제 7 장 미분법칙과 비교정태분석

제제 77 장장

미분법칙과미분법칙과비교정태분석비교정태분석

제제 77 장장

미분법칙과미분법칙과비교정태분석비교정태분석

미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석 미분법칙과 비교정태분석미분법칙과 비교정태분석

일변수함수에 관한 미분법칙 일변수함수에 관한 미분법칙

상수함수의 미분법칙 (constant function rule)

상수함수 y=k, 즉 f(x)=k 의 도함수는 항상 0 임 .

- 즉 , x 의 모든 값에 대하여 0 임 .

- 다음과 같은 형태로도 표시함 .

- 고정비용 FC=f(Q)=1,200 : 0 의 기울기를 갖는 수평선

상수함수의 미분법칙 (constant function rule)

상수함수 y=k, 즉 f(x)=k 의 도함수는 항상 0 임 .

- 즉 , x 의 모든 값에 대하여 0 임 .

- 다음과 같은 형태로도 표시함 .

- 고정비용 FC=f(Q)=1,200 : 0 의 기울기를 갖는 수평선

dy

dx= =0 또는dk

dx

d

dxy= f(x)= k=0

d

dx

d

dx

f(x)=0

d

dQFC=

d

dQ1200=0



멱함수의 미분법칙 (power function rule)

멱함수 y=f(x)=xn 의 도함수는 nxn-1 임 .

- y=x3 의 도함수 :

- y[=f(x)]=x 의 도함수 :





- y[=f(x)]=x 의 도함수 :


d

dxxn=nxn-1 또는 f(x)=nxn-1

dy

dx

f(x)=

=d

dxd

dx

x3=3x2

x=1(x)0=1

d

dxx0=0(x-1)=0



멱함수의 미분법칙 (power function rule) :


- y=1/x3(y=x-3) 의 도함수 :

- y=√ (y=x1/2) 의 도함수 :

= =

멱함수의 미분법칙 (power function rule) :


- y=1/x3(y=x-3) 의 도함수 :

- y=√ (y=x1/2) 의 도함수 :

= =

x-1/2d

dx

x-3=-3x-4 (=-3/x4)

x1/2=

d

dx

x1

21

2√x

√2xx




도함수들은 그 자체가 독립변수 x 의 함수임 .

- 예를 들어 , 도함수 dy/dx=3x2 또는 f(x)=3x2 이므로 다음과 같이 x 의 값이 변하면 도함수의 값도 변함 .

f(1)=3(1)2=3 f(2)=3(2)2=12

- 도함수의 값 f(1), f(2) 등을 구할 때 , 중요한 점은 우선 함수 f(x) 를 미분하여 도함수 f(x) 를 얻고 ,

그 다음에 x 의 특정한 값을 f(x) 에 대입해야 함 .


도함수들은 그 자체가 독립변수 x 의 함수임 .

- 예를 들어 , 도함수 dy/dx=3x2 또는 f(x)=3x2 이므로 다음과 같이 x 의 값이 변하면 도함수의 값도 변함 .

f(1)=3(1)2=3 f(2)=3(2)2=12

- 도함수의 값 f(1), f(2) 등을 구할 때 , 중요한 점은 우선 함수 f(x) 를 미분하여 도함수 f(x) 를 얻고 ,

그 다음에 x 의 특정한 값을 f(x) 에 대입해야 함 .



멱함수의 미분법칙의 일반화 f(x)=cxn 과 같이 멱함수에 상수 c 가 곱해진 경우

- 이때 도함수는

- y[=f(x)]=2x 일 때 , 도함수는 dy/dx=2(1)x1-1=2(1)x0=1

- f(x)=4x3 일 때 , 도함수는 f(x)=4(3)x3-1=12x2

- f(x)=3x-2 일 때 , 도함수는 f(x)=3(-2)x-2-1=-6x-3

멱함수의 미분법칙의 일반화 f(x)=cxn 과 같이 멱함수에 상수 c 가 곱해진 경우

- 이때 도함수는

- y[=f(x)]=2x 일 때 , 도함수는 dy/dx=2(1)x1-1=2(1)x0=1

- f(x)=4x3 일 때 , 도함수는 f(x)=4(3)x3-1=12x2

- f(x)=3x-2 일 때 , 도함수는 f(x)=3(-2)x-2-1=-6x-3

cxn=cnxn-1 또는 f(x)=cnxn-1 d

dx


동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙 동일변수를 둘 이상 갖는 함수들의 미분법칙

동일변수 x 를 갖는 두 미분가능한 함수 f(x) 와 g(x) 가 있음 .

합과 차의 미분법칙 (sum-difference rule)

두 함수 합 ( 차 ) 의 도함수는 두 함수 도함수의 합 ( 차 ) 임 .

- 함수 y=14x3 으로부터 도함수 dy/dx=42x2 을 구할 수 있음 . 이는 14x3=5x3+9x3 이므로 , y 는 두 함수

f(x)=5x3 과 g(x)=9x3 의 합으로 볼 수 있음 .

