第二十三讲 7.3 利用频率采样法设计 FIR 滤波器. 回顾窗函数设计法:...
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1
0
( ) ( ) ( )N
j j n jd
n
H e h n e H e
1
( ) ( )2
j j nd dh n H e e d
( ) ( ) ( )dh n w n h n
回顾窗函数设计法:
得到的启发:能否在频域逼近?
用什么方法逼近?
通过加窗实现时域逼近
7.3 利用频率采样法设计 FIR 滤波器 设计思路
对理想频率响应等间隔抽样 作为实际 FIR 数字滤波器的频率特性的抽样值
2( ) ( ) ( )jd d
kN
H k H k H e
0,1,..., 1k N
( )h n ( )H z ( )jH e
( 频域逼近 )
用内插恢复公式建立联系用 IDF
T 实现
抽样
1
10
1 ( )( )
1
N N
kk N
z H kH z
N W z
1
0
2Nj
k
H e H k kN
1
2
sin1 2( )sin
2
Nj
N
eN
1 1
2
0
sin21
sin2
N Njj
k
kN
NH e e H k
kNN
复习内插公式:内插函数
重构公式
1 、用频率采样法设计 线性相位滤波器的条件 为什么要讨论这个问题 ?
在时域逼近采用截断(加窗)、延时(附加线性相位 )保证了:
je
( ) ( 1 )h n h N n
如果要求由频率采样信号 H(K) 恢复的系统频响满足线性相位, H(K) 应满足什么条件 ?
2. 幅度函数:
g ( ) 0, , 2 N H 为奇数 对 呈偶对称
( ) ( 1 )h n h N n
1
0
1( ) ( )cos
2
N
gn
NH h n n
1
2
N
1. 冲激响应 h(n) 偶对称
( ) 3. 相位函数:
复习:第一类线性相位约束条件
( )gN H 为偶数 对 呈奇对称
我们要讨论的问题是如果对 w 抽样,仍保证线性
相位时,对 H(k)有什么约束?
以第一类线性相位即 h(n) 偶对称为例:
1
2
Njj
d gH e H e
g
( ) (2 ) N
H ( ) (2 ) N
g g
g
H H
H
为奇数
为偶数
2
( )( )j k j kN
gH k H e H k e
( ) ( )
( ) ( )
g g
g g
H k H N k
H k H N k
幅度函数:
1 2 11
2k
Nk k
N N
相位函数:
2k k
N
若在 0~2π进行频域 N点采样则有 :
N 为奇数N 为偶数
线性相位条件
对第一类线性相位进行频率抽样的分析:
h(n) 为实数序列时, H(k) 圆周共轭对称
*g gH k H N k
k N k
H k H N k 即:
2
N对称中心:
( ) ( )
( ) ( )
g g
g g
H k H N k
H k H N k
幅度函数: 的进一步说明
注意与 h(n)对称中心的区
别
当 N为奇数时:
2 1 10,...,
2 2
2 1 1,..., 1
2 2
N Nk k
Nk
N NN k k N
N
2 10,..., 1
2 2
02
2 11 ,..., 1
2 2
N Nk k
N
Nk k
N NN k k N
N
当 N为偶数时:
线性相位: 1
2j Ne
的频率抽样表示
2 1
2
2 1
2
10,...,
2
1,..., 1
2
Nj kN
Nj N kN
NH k e k
H kN
H N k e k N
2 1
2
2 1
2
0,..., 12
02
1 ,..., 12
Nj kN
Nj N kN
NH k e k
NH k k
NH N k e k N
当 N为奇数时:
当 N为偶数时:
由抽样点重构的频率响应:
1
2
(0) sin2
sin2
N djj
NH
H e eN
1
sin sin2 2
sin sin2 2
Md
k
k kN N
H k N Nk kNN N
1
2
NM
当 N为奇数时:
12
NM 当 N为偶数时:
可利用的重要公式
利用 N个频域采样值重构 FIR的系统函数与频响,利用对称性化简 .
