ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟΚΕΦΑΛΑΙΟ 88 ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΩΡΙΚΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΩΡΙΚΩΝ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝΠΡΟΤΥΠΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ

Αν τα στοιχεία αποτελούνται από ένα σύνολο σημείων Αν τα στοιχεία αποτελούνται από ένα σύνολο σημείων σε καθένα από τα οποία αντιστοιχεί ένα χωρικό γεγονός.σε καθένα από τα οποία αντιστοιχεί ένα χωρικό γεγονός.

Η ανάλυση εστιάζεται στην εξέταση των πιθανών Η ανάλυση εστιάζεται στην εξέταση των πιθανών χωρικών προτύπων που δημιουργούν οι θέσεις αυτών χωρικών προτύπων που δημιουργούν οι θέσεις αυτών

των γεγονότων.των γεγονότων.

Ως αποτέλεσμα, το ενδιαφέρον αφορά στα χωρικά Ως αποτέλεσμα, το ενδιαφέρον αφορά στα χωρικά πρότυπα των θέσεων για τις οποίες υπάρχουν πρότυπα των θέσεων για τις οποίες υπάρχουν

παρατηρήσεις.παρατηρήσεις.

ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΩΡΙΚΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΩΡΙΚΩΝ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝΠΡΟΤΥΠΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ

Αν τα στοιχεία αποτελούνται από ένα σύνολο σημείων Αν τα στοιχεία αποτελούνται από ένα σύνολο σημείων στα οποία μετράται η τιμή ενός συνεχούς χωρικού στα οποία μετράται η τιμή ενός συνεχούς χωρικού φαινομένου.φαινομένου.

Η ανάλυση εστιάζεται στην ανάλυση του προτύπου των Η ανάλυση εστιάζεται στην ανάλυση του προτύπου των τιμών στα σημεία που ανήκουν στην περιοχή μελέτης.τιμών στα σημεία που ανήκουν στην περιοχή μελέτης.

Ως αποτέλεσμα, το ενδιαφέρον αφορά στα χωρικά Ως αποτέλεσμα, το ενδιαφέρον αφορά στα χωρικά πρότυπα των ίδιων των χαρακτηριστικών.πρότυπα των ίδιων των χαρακτηριστικών.

ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΤΗΣ ΧΩΡΙΚΗΣ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΤΗΣ ΧΩΡΙΚΗΣ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ

Αν… Αν… Ζ(Ζ(ss), ), ssAA:: Χωρική στοχαστική διαδικασία η οποία Χωρική στοχαστική διαδικασία η οποία μεταβάλλεται συνεχώς στην περιοχή μεταβάλλεται συνεχώς στην περιοχή ΑΑ..και …και …

ΖΖii, i=1,…,n:, i=1,…,n: Σύνολο παρατηρήσεων για ένα χωρικά συνεχές Σύνολο παρατηρήσεων για ένα χωρικά συνεχές

χαρακτηριστικό, οι οποίες έχουν καταγραφεί σε χαρακτηριστικό, οι οποίες έχουν καταγραφεί σε συγκεκριμένες θέσεις συγκεκριμένες θέσεις ss στην περιοχή μελέτης στην περιοχή μελέτης ΑΑ..

Ο στόχος της ανάλυσης είναι να εξαχθούν συμπεράσματα για Ο στόχος της ανάλυσης είναι να εξαχθούν συμπεράσματα για τη χωρική διαφοροποίηση του χαρακτηριστικού σε ολόκληρη τη χωρική διαφοροποίηση του χαρακτηριστικού σε ολόκληρη την περιοχή μελέτης την περιοχή μελέτης ΑΑ, με βάση τις τιμές στα σταθερά σημεία-, με βάση τις τιμές στα σταθερά σημεία-θέσεις του δείγματος.θέσεις του δείγματος.

ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΤΗΣ ΧΩΡΙΚΗΣ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΤΗΣ ΧΩΡΙΚΗΣ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ

Αν δηλαδή το ενδιαφέρον εστιάζεται στη μοντελοποίηση Αν δηλαδή το ενδιαφέρον εστιάζεται στη μοντελοποίηση του προτύπου της μεταβλητότητας των τιμών του υπό του προτύπου της μεταβλητότητας των τιμών του υπό

εξέταση χαρακτηριστικού.εξέταση χαρακτηριστικού.

Απαιτείται η χρήση μοντέλων προκειμένου να επιτύχουμε Απαιτείται η χρήση μοντέλων προκειμένου να επιτύχουμε καλές εκτιμήσεις για την τιμή που παίρνει το καλές εκτιμήσεις για την τιμή που παίρνει το

χαρακτηριστικό σε σημεία τα οποία δεν ανήκουν στο χαρακτηριστικό σε σημεία τα οποία δεν ανήκουν στο αρχικό δείγμα.αρχικό δείγμα.

Δηλαδή, οδηγούμεθα στην διαδικασία της χωρικής Δηλαδή, οδηγούμεθα στην διαδικασία της χωρικής παρεμβολής παρεμβολής (interpolation(interpolation..

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΧΩΡΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΧΩΡΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

Η συμπεριφορά των χωρικών φαινομένων είναι συχνά Η συμπεριφορά των χωρικών φαινομένων είναι συχνά αποτέλεσμα του συνδυασμού των επιπτώσεων δύο αποτέλεσμα του συνδυασμού των επιπτώσεων δύο διαδικασιών.διαδικασιών. Πρώτης τάξης Πρώτης τάξης (first order(first order):): Οι επιπτώσεις της πρώτης τάξης Οι επιπτώσεις της πρώτης τάξης

σχετίζονται με τη μεταβλητότητα στη μέση τιμή της υπό σχετίζονται με τη μεταβλητότητα στη μέση τιμή της υπό εξέταση χωρικής διαδικασίας και εκπροσωπούν γενικευμένες εξέταση χωρικής διαδικασίας και εκπροσωπούν γενικευμένες ή μεγάλης κλίμακας τάσεις-διαφοροποιήσειςή μεγάλης κλίμακας τάσεις-διαφοροποιήσεις..

Δεύτερης τάξης (second order):Δεύτερης τάξης (second order): Οι επιπτώσεις της δεύτερης Οι επιπτώσεις της δεύτερης τάξης είναι αποτέλεσμα της δομής της χωρικής συσχέτισης ή τάξης είναι αποτέλεσμα της δομής της χωρικής συσχέτισης ή της χωρικής εξάρτησης στη διαδικασία. Με άλλα λόγια, είναι της χωρικής εξάρτησης στη διαδικασία. Με άλλα λόγια, είναι η τάση για αποκλίσεις στις τιμές από τη μέση τιμή σε η τάση για αποκλίσεις στις τιμές από τη μέση τιμή σε γειτονικές θέσεις και εκπροσωπούν τοπικές ή μικρής κλίμακας γειτονικές θέσεις και εκπροσωπούν τοπικές ή μικρής κλίμακας επιπτώσεις.επιπτώσεις.

ΧΩΡΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΧΩΡΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ

ΜΕΘΟΔΟΙ ΤΟΠΙΚΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΝΜΕΘΟΔΟΙ ΤΟΠΙΚΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΝΧωρικός Κινητός ΜέσοςΧωρικός Κινητός ΜέσοςΨηφιδοποίησηΨηφιδοποίηση

ΤΙΝΤΙΝ Πολύγωνα ΘίσσενΠολύγωνα Θίσσεν

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙΕπιφάνεια ΤάσηςΕπιφάνεια ΤάσηςΜοντέλα ΤαξινόμησηςΜοντέλα Ταξινόμησης

ΓΕΩΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΜΕΘΟΔΟΙΓΕΩΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΜΕΘΟΔΟΙKrigingKriging

ΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣΕΠΙΠΤΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ Ως Ως στάσιμηστάσιμη (stationary)(stationary) ή ή ομοιογενήςομοιογενής διαδικασία διαδικασία ορίζεται η ορίζεται η

χωρική διαδικασία της οποίας οι στατιστικοί δείκτες είναι χωρική διαδικασία της οποίας οι στατιστικοί δείκτες είναι ανεξάρτητοι από την απόλυτη θέση στην περιοχή μελέτης ανεξάρτητοι από την απόλυτη θέση στην περιοχή μελέτης ΑΑ. . Δηλαδή:Δηλαδή: (Ζ(s))(Ζ(s)), , var(Ζ(s))var(Ζ(s)) σταθερές σταθερές στην περιοχή μελέτης στην περιοχή μελέτης ΑΑ.. C(si,sj)C(si,sj) εξαρτάται από τη σχετική θέση, από την απόσταση και εξαρτάται από τη σχετική θέση, από την απόσταση και

την κατεύθυνση μεταξύ τους και όχι από την απόλυτη θέση τους την κατεύθυνση μεταξύ τους και όχι από την απόλυτη θέση τους στην στην ΑΑ..

Μια στάσιμη διαδικασία ορίζεται ως Μια στάσιμη διαδικασία ορίζεται ως ισοτροπικήισοτροπική, εάν η , εάν η συνδιασπορά εξαρτάται μόνο από την απόσταση μεταξύ των συνδιασπορά εξαρτάται μόνο από την απόσταση μεταξύ των σημείων σημείων ssii και και ssjj και όχι από την κατεύθυνση κατά την οποία και όχι από την κατεύθυνση κατά την οποία διαχωρίζονται.διαχωρίζονται.