동일변수 x 를 갖는 두 미분가능한 함수 f(x) 와 g(x) 가 있음 .


두 함수 합 ( 차 ) 의 도함수는 두 함수 도함수의 합 ( 차 ) 임 .

- 함수 y=14x3 으로부터 도함수 dy/dx=42x2 을 구할 수 있음 . 이는 14x3=5x3+9x3 이므로 , y 는 두 함수

f(x)=5x3 과 g(x)=9x3 의 합으로 볼 수 있음 .

[f(x)g(x)]=

d

dx

d

dx

d

dxf(x) g(x)=f(x)g(x)

d

dx(5x3+9x3)=

d

dx

d

dx5x3+ 9x3=15x2+27x2=42x2




다항함수는 멱함수들의 합 ( 차 ) 에 불과함 .

- 예 : = (ax2+bx+c)=2ax+b

- 예 : (7x4+2x3-3x+37)=28x3+6x2-3+0=28x3+6x2-3

- 변수에 곱해지는 상수 ( 계수 ) 는 미분과정에서 남지만 , 가법적으로 주어지는 상수 ( 상수항 ) 는 미분하면 0 이 되어 없어짐 .


다항함수는 멱함수들의 합 ( 차 ) 에 불과함 .

- 예 : = (ax2+bx+c)=2ax+b

- 예 : (7x4+2x3-3x+37)=28x3+6x2-3+0=28x3+6x2-3

- 변수에 곱해지는 상수 ( 계수 ) 는 미분과정에서 남지만 , 가법적으로 주어지는 상수 ( 상수항 ) 는 미분하면 0 이 되어 없어짐 .

dy

dx

d

dxd

dx




- 경제학에서 기업의 고정비용 (FC) 은 한계비용 (MC) 에 영향을 미치지 못함 .

C=Q3-4Q2+10Q+75

여기서 한계비용함수는 차분몫 ⊿ C/ Q⊿ 의 극한임 .

즉 , 비용함수의 도함수 (= 한계비용 ) 는 다음과 같음 .

(=MC)=3Q2-8Q+10

- FC 인 상수항 75 는 dC/dQ 도출 과정에서 없어짐 .


- 경제학에서 기업의 고정비용 (FC) 은 한계비용 (MC) 에 영향을 미치지 못함 .

C=Q3-4Q2+10Q+75

여기서 한계비용함수는 차분몫 ⊿ C/ Q⊿ 의 극한임 .

즉 , 비용함수의 도함수 (= 한계비용 ) 는 다음과 같음 .

(=MC)=3Q2-8Q+10

- FC 인 상수항 75 는 dC/dQ 도출 과정에서 없어짐 .

dC

dQ



총함수 (total function) 와 한계함수 (marginal function)

- 일반적으로 원시함수 y=f(x) 가 총함수를 나타내면 ,

그 도함수 dy/dx 는 한계함수가 됨 .

- 즉 , 한계함수는 주어진 x 값에서 총함수의 기울기임 .

( 총함수곡선상의 한 점에서 접선의 기울기 를 나타냄 .)


- 일반적으로 원시함수 y=f(x) 가 총함수를 나타내면 ,

그 도함수 dy/dx 는 한계함수가 됨 .

- 즉 , 한계함수는 주어진 x 값에서 총함수의 기울기임 .

( 총함수곡선상의 한 점에서 접선의 기울기 를 나타냄 .)



총함수 (total function) 와 한계함수 (marginal function) 총함수 (total function) 와 한계함수 (marginal function)




- [ 그림 7.1](a) 에서 일정한 기울기를 갖는 선형총함수는 상수인 한계함수를 가짐 ( 수평형태의 기울기 ).

- [ 그림 7.1](b) 처럼 기울기가 변하는 비선형총함수는 곡선으로 된 한계함수를 가짐 .

한계함수는 총함수의 기울기가 음 ( 양 ) 일 때 가로축의 아래 ( 위 ) 에 위치함 .

- [ 그림 7.1](c) 처럼 매끄럽지 않은 총함수는 한계함수 ,

즉 도함수에 틈 ( 불연속성 ) 이 생김 .


- [ 그림 7.1](a) 에서 일정한 기울기를 갖는 선형총함수는 상수인 한계함수를 가짐 ( 수평형태의 기울기 ).

- [ 그림 7.1](b) 처럼 기울기가 변하는 비선형총함수는 곡선으로 된 한계함수를 가짐 .

한계함수는 총함수의 기울기가 음 ( 양 ) 일 때 가로축의 아래 ( 위 ) 에 위치함 .

- [ 그림 7.1](c) 처럼 매끄럽지 않은 총함수는 한계함수 ,

즉 도함수에 틈 ( 불연속성 ) 이 생김 .




- 원시함수가 매끄럽다는 것은 그 도함수의 연속성과 연결할 수 있음 .

- 특히 , 어떤 함수가 모든 점에서 매끄럽다 ( 그리고 미분가능하다 ) 는 대신 , 연속도함수를 갖는 함수로 ,

이러한 함수를 연속미분가능함수 (continuously

differentiable function) 라고 함 .


