

ИРЭА

, каф

едра

выс

шая

мат

емат

ика

2


Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî (2), íàéä¼ì äèñïåðñèþ,

σ2ξ(t) = Kξ(t; t) = 2et+t = 2e2t.

Îòâåò: mξ(t) = 10 et + sin t; σ2

ξ(t) = 2e2t; Kξ(t1; t2) = 2et1+t2 .J

8.4. Âçàèìíàÿ êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ

Îïðåäåëåíèå 8.7. Âçàèìíîé êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé äâóõ ñëó-÷àéíûõ ïðîöåññîâ ξ(t) è ζ(t) íàçûâàåòñÿ íåñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ äâóõàðãóìåíòîâ Rξζ(t1; t2), ðàâíàÿ êîððåëÿöèîííîìó ìîìåíòó ñå÷åíèé ξ(t1)è ζ(t2):

Rξζ(t1; t2) =M(ξ◦

(t1) · ζ◦

(t2)).

Äâà ñëó÷àéíûõ ïðîöåññà ξ(t) è ζ(t) íàçûâàþò íåêîððåëèðîâàííû-ìè, åñëè Rξζ(t1; t2) ≡ 0 äëÿ ∀ t1, t2.

Ñâîéñòâà Rξζ(t1; t2) íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàþò èç îïðåäåëåíèÿ 8.7è ñâîéñòâ êîððåëÿöèîííîãî ìîìåíòà:

(1) Rξζ(t1; t2) = Rζξ(t2; t1),(2) |Rξζ(t1; t2)| 6 σ

ξ(t1) · σζ

(t2),(3) Rξξ(t1; t2) = Kξ(t1; t2).

Äîáàâèì ê ïåðå÷èñëåííûì â ï. 8.3 ñâîéñòâàì êîððåëÿöèîííîéôóíêöèè Kξ(t1; t2) åù¼ äâà:

(4) Åñëè ξ(t) = ξ1(t) + ξ2(t), òî

Kξ(t1; t2) = Kξ1(t1; t2) +Kξ2(t1; t2) +Rξ1ξ2(t1; t2) +Rξ2ξ1(t1; t2).

Äåéñòâèòåëüíî:

Kξ(t1; t2) =M(ξ◦

(t1) · ξ◦

(t2))=M

((ξ◦

1(t1) + ξ◦

2(t1))·(ξ◦

1(t2) + ξ◦

2(t2)))

=

=M(ξ◦

1(t1) · ξ◦

1(t2))+M

(ξ◦

2(t1) · ξ◦

2(t2))+M

(ξ◦

1(t1) · ξ◦

2(t2))+

+M(ξ◦

2(t1) · ξ◦

1(t2))= Kξ1(t1; t2) +Kξ2(t1; t2) +Rξ1ξ2(t1; t2) +Rξ2ξ1(t1; t2).

(5) Êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ñóììû äâóõ íåêîððåëèðîâàííûõñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ðàâíà ñóììå èõ êîððåëÿöèîííûõ ôóíê-öèé:

Kξ(t1; t2) = Kξ1(t1; t2) +Kξ2(t1; t2).

Ýòî ñâîéñòâî ÿâëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì ñëåäñòâèåì ïðåäû-äóùåãî, ò.ê. äëÿ íåêîððåëèðîâàííûõ ïðîöåññîâ ξ1(t) è ξ2(t)Rξ1ξ2(t1; t2) ≡ 0, Rξ2ξ1(t1; t2) = Rξ1ξ2(t2; t1) ≡ 0 ïðè ∀ t1; t2.

Берк

ов Н

.А. М

ИРЭА

, каф

едра

выс

шая

мат

емат

ика

2


8.5. Ïðîèçâîäíàÿ è èíòåãðàë ñëó÷àéíîé ôóíêöèè

Äëÿ èçó÷åíèÿ èçìåíåíèÿ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ââîäèòñÿ ñðåäíå-êâàäðàòè÷íàÿ ñõîäèìîñòü.

Îïðåäåëåíèå 8.8. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíξ1, ξ2, . . . , ξn, . . . ñõîäèòñÿ â ñðåäíåêâàäðàòè÷íîì ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíåξ, åñëè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êâàäðàòà ðàçíîñòè ξn − ξ ñòðå-ìèòñÿ ê íóëþ ïðè n→ ∞

limn→∞

M((ξn − ξ)2

)= 0. (8.7)

Ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ξ íàçûâàþò ñðåäíåêâàäðàòè÷íûì ïðåäåëîì ïî-ñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí {ξn}.

Îïðåäåëåíèå 8.9. Ïðîèçâîäíîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ξ(t) íàçûâà-åòñÿ ñðåäíåêâàäðàòè÷íûé ïðåäåë îòíîøåíèÿ ïðèðàùåíèÿ ñëó÷àéíîéôóíêöèè ê ïðèðàùåíèþ àðãóìåíòà ∆t ïðè ∆t→ 0:

ξ′(t) = lim∆t→0

ξ(t+∆t)− x(t)

∆t. (8.8)

Èç ñâîéñòâ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèå ñëåäóåò:

Òåîðåìà 8.1. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïðîèçâîäíîé ξ′(t) = ξ̇îò ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ(t) ðàâíî ïðîèçâîäíîé îò å¼ ìàòåìàòè÷å-ñêîãî îæèäàíèÿ:

mξ̇(t) = m′

ξ(t). (8.9)

Òåîðåìà 8.2. Êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ïðîèçâîäíîé îò ñëó÷àé-íîé ôóíêöèè ξ(t) ðàâíà âòîðîé ñìåøàííîé ïðîèçâîäíîé îò å¼ êîððå-ëÿöèîííîé ôóíêöèè:

Kξ̇(t1, t2) =∂2Kξ(t1, t2)

∂t1∂t2. (8.10)

Ïðèìåð 8.6. Äàíà êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ Kξ(t1, t2) = 3e2t1e2t2

è å¼ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå mξ(t) = t2 ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ξ(t).Íàéòè êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ, ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñ-

ïåðñèþ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà η(t) = t2d(2ξ(t) + sin2 t)

dt.

Ð å ø å í è å:Ñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ η(t) = t2(2ξ′(t) + sin 2t), ïðåäñòàâèì â âèäå

η(t) = t2 · ξ1(t), ãäå ξ1(t) = 2ξ′(t) + sin 2t.