Μη στάσιμηΜη στάσιμη ή ή ετερογενήςετερογενής θεωρείται η διαδικασία αν η μέση θεωρείται η διαδικασία αν η μέση τιμή, η διασπορά ή η συνδιασπορά διαφοροποιούνται στην τιμή, η διασπορά ή η συνδιασπορά διαφοροποιούνται στην περιοχή μελέτης.περιοχή μελέτης.

ΧΩΡΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΧΩΡΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ

ΥΠΟΘΕΣΕΙΣΥΠΟΘΕΣΕΙΣ Η επιφάνεια που εκφράζει το υπό εξέταση χαρακτηριστικό είναι Η επιφάνεια που εκφράζει το υπό εξέταση χαρακτηριστικό είναι

συνεχής.συνεχής. Υπάρχει χωρική εξάρτηση των τιμών του υπό εξέταση Υπάρχει χωρική εξάρτηση των τιμών του υπό εξέταση

χαρακτηριστικού.χαρακτηριστικού.

ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ Μεθόδοι τοπικών εκτιμήσεων Μεθόδοι τοπικών εκτιμήσεων (local estimation)(local estimation) Μεθόδοι γενικευμένων προσεγγίσεων Μεθόδοι γενικευμένων προσεγγίσεων (global approximation)(global approximation)

καικαι Γεωστατιστικές μεθόδοι χωρικής συσχέτισης Γεωστατιστικές μεθόδοι χωρικής συσχέτισης (kriging)(kriging)..

ΜΕΘΟΔΟΙ ΤΟΠΙΚΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΝΜΕΘΟΔΟΙ ΤΟΠΙΚΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΕΩΝ

Οι μέθοδοι αυτές αναφέρονται στην εκτίμηση της τιμής ενός Οι μέθοδοι αυτές αναφέρονται στην εκτίμηση της τιμής ενός χαρακτηριστικού σε μια συγκεκριμένη θέση, με βάση στοιχεία τα χαρακτηριστικού σε μια συγκεκριμένη θέση, με βάση στοιχεία τα οποία προέρχονται από σημεία που βρίσκονται στην άμεση οποία προέρχονται από σημεία που βρίσκονται στην άμεση γειτονική περιοχή του. γειτονική περιοχή του. HH διαδικασία απαιτεί τα εξής βήματα: διαδικασία απαιτεί τα εξής βήματα:

TTον ορισμό της τοπικής περιοχής εκτίμησης ή την αποδεκτή ον ορισμό της τοπικής περιοχής εκτίμησης ή την αποδεκτή «γειτονία» γύρω από το υπό εκτίμηση σημείο. «γειτονία» γύρω από το υπό εκτίμηση σημείο.

Την εύρεση του αριθμού των σημείων που οι τιμές τους θα πρέπει Την εύρεση του αριθμού των σημείων που οι τιμές τους θα πρέπει να ληφθούν υπόψη για την εκτίμηση. να ληφθούν υπόψη για την εκτίμηση.

Την επιλογή των σημείων αυτών από το σύνολο των σημείων της Την επιλογή των σημείων αυτών από το σύνολο των σημείων της περιοχής μελέτης.περιοχής μελέτης.

Την επιλογή της μαθηματικής συνάρτησης που αντιπροσωπεύει Την επιλογή της μαθηματικής συνάρτησης που αντιπροσωπεύει τη διαφοροποίηση της τιμής του χαρακτηριστικού, δηλαδή τη τη διαφοροποίηση της τιμής του χαρακτηριστικού, δηλαδή τη διαδικασία εκτίμησης.διαδικασία εκτίμησης.

ΕΠΙΛΟΓΗ ΣΗΜΕΙΩΝΕΠΙΛΟΓΗ ΣΗΜΕΙΩΝ

(α) (β)

(γ) (δ)

ΧΩΡΙΚΟΣ ΚΙΝΗΤΟΣ ΜΕΣΟΣΧΩΡΙΚΟΣ ΚΙΝΗΤΟΣ ΜΕΣΟΣ Η μέθοδος εκτίμησης αυτή βασίζεται στην εύρεση του μέσου Η μέθοδος εκτίμησης αυτή βασίζεται στην εύρεση του μέσου

όρου των τιμών που παρατηρούνται γύρω από το σημείο που έχει όρου των τιμών που παρατηρούνται γύρω από το σημείο που έχει επιλεγείεπιλεγεί..

Στατιστικά θεωρείται ότι:Στατιστικά θεωρείται ότι:

YYπάρχει μια σειρά από παρατηρήσεις πάρχει μια σειρά από παρατηρήσεις ΖΖii i=1,…,ni=1,…,n για ένα χωρικά για ένα χωρικά συνεχές χαρακτηριστικό.συνεχές χαρακτηριστικό.

OOι μετρήσεις ι μετρήσεις ΖΖii είναι παρατηρήσεις μιας χωρικής στοχαστικής είναι παρατηρήσεις μιας χωρικής στοχαστικής διαδικασίας διαδικασίας {Ζ{Ζii , s, sΑ}Α},οι οποίες έχουν καταγραφεί σε αντίστοιχες ,οι οποίες έχουν καταγραφεί σε αντίστοιχες χωρικές θέσεις χωρικές θέσεις ssii στην περιοχή μελέτης στην περιοχή μελέτης ΑΑ. .

YYποτίθεται ότι η εκτίμηση της απλής ποτίθεται ότι η εκτίμηση της απλής (χωρίς βάρη)(χωρίς βάρη) μέσης τιμής, μέσης τιμής, είναι μια ισοτροπική διαδικασία είναι μια ισοτροπική διαδικασία (δεν παρατηρούνται «τάσεις» προς (δεν παρατηρούνται «τάσεις» προς καμία κατεύθυνση)καμία κατεύθυνση)..

ΧΩΡΙΚΟΣ ΚΙΝΗΤΟΣ ΜΕΣΟΣΧΩΡΙΚΟΣ ΚΙΝΗΤΟΣ ΜΕΣΟΣ

Η υπόθεση της ισοτροπίας δεν είναι πάντοτε σωστή και δεν Η υπόθεση της ισοτροπίας δεν είναι πάντοτε σωστή και δεν επιτρέπει τη χωρική διαφοροποίηση στην κατανομή των επιτρέπει τη χωρική διαφοροποίηση στην κατανομή των σημείων που έχουν επιλεγεί.σημείων που έχουν επιλεγεί.

Για την αντιμετώπιση του προβλήματος αυτού χρησιμοποιείται Για την αντιμετώπιση του προβλήματος αυτού χρησιμοποιείται ο μέσος όρος των τιμών των παρατηρήσεων με βάρη. Πιο ο μέσος όρος των τιμών των παρατηρήσεων με βάρη. Πιο συγκεκριμένα: συγκεκριμένα:

όπου: όπου:

Βασικό μέλημα της προσέγγισης αυτής είναι ο Βασικό μέλημα της προσέγγισης αυτής είναι ο προσδιορισμός της συνάρτησης της απόστασης προσδιορισμός της συνάρτησης της απόστασης wwii(s)(s). .

i

n

1ii Zswsμ

1wn

1ii

s

ΧΩΡΙΚΟΣ ΚΙΝΗΤΟΣ ΜΕΣΟΣΧΩΡΙΚΟΣ ΚΙΝΗΤΟΣ ΜΕΣΟΣ

Οι Bailey and Gatrell έχουν προτείνει τις εξής μορφές:Οι Bailey and Gatrell έχουν προτείνει τις εξής μορφές:

και και

Όπου:Όπου:

hhii == η απόσταση μεταξύ του υπό εκτίμηση σημείου η απόσταση μεταξύ του υπό εκτίμηση σημείου ss και του και του

σημείου σημείου ssii..αα = = είναι μια παράμετρος που παίρνει τιμές, ώστε η είναι μια παράμετρος που παίρνει τιμές, ώστε η εκτιμηθείσα επιφάνεια να είναι όσο το δυνατό πιο ομαλή.εκτιμηθείσα επιφάνεια να είναι όσο το δυνατό πιο ομαλή.

Συνήθως, η Συνήθως, η wwii(s)(s) ορίζεται να παίρνει τιμή μηδέν πέρα από ορίζεται να παίρνει τιμή μηδέν πέρα από μια συγκεκριμένη απόσταση.μια συγκεκριμένη απόσταση.

hsw aii esw iah

i

ΨΗΦΙΔΟΠΟΙΗΣΗ: ΨΗΦΙΔΟΠΟΙΗΣΗ: ΤΙΝΤΙΝ

Η διαδικασία της δημιουργίας του ΤΙΝ αφορά:Η διαδικασία της δημιουργίας του ΤΙΝ αφορά: Στη δημιουργία του πλέγματος των τριγώνων (όλα Στη δημιουργία του πλέγματος των τριγώνων (όλα

τα σημεία ενώνονται μεταξύ τους, μετατρεπόμενα τα σημεία ενώνονται μεταξύ τους, μετατρεπόμενα σε ένα σύνολο πλευρών τριγώνων).σε ένα σύνολο πλευρών τριγώνων).

Στον καθορισμό της συνάρτησης της χωρικής Στον καθορισμό της συνάρτησης της χωρικής διαφοροποίησης των τιμών (η τιμή του διαφοροποίησης των τιμών (η τιμή του χαρακτηριστικού μεταξύ των δύο κορυφών της χαρακτηριστικού μεταξύ των δύο κορυφών της πλευράς μεταβάλλεται με έναν καθορισμένο και πλευράς μεταβάλλεται με έναν καθορισμένο και σταθερό τρόπο).σταθερό τρόπο).

ΨΗΦΙΔΟΠΟΙΗΣΗ: ΨΗΦΙΔΟΠΟΙΗΣΗ: ΤΙΝΤΙΝΗ διαδικασία «τριγωνοποίησης» μπορεί να επιτευχθεί με διαφορετικούς Η διαδικασία «τριγωνοποίησης» μπορεί να επιτευχθεί με διαφορετικούς τρόπους ανάλογα με το κριτήριο σύνδεσης των σημείων.τρόπους ανάλογα με το κριτήριο σύνδεσης των σημείων.Από τις μεθόδους αυτές η πλέον γνωστή είναι η Από τις μεθόδους αυτές η πλέον γνωστή είναι η μέθοδος Delannayμέθοδος Delannay, , γνωστή και ως κριτήριο μέγιστη-ελάχιστη γωνία.γνωστή και ως κριτήριο μέγιστη-ελάχιστη γωνία.

ΨΗΦΙΔΟΠΟΙΗΣΗ: ΨΗΦΙΔΟΠΟΙΗΣΗ: ΤΙΝΤΙΝΜε την ολοκλήρωση της «τριγωνοποίησης», ο ορισμός της χωρικής Με την ολοκλήρωση της «τριγωνοποίησης», ο ορισμός της χωρικής συνάρτησης, μπορεί να αρχίσει και μπορεί να πάρει πολλές μορφές.συνάρτησης, μπορεί να αρχίσει και μπορεί να πάρει πολλές μορφές.

Η πιο απλήΗ πιο απλή:: γραμμική παρεμβολή γραμμική παρεμβολή ΖΖii = αΧ = αΧii + βΥ + βΥii + γ + γ

4 3

21

5 6

99

9396

103

106 112

ΨΗΦΙΔΟΠΟΙΗΣΗ: ΨΗΦΙΔΟΠΟΙΗΣΗ: ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΘΙΣΣΕΝΠΟΛΥΓΩΝΑ ΘΙΣΣΕΝ

AAν υπάρχουν ν υπάρχουν nn γνωστά σημεία σε μια περιοχή μελέτης γνωστά σημεία σε μια περιοχή μελέτης ΑΑ,, σε κάθε σημείο σε κάθε σημείο ssii κατανέμεται ένα τμήμα της κατανέμεται ένα τμήμα της ΑΑ, έτσι , έτσι ώστε κάθε σημείο του τμήματος αυτού να είναι ώστε κάθε σημείο του τμήματος αυτού να είναι πλησιέστεροπλησιέστερο στο στο ssii περισσότερο από κάθε άλλο σημείο περισσότερο από κάθε άλλο σημείο ssjj..

OOι γραμμές μεταξύ δύο σημείων αποτελούν το ι γραμμές μεταξύ δύο σημείων αποτελούν το γεωμετρικό τόπο των σημείων που ισαπέχουν από τα γεωμετρικό τόπο των σημείων που ισαπέχουν από τα σημεία αυτά.σημεία αυτά.

Κάθε πλευρά ενός πολυγώνου Κάθε πλευρά ενός πολυγώνου ΘίσσενΘίσσεν είναι ένα γραμμικό είναι ένα γραμμικό τμήμα που τέμνει κάθετα τη γραμμή που ενώνει το τμήμα που τέμνει κάθετα τη γραμμή που ενώνει το σημείο του πολυγώνου με το γειτονικό του, που ενώνει σημείο του πολυγώνου με το γειτονικό του, που ενώνει δηλαδή την πλευρά ενός τριγώνου του δηλαδή την πλευρά ενός τριγώνου του ΤΙΝΤΙΝ. .

ΨΗΦΙΔΟΠΟΙΗΣΗ: ΨΗΦΙΔΟΠΟΙΗΣΗ: ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΘΙΣΣΕΝΠΟΛΥΓΩΝΑ ΘΙΣΣΕΝ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ

Οι Οι γενικευμένες μέθοδοιγενικευμένες μέθοδοι εκτίμησης χρησιμοποιούν εκτίμησης χρησιμοποιούν όλα τα υπάρχοντα στοιχεία, επιτυγχάνοντας εκτιμήσεις όλα τα υπάρχοντα στοιχεία, επιτυγχάνοντας εκτιμήσεις για το σύνολο της περιοχής που ενδιαφέρει.για το σύνολο της περιοχής που ενδιαφέρει.

Οι Οι γενικευμένοι εκτιμητέςγενικευμένοι εκτιμητές χρησιμοποιούνται συνήθως χρησιμοποιούνται συνήθως εμμέσως για χωρικές παρεμβολές (αποτελούν εργαλεία εμμέσως για χωρικές παρεμβολές (αποτελούν εργαλεία εξέτασης και απομάκρυνσης των γενικευμένων εξέτασης και απομάκρυνσης των γενικευμένων χωρικών διαφοροποιήσεων). χωρικών διαφοροποιήσεων).

Οι Οι διαδικασίες εκτίμησηςδιαδικασίες εκτίμησης των γενικευμένων μεθόδων των γενικευμένων μεθόδων υπολογίζονται σχετικά απλά και βασίζονται κυρίως σε υπολογίζονται σχετικά απλά και βασίζονται κυρίως σε συνηθισμένες στατιστικές μεθόδους ανάλυσης συνηθισμένες στατιστικές μεθόδους ανάλυσης διασποράς. διασποράς.

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ: ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ: ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΤΑΣΗΣΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΤΑΣΗΣ

Όταν η διαφοροποίηση σε ένα χαρακτηριστικό είναι συνεχής Όταν η διαφοροποίηση σε ένα χαρακτηριστικό είναι συνεχής στο χώρο, υπάρχει ανάγκη για τη δημιουργία ενός μοντέλου, στο χώρο, υπάρχει ανάγκη για τη δημιουργία ενός μοντέλου, ώστε να μπορεί:ώστε να μπορεί: Να εξηγηθεί αυτή η διαφοροποίηση.Να εξηγηθεί αυτή η διαφοροποίηση. Να εκτιμηθεί η τιμή του χαρακτηριστικού σε θέσεις εκτός Να εκτιμηθεί η τιμή του χαρακτηριστικού σε θέσεις εκτός

αυτών για τις οποίες υπάρχουν στοιχεία.αυτών για τις οποίες υπάρχουν στοιχεία.

Η μέθοδος της Η μέθοδος της ανάλυσης επιφάνειας τάσηςανάλυσης επιφάνειας τάσης επιτυγχάνει το επιτυγχάνει το διαχωρισμό των παρατηρήσεων μιας χωρικά κατανεμημένης διαχωρισμό των παρατηρήσεων μιας χωρικά κατανεμημένης μεταβλητής σε: μεταβλητής σε: Ένα τμήμα που σχετίζεται με τις γενικευμένες τάσεις που Ένα τμήμα που σχετίζεται με τις γενικευμένες τάσεις που

υπάρχουν.υπάρχουν. Ένα τμήμα που είναι το αποτέλεσμα των τοπικών επιδράσεων. Ένα τμήμα που είναι το αποτέλεσμα των τοπικών επιδράσεων.


Επομένως, κάθε τιμή Επομένως, κάθε τιμή Ζ(s)Ζ(s) ενός φαινομένου μπορεί να ενός φαινομένου μπορεί να διαχωριστεί σε δύο μέρη, που το καθένα είναι διαχωριστεί σε δύο μέρη, που το καθένα είναι αποτέλεσμα μιας ξεχωριστής, σε διαφορετική κλίμακα, αποτέλεσμα μιας ξεχωριστής, σε διαφορετική κλίμακα, χωρικής διαδικασίας.χωρικής διαδικασίας.

Το πρώτο τμήμα είναι αποτέλεσμα μιας διαδικασίας Το πρώτο τμήμα είναι αποτέλεσμα μιας διαδικασίας μεγάλης κλίμακαςμεγάλης κλίμακας, λειτουργεί δηλαδή σε μια μεγάλη , λειτουργεί δηλαδή σε μια μεγάλη περιοχή και δημιουργεί την επιφάνεια τάσης. περιοχή και δημιουργεί την επιφάνεια τάσης.

Το δεύτερο τμήμα συνδυάζει τις τυχαίες μεταβολές και Το δεύτερο τμήμα συνδυάζει τις τυχαίες μεταβολές και τα σφάλματα μέτρησης και είναι αποτέλεσμα μιας τα σφάλματα μέτρησης και είναι αποτέλεσμα μιας χωρικής διαδικασίας που επιδρά σε μια σημαντικά χωρικής διαδικασίας που επιδρά σε μια σημαντικά μικρότερη περιοχήμικρότερη περιοχή από την περιοχή μελέτης. από την περιοχή μελέτης.