- 원시함수가 매끄럽다는 것은 그 도함수의 연속성과 연결할 수 있음 .

- 특히 , 어떤 함수가 모든 점에서 매끄럽다 ( 그리고 미분가능하다 ) 는 대신 , 연속도함수를 갖는 함수로 ,

이러한 함수를 연속미분가능함수 (continuously

differentiable function) 라고 함 .



곱의 미분법칙 (product rule)

- 두 ( 미분가능한 ) 함수의 곱의 도함수는 첫 번째 함수에 두 번째 함수의 도함수를 곱한 것과 두 번째 함수에 첫 번째 함수의 도함수를 곱한 것을 합한 것과 같음 ( 그 순서를 바꿔도 무방함 ).

[f(x)g(x)]=f(x) g(x)+g(x) f(x)

=f(x)g(x)+g(x)f(x)

[=f(x)g(x)+g(x)f(x)]


- 두 ( 미분가능한 ) 함수의 곱의 도함수는 첫 번째 함수에 두 번째 함수의 도함수를 곱한 것과 두 번째 함수에 첫 번째 함수의 도함수를 곱한 것을 합한 것과 같음 ( 그 순서를 바꿔도 무방함 ).

[f(x)g(x)]=f(x) g(x)+g(x) f(x)

=f(x)g(x)+g(x)f(x)

[=f(x)g(x)+g(x)f(x)]

d

dx

d

dx

d

dx




- y=(2x+3)(3x2) 의 도함수 ?

우선 , f(x)=2x+3 및 g(x)=3x2 이라고 하면 , f(x)=2 및 g(x)=6x 임 . 따라서 도함수는 다음과 같음 .

[(2x+3)(3x2)]=(2x+3)(6x)+(2)(3x2)=18x2+18x

이 식은 다항함수의 도함수로도 확인할 수 있음 .

f(x)g(x)=(2x+3)(3x2)=6x3+9x2

이를 미분하면 도함수는 18x2+18x


- y=(2x+3)(3x2) 의 도함수 ?

우선 , f(x)=2x+3 및 g(x)=3x2 이라고 하면 , f(x)=2 및 g(x)=6x 임 . 따라서 도함수는 다음과 같음 .

[(2x+3)(3x2)]=(2x+3)(6x)+(2)(3x2)=18x2+18x

이 식은 다항함수의 도함수로도 확인할 수 있음 .

f(x)g(x)=(2x+3)(3x2)=6x3+9x2

이를 미분하면 도함수는 18x2+18x

d

dx




- 함수가 셋인 경우로 확장하면 , 다음과 같음 .

[f(x)g(x)h(x)]=f(x)g(x)h(x)+f(x)g(x)h(x) +f(x)g(x)h(x)

세 함수의 곱의 도함수는 두 번째와 세 번째 함수의 곱에 첫 번째 함수의 도함수를 곱한 것 더하기 첫 번째와 세 번째 함수의 곱에 두 번째 함수의 도함수를 곱한 것 더하기 첫 번째와 두 번째 함수의 곱에 세 번째 함수의 도함수를 곱한 것


- 함수가 셋인 경우로 확장하면 , 다음과 같음 .

[f(x)g(x)h(x)]=f(x)g(x)h(x)+f(x)g(x)h(x) +f(x)g(x)h(x)

세 함수의 곱의 도함수는 두 번째와 세 번째 함수의 곱에 첫 번째 함수의 도함수를 곱한 것 더하기 첫 번째와 세 번째 함수의 곱에 두 번째 함수의 도함수를 곱한 것 더하기 첫 번째와 두 번째 함수의 곱에 세 번째 함수의 도함수를 곱한 것

d

dx




- y=x(x2-1)(x3-x2+1) 일 때 도함수 ?

우선 , f(x)=x, g(x)=x2-1, h(x)=x3-x2+1 이라고 하면 ,

f(x)=1, g(x)=2x, h(x)=3x2-2x 임 . 따라서 도함수는

=1(x2-1)(x3-x2+1)+x(2x)(x3-x2+1)+x(x2-1)(3x2-2x)


- y=x(x2-1)(x3-x2+1) 일 때 도함수 ?

우선 , f(x)=x, g(x)=x2-1, h(x)=x3-x2+1 이라고 하면 ,

f(x)=1, g(x)=2x, h(x)=3x2-2x 임 . 따라서 도함수는

=1(x2-1)(x3-x2+1)+x(2x)(x3-x2+1)+x(x2-1)(3x2-2x)dy

dx



평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - 이윤 (profit : )= 총수입 (TR)- 총비용 (TC)

=TR-TC=PQ-TC

- 평균수입 (average revenue : AR)=f(Q)

AR(=P)=TR/Q ( 단위 산출량당 평균수입 )=15-Q

- 총수입 (TR)ARQ(=PQ)=(15-Q)Q=15Q-Q2

- 한계수입 (marginal revenue : MR) : 총수입 (TR) 미분

MR =f(Q)1+Qf(Q)=f(Q)+Qf(Q)=AR+Qf(Q)

