郊野公園回收箱成覓食「寶庫」羅傑明：市民帶走垃圾最佳 漁護署 …pdf.wenweipo.com/2015/10/26/a17-1026.pdf · 計新的回收箱，在箱口設旋轉葉，並在旁加裝轉動旋轉
第七章 傅利葉轉換 7.1 前言
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第七章 傅利葉轉換 7.1 前言. 傅利葉轉換是影像處理中重要的基礎，不但可以做到用其他方式無法得到的結果，也比其他方式來得有效率。 傅利葉轉換還是執行線性空間濾波的另一種有效方式。 傅利葉轉換還可以用於擷取或處理特定影像頻率，在執行低通和高通濾波時能得到更精確的結果。. 7.2 背景. 圖 7.2. 週期性函數可以寫成不同振幅和頻率的正弦波和餘弦波之總和。. 7.2 背景. 傅利葉級數 （ Fourier series ） 其中. - PowerPoint PPT Presentation
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第七章 傅利葉轉換7.1 前言
• 傅利葉轉換是影像處理中重要的基礎，不但可以做到用其他方式無法得到的結果，也比其他方式來得有效率。
• 傅利葉轉換還是執行線性空間濾波的另一種有效方式。
• 傅利葉轉換還可以用於擷取或處理特定影像頻率，在執行低通和高通濾波時能得到更精確的結果。
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7.2 背景
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圖 7.2
• 週期性函數可以寫成不同振幅和頻率的正弦波和餘弦波之總和。
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7.2 背景
• 傅利葉級數（ Fourier series ）
其中
• f 這就是 (x) 的傅利葉級數展開（ Fourier series expansion ），也可用複數形式表示。
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7.2 背景
• 若函數為非週期性，則可設 T → ∞ 類似結果，則：
• 傅利葉轉換對組（ Fourier transform pair ）。
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7.3 一維離散傅利葉轉換
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7.3 一維離散傅利葉轉換
• 7.3.1 一維 DFT 的定義
此定義也可以矩陣乘積來表示：
其中 F 是一個 N×N 的矩陣，定義如下：
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7.3 一維離散傅利葉轉換
當 N 給定後，我們可以定義：
範例 7.3.1 假設 f = [1, 2, 3, 4] ，因此 N = 4 。然後
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7.3 一維離散傅利葉轉換
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7.3 一維離散傅利葉轉換
• 反 DFT
– 若比較方程式 (7.3) 與方程式 (7.2) ，就會發現其實只有三點不同：1. 沒有縮放係數 1/N 。2. 指數函數中的符號改為正號。3. 總和索引變數為 u ，而非 x 。
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7.3 一維離散傅利葉轉換
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7.3 一維離散傅利葉轉換
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7.4 一維離散傅利葉轉換的特性
• 線性– 由 DFT 矩陣乘積的定義便可推論出此特性。– 假設 f 和 g 是相同長度的兩個向量， p和 q 為純量，令 h = pf + qg
– 若 F、 G 及 H 分別為 f、 g 與 h 的 DFT ，則：
• 平移– 將向量 x的各個元素 xn 乘以 (−1)n ，也就是每隔兩個元素改變其正負號。
– 假設這樣產生的向量為 x‘， x’的 DFT X‘若將左右兩邊互換，就和 x的 DFT x相等。
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7.4 一維離散傅利葉轉換的特性
• 例子
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7.4 一維離散傅利葉轉換的特性
注意： X的前四個元素是 X1的末四個元素，反之亦然。
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• 縮放– 公式中 k 為純量，且 F ＝ f 。– 此性質意味如果你將一個函數在 x 方向上放大，則其頻譜在 x 方向上便會縮小。
– 強度也會改變。
7.4 一維離散傅利葉轉換的特性
• 共軛對稱• 旋積
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7.4 一維離散傅利葉轉換的特性
• 快速傅利葉轉換
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7.5 二維離散傅利葉轉換
• 在二維下， DFT 的輸入為矩陣，輸出為同樣大小的另一個矩陣。
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7.5.1 二維傅利葉轉換的一些特性
• 相似性• DFT 當成空間濾波器使用• 分離性
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7.5.1 二維傅利葉轉換的一些特性
• 線性• 旋積定理
– 要使用空間濾波器 S 對影像 M 進行旋積計算1. 將 S 補零至與 M 同大小，補零的結果記為 S' 。2. 計算 M 和 S' 的 DFT ，得到 (M) 和 (S') 。3. 將兩個轉換的元素一個個相乘：4. 將結果帶入反轉轉換：
– 簡單地說，旋積定理可寫成： 或
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7.5.1 二維傅利葉轉換的一些特性
• DC 係數
• 平移DC 係數
DC 係數
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7.5.1 二維傅利葉轉換的一些特性
• 共軛對稱
• 顯示 DFT 轉換的結果
fft，計算向量的 DFT 。ifft，計算向量的反 DFT 。fft2，計算矩陣的 DFT 。ifft2，計算矩陣的反 DFT 。fftshift，如圖 7.7 所示，平移轉換。
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7.6 MATLAB中的傅利葉轉換
