1

77הרצאה הרצאה

מבוא לסטטיסטיקה מבוא לסטטיסטיקה

התפלגות נורמליתהתפלגות נורמלית

2

תכונות של התפלגות נורמלית

התפלגות סימטרית חד-שיאית )א( בתצורה של פעמון.

)ב( הממוצע, השכיח והחציון הנם שווים.

2)ג( ההתפלגות מאופיינת בעזרת פרמטרים:

μ ממוצע ההתפלגות: • σ סטית התקן של ההתפלגות: •

)ד( ההתפלגות מוגדרת על פני .+ עד ל- - התחום מ-

בהתפלגות נורמאלית בלבד נופלים • מהתצפיות כאשר סטיית התקן 99.7

( מהממוצע+3)

Mean = Median = Mode

f)X(

μ

σ

)f)Xהפונקציה נקראת

העקום הנורמלי, או,פונקצית הצפיפות

שלההתפלגות .הנורמלית

פונקצית הצפיפות של

התפלגות נורמלית.

3

הנוסחה של פונקצית הצפיפות של ההתפלגות הנורמלית

2μ()X

2

1

e2π

1f)X(

הנוסחה של פונקצית הצפיפות של התפלגות נורמלית •מוגדרת באופן הבא:

.2.718 הקבוע המתמטי השווה בקירוב ל- e= כאשר

π -3.14= הקבוע המתמטי השווה בקירוב ל

μממוצע ההתפלגות =

σסטית התקן של ההתפלגות =

x ערך כלשהו השייך לתחום ההגדרה של ההתפלגות = הנורמלית.

פונקצית פונקצית הצפיפות של התפלגות נורמלית נקראת גם הפעמון.

4

על אופי σ ו- μההשפעה של ההתפלגות הנורמלית

X

f)X(

CA

B

הבהר את מערכת היחסים בין הממוצעים של ההתפלגויות A, B -ו C.וכן בין סטיות התקן של שלושת ההתפלגויות ,

5

התפלגות נורמלית מתוקננת.σ וסטית תקן μ עם ממוצע Xנתונה התפלגות נורמלית

, המוגדרת באופן הבא:Zאזי ההתפלגות המתוקננת,

והיא בעלת: נורמלית סטנדרטיתנקראת התפלגות

.1 וסטית תקן 0ממוצע

X

Z

, נקראת 1 וסטית תקן 0ממוצע בעלת התפלגות נורמלית

התפלגות נורמלית סטנדרטית.

6

ערכים מתוקננים עבור התפלגות נורמלית: דוגמה

היקף המכירות השנתי לחנות, )במיליוני דולרים(, של Xיהא •רשת בתי כלבו בפלורידה.

.5 וסטית תקן 10 מתפלג באורח נורמלי עם ממוצע Xהנח כי • 20 בהיקף של 2006החנות של הרשת בדרום גיינסוויל מכרה בשנת •

מיליון דולר. הנו:x= 20הערך המתוקנן עבור היקף מכירות שנתי •

יוצא אפוא שהיקף המכירות השנתי של החנות בדרום גיינסוויל גבוה • סטיות תקן ממוצע המכירות השנתי של הרשת לחנות.2 ב-

25

1020

x

z

7

יחסי הגומלין בין ההתפלגות הנורמלית X וההתפלגות המתוקננת

Z)דוגמה-המשך(

Z10

2.0020 X )μ = 10, σ = 5(

)μ = 0, σ = 1(

הנן זהות. רק קנה המידה וראשית Z ו- Xשתי ההתפלגויות: הצירים הנם שונים.

ניתנת לניתוח Xכל בעיה סטטיסטית לגבי ההתפלגות ופתרון

.Zבמונחים של המשתנה המתוקנן

8

תכונות מרכזיות של ההתפלגות הנורמלית

1השטח הכולל מתחת לעקום הנורמלי הנו.

השטח מתחת לעקום הנורמלי משמאל לממוצע μ הנו 0.5.

השטח מתחת לעקום הנורמלי מימין לממוצע μ הנו 0.5.

f)X(

0.50.5

9

חישוב הסתברויות עבור התפלגות נורמלית

a b

f)X(

, נמדדות בעזרת השטח Xההסתברויות בהתפלגות נורמלית, מתחת לעקום הנורמלי.

P)a ≤ X ≤ b( ,הנה ההסתברות שההתפלגות הנורמלית X תקבל ,ערך

, והיא שווה לשטח מתחת לעקום הנורמלי ה"כלוא" b לבין aבין

. b לבין aבין P)a ≤ X ≤ b(

10

חישוב הסתברויות עבור התפלגות נורמלית

μ

X, ההסתברות שההתפלגות הנורמלית a: לכל ערך נתון תכונה.0 הנה aתקבל את הערך

)P)X=a( = P)a ≤ X ≤ a: הסבר

מתחת לעקום הנורמלי{ = aשטח הקו הממוקם ב- 0{ =

a

וסטית תקן μ עם תוחלת X נתונה התפלגות נורמלית σ .

