第 7 章 拉伸、压缩 与 剪切
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1
第 7 章 拉伸、压缩与剪切
2
轴向拉伸——轴力作用下,杆件伸长 (简称拉伸)
轴向压缩——轴力作用下,杆件缩短 (简称压缩)
§7-1 轴向拉伸与压缩的概念和实例
3
拉、压的特点: 1. 两端受力——沿轴线,大小相等,方向相反 2. 变形—— 沿轴线
4
§7-2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力1 、横截面上的内力
F F
(1) 轴力:横截面上的内力
(2) 截面法求轴力m
m
F FN
切 : 假想沿 m-m 横截面将杆切开
留 : 留下左半段或右半段
代 : 将抛掉部分对留下部分的作用用内力代替
平 : 对留下部分写平衡方程求出内力即轴力的值
0xF
FFN
0 FFN
FFN
目 录目 录
5
(3) 轴力正负号:拉为正、压为负
(4) 轴力图:轴力沿杆件轴线的变化
由于外力的作用线与杆件的轴线重合,内力的作用线也与杆件的轴线重合。所以称为轴力。
F F
m
m
F FN
0xF
FFN
0 FFN
FFN
目 录目 录
6
已知 F1=10kN ; F2=20kN ; F3=35kN ; F4=25kN; 试画出图示杆件的轴力图。
1
1
0xFkN1011 FFN
例题 7-1
解: 1 、计算各段的轴力。AB 段
kN102010212
FFFN
BC 段
2
2
3
3
FN2F1 F2122 FFFN 0xF
0xF
kN2543 FFN
CD 段
2 、绘制轴力图。
kNNF
x
1025
10
目 录目 录
F1 F3F2 F4
A B C D
FN1F1
FN3 F4
7目 录目 录
8
2 、 横截面上的应力杆件 1 —— 轴力 = 1N, 截面积 = 0.1 cm2
杆件 2 —— 轴力 = 100N, 截面积 = 100 cm2
哪个杆工作“累”?
不能只看轴力,要看单位面积上的力—— 应力
• 怎样求出应力? ( 内力集度) 思路——应力是内力延伸出的概念,应当由
内力 应力
9
由 积分得AN d d
A
AN d
1 )静力平衡
截面各点应力的分布?
因不知道,故上式求不出应力
要想另外的办法
F
10
2 )几何变形
实验结果——变形后,外表面垂线保持为直线 平面假设——变形后,截面平面仍垂直于杆轴推得:同一横截面上各点的正应力 σ 相等,即正应力均匀分布于横截面上, σ 等于常量。于是有:
得应力:
A A ANAA
dd
AN
a bF a` b` F
c` d`
c d
F FN
σ
11
例题 7-2
图示结构,试求杆件 AB 、 CB的应力。已知 F=20kN ;斜杆 AB为直径 20mm 的圆截面杆,水平杆 CB 为 15×15 的方截面杆。
F
A
B
C
0yF
kN3.281 NF
解: 1 、计算各杆件的轴力。(设斜杆为 1 杆,水平杆为 2杆)用截面法取节点 B 为研究对象
kN202 NF
0xF
45°
045cos 21 NN FF
045sin1 FFN
1
2F
B
F
1NF
2NF x
y
45°
目 录目 录
12
kN3.281 NF kN202 NF
2 、计算各杆件的应力。
MPa90Pa1090
10204
103.28
6
62
3
1
11
A
FN
MPa89Pa1089
1015
1020
6
62
3
2
22
A
FN
F
A
B
C
45°
1
2F
B
F
1NF
2NF x
y
45°
目 录目 录
13
若杆件的横截面沿轴线变化 A(x), 轴力也沿轴线变化 FN(x) 时有:
( 2—2 )
( 2—1 )式的适用条件:外力合力的作用线必须与杆件的轴线重合。