Για τη χωρική διαφοροποίηση σε ένα χαρακτηριστικό ισχύει η σχέση:Για τη χωρική διαφοροποίηση σε ένα χαρακτηριστικό ισχύει η σχέση:

Η βασική εξίσωση κάθε χωρικού προτύπου να δίνεται από τη σχέση:Η βασική εξίσωση κάθε χωρικού προτύπου να δίνεται από τη σχέση:

ΖΖii = f(X = f(Xii,Y,Yii) + ε) + εii

όπου:όπου:

ΖΖii = η παρατηρούμενη τιμή της μεταβλητής = η παρατηρούμενη τιμή της μεταβλητής ΖΖ στο σημείο στο σημείο ssii ((XXii,,YYii))

ff((XXii,,YYii)) = η τιμή της επιφάνειας τάσης στο σημείο = η τιμή της επιφάνειας τάσης στο σημείο ssii ((XXii,,YYii))

εεii = το υπόλοιπο = το υπόλοιπο

Η μορφή της συνάρτησης Η μορφή της συνάρτησης ff μπορεί να ποικίλλει από απλή γραμμική μπορεί να ποικίλλει από απλή γραμμική μέχρι και πολύπλοκου τετάρτου ή μεγαλύτερου βαθμού.μέχρι και πολύπλοκου τετάρτου ή μεγαλύτερου βαθμού.

παρατηρούμενη τιμή σε ένα σημείο

=τιμή επιφάνειας τάσης στο σημείο αυτό

+υπόλοιπο στο σημείο αυτό


Αρ. Σημείου

Χ Υ Ζ Z (εκτιμηθείσα)

ε

1 0 0 6 4.94593 +1.05407 2 1 1 8 8.92296 -0.92296 3 2 1 11 11.02943 -0.022944 4 3 1 12 13.13591 -1.13591 5 4 0 14 13.37182 +0.62818 6 2 2 12 12.90000 -0.90000 7 1 3 14 12.66409 +1.33591 8 0 4 12 12.42818 -0.42818 9 3 4 18 18.74760 -0.74760 10 4 4 22 20.85407 +1.14593

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ


Παράδειγμα: Αρχικός ΧάρτηςΠαράδειγμα: Αρχικός Χάρτης

8

10

12

12

14

12

14

6

22

18

12

8

16

20

1 2 3 400

1

2

3

4


Παράδειγμα: Γραμμική Επιφάνειας ΤάσηςΠαράδειγμα: Γραμμική Επιφάνειας Τάσης

8

12

16

20

1 2 3 400

1

2

3

4


Παράδειγμα: ΥπόλοιπαΠαράδειγμα: Υπόλοιπα

612

18

8

10

10

1016

16

8

10

8

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ: ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ: ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΤΑΣΗΣ - ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΤΑΣΗΣ - ΜΕΙΟΝΕΚΤΗΜΑΤΑ

Στην παλινδρόμηση θεωρείται ότι οι τιμές των σφαλμάτων Στην παλινδρόμηση θεωρείται ότι οι τιμές των σφαλμάτων εεii

είναι ανεξάρτητες. είναι ανεξάρτητες. Υποτίθεται ότι στη χωρική στοχαστική διαδικασία που Υποτίθεται ότι στη χωρική στοχαστική διαδικασία που

εξετάζεταιεξετάζεται,, παρατηρούνται μόνον πρώτου και όχι δεύτερου παρατηρούνται μόνον πρώτου και όχι δεύτερου βαθμού διαφοροποιήσεις. βαθμού διαφοροποιήσεις.

Η διασπορά των Η διασπορά των εεii δεν είναι σταθερή σε ολόκληρη την δεν είναι σταθερή σε ολόκληρη την

περιοχή μελέτης. περιοχή μελέτης.

Ο στατιστικός έλεγχος και οι εκτιμήσεις της Ο στατιστικός έλεγχος και οι εκτιμήσεις της παλινδρόμησης δεν μπορούν να γίνουν αποδεκτές.παλινδρόμησης δεν μπορούν να γίνουν αποδεκτές.

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ: ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ: ΜΟΝΤΕΛΑ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗΣΜΟΝΤΕΛΑ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗΣ

Οι τάσεις θεωρούνται ότι είναι το αποτέλεσμα της ύπαρξης ενός Οι τάσεις θεωρούνται ότι είναι το αποτέλεσμα της ύπαρξης ενός υπόβαθρου αποτελούμενου από μια ομάδα περιοχών οι οποίες υπόβαθρου αποτελούμενου από μια ομάδα περιοχών οι οποίες διακρίνονται μεταξύ τους από τις μέσες τιμές του υπό εξέταση διακρίνονται μεταξύ τους από τις μέσες τιμές του υπό εξέταση χαρακτηριστικού.χαρακτηριστικού.

Υποθέτει ότι η παρατηρούμενη δομή μιας συγκεκριμένης χωρικής Υποθέτει ότι η παρατηρούμενη δομή μιας συγκεκριμένης χωρικής διαφοροποίησης καθορίζεται από εξωγενώς καθοριζόμενες χωρικές διαφοροποίησης καθορίζεται από εξωγενώς καθοριζόμενες χωρικές ενότητες.ενότητες.

Στη χρησιμοποιούμενη μέθοδο της ανάλυσης διασποράς, θεωρείται Στη χρησιμοποιούμενη μέθοδο της ανάλυσης διασποράς, θεωρείται ότι εντός κάθε χωρικής ενότητας η διασπορά των τιμών είναι ότι εντός κάθε χωρικής ενότητας η διασπορά των τιμών είναι μικρότερη από τη διασπορά των τιμών μεταξύ των ενοτήτων. μικρότερη από τη διασπορά των τιμών μεταξύ των ενοτήτων.

Επομένως, σημαντικές αλλαγές στις τιμές της παρατηρούμενης Επομένως, σημαντικές αλλαγές στις τιμές της παρατηρούμενης μεταβλητής παρατηρούνται στα όρια μεταξύ των χωρικών μονάδων.μεταβλητής παρατηρούνται στα όρια μεταξύ των χωρικών μονάδων.


Το στατιστικό μοντέλο ταξινόμησης έχει ως εξής:Το στατιστικό μοντέλο ταξινόμησης έχει ως εξής:

Ζ(s) = μ + vΖ(s) = μ + vκκ + ε + ε όπου:όπου:Ζ(Ζ(ss) ) == η τιμή του χαρακτηριστικού στη θέση η τιμή του χαρακτηριστικού στη θέση ss..

μμ = η συνολική, για ολόκληρη την περιοχή μελέτης, μέση = η συνολική, για ολόκληρη την περιοχή μελέτης, μέση τιμή.τιμή.

vvκκ = η απόκλιση από τη = η απόκλιση από τη μμ, της μέσης τιμής κάθε χωρικής , της μέσης τιμής κάθε χωρικής

μονάδας μονάδας κκ, και, και εε = το υπόλοιπο, σφάλμα, που είναι γνωστό και ως = το υπόλοιπο, σφάλμα, που είναι γνωστό και ως «θόρυβος».«θόρυβος».

..

Το μοντέλο θεωρεί ότι για κάθε ομάδα κ, οι τιμές του χαρακτηριστικού έχουν κανονική κατανομή που η μέση τιμή της είναι ίση με μ + vκ.


Ο δείκτης που έχει σημασία είναι η σχετική διασπορά Ο δείκτης που έχει σημασία είναι η σχετική διασπορά

Όπου:Όπου: = η συνολική διασπορά που είναι ίση με = η συνολική διασπορά που είναι ίση με

= = η διασπορά μεταξύ κατηγοριών, που είναι η η διασπορά μεταξύ κατηγοριών, που είναι η

ίδια για όλες τις κατηγορίες.ίδια για όλες τις κατηγορίες.

2σ

2ε σ/σ

2μ

2ε σσ 2

σσ

2μσ

ΓΕΩΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙΓΕΩΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙΟι γενικευμένες μέθοδοι χωρικής παρεμβολής παρουσιάζουν μια σειρά Οι γενικευμένες μέθοδοι χωρικής παρεμβολής παρουσιάζουν μια σειρά από μειονεκτήματα, όπως:από μειονεκτήματα, όπως: Δεν μπορούν να δώσουν άμεσες εκτιμήσεις για την ποιότητα των Δεν μπορούν να δώσουν άμεσες εκτιμήσεις για την ποιότητα των

προβλέψεων.προβλέψεων. Δεν γνωρίζουμε ότι οι επιλεγείσες τιμές για τις διάφορες παραμέτρους Δεν γνωρίζουμε ότι οι επιλεγείσες τιμές για τις διάφορες παραμέτρους

είναι πραγματικά οι βέλτιστες.είναι πραγματικά οι βέλτιστες. Δεν υπάρχει αντικειμενικός τρόπος επιλογής του αριθμού των σημείων Δεν υπάρχει αντικειμενικός τρόπος επιλογής του αριθμού των σημείων

πουπου είναι αναγκαίαείναι αναγκαία για την εφαρμογή των μεθόδων τοπικών εκτιμήσεων.για την εφαρμογή των μεθόδων τοπικών εκτιμήσεων. Δεν είναι γνωστά τα λάθη Δεν είναι γνωστά τα λάθη (αβεβαιότητες)(αβεβαιότητες) που σχετίζονται με τις που σχετίζονται με τις

εκτιμηθείσες τιμές της χωρικής παρεμβολής.εκτιμηθείσες τιμές της χωρικής παρεμβολής. Οι μέθοδοι αυτές αναφέρονται αποκλειστικά μόνο σε χωρικές Οι μέθοδοι αυτές αναφέρονται αποκλειστικά μόνο σε χωρικές

διαφοροποιήσεις πρώτου βαθμού.διαφοροποιήσεις πρώτου βαθμού.

ΓΕΩΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ: ΓΕΩΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ: ΒΑΡΙΟΓΡΑΜΜΑΒΑΡΙΟΓΡΑΜΜΑ

Επειδή πολλές μεταβλητές εμφανίζουν «χωρική Επειδή πολλές μεταβλητές εμφανίζουν «χωρική εξάρτηση», υπάρχει ενδιαφέρον για τον τρόπο με τον εξάρτηση», υπάρχει ενδιαφέρον για τον τρόπο με τον οποίο σε διαφορετικά σημεία στο χώρο οι αποκλίσεις οποίο σε διαφορετικά σημεία στο χώρο οι αποκλίσεις

των παρατηρούμενων τιμών από τη μέση τιμή των παρατηρούμενων τιμών από τη μέση τιμή συμμεταβάλλονταισυμμεταβάλλονται ή ή συσχετίζονταισυσχετίζονται. .

Για παράδειγμα, η απόκλιση από το μέσο ύψος βροχής σε μια Για παράδειγμα, η απόκλιση από το μέσο ύψος βροχής σε μια θέση είναι πιθανότερο να είναι παρόμοια με αυτήν που θέση είναι πιθανότερο να είναι παρόμοια με αυτήν που

παρατηρείται σε μια κοντινή θέση απ’ ότι σε μια άλλη 10 χλμ παρατηρείται σε μια κοντινή θέση απ’ ότι σε μια άλλη 10 χλμ μακριά.μακριά.


Για μια χωρική στοχαστική διαδικασία Για μια χωρική στοχαστική διαδικασία {Ζ(s), s{Ζ(s), sA}A},,

όπου όπου (Ζ(s)) =μ(s)(Ζ(s)) =μ(s) και και var(Z(s)) = σvar(Z(s)) = σ22(s)(s), ,

η συνδιασπορά αυτής της διαδικασίας σε δύο σημεία η συνδιασπορά αυτής της διαδικασίας σε δύο σημεία ssii

και και ssjj ορίζεται ως: ορίζεται ως:

ενώ η αντίστοιχη συσχέτιση ορίζεται ως:ενώ η αντίστοιχη συσχέτιση ορίζεται ως:

βέβαια η βέβαια η = = σσ22(s)(s)

)μ(s)Z(s)μ(s)Z(sE)s,(s C jjiiji

ji

jiji sσ s σ

s,s Cs,sρ

i jC s ,s


Η παραπάνω διαδικασία θεωρείται στάσιμη αν Η παραπάνω διαδικασία θεωρείται στάσιμη αν

μ(s) = μ μ(s) = μ και και σσ22 (s) = σ (s) = σ22 και επιπλέον: και επιπλέον:

CC((ssii, , ssjj) = ) = CC((ssii- - ssjj) = ) = CC((hh)) όπου βέβαια: όπου βέβαια: CC(h=0) = σ(h=0) = σ22

Η Η CC(h)(h) αναφέρεται ως συνάρτηση αναφέρεται ως συνάρτηση συνδιασποράς ή συνδιασποράς ή συνβαριόγραμμασυνβαριόγραμμα της διαδικασίας. της διαδικασίας. ΗΗ ρ(hρ(h)) η αντίστοιχη συσχέτιση αναφέρεται ως η αντίστοιχη συσχέτιση αναφέρεται ως συσχετόγραμμασυσχετόγραμμα..

Η παραπάνω εξίσωση δείχνει ότι η Η παραπάνω εξίσωση δείχνει ότι η CC((ssii, , ssjj)) εξαρτάται μόνο από εξαρτάται μόνο από τη διανυσματική διαφορά τη διανυσματική διαφορά hh μεταξύ μεταξύ ssii και και ssjj και όχι από την και όχι από την απόλυτη θέση τους, δηλαδή η διαδικασία είναι ισοτροπική.απόλυτη θέση τους, δηλαδή η διαδικασία είναι ισοτροπική.

Στην περίπτωση αυτή: Στην περίπτωση αυτή:

C(sC(sii, s, sjj) = C(h) ) = C(h) και ρκαι ρ(s(sii, s, sjj) = ) = ρρ(h)(h)


Αν υποτεθεί ότι η μέση τιμή και η διασπορά των διαφορών μεταξύ Αν υποτεθεί ότι η μέση τιμή και η διασπορά των διαφορών μεταξύ των τιμών σε δύο σημεία, που η θέση τους απέχει μια των τιμών σε δύο σημεία, που η θέση τους απέχει μια συγκεκριμένη απόσταση και διεύθυνση, είναι σταθερές (εσωτερική συγκεκριμένη απόσταση και διεύθυνση, είναι σταθερές (εσωτερική στασιμότητα),τότε: στασιμότητα),τότε:

(Ζ((Ζ(ss++hh) – ) – ZZ((ss)) = 0 )) = 0 VAR(VAR(ΖΖ(s+h) – Z(s)) = 2(s+h) – Z(s)) = 2γγhh Η Η γ(h)γ(h) αναφέρεται ως αναφέρεται ως βαριόγραμμα.βαριόγραμμα.

Σε μια στάσιμη χωρική διαδικασία το συνβαριόγραμμα, το Σε μια στάσιμη χωρική διαδικασία το συνβαριόγραμμα, το συσχετόγραμμα και το βαριόγραμμα σχετίζονται άμεσα ως εξής:συσχετόγραμμα και το βαριόγραμμα σχετίζονται άμεσα ως εξής:

2σ

h Ch p

γ(h) = σ2- C(h)

ΓΕΩΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΓΕΩΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ:ΜΕΘΟΔΟΙ:

ΒΑΡΙΟΓΡΑΜΜΑΒΑΡΙΟΓΡΑΜΜΑΣυνβαριόγραμμα

c(h

) --

>

h -->

σ =c(0)2

Συσχετόγραμμα

p(h

) --

>

h -->

1

Βαριόγραμμα

γ(h)

-->

h -->

σ2


Η θεωρία των περιφερειοποιημένων μεταβλητών Η θεωρία των περιφερειοποιημένων μεταβλητών υποθέτει ότι η χωρική διαφοροποίηση μιας υποθέτει ότι η χωρική διαφοροποίηση μιας οποιασδήποτε μεταβλητής μπορεί να θεωρηθεί ως το οποιασδήποτε μεταβλητής μπορεί να θεωρηθεί ως το άθροισμα των εξής τριών βασικών συνισταμένων:άθροισμα των εξής τριών βασικών συνισταμένων: Της Της δομικής συνισταμένηςδομικής συνισταμένης, η οποία έχει μια σταθερή , η οποία έχει μια σταθερή

μέση τιμή ή «τάση».μέση τιμή ή «τάση». Μιας τυχαίας αλλά χωρικά συσχετισμένης Μιας τυχαίας αλλά χωρικά συσχετισμένης

συνισταμένης, γνωστής και ως συνισταμένης, γνωστής και ως περιφερειοποιημένη περιφερειοποιημένη μεταβλητήμεταβλητή, και, και

Ενός μη χωρικά συσχετισμένου τυχαίου θορύβου ή Ενός μη χωρικά συσχετισμένου τυχαίου θορύβου ή ενός ενός υπόλοιπου τυχαίου σφάλματοςυπόλοιπου τυχαίου σφάλματος..


Δομική ΣυνισταμένηΠεριφερειοποιημένη ΜεταβλητήΤυχαία Υπόλοιπα

Χωρική Διαφοροποίηση ΜεταβλητήςΧωρική Διαφοροποίηση Μεταβλητής


Η τιμή της μεταβλητής Η τιμή της μεταβλητής ΖΖ σε ένα σημείο σε ένα σημείο ssii δίνεται από τη δίνεται από τη

σχέση:σχέση:

Z(sZ(sii) = m(s) = m(sii) + U(s) + U(sii) + ) + εε

όπου:όπου:mm((ssii)) = μια αιτιοκρατική συνάρτηση που περιγράφει τη = μια αιτιοκρατική συνάρτηση που περιγράφει τη

δομική συνισταμένη της δομική συνισταμένη της ΖΖ στο σημείο στο σημείο ssii..

U(U(ssii)) = ένας στοχαστικός όρος που εκφράζει τα υπόλοιπα = ένας στοχαστικός όρος που εκφράζει τα υπόλοιπα

από την από την mm((ssii)) που μεταβάλλονται τοπικά αλλά που μεταβάλλονται τοπικά αλλά

είναι χωρικά συσχετισμένα, δηλαδή την είναι χωρικά συσχετισμένα, δηλαδή την περιφερειοποιημένη μεταβλητή, καιπεριφερειοποιημένη μεταβλητή, και ε ε = τα χωρικά ανεξάρτητα σφάλματα που ακολουθούν = τα χωρικά ανεξάρτητα σφάλματα που ακολουθούν μια κανονική κατανομή με μέση τιμή μηδέν και μια κανονική κατανομή με μέση τιμή μηδέν και διασπορά διασπορά σσ22. .


