Impulse Generator 설계기술 · 2016-01-18 · 기술 내용 고압용 피뢰기 및 서지보호기 등의 임펄스 시험, Lightning 모의시험 및 전기전자기기의 서지내성
제 8 장 무한 임펄스 응답 필터 설계
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제 제 88 장 장 무한 임펄스 응답 필터 설계무한 임펄스 응답 필터 설계
2/53
무한 임펄스 응답 디지털 필터의 설계– 아날로그 필터 설계를 바탕으로 원하는 특징을 가지는
디지털필터로의 변환• 임펄스 응답불변 (impulse invariant) 변환• 양선형 (bilinear) z 변환
1. 1. 서론서론
3/53
IIR 디지털 필터
– IIR 필터의 전달함수
2. IIR 2. IIR 필터의 기본특성필터의 기본특성
(8-1)
0
0 1
( ) ( ) ( )
( ) ( )
k
N M
k kk k
y n h k x n k
a x n k b y n k
1 20 1 2
1 21 2
0
1
( )1
1
NN
MM
Nk
kk
Mk
kk
a a z a z a zH z
b z b z b z
a z
b z
여기서 는 필터의 임펄스응답이며 , 와 는 필터의 계수들이다 . ( )h k kakb
(8-2)
4/53
– 인수분해 형식의 IIR 필터 전달함수
– IIR 필터의 특성• 필터의 현재의 출력인 은 과거의 출력들인 과 현재 및 과거의 입력들인 의 합으로 표현
– FIR 에 비해 적은 계수들을 가지고도 급격한 차단특성을 지님
• 시스템의 불안정성을 초래– 설계 과정에서 안정도 판별 필요
( )y n ( )y n k( )x n k
1 2
1 2
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )N
M
K z z z z z zH z
z p z p z p
여기서 은 영점들을 , 은 극점들은 나타내고 , 는 상수이다 .
1 2, , , Nz z z K1 2, , , Np p p
(8-3)
5/53
IIR 디지털 필터의 설계– 임펄스 응답불변 변환
• 디지털 필터의 임펄스 응답이 표본점에서 아날로그 필터의 응답과 같은 값을 가짐
3. 3. 아날로그 필터를 이용한 아날로그 필터를 이용한 IIR IIR 필터 설계필터 설계
그림 8-1. 임펄스 응답 불변변환 방법
6/53
– 양선형 z 변환• s 평면에 있는 아날로그 영점과 극점들을 z 평면의 디지털 영점과 극점들로 일대일 사상 (mapping) 하여 변환
• 주파수 휨 (frequency warping)– s 평면의 jw 축 전체가 z 평면의 단위원으로 유일하게
사상되기 때문에 주파수 축의 압축효과 가 나타남
7/53
그림 8-2. 임펄스 응답 불변변환 방법
8/53
그림 8-2. 임펄스 응답 불변변환 방법
9/53
임펄스 응답불변 변환– 간단한 저역통과 아날로그 필터
– 임펄스 응답• 역 라플라스 변환
– 임펄스 응답열• 임펄스 응답의 샘플링 ( 주기 =T)
( )a
H ss a
(8-4)
( ) , 0ath t ae t
( ) anTnh h nT ae
(8-5)
(8-6)
10/53
– 디지털 필터의 임펄스 응답• z 변환
0
0
1
0
1
( )
( )
1
nn
n
anT n
n
aT n
n
aT
H z h z
ae z
a e z
a
e z
(8-7)
11/53
– 임펄스 응답불변 변환의 일반화• 단극점 (single pole) 로 구성되는 전달함수를 갖는 아날로그 필터
• 임펄스 응답– 역 라플라스 변환
• 임펄스 응답열– 임펄스 응답의 샘플링 ( 주기 =T)
1
( )N
i
i i
CH s
s p
1
( ) i
Np t
ii
h t C e
1
( ) i
Np nT
ii
h nT C e
여기서 및 는 에 대한 실수 또는 복소수 값을 갖는 상수들이다 . ipiC 1,2, ,i N
(8-8)
(8-9)
(8-10)
12/53
• z 변환
• 교환법칙 적용
• 무한급수 정리 적용
(8-11)
0
0 1
( ) ( )
i
n
n
Np nT n
in i
H z h nT z
C e z
1 0
1
1 0
( )
( )
i
i
Np nT n
ii n
Np t n
ii n
H z C e z
C e z
(8-12)
11
0
1( )
1i
i
p T np T
n
e ze z
(8-
13)
13/53
• 임펄스 응답불변 변환 방법에 의해 설계된 디지털 필터
– 중근 (repeated poles) 을 가진 아날로그 필터• l 차의 중근을 가지는 전달함수
• z 변환
11
( )1 i
Ni
p Ti
CH z
e z
(8-
14)
1 1
1 1
( 1)( )
( 1)! 1i
l li
l aT
a p
CH z