11

טבלאות של התפלגות נורמלית סטנדרטית

Zz 0

, קיימות טבלאות Zעבור התפלגות נורמלית סטנדרטית, את ההסתברות המצטברת:Z של ההתפלגות zהמספקות לכל ערך

שהנה השטח ה"כלוא" מתחת לעקום .zהנורמלי הסטנדרטי משמאל לנקודה

()z

()() zZPz

מציג את 7 להרצאה 1נספח

לוח ההסתברויות

המצטברות עבור התפלגות נורמלית סטנדרטית.

12

טבלאות של התפלגות נורמלית סטנדרטית

Z .00 .01 .02

0.0 .5000 .5040 .5080

0.1 .5398 .5438 .5478

0.2 .5793 .5832 .5871

0.3 .6179 .6217 .6255

5478120 .(.)

השורה העליונה בטבלה מציינת את הספרה

z העשרונית השנייה של הערך של

הטור השמאלי בטבלהz מציין את ערכו של

עד לספרה העשרוניתהראשונה

המספר המוצג בטבלה מציין את

ההסתברות המצטברת:.z עד לערך

()z

13

חישוב הסתברויות עבור התפלגות נורמלית סטנדרטית

a b

f)X(

, חשב את ההסתברותZעבור התפלגות נורמלית סטנדרטית,

P(a ≤ Z ≤ b)

()()() abbZaP

14

חישוב הסתברויות עבור התפלגות נורמלית סטנדרטית

, חשב את ההסתברות Zעבור התפלגות נורמלית סטנדרטית,

P(Z > a)

Za

0

P)Z ≤ a(P)Z > a( = 1 - P)Z ≤ a(

()()() zaZPaZP 11

15

חישוב הסתברויות עבור התפלגות נורמלית סטנדרטית:

דוגמאות

29800530 .(.)

(.)(.) 530530 ZP

)א( חשב בעזרת לוח ההסתברויות של התפלגות נורמלית סטנדרטית את:

Z 0.02 0.03 0.04

-0.6 0.2680 0.2640 0.2610

-0.5 0.3010 0.2980 0.2950

-0.3 0.3370 0.3340 0.3300

האזור הרלבנטי של הלוח הנורמלי נראה כדלהלן:

16

חישוב הסתברויות עבור התפלגות נורמלית סטנדרטית:

דוגמאות

80780870 .(.)

(.)(.) 870870 ZP

)ב( חשב בעזרת לוח ההסתברויות של התפלגות נורמלית סטנדרטית את:

Z 0.06 0.07 0.08

0.7 0.7764 0.7794 0.7823

0.8 0.8051 0.8078 0.8106

0.9 0.8315 0.8340 0.8365

האזור הרלבנטי של הלוח הנורמלי נראה כדלהלן:

17

חישוב הסתברויות עבור התפלגות נורמלית סטנדרטית:

דוגמאות

(.)(.) 2701270 ZP

(.)(.)(..) 60313160 ZP

17750725709032060313160 ...(.)(.)(..) ZP

)ג( חשב בעזרת לוח ההסתברויות של התפלגות נורמלית סטנדרטית את:

בעזרת הלוח הנורמלי אנו מקבלים:

)ד( חשב בעזרת לוח ההסתברויות של התפלגות נורמלית סטנדרטית את:

בעזרת הלוח הנורמלי אנו מקבלים:

393606064012701270 ..(.)(.) ZP

18

חישוב הסתברויות עבור התפלגות נורמלית סטנדרטית:

דוגמאות

67503 .Q

7503 .() Q

)ה( מצא בעזרת לוח ההסתברויות של התפלגות נורמלית סטנדרטית את

.Q3 הרבעון השלישי של ההתפלגות – Q3:מקיים את המשוואה הבאה

Z 0.07 0.08

0.5 0.7157 0.7190

0.6 0.7486 0.7517

0.7 0.7794 0.7823

האזור הרלבנטי של הלוח הנורמלי נראה כדלהלן:

לכן:

19

חישוב הסתברויות עבור תחומים סימטריים מסביב לממוצע עבור התפלגות נורמלית

סטנדרטית

121

()(])[()

()()()

zzz

zzzZzPZ

= 0

–z z

בגלל תכונת הסימטריה של ההתפלגות הנורמלית מתקיימים הקשרים הבאים:

()()

()()

zzZP

zZPz

11

לכן:

20

ריכוז התצפיות מסביב לממוצע עבור התפלגות נורמלית סטנדרטית

אחוז התצפיות המצוי בתחום סימטרי מסביב לממוצע

עבור התפלגות נורמלית סטנדרטית תחום

 

   

    3σ0

σ0

2σ0

%()() 6811211 ZP

%()() 9512222 ZP

%.()() 749913233 ZP

ניתן לחשב את19בעזרת הנוסחה שפותחה בשקף

.0ריכוז התצפיות של התפלגות נורמלית סטנדרטית מסביב לממוצע ההתפלגות

12 ()() zzZzP

21

X

f)X(

התפלגויות נורמליות לא סטנדרטיות

להתפלגויות נורמליות שונות שונים.σו- μיש ערכי

לכל התפלגות יש לכאורה צורך

בטבלת הסתברויות נפרדת.