평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - 이윤 (profit : )= 총수입 (TR)- 총비용 (TC)

=TR-TC=PQ-TC

- 평균수입 (average revenue : AR)=f(Q)

AR(=P)=TR/Q ( 단위 산출량당 평균수입 )=15-Q

- 총수입 (TR)ARQ(=PQ)=(15-Q)Q=15Q-Q2

- 한계수입 (marginal revenue : MR) : 총수입 (TR) 미분

MR =f(Q)1+Qf(Q)=f(Q)+Qf(Q)=AR+Qf(Q)dTR

dQ



평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - MR-AR=MR-f(Q)=Qf(Q)

이로부터 , MR 과 AR 은 항상 Qf(Q) 만큼 차이가 발생 - 여기서 산출량 Q 는 비음 (non-negative, 즉 Q0) 임 .

- f(Q)[=AR] 는 Q 에 관해서 그려진 평균수입곡선의 ( 접선의 ) 기울기임 (0).

- 평균수입 (AR) 과 가격 (P) 은 서로 같음 .

AR[=f(Q)] P

평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - MR-AR=MR-f(Q)=Qf(Q)

이로부터 , MR 과 AR 은 항상 Qf(Q) 만큼 차이가 발생 - 여기서 산출량 Q 는 비음 (non-negative, 즉 Q0) 임 .

- f(Q)[=AR] 는 Q 에 관해서 그려진 평균수입곡선의 ( 접선의 ) 기울기임 (0).

- 평균수입 (AR) 과 가격 (P) 은 서로 같음 .

AR[=f(Q)] PTR

Q

PQ

Q



평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - 앞의 식에서 평균수입함수 (AR) 는 P=f(Q) 의 관계임 .

그러나 수요함수 (demand function) 는 Q=f(P) 의 관계 이므로 , 이 두 함수는 서로 역함수 (inverse function)

관계임 .

- 완전경쟁하에서의 AR 곡선은 수평이므로 f(Q)=0 임 .

따라서 MR-AR=0, 즉 MR=AR 임 .

- 불완전경쟁하에서 AR 곡선의 기울기는 우하향함 .

따라서 MR-AR0, 즉 MR 곡선은 AR 곡선 아래 위치함 .

평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - 앞의 식에서 평균수입함수 (AR) 는 P=f(Q) 의 관계임 .

그러나 수요함수 (demand function) 는 Q=f(P) 의 관계 이므로 , 이 두 함수는 서로 역함수 (inverse function)

관계임 .

- 완전경쟁하에서의 AR 곡선은 수평이므로 f(Q)=0 임 .

따라서 MR-AR=0, 즉 MR=AR 임 .

- 불완전경쟁하에서 AR 곡선의 기울기는 우하향함 .

따라서 MR-AR0, 즉 MR 곡선은 AR 곡선 아래 위치함 .



평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - 앞의 내용은 두 곡선의 상대적 위치만 관계된다는 점에서 정성적 분석 (qualitative analysis) 임 .

- 그러나 이에 대한 정량적 분석 (quantitative analysis) 도 가능함 ( 그림 7.2 참조 ).

평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - 앞의 내용은 두 곡선의 상대적 위치만 관계된다는 점에서 정성적 분석 (qualitative analysis) 임 .

- 그러나 이에 대한 정량적 분석 (quantitative analysis) 도 가능함 ( 그림 7.2 참조 ).



평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기



평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - 앞의 그림에서 산출량이 N 에서 결정되면 , Qf(Q) 는 구체적으로 Nf(N) 으로 됨 .

- 여기서 Nf(N) 크기를 알 수 있다면 , AR 곡선상의 G 점 에서 얼마만큼 아래에 MR 곡선상의 점이 위치하는가를 알 수 있음 .

- f(N) 은 점 G 에서 AR 곡선의 기울기임 . 즉 , 접선 JM 의 기울기 (OJ/OM 또는 HJ/HG) 임 .

평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - 앞의 그림에서 산출량이 N 에서 결정되면 , Qf(Q) 는 구체적으로 Nf(N) 으로 됨 .

- 여기서 Nf(N) 크기를 알 수 있다면 , AR 곡선상의 G 점 에서 얼마만큼 아래에 MR 곡선상의 점이 위치하는가를 알 수 있음 .

- f(N) 은 점 G 에서 AR 곡선의 기울기임 . 즉 , 접선 JM 의 기울기 (OJ/OM 또는 HJ/HG) 임 .



평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - 따라서 ( 거리 ) 산출량 N 에서 AR 곡선과 그 아래 위치한 MR 곡선 사이의 거리 Nf(N) 은 다음과 같음 .

Nf(N)=HG =HJ

- 따라서 HJ 만큼 점 G 에서 수직거리 KG(=HJ) 만큼 아래 점 K 를 정하면 반드시 MR 곡선상의 한 점이 됨 .

- 만약 , 산출량이 달라지면 마찬가지로 AR 곡선상의 점 그 아래 위치한 MR 곡선상의 한 점을 구할 수 있음 .