l a e z
( )( )
il
i
CH s
s p
(8-15)
(8-16)
14/53
– 복소근을 가진 아날로그 필터 (1)• 전달함수
• z 변환
( )( )( )
s aH s
s a jb s a jb
1
1 2 2
1 ( cos )( )
1 (2 cos )
aT
aT aT
e bT zH z
e bT z e z
(8-17)
(8-18)
15/53
– 복소근을 가진 아날로그 필터 (2)• 전달함수
• z 변환
( )( )( )
bH s
s a jb s a jb
1
1 2 2
( sin )( )
1 (2 cos )
aT
aT aT
e bT zH z
e bT z e z
(8-19)
(8-20)
16/53
– 예제 8-1• 2 차 아날로그 버터워스 필터의 전달함수
• 부분분수 전개
• 임펄스 응답 불변의 디지털 필터– T =1 인 경우
2
1( )
1 2H s
s s
2 2( )
( 1 ) 2 ( 1 ) 2
j jH s
s j s j
( 1 ) 2 1 ( 1 ) 2 1
1 2 1
1 2 1 2 2 2
2 2( )
1 1
2 sin(1 2)
1 2 cos(1 2)
j j
j jH z
e z e z
e z
e z e z
17/53
그림 8-3. 예제 8-1의 진폭응답 특성
18/53
– 임펄스 응답불변 변환방법에 의한 디지털 필터의 설계• 샘플링 정리
– 임펄스 응답불변 변환방법음 전달함수가 대역제한함수인 경우로 국한됨
• 필터의 이득– 디지털 필터의 이득과 아날로그 필터의 이득이 같아지도록 에 T 를 곱함
1( ) ( )sT sz e
n
H z H s jmT
( )H z
(8-21)
19/53
양선형 z 변환– s 평면의 허수축을 z 평면의 단위원으로 대응시키며 ,
원안의 값들은 좌반평면의 로 취해진 값들과 대응
( )H z( )H s
2 1
1
zs
T z
12
12
Ts
zT
s
(8-22)
(8-23)
20/53
– 을 대입
– 주파수 축적• 대입
(1 )2 2
(1 )2 2
T Tj
zT T
j
s j
2 2
2 2
2 1
1
2
2tan
2
d
d
d d
d d
j T
j T
j T j T
j T j T
d
ej
T e
e e
T e eT
jT
,s j dj Tz e
(8-24)
(8-25)
여기서 은 아날로그 주파수 , 디지털 주파수를 나타낸다 . d
21/53
그림 8-4. 양선형 주파수 변환
22/53
– 아날로그와 디지털 주파수 사이 관계• 주파수 휨 효과
– 아날로그 주파수가 0 에서 까지의 주파수 범위를 가질 때 디지털 주파수는 0 에서 내에서 변화
2tan
2dT
T
tan2 2
dTT
(8-26)
(8-27)
/ T
23/53
– 예제 8-2• 1 차 버터워스 아날로그 저역통과 필터를 사용하여 디지털 필터 설계
– 전달함수
• 양선형 z 변환
• 디지털 필터– 일 경우
1( )
11 ( )
1
H zk z
z
1( )
1 ( )c
H ss
11 1( )
2 2H z z
k
24/53
• 아날로그와 디지털 필터의 특성– 아날로그 필터의 임펄스 응답은 이다– 아날로그 필터의 진폭 및 위상의 주파수응답 특성은 다음과
같다
– 디지털 필터의 임펄스 응답은 이다
– 디지털 필터의 주파수응답 특성은 각각 다음과 같다
1/22
1
1 ( )c -1-tan ( )c
cos2dT
1 sin-tan
1 cosd
d
T
T
cTce
1 1, , 0, 0,
2 2
진폭응답 =
위상응답 =
진폭응답 =
위상응답 =
25/53
• 와 는 다음의 관계를 갖는다 d
tan2d
c
T
26/53
– 예제 8-3• 다음사양을 만족하는 저역통과 디지털 필터를 설계하라
– 필터의 응답은 1000[Hz] 에서 -3[dB] 의 전력이득을 가짐 – 필터의 응답은 3000[Hz] 에서 -10[dB] 의 전력이득을 가짐– 표본화 주파수는 10kHz
– 필터 응답은 1000~3000[Hz] 사이의 천이대역 (transition region)에서 단조 감소
• 디지털 매개변수 계산– 표본화 주기 :
– 차단주파수 :
– 소거주파수 :
1/10000[sec]T 2 1000[rad/sec], 0.2dp drT 2 3000[rad/sec], 0.6dr drT
27/53
• 주파수 휨 고려
• 버터워스 필터의 차수 결정
• 원하는 아날로그 버터워스 필터
tan( ) 0.32492 2p dpT T
tan( ) 1.37642 2
drr TT
21.376410 log 1 ( ) 10
0.3249N
1N
1( )
1 ( / )p
H ss
28/53
• 양선형 z 변환– 대입
0.3949( )
10.3249
10.2452( 1)
0.5095
H zzz
z
z
2 1
1
zs
T z
그림 8-5. 예제 8-3의 진폭응답 특성