Берк

ов Н

.А. М

ИРЭА

, каф

едра

выс

шая

мат

емат

ика

2


Èñïîëüçóåì äâà ñâîéñòâà êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè:1) Åñëè η(t) = ξ(t) + φ(t), ãäå φ(t)� íåñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà

Kη(t1, t2) = Kξ(t1, t2).2) Åñëè η(t) = ξ(t) · φ(t), ãäå φ(t)� íåñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà

Kη(t1, t2) = Kξ(t1, t2)φ(t1)φ(t2).Kη(t1, t2) = t21t

22Kξ1(t1, t2)

Kξ1(t1, t2) = 2 ·2Kξ′(t1, t2) = 4∂2

∂t1∂t2Kξ(t1, t2) = 4

∂2

∂t1∂t2(3e2t1e2t2) =

= 48e2(t1+t2).Kη(t1, t2) = t21t

22Kξ1(t1, t2) = 48t21t

22e

2(t1+t2).Dη(t) = Kη(t, t) = 48t4e4t.

mη(t) = 2t2mξ′(t)(t) + t2 sin 2t = 2t2 (t2)′+ t2 sin 2t = 4t3 + t2 sin 2t.

Îòâåò:Kη(t1, t2) = 48t21t

22e

2(t1+t2);Dη(t) = 48t4e4t;mη(t) = 4t3 + t2 sin 2t.

Îïðåäåëåíèå 8.10. Èíòåãðàëîì îò ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ξ(t) ïî îò-ðåçêó [0, t] íàçûâàåòñÿ ïðåäåë â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì îò èíòåãðàëü-íîé ñóììû ïðè ñòðåìëåíèè ê áåñêîíå÷íîñòè ÷èñëà ðàçáèåíèé n èîäíîâðåìåííî ê íóëþ max(∆τi)

t∫0

ξ(τ)dτ = lim∆τi→0,n→∞

n∑i=1

ξ(τi)∆τi. (8.11)

Òåîðåìà 8.3. Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå èíòåãðàëà ñëó÷àéíîéâåëè÷èíû ξ(t) ðàâíî èíòåãðàëó îò å¼ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ:åñëè

η(t) =

t∫0

ξ(τ)dτ,

òî

mη(t) =

t∫0

mξ(τ)dτ.

Òåîðåìà 8.4. Êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ èíòåãðàëà îò ñëó÷àéíîéôóíêöèè ξ(t) ðàâíà äâîéíîìó èíòåãðàëó îò å¼ êîððåëÿöèîííîé ôóíê-öèè:

Берк

ов Н

.А. М

ИРЭА

, каф

едра

выс

шая

мат

емат

ика

2


åñëè

η(t) =

t∫0

ξ(τ)dτ,

òî

Kη(t1, t2) =

t1∫0

t2∫0

Kξ(τ1, τ2)dτ1dτ2.

Ïðèìåð 8.7. Äàíà êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ Kξ(t1, t2) = 3e2t1e2t2

è å¼ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå mξ(t) = t2 ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ξ(t).Íàéòè êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ, ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñ-

ïåðñèþ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà η(t) = 3ett∫0

ξ(τ) + 2τ)dτ .

Ð å ø å í è å:Ïðåîáðàçóåì ñëó÷àéíûé ïðîöåññ η(t).

η = 3etξ1(t) + 3etτ 2∣∣∣t0= 3etξ1(t) + 3ett2, ãäå ξ1(t) =

t∫0

ξ(τ)dτ .

mξ1(t) =t∫0

mξ(τ)dτ =t∫0

τ 2dτ = τ 3/3∣∣∣t0= t3/3.

mη(t) = 3etmξ1(t) + 3ett2 = 3ett3/3 + 3ett2 = ett2(t+ 3).

Kη(t1, t2) = (3et1) (3et2)Kξ1(t1, t2) = 9et1+t2t1∫0

τ1∫0

3e2t1e2τ2dτ1dτ2 =

= 27et1+t21

2e2τ1∣∣∣t10

1

2e2τ2∣∣∣t20=

27

4et1+t2(e2t1 − 1)(e2t2 − 1).

Dη(t) = Kη(t, t) =27

4e2t(e2t − 1)2.

8.6. Êîìïëåêñíûå ñëó÷àéíûå ïðîöåññû

Îïðåäåëåíèå 8.11. Êîìïëåêñíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé íàçûâà-þò ζ = ξ1 + ξ2i, ãäå ξ1 è ξ2 � äåéñòâèòåëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû,i � ìíèìàÿ åäèíèöà. Êîìïëåêñíûì ñëó÷àéíûì ïðîöåññîì íàçûâàþòêîìïëåêñíóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ζ(t) òàêóþ, ÷òî:

ζ(t) = ξ1(t) + ξ2(t)i, (8.12)

ãäå ξ1(t) è ξ2(t) � äåéñòâèòåëüíûå ñëó÷àéíûå ïðîöåññû, i � ìíèìàÿåäèíèöà (i2 = −1).

Берк

ов Н

.А. М

ИРЭА

, каф

едра

выс

шая

мат

емат

ика

2


Îïðåäåëèì ÷èñëîâûå õàðàêòåðèñòèêè êîìïëåêñíîãî ñëó÷àéíîãî ïðî-öåññà òàê, ÷òîáû ñîõðàíÿëèñü èõ îñíîâíûå ñâîéñòâà, êîòîðûå ìû èçó-÷àëè äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ.

Îïðåäåëåíèå 8.12. Ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì êîìïëåêñíîãî ñëó÷àéíîãî

ïðîöåññà ζ(t) = ξ1+ξ2(t)i íàçûâàåòñÿ íåñëó÷àéíàÿ êîìïëåêñíàÿ ôóíê-öèÿ:

mζ(t) =M

(ξ1(t)

)+M

(ξ2(t)

)i.

Çàìåòèì, ÷òî ïðè ξ2(t) ≡ 0 ïîëó÷àåì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèåäåéñòâèòåëüíîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ξ1(t), ââåä¼ííîå â ï. 8.2. Ñàìî-ñòîÿòåëüíî äîêàæèòå, ÷òî âñå ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ,ïåðå÷èñëåííûå â ï. 8.2, îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè äëÿ êîìïëåêñíîãîñëó÷àéíîãî ïðîöåññà.

Îïðåäåëåíèå 8.13. Äèñïåðñèåé êîìïëåêñíîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà

(8.12) íàçûâàþò ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êâàäðàòà ìîäóëÿ öåí-

òðèðîâàííîãî ïðîöåññà ζ◦(t) = ξ(t)−m

ξ(t):

σ2ζ(t) =M

(|ζ◦

(t)|2).

Çàìåòèì, ÷òî ïðè ξ2(t) ≡ 0 ïîëó÷àåòñÿ äèñïåðñèÿ äåéñòâèòåëüíîãîñëó÷àéíîãî ïðîöåññà, ââåä¼ííàÿ â ï. 8.2. Âñå ÷åòûðå ïåðå÷èñëåííûåòàì ñâîéñòâà äèñïåðñèè îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè (äîêàæèòå ýòî ñà-ìîñòîÿòåëüíî). Êðîìå òîãî, äîáàâëÿåòñÿ ïÿòîå:

5. σ2ζ (t) = σ2

ξ1(t) + σ2

ξ2(t).