Αν υποτεθεί ότι η προηγούμενη εξίσωση εκφράζει μια Αν υποτεθεί ότι η προηγούμενη εξίσωση εκφράζει μια εσωτερική στάσιμη χωρική διαδικασία. εσωτερική στάσιμη χωρική διαδικασία.

Αν οι δομικές επιπτώσεις Αν οι δομικές επιπτώσεις (π.χ. η μέση τιμή στην περιοχή (π.χ. η μέση τιμή στην περιοχή μελέτης) μελέτης) μπορούν να εξηγηθούν (η εναπομείνασα μπορούν να εξηγηθούν (η εναπομείνασα διασπορά είναι ομοιογενής ως προς τη διαφοροποίησή διασπορά είναι ομοιογενής ως προς τη διαφοροποίησή της).της).

Οι διαφορές μεταξύ σημείων του δείγματος είναι απλώς Οι διαφορές μεταξύ σημείων του δείγματος είναι απλώς μια συνάρτηση της απόστασης μεταξύ τους.μια συνάρτηση της απόστασης μεταξύ τους.

Η εξίσωση μπορεί να πάρει τη μορφή:Η εξίσωση μπορεί να πάρει τη μορφή:

ZZ((ssii) = ) = mm((ssii) + γ() + γ(hh) + ε) + ε για την κατανόηση της οποίας αρκεί η εκτίμηση της για την κατανόηση της οποίας αρκεί η εκτίμηση της γ(γ(hh)). .


Το βαριόγραμμα μπορεί να εκτιμηθεί από τα στοιχεία ενός Το βαριόγραμμα μπορεί να εκτιμηθεί από τα στοιχεία ενός δείγματος ως εξής:δείγματος ως εξής:

όπου:όπου: το άθροισμα για όλα τα ζευγάρια των το άθροισμα για όλα τα ζευγάρια των παρατηρούμενων σημείων που απέχουν παρατηρούμενων σημείων που απέχουν μεταξύ τους κατά το διάνυσμα μεταξύ τους κατά το διάνυσμα hh..

ο αριθμός αυτών των ζευγαριών.ο αριθμός αυτών των ζευγαριών.

2i

n

hssi )hZ(s)Z(s

(h) n2

1 (h) γ

ji

n

hss ji

n(h)n(h) ==


Καθώς το Καθώς το hh μεταβάλλεται μεταβάλλεται,, μια σειρά από τιμές μια σειρά από τιμές εκτιμώνται, δημιουργώντας το εκτιμώνται, δημιουργώντας το δειγματικόδειγματικό ήή πειραματικόπειραματικό βαριόγραμμαβαριόγραμμα..

γ

γ(h

) --

>

h -->

Nugget

ΚατώφλιΖώνη Επιρροής


Εξετάζοντας το σχήμα παρατηρούνται τα εξής:Εξετάζοντας το σχήμα παρατηρούνται τα εξής:

Καθώς οι τιμές του Καθώς οι τιμές του hh αυξάνουν, η τιμή της αυξάνουν, η τιμή της γ(hγ(h)) αυξάνεται ασυμπτωτικά προς ένα ανώτερο όριο που αυξάνεται ασυμπτωτικά προς ένα ανώτερο όριο που ονομάζεται ονομάζεται κατώφλικατώφλι (sill)(sill). .

Η καμπύλη της Η καμπύλη της γ(h)γ(h) αυξάνεται μέχρι να φτάσει στο αυξάνεται μέχρι να φτάσει στο κατώφλι, οπότε λαμβάνει τη μέγιστη τιμή της σε μια κατώφλι, οπότε λαμβάνει τη μέγιστη τιμή της σε μια απόσταση που ορίζει τη απόσταση που ορίζει τη ζώνη επιρροήςζώνη επιρροής (range)(range), η , η οποία με τη σειρά της καθορίζει το χώρο εντός του οποία με τη σειρά της καθορίζει το χώρο εντός του οποίου οι μεταξύ των σημείων διαφοροποιήσεις είναι οποίου οι μεταξύ των σημείων διαφοροποιήσεις είναι χωρικά εξαρτημένες. χωρικά εξαρτημένες.


)h( γ

Εξετάζοντας το σχήμα παρατηρούνται τα εξής:Εξετάζοντας το σχήμα παρατηρούνται τα εξής:

Η εκτιμηθείσα καμπύλη Η εκτιμηθείσα καμπύλη δεν περνά από την αρχή δεν περνά από την αρχή των αξόνων αλλά τέμνει τον κάθετο άξονα σε ένα των αξόνων αλλά τέμνει τον κάθετο άξονα σε ένα σημείο με θετική τιμή. Επομένως, θετική τιμή σημείο με θετική τιμή. Επομένως, θετική τιμή hh00 είναι μια εκτίμηση του είναι μια εκτίμηση του εε, δηλαδή του μη χωρικού , δηλαδή του μη χωρικού θορύβου ή υπόλοιπου, που είναι γνωστό ως θορύβου ή υπόλοιπου, που είναι γνωστό ως nuggetnugget. .

Στην περίπτωση που παρατηρείται ένα βαριόγραμμα Στην περίπτωση που παρατηρείται ένα βαριόγραμμα όπου οι τιμές των διασπορών είναι ευρέως όπου οι τιμές των διασπορών είναι ευρέως διασκορπισμένες, αυτό δηλώνει καθαρά ότι η εκτίμηση διασκορπισμένες, αυτό δηλώνει καθαρά ότι η εκτίμηση της της έγινε με τη χρήση ενός μικρού δείγματος. έγινε με τη χρήση ενός μικρού δείγματος.

)h( γ

)h( γ


Η μορφή του Η μορφή του βαριογράμματοςβαριογράμματος είναι ιδιαίτερα κατατοπιστική: είναι ιδιαίτερα κατατοπιστική: Για το είδος της χωρικής διαφοροποίησης που υπάρχει στην περιοχή Για το είδος της χωρικής διαφοροποίησης που υπάρχει στην περιοχή

μελέτηςμελέτης Για να βοηθήσει σημαντικά στη διαδικασία χωρικής παρεμβολής. Για να βοηθήσει σημαντικά στη διαδικασία χωρικής παρεμβολής.

Τέσσερα είναι τα βασικά μοντέλα (μορφές) του Τέσσερα είναι τα βασικά μοντέλα (μορφές) του βαριογράμματοςβαριογράμματος::

ΒΑΡΙΟΓΡΑΜΜΑ:ΒΑΡΙΟΓΡΑΜΜΑ: ΣΦΑΙΡΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟΣΦΑΙΡΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ

όπουόπου r =r = η ζώνη επιρροής η ζώνη επιρροής (range)(range) σσ22 = = το κατώφλι-διασπορά το κατώφλι-διασπορά

hh = = η απόσταση μεταξύ των σημείων η απόσταση μεταξύ των σημείων α =α = το τμήμα της διασποράς που αφορά το το τμήμα της διασποράς που αφορά το nuggetnugget

3

23

2

3h hα σ α για 0 h r

2r 2r

γ(h) 0 για h 0

σ για h r

ΒΑΡΙΟΓΡΑΜΜΑΒΑΡΙΟΓΡΑΜΜΑ

όπου: όπου: β =β = η κλίση της γραμμής του βαριογράμματος η κλίση της γραμμής του βαριογράμματος

3h / r2 1 e 0α σ α για h

γ(h)

0 για h 0

2 23h / r2 1 e 0α σ α για h

γ(h)

0 για h 0

Εκθετικό ΜοντέλοΕκθετικό Μοντέλο

Κανονικό ή Μοντέλο ΓκάουςΚανονικό ή Μοντέλο Γκάους

Γραμμικό ΜοντέλοΓραμμικό Μοντέλογ(h) = σγ(h) = σ22+βh+βh

ΧΩΡΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ KRIGING:ΧΩΡΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ KRIGING: ΣΥΝΗΘΗΣ KRIGINGΣΥΝΗΘΗΣ KRIGING

Η τιμή μιας συνεχούς χωρικής μεταβλητής δίνεται από το Η τιμή μιας συνεχούς χωρικής μεταβλητής δίνεται από το άθροισμα δύο συνισταμένων, μιας πρώτου και μιας δεύτερου άθροισμα δύο συνισταμένων, μιας πρώτου και μιας δεύτερου βαθμού. βαθμού.

Η συνισταμένη πρώτου βαθμού είναι ο γενικευμένος μέσος Η συνισταμένη πρώτου βαθμού είναι ο γενικευμένος μέσος όρος όρος μ(s)μ(s), ο οποίος είναι σταθερός και δεν χρειάζεται να , ο οποίος είναι σταθερός και δεν χρειάζεται να εκτιμηθεί από τις παρατηρηθείσες τιμές εκτιμηθεί από τις παρατηρηθείσες τιμές

Αν η τιμή αυτή αφαιρεθεί από τις παρατηρούμενες τιμές σε Αν η τιμή αυτή αφαιρεθεί από τις παρατηρούμενες τιμές σε κάθε σημείο του δείγματος, τα υπόλοιπα δίνουν τις τιμές κάθε σημείο του δείγματος, τα υπόλοιπα δίνουν τις τιμές U(s)U(s) με γνωστή διακύμανση με γνωστή διακύμανση σσ22 και συνδιασπορά και συνδιασπορά C( )C( ), που , που εκφράζονται από το βαριόγραμμα.εκφράζονται από το βαριόγραμμα.