)()( )(
xAxFx N
14
kF Fα
p α
k
§7—3 直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力 为什么研究它? 弄清楚截面方向对应力的影响
研究方法 :(1) 仿横截面应力公式去推导 (2) 找出同横截面 应力的关系
k σα
F α τα
k
k F F α k
15
由 平衡 A
α ApF d
于是 coscos A
F
A
Fp
αα
分解成正应力和剪应力,有
2coscos p
2sin2
sin p
由实验结果分析知斜截面上的应力也是均匀分布的。
16
2cos
2sin2
0 max
90 0min
45 2max
0
正负号规定: 正应力—拉应力为正,压应力为负 切应力—自外法线 n 顺时针转向它,为正;逆时针为负
0
2min
17
§7-4 材料在拉伸时的力学性能
材料的力学性能是指材料在外力的作用下表现出的变形
和破坏等方面的特性。
现在要研究材料的整个力学性能(应力 —— 应变):
理论上——用简单描述复杂
工程上——为(材料组成的)构件当好医生
从受力很小 破坏
18
一、 低碳钢拉伸时的力学性能
(含碳量 <0.3% 的碳素钢)
要反映同试件几何尺寸无关的特性
要标准化——
形状尺寸
试件的 加工精度
试验条件
国家标准规定《金属拉伸试验方法》( GB228-87 )
19
试验仪器:万能材料试验机;变形仪(常用引伸仪)
20
d
dl
10
5
试验方法 —— 拉力 F 从 0 渐增
lF
l l标距 的伸长 随之渐增
得 曲线(拉伸图)
21
为使材料的性能同几何尺寸无关: 〈将 F 除以 A〉 = 名义应力 〈将伸长 除以标距 〉 = 名义应变
从而得 应力应变图,即
曲线
22
3 、强化阶段 ——
4 、局部变形阶段 ——出现径缩
1 、弹性阶段 ——
2 、屈服阶段 ——
tanε
σE
s
P
b
23
24
•延伸率 ——
%1001
A
AA
% 1001
l
ll
•截面收缩率 ——
这两个值——材料塑性标志
值越大,塑性越强% 5 塑性
% 5 脆性
对于低碳钢% 3020
% 8060
5 、延伸率和截面收缩率
25
三、其它材料拉伸时的力学性能1 、塑性材料•看书 [P24] ,观察各有几个阶段?•没有明显屈服阶段的 把塑性应变 0.2% 对应的应力——称为名义屈服极限,表示为 2.0
6 、卸载定律及冷作硬化
26
2 、脆性材料(铸铁)铸铁拉伸时的力学性能
1 )应力—应变关系微弯曲线,没有直线阶段2 )只有一个强度指标
b
3 )拉断时应力、变形较小
结论——脆性材料 处理——以 O-A 割线的斜率作为弹性模量 A 为曲线上 1/4 点
27
§7—5 材料在压缩时的力学性能
避免被压弯,试件一般为很短的圆柱
高度 / 直径 =1.5 - 3
• 1 .低碳钢压缩时的曲线 屈服前与拉伸时大致相同
• 2 .铸铁压缩时的曲线 较小变形下突然破坏,破坏断面约 45 度
28
29
§7-6 失效、安全因数和强度条件对于拉压杆,学习了 应力计算 力学性能 如何设计拉压杆?—— 安全,或 不失效
反面看:危险,或 失效(丧失正常工作能力)
( 1 )塑性屈服:塑性材料的极限应力 σ s
( 2 )脆性断裂 脆性材料的极限应力 σ b
30
为了—— 安全,或不失效
( 1 )塑性 ns =1.5 - 2.5
• 轴向拉伸或压缩时的强度条件 —— ][max
][许用应力 (Allowable stress)——
( 2 )脆性 nb = 2 - 3.5
b
b
s
s
nn
或
根据上述强度条件,可以进行三种类型的强度计算:
一、校核杆的强度已知 Fmax 、 A 、 [σ] ,验算构件是否满足强度条件