Äåéñòâèòåëüíî, ïîëüçóÿñü îïðåäåëåíèåì ìîäóëÿ êîìïëåêñíîãî ÷èñ-

ëà(|ζ◦(t)| =

√ξ◦21(t) + ξ

◦22(t)), ïîëó÷àåì:

σ2ζ=M

(|ζ◦

(t)|2)=M

(ξ◦21(t)+ξ

◦22(t))=M

(ξ◦21(t))+M

(ξ◦22(t))= σ2

ξ1(t)+σ2

ξ2(t).

Äðóãèìè ñëîâàìè, äèñïåðñèÿ êîìïëåêñíîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññàðàâíà ñóììå äèñïåðñèé åãî äåéñòâèòåëüíîé è ìíèìîé ÷àñòåé.

Îïðåäåëåíèå 8.14. Êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé êîìïëåêñíîãî ñëó-÷àéíîãî ïðîöåññà (8.12) íàçûâàþò êîððåëÿöèîííûé ìîìåíò åãî ñå-

÷åíèé ζ◦(t1) = ξ1(t1) + ξ2(t1)i è ζ

◦(t2) = ξ1(t2)− ξ2(t2)i

Kζ(t1; t2) =M(ζ◦

(t1) · ζ◦(t2)). (8.13)

Ñàìîñòîÿòåëüíî óáåäèòåñü â ñïðàâåäëèâîñòè òð¼õ ñâîéñòâ êîððå-ëÿöèîííîé ôóíêöèè, ïåðå÷èñëåííûõ â ï. 8.3.

Â ÷àñòíîñòè: Kζ(t; t) =M(ζ◦(t) · ζ◦ (t)

)=M

(|ζ◦(t)|2

)= σ2

ζ(t).

Берк

ов Н

.А. М

ИРЭА

, каф

едра

выс

шая

мат

емат

ика

2


Ïîëüçóÿñü ñâîéñòâàìè 4 è 5 êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè, ïðèâåä¼í-íûìè â ï. 8.4, ïîëó÷àåì äëÿ êîìïëåêñíîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ζ(t):

Kζ(t1; t2) = Kξ1(t1; t2) +Kξ2(t1; t2) +(Rξ2ξ1(t1; t2)−Rξ1ξ2(t1; t2)

)i.

Åñëè ñîñòàâëÿþùèå ξ1(t) è ξ2(t) íåêîððåëèðîâàííû, òî êîððåëÿöè-îííàÿ ôóíêöèÿ êîìïëåêñíîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ðàâíà ñóììå êîð-ðåëÿöèîííûõ ôóíêöèé ñîñòàâëÿþùèõ:

Kζ(t1; t2) = Kξ1(t1; t2) +Kξ2(t1; t2).

8.7. Êàíîíè÷åñêîå ðàçëîæåíèå ñëó÷àéíîé ôóíêöèè

Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ ξ(t), çàäàííóþ â âèäå ñóììû

ξ(t) = mξ(t) +m∑i=1

Viφi(t), (8.14)

ãäå êîýôôèöèåíòû V1, V2, . . . , Vm ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñèñòåìó ñëó÷àé-íûõ âåëè÷èí ñ ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè, ðàâíûìè íóëþ è ñ êîð-ðåëÿöèîííîé ìàòðèöåé K.

Íàéäåì êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ è äèñïåðñèþ ñëó÷àéíîé ôóíê-öèè ξ(t).

Ïî îïðåäåëåíèþ

Kξ(t1, t2) =M(ξ◦(t1)ξ

◦(t2)).

ξ◦(t) = ξ(t)−mξ(t) =

m∑i=1

Viφi(t).

Ïîëó÷àåì

Kξ(t1, t2) =M

(m∑i=1

Viφi(t) ·m∑j=1

Vjφj(t)

)=M

(m∑i=1

m∑j=1

(ViVjφi(t1)φj(t2))

)=

=m∑i=1

m∑j=1

(M(ViVj

)φi(t1)φj(t2)

)Kξ(t1, t2) =

m∑i=1

(M(ViVi

)φi(t1)φi(t2)

)+

m∑i=1,j=1,j ̸=j

(M(ViVj

)φi(t1)φj(t2)

)=

=m∑i=1

(Diφi(t1)φi(t2)) +m∑

i=1,j=1,j ̸=j

(Kijφi(t1)φj(t2)) .

Ïîëó÷èëè

Kξ(t1, t2) =m∑i=1

(Diφi(t1)φi(t2)) +m∑

i=1,j=1,j ̸=j

(Kijφi(t1)φj(t2)) , (8.15)

Берк

ов Н

.А. М

ИРЭА

, каф

едра

выс

шая

мат

емат

ика

2


ãäå Kij � ýëåìåíòû êîððåëÿöèîííîé ìàòðèöû.Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó Dξ(t) = Kξ(t, t), íàõîäèì äèñïåðñèþ

Dξ(t) =m∑i=1

Diφ2i (t) +

m∑i=1,j=1,j ̸=j

(Kijφi(t1)φj(t2)) . (8.16)

Ïîëó÷åííûå ôîðìóëû ïðèîáðåòàþò îñîáåííî ïðîñòîé âèä, êîãäàâñå êîýôôèöèåíòû Vi ðàçëîæåíèÿ (8.14) íåêîððåëèðîâàíû, ò.å.Kij = 0. Â ýòîì ñëó÷àå ðàçëîæåíèÿ íàçûâàþòñÿ êàíîíè÷åñêèì.

Îïðåäåëåíèå 8.15. Êàíîíè÷åñêèì ðàçëîæåíèåì ñëó÷àéíîé ôóíêöèè

ξ(t) íàçûâàåòñÿ å¼ ïðåäñòàâëåíèå â âèäå ñóììû:

ξ(t) = mξ(t) +m∑i=1

Viφi(t), (8.17)

ãäå mξ(t) � ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé ôóíêöèè,φ1(t), φ1(t), . . . , φm(t) � êîîðäèíàòíûå ôóíêöèè, à êîýôôèöèåíòûV1, V2, . . . , Vm � íåêîððåëèðîâàííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ ìàòåìà-òè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè ðàâíûìè íóëþ.

Äëÿ êàíîíè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ

Kξ(t1, t2) =m∑i=1

(Diφi(t1)φi(t2)). (8.18)

Dξ(t) =m∑i=1

Diφ2i (t). (8.19)

Êàíîíè÷åñêèå ðàçëîæåíèÿ ïðèìåíÿþòñÿ íå òîëüêî äëÿ äåéñòâè-òåëüíûõ, íî è äëÿ êîìïëåêñíûõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé. Ðàññìîòðèìîáîáùåíèå ïîíÿòèÿ êàíîíè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ íà ñëó÷àé êîìïëåêñ-íîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè.

Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ (8.12, 8.13) êîìïëåêñíûì ñëó÷àéíûì ïðî-öåññîì íàçûâàþò êîìïëåêñíóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ζ(t) òàêóþ, ÷òî:ζ(t) = ξ1(t)+ ξ2(t)i, ãäå ξ1(t) è ξ2(t) � äåéñòâèòåëüíûå ñëó÷àéíûå ïðî-öåññû, i � ìíèìàÿ åäèíèöà.

Êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé êîìïëåêñíîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà (8.12)

íàçûâàþò êîððåëÿöèîííûé ìîìåíò åãî ñå÷åíèé ζ◦(t1) = ξ1(t1) + ξ2(t1)i

è ζ◦(t2) = ξ1(t2)− ξ2(t2)i

Kζ(t1; t2) =M(ζ◦

(t1) · ζ◦(t2)).

Берк

ов Н

.А. М

ИРЭА

, каф

едра

выс

шая

мат

емат

ика

2


Êàíîíè÷åñêîå ðàçëîæåíèå êîìïëåêñíîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè íàçûâà-åòñÿ å¼ ïðåäñòàâëåíèå â âèäå:

ζ(t) = mζ(t) +m∑i=1

Viφi(t), (8.20)

ãäå V1, V2, . . . , Vm � íåêîððåëèðîâàííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ ìàòå-ìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè ðàâíûìè íóëþ, mζ(t) � ìàòåìàòè÷åñêîåîæèäàíèå ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ζ(t), à φ1(t), φ1(t), . . . , φm(t) � êîì-ïëåêñíûå ñëó÷àéíûå ôóíêöèè.

Äëÿ êàíîíè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ êîìïëåêñíîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèèôîðìóëû äëÿ êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè è äèñïåðñèè ïðèíèìàþò âèä:

Kζ(t1, t2) =m∑i=1

(Diφi(t1)φi(t2)). (8.21)

Dζ(t) =m∑i=1

Di|φi(t)|2(t). (8.22)

Ïðèìåð 8.8. Íàéòè êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþ è äèñïåðñèþ ñëó-÷àéíîãî ïðîöåññà ζ(t) = ξ1 sin 4t + ξ2 cos 4t + iξ3t

2, åñëè îí çàäàí êàíî-íè÷åñêèì ðàçëîæåíèåì. Äèñïåðñèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Dξ1 = D1 = 2,Dξ2 = D2 = 3 è Dξ3 = D3 = 6.

Ð å ø å í è å:Èñïîëüçóåì ôîðìóëû (8.21)�(8.22). Çäåñü φ1(t) = sin 4t è

φ2(t) = cos 4t � äåéñòâèòåëüíûå ñëó÷àéíûå ôóíêöèè, à φ3(t) = it2

� êîìïëåêñíàÿ ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ.Kζ(t1, t2) = D1φ1(t1)φ1(t2) +D2φ2(t1)φ2(t2) +D3φ3(t1)φ3(t2) =

= 2 sin 4t1 sin 4t2 + 3 cos 4t1 cos 4t2 + 6(it21) · (−it22) == 2 sin 4t1 sin 4t2 + 3 cos 4t1 cos 4t2 + 6t21t

22.

Dζ(t) = D1φ21(t) +D1φ

22(t) +D3|φ3(t)|2 = 2 sin2 4t+ 3 cos2 4t+ 6t4.

Dζ(t) = 2 + cos2 4t+ 6t4.Îòâåò: Kζ(t1, t2) = 2 sin 4t1 sin 4t2 + 3 cos 4t1 cos 4t2 + 6t21t

22;

Dζ(t) = 2 + cos2 4t+ 6t4.

Берк

ов Н

.А. М

ИРЭА

, каф

едра

выс

шая

мат

емат

ика

2


8.8. Ñòàöèîíàðíûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ

Îïðåäåëåíèå 8.16. Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ξ(t) íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíûì(ñòàöèîíàðíûì â øèðîêîì ñìûñëå), åñëè åãî ìàòåìàòè÷åñêîå îæè-äàíèå m

ξ(t) ïîñòîÿííî (íå çàâèñèò îò t), à êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ

Kξ(t1; t2) çàâèñèò òîëüêî îò ðàçíîñòè àðãóìåíòîâ:

mξ(t) = m, K

ξ(t1; t2) = k

ξ(t2 − t1).

Èç îïðåäåëåíèÿ 8.16 ñëåäóåò, ÷òî êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ñòà-öèîíàðíîãî ïðîöåññà åñòü ôóíêöèÿ îäíîãî àðãóìåíòà:

Kξ(t1; t2) = k

ξ(t2 − t1) = k

ξ(τ), ãäå τ = t2 − t1. (8.23)

Ïåðå÷èñëèì ñâîéñòâà êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè ñòàöèîíàðíîãî ñëó-÷àéíîãî ïðîöåññà (ÑÑÏ):

(1) Êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ÑÑÏ ÷¼òíàÿ:

kξ(−τ) = k

ξ(τ).

Äåéñòâèòåëüíî, íà îñíîâàíèè ñâîéñòâà 1 Kξ(t1; t2) (ñì. ï. 8.3):

kξ(t1; t2) = k

ξ(t2; t1) =⇒ k

ξ(−τ) = k

ξ(t1 − t2) = K

ξ(t2; t1) =

= Kξ(t1; t2) = k

ξ(t2 − t1) = k

ξ(τ).

(2) Äèñïåðñèÿ ÑÑÏ ïîñòîÿííà è ðàâíà çíà÷åíèþ êîððåëÿöèîííîéôóíêöèè â íóëå:

σ2ξ(t) = k

ξ(0) = σ2

ξ.

Äåéñòâèòåëüíî, íà îñíîâàíèè ñâîéñòâà 2 Kξ(t1; t2):

σ2ξ(t) = K

ξ(t; t) = k

ξ(t− t) = k

ξ(0) = const.

(3) Ìîäóëü êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè íå ïðåâûøàåò å¼ çíà÷åíèÿâ íóëå:

|kξ(τ)| 6 k

ξ(0).

Äåéñòâèòåëüíî, íà îñíîâàíèè ñâîéñòâà 3 Kξ(t1; t2):

|Kξ(t1; t2)| 6

√K

ξ(t1; t1) ·Kξ

(t2; t2) =⇒ |kξ(τ)| 6

√k

ξ(0) · k

ξ(0) =⇒

=⇒ |kξ(τ)| 6 k

ξ(0) ⇐⇒ |k

ξ(τ)| 6 σ2

ξ.

Берк

ов Н

.А. М

ИРЭА

, каф

едра

выс

шая

мат

емат

ика

2


Íîðìèðîâàííàÿ êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ÑÑÏ ρξ(τ) ïîëó÷èòñÿ

ðàâíîé (ñì. îïðåäåëåíèå 8.4).

ρξ(τ) =

kξ(τ)

kξ(0)

=k

ξ(τ)

σ2ξ

.

Çàìåòèì, ÷òî |ρξ(τ)| 6 1, ρ

ξ(0) = 1.

8.9. Ìàðêîâñêèå ñëó÷àéíûå ïðîöåññû.