29/53
아날로그 필터에서 디지털 필터로의 변환– 임펄스 응답불변 변환
• 아날로그의 임펄스 응답을 보존
– 양선형 z 변환• 주파수 응답의 휨 효과 유발
4. 4. 두 변환방법의 비교두 변환방법의 비교
(8-28)
(8-29)
sTz e
2 1
1
zs
T z
30/53
– 예제 8-4• 임펄스 응답불변 방법과 양선형 z 변환 방법에의한 디지털 필터 비교
• 아날로그 전달함수
• 주파수 특성
1.333( )
1.333
aH s
s a s
1( , 0.25 sec )
0.75a T
2 2
1.333( ) ( )
1.333aH j H j
1( ) tan1.333
j
31/53
• 임펄스 응답 불변변환에 의한 디지털 필터 (1)
– 주파수 특성» 대입
1 1
1.333( )
1 1 0.716aT
aH s
e z z
cos( ) sin( ) cos(0.25 ) sin(0.25 )j Tz e T j T j
2 2
1.333( ) ( )
1 0.716cos(0.25 ) 0.716sin(0.25 )
j TIIH e H j
1 0.716sin(0.25 )( ) tan
1 0.716cos(0.25 )j
32/53
• 양선형 변환에 의한 디지털 필터 (2)
– 주파수 특성
2 1
1
( ) ( )
( 2) ( 2)
0.333 0.333
2.333 1.667
zs
T z
H z H s
aTz aT
aT z aT
z
z
2 22
2 2
( ) ( )
0.777cos (0.25 ) 0.222cos(0.25 ) 0.555 0.777sin(0.25 ) 1.332sin(0.25 )
2.333cos(0.25 ) 1.667 2.333sin(0.25 )
j TBH e H j
12 2
1.332sin(0.25 )( ) tan
0.777cos (0.25 ) 0.222cos(0.25 ) 0.555 0.777sin (0.25 )j
33/53
그림 8-6. 예제 8-4의 진폭응답 및 위상응답 특성
34/53
– 예제 8-5• 아날로그 버터워스 필터의 전달함수
• 전달함수의 부분분수 전개
• 역 라플라스 변환
2
1( )
2 1H s
s s
/ 2 / 2( )
1 1
2 2
j jH s
j js s
1
/ 2
( ) ( )
2 sin2
t
h t H s
te
L
35/53
• 주파수 응답
• 에서 -3[dB] 점을 갖는 아날로그 필터
2
4
1( )
( ) 2( ) 1
1
1
H jj j
2
2 2
7
2 3 7
( ) ( )
2
3.948 10
8.886 10 3.948 10
c
c
c c
H s H s
s s
s s
2 1000[rad/sec]c
(8-30)
36/53
• 식 (8-30) 을 표준필터로 하여 임펄스 응답불변 방법을 이용한 필터설계
– 표본화 주기 ( )410 [sec]T
( 2 )
1 ( 2 ) 2( 2 )2
2 sin( 2)( )
2 cos( 2)
c
c c
Tc c
T Tc
e T zH z
z ze T e
0.20.4443
2 2cT
3
1 2
2.449 10( )
1.158 0.4112
zH z
z z
(8-31)
37/53
• 식 (8-30) 을 표준필터로 하여 양선형 z 변환방법을 이용한 필터설계
2 1
1
2
22
2 2 2
2 2 2 2 2
2
2
( ) ( )
2 1 2 12
1 1
( 1)
4( 1) 2 2 ( 1) ( 1)
0.064( 2 1)
1.168 0.424
zB sT z
c
c c
c
c c
H z H s
z zT z T z
T z
z T z T z
z z
z z
(8-32)
38/53
주파수 변환 – 저역통과 필터로부터 주파수변환읕 통해 고역통과 , 대역
통과 또는 대역 소거 필터 설계
5. 5. 주파수 변환주파수 변환
그림 8-7. 디지털 필터의 설계방법
39/53
그림 8-8. 아날로그필터로부터 디지털필터를 얻는 여러 변환 방법들
40/53
– 저역통과 필터• 에서 -3[dB] 점을 가진 정규화 된 저역통과 필터
• 에서 -3[dB] 점을 가진 정규화 된 저역통과 필터
– 고역통과 필터• 주파수 변환을 이용 저역통과 필터에 를 대체
• 에서 -3[dB] 점을 가진 고역통과 필터
2
1( )
2 1H s
s s
2
1( )
( / ) 2( / ) 1c c
H ss s
1[rad/sec]
( )1
sH s
s
( )c
sH s
s
s1
s
c
[rad/sec]c
41/53
– 대역통과 필터• 에서 -3[dB] 를 갖는 대역통과 필터
– 대역소거 필터• 에서 -3[dB] 를 갖는 대역소거 필터
2 20s
ss
2 20
ss
s
1[rad/sec]
1[rad/sec]
여기서 이고 , 는 소거대역폭이고 , 는 소거대역의
상한차단주파수이고 , 는 소거대역의 하한차단주파수이다 .