평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - 따라서 ( 거리 ) 산출량 N 에서 AR 곡선과 그 아래 위치한 MR 곡선 사이의 거리 Nf(N) 은 다음과 같음 .

Nf(N)=HG =HJ

- 따라서 HJ 만큼 점 G 에서 수직거리 KG(=HJ) 만큼 아래 점 K 를 정하면 반드시 MR 곡선상의 한 점이 됨 .

- 만약 , 산출량이 달라지면 마찬가지로 AR 곡선상의 점 그 아래 위치한 MR 곡선상의 한 점을 구할 수 있음 .

HJ

HG



평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - 독점기업의 경우 평균수입함수와 한계수입함수는 TR=PQ

AR= =P, MR=

수요함수 : P=a-bQ (AR)

TR=(a-bQ)Q=aQ-bQ2

MR=a-2bQ

- MR 곡선 기울기는 AR 곡선 기울기보다 2 배 큼 ( 절대값 ).

평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 - 독점기업의 경우 평균수입함수와 한계수입함수는 TR=PQ

AR= =P, MR=

수요함수 : P=a-bQ (AR)

TR=(a-bQ)Q=aQ-bQ2

MR=a-2bQ

- MR 곡선 기울기는 AR 곡선 기울기보다 2 배 큼 ( 절대값 ).

PQ

Q

dTR

dQ



평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기 평균수입함수로부터 한계수입함수 구하기

AR ( 선형인 경우 )

MR

║ ║

║ ║



몫의 미분법칙 (quotient rule)

- 두 함수의 몫 f(x)/g(x) 의 도함수는 다음과 같음 .

=

- 우변의 분자에는 곱의 형태로 된 2 개 항이 있고 ,

각 항은 두 함수 중 한 함수의 도함수를 포함하고 있음 .

특히 , f(x) 는 양의 항에 나타나고 있고 , g(x) 은 음의 항에 나타나고 있으며 , 분모는 g(x) 의 제곱임을 유의 - 여기서 표기법의 정의상 g2(x)[g(x)]2 임 .


- 두 함수의 몫 f(x)/g(x) 의 도함수는 다음과 같음 .

=

- 우변의 분자에는 곱의 형태로 된 2 개 항이 있고 ,

각 항은 두 함수 중 한 함수의 도함수를 포함하고 있음 .

특히 , f(x) 는 양의 항에 나타나고 있고 , g(x) 은 음의 항에 나타나고 있으며 , 분모는 g(x) 의 제곱임을 유의 - 여기서 표기법의 정의상 g2(x)[g(x)]2 임 .

d

dx

f(x)

g(x)

f(x)g(x)-f(x)g(x)

g2(x)




- 예 1 : 두 함수의 몫의 도함수를 구하라 .

= =


= =


= = =



= =


= =


= = =

d

dx2x-3

x+1

2(x-1)-(2x-3)(1)

(x+1)2

5

(x+1)2

d

dx

5x

x2+1

5(x2+1)-5x(2x)

(x2+1)2

5(1-x2)

(x2+1)2

d

dx

ax2+b

cx

2ax(cx)-(ax2+b)(c)

(cx)2

c(ax2-b)

(cx)2

ax2-b

cx2



Relationship between marginal cost and average cost function

- 총비용함수 (TC) C=C(Q) 가 주어지고 Q0 이면 ,

평균비용함수 (AC)= : Q 에 관한 두 함수의 몫

한계비용함수 (MC)= = =C(Q)

- 단위 산출량에 대한 AC 의 변화율은 AC 를 미분하면 됨 .

= = C(Q)-


- 총비용함수 (TC) C=C(Q) 가 주어지고 Q0 이면 ,

평균비용함수 (AC)= : Q 에 관한 두 함수의 몫

한계비용함수 (MC)= = =C(Q)

- 단위 산출량에 대한 AC 의 변화율은 AC 를 미분하면 됨 .

= = C(Q)-

C(Q)

QC(Q)-C(a)

Q-a

d

dQ

C(Q)

Q

C(Q)Q-C(Q)1

Q2

1

Q

C(Q)

Q

dC(Q)

dQ




- 앞의 식으로부터 Q0 에 대하여 다음의 관계가 성립

C(Q) 이면 , 0

여기서 C(Q) 는 한계비용함수 (MC), C(Q)/Q 는 평균비용 함수 (AC), (d/dQ)[C(Q)/Q] 는 AC 곡선의 기울기임 .

- 위 식의 경제적 의미 :

한계비용 (MC) 평균비용 (AC) AC 의 기울기 증가 한계비용 (MC) 평균비용 (AC) AC 의 기울기 0

한계비용 (MC) 평균비용 (AC) AC 의 기울기 감소


- 앞의 식으로부터 Q0 에 대하여 다음의 관계가 성립

C(Q) 이면 , 0

여기서 C(Q) 는 한계비용함수 (MC), C(Q)/Q 는 평균비용 함수 (AC), (d/dQ)[C(Q)/Q] 는 AC 곡선의 기울기임 .