• 範例 7.6.1
DC 係數正是所有矩陣值的總和。
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7.6 MATLAB中的傅利葉轉換
• 範例 7.6.2
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7.6 MATLAB中的傅利葉轉換
• 範例 7.6.3
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7.7 影像之傅利葉轉換
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圖 7.10
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圖 7.11
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圖 7.12
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圖 7.13
• 範例 7.7.2
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圖 7.14
• 範例 7.7.3
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圖 7.15
• 範例 7.7.4
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7.7 影像之傅利葉轉換
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7.8 頻率域的濾波
• 7.8.1 理想濾波– 低通濾波
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圖 7.16
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圖 7.17
D = 15
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圖 7.18
D = 5 D = 30
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7.8 頻率域的濾波
– 高通濾波
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圖 7.19
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圖 7.20
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7.8.2 Butterworth 濾波
– 理想濾波器直接切除傅利葉轉換距中心某個距離外的部分。
– 這種截頻點的使用十分方便，但缺點是結果會產生不必要的瑕疵（波紋）。
– 要避免這種現象，可使用截頻點較不銳利的圓形當作濾波矩陣。
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圖 7.21
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圖 7.22 & 7.23
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圖 7.24
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圖 7.25
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圖 7.26
>> cfbli = ifft2(cfbl);>> figure, fftshow(cfbli, ’abs’)
>> bl = lbutter(c,15,1);>> cfbl = cf.*bl;>> figure, fftshow(cfbl, ’log’);
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圖 7.27
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7.8.3 高斯濾波
• 較寬的高斯函數、即較大的標準差，其最大值會比較小。
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圖 7.28
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圖 7.29
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7.9 同態濾波
i (x, y) 為照明 (illumination), r(x, y) 為反射 (reflectance)
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7.9 同態濾波
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圖 7.32
function res=homfilt(im,cutoff,order,lowgain,highgain) % HOMFILT(IMAGE,FILTER) applies homomorphic filtering % to the image IMAGE% with the given parameters u=im2uint8(im/256); u(find(u==0))=1;l=log(double(u));ft=fftshift(fft2(l));f=hb_butter(im,cutoff,order,lowgain,highgain);b=f.*ft;ib=abs(ifft2(b));res=exp(ib);
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圖 7.33
>>i=imread(‘newborn.tif’);
>>r=[1:256]’*ones(1,256);
>>x=double(i).*(0.5+0.4*sin((r-32)/16));
>>imshow(i);figure;imshow(x/256);
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圖 7.34
>>xh=homfilt(x,10,2,0.5,2);
>>imshow(xh/16);
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圖 7.35
>> a=imread('arch.tif');>> figure;imshow(a);>> a1=a(:,:,1);>> figure;imshow(a1);
>> a2=double(a1);>> ah=homfilt(a2,128,2,0.5,2);>> figure;imshow(ah/14);