Το πρόβλημα που επιλύεται με τη μέθοδο της Το πρόβλημα που επιλύεται με τη μέθοδο της συνήθους Kriging είναι η εκτίμηση: συνήθους Kriging είναι η εκτίμηση: η τιμή της τυχαίας μεταβλητής η τιμή της τυχαίας μεταβλητής V(s)V(s) στη θέση στη θέση ss ( (με βάση τις παρατηρηθείσες τιμές με βάση τις παρατηρηθείσες τιμές V(sV(sii)) σε σε

nn θέσεις θέσεις ssii του δείγματος). του δείγματος).

Ζ(s) =Ζ(s) = που εκτιμάται αυτόματα (αρκεί στην τιμή που εκτιμάται αυτόματα (αρκεί στην τιμή V(s)V(s) για το σημείο για το σημείο ss να προστεθεί η γνωστή να προστεθεί η γνωστή μέση τιμή ή τάση μέση τιμή ή τάση μ(s)μ(s)). ).

sV


Θεωρείται ότι οι εκτιμήσεις αποτελούν ένα γραμμικό, με βάρη Θεωρείται ότι οι εκτιμήσεις αποτελούν ένα γραμμικό, με βάρη συνδυασμό των παρατηρηθεισών τιμών των περιφεριοποιημένων συνδυασμό των παρατηρηθεισών τιμών των περιφεριοποιημένων μεταβλητών, που παίρνει τη μορφή:μεταβλητών, που παίρνει τη μορφή:

όπουόπου Η εκτιμηθείσα τιμή στη θέση Η εκτιμηθείσα τιμή στη θέση ssoo..

V(sV(sii) =) = Η παρατηρηθείσα τιμή στο σημείο Η παρατηρηθείσα τιμή στο σημείο ssii..

λλii = = Τα βάρη που αντιστοιχούν σε κάθε σημείο του Τα βάρη που αντιστοιχούν σε κάθε σημείο του

δείγματος δείγματος ssii, δηλαδή εξαρτώνται από τη θέση τους σε , δηλαδή εξαρτώνται από τη θέση τους σε

σχέση με την υπό εκτίμηση θέση σχέση με την υπό εκτίμηση θέση ssoo

Τα βάρη Τα βάρη λλii επιλέγονται έτσι ώστε η εκτίμηση να τηρεί τον όρο επιλέγονται έτσι ώστε η εκτίμηση να τηρεί τον όρο

της μη προκατάληψης ότι η εκτιμηθείσα διακύμανση είναι μικρότερη της μη προκατάληψης ότι η εκτιμηθείσα διακύμανση είναι μικρότερη από κάθε άλλο γραμμικό συνδυασμό των παρατηρούμενων τιμών.από κάθε άλλο γραμμικό συνδυασμό των παρατηρούμενων τιμών.

n

1i

iio )V(sλ)(sV

)(sV o

)(sV o


Λόγω της απαίτησης για μη προκατάληψη και επειδή η αναμενόμενη Λόγω της απαίτησης για μη προκατάληψη και επειδή η αναμενόμενη τιμή είναι γραμμικός τελεστής, ισχύουν:τιμή είναι γραμμικός τελεστής, ισχύουν:

Επειδή η μέση τιμή είναι σταθερή, η απαίτηση για μη προκατάληψη Επειδή η μέση τιμή είναι σταθερή, η απαίτηση για μη προκατάληψη σημαίνει ότι:σημαίνει ότι:

Η απαίτηση για βέλτιστη πρόβλεψη οδηγεί στην ελαχιστοποίηση της Η απαίτηση για βέλτιστη πρόβλεψη οδηγεί στην ελαχιστοποίηση της ποσότητας ποσότητας QQ ως εξής: ως εξής:

n

1ii 1.0λ

0μλμ 0)(sV)V(sE00 s

n

1iis00

2

i

n

1ii0

2

00 )V(sλ)V(sE)(sV)V(sEQ


Μετά από μετασχηματισμούς η εξίσωση γίνεται:Μετά από μετασχηματισμούς η εξίσωση γίνεται:

Από τους τρεις όρους:Από τους τρεις όρους: Ο πρώτος είναι η διασπορά της τυχαίας συνάρτησης, δηλαδή Ο πρώτος είναι η διασπορά της τυχαίας συνάρτησης, δηλαδή CC00.. Ο μεσαίος όρος είναι η συνδιασπορά των μεταβλητών στις θέσεις Ο μεσαίος όρος είναι η συνδιασπορά των μεταβλητών στις θέσεις ssii, , ssjj.. Ο τρίτος όρος είναι η συνδιασπορά της μεταβλητής που είναι Ο τρίτος όρος είναι η συνδιασπορά της μεταβλητής που είναι επιθυμητό να προβλεφθεί και της μεταβλητής στη θέση επιθυμητό να προβλεφθεί και της μεταβλητής στη θέση ssii..

Επομένως: Επομένως:

n n

2

0 i j i ji 1 j 1

Q E V(s ) μ λ λ E V(s ) μ V(s ) μ

n

i i 0i 1

2 λ E V(s ) μ V(s ) μ

i

n

1ii

n

1iij

n

1jji0 Cλ2CλλCQ


Με δεδομένο ότι και με τη χρήση πολλαπλασιαστών Με δεδομένο ότι και με τη χρήση πολλαπλασιαστών

LagrangeLagrange, δημιουργείται ένα σύστημα εξισώσεων ως εξής:, δημιουργείται ένα σύστημα εξισώσεων ως εξής:

Αν υλοποιηθεί η μερική παράγωγος για κάθε Αν υλοποιηθεί η μερική παράγωγος για κάθε κκ, τότε:, τότε:

0.1λn

1ii

n

ii 1κ

n

ii 1

Q 2φ 1- λ 0 για κ 1,2,3,...,nλ

λ 1.0

n

i κ i κi 1

n

ii 1

2 λ C 2C 2φ 0 για κ 1,2,3,...,n

λ 1.0


Το σύστημα των Το σύστημα των n+1n+1 εξισώσεων σε αναλυτική μορφή είναι: εξισώσεων σε αναλυτική μορφή είναι:

που μπορεί βέβαια να γραφεί σε μορφή σύνθετων πινάκων ως εξής:που μπορεί βέβαια να γραφεί σε μορφή σύνθετων πινάκων ως εξής:

όπου:όπου: 11 = = διάνυσμα μήκους διάνυσμα μήκους nn που περιλαμβάνει μονάδες, που περιλαμβάνει μονάδες, CC = = πίνακας με συνδιασπορές ανάμεσα στα σημεία με πίνακας με συνδιασπορές ανάμεσα στα σημεία με

γνωστές τιμές, και γνωστές τιμές, και λ λ == το διάνυσμα των αγνώστων γραμμικών συντελεστών. το διάνυσμα των αγνώστων γραμμικών συντελεστών.

1 0 2 1,2 n 1,n 1

1 1,2 2 0 n 2,n 2

1 1,n 2 2,n n 0 n

1 2 n

λ C λ C ... λ C φ C



λ λ ... λ 1.0

1

C

φ

λ

0 1

1 C


Η λύση του συστήματος είναι:Η λύση του συστήματος είναι:

Για απλοποίηση η εξίσωση μπορεί να γραφεί και ως εξής:Για απλοποίηση η εξίσωση μπορεί να γραφεί και ως εξής:

Η εξίσωση αυτή δίνει και τη λύση για τη συνήθη Kriging.Η εξίσωση αυτή δίνει και τη λύση για τη συνήθη Kriging.

1

C

0 1

1 C

φ

λ1-

βAφ

λ 1-

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ KRIGINGΣΦΑΛΜΑΤΟΣ KRIGING

Η μεθόδος Kriging μαζί με την πρόβλεψη δίνει και την Η μεθόδος Kriging μαζί με την πρόβλεψη δίνει και την εκτίμηση του σφάλματος. Το σφάλμα εκτίμηση του σφάλματος. Το σφάλμα σσκκ, γνωστό και ως , γνωστό και ως

σφάλμα σφάλμα KrigingKriging, είναι: , είναι:

Μπορεί να εκτιμηθεί και το διάστημα τιμών με συγκεκριμένη Μπορεί να εκτιμηθεί και το διάστημα τιμών με συγκεκριμένη πιθανότητα. Για παράδειγμα:πιθανότητα. Για παράδειγμα:

φCλCσ κ

n

1κκ0κ

n n n n

0 i i 0 κ κ i i 0 κ κκ 1 ι 1 κ 1 ι 1

Pr V(s ) λ z (s ) 1,96 C λ C φ, λ z (s ) 1,96 C λ C φ 0,95

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΣΦΑΛΜΑΤΟΣ KRIGINGΣΦΑΛΜΑΤΟΣ KRIGING

Ένας άλλος προσδιορισμός του σφάλματος είναι η μέθοδος Ένας άλλος προσδιορισμός του σφάλματος είναι η μέθοδος Cross ValidationCross Validation. Σε αυτήν μια τιμή αφαιρείται από το . Σε αυτήν μια τιμή αφαιρείται από το

δείγμα και η αναμενόμενη τιμή αφαιρείται από την δείγμα και η αναμενόμενη τιμή αφαιρείται από την πραγματική. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται για όλες πραγματική. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται για όλες

τις τιμές και έτσι λαμβάνονται τις τιμές και έτσι λαμβάνονται nn υπόλοιπα τα οποία υπόλοιπα τα οποία θεωρητικά έχουν κανονική κατανομή. θεωρητικά έχουν κανονική κατανομή.

ΧΩΡΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ KRIGING:ΧΩΡΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ KRIGING: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Υποτίθεται ότι η διαδικασία που δίνει τις τιμές στα σημεία δεν Υποτίθεται ότι η διαδικασία που δίνει τις τιμές στα σημεία δεν παρουσιάζει καμιά τάση στην περιοχή μελέτης και ότι απλώς παρουσιάζει καμιά τάση στην περιοχή μελέτης και ότι απλώς έχει μια μέση τιμή ίση με 145,37. Επομένως, είναι δυνατόν να έχει μια μέση τιμή ίση με 145,37. Επομένως, είναι δυνατόν να αφαιρεθεί η μέση αυτή τιμή από τις αρχικές δειγματικές τιμές αφαιρεθεί η μέση αυτή τιμή από τις αρχικές δειγματικές τιμές Ζ(sΖ(sii)), ώστε να υπολογιστούν τα υπόλοιπα , ώστε να υπολογιστούν τα υπόλοιπα V(sV(sii)) ως εξής: ως εξής:

ΧΩΡΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ KRIGING: ΧΩΡΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ KRIGING: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Θέσεις Ζ(si) Θέσεις V(si) 1 107 1 -38,37 2 168 2 22,63 3 133 3 -12,37 4 145 4 -0,37 5 161 5 15,63


Υποτίθεται, ότι η δομή των συνδιασπορών είναι γνωστή, Υποτίθεται, ότι η δομή των συνδιασπορών είναι γνωστή, ισοτροπικήισοτροπική ,και εκφράζεται από ένα εκθετικό βαριόγραμμα, ,και εκφράζεται από ένα εκθετικό βαριόγραμμα, το οποίο παρουσιάζει το οποίο παρουσιάζει κατώφλικατώφλι ίσο με 20 μονάδες και ίσο με 20 μονάδες και περιοχή επιρροήςπεριοχή επιρροής ίση με 100 μονάδες, ενώ δεν υπάρχουν ίση με 100 μονάδες, ενώ δεν υπάρχουν επιπτώσεις επιπτώσεις nuggetnugget..

Επομένως, το συνβαριόγραμμα έχει τη μορφή: Επομένως, το συνβαριόγραμμα έχει τη μορφή:

CC((hh) = 20) = 20ee-3-3bb/100 /100

Αν μετρηθούν οι αποστάσεις μεταξύ όλων των σημείων του Αν μετρηθούν οι αποστάσεις μεταξύ όλων των σημείων του δείγματος και μεταξύ του σημείου δείγματος και μεταξύ του σημείου ss00 και των υπόλοιπων σημείων και των υπόλοιπων σημείων

και χρησιμοποιηθούν στην εξίσωση, μπορούν να υπολογιστούν και χρησιμοποιηθούν στην εξίσωση, μπορούν να υπολογιστούν οι όροι οι όροι ΑΑ και και ββ που οδηγούν στον υπολογισμό των βαρών που οδηγούν στον υπολογισμό των βαρών λ(λ(ssii)). .


Θέσεις 1 2 3 4 5 6 1 20,00 4,571 3,970 2,828 3,228 1.000 2 4,571 20,00 5,790 3,739 1,086 1.000 3 3,970 5,970 20,00 12,45 2,300 1.000 4 2,828 3,739 12,45 20,00 2,479 1.000 5 3,228 1,086 2,300 2,479 20,00 1.000 6 1.000 1,000 1,000 1,000 1,000 0,000

Υπολογισμός ΑΥπολογισμός Α


Θέσεις s 1 6,895 2 5,032 3 10,15 4 8,83 5 4,079 6 1,000

Υπολογισμός βΥπολογισμός β

Θέσεις λ(s) 1 0,225 2 0,066 3 0,351 4 0,128 5 0,230

6 0,123 φ

Υπολογισμός λ(sΥπολογισμός λ(sii))

Η εκτίμηση της έχει ως εξής:Η εκτίμηση της έχει ως εξής:

0,225 x (-38,37) + 0,066 x 22,63 + 0,351 x (-12,37) + 0,225 x (-38,37) + 0,066 x 22,63 + 0,351 x (-12,37) + 0,128 x (-0,37) + 0,230 x 15,63 0,128 x (-0,37) + 0,230 x 15,63 -7,937 -7,937

με αποτέλεσμα η εκτιμηθείσα τιμή στο σημείο με αποτέλεσμα η εκτιμηθείσα τιμή στο σημείο ss00, αφού , αφού

προστεθεί η γνωστή μέση τιμή, να είναι:προστεθεί η γνωστή μέση τιμή, να είναι:

145,370-7,937 = 137,433145,370-7,937 = 137,433


(s)V

(s)V

(s)Z

Επιπλέον, η διασπορά Kriging υπολογίζεται ως εξής:Επιπλέον, η διασπορά Kriging υπολογίζεται ως εξής: 20 - (0,225x6,895 + 0,066x5,032 + 0,351x10,15 + 20 - (0,225x6,895 + 0,066x5,032 + 0,351x10,15 + 0,128x8,83 + 0,230x4,079) - 0,123 = 0,128x8,83 + 0,230x4,079) - 0,123 = = 20 - 7,504 - 0,13 = 12,373= 20 - 7,504 - 0,13 = 12,373

οπότε το σφάλμα Kriging είναι ίσο με οπότε το σφάλμα Kriging είναι ίσο με = 3,517= 3,517, που , που οδηγεί σε ένα διάστημα για επίπεδο εμπιστοσύνης 95% ίσο οδηγεί σε ένα διάστημα για επίπεδο εμπιστοσύνης 95% ίσο με με

145,37 145,37 1,96x3,517=145,37±6,88 1,96x3,517=145,37±6,88


2εσ

12,373

ΑΛΛΕΣ ΜΟΡΦΕΣ KRIGINGΑΛΛΕΣ ΜΟΡΦΕΣ KRIGINGUniversal Kriging:Universal Kriging: Στην περίπτωση αυτή η εκτίμηση της παρεμβολής Στην περίπτωση αυτή η εκτίμηση της παρεμβολής γίνεται κάτω από την παραδοχή ότι η μέση τιμή δεν είναι σταθερή, όπως γίνεται κάτω από την παραδοχή ότι η μέση τιμή δεν είναι σταθερή, όπως στη συνήθη Kriging, αλλά μεταβάλλεται ως συνάρτηση της θέσης.στη συνήθη Kriging, αλλά μεταβάλλεται ως συνάρτηση της θέσης. Block Kriging:Block Kriging: Η διαφορά της προσέγγισης αυτής από τις προηγούμενες Η διαφορά της προσέγγισης αυτής από τις προηγούμενες είναι ότι η εκτίμηση της παρεμβολής δεν αναφέρεται σε ένα σημείο είναι ότι η εκτίμηση της παρεμβολής δεν αναφέρεται σε ένα σημείο αλλά στο μέσο όρο των τιμών που μετρώνται σε μια συγκεκριμένη αλλά στο μέσο όρο των τιμών που μετρώνται σε μια συγκεκριμένη περιοχή.περιοχή.

Μη Γραμμική Kriging:Μη Γραμμική Kriging: Στην περίπτωση αυτή η διαδικασία θεωρείται Στην περίπτωση αυτή η διαδικασία θεωρείται ότι είναι λογαριθμοκανονική, δηλαδή ο λογάριθμός της έχει κανονική ότι είναι λογαριθμοκανονική, δηλαδή ο λογάριθμός της έχει κανονική κατανομή.κατανομή.

Co Kriging:Co Kriging: Η μέθοδος αυτή είναι μια πολυδιάστατη εκδοχή της Η μέθοδος αυτή είναι μια πολυδιάστατη εκδοχή της συνήθους Kriging και αφορά την περίπτωση όπου στο ίδιο σημείο της συνήθους Kriging και αφορά την περίπτωση όπου στο ίδιο σημείο της περιοχής μελέτης μετρώνται περισσότερες από μια μεταβλητές.περιοχής μελέτης μετρώνται περισσότερες από μια μεταβλητές. Multvarate Kriging:Multvarate Kriging: Η μέθοδος του Kriging πολυμεταβλητών Η μέθοδος του Kriging πολυμεταβλητών αναφέρεται, όπως είναι ευνόητο, στην εφαρμογή της γεωστατιστικής σε αναφέρεται, όπως είναι ευνόητο, στην εφαρμογή της γεωστατιστικής σε μεθόδους ανάλυσης πολυμεταβλητών.μεθόδους ανάλυσης πολυμεταβλητών.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ

Documents

Transcript of ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