- 위 식의 경제적 의미 :

한계비용 (MC) 평균비용 (AC) AC 의 기울기 증가 한계비용 (MC) 평균비용 (AC) AC 의 기울기 0

한계비용 (MC) 평균비용 (AC) AC 의 기울기 감소

C(Q)

Q

d

dQ

C(Q)

Q




- 다음의 그림 7.3 은 총비용함수 C=Q3-12Q2+60Q 가 주어졌을 때 , MC 곡선과 AC 곡선이 그려진 것임 .

- 여기서 Q=6 의 왼쪽에서는 AC 가 감소하고 이에 따라 MC 는 AC 의 아래쪽에 위치하고 , 오른쪽에서는 AC 가 증가하고 이에 따라 MC 는 AC 의 위쪽에 위치함 .

Q=6 에서는 AC 가 0 의 기울기를 가지고 MC 와 AC 는 일치함 .


- 다음의 그림 7.3 은 총비용함수 C=Q3-12Q2+60Q 가 주어졌을 때 , MC 곡선과 AC 곡선이 그려진 것임 .

- 여기서 Q=6 의 왼쪽에서는 AC 가 감소하고 이에 따라 MC 는 AC 의 아래쪽에 위치하고 , 오른쪽에서는 AC 가 증가하고 이에 따라 MC 는 AC 의 위쪽에 위치함 .

Q=6 에서는 AC 가 0 의 기울기를 가지고 MC 와 AC 는 일치함 .



Relationship between marginal cost and average cost function Relationship between marginal cost and average cost function

MCAC

MCAC MCAC


상이한 변수를 갖는 함수 (= 합성함수 ) 들의 미분법칙 상이한 변수를 갖는 함수 (= 합성함수 ) 들의 미분법칙

연쇄법칙 (chain rule)

- 함수 z=f(y) 이고 y=g(x) 라면 , z=f[g(x)] 로 변형이 가능 - 여기서 z 의 x 에 관한 도함수는 z 의 y 에 대한 도함수에 y 의 x 에 관한 도함수를 곱한 것과 같음 .

- 즉 , 기호로 표시하면 다음과 같음 .

= =f(y)g(x)

- 이를 연쇄법칙 (chain rule) 이라 함 .


- 함수 z=f(y) 이고 y=g(x) 라면 , z=f[g(x)] 로 변형이 가능 - 여기서 z 의 x 에 관한 도함수는 z 의 y 에 대한 도함수에 y 의 x 에 관한 도함수를 곱한 것과 같음 .

- 즉 , 기호로 표시하면 다음과 같음 .

= =f(y)g(x)

- 이를 연쇄법칙 (chain rule) 이라 함 .

dz

dx

dz

dy

dy

dx




- ⊿x 가 주어지면 , 함수 y=g(x) 를 통하여 ⊿ y 가 결정되고 ,

이 ⊿ y 는 함수 z=f(y) 를 통하여 ⊿ z 를 결정함 .

⊿x y ⊿ z⊿

- 이 연쇄반응에서의 관계는 두 개의 차분몫 , y⊿ /⊿x 와 ⊿z/ y⊿ 를 수반하지만 , 이들이 곱해지면 ⊿ y 는 소거됨 .

=


- ⊿x 가 주어지면 , 함수 y=g(x) 를 통하여 ⊿ y 가 결정되고 ,

이 ⊿ y 는 함수 z=f(y) 를 통하여 ⊿ z 를 결정함 .

⊿x y ⊿ z⊿

- 이 연쇄반응에서의 관계는 두 개의 차분몫 , y⊿ /⊿x 와 ⊿z/ y⊿ 를 수반하지만 , 이들이 곱해지면 ⊿ y 는 소거됨 .

=⊿y

⊿x

⊿z

⊿y

⊿z

⊿x

g 를 통하여 f 를 통하여




- 함수 y=g(x) 이면 z=f(y) 를 z=f[g(x)] 로 나타낼 수 있음 .

- 여기서 두 함수기호 f 와 g 가 서로 인접하여 나타나는 것을 합성함수 ( 함수의 함수 ) 라고 함 .

- 이 연쇄법칙을 합성함수의 법칙 (composite function

rule) 또는 함수의 함수의 법칙 (function of a function

rule) 이라고도 함 .


- 함수 y=g(x) 이면 z=f(y) 를 z=f[g(x)] 로 나타낼 수 있음 .

- 여기서 두 함수기호 f 와 g 가 서로 인접하여 나타나는 것을 합성함수 ( 함수의 함수 ) 라고 함 .

- 이 연쇄법칙을 합성함수의 법칙 (composite function

rule) 또는 함수의 함수의 법칙 (function of a function

rule) 이라고도 함 .




- 마찬가지로 연쇄법칙을 확장 (expansion) 하여 , 함수가 z=f(y), y=g(x) 및 x=h(w) 로 주어지면 ,

= =f(x)g(x)h(w)

- 예 1 : z=3y2 이고 y=2x+5 이면 , dz/dx ( 연쇄법칙 )?