二、设计截面
已知 Fmax 、 [σ],根据强度条件,求 A
三、确定许可载荷
已知 A 、 [σ] ,根据强度条件 , 求 Fmax
例 7—2 :图示三角形托架 ,其杆 AB 是由两根等边角钢组成。已知 F=75kN, [σ]=160MPa, 试选择等边角钢的型号。
CL2TU7
33
解: kN75:,0 FFM NABC 得由
][NABF
A
75 10
160 10
3
6 4 687 10 4 6874 2. .m cm2
选边厚为 的 号等边角钢 其3 4 2 359mm cm2, .A
例 7—3 :图示起重机,钢丝绳 AB 的直径 d=24mm , [σ]=40MPa ,试求该起重机容许吊起的最大荷载 F 。
CL2TU8解: 1. 求钢丝绳 Ab 的内力
05101015
150
22
FFM NABC
FFNAB 6.0
2. 确定容许吊起的最大荷载 F
35
62
10404
024.0][
AFAB
18 086 10 18 0863. .N kN
kN30.024=F
36
§7-8 轴向拉伸或压缩时的变形
一 纵向变形lll 1
A
Fll
EA
lFl N
E
二 横向变形
l
l
bbb 1 b
b
钢材的 E约为 200GPa, μ约为 0.25—0.33
E为弹性摸量 ,EA 为抗拉刚度
泊松比 横向应变
A
FN
目 录目 录
F F b1 b
l
ll
37目 录目 录
38目 录目 录
39
例题 7-4 AB 长 2m, 面积为 200mm2 。 AC 面积为 250mm2 。 E=200GPa。 F=10kN 。试求节点 A 的位移。
0yFkN202sin/1 FFFN
解: 1 、计算轴力。(设斜杆为 1 杆,水平杆为 2 杆)取节点 A 为研究对象
kN32.173cos12 FFF NN
0xF 0cos 21 NN FF
0sin1 FFN
2 、根据胡克定律计算杆的变形。
1mmm1011020010200
21020 369
3
11
111
AE
lFl N
A
F
1NF
2NF x
y
300
mm6.0m106.01025010200
732.11032.17 369
3
22
222
AE
lFl N
斜杆伸长
水平杆缩短目 录目 录
40
3 、节点 A 的位移(以切代弧)
A
F
1NF
2NF x
y
300
1mm11
111
AE
lFl N
mm6.022
222
AE
lFl N
A
A
1A2A
A
A
1A2A
mm111 lAA
mm6.022 lAA
mm6.02 lx
mm039.3039.1230tan30sin21
433
llAAAAy
mm1.3
039.36.0 2222
yxAA
3A
4A
目 录目 录
41
060sin6.12.18.060sin
0
oo
A
TFT
m
kN55.113/ FT
MPa1511036.76
55.11 9 A
T
例 7—5 截面积为 76.36mm² 的钢索绕过无摩擦的定滑轮
F=20kN ,求刚索的应力和 C 点的垂直位移。
(刚索的 E =177GPa ,设横梁 ABCD 为刚梁)
解 1 )求钢索内力( ABCD 为对象)
2) 钢索的应力和伸长分别为
800 400 400
D
CF
A B 60° 60°
F
A B
C
DT T
YA
XA
42
mm36.1m17736.76
6.155.11
EA
TLL
CF
A B 60° 60°
800 400 400
D
A B 60° 60° D
B' D'
12C
C
3 )变形图如左 C 点的垂直位移为:
2
60sin60sin
2
21
DDBBLC
mm79.060sin2
36.1
60sin2
o
L
§7—9 轴向拉伸和压缩的应变能