Ïóñòü èìååòñÿ íåêîòîðàÿ ôèçè÷åñêàÿ ñèñòåìà S, êîòîðàÿ ñ òå÷å-íèåì âðåìåíè ìåíÿåò ñâîå ñîñòîÿíèå (ïåðåõîäèò èç îäíîãî ñîñòîÿíèÿâ äðóãîå), ïðè÷¼ì çàðàíåå íåèçâåñòíûì, ñëó÷àéíûì îáðàçîì. Òîãäàáóäåì ãîâîðèòü, ÷òî â ñèñòåìå S ïðîòåêàåò ñëó÷àéíûé ïðîöåññ.

Ïîä ¾ôèçè÷åñêîé ñèñòåìîé¿ ìîæíî ïîíèìàòü ÷òî óãîäíî: òåõíè÷å-ñêîå óñòðîéñòâî, ãðóïïó òàêèõ óñòðîéñòâ, ïðåäïðèÿòèå, îòðàñëü ïðî-ìûøëåííîñòè, æèâîé îðãàíèçì, ïîïóëÿöèþ è ò. ä.

Íàïðèìåð: ñèñòåìà S � òåõíè÷åñêîå óñòðîéñòâî, ñîñòîÿùåå èç nóçëîâ, êîòîðûå âðåìÿ îò âðåìåíè ñëó÷àéíî âûõîäÿò èç ñòðîÿ, ðåìîí-òèðóþòñÿ èëè çàìåíÿþòñÿ íîâûìè.

Îïðåäåëåíèå 8.17. Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, ïðîòåêàþùèé â êàêîé-ëèáî ôèçè÷åñêîé ñèñòåìå S, íàçûâàåòñÿ Ìàðêîâñêèì, åñëè äëÿ ëþ-áîãî ìîìåíòà âðåìåíè t0, ðèñ. 32 âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêèïðîöåññà S â áóäóùåì çàâèñÿò òîëüêî îò åãî ñîñòîÿíèÿ â äàííûéìîìåíò t0 u íå çàâèñÿò îò òîãî, êîãäà è êàê ñèñòåìà ïðèøëà â ýòîñîñòîÿíèå.

Ðèñ. 32. Ìàðêîâñêèé ïðîöåññ

Ðàññìîòðèì ïðîñòîé ïðèìåð ìàðêîâñêîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà.

Ïðèìåð 8.9. Ïî îñè àáñöèññ Ox ñëó÷àéíûì îáðàçîì ïåðåìåùà-åòñÿ òî÷êà A. Ïóñòü â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 òî÷êà íàõîäèòñÿ âíà÷àëå êîîðäèíàò è îñòàåòñÿ òàì â òå÷åíèå îäíîé ñåêóíäû. ×åðåç

Берк

ов Н

.А. М

ИРЭА

, каф

едра

выс

шая

мат

емат

ика

2


ñåêóíäó áðîñàåòñÿ ìîíåòà; åñëè âûïàë ãåðá � òî÷êà ïåðåìåùàåòñÿíà îäíó åäèíèöó äëèíû âïðàâî, åñëè öèôðà � âëåâî. ×åðåç ñåêóíäóñíîâà áðîñàåòñÿ ìîíåòà è ïðîèçâîäèòñÿ òàêîå æå ñëó÷àéíîå ïåðå-ìåùåíèå, è ò. ä.

Ïðîöåññ èçìåíåíèÿ ïîëîæåíèÿ òî÷êè (èëè, êàê ãîâîðÿò, ¾áëóæäà-íèÿ¿) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåìt = 0, 1, . . . è ñ÷¼òíûì ìíîæåñòâîì ñîñòîÿíèéx0 = 0, x1 = 1, x−1 = −1, x2 = 2, x−2 = −2, . . .

Ñõåìà ïåðåõîäîâ èç îäíîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå ïðèâåä¼ííîãî ñëó-÷àéíîãî ïðîöåññà ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 33.

Ðèñ. 33. Ñõåìà ïåðåõîäîâ äëÿ ïðèìåðà 8.9

Ýòîò ïðîöåññ ÿâëÿåòñÿ ìàðêîâñêèì, ò.ê., åñëè â ìîìåíò âðåìåíètk ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè Xk, òî íåçàâèñèìî îò ïðåäûäóùåéèñòîðèè îíà ìîæåò ïåðåéòè ñ âåðîÿòíîñòüþ 0,5 íà îäíó ïîçèöèþ âëå-âî èëè âïðàâî. Âîçìîæíûå ïîëîæåíèÿ òî÷êè ÷åðåç åäèíèöó âðåìåíèáóäóò xk−1 èëè xk+1. ×åðåç äâå åäèíèöû òî÷êà ìîæåò íàõîäèòñÿ â ïî-ëîæåíèè xk−2, xk+2 èëè xk ñ âåðîÿòíîñòÿìè 1/4,1/4, 1/2 è òàê äàëåå.Î÷åâèäíî, âñå ýòè âåðîÿòíîñòè çàâèñÿò òîëüêî îò òîãî, ãäå íàõîäèòñÿòî÷êà â äàííûé ìîìåíò tk, è ñîâåðøåííî íå çàâèñÿò îò òîãî, êàê îíàïðèøëà òóäà.

Ìàðêîâñêèé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñ äèñêðåòíûì ñîñòîÿíèåì è äèñ-êðåòíûì âðåìåíåì îáû÷íî íàçûâàþò ìàðêîâñêîé öåïüþ.

Äëÿ òàêèõ ïðîöåññîâ âðåìåííîé ïàðàìåòð t óäîáíåå ðàññìàòðèâàòüêàê íîìåð øàãà: 1, 2, ..., k,... Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ â ýòîì ñëó÷àå õàðàê-òåðèçóåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ñîñòîÿíèé:

S(0), S(1), . . . , S(k), . . . , (8.24)

ãäå S(0) � íà÷àëüíîå ñîñòîÿíèå (ñîñòîÿíèå ïåðåä ïåðâûì øàãîì); S(1)�ñîñòîÿíèå ïîñëå 1-ãî øàãà; S(k) � ñîñòîÿíèå ïîñëå k-ãî øàãà.

Ðàññìîòðèì ïðîöåññ ñ n âîçìîæíûìè ñîñòîÿíèÿìè S1, S2, . . . , Sn.Îáîçíà÷èì pi(k), âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îò k-ãî øàãà è äî k + 1-ãîøàãà ñèñòåìà S áóäåò íàõîäèòüñÿ â ñîñòîÿíèè Si. Âåðîÿòíîñòè pi(k)íàçûâàþòñÿ âåðîÿòíîñòÿìè ñîáûòèé öåïè Ìàðêîâà.