המדובר באינסוף טבלאות

22

חישוב הסתברויות עבור התפלגות נורמלית

שיטת החישוב: .Z בעזרת המשתנה המתוקנן P(X < a)הצג את ההסתברות •

חשב את ההסתברות בעזרת טבלאות של התפלגות נורמלית •

סטנדרטית.

. σ וסטית תקן μ משתנה נורמלי עם ממוצע X: יהא בעיה

P(X < a)חשב את ההסתברות

23

חישוב הסתברויות עבור התפלגות נורמלית: דוגמה

X

8.6

8.0

של download משך הזמן הנדרש )בשניות( לבצע Xיהא סרטון

וידאו. וסטית תקן 8.0 הנו משתנה נורמלי עם ממוצע Xהנח כי

2.0.

בכדי לחשב את ההסתברות.P(X < 8.6)חשב את ההסתברות •

המבוקשת, נעבור למשתנה

נורמלי סטנדרטי ונסתייע

בלוח ההסתברויות של

התפלגות נורמלית סטנדרטית.

24

חישוב הסתברויות עבור התפלגות נורמלית: דוגמאות

,2.0 וסטית תקן 8.0)א( עבור התפלגות נורמלית עם ממוצע

P(X < 8.6חשב את ההסתברות )

Z0.12 0X8.6 8

μ = 8 σ = 2

μ = 0σ = 1

P)X < 8.6( P)Z < 0.3( = .6179

61793002

086868 .(.)(

.

..)(.)

X

PXP

25

חישוב הסתברויות עבור התפלגות נורמלית: דוגמאות

,2.0 וסטית תקן 8.0)ב( עבור התפלגות נורמלית עם ממוצע

P(7.2 < X < 8.5חשב את ההסתברות )

253703450059870

402502504002

0858

02

08275827

...

(.)(.)(..)

(.

..

.

..)(..)

ZP

XPXP

26

ריכוז התצפיות מסביב לממוצע עבור התפלגות נורמלית כללית

אחוז התצפיות המצוי בתחום סימטרי מסביב לממוצע

עבור התפלגות נורמלית כללית תחום

 

   

    3σ

σ

2σ

%()() 68112 XP

%()() 9512222 XP

%.()() 749913233 XP

. הטבלה הבאה מפרטת אתσ וסטית תקן μ משתנה נורמלי עם ממוצע Xיהא

אחוז התצפיות המצוי בטווח סימטרי מסביב לממוצע ההתפלגות.

27

חישוב הסתברויות עבור התפלגות נורמלית סטנדרטית בעזרת אקסל

לצורך חישוב הסתברויות עבור Excelניתן להסתייע בתוכנת התפלגות

נורמלית כללית.

לחישוב פונקצית Excelהטבלה הבאה מציגה את פונקציות ה- הצפיפות

f)x( ופונקצית ההסתברות המצטברת עבור התפלגות נורמלית עם

. σ וסטית תקן μממוצע σ וסטית תקן μהתפלגות נורמלית עם ממוצע

פונקצית ההסתברות המצטברת פונקצית הצפיפות (,,,) FALSExNORMDIST (,,,) TRUExNORMDIST

יש מגוון דוגמאות לחישוב הסתברויות בעזרת 7 להרצאה 2בנספח אקסל

עבור התפלגות נורמלית כללית.

28

בחינת טיב ההתאמה של סדרה סטטיסטית להתפלגות נורמלית

בעולם המעשה יש מגוון רחב של התופעות המתפלגות באורח •נורמלי.

בפועל, בכדי לאמת שסדרת תצפיות סטטיסטיות תואמת את •ההתפלגות הנורמלית יש לבצע את הבדיקות הבאות:

האם הממוצע השכיח והחציון הנם קרובים האחד לשני?–האם התיאור הגרפי של הסדרה הסטטיסטית בעזרת –

היסטוגרמה תואם את ההתפלגות הנורמלית?מן התצפיות, בקירוב, נמצאות בטווח של סטית 2 3/האם כ-–

תקן אחת מן הממוצע? מן התצפיות, בקירוב, נמצאות בטווח של שתי 95%האם כ-–

סטיות תקן מן הממוצע?