一、轴向拉伸和压缩的应变能 应变能:因变形而储存的能量
WVe F
F
l l
CL12TU1
lF 2
1
EA
lFF
2
1
EA
lF
EA
lP
22
22
l
e xxEA
xFV d
)(2
)(2
F
二、应变能密度 : 单位体积的应变能
CL12TU1F
σ
dy
dxdz
EE
ev2
2
2
2
21
应变能密度的单位: J/m3
45
§7.10 §7.10 拉伸、压缩超静定问题拉伸、压缩超静定问题
1 、问题的提出 两杆桁架变成
三杆桁架,缺一个方程,无法求解
一、超静定问题及其处理方法
C
F
A
B D
1 23
C
F
A
B
1 2
0sinsin 21 NNx FFF
0coscos 321 FFFFF NNNy
46
三杆桁架是单靠静力方程求解不了的,称为
单凭静力平衡方程不能求解 —— 超静定问题超静定问题的求解方法:
静不定——静力不能确定
超静定问题——超出了静力范围
补充变形协调方程建立本构(或物理)方程予以沟通
结合平衡方程联立求解
47
个性:杆件,桁架(杆件组合)
2 、超静定的处理方法 平衡方程 变形协调方程 本构方程
共性:超静定问题——单凭静平衡方程不能确定出
全部未知力(外力、内力、应力)
48
例: 7—6 求三杆桁架内力,杆长 L1=L2 , L3 =L
面积 A1=A2=A, A3 弹性模量 E1=E2=E, E3
C
F
A
B D
1 23
解 (1) 静力平衡方程——力学
F
A
FN1
FN3
FN2
0sinsin 21 NNx FFF
0coscos 321 FFFFF NNNy
49
11
111 AE
LFL N
33
333 AE
LFL N
(3) 本构方程——物理
( 4 )联立求解——代数
此方程于平衡方程是 3 个方程(含 3 个力未知量),解得
cos31 LL
cos33
33
11
11
AE
LF
AE
LF NN
C
A
B D
1 23
A1
1L2L3L
(2) 变形协调方程——几何
50
333
11
333
333
11
211
21
cos2
; cos2
cos
AEAE
FAEF
AEAE
FAEFF
N
NN
3 、超静定问题的解法( 1 )静力平衡方程——力学——原有基地( 2 )变形协调方程——几何——新开方向
( 3 )材料本构方程——物理——构筑桥梁
( 4 )方程联立求解——代数——综合把握
51
例 7—7 木制短柱四角用四个 40404 的等边角钢加固,角
钢和木材的许用应力分别为 []1=160M Pa 和 []2=12MPa ,
弹性模量分别为 E1=200GPa 和 E2 =10GPa ;求许可载荷 04 21 FFFF NNy
21 LL
222
22
11
111 L
AE
LF
AE
LFL NN
(2) 变形方程
(3)本构方程
解: (1) 平衡方程
P
1m
250
250
N 2
4N 1
Py
FF
y
4FN1
FN2
52
( 4 ) 联立求解得
FFFF NN 72.0 ; 07.0 21
) ( ][ 21,iAF iiNi ( 5 )求结构的许可载荷《方法 1》角钢面积由型钢表查得 A1=3.086cm2
kN104272.0/12250
72.0/72.0/2
2222
AFF N
kN4.70507.0/1606.308
07.0/07.0/ 1111
AFF N
P
1m
250
250
N 2
4N 1
Py
F Fy
4FN1
FN2
53
mm8.0/ 111 EL
mm2.1/ 222 EL 所以在 △ 1=△2 的前提下,角钢将先达到极限状态,
即角钢决定最大载荷
07.0
07.0111 AF
F N kN4.705
07.0
6.308160
另外:若将钢的面积增大 5倍,怎样?