= =6y(2)=12y=12(2x+5)


- 마찬가지로 연쇄법칙을 확장 (expansion) 하여 , 함수가 z=f(y), y=g(x) 및 x=h(w) 로 주어지면 ,

= =f(x)g(x)h(w)

- 예 1 : z=3y2 이고 y=2x+5 이면 , dz/dx ( 연쇄법칙 )?

= =6y(2)=12y=12(2x+5)

dz

dw

dz

dy

dy

dx

dx

dw

dz

dx

dz

dy

dy

dx




- 예 2 : z=y-3 이고 y=x3 이면 , dz/dx ( 연쇄법칙 )?

= =1(3x2)=3x2

- 예 3 : z=(x2+3x-2)17 일 때 , 중간변수 (intermediate variable) y=x2+3x-2 를 연쇄적으로 연결하면 ,

즉 z=y17 이고 y=x2+3x-2 일 때 도함수 dz/dx?

= =17y16(2x+3)=17(x2+3x-2)16(2x+3)


- 예 2 : z=y-3 이고 y=x3 이면 , dz/dx ( 연쇄법칙 )?

= =1(3x2)=3x2

- 예 3 : z=(x2+3x-2)17 일 때 , 중간변수 (intermediate variable) y=x2+3x-2 를 연쇄적으로 연결하면 ,

즉 z=y17 이고 y=x2+3x-2 일 때 도함수 dz/dx?

= =17y16(2x+3)=17(x2+3x-2)16(2x+3)

dz

dx

dz

dy

dy

dx

dz

dx

dz

dy

dy

dx




- 예 4 : 총수입함수 R=f(Q) 이고 , 생산함수 Q=g(L) 일 때 ,

dR/dL ( 연쇄법칙 )?

= =f(Q)g(L) MRPL=MRMPPL

여기서 dR/dQ 는 한계수입 (MR) 이고 , dQ/dL 은 노동의 한계실물생산 (marginal physical product of labor :

MPPL) 이고 , dR/dL 은 노동의 한계수입생산 (marginal revenue product of labor : MRPL) 임 .


- 예 4 : 총수입함수 R=f(Q) 이고 , 생산함수 Q=g(L) 일 때 ,

dR/dL ( 연쇄법칙 )?

= =f(Q)g(L) MRPL=MRMPPL

여기서 dR/dQ 는 한계수입 (MR) 이고 , dQ/dL 은 노동의 한계실물생산 (marginal physical product of labor :

MPPL) 이고 , dR/dL 은 노동의 한계수입생산 (marginal revenue product of labor : MRPL) 임 .

dR

dL

dR

dQ

dQ

dL



역함수 (inverse function) 의 미분법칙 - 함수 y=f(x) 에서 1 대 1 사상 (one to one mapping),

즉 서로 다른 x 값에 대하여 y 가 항상 서로 다른 값을 갖는 함수라면 , 함수 f 는 역함수 x=f-1(y) 가 존재함 .

( 역함수는 함수 f(x) 의 역수 1/f(x) 가 아님 .)

- 역함수 존재의 본질적 의미는 ,

주어진 x 값에 대하여 유일한 y 값이 결정되고 [y=f(x)],

주어진 y 값에 대하여 유일한 x 값이 결정된다는 것임 [x=f-1(y)].

역함수 (inverse function) 의 미분법칙 - 함수 y=f(x) 에서 1 대 1 사상 (one to one mapping),

즉 서로 다른 x 값에 대하여 y 가 항상 서로 다른 값을 갖는 함수라면 , 함수 f 는 역함수 x=f-1(y) 가 존재함 .

( 역함수는 함수 f(x) 의 역수 1/f(x) 가 아님 .)

- 역함수 존재의 본질적 의미는 ,

주어진 x 값에 대하여 유일한 y 값이 결정되고 [y=f(x)],

주어진 y 값에 대하여 유일한 x 값이 결정된다는 것임 [x=f-1(y)].



역함수 (inverse function) 의 미분법칙 - 역함수가 존재하는 함수를 강단조함수 (strictly monotonic

function) 라고 함 .

- 강증가함수 (strictly increasing function) :

x 가 순차적으로 더 큰 값을 가질 때 f(x) 는 항상 순차적

으로 더 큰 값을 가짐 . 즉 , x2x1 f(x2)f(x1)

- 강감소함수 (strictly decreasing function) :


으로 더 작은 값을 가짐 . 즉 , x2x1 f(x2)f(x1)

역함수 (inverse function) 의 미분법칙 - 역함수가 존재하는 함수를 강단조함수 (strictly monotonic

function) 라고 함 .

- 강증가함수 (strictly increasing function) :


으로 더 큰 값을 가짐 . 즉 , x2x1 f(x2)f(x1)

- 강감소함수 (strictly decreasing function) :


으로 더 작은 값을 가짐 . 즉 , x2x1 f(x2)f(x1)



역함수 (inverse function) 의 미분법칙 - 대수적으로는 주어진 함수 y=f(x) 의 강단조성을 확인 하는 실제 방법은 모든 x 값에 대해 f(x) 가 항상 같은 (0 이 아닌 ) 대수 부호 (+/-) 를 갖는지 여부를 점검하는 것임 .