20 h l h l h
l
42/53
표 8-1. 아날로그 주파수 변환
43/53
– 예제 8-6• 정규화된 2 차 전달함수를 양선형 z 변환방법을 이용하여 디지털 저역통과 필터를 설계
– 전달함수
– 표본화 주파수 :
– 10[Hz] 에서 -3[dB] 점을 가짐
• 주파수 우선 휨– 주파수 휘 고려
2
1( )
1.414 1H s
s s
'tan tan 0.325
2 10c
c
T
100[Hz]sf
44/53
• 아날로그 저역통과 필터의 전달함수
• 양선형 z 변환
2
2
1( )
1.414 10.325 0.325
0.105
0.46 0.105
H ss s
s s
11
2
2
2
1 2
1 2
0.105( ) ( )
1 10.46 0.105
1 1
0.105 0.21 0.105
1.56 1.79 0.645
0.067 0.135 0.067
1 1.147 0.413
zzs
H z H sz z
z z
z z
z z
z z
z z
45/53
• 양선형 z 변환– 계산의 편의 고려
– 계산의 정확성 고려
'2tan
2c
c
T
T
2 1
1
zs
T z
'tan
2c
c
T
1
1
zs
z
'2tan
2
2tan 65[rad / sec]
0.01 10
cc
T
T
46/53
그림 8-9. 예제 8-6의 진폭응답 특성
47/53
– 예제 8-7• 정규화된 저역통과 전달함수를 양선형 z 변환방법을 이용하여 디지털 고역통과 필터를 설계
– 전달함수
– 표본화 주파수 :
– 차단 주파수 :
• 차단 주파수의 우선 휨– 주파수 휘 고려
1( )
1LH ss
'tan tan 0.7265
2 5c
c
T
150[Hz]sf 30[Hz]cf
48/53
• 주파수 변환표를 이용한 아날로그 고역통과 필터 변환
• 양선형 z 변환
( ) ( )
1
0.72651
cs
L s
c
H s H s
s
ss
11
1
1
( ) ( )
0.5792 0.5792
1 0.1584
zzs
H z H s
z
z
49/53
그림 8-10. 예제 8-6의 진폭응답 특성
50/53
– 예제 8-8• 다음의 사양을 만족하는 필터의 전달함수를 버터워스필터를 이용한 양선형 z 변환을 이용하여 구하라
– 대역통과 :
– 표본화 주파수 :
– 필터차수 : 2
• 저역통과와 대역통과 주파수 변환
200 ~ 300[Hz]pf 2[kHz]sf
2 20
( )h l
ss
s
51/53
• 2 차 대역 통과 필터– 1 차 저역통과 필터 이용
1( )
1LH ss
20
'tan tan 0.3249
2 10
' 3tan tan 0.5095
2 20
0.1655
0.1846
hh
ll
h l
h l
T
T
여기서 는 주파수 휨을 고려한 디지털 필터의 상한 , 하한차단주파수이고 ,
는 통과대역 폭을 나타낸다 .
,h l
52/53
• 아날로그 대역통과 필터
• 양선형 z 변환
2 20
2
( ) ( )
0.1846
0.1846 0.0274
s
s
Ls
H s H s
s
s s
11
2
1 2
( ) ( )
0.1367 0.1367
1 1.2362 0.7265
zzs
H z H s
z
z z
53/53
그림 8-11. 예제 8-8의 진폭응답 특성