Берк

ов Н

.А. М

ИРЭА

, каф

едра

выс

шая

мат

емат

ика

2


Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ëþáîãî øàãà k äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèåíîðìèðîâêè

n∑i=1

pi(k) = 1. (8.25)

Åù¼ íåîáõîäèìî çàäàòü âåêòîð íà÷àëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿò-íîñòåé

p = (p1(0), p2(0), . . . , pi(0), . . . , pn(0)). (8.26)

Âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà íà k-òîì øàãå èç ñîñòîÿíèÿ Si â ñîñòîÿíèåSj íàçûâàåòñÿ óñëîâíîé âåðîÿòíîñòüþ òîãî, ÷òî ñèñòåìà S ïîñëå k-ãî øàãà îêàçàëàñü â ñîñòîÿíèè Sj, ïðè óñëîâèè, ÷òî íåïîñðåäñòâåííîïåðåä ýòèì (ïîñëå k − 1-ãî øàãà) îíà íàõîäèëàñü â ñîñòîÿíèè Si.

Ìàðêîâñêàÿ öåïü íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíîé , åñëè ïåðåõîäíûå âåðî-ÿòíîñòè íå çàâèñÿò îò íîìåðà øàãà, à çàâèñÿò òîëüêî îò òîãî, èç êàêîãîñîñòîÿíèÿ è â êàêîå îñóùåñòâëÿåòñÿ ïåðåõîä:

P(S(k − 1) = Si

∣∣∣S(k) = Sj

)= Pij. (8.27)

Ïåðåõîäíûå âåðîÿòíîñòè ìàðêîâñêîé öåïè Pij îáðàçóþò êâàäðàò-íóþ ìàòðèöó ïîðÿäêà n ñóììà ýëåìåíòîâ êàæäîé i-òîé ñòðîêè êîòîðîéðàâíà 1.

P =

p11 p12 . . . p1j . . . p1np21 p22 . . . p2j . . . p2n. . . . . . . . . . . . . . . . . .pi1 pi2 . . . pij . . . pin. . . . . . . . . . . . . . . . . .pn1 pn2 . . . pnj . . . pnn

.

(8.28)

n∑j=1

pij = 1, i = 1.2. . . . n. (8.29)

Åñëè äëÿ îäíîðîäíîé öåïè Ìàðêîâà çàäàíû íà÷àëüíûå ðàñïðåäå-ëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé (8.26) è ìàòðèöà ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé P,òî âåêòîð âåðîÿòíîñòè ñîñòîÿíèé ñèñòåìû p(k) = p(k − 1)P.

Ìàðêîâñêèé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñ äèñêðåòíûì ñîñòîÿíèåì è íåïðå-ðûâíûì âðåìåíåì íàçûâàþò íåïðåðûâíîé öåïüþ Ìàðêîâà.

Äëÿ òàêîãî ïðîöåññà âåðîÿòíîñòü ïåðåõîäà èç ñîñòîÿíèÿ Si â Sj äëÿëþáîãî ìîìåíòà âðåìåíè ðàâíà íóëþ, ò.ê. ëþáîé ïðîìåæóòîê âðåìåíèñîäåðæèò áåñêîíå÷íîå, íåñ÷¼òíîå ìíîæåñòâî òî÷åê.

Берк

ов Н

.А. М

ИРЭА

, каф

едра

выс

шая

мат

емат

ика

2


Âìåñòî âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà Pij ðàññìàòðèâàþò ïëîòíîñòü âåðî-ÿòíîñòè ïåðåõîäà λij, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê ïðåäåë îòíîøåíèÿâåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà èç ñîñòîÿíèÿ Si â ñîñòîÿíèå Sj çà ìàëûé ïðî-ìåæóòîê âðåìåíè îò t äî t+∆t ê äëèíå ýòîãî ïðîìåæóòêà, êîãäà îíàñòðåìèòüñÿ ê íóëþ.

Ðàññìîòðèì äðóãîé ïðîñòîé ïðèìåð ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà, íî óæåñ íåïðåðûâíûì âðåìåíåì è äèñêðåòíûì ìíîæåñòâîì ñîñòîÿíèé.

Ïðèìåð 8.10. Èìååòñÿ íåêîòîðîå ïðîñòîå òåõíè÷åñêîå óñòðîé-ñòâî, ñîñòîÿùåå èç ýëåìåíòîâ äâóõ òèïîâ E1 è E2, îáëàäàþùèõ ðàç-íîé íàä¼æíîñòüþ. Ýòè ýëåìåíòû â ñëó÷àéíûå ìîìåíòû âðåìåíè èíåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà ìîãóò âûõîäèòü èç ñòðîÿ. Óñòðîéñòâîðàáîòàåò ïðè óñëîâèè èñïðàâíîñòè îáîèõ ýëåìåíòîâ. Âðåìÿ áåçîò-êàçíîé ðàáîòû ýëåìåíòà � ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ðàñïðåäåë¼ííàÿ ïîïîêàçàòåëüíîìó çàêîíó c ïàðàìåòðàìè λ1 è λ2. Â ñëó÷àå îòêàçàóñòðîéñòâà íåìåäëåííî ïðèíèìàþòñÿ ìåðû äëÿ âûÿâëåíèÿ ïðè÷èí èîáíàðóæåííûé íåèñïðàâíûé ýëåìåíò íåìåäëåííî çàìåíÿåòñÿ íîâûì.Âðåìÿ, íåîáõîäèìîå äëÿ âîññòàíîâëåíèÿ óñòðîéñòâ, ðàñïðåäåëåíî ïîïîêàçàòåëüíîìó çàêîíó ñ ïàðàìåòðàìè µ1 è µ2, ñîîòâåòñòâåííî.

Ðàññìàòðèâàåìûé ïðîöåññ èìååò òðè ñîñòîÿíèÿ:

(1) S1 � Ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â ðàáîòîñïîñîáíîì ñîñòîÿíèè. Âñåýëåìåíòû èñïðàâíû.

(2) S2 � Ñèñòåìà íàõîäèòñÿ íå ðàáîòàåò. Ýëåìåíò E1 ðåìîíòèðó-åòñÿ.

(3) S3 � Ñèñòåìà íàõîäèòñÿ íå ðàáîòàåò. Ýëåìåíò E2 ðåìîíòèðó-åòñÿ.

Ðàññìàòðèâàåìûé ïðîöåññ îáëàäàåò ìàðêîâñêèì ñâîéñòâîì. Åñëèâ ìîìåíò t0 ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè S1, òîãäà òàê êàê âðåìÿáåçîòêàçíîé ðàáîòû êàæäîãî ýëåìåíòà � ïîêàçàòåëüíîå, òî ìîìåíò îò-êàçà êàæäîãî ýëåìåíòà â áóäóùåì íå çàâèñèò îò òîãî, ñêîëüêî âðåìåíèîí óæå ðàáîòàë (êîãäà óñòàíîâëåí èëè îòðåìîíòèðîâàí). Ïîýòîìó âå-ðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî â áóäóùåì ñèñòåìà îñòàíåòñÿ â ñîñòîÿíèè S1 èëèóéäåò èç íåãî, íå çàâèñèò îò ¾ïðåäûñòîðèè¿ ïðîöåññà. Ïðåäïîëîæèìòåïåðü, ÷òî â ìîìåíò t0 ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè S2, òîãäà òàêêàê âðåìÿ ðåìîíòà òîæå ïîêàçàòåëüíîå, âåðîÿòíîñòü îêîí÷àíèÿ ðå-ìîíòà â ëþáîå âðåìÿ ïîñëå t0 íå çàâèñèò îò òîãî, êîãäà íà÷àëñÿ ðåìîíòè êîãäà áûëè óñòàíîâëåíû èëè îòðåìîíòèðîâàíû îñòàëüíûå (èñïðàâ-íûå) ýëåìåíòû. Òàêèì îáðàçîì, ïðîöåññ ÿâëÿåòñÿ ìàðêîâñêèì.