若将木的面积缩小 10倍,又怎样?结构的最大载荷永远由钢控制着
《方法 2》
54
( 2 )变形方程
解:( 1 )平衡方程
2 、静不定问题存在装配应力一、装配应力
13 cos)( LL
§7—11 温度应力和装配应力
1 、静定问题无装配应力
下图, 3 号杆的尺寸误差为,求各杆的装配内力
A
B C
1 2
D
A1
3
0sinsin 21 NNx FFF
0coscos 321 NNNy FFFF
55
A
A13L
2L1L
11
11
33
33 cos)(AE
LF
AE
LF NN
( 3 ) 本构方程
( 4 )联立求解
/ cos21
cos
33113
211
321 AEAE
AE
LFF NN
/ cos21
cos2
33113
311
33 AEAE
AE
LFN
A1
FN1FN2
FN3
56
aa
aa
FN1
FN2
例 2—8 阶梯钢杆的上下两端在 T1=5℃时被固
定 ,上下两段的面积为 1=cm2 , 2=cm2 ,
当温度升至 T2=25℃时 ,求各杆的温度应力
弹性模量 E=200GPa ,线膨胀系数 =12.5×10-61/oC
( 2 )变形方程
解:( 1 )平衡方程 021 NNy FFF
0 NT LLL
二、温度应力1 、静定问题无温度应力2 、静不定问题存在温度应力
57
( 3 )本构方程
( 4 )联立求解得
kN3.3321 NN FF
由变形和本构方程消除位移未知量2
2
1
1 ; 2EA
aF
EA
aFLTaL NN
NT
2
2
1
12EA
N
EA
FT NN
( 5 )温度应力
MPa7.661
11
A
FN MPa3.332
22
A
FN
58
螺栓连接铆钉连接
销轴连接
§7-13 剪切和挤压的实用计算1. 实例
59
剪切受力特点:作用在构件两侧面上的外力合力大小相等、方向相反且作用线很近。变形特点:位于两力之间的截面发生相对错动。
2. 剪切的实用计算
F
F
得切应力计算公式:A
Fs
切应力强度条件: A
Fs
常由实验方法确定
假设切应力在剪切面( m-m截面)上是均匀分布的
FFm
m
FSFm
m
SF mm F
60
bsF
bsF
3. 挤压的实用计算
bs
bsbs A
F
假设应力在挤压面上是均匀分布的
得实用挤压应力公式
bsbs
bsbs A
F 挤压强度条件:
bs 常由实验方法确定
dAbs
* 注意挤压面面积的计算
F
F
61
bsbs
bsbs A
F 挤压强度条件:
7.05.0
切应力强度条件: A
Fs
脆性材料:
塑性材料: 5.25.1 bs
0.18.0 5.19.0 bs
4. 强度条件
62
cb
F
A
F
bs
bsbs
lb
F
A
Fs
63
dh
F
A
F
bs
bsbs
2
4
d
F
A
Fs
为充分利用材料,切应力和挤压应力应满足
2
42
d
F
dh
F
hd
8 2bs
64
dh
F
A
F
bs
bsbs
2
4
d
F
A
Fs
为充分利用材料,切应力和挤压应力应满足
2
42
d
F
dh
F
hd
8 2bs
65
图示接头,受轴向力 F 作用。已知 F=50kN , b=150mm ,δ=10mm , d=17mm , a=80mm , [σ]=160MPa, [τ]=120MPa, [σbs]=320MPa,铆钉和板的材料相同,试校核其强度。
][MPa1.43101.43
01.0)017.0215.0(
1050
)2(6
3
db
F
A
FN
2. 板的剪切强度][MPa7.15107.15
01.008.04
1050
46
3
a
F
A
Fs
解: 1. 板的拉伸强度
d
b a
例题 7-9
66
3. 铆钉的剪切强度
][MPa11010110
017.0π
10502
π
2
π2
4
6
2
3
22
d
F
d
F
A
Fs
4. 板和铆钉的挤压强度
][MPa14710147
01.0017.02
1050
26
3
bs
bs
bsbs d
F
A
F
结论:强度足够。
d
b a
67
小结
1.研究对象2.轴力的计算和轴力图的绘制3. 典型的塑性材料和脆性材料的主要力学性能及相 关指标4.横截面上的应力计算,拉压强度条件及计算
5.拉(压)杆的变形计算,桁架节点位移6.拉压超静定的基本概念及超静定问题的求解方法
目 录目 录
7. 连接件的强度计算