- 기하학적으로는 함수의 기울기가 항상 위쪽으로 또는 아래쪽으로 향하는 것을 의미함 .

역함수 (inverse function) 의 미분법칙 - 대수적으로는 주어진 함수 y=f(x) 의 강단조성을 확인 하는 실제 방법은 모든 x 값에 대해 f(x) 가 항상 같은 (0 이 아닌 ) 대수 부호 (+/-) 를 갖는지 여부를 점검하는 것임 .

- 기하학적으로는 함수의 기울기가 항상 위쪽으로 또는 아래쪽으로 향하는 것을 의미함 .



역함수 (inverse function) 의 미분법칙 - 예 : 함수 y=5x+25 는 도함수 dy/dx=+5 를 갖고 , 이것은 x 값에 관계없이 항상 양수임 . 즉 , 강증가함수임 .

따라서 역함수가 존재함 .

이 때 , 역함수는 y=5x+25 를 x 에 대해 풀면 됨 .

즉 , x=(1/5)y-5 임 .

이 역함수도 모든 y 값에 대해 도함수 dx/dy=1/5 로 0 보다 큼 ( 양수 ). 따라서 강증가함수임 .

역함수 (inverse function) 의 미분법칙 - 예 : 함수 y=5x+25 는 도함수 dy/dx=+5 를 갖고 , 이것은 x 값에 관계없이 항상 양수임 . 즉 , 강증가함수임 .

따라서 역함수가 존재함 .

이 때 , 역함수는 y=5x+25 를 x 에 대해 풀면 됨 .

즉 , x=(1/5)y-5 임 .

이 역함수도 모든 y 값에 대해 도함수 dx/dy=1/5 로 0 보다 큼 ( 양수 ). 따라서 강증가함수임 .



역함수 (inverse function) 의 미분법칙 - y=f(x) 의 graph 와 x=f-1(y) 의 graph 는 축만 바뀔 뿐 똑같은 graph 임 .

- 즉 , 두 곡선은 원점을 통과하는 45 선에 대해서 서로 대칭 (mirror image) 임 .

- 이러한 대칭관계를 사용하면 원래의 함수 f 의 graph 가 주어지면 역함수 f-1 의 graph 를 쉽게 그릴 수 있음 .

역함수 (inverse function) 의 미분법칙 - y=f(x) 의 graph 와 x=f-1(y) 의 graph 는 축만 바뀔 뿐 똑같은 graph 임 .

- 즉 , 두 곡선은 원점을 통과하는 45 선에 대해서 서로 대칭 (mirror image) 임 .

- 이러한 대칭관계를 사용하면 원래의 함수 f 의 graph 가 주어지면 역함수 f-1 의 graph 를 쉽게 그릴 수 있음 .



원래 함수와 역함수의 graph 원래 함수와 역함수의 graphy=5x+25

x=(1/5)y-5

x

y

25

-5-5 0

y

x 2545



역함수 (inverse function) 의 미분법칙 - y=f(x) 의 역함수인 x=f-1(y) 의 미분법칙은 다음과 같음 .

=

- 역함수의 도함수는 원래 함수의 도함수의 역수임을 의미함 .

- 이 때문에 dx/dy 는 dy/dx 와 같은 부호를 가지게 되어 f 가 강증가 ( 감소 ) 함수이면 f-1 도 반드시 강증가 ( 감소 )

함수가 됨 ( 앞의 예 : dy/dx=5, dx/dy=1/5).

역함수 (inverse function) 의 미분법칙 - y=f(x) 의 역함수인 x=f-1(y) 의 미분법칙은 다음과 같음 .

=

- 역함수의 도함수는 원래 함수의 도함수의 역수임을 의미함 .

- 이 때문에 dx/dy 는 dy/dx 와 같은 부호를 가지게 되어 f 가 강증가 ( 감소 ) 함수이면 f-1 도 반드시 강증가 ( 감소 )

함수가 됨 ( 앞의 예 : dy/dx=5, dx/dy=1/5).

dx

dy

1

dy/dx



역함수 (inverse function) 의 미분법칙 - 예 : y=x5+x 가 주어졌을 때 , 역함수의 도함수 dx/dy?

=5x4+1 ( 항상 0 보다 큼 강증가함수 )

위 식은 역함수가 존재하므로 역함수의 미분법칙에 따라 다음과 같이 구할 수 있음 .

= =

역함수 (inverse function) 의 미분법칙 - 예 : y=x5+x 가 주어졌을 때 , 역함수의 도함수 dx/dy?

=5x4+1 ( 항상 0 보다 큼 강증가함수 )

위 식은 역함수가 존재하므로 역함수의 미분법칙에 따라 다음과 같이 구할 수 있음 .

= =

dy

dx

dx

dy

1

dy/dx

1

5x4+1

제 7 장 미분법칙과 비교정태분석

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Transcript of 제 7 장 미분법칙과 비교정태분석