Берк

ов Н

.А. М

ИРЭА

, каф

едра

выс

шая

мат

емат

ика

2


Ñõåìà ïåðåõîäîâ èç îäíîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå ïðèâåä¼ííîãî ñëó-÷àéíîãî ïðîöåññà ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 34.

Ðèñ. 34. Ñõåìà ïåðåõîäîâ

Ðèñ. 35. Ãðàô ñîñòîÿíèÿÈëëþñòðàöèè ñîñòîÿíèé ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ïðèìåðà 8.10

Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñèñòåìà, íàõîäÿùàÿñÿ â ñîñòîÿíèè Si, çàýëåìåíòàðíûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè (t, t + ∆t) ïåðåéä¼ò â ñîñòîÿíèåSj, åñòü âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî çà ýòî âðåìÿ ïîÿâèòñÿ õîòÿ áû îäíîñîáûòèå ïîòîêà, ïåðåâîäÿùåãî ñèñòåìó èç Si â Sj. Ýòà âåðîÿòíîñòüðàâíà λij∆t.

Ïîòîêîì âåðîÿòíîñòè ïåðåõîäà èç ñîñòîÿíèÿ Si â Sj íàçûâàåò-ñÿ âåëè÷èíà λij∆t. Äëÿ îïèñàíèÿ ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà, ïðîòåêàþùå-ãî â íåïðåðûâíîì âðåìåíè è èìåþùåãî äèñêðåòíîå ÷èñëî ñîñòîÿíèéS1, . . . , Sn èñïîëüçóþòñÿ âåðîÿòíîñòè ñîñòîÿíèé

p1(t), p2(t) . . . , pn(t), (8.30)

ãäå pi(t) � âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ñèñòåìà â ìîìåíò âðåìåíè t íàõîäèò-ñÿ â ñîñòîÿíèè Si. Ò.å.

pi(t) = P(S(t) = Si

). (8.31)

Î÷åâèäíî, äëÿ ëþáîãî t

n∑i=1

pi(t) = 1. (8.32)

Äëÿ íàõîæäåíèÿ âåðîÿòíîñòåé (8.30) íóæíî ðåøèòü ñèñòåìó äèô-ôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (óðàâíåíèé Êîëìîãîðîâà), èìåþùèõ âèä

dpi(t)

dt=

n∑j=1

λijpj(t)− pi(t)n∑

j=1

λij, i = 1, 2, . . . , n, (8.33)

Берк

ов Н

.А. М

ИРЭА

, каф

едра

выс

шая

мат

емат

ика

2


Êàæäîå i-îå óðàâíåíèå äàííîé ñèñòåìû îïèñûâàåò èçìåíåíèå ñè-ñòåìû â ñîñòîÿíèè Si, ïðè ýòîì â ïåðâîé ñóììå íàêàïëèâàåòñÿ ïðèòîê,à âî âòîðîé ñóììå � îòòîê.

Ñèñòåìó (8.33) óäîáíî ïîëó÷àòü èñïîëüçóÿ ðàçìå÷åííûé ãðàô ñî-ñòîÿíèé ñèñòåìû ïî ñëåäóþùåìó ïðàâèëó: äëÿ êàæäîãî ñîñòîÿíèÿ Si

ïðîèçâîäíóþ âåðîÿòíîñòè ñîñòîÿíèÿ ïðèðàâíèâàåì ê ñóììå âñåõ ïî-òîêîâ âåðîÿòíîñòè èç äðóãèõ ñîñòîÿíèé Sj â äàííîå, ìèíóñ ñóììà âñåõïîòîêîâ âåðîÿòíîñòè, ïåðåâîäÿùèõ èç äàííîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãèå.

Ðàññìîòðèì ìàòåìàòè÷åñêîå îïèñàíèå ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà ñ äèñ-êðåòíûìè ñîñòîÿíèÿìè è íåïðåðûâíûì âðåìåíåì íà ïðèìåðå ñëó÷àé-íîãî ïðîöåññà èç ïðèìåðà 8.10. Ãðàô ñîñòîÿíèé ñèñòåìû ñ îòìå÷åííû-ìè ñòðåëêàìè íàïðàâëåíèé ïåðåõîäîâ è èõ èíòåíñèâíîñòåé èçîáðàæåííà ðèñ. 35. Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî âñå ïåðåõîäû ñèñòåìû èç ñîñòîÿíèÿSi â Sj ïðîèñõîäÿò ïîä âîçäåéñòâèåì ïðîñòåéøèõ ïîòîêîâ ñîáûòèéñ èíòåíñèâíîñòÿìè λij. Ïåðåõîä ñèñòåìû èç ñîñòîÿíèÿ S1 â S2 áóäåòïðîèñõîäèòü ïîä âîçäåéñòâèåì ïîòîêà îòêàçîâ óçëà E1, à îáðàòíûéïåðåõîä èç ñîñòîÿíèÿ S2 â S1 � ïîä âîçäåéñòâèåì ïîòîêà "îêîí÷àíèéðåìîíòîâ"óçëà E1 è ò.ï.

p′1(t) = λ21p2(t) + λ41p4(t)− (λ12 + λ14)p1(t),p′2(t) = λ12p1(t) + λ32p3(t)− (λ21 + λ23)p2(t),p′3(t) = λ23p2(t) + λ43p4(t)− (λ32 + λ34)p3(t),p′4(t) = λ14p1(t) + λ34p3(t)− (λ41 + λ43)p4(t).

Óðàâíåíèÿ Êîëìîãîðîâà äàþò âîçìîæíîñòü íàéòè âñå âåðîÿòíîñòèñîñòîÿíèé êàê ôóíêöèè âðåìåíè.

Îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò âåðîÿòíîñòè ñèñòåìû pi(t) â ïðåäåëüíîìñòàöèîíàðíîì ðåæèìå, ò.å. ïðè t → ∞, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ ïðåäåëü-íûìè (èëè ôèíàëüíûìè) âåðîÿòíîñòÿìè ñîñòîÿíèé.

Â òåîðèè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî åñëè ÷èñëî ñî-ñòîÿíèé ñèñòåìû êîíå÷íî è èç êàæäîãî èç íèõ ìîæíî (çà êîíå÷íîå÷èñëî øàãîâ) ïåðåéòè â ëþáîå äðóãîå ñîñòîÿíèå, òî ïðåäåëüíûå âåðî-ÿòíîñòè ñóùåñòâóþò.

Ïðåäåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü ñîñòîÿíèÿ Si èìååò ÷¼òêèé ñìûñë: îíà ïî-êàçûâàåò ñðåäíåå îòíîñèòåëüíîå âðåìÿ ïðåáûâàíèÿ ñèñòåìû â ýòîìñîñòîÿíèè. Íàïðèìåð, åñëè ïðåäåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü ñîñòîÿíèÿ S1, ò.å.p1 = 0,5, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ñðåäíåì ïîëîâèíó âðåìåíè ñèñòåìàíàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè S1.

Òàê êàê ïðåäåëüíûå âåðîÿòíîñòè ïîñòîÿííû, òî, çàìåíÿÿ â óðàâ-íåíèÿõ Êîëìîãîðîâà èõ ïðîèçâîäíûå íóëåâûìè çíà÷åíèÿìè, ïîëó÷èì

Берк

ов Н

.А. М

ИРЭА

, каф

едра

выс

шая

мат

емат

ика

2


ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ ñòàöè-îíàðíûé ðåæèì. Ê ïîëó÷åííîé ñèñòåìå, äîïèñûâàåì åù¼ óðàâíåíèåp1 + p2 + p3 + p4 = 0. Äëÿ ñèñòåìû ñ ãðàôîì ñîñòîÿíèé, èçîáðàæåííîìíà ðèñ. 35, òàêàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé èìååò âèä:

(λ12 + λ14)p1 = λ21p2 + λ41p4,(λ21 + λ23)p2 = λ12p1 + λ32p3,(λ32 + λ34)p3 = λ23p2 + λ43p4,(λ41 + λ43)p4 = λ14p1 + λ34p3,p1 + p2 + p3 + p4 = 0.

Ýòó ñèñòåìó ìîæíî ñîñòàâèòü íåïîñðåäñòâåííî ïî ðàçìå÷åííîìóãðàôó ñîñòîÿíèé, åñëè ðóêîâîäñòâîâàòüñÿ ïðàâèëîì, ñîãëàñíî êîòî-ðîìó ñëåâà â óðàâíåíèÿõ ñòîèò ïðåäåëüíàÿ âåðîÿòíîñòü äàííîãî ñî-ñòîÿíèÿ pi , óìíîæåííàÿ íà ñóììàðíóþ èíòåíñèâíîñòü âñåõ ïîòîêîâ,âåäóùèõ èç äàííîãî ñîñòîÿíèÿ, à ñïðàâà � ñóììà ïðîèçâåäåíèé èí-òåíñèâíîñòåé âñåõ ïîòîêîâ, âõîäÿùèõ â i-å ñîñòîÿíèå, íà âåðîÿòíîñòèòåõ ñîñòîÿíèé, èç êîòîðûõ ýòè ïîòîêè èñõîäÿò.

Ïðèìåð 8.11. Ñèñòåìà èìååò òðè ñîñòîÿíèÿ. Ïîñòðîèòü ãðàôñîñòîÿíèé ñèñòåìû, íàïèñàòü óðàâíåíèÿ Êîëìîãîðîâà è íàéòè ñòà-öèîíàðíîå ðàñïðåäåëåíèå. Èíòåíñèâíîñòü ïîòîêîâ, ïåðåâîäÿùèõóñòðîéñòâî èç îäíîãî ñîñòîÿíèÿ â äðóãîå, çàäàíû â òàáëèöå.

Èíòåíñèâíîñòè ïîòîêîâλ12 λ13 λ21 λ23 λ31 λ321 3 0 2 4 0

Ð å ø å í è å: Íà ðèñ. 36 ïðåäñòàâëåí ãðàô ñîñòîÿíèÿ äàííîéñèñòåìû.

Ðèñ. 36. Ãðàô ñîñòîÿíèÿ

Èñïîëüçóÿ ãðàô ñîñòîÿíèÿ, çàïèøåì ñèñòåìó óðàâíåíèÿ Êîëìîãîðîâà:

Берк

ов Н

.А. М

ИРЭА

, каф

едра

выс

шая

мат

емат

ика

2


dp1(t)

dt= 4p3(t)− p1(t)(1 + 3),

dp2(t)

dt= p1(t)− 2p2(t),

dp3(t)

dt= 3p1(t) + 2p2(t)− 4p3(t),

p1(t) + p2(t) + p3(t) = 1.

×òîáû íàéòè ñòàöèîíàðíîå ðàñïðåäåëåíèå, â óðàâíåíèÿõ Êîëìîãî-ðîâà ïðîèçâîäíûå, íàõîäÿùèåñÿ â ëåâîé ÷àñòè, çàìåíèì íóëåâûìè çíà-÷åíèÿìè è âìåñòî ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ïîäñòàâèì óðàâíåíèåp1 + p2 + p3 = 1. Ïîëó÷àåì ñèñòåìó

4p1 − 4p3 = 0,p1 − 2p2 = 0,3p1 + 2p2 − 4p3 = 0,p1 + p2 + p3 = 1.

Ðåøàåì ñèñòåìó ìåòîäîì èñêëþ÷åíèÿ.p2 = 0,5p1,p3 = p1,3p1 + p1 − 4p1 = 0,p1 + 0,5p2 + p3 = 1,

⇔

p1 = 0,4,p2 = 0,2,0 = 0,p3 = 0,4.

Ïîëó÷èëè, ÷òî â ïðåäåëüíîì ñòàöèîíàðíîì ñîñòîÿíèè (ïðè áîëü-øîì çíà÷åíèè âðåìåííîãî ïàðàìåòðà t) ñèñòåìà â ñðåäíåì 40% âðåìå-íè áóäåò íàõîäèòüñÿ â ïåðâîì (S1) ñîñòîÿíèè, 20% � âî âòîðîì (S2)ñîñòîÿíèè è 40% � â òðåòüåì (S3) ñîñòîÿíèè.

Берк

ов Н

.А. М

ИРЭА

, каф

едра

выс

шая

мат

емат

ика

2

Ïðèëîæåíèå 2 189

ÏÐÈËÎÆÅÍÈÅ 21√2π

x∫−∞

e−(t−a)2

2σ2 dt.

Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ýòîé ôóíêöèè â ïàêåòå maxima, çàäà¼ì ôóíêöèþ:

numer:true$ load(distrib)$Phi(x):= cdf_normal(x,0 , 1 )-0.5;plot2d([Phi(x)], [x,-4,4], [gnuplot_postamble, "set grid;"])$

Äëÿ âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèÿ Φ(1, 25), ââîäèì êîìàíäó Phi(1.25) èâûïîëíÿåì å¼. Ïîëó÷àåì Phi(1.25) = 0.3943502263331446

Ëåêöèÿ 8.Ââåäåíèå â òåîðèþ ñëó÷àéíûõ...

Documents

Transcript of Ëåêöèÿ 8.Ââåäåíèå â òåîðèþ ñëó÷àéíûõ...