设用理想低通作为希望设计的滤波器,截止频率为 ωc ,采样点数 N , Hg(k) 和 θ(k) 用下面公式计算:
N= 奇数时,
ck
( ) ( ) 1, 0,1,2, ,
( ) 0, 1, 2, , 1
1( ) , 0,1,2, , 1
g g c
g c c c
H k H N k k k
H k k k k N k
Nk k k N
N
(7.3.12)
ckN
N/2
N0
N= 偶数时,
ck
( ) 1, 0,1,2, ,
( ) 0, 1, 2, , 1
( ) 1, 0,1,2, ,
1( ) , 0,1,2, , 1
g c
g c c c
g c
H k k k
H k k k k N k
H N k k k
Nk k k N
N
(7.3.13)
0
ckN N
N/2
3. 逼近误差及其改进措施 如果待设计的滤波器为 Hd(ejω), 对应的单
位取样响应为 hd(n) ,1
( ) ( )2
j j nd dh n H e e d
则由频率域采样定理知道,在频域 0~2π
之间等间隔采样 N 点,利用 IDFT 得到的 h(n)
应是 hd(n) 以 N 为周期,周期性延拓乘以 RN
(ω) ,即( ) ( ) ( )d N
r
h n h n rN R n
由采样定理表明,频率域等间隔采样 H(k) ,经过 IDFT 得到 h(n) ,其 Z 变换 H(z) 和H(k) 的关系为
1
20 1
1
0
1
2
1 ( )( )
12
( ) ( ) ( )
1 sin( / 2)( )
sin( / 2)
N N
jk N
Nj
k
Nj
z H kH z
Ne z
H e H k kN
Ne
N
增加过渡带抽样点,可加大阻带衰减
4 、过渡带抽样的优化设计
不加过渡抽样点: 2 20dB 加一点: 2 40 ~ 54dB
加两点: 2 60 ~ 75dB 加三点: 2 80 ~ 95dB
1
0
2Nj
k
H e H k kN
增加过渡带抽样点,可加大阻带衰减,但导致过渡带变宽
增加 N,使抽样点变密,减小过渡带宽度,但增加了计算量
优点:频域直接设计 缺点:抽样频率只能是 或 的整数倍,
截止频率 不能任意取值2 /N
c/N
11 0 Int 8
2 4( )
10 Int 1 9 16
2 2
c
c
N Nk
H kN N
k
例:利用频率抽样法设计一个频率特性为矩形的理想低通滤波器,截止频率为 0.5π,抽样点数为 N=33 ,要求滤波器具有线性相位。
解:
1 0
0cj
dH e
理想低通频率特性
其它
按第一种频率抽样方式, N=33 ,得抽样点
得线性相位 FIR 滤波器的频率响应:
8
16
1
33 sin 33 sin 33sin2 33 2 332
33sin 33sin 33sin2 2 33 2 33
j j
k
k k
H e ek k
2 /33过渡带宽:
阻带衰减: -20dB
7.5 IIR 和 FIR 数字滤波器的比较IIR 滤波器 FIR 滤波器
h(n) 无限长 h(n) 有限长
极点位于 z平面任意位置 滤波器阶次低 非线性相位
递归结构 不能用 FFT计算 可用模拟滤波器设计 用于设计规格化的选频
滤波器
极点固定在原点
滤波器阶次高得多 可严格的线性相位 一般采用非递归结构 可用 FFT计算 设计借助于计算机 可设计各种幅频特性和
相频特性的滤波器
解:线性相位理想低通滤波器
1 .用矩形窗设计一个 FIR 线性相位低通数字滤波器。 已知 , 。求出 并画出 曲线。
=0.5c 21N h n
20lg jH e
其单位抽样响应:
1
2j j n
d dh n H e e d
( )0 ,
jj c c
d
c c
eH e
sin cc
c
n
n
1
2
c
c
j j ne e d
其中 110
2
N 0.5c
用矩形窗截断得 FIR 滤波器:
sin2
, 0 2010
0
d
n
nh n h n w nn
n
其他
其中 21w n R n 是窗函数。
sin ccd
c
nh n
n
则 FIR 滤波器的频率响应:
2 .试用频率抽样法设计一个 FIR 线性相位数字低通滤波器,已知 。,0.5c 51N
解:根据题意有 1 0
0cj
dH e
其它
按第一种频率抽样,得
1, 0 12
2
10, 13 25
2
cNk Int
H kN
k
12
25
1
51 sin 51 sin 51sin2 51 2 512
51sin 51sin 55sin2 2 51 2 51
j j
k
k k
H e ek k
是偶对称序列3.已知 ,圆周移位(移 位)
1h n 8N
2h n 1h n 42
N
后的序列。设 1 1H k DFT h n 2 2H k DFT h n
成立否? 与 有( 1 )问
1 2H k H k 1 k 2 k什么关系?
( 2 ) , 各构成一个低通滤波器,试问它 1h n 2h n
们是否是线性相位的?延时是多少?
解:( 1 )根据题意可知
2 18 84h n h n
则
34
41 8 8
4
i nki k
i
h i W W
7
2 1 8 880
4 nk
n
H k h n W R n
41 8
kH k W
由上式可以看出
2 1H k H k
2 1 1
24
8k k k k k
7
48 1 8
0
k ki
i
W h i W
4.请选择合适的窗函数及 N来设计一个线性相位
低通滤波器
, 0
0,
jj c
d
c
eH e
要求其最小阻带减为- 45dB ,过渡带宽为8
51
求出 h n 并画出 20lg jH e 曲线(设 0.5c )
解:根据低通滤波器的最小阻减为- 45dB ,查表, 应选择海明窗:
得 43N
20.54 0.46cos
1 N
nw n R n
N
6.6 8
51N
过渡带宽应满足:
又求得理想低通滤波器的单位抽样响应为:
1
2
c
c
j j ndh n e e d
sin cc
c
n
n
其中: 1
212
N
dh n h n w n
sin 0.5 210.54
0
0.46cos21 21
nnn
n
n
其他
20.54 0.46cos
1 N
nw n R n
N
sin ccd
c
nh n
n
21
0.5c
43N
线性相位 FIR 低通滤波器: