П 69 В.В. Столярова, В.Н. Шевляков · 2020-06-10 · киванием ' —...

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ЮЖНО-РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (НПИ) имени М.И.Платова

ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИКЕ

Учебное пособие

издание третье исправленное, дополненное

под редакциейН И. БЕССАРАБОВА, Г.В. ДОДОХОВОЙ

Новочеркасск 2014

УДК 51(075.8) ББК 22.1 я 73

П 69

Рецензент: доктор физ.-мат. наук, проф. А.Э. Пасенчук,

Авторы: П.А. Безгласный, Г.А. Бергер, Н.И. Бессарабов, Г.В. Додохова, Т.В. Дорф, Д.А. Радулевич,В.В. Столярова, В.Н. Шевляков

Практикум по математике: учебное пособие / Юж.-Рос. гос. политехн. ун-т (НПИ). — Новочеркасск: ЮРГПУ(НПИ), 2014. — 328 с.

Пособие содержит краткое изложение теории, решение основных типовых задач, задачи для работы в аудитории и дома.

Рекомендовано к использованию в учебном процессе для студентов первого и второго курсов всех направлений подготовки бакалавриата и специальностей ЮРГПУ(НПИ), протокол № 8 заседания кафедры высшей математики от 9 июня 2014г.

УДК 51(075.8) ББК 22.1 я 73

© Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И.Платова, 2014

© П.А. Безгласный, Г.А. Бергер, Н.И. Бессарабов, Г.В. Додохова, Т.В. Дорф, Д.А. Радулевич,В.В. Столярова, В.Н. Шевляков, 2014

ОглавлениеПредисловие......................................................................................... ..6

1. Линейная алгебра...............................................................................7Занятие 1. Определители.............................................................7Занятие 2. Операции над матрицами. Ранг матрицы....................11Занятие 3. Обратная матрица. Матричные уравнения.............. ...15Занятие 4. Матричный способ решения систем линейных 20

уравнений. Формулы Крамера..................................Занятие 5. Метод Гаусса..............................................................23

Контрольные задания по теме «Линейная алгебра»..........................272. Аналитическая геометрия............................................................. ....28

Занятие 6 . Линейные операции над векторами......................... ..28Занятие 7. Скалярное произведение векторов.......................... ...32Занятие 8. Векторное и смешанное произведения векторов........36Занятие 9. Прямая на плоскости............................................... ...41Занятие 10. Кривые второго порядка.......................................... ...45Занятие 11. Плоскость...................................................................51Занятие 12. Прямая в пространстве и плоскость......................... ..55Контрольные задания по теме «Аналитическая геометрия».............59

3. Функции одной переменной. Предел. Непрерывность....................62Занятие 13. Функция.....................................................................62Занятие 14. Предел функции. Непрерывность...............................67Занятие 15. Замечательные пределы..............................................73Контрольные задания по теме «Функции одной переменной. Предел. Непрерывность».............................................................. ..........76

4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.........77Занятие 16. Производная. Геометрический смысл производной.. 77 Занятие 17. Механический смысл производной. Дифференциал.

Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно......................................... ............... 82

Занятие 18. Вычисление пределов по правилу Лопиталя...............88Занятие 19. Экстремумы функции одной переменной................ ..91Занятие 20. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки переги

ба. Асимптоты.............................................. ..............96Занятие 21. Полное исследование функции, построение графи

ка.................................................................... ............101Контрольные задания по теме «Дифференциальное исчислениефункции одной переменной»............................................................105

5. Интегральное исчисление функций одной переменной............. .....106Занятие 22. Неопределенный интеграл....................................... ...106Занятие 23. Интегрирование по частям в неопределенном инте

грале. Метод подстановки...........................................111Занятие 24. Интегрирование рациональных дробей......................114Занятие 25. Определенный интеграл и его свойства................... ...119

3

Занятие 26. Основные методы вычислений определенногоинтеграла....................................................................125

Занятие 27. Вычисление площадей плоских фигур........................127Занятие 28. Длина дуги кривой. Объем тела вращения.............. ...131Занятие 29. Несобственные интегралы....................................... ...135

Контрольные задания по теме «Интегральное исчислениефункции одной переменной»......................................................... ..137

6. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.............................................................................................139

Занятие 30. Функции нескольких переменных........................... ...139Занятие 31. Частные производные. Полный дифференциал и его

применение.............................................................. ..141Занятие 32. Дифференцирование сложных и неявных функций... 146Занятие 33. Скалярное поле...........................................................151Занятие 34. Экстремумы функции двух переменных.................. ..155

Контрольные задания по теме «Дифференциальное исчислениефункций нескольких переменных»............................................... ...158

7. Интегрирование функций нескольких переменных........................160Занятие 35. Двойной интеграл и его вычисление....................... ...160Занятие 36. Некоторые приложения двойного интеграла......... .... 165Занятие 37. Криволинейный интеграл........................................ ...170

Контрольные задания по теме «Интегрирование функцийнескольких переменных»............................................................. ... 174

8. Дифференциальные уравнения.................................................... ....175Занятие 38. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальные уравнения с разделяющимисяпеременными, однородные...................................... ...175

Занятие 39. Линейные дифференциальные уравнения первогопорядка. Уравнения Бернулли....................................179

Занятие 40. Дифференциальные уравнения второго порядка,допускающие понижение порядка........................... ...181

Занятие 41. Линейные дифференциальные уравнения второгопорядка.................................................................... ...184

Занятие 42. Линейные дифференциальные уравнения второгопорядка с постоянным и коэффициентами со специальной правой частью..................................... ........... 187

Контрольные задания по теме «Дифференциальные уравнения»... 1909. Ряды............................................................................................... .....192

Занятие 43. Числовые ряды. Необходимый признак сходимости...192 Занятие 44. Достаточные признаки сходимости рядов с положи

тельными членами. Знакопеременные ряды................196Занятие 45. Степенные ряды. Область сходимости........................200Занятие 46. Ряды Тейлора..............................................................205Занятие 47. Ряды Фурье ................................................................209

4

Занятие 48. Ряды Фурье для чётных и нечётных функций. Разложение в ряд Фурье непериодической функции..... ..214

Контрольные задания по теме «Ряды»........................................ ......22010. Элементы теории функций комплексного переменного................222

Занятие 49. Действия над комплексными числами валгебраической форме. Модуль и аргумент...............222

Занятие 50. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме. Множества комплексныхчисел........................................................................... 227

Занятие 51. Геометрическое истолкование однозначнойфункции комплексного переменного. Производная.. 230

Занятие 52. Элементарные функции комплексного переменного. 234 Контрольные задания по теме «Элементы теории функцийкомплексного переменнго»............................................................ ..237

11. Задачи повышенной трудности к разделам 1-10......................... ...23912. Основные понятия теории вероятностей..................................... ...242

Занятие 53. Элементы комбинаторики....................................... ...242Занятие 54. Вероятность события. Классическое и геометриче

ское определения вероятности события... 246 Занятие 55. Алгебра событий. Теоремы умножения и сложения

вероятностей............................................................ ..252Занятие 56. Формулы полной вероятности и Байеса................... ...259Занятие 57. Формулы Бернулли, Лапласа, Пуассона................... ..266Контрольные задания по теме «Основные понятия теориивероятностей»............................................................................... ... 271

13. Случайные величины.......................................................................272Занятие 58. Дискретные случайные величины........................... ..274Занятие 59. Непрерывные случайные величины...................... . 282Контрольные задания по теме «Случайные величины».................... 289

14. Математическая статистика....................................... .....................291Занятие 60. Понятие выборочной совокупности. Графическое

представление выборки............................................ ...291Занятие 61. Точечные и интервальные оценки...............................300Занятие 62. Проверка статистических гипотез...............................306

Библиографический список.............................................................. ... 314Комментарии..........................................................................................316Приложения........................................................................................ ...324

Приложение 1....................................................................................3 24Приложение 2....................................................................................325Приложение 3....................................................................................327Приложение 4....................................................................................328

5

Памяти наших учителей

ПредисловиеНастоящее пособие составлено в соответствии с федеральным госу

дарственным образовательным стандартом высшего профессионального

образования третьего поколения по дисциплине «Математика».

Пособие состоит из четырнадцати разделов, которые включают 62 практи

ческих занятия. В каждом практическом занятии приводятся основные по

нятия и формулы по изучаемой теме, задачи для решения в аудитории, до

машнее задание, дополнительные задачи для самостоятельной работы и

решения основных типовых задач. Для всех заданий приводятся ответы.

В конце каждой темы приводятся контрольные задания, которые

определяют уровень сложности и содержание материала, используемого

при проведении промежуточных аттестаций студентов.

В конце пособия приведены комментарии о великих математиках.

При написании пособия авторы использовали справочную литературу,

учебники, сборники задач [1-10] и методические разработки преподавате

лей кафедры высшей математики ЮРГПУ(НПИ) [11-33].

Пособие предназначено для студентов 1 -го и 2-го курсов и преподавате

лей.

Авторы выражают благодарность выпускнику энергетического фа

культета А.Е. Березкину за выполнение рисунков в третьем издании прак

тикума.

6

1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕИНОИ АЛГЕБРЫ Занятие № 1. Определители

Основные понятия: матрица, транспонирование матриц, определитель матрицы, определители 2-го порядка, определители 3-го порядка, свойства определителей, минор элемента, алгебраическое дополнение, правило разложения определителя по элементам строки (столбца)[1, с. 263-267].

Числовой матрицей А размера m х n называется таблица из m строк и n столбцов вида

А =

и21

a12 a1na22 a2n

a a

или А = ( aij ), i = 1, m, j = 1, n ,

где ai

Vam1 am2 • • • amn J□ -элемент матрицы, стоящий на пересечении i - той строки и

j - того столбца.

Если строки матрицы A = ( atj ) размера m х n сделать столбцами с

теми же номерами, то получим матрицу AT = ( ajt ) размера n х m , которая

называется транспонированной к матрице A .Матрица, у которой число строк совпадает с числом столбцов

(m = n), называется квадратной матрицей n - го порядка.Каждой квадратной матрице n - го порядка можно поставить в соот

ветствие число называемое определителем и вычисляемое по определенному правилу:n = 1 detA = a 11 (определитель первого порядка);

n = 2, detA = 11 12 = an a22 - a^a21 (определитель второго порядка);

n = 3, det A

a11 1a 2 = a11 a

21 a 22

a11 a12 a13

a21 a22 32a

3a3 23a3 a33

a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a32 a21

- a13a22a31 - a12a21a33 - an a23a32 (определитель третьего порядка).

Другие обозначения определителя матрицы A : A , А.

В общем случае применяется правило, называемое разложением определителя по любой строке (столбцу), например, по i-ой строке:

det A =

а11 a12 аIn

а21 a22 а2 п

аn1 an 2 апп

- ап ' 4-1 + ап ' 4 - 2 + • ■• • + a in ' 4 п 9

7

где 4 = ( - 1) '+' • M tj - алгебраическое дополнение элемента a- , а M tj -

минор элемента a- , т.е.-определитель, полученный из исходного вычер

киванием ' — ой строки и j — го столбца.Например, определитель 3-го порядка может быть вычислен разло

жением по элементам 1-й строки

Д =

или по элементам 2-го столбца

Д = —й

a 11 a 12 a 13a 22 a 23 a 21 a 23

+ a i3a 21 a 22

a 21 a 22 a 23 = a 11a 32 a 33

— a 12a 31 a 33 a 31 a 32

a 32 a 33

a21 a23 a11 a13 ai1 a13a12 + a22 i a U) 2

a31 a33 a31

Q

a21 a23Диагональ определителя, образованная элементами ai 1, а2 , аъъ,...,ann,

называется главной диагональю.Определитель, у которого все элементы, находящиеся выше или ниже главной диагонали, равны нулю, называются определителем треугольного вида.Свойства определителей:

1. det A T = det A .2. Определитель не изменится, если прибавить к элементам какой-

либо строки (столбца) соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольное число.

3. Определитель изменит знак при перестановке двух строк (столбцов).

4. det A = 0, если он содержит а) нулевую строку (столбец); б) две совпадающие строки или два совпадающих столбца; в) строку (столбец), являющуюся линейной комбинацией других строк (столбцов).

5. Определитель треугольного вида равен произведению диагональных элементов.

ЗадачиВычислить определители:

cos2a — sin 2a

sin 2a cos2a

1 —21. . 2.

3 43.

v a —2

3a -Ja

Вычислить определители, разложив по элементам какой-либо строки или столбца:

1 2 3 1 2 2 2 0 — 1

4. 4 5 6 . 5. 0 — 1 3 . 6. 3 4 a

7 8 9 4 3 —2 0 — 1 a

8

Вычислить определители, предварительно их упростив, используя свойства, и сделав в какой-либо строке или столбце два элемента равными нулю, или приведя их к треугольному виду:

4 —1 —2 1 —3 —2 4 —1 2

7. 15 —10 5 . 8. 1 —6 5 . 9. 0 —1 3

4 —2 2 —1 9 3 16 10 2

Домашнее заданиеВычислить определители:

0 1 3 2 cos х 2 sin х10. . 11.

2 7 —2 sin х 2 cos х

12. Дан определитель

3

—4

—5

4

0

-2 2

. Найти миноры и алгебраические до

полнения элементов , « 32.

Вычислить определители двумя способами: используя разложение определителей по строке и приведением их к треугольному виду:

3 0 2 3 —2 —4

13. 1 4 17 . 14. 4 — 1 —2

0 1 —2 5 — 1 —3

15. Решить уравнение и сделать проверку:х2 4

x 2= 0.

15. Решить неравенство:

1 х 1

0 х 1

х 0 — х

> —1.

Дополнительные задачи для самостоятельной работыРешить уравнения и сделать п зоверку:

х 2 4 9 2 0 1

(О X 1 3

17. = 0 . 18. X 2 3 = 0 . 19. 0 2 3 = 04 1

1 1 1 log2 х — 1 —3

9

Реш и ть неравенства:

X +1 1 1 1 0

20. -4 X +1 1 Л 0 2 . 1 1 3

1 1 1 log 1 X 1 - 5

21 2 3 4

2 3 4 122. Вычислить определитель

3 4 1 2

4 1 2 3

< 0.

Решение типовых задач3

Пример 1. Вычислить определитель А =

разложив его по элементам первой строки.

5

11

2 5

12 17

9 19

12 17 5 17 5 12< А = 3 - 2 + 5

9 19 11 19 11 9

Пример 2. Вычислить определитель, приведя его к треугольномувиду:

1 -2 5

1 -1 7

1 3 3

< Обозначим j - тую строку определителя S j . Тогда, используя

свойство 2 определителей, получим треугольный вид определителя, значение которого равно произведению элементов главной диагонали:

= -12. >

Ответы

1. 10. 2. 1. 3. 7а. 4. 0. 5. 25. 6. 10a + 3. 7. -50. 8. -45. 9. -144. 10. 6. 11. 4.12. M 13 = 8, Дз = 8 , M 32 = 23, Д32 = -23. 13. - 73. 14. - 5. 15. {0 ;2 }.

16. [-1;1]. 17. 3,5. 18.{2;3}. 19. 0,125. 20. (-4 ;0 ). 21. [0,5; +да). 22. 160.

1 -2 5 S2 - S1 1 -2 5 1 -2 5

А = 1 -1 7 = 0 1 2 = 0 1 2

1 3 3 S3 - S1 0 5 -2 S3 1 5 S 2 0 0 -12

10

Занятие № 2. Операции над матрицами. Ранг матрицыОсновные понятия: единичная и нулевая матрицы, транспонирова

ние матриц, сумма матриц, произведение матрицы на число, произведение матриц, свойства операций над матрицами, элементарные преобразования матриц, ранг матрицы [1, с. 259-263].

Суммой A + B двух матриц A = ( ay j и B = ( by j одинакового разме

ра m x n называется матрица C = ( Cy j того же размера, элементы которой

определяются равенствами:

Cij = aij + bij, i = 1 J = 1, П.Произведением XA матрицы A на число X е R , называется матрица

C = ( ciy j того же размера, элементы которой определяются равенствами:

Cij = M y , i = 1, m, j = 1, n .

Произведением A B матрицы A = ( aiJ- j размера m x k на матрицу

B = ( bij j размера к x n называется матрица C = ( Cy j размера m x n , у ко

торой элемент Cy равен сумме произведений элементов i - той строки мат

рицы A и j - го столбца матрицы B , т.е.

Cij = a i1 • b1,j + a i 2 • b2 j + - + a ik • bkj = S a is • bsj, где i = 1, J = 1, n .'2 j kJ J

1. Даны матрицы A

s=1Задачи

f 2 -3 Л f 3 1Ли B =

V 1 - 2 , V0 5,, E - единичная матрица вто

рого порядка. Найти:а) A + B ; б) 2A + 3B; в) A B ;

<2 ' ">Г7- е) det(AB) - det A • det B.г) A 2 + 3E ;

2. Дана матрица A

д) AB - B A ;

1 2 3Л

V3 2 1

\

. Найти: а) A A T ; б) det ( AT A j .J

3. Найти произведение матриц:

r 0 0 1Л

а)1 1 2

4 3 1

5 1 2

1

2

0 л

1

1 3 V1Уб)

Г1 Л

V 2 У(1 -2 - 3).

11

k

Найти ранг матрицы:

4.1 -2 1 3

2 -4 2 -5.

7.

1 2 -1 1 - 3

3 -1 1 6 11

1 -1 -1 4 13

8.

f"2 1 0 Лf 1 2 3 Л

3 -3 64 8 12 6.

3 0 2V 3 6 9V У

Vv4 0 0 ,

f 0 1 1 0 Л f 1 2 3 4 ^

1 0 1 1 2 4 6 8. 9.

1 1 0 1 3 6 9 13

V 0 1 1 0, V 5 10 15 21,

10. Даны матрицы A =

Домашнее задание

^4 2 f 0 -3 Л

V3 1 уи B =

V1 - 2 У. Найти:

а) 3 A - 2B ; б) A (A - B ) ; в) det(A T BT + 2E ) ( E - единичная

матрица второго порядка).

f 2 1 0 f -1 -1 1 f -1 2Л

11. Даны матрицы A = - 1 3 4

V-2 0 1У

, B = 1 0

1 -1

, C = 0 3

v 1 1 у

Найти A C + B C и ( A + B )C .

Найти произведение матриц:

r 1 -2 4 Y 2 f 1 -1 л

12. 2 - 1 5

3 -3 1

1

yv 0 У

13. 0 -3

2 - 2 ,v 2 2 уV-1 -2y

14. Найти f (A) , если f (x ) = x - 9x + 20, A =

Найти ранг матрицы:

f 6 2Л

2 3V у

15.

А1 2 3Л

2 4 5

V4 8 9У

16.

2 3 1 -1

3 1 4 2

1 2 3 -1

1 -4 -7 5

12

Дополнительные задачи для самостоятельной работы

17. Пусть A

A + 2 X = -2 B .

2 3

' 3 1 4 1 4 1 Ui , B =

, 0 1 ,

m

0

(N . Найти матрицу X из уравнения

18. Найти матрицу X из уравнения:

Г 0 4 -1 ' 2 8 -

2 2 -2 II2- 6 0 2

, 1 0 1 , ,-1 4 7 ,

г \ 2Л

V3 0J19. Найти f (A ) , если f (x) = -2 x + 5x + 9, A

220. Даны функции f (x ) = 2 x - 3 и g (x ) = x +1. Найти f (A ) - g (B ), если

A =3 1Л ' 0 2 ^

, B =, 2 2 , , 1 - 1 ,

21. Найти ранг матрицы

r \ 2 -1 0Л

3 -1 -2 2

2 3 -1 0

V1 -1 0 XJ

при различных значениях X.

22. Дана матрица A =

1 X -1 2

2 -1 X 5

v 1 10 -6 1 J

. Найти X , при котором rangA = 2.

Решение типовых задач' 1 2Л г 5 6^

+ 2B , где A = и B =3 4 V3 4 v7 8,

< Ат +2В =г 1 2Л

T+ 2

Г 5 6 Л Г1 3 Л+^10 12

, 3 4, . 7 8 , , 2 4 , 4 6

г 1 +10 3 + 12Л Г11 15^

2 +14 4 +16 , ,16 2 0 ,

13

B

Пример 2. Найти произведение BA матриц A —

/4 7

1 8

( 2

v1 0и

v3 1j< Произведение BA существует, так как матрица B имеет размер 3 х 2, а матрица A имеет размер 2 х 2, т.е. число столбцов матрицы B совпадает с числом строк матрицы A .

BA —

( 4 7 ( 2 5

1 8 —

3 1 , V 1 0 ,

r 4 - 2 + 7-1 4 • 5 + 7 • 0Л

1-2 + 8 -1 1 - 5 + 8 - 0

3 - 2 +1-1 3 - 5 +1 - 0

(15 20

— 10 5

, 7 15 ,

Пример 3. Найти f ( A ), если A —1 -1

v1 -1/, f (x ) — x + 2 x — 3.

< Под f ( A ) подразумевается матрица вида f ( A ) — A2 + 2A - 3 E , где

E - единичная матрица того же порядка, что и матрица A .о (1 - 1Y1 - Л (0 0

Тогда A — A - A — — ,I 1 - w - iJ V0 0J

f\ - Л d ^ d.2 A - 3E — 2

f ( A ) —

(1 - П (1 0Л (2

п1 (3 0 л (-1 - 2^-3 — - —

Л - 1 , , 0 1 , , 2 - 2 , , 0 3 , , 2 -5 ,

(0 0Л+

(-1 2- (-1 -2 ^

, 0 0, , 2 - 5 2 - Ui

. >

Пример. 4. Найти ранг матрицы A — 0

2

2

3

1

4Л

2

v0 4 2 4J

< Любой минор 3-го порядка матрицы будет нулевым, так как у матрицы A пропорциональны вторая и третья строки. Наивысший порядок ненуле-

1 2Ф 0 равен 2. Следовательно, rangA = 2. >вого минора

0

Пример 5. Найти ранг матрицы A —

<■ Производя последовательно элементарные преобразования будем иметь:

2

6

3

7

V-1 -2 -3 - 4у

14

1 2 3 4 S3 + S1 f1 2 3 4 S2 - 5S1

A = 5 6 7 8 □ 5 6 7 8 □

4- l - 2 - 3 - 4 ) [О 0 0 Oy

□1 2 3 4

v0 -4 -8 -12 ,= B .

Матрицы А и В эквивалентны: A B. Так как ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях, то rangA = rangB = г = 2. >

Ответы

1. а)f 5 —2Л '13 —3Л ' 6 —13 Л '— 1 —2^

v1 3 ,; б)

v2 1 1 ,; в) ; г) 4 E; д)

V—2 1 ,V 3 —9 ,е) 0.

2. а)

5

f 14 10Л 15 f 1

со1<N1

v10 14,; б) 0. 3. а) ; б)

22

v 23,v 2

11

4. r = 2. 5. r = 1.

6. r = 3. 7. r = 3. 8. r = 3. 9. r = 2. 10. a)12 12

7 7v 7 7 j; б)

20 26'

v14 18j; в) - 20.

11.

f 0 3 Лf 01

f 3 5 ^

1 10 . 12. 3 . 13. 3 6

, 0 3 , , 3, , 6 10 ,

. 14. 6 E . 15. r = 2. 16. r = 3.

f —4 —4 1

Г—1 —2 0 Л1 0 6 0 4

. 18. —2 1 —2 . 19. . 20.,—3,5 2,5 —3,5 ,

, 1 —2 —3 ,9 —3V9 3j v5 —3,

17.

2 221. r = 3 при Л = —, r = 4 при Л Ф —. 22. Л = 3.

Занятие № 3. Обратная матрица. Матричные уравнения Основные понятия: вырожденная матрица, невырожденная матри

ца, обратная матрица, методы нахождения обратной матрицы, матричные уравнения [1, с. 272-274].

Обратной матрицей для квадратной матрицы A называется матрица— 1 — 1 — 1 A того же порядка такая, что A A = A A = E, где E — единичная мат

рица. Приведем два метода вычисления обратной матрицы.Метод присоединенной матрицы. Если det A Ф 0, то

15

A — 1 U a ) t ..+ A V /det A

где матрица A , элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы A, называется присоединенной к матрице A.

Метод элементарных преобразований. Обратную матрицу A_1 можно найти с помощью элементарных преобразований: для этого припишем к матрице A справа единичную матрицу Е , получим расширеннуюматрицу ( A|E), затем последовательно будем выполнять элементарные

преобразования над A так, чтобы превратить ее в единичную, а рядом будем производить точно такие же операции с единичной матрицей. Когда A превратится в единичную, единичная превратится в обратную (см. решение типовых задач, примеры 1, 2).

ЗадачиНайти значение Я, при котором матрица не имеет обратную:

Г—2 Я"' 4 —2 1 ^

. 2. —1 Я —2v 4 7v У - 2 2 — 1,

Найти обратную матрицу для следующих матриц:

г 1 —2Л 2 1

Г1 0 0

. 4. . 5. 0 0 1

—

m ! 3 2

, 0 1 1 ,

Методом присоединенной матрицы и методом элементарных преобразований найти обратные для следующих матриц:

6.

г 1 1 —11 f 1 1 2

8 3 —6 . 7. 2 —1 2

„ —4 —1 3 , , 4 1 4

Решить матричные уравнения:

8.

10.

Г 43 Л

• X =1 11

v1 1, v 4 4,

( 1 — / 2

9. X ■Г 2 1 1 —1

, —1 —1 , , 0 —3 .

—3 4X =

3

—1

51

0 ,11.

'1

2

1 —1

0

1

X =

/3Л

— 1

v 2 у

16

12.

Домашнее заданиеНайти обратные матрицы для следующих матриц

f 2 1 -1Л^3 1 f -1 2 Л

V5 2У13.

V 4 - Ъ14. 1 3 2

V3 - 1 1 уРешить матричные уравнения:

2 1 2 f 2 0 Л15. ■ X = . 16.1(N

1-4 -6 ,

г 1 -2 - 1Л

3 2 2

v 3 -1 -2

' 1 0 ^

■ X = 2 -2

СО1

Дополнительные задачи для самостоятельной работы^0 3 Л

17. Найти det( A + 2E ) 1, если A

18. Найти ( A + B ) 1, если A =^2 1Л

V2 0У

-7у

19. Найти det( A + A 1) , если A =f 3

v 2

B =

-1^

-1

-1 2

V 1 -1у

'1 0Л f -1 -2 Л

п1со

20. Решить матричное уравнение11 2у

■ X ■i 2 3 у

=5 - 4V 5 4 у

( 5 -3 1 2 21. Доказать, что матричное уравнение X ■

V-10 6 у V3 4не имеет

решений.22. Найти все матрицы X , удовлетворяющие уравнению ^3 2 f 1 - 1Л

V6 4 уX =

2 -2 V 2 2 уРешение типовых задач

'1 1 -1Л

Пример 1. Найти A 1 для матрицы A = 0 1 2

1 1 0

< 1) А =

1 1 -1 1 1 -1

0 1 2 = 0 1 2

1 1 0 0 0 1

-1= 1 Ф 0. Следовательно, A существует.

2) Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A .

17

1 2 0 2 0 1A11 = 1 0

= -2, A12 = -1 0 = 2, A13 = 1 1

= -1 ,

1 -1 1 -1 1 1A21 = - 1 0

II22A-1II

1 0

-II2A,II

1 1

1 -1 1 -1 1 1A31 =

1 2

-II<N3AmII

0 2= -2 , A33 =

0 1

= 0,

= 1.

Тогда присоединенная матрица имеет вид:г - 2 2 - 1Л

А = -1 1

3 -2

0

1

3) Транспонируем присоединенную матрицу: ( А ) =т

-2 -1 3

2 1 - 2

-1 0 1

det AА )Т =

-1

-1 3 л

1 -2

0 1

-15) Проверка: A A =

л /

2 1 -2

1 0 1 У V

AA_1 =

1 1 -1

0 1

1 1

2

0 У V-1

-2 -1

2 1

0

3 л

2

1

1 1 - 1| f 1 0 01

0 1 2 = 0 1 0 ,

1 1 0 У V 0 0 1Уf 1 0 0

0 1 0 . >

V 0 0 1У

Пример 2. Найти с помощью элементарных преобразований обратную матрицу для матрицы A из предыдущего примера.

( A E )

f 1 1 -1 1 0 0Л S * -S i f 1 1 -1 1 0 0

0 1 2 0 1 0 □ 0 1 2 0 1 0

V 1 1 0 0 0 1У 0 1 -1 0 1 Уs 1+ s 3 f 1 1 0 0 0 1 1 2

CO- f 1 0 0 -2 -1 3 ^

□ 0 1 0 2 1 -2 □ 0 1 0 2 1 -2

- 2 - ^2 3 0 1 -1 0 l y V 0 0 1 -1 0 1 У

18

A "1

V

-2 -1 3

2 1 -2

-1 0 1 уПример 3. Решить матричное уравнение

'1 1 - 1Л2 4

V 1 3 У•X-

< Пусть B =2 4

V- 1 3УA =

0 1 2

V1 1 0 у1 1 -1

0 1 2

V1 1 0 у

1 -1 0

1 1 2

; тогда det B = 10, det A = 1.

Данное уравнение перепишем в виде B X A = C , где С =

гда B~lB X A A - = B_1CA_1 или X = B_1CA_1

1 -1 0'

1 1 2. То-

Так как B 1 = — 10

3 -4

V1 2 У

X = — 10

3 -4

V1 2 У

1 -1 0

V1 1 2У

, а A 1 найдена в примере 1, то

г - 2 -1 3 Л

2 1 -2

V -1 0 1 у

1

10 V

-1 -7 -8

1 4

^-2 -1 3 Л

2 1 -2

v - 1 0 1 у

1. - 3,5. 2. 4. 3.

]_

10

-4 -6 3

-8 -2 11

Л г 0,4 -0,6 0,3'

У V

Ответы

- 0,8 - 0,2 1,1 У. >

-2 1

v-1,5 0,5 у. 4.

2 1

3 2V 3 2 у. 5.

1 0 0 Л f-3 2 3

0 -1 1 . 6. 0 1 2

0 1 0 У V-4 3 5 ,

7.

1 2

3 32 1

3 31 1

2 - 2

. 8.-11 -11

v 15 15 у. 9.

-2 -3. 10.

1 -5 -10

V 1,5 -4 -7,5 у

19

11.

2,5

-6

v-6,5 j

. 12.

' 1 2 Л (2 - Г 7 7. 13. . 14.1 Ui 3 4 1

v 7 7 у v

0,2 0 0,2 л

0,2 0,2 - 0,2

-0,4 0,2 0,2

' 4 3. 15.

3 3V3 3J

16.

-2 4

-1 -1

22.

-1 6

a

1 - 3a

'0,1 0,3 Л '13 8 . 17. - 0,25. 18. . 19. - 8. 20.

0,1,30, v 5 3J

b

1 - 3b , a e O j i e O .

Занятие № 4. Матричный способ решения систем линейных алгебраических уравнений. Формулы Крамера

Основные понятия: системы линейных уравнений, однородная система, решение системы, совместные, несовместные системы, неопределенные системы, определенные, формулы Крамера, матричный метод решения системы [1, с. 268-274].

Рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными *1, *2, л з :

a11*1 ^ a12*2 ^ a13 *3 = b ,

a21*1 + a22 *2 + a23 *3 = ^ ,

a31*1 + a32 *2 + a33 *3 = b3- Матричная форма записи системы (1.1):

( 1.1)

r a11 a12 a13 ' *1

a21 22a 32a *2 = b2

a31 a32 a33 у V *3 ) v b3 J

или A X = B.

Если в системе (1.1) А = det A ф 0, то эта система имеет единственное решение

( 1.2)X = A_1 • Bили, в покомпонентной записи,

А1 А 2 *1 = — , *9 = - 21 А 2 А *3 = А3

А(1.3)

где Аг = 1,3j - определители, получаемые из определителя А заменой

его i -го столбца на столбец свободных членов. Формулы (1.3) называются формулами Крамера (см. комментарий с. 318).

20

1. Записать систему

Решение системы с использованием формулы (1.2) называют матричным методом решения систем.

Задачи

2* - 3у + z = 10,

* + 2 z = 8, в матричном виде. Проверить, явля-

* - 2 y - z = 1.

ется ли тройка чисел (2; - 1;3) решением данной системы.

Решить системы по формулам Крамера.

* + 2y - z = 0,

2 * + у = 0,

3* + у + z = 0.

Решить системы по формулам Крамера и матричным методом:

* + 2 у + 3z = 5,

2 * - у - z = 1,

* + 3 у + 4 z = 6 .

2.5* - 3у = 7,

4* - 5у = 3.3.

2 * - 4у + 3z = 1, 2* - у + z = 2,

* - 2у + 4z = 3, 5. <3* - 2 у + 2 z = 2, 6. <

3* - у + 5z = 2. 2 * + z = 1.

Домашнее заданиеРешить системы по формулам Крамера и матричным методом.

7.2* - 3у = 13,

3* + 5 у = -9.8.

3* + 2 у + z = 5,

2* - у + z = 6,

* + 5 у = -3.

9.

* + у - z = 5,

3* + 3у - z = 13,

* + 2у - 3z = 9.


Г4 * + 2ay = 1,10. При каких значениях параметра a система < является

la* + 8у = 2

несовместной?

11. При каком значении параметра a системаa* - 2 у = 5,

2 * - ay = 5является не-

определенной.

12. Найти неизвестные коэффициенты функции f ( * j = a 3 * + b * + с, удо

влетворяющей условиям: f ( 0j = 2, f (1) = -1, f ( 2j = 4.

<

<

21

13. Найти неизвестные коэффициенты многочлена f ( х ) = ax2 + bx + c ,

удовлетворяющего условиям: f ( - 2 ) = - 8, f ( l ) = 4, f (2 ) = 4.

Решение типовых задач

Пример 1. Решить систему

2 Xi + Х2 — Х3 = —1,

-3xi — 2 Х2 + 2 Х3 = 1,

Xi + 4 Х2 — 7 Х3 = —3

по формулам Крамера.

2 1 — 1

<1 Так как А = —3 —2 2

1 4 —7

= 3 Ф 0, то система имеет единственное реше-

ние. Найдем

—1 1 —1 2 — 1 — 1 2 1 — 1

А 1= 1 —2 2 II(N<• ;СО1II —3 1 2 = 9; А3 = —3 —2 1

—3 4 —7 1 —3 —7 1 4 —3

По формулам (1 3) получим х =АА

= -1 , х2= Аа2 = 3

х3_ А3

А= 2 .

= 6.

Пример 2. Решить систему из предыдущего примера матричным

методом.

< A =

' 2 1 — 1 Г—1

—3 —2 2 , B = 1

, 1 4 —7 , , —3 ,

. Найдем A 1. det A = А = 3 Ф 0.

1 2

2 — 2 —3 —2An =

4 —7= 6 A12 = — 1 —7

= —19, A13 =1 4

10,

1 — 1 2 — 1 2 1A21 = — 4 —7 = 3, A22 = 1 —7

= —13, A23 = —1 4

= —7,

1 —1 2 —1 2 1A31 = —2 2

= ^ A32 = ——3 2

= —1, A33 =—3 —2

л—1 _ 1 Поэтому A = ~

г 6

—19

V10

3

-13

-7

0 Л

—1

—1

. Тогда по формуле (1.2):

<

22

х = A~lB = - 3

6 3 0

19 -13 -1

10 -7 -1

3, х3 = 2. >

1

v-3 У

r - 6 + 3 + 0Л

19 -13 + 3

v 10 - 7 + 3 j

-3 л Г-11

9 = 3

6 , , 2 ,

Ответы

1.

m1(N Г X 1 '10

1 0 2 У = 8

Л -2 -1, , z , , 1 ,

; является. 2. (2; 1). 3. (0;0;0). 4. (-1;0;1)

5. (2 ;-1 ;-3 ). 6.(1;-1;2). 7. (2;-3). 8.(2;-1 ;1 ). 9. ( 2;2;-1 ). 10. а = ±4.

11. а = 2. 12. а = 2, b = -7, с = 0. 13. а = -1, b = 3, с = 2.

Занятие № 5. Метод Гаусса

Основные понятия: матрица системы, расширенная матрица, теорема Кронекера - Капелли, метод Гаусса [3, с. 30-35].

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

(1.4)

а11 1 + а12 х2 +. . + кКка1 = К

a21X 1< + а22 х2 + . . + а2пхп = ь2.

ат1х 1 + ат 2 х2 +. . + а х^mn^n = bm.Матрицы

' а11 а \2 ••• а 1 и ' а 11 а \2 ••• а\п ь 1

A = а2\ а 22 ••• а2п, {Л\В ) =

а2\ а 22 ••• а2п Ь 2

V ат1 ®т2 • п• * /77/7 J V ат1 ®т2 • а• тп bm jназываются матрицей системы (1.4) и расширенной матрицей системы (1.4) соответственно.

Теорема Кронекера - Капелли (см. комментарий с. 318, 319). Система линейных уравнений (1.4) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы: rangA = rang(A | B ) .

Метод Гаусса (см. комментарий с. 316) эффективен для решения систем с любым сочетанием числа уравнений и числа неизвестных. Суть метода состоит в последовательном исключении неизвестных с целью получения ступенчатой системы. Делают это с помощью элементарных преобразований уравнений системы, т.е. перестановки уравнений, умножением

1 2

23

обеих частей уравнения на ненулевое число, прибавлением к обеим частям уравнения соответствующих частей любого другого. Очевидно, что получающиеся таким образом системы будут равносильными.

Если каждый раз не переписывать обозначения неизвестных, то эти операции с уравнениями будут соответствовать элементарным преобразованиям над строками расширенной матрицы системы. (см. решение типовых задач).

ЗадачиРешить системы методом Гаусса:

х- + 3x2 + 2 X3 = 9,

1.

3.

2 X1 - X2 + 3X3 = 3,

3X1 + X2 - 5X3 = 0 .

X1 + X2 — X3 = —4,

X1 + 2X2 - 3X3 = 0,

X2 + 3х ——12.

4.

Xi 3

3х1 - 5x2 + 2 X3 + 4 X4 — 2,

7 X1 - 4 X2 + X3 + 3X4 — 5,

5х1 + 7X2 - 4X3 - 6X4 — 3.

X1 + X2 - X3 — 0,

8X1 + 3х2 - 6X3 — 0,

4 Xi X2 + 3х — 0.3

7.

Домашнее заданиеРешить системы методом Гаусса:

2 х + у — 5,

х + 3z —16,

5у - z —10.

х + 2 у - 4 z — 1,

2 х + у — 5z — —1,

х — у — z — —2 .

6.

8.

х + у - 2z — 6,

2х + 3у - 7z —16,

5х + 2у + z —16.

-2 х + у + z — 1, х — 2 у + z — 1, х + у — 2 z — 1.

Дополнительные задачи для самостоятельной работыРешить системы методом Гаусса:

2 X1 — X2 + 3X3 + 2 X4 — 4,

3х1 ^ 3 X2 + 3X3 + 2X4 — 6,

3х1 — X2 — X3 — 2 X4 — 6,

3х1 — X2 ^ 3X3 — X4 — 6.

10.

2х1 - х2 + 3х3 - 5х4 — 1,

Хл х2 - 5х3 2 ,

3х1 - 2х2 - 2х3 - 5х4 — 3,

7х1 - 5х2 - 9 х3 +10х4 — 8.

Исследовать совместность систем в зависимости от параметра Л . В случае, когда система совместна, найти ее решение:

Х1 - Х2 + 2 Х3 — 5,

Лх- - 2 Х2 + 4 Х3 —10.11.

2х- - х2 — 8,

4х- - 2Х2 — Л.12.

<

<

<

< <

<

24

Решение типовых задач Пример 1. Найти решение системы методом Гаусса

*1 + x2 - *3 = 0,

x2 + 3x3 = 7,

3*i + 2 x2 + x3 = 7.

< Запишем расширенную матрицу системы:

f 1 1 -1 0

2 -1 3 7

v 3 2 1 7 ,

. Считая ве

дущим элементом аи = 1, с помощью элементарных преобразований получим ниже него нули. Для этого отнимем от второй строки первую, умноженную на 2, а от третьей строки - первую, умноженную на 3:

1 1 -1

2 -1 -2 -1 -1 -2 3 - (-1 ) • 2

3 -1-3 2 -1-3 1 - (-1 ) - 3

0

7 - 0 - 2

7 -0 -3

Sn ■2S1 f 1

□

S3 ~ 3 1

1 -1

0 -3

0 -1

5

4

0

7

7

□

Для того, чтобы на месте следующего ведущего элемента a22 получить единицу, поменяем местами вторую и третью строки, а затем элементы новой второй строки умножим на ( - 1):

' S3 +3S2S2 □ S3

f 1 1 - 1 0Л(-0 •S2 f 1 1 -1 0 ^

0 -1 4 7 □ 0 1 -4 -7□

V 0 -3 5 7 , -3 5 7 ,

f 1 1 -1 0 Л (-- У М f 1 1 -1 0 ^

□ 0 1 -4 -7 □ 0 1 -4 -7 u

0 -7 - 14, V 0 0 1 2 ,Матрица системы приведена к треугольному виду. Система имеет единственное решение ( rangA = rang(A | B ) = n = 3), которое можно получить, если выписать систему, соответствующую последней расширенной матрице.Но мы получим решение системы, применяя модифицированный метод Гаусса - Жордана, т.е. будем получать нули не только ниже, но и выше диагональных элементов. Для этого проведем следующие преобразования

51 + 53

□

S2 + 453

Отсюда следует, что =1, х2 = 1, х3 = 2. >

f 1 1 0 2Л S i - S 2 f 1 0 0 11

0 1 0 1 □ 0 1 0 1

V 0 0 1 2, V 0 0 1 2,

<

25

Пример 2. Решить систему методом Г аусса:+ Xj — Х3 = —4,

X + 2 Xj — ЗХ3 = 0,

-2 Xi — 2 X3 = 16.

<l Приведем к ступенчатому виду расширенную матрицу системы:

Г i i —i —4

со—г 04Со Г i 1 —i —4

г ^со —2 52 Г i i —i —4

i 2 —3 0 □ 0 1 -2 4 □ 0 1 -2 4

, —2 0 —2 i6 , 53+2 .5 ! sP 2 —4 8 , sP 0 0 ° ,Так как rangA = rang(A | B ) = 2 < 3 = n , то система совместная и неопределенная (т.е. имеет бесконечно много решений). Ненулевым элементам главной диагонали полученной ступенчатой матрицы соответствуют переменные Xi, Х2. Они являются базисными, переменную Х3 назовем свобод

ной. Исходная система эквивалентна системе следующего вида:Xi + X2 X3 = —‘4X~ 2 Xo = 4.

Найдем общее решение системы. Придадим свободной неизвестной X3 произвольное значение t . В результате получим

Xi + X2 — t = —4,

Xn 2t = 4.

Из последнего уравнения находим х2 = 4 + 2t, t е □ . Подставляя выраже

ние для х2 в первое уравнение получим, что х = — t — 8, t е □ .

В результате общее решение системы: ( - 1 - 8; 2t + 4; t ) , t e □ . Частное

решение системы получим, например, при t = 0: ( - 8; 4; 0). >

Пример 3. Решить систему методом Г аусса:Xi + X2 X3 = —‘4Xi + 2 X2 — 3X3 = 0,

—2 Xi — 2 X3 = 3.

<1 Приведем к ступенчатому виду расширенную матрицу системы:

г i i —i —4 S2 ~Si Г i i —i —4 Г i i —i —4 ^

i 2 —3 0 □ 0 1 -2 4 □ 0 1 -2 4

, —2 0 —2 3 , 53+2-5! sP 2 —4 S3 —2 52 sP 0 0- 1 3 ,

Так как rangA = 2 Ф 3 = rang ( A | B ), то система несовместная (не имеет

решений). В самом деле, последней строке полученной расширенной мат-

<

<

26

рицы соответствует уравнение 0 • х + 0 • х2 + 0 • х3 = —13, не имеющее решений. >

Ответы1. (1; 2; 1). 2.Несовместна. 3. ( - / - 8;2t + 4;/), /еП .4. (0 ;0 ;0 ). 5.(1;3;5).

6.(3;1;—1). l . ( 2 t - \ , t + \,t), /е □ . 8. Несовместна. 9. (2;0;0;0). 10. Несов

местна. 11. При Я Ф 16 система несовместная; при Я = 16 система совместная и неопределенная, общее решение: (/; 2t - 8),/ е □ . 12. При Л Ф 2 си

стема совместная и неопределенная, общее решение: (0;2/ - 5;/), t е □ ;

при Я = 2 система совместная и неопределенная, общее решение

( 5 + ^ - И 2 ; ^ 2 ) , h , t 2 e D .

Контрольные задания по теме «Элементы линейной алгебры»Л 2 3 Л

1. Найти det (A — 3E), если А =

порядка. Ответ: — 2.

, E — единичная матрица 3-го

' 1 2 Л ' — 1 2 ^2. Решить матричное уравнение

V2 — 1X =

V 3 — 1

Ответ: X1 0

V-1 1У

3. Найти произведение матриц

1 2 ( 1 4 0 Л '0 —9 5Л. Ответ:

V 1 3, V 2 — 1 5у v7 1 >5у

4. Для матрицы A =

V

1 1 2 '

0 1 — 1

0 0 1

найти обратную.

Ответ: A— 1

М 1 3Л

0 1 1

V 0 0 1У

5. При каких а однородная система

шения? Ответ: а = ±6 .

ах + 3 у = 0,

12х + а у = 0имеет ненулевые ре-

6. Решить систему уравнений

х — у + z = 4,

2х + z = 5, Ответ: (2; — 1; 1).

х + у + 2 z = 3.

27

<

<

7. Найти ранг матрицы А =

1 2 — 1 — 2

2 1 1 3

2 7 — 5 — 11

1 — 1 2 5

. Ответ: rangA = 2.

2. А Н А Л И Т И Ч Е С К А Я ГЕ О М Е ТРИ Я

Занятие № 6. Линейные операции над векторами Основные понятия: вектор, равные, противоположные, коллинеар-

ные, компланарные векторы, модуль вектора, орт вектора, проекция вектора на ось, сложение векторов, умножение вектора на число, прямоугольная декартова1 система координат, координаты вектора в ортонормированном базисе, линейные операции над векторами в координатной форме [1,с. 223-231].

Разложение вектора Й(рис. 2.1) по базису i , j , к имеет вид:

а = ax i + ау j + az к ,

где ах = пр0 ха , ау = пр0уа , az = npQza . Числа ах , а у , az называют ко

ординатами вектора а в базисе /, j , к и пишут

; = (ах; ау; az) .

= ^ 7 ~

a r

а 2 .+ a 2y z

—о 1а =

аа

x

Модуль вектора а :

Орт вектора а ф О это вектор а° : а° =

Если точка А ( Ха ; Уа ; Za ) - начало вектора,

В (х в ', ув \ Z g } - его конец, то координаты век-

Рис. 2.1 тора А В :

АВ = (хв - х А ;у в - у А ; zb - za ).

Если точка C ( Хс ; Ус ; Zc ) — середина отрезка АВ , то

(2 .1)

х,сz A + z B

2 C 2 C 2 Координаты точки М пересечения медиан треугольника АВС находят

по формулам:

y A + y B + y Cy M =xM =

Ха + Хв + х с z А + z B + z C

3 3 3

1См комментарий о Декарте с.31728

Линейные операции над векторами в координатной форме.

Пусть а = (ах; ау; az) , b = (b x, by; bz )^>

Ла= (Лах, Лау; Ла2 j , V/leD ,

a + b = ( a x +bx , ay + by ; az + bz ), (2.2)

a ~ b = ( a x - b x ; ay - b y ; az - b z ).

Условие коллинеарности векторов а я b , если b ф 0 :- я г a v а 7

aUb < ^ - = ^ - = — =Л. (2. 3)ъ ъ ъx y z

Задачи

1. В параллелограмме A B C D :

а) указать среди векторов АВ, ВС, CD , AD равные, противоположные, коллинеарные, компланарные;

б) выразить АС через: АВ и В С ; CD и A D ; АВ и AD.2. Даны точки А (-1; 0; 2), 5 (1; —2; 3). Найти

а) координаты вектора /45; б)

3. Даны точки А (-2 ; 2), 5 (2; 6) и точка С - середина отрезка АВ. По

строить векторы АВ и В С , найти их координаты и убедиться, что

АВ = -2 В С .

4. Найти орт вектора a = 3i —4 к и проекцию вектора а на ось О у .5. Даны точки А ( -2 ; /?; 3), В (-1; 0; 2) и С (g; 1; 1). При каких значе

ниях р и q векторы АВ и ВС равны?

6. Даны вектор ВС ( - 1; - 2; 3) и точка В {—3; 1; —2). Найти координаты

точки С.

7. Найти координаты вектора ЗЙ + 2Ь , если а = 5i —j + k , b (-2 ; 1; 0 ) .8. Найти координаты вектора р , который коллинеарен и сонаправлен век

тору д ( - 8; 16; 4) и р | = V2 I .

9. При каких значениях тя п векторы й (1 ; ш; 2) и Ъ (0 ,5 + 1 ; 3; 1) кол-

линеарны?10. Проверить, что точки А (2; 1; 0), 5 (0; 4; - 3), C (-2; 3; - 5) и D(2; — 3; 1) являются вершинами трапеции. Найти длины оснований.

29

11. В параллелограмме АбСУЗзаданы векторы А В {— 4; -4 ; 2),

СВ{—3;- 6; 1)и точка А(3; 8; — 5). Найти координаты точки пересечения

его диагоналей.

С (1; 4; — 3) являются боковыми сторонами равнобедренного треугольника.

Найти координаты основания высоты треугольника, проведенной из вершины C .


15. Найти периметр треугольника с вершинами А ( 1; 1; 0), В ( 1; 2; 2) и

С ( 3; 2; 0).

16. Даны точки А ( 0; —1; 2), В (3; 2; 1) и С ( 3; 1; 2). Найти координаты

вектора АВ + А С .17. В треугольнике с вершинами А ( 3; 7; — 4), В ( 2 ; — 1; 1)и С (1; 3; 0)

найти длину средней линии, параллельной АС.18. Лежат ли точки А , В , C на одной прямой, если:

а) А ( 3; —7; 8), В ( — 5; 4; 1), С (17; — 40; 29);

б) А ( - 5; 7; 12), В ( 4; -8 ; 3), С (13; -23 ; -6 ).

19. Даны векторы: а { —\; 0; 2 ), Ъ (-2 ; 2 ; 0). Найти координаты вектора

х , если: a) а = х + b , 6 ) За = b + 0,5х .

20. При каких значениях х векторы Й (-1; 1; 2) и b ^х 2; х - 2; х 2 -12 j

коллинеарны?

21. В треугольнике ABC даны векторы M N { - 2; 1; 0) и А В {3 ;-5 ; 6 ),

точки М и N - середины сторон AS и ВС соответственно. Найти координаты вектора В С .


22. Даны векторы а (р ; 0; - 2) и b ( - 2; /?; 0). При каких значениях па

раметра р модуль вектора а + Ъ равен 2л/2 ?23. Найти координаты вектора р , который коллинеарен и противоположно

направлен вектору q(3; -5 ; - 2 ) , если р | = Зл/38.

30

24. В трапеции ABCD с основаниями ВС и AD заданы векторы

АВ (-7 ;4 ;5 ), А С (3; 2; -1 ), AZ) (2 0 ;-4 ;-1 2 ). Найти координаты векто

ра M N , если М я N - середины сторон АВ и C D .25. Что можно сказать о ненулевых векторах а и Ъ , если:

а) а + Ъ б) а - Ъ а + Ъ в) а -Ъ

г) а + b делит угол между векторами а и b пополам.

26. При каких значениях « векторы а {—1; 2); & (3; а ) образуют базис

на плоскости?Решение типовых задач

Пример 1. В треугольнике с вершинами А (1; — 1; 2 ), В (3; 0; 2) и

C ( —1; 2; 0) найти длину медианы A D .

< Находим координаты точки D - середины отрезка B C :

хв + хс 3 + ( 1) Ув + Ус 0 + 2 „ z^ + z^ 2 + 0

~~ 2 ~~ 2 ~~ ’

х2 2 2 2

= 1.

Тогда длина медианы AD равна: AD

KD -XA) + (ZD - ^ ) - l/ ( 1-1) + (1 + 1) + (1 -2 ) >

Пример 2. Даны векторы a(3; 5; 1) и £ (1; 4; 2). Найти длину век

тора с - а - Ъ Ъ .<1 Используя правила (2.2) сложения векторов и умножения вектора на

число, найдем: ЪЪ =(3; 12; 6); с = а -ЪЪ =(3; 5; 1 )-(3 ; 12; 6) = (0; -7 ;-5 ).

Тогда получаем = yjo2 + ( - i f + ( - 5 )2 = л/74 . >

Пример 3. Векторы а (б ; ш; - 2) и b (3; 2; и) коллинеарны. Найти

значения т и п .Т1 - г 6 т - 2

< Из условия (2.3) коллинеарности векторов а и b следует: - = —= — =>3 2 n

m 6 — 2 6= — => щ = 4 и /? = -1 . Так как — = — > 0, то а ТТ Ъ .

6— = — и — 2 3 n 3 К 3

Пример 4. Точки А(1; 0; 2), B (2; 1; 0), C (1; 2; 0) являются тремя

последовательными вершинами параллелограмма. Найти длину диагонали D B .

< Для параллелограмма имеет место равенство DA = С В , тогда

DB = DA + АВ = СВ + АВ . Используя формулу (2.1), находим координа

ты векторов СВ и А В : СВ (2 — 1; 1-2 ; 0 - 0) СВ (1; — 1; 0);

31

АВ (2 — 1; 1-0; 0 - 2) АВ (1; 1; - 2 ) . Из равенства DB = СБ + АВ по

лучаем координаты вектора DB (2; 0; — 2), а его длина DB = 2л/2 . >

Ответы

1. а) равные: 5С и A D ; противоположные: АВ и CD; коллинеарные: ВС и

^4D, ^45 и C D ; компланарные: все; б) А С = АВ + В С ; А С = A D - C D ;

А С = АВ + AD . 2. а) А В (2 ;-2 ;1 );б )3 . 3. В С ( -2 ;2 ) ; АВ(4;4).

4. а 0: —

v5 ’ ’ 5у; пр^а =0. 5. q = 0; р = - 1. 6. (-4 ; -1; 1).

7. (11; -1; 3). 8 .р ( -2 ; 4; 1). 9. ш = 6; « = -1. 10. V22, 2^22.

11. (2,5; 9; -4,5). 12. а = 8, J3 = 4. 13. >/89. 14. (4; 0,5; -2,5).

15. 2у[2 + л/5. 16. (6; 5; -1). 17. 3. 18. а) нет; б) да. 19. а) (1; - 2; 2);

б) (-2; - 4; 12). 20. * = -2. 21. (-7; 7; - 6). 22. р = 0; = 2. 23. (-9; 15; 6).

24. (15; — 3; — 9). 25. а) (я Т Т б ); б) (а 14^ ); в) (a J г) ^

26. « Ф - 6 .

Занятие № 7. Скалярное произведение векторов Основные понятия: угол между векторами, скалярное произведение

векторов, механический смысл, свойства скалярного произведения, угол между векторами, направляющие косинусы вектора [1, с. 231-234].

Скалярным произведением ненулевых векторов а и b называют

число, обозначаемое символом а -Ъ , равное

а-Ъ = а Ъ cos <р (2.4)

А

где (р = | а\Ъ j - угол между векторами а и b , по определению всегда

0 <(р<71.

Если хотя бы один из векторов нулевой, то полагают а • b = 0.

Скалярный квадрат вектора а : а2 = а- а = а

Проекция вектора а на ненулевой вектор b : прга =а •Ъ

Ъ

Формула для вычисления скалярного произведения векторов

а = ( ах; аУ\ az) > ь = (ь х-, ьу, bzy

a - b = a xb x + ayb y + azbz.

32

2

Косинус угла между ненулевыми векторами находится по формуле:а-Ъ axbx +a b +azbz

cos (р = -------— = ---- , = . (2.5)а Ъ

У У z

Условие перпендикулярности векторов:

a .Lb о a-b = 0 <=> a b + a b + <26 = 0 .x x У У z z

Для вектора a = {ax, ay ; az j косинусы углов or = (й; Ox)

(2.6)

P = (a; Oy) , у = (a, Oz} (рис. 2.2) называются направляющими косину

сами вектора а и находятся по формулам

cos а = а х ; cos Р =а

aуа

cos у =а

Координаты орта вектора а : а0 = (cos a ; cos/?; cos^).2 2 2

Свойство направляющих косинусов: cos « + cos /? + cos у = 1.

Механический смысл скалярного произведения: работа силы F на пере

мещении S' равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения: А = F • S .

ЗадачиЛ

1. Найти а -b , если \а\ = 3, Ъ 4 , (а,Ь^ = 60°.

2. Найти а -b , если а (2 ; - 4 ; 4), b = -3 i +2 j -6 к .

3. Найти А В -В С , если ,4(2; -1; 3), £(0; -1; 2), С (-1; - 2; 3).

4. При каких /7? векторы а(\,2т+\,-2 ) жЪ{т\ 1 ;2т ), перпендикулярны.5. Может ли вектор Й составлять с координатными осями углы:

а = 45°;/? = 60 °;/= 120°?6. Найти направляющие косинусы вектора а (—6; 2; 3).

7. Найти косинус угла между векторами я ( 2; -1; 3) и & ( -1 ; 3; 2 ).

8. Найти пр^а, если а ( - 2 ; 2; 1), Z>(-3 ; 6 ; 2 ).

9. Найти работу силы F (2; -1; 4), если точка ее приложения перемещает

ся из S (3; 5; - 2) в C (2; 1; 0).

33

10. Найти скалярное произведение (а. - 4Ь^-(а + Ь^, если | а | = 2л/2,

Л

0b = 0,5, ( л ;£ )=135°

11. Даны векторы а(р', 1; 1) и Ъ (-1; —р\ 2). При каких значениях р век

тор а — Ь перпендикулярен вектору а ?12. Даны точки А (—3; 2; —1) и В (—1; 2; 1). Найти угол, образованный

вектором АВ с положительным направлением оси О х .

13. Найти внутренние углы треугольника с вершинами А(2; 2; 4),

В(3; 1; 0), C (1; 0; 2).

14. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на

векторах а = 2 i + j и b = -2 j + к .

15. Сила F (3 ;5 ;- 2) перемещает материальную точку из В (4; 2; 3) в точку

C , лежащую на оси O y . Найти координаты точки C , если совершаемая

при этом работа равна 4.16. Даны вектор я (—1; 9, 2) и точка А (4; 0; -3 ). Найдите длину вектора

перпендикулярного вектору а , если известно, что точка В принадлежит оси Oz .


17. Найдите скалярное произведение ( a + 2b )• ( 2 a — b), если известно, что

Л

a = 2л/2, |b | = 3, ( й;£ )=135°

18. Может ли вектор а составлять с координатными осями углы:

tf = 30°;/? = 6 0 V = 1500?19. Вектор а составляет с положительным направлением оси Oz угол

120°. Найти координату a z, если а = 6 .

20. Вычислить угол между векторами а и b , если: <5(2 ; - 2 ; 0),

Ь ( 3; 0 ; - 3 ) .

21. При каком а векторы а = a i + 3 j + 4 k и 6 (4 ; « ; - 7 ) перпендику

лярны.

22. Даны вектор а (2; -3 ) и точка А (4; 5). Найдите длину вектора А В ,

если известно, что точка В принадлежит оси Оу и скалярное произведе

ние а • АВ = 1.

34

23. Сила F(2; -3 ; l ) перемещает материальную точку из В (3; 1; - 2 ) в

С (4; -1; 3). Найти работу, совершаемую силой F .

24. Найти А В , если Л (1 ; - 2 ; 3 ), В ( - 2; 4; 5 ), С (-1 ; 0; 4).

25. При каких значениях т угол между векторами а ( 2; w; — 4) и

6 ( т; 1; 1) тупой.


26. Проверить, что четырехугольник ABCD — квадрат, если: А (—3; 5; 6), В ( - 1; 8; 12), С (5; 10; 9), D (3; 7; 3).

27. Найти, при каких значениях х и у вектор а ( 3 ; ; —1) перпендикуля

рен вектору b = х i - 5 j + 2 к , а вектор b - вектору с (1 ; 0 ,4у ; -0 ,5 ).

28. Даны вектор а (-4 ; 2) и точка А (3 ;5 ) . Найти скалярное произведе

ние а • А В , если известно, что точка В принадлежит оси О х , и векторы

АВ и а коллинеарны.

29. В четырехугольнике ABCD заданы А б (3 ;-1 ;-2 ), В С { - 2; 5; 1),

A D { - 3; 4 ;8 ),a m и й - его диагонали. Найти модуль скалярного произ

ведения т и п .

30. Найти пр^ {й + 2Ъ j , если а = - z + 2 j - 2 к , 6 (-2 ; 2; l ) .


Пример 1. Найдите скалярное произведение ^2я+ # j-^a-2£ j, если

известно, что \а\ = Ъ 150°= 2 и (а,Ь ) =

<1 Используя свойства скалярного произведения и определение (2.4), полу

чаем: (2а + b f ( a - 2Ъ = 2а-а + Ъ -а -\а -Ъ - 2Ъ - Ъ =

2аг-За-Ъ - 2 Ъ2 = 2\а

= 2 • ( ^ )2 — 3^3 • 2• cos 150° — 2• 2 2 = 6 + 9 — 8 = 7.

Пример 2. Даны вершины треугольника А (—1; — 2; 4), В{—4; -2 ; 0), С (3; -2 ; 1). Найти:

а) внутренний угол при вершине В ; б) пр^ - 2 А С ^ .

а Ъ cos 150°-2 Ъ

>

2

35

<1 а) Чтобы найти угол при вершине В , рассмотрим два вектора,

имеющие начало в точке В : В А и В С . Так как В А = (3; 0; 4),

ВС = (7; 0; 1), то по формуле (2.5) получим

ч В А В С 3-7 + 1-4 25 у/l л с0cosiBA;BC) = ,__ , :___ , = , - = ------ ;= = — => Z B = 45й.

\ВА ВС\ V 9 + 16л/50 5-5л/2 2

б) АВ - 2АС = (-3; 0; - 4) - 2(4; 0; - 3) = (-11; 0; 2). Следовательно,

\ 7(—11)4-0 + 2-1 75 15л/2 прш, ( А В - 2 А С ) = ^ ---- }- = -------= ------= = -----— . >

вс 1 ' л/50 5^2 2Пример 3. Найти значение к , при котором векторы й(А:; - 3; 2) и

6 (1; 2; -& ) перпендикулярны.

<1 Из условия (2.6) перпендикулярности векторов а и b следует:

я -£ = 0 Л:-1 + (— 3)-2 + 2-(— Л:) = 0 к = - 6 . >

Пример 4. При каких значениях /?? угол между векторами

<2 (7; -1; 2 т ) и b { - 2; 4 m; 1) острый.

<1 Так как угол между заданными векторами острый, то а • Ъ > 0 или7 • (- 2) + (-1)- 4 m + 2 m -1 > 0. Откуда m < -7. >

Ответы/Г Л Л 1 ЛА

1. 6. 2. -38. 3. 1. 4. 1. 5. Да. 6. — ; - ; - . 7 . — . 8. — . 9. 10. 10. 10.7 7 7 14 7

И. {0 ;-2 }. 12. 45°. 13. Z A = 45°, Z B = 45°, Z C = 90°. 14. 90°.

15. C ( 0;4;0). 16. 2 >/5. 17. - 20. 18. Нет. 19. -3. 20. 600. 21. 4. 22. 5.

23. 13. 24. 20^. 25. m < 4 .27. x = -1; y = -1. 28. -50. 29. 4. 30. — ./ 33 3 3

Занятие № 8. Векторное и смешанное произведения векторов Основные понятия: правая, левая тройка векторов, векторное про

изведение векторов, его механический смысл, свойства векторного произведения, смешанное произведение векторов, геометрический смысл, условие компланарности[1, с. 235-241].

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов а, b , с с общим началом называется правой (левой), если кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден из конца третьего вектора с совершающимся против (по) часовой стрелки.

36

Векторным произведением неколлинеарных векторов а и b называется

вектор с (рис 2.3), обозначаемый с = а х b , определяемый тремя условиями:

1) с _Lа, с .Lb ',

2) векторы а , Ь , с образуют правую тройку;

3) а ЪА

sin(р,(р = {а,Ъ^ (О< (р<п ) .

Если векторы а и b коллинеарные, то по определению а х b = 0. Формула для нахождения векторного произведения векторов

=(аа

a x b =

a z ) и b, , _►

i j к

а a ax y z

b b bx y z

fay a z a x a z a x a y

\

V b y b z b x b z b x by J

(2.7)

Геометрический смысл векторного произведения: площадь параллело

грамма S = a x b ( рис.2.3).

Механический смысл векторного произведения:

М = АВ x F , где М - вращающий момент силы F приложенной к точке B , относительно точки A .

Смешанным произведением трех векторов а ,

Ъ , с называется число, обозначаемое аЪ с и рав

ное скалярному произведению векторов a x b и с ,

т.е. a b с = ( a x b ) - c .

Формула для вычисления смешанного произведения векторов

11 , а у, ctz), b ipx, by, Ъ^, с^сх, Су, cz).

Рис. 2.3

a b c = b. b. b.

c c c

(2 .8)

Смешанное произведение некомпланарных векторов a , b , c по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на ре

брах: V = а Ъ с Объем треугольной пирамиды, построенной на этих

векторах (рис. 2.4)

Vпир a b c (2.9)

Ь

37

Условие компланарности векторов: а Ъ с = О.

а b с > 0 тройка а, b , с правая.

а Ъ с < 0 тройка а, b , с левая.

1. Найти a x b

Задачи

если ш = 3, & = 4, a L b .

2. Найти a x b , если а {—1; 2; 3); Ъ = 2z - j — Зк.

3. Найти хотя бы один вектор, перпендикулярный векторам

а{\', -3 ; 4); b = 5i —2j —к.

4. Найти смешанное произведение векторов ab с, если а(\; 2; 1).

* ( - 3 ; - 4 ; 2), с(0 ; 1; 2).

5. Являются ли компланарными векторы 5(1; 4; 3); b (0; 1; 2);

с (-1 ; 2; 3)?

6. Какую тройку (правую, левую) образуют векторы а (2; 3; 1),

5 (1 ;-1 ; 3), ? ( - ! ; 5; 0)?Л

7. Найти + если а =3, b = 4, (а,Ь^= 120°.

8. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

а (2; — 2; 1), — — i + у + 4А .

9. Найти площадь треугольника с вершинами A(1;1; 1), B (2; 3; 4 ),

С ( 4; 3; 2 ) и его высоту, проведенную из вершины А .

10. Найти величину и направляющие косинусы момента силы F(\; — 4; 2 ),

приложенной к точке C ( 2;1; 1) относительно точки D (1; 3; -1 ).

11. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами в точках А ( 0; 1; 2 ),

B (1; 2; 2 ), C ( - 1 ; 2; 2 ) , D ( 1; - 1; 3) и ее высоту, опущенную на основа

ние A B C .12. Доказать, что точки А(1; 2; -1 ), B (0; 1; 5), C ( -1 ; 2; 1), D ( 2; 1; 3)

лежат в одной плоскости.

38


13. Даны векторы а (2; 1; -1 ), b(3; 0;1). Найти (b - а ^ х (2 а + Ь .

14. Какую тройку (правую, левую) образуют векторы а (1; - 1; 0 ) ,

5(1; 0; 6), с(3; -2 ; 5).

15. Лежат ли точки А ( —2; —13; 3), В (1; 4; 1), C ( — 1; — 1; — 4),

D ( 0; 0; 0) в одной плоскости?

16. Вычислить объем треугольной пирамиды с вершинами А ( 0; 0; 1),

В (2; 3; 5), C ( 6; 2;3) и D (3 ; 7; 2) и ее высоту, проведенную из верши

ны D.17. Найти площадь треугольника с вершинами в точках А (2; — 3; 1),

В (4 ;0 ;1 ),С (Ю ;3 ;3 ).

18. При каком значении / векторы а ( 2; 2; 0), b ( —1; 0; 1) и

с (О; /; - 5 )будут компланарными?


19. При каком значении / выполняется равенство a b c = а-с , если

а (2; - 1; /); 5(1; 3 ; -3 ) и с - i - 2 j + k .

20. При каком значении t точки А (1; 2; 3), В (0; 1; — 1), C ( t; 3; 1),

D ( t\ 1; l ) лежат в одной плоскости?

21. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах а ( 4; 2; 3 ) ,

Ъ( 1; 3; 1), <5(1; 3; 7).

22. Образуют ли базис векторы а(2; 3; 0); й ( 1; —1; 3); c (l; -1; 5)?

Решение типовых задач Пример 1. Найти длину высоты параллелограмма, построенного на

векторах А В (4; - 5; - 2) и AD(2; -1; 2), опущенную из вершины В .< Пусть ВН - высота параллелограмма, опущенная из вершины В .

Тогда площадь S параллелограмма, построенного на векто

равна S = AB xA D ВН AD откуда ВНAB xA D

pax АВ и AD

AD

Воспользовавшись формулами (2.7), находим

39

AB xA D

/ 7 к-5 -2 4 -2 4 -5

4 -5 -2 = / ~ j + к-1 2 2 2 2 -1

2 -1 2

= - \ 2 i - \ 2 j + 6 kJA3 геометрического смысла векторного произведения

= Л/144 + 144 + 36 = V324 = 18. Находим длину век-получаем S =

ADтора A D :

ной из вершины B :

A B xA D

+ 1 + 4=3 и длину высоты параллелограмма, опущен-

ВНA B xA D

AD18 а = — = 6. >3

Пример 2. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами А(0; 0; 1), 5(2; 3; 5), С (6; 2; 3), п(3; 7; ^ _

<1 Находим координаты векторов АВ{2\ 3; 4), А С (б ; 2; 2),

A D (3 ; 7; 1) и вычислим смешанное произведение векторов AS, А С , A D

по формуле (2.8):2 3 4

2 2 6 2 6 26 2 2 = 2 •

7 1- 3 •

3 1+ 4 •

3 73 7 1

AB AC AD =

= 2 (2 -1 4 )-3 (6 - 6)+ 4 (42 - 6) = -24 - 0 +144 = 120.Воспользуемся формулой (2.9) для нахождения объема пирамиды

1A B C D : Vnup = б

1= — 120 = 20 (куб. ед.). > 6

AB AC AD

Пример 3. Даны векторы а = (0; 2; 1), b = (2; - 3; - 2)с = (—2; 4; 3). Требуется установить, компланарны ли данные векторы. В случае их некомпланарности выяснить, какую тройку (правую или левую) они образуют, и вычислить объем построенного на них параллелепипеда.

< Вычислим смешанное произведение:0 2 1

а Ъ с = 2 -3 -2

-2 4 3

= - 2 .

Из значения смешанного произведения следует, что векторы некомпланарны, образуют левую тройку и V = |-2| = 2 (куб. ед.). >

Ответы

1. 12. 2. -3 i +3 j - 3 к. 3. 11 i +21 j +13^.4. -1. 5. Нет. 6. Левую.__„ О

7. 12л/з. 8. 9^2. 9. S = >/24, h = 2>/з. 10. \м\ = 2>/5; cosa = - = ; V5

40

1 1 - - - cosP = 0; cos у = — j= . l l . V = ~, h = 1. 13. —3z + 15y + 9k. 14. Левая.

-s/5 3

15. Да. 16. V = 2o, h = 2>/б. 17. 7. 18. -5. 19. -1. 20. t = o,5. 21. 60. 22. Да.

Занятие № 9. Прямая на плоскости Основные понятия: уравнение прямой, проходящей через данную

точку перпендикулярно заданному вектору; общее уравнение прямой; каноническое уравнение прямой; уравнение прямой, проходящей через две точки; уравнение прямой с угловым коэффициентом, уравнение пучка прямых [1, с. 43-51].

Дано: М { х , у ) -текущая точка прямой L , точка М 0 (х0; у0 ) е L ,

вектор N - нормальный вектор прямой L , а — направляющий вектор, к = t g a - угловой коэффициент прямой (рис. 2.5). Тогда возможные виды уравнений прямой представлены в табл. 2 .1.

Таблица 2.1Задано Уравнение прямой Вид уравнения

М 0,а x - xo _ у - Jo m n

Каноническое уравнение прямой, уравнение прямой с заданным направляющимвектором а{т, Yl}.

М 0, N

A ( x - x 0) + В ( у - у 0 ) = o

A x + В у + C = o

Уравнение прямой с заданным нормальном векторомN(A- В),общее уравнение прямой.

M o , к у - Уo = к ( x - xo) у = кх + b

Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом.

M o , Mjх - xo _ у - Уo

х1 - xo у1 - Уo

Уравнение прямой, проходящий через две точки М 0

и M J .

41

Формулы для нахождения угла между прямыми L 1 и L 2, условия

параллельности и перпендикулярности прямых приведены в табл. 2.2 .

Расстояние от точки М 0 ( x0; y0) до прямой L : Ax + By + C = 0 нахо-

\Ах0 + B y 0 + C|дится по формуле: р ( М 0, L ) =

V a 2 + B 2

Таблица 2.2

Уравнения прямыхУгол ^

между L 1 h L 2

Условие L 1 11L2

Условие L 11 L2

L i : A i x + Bi y + Ci = 0

L 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0cos (p =

(угол (p - OCl

), N 2 (A 2-,B2)

М -Л 2М||Л 2

А ^ B1

А 2 B 2

F a

N x-N i = 0

rp

Ni

ый)

N 2

r . x - x^ y - y0 L 1 :

m nx

x - x 1 y - y 1 L 2 : =

m 2 n 2

ax (m{, пг) ,

cos p =

(угол p

a2 (m 2,,

|й?1 • й?2 |

и2)a 1II a 2

m n1

m 2 n2

_L a2

ax-a2 = 0

- оста2

эый)

L 1 : y = к 1 x + b 1

L 2 : y = к 2 x + b 2tgP =

к 2 - к 1 1 + к 1 к 2

к 1 = к2 к 1' к2 = -1

Задачи

1. Какие из приведенных уравнений определяют на плоскости прямую, ес-9 9

ли a + 6 > 0: а) x = 3; б) ax = by; в) ax + bx = c ;9 9 9 9 9

г) y = 0; д) ax + by = c; е) a x + 6 y = c ?2. Составить уравнения прямой, еслиа) прямая проходит через точку М 0 (-2; 3) и образует угол 45° с осью Ох;

б) прямая проходит через точку М 0 (2; - 3 )параллельно вектору 6/(1; -3 );

в) прямая проходит через точку М 0 (-1; 4) перпендикулярно вектору

п (3 ;-2 );

г) прямая проходит через точку М 0 (1; -2 ) перпендикулярно прямой

3 x + 2y -5 = 0;

д) прямая проходит через точку М 0 (3; -1 ) параллельно прямой 2x + 3 y - 4 = 0;42

е) прямая проходит через точку М 0 (—5; 2) параллельно оси Оу;

ж) прямая проходит через точки М 0 (1;—2) и М ( 2;3) и найти ее угловой коэффициент.3. Найти точку пересечения прямых 3 х — у — 5 = 0 и х + 2 у — 4 = 0.4. Найти угловой коэффициент к и значение b и построить каждую из прямых: а) х + 3 у = 0; б) у — 7 = 0.

5. Лежит ли точка А (—2; 1) на прямой х + 3 у — 2 = 0 ? Какой угол (острый

или тупой) образует эта прямая с положительным направлением оси Ox ?6. При каком значении a прямые х — 2 у + 5 = 0, ax + у — 4 = 0 параллельны?7. При каком значении с прямые ( с + 4 )х + 3у +16 = 0 и х + с у + 6 = 0

взаимно перпендикулярны ?8. Найти угол, образованный прямыми 3 х + у + 5 = 0 и 2 х — у — 3 = 0.

9. В треугольнике с вершинами А ( —7; — 6 ), B (7; — 6), C (9; — 9) найти

уравнения стороны А В , медианы C M и высоты C H .10. Найти уравнение геометрического места точек плоскости, равноудаленных от двух прямых у = —5 х +15 и у = —5 х — 25.

11. Найти проекцию точки А (2; 3) на прямую 2х — у + 4 = 0.


12. Составить уравнения прямых, еслиа) прямая проходит через точку М 0 (2;—3) параллельно прямой

3 х — 5 у — 1 = 0;

б) прямая проходит через точку М 0 (3;2) параллельно оси Ох;

в) прямая проходит через точки М х (2; — 1) и М 2 (1; 4).

13. Дана прямая 3х + 2 у —12 = 0. Найти угловой коэффициент к , значение b и построить прямую.14. Даны уравнения сторон треугольника: АВ : х — 2у + 4 = 0,A C : 2 х — 5 у +10 = 0, BC : 3 х — 2 у —12 = 0. Найти координаты точек А и В .15. Даны вершины треугольника А (2; — 2), В (0;8) и уравнение основания A C : 3х + 2у = 2. Найти уравнение средней линии, параллельной A C .16. Дана вершина треугольника C(—2; 5) и уравнение высоты (BH )4 х — у —12 = 0. Найти уравнение основания (AC ) .17. Найти уравнение геометрического места точек плоскости, равноудаленных от двух прямых у = 2 х —16 и у = 2 х + 4.

43

Дополнительные задачи для самостоятельной работы18. Из точки А (5; 4) выходит луч света под углом а = arctg 2 к оси Ox и отнее отражается. Найти уравнения падающего и отраженного лучей.19. Даны уравнения двух сторон прямоугольника2 х — 3 у + 5 = 0, 3 х + 2 у — 7 = 0 и одна из вершин А (2; — 3). Найти уравнения двух других сторон.20. Найти точку пересечения высот треугольника с вершинами:А ( - 6; 2), В (2; - 2), C (2; 4).

21. Найти расстояние от точки А ( 2; — 1) до прямой 3х — 4 у + 5 = 0.

22. На координатной плоскости заштриховать полуплоскость 2х — 3 у — 6 > 0.

Решение типовых задач Пример 1. Даны координаты вершин AABC : А(1; 4), В (—2; 1),

C (2; 1). Найти общее уравнение: 1) стороны А В ; 2) высоты B H (рис. 2.6).

<i 1. За направляющий вектор прямой АВ можно взять вектор

В а = АВ = (-3; - 3) . Далее, так как точкаA е A B , то каноническое уравнение

- АТ) х — 1 у — 4прямой АВ имеет вид: — — = — — .

Из последнего уравнения имеем H х — 1 = у — 4 ^ x — y + 3 = 0 - общееРис. 2.6 уравнение прямой А В .

2. За нормальный вектор прямой В Н можно выбрать вектор А С ( 1; —3) . Тогда уравнение прямой, проходящей через точку В (—2; 1) с заданным

нормальным вектором, имеет вид B H : 1 •(х + 2) — 3 ( у — 1) = 0 или

х — 3 у + 5 = 0 - общее уравнение прямой B H . >Пример 2. Найти угловой коэффициент прямой, заданной общим

уравнением 2 х — 3 у + 6 = 0.2 2

< Выразим из этого уравнения у. Тогда y = - x + 2 и к = - . >

Пример 3. Найти точку А пересечения прямых 14х — 9у — 24 = 0,7 х — 2 у —17 = 0.

< Так как искомая точка лежит на каждой из двух прямых, то координаты этой точки удовлетворяют каждому из уравнений. Таким образом, координаты точки пересечения прямых находятся из системы уравнений:

7х — 2 у —17 = 0,

[14х — 9у — 24 = 0.44

взаимно

Решив эту систему, получим, что A(3; 2) - искомая точка. >

Пример 4. При каких значениях с прямые L~i :(с +1) х + (3 — с ) у +16 = 0 и L 2 :(с — 3) x + (2с — 3) у + 6 = 0

перпендикулярны?<1 Прямые L l n L 2 заданы общими уравнениями, тогда их нормаль

ные векторы имеют координаты: N\ (с +1; 3 - с ), N 2 ( с — 3; 2с — 3). Если

L x _L L 2 <=> TV 1 _L N 2 <=> TVi ■ N 2 = 0 <=>

(c + 1)(с — 3) + (3 — c )(2 c — 3) = 0 с 2 — 7с +12 = 0 ^ с 1 = 3; с2 = 4. >

ОтветыI. а, б, в, г, е. 2. а) x — у + 5 = 0; б) 3х + у — 3 = 0; в) 3х — 2у +11 = 0;г) 2х — 3у — 8 = 0; д) 2х + 3у — 3 = 0; е) х + 5 = 0;ж) 5х — у — 7 = 0; k = 5.

3. (2; 1).4. а) к = — b = 0; б) к = 0, b = 7. 5. Нет, тупой. 6. —0,5. 7. —1.

8. 450. 9. A B : у = —6; C M : х + 3у +18 = 0; C H : х = 9. 10. у + 5х + 5 = 0.I I . (0; 4). 12. а) 3 х — 5у — 21 = 0; б) у = 2; в) 5х + у — 9 = 0.

313. к = — - , b = 6 . 14. A (0; 2), B ( 8; 6). 15. 3х + 2у — 9 = 0.

16. х + 4 у —18 = 0. 17. у — 2 х + 6 = 0. 18. у = 2 х — 6; у = —2 х + 6 .

19. 2х — 3у —13 = 0; 3х + 2у = 0. 20. (1; 2). 21. 3.

Занятие № 10. Кривые второго порядка Основные понятия: окружность, ее центр и радиус; эллипс, гипер

бола и их полуоси, фокусы, эксцентриситет, асимптоты гиперболы; парабола, фокус, вершина, директриса, парабола со смещенной вершиной [1, с. 52-61].

Каноническое уравнение окружности радиуса R с центром в точке C ( a; b) имеет вид:

а . / г \2 „2( х — a) + ( у — b) = R .

Эллипс (рис.2.7). Гипербола (рис.2.8).

Точки F ( —с; 0 ), F ( с; 0) — называются фокусами кривых; r1 = F M , r2 = |F2M| — фокальные ради

усы; M ( х; у ) — текущая точка кривой.

(2.10)

45

Основные понятия для эллипса и гиперболы приведены в табл. 2.3.

Таблица 2.3Наименование Эллипс Гипербола

Каноническоеуравнение

2 2 x y л + = 1 2 ' и2 1a b

2 2 x y _ i2 и 2 1 a b

Полуоси а - большая b - малая (a>b)

а - действительная b - мнимая

Характеристическоесвойство rj + r2 = 2 a Ir1 - r2| = 2a

Уравнение параметров a2 - с2 = b2, (a > с) с2 - a2 = b2, (с > a)

Эксцентриситет e = - < 1 a

e = - > 1 a

Асимптоты Отсутствуютb

y = ± - x a

Парабола (рис.2.9). у = 2px - каноническое уравнение параболы, где

x = -

Рис.2.9

p (p > 0) - параметр; FV

p

фо-У

кус-точка; прямая x = - — называется

директрисой параболы. Характеристическое свойство параболы: d = r .

46

x2 = -2 py( y = -ax2)

Рис.2.10

На рис. 2.10 приведены различные случаи расположения параболы в зави

симости от ее уравнения ( а > 0).

Задачи1. Определить какие линии на плоскости определяют уравнения:

1) x2 + 4y2 = 4 2) x2 + y2 = 4 3) 4 x2 + y = 4

4) x2 - 4y2 = 4 5) x + y = 4 6) x2 - 4y2 = 0.2. Какие из трех данных точек А (-7; - 6), B (7; - 6) и C (9; - 9) лежат на

окружности ( x - 1)2 + y2 = 100, внутри, вне ее?2 23. Найти координаты центра и радиус окружности x + y + 6 x - 2 y = 0.

2 24. Найти длину диаметра окружности x + y + 2 x - 6 y - 6 = 0.

5. Найти уравнение окружности, если точки А(3; - 4) и B (-5 ; 2) - концы

одного из ее диаметров.6. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, если известно, что она расположена симметрично:а) относительно оси Oy и проходит через точку B (1; 1);

б) относительно оси Oy и проходит через точку D (4; - 8);

в) относительно оси Ox и ее фокус находится в точке F (-2 ; 0).2 2 x y7. Найти большую и малую полуоси эллипса — + — = 1 и координаты его

фокусов.8. Записать уравнение асимптот гиперболы 9x2 - 4y2 - 36 = 0.9. Составить уравнение окружности, которая касается оси Ox в начале координат и проходит через точку А (0; - 4).10. Составить каноническое уравнение эллипса (рис.2.7) если известно:а) a = 10, c = 8 ; б) c = 6; s = 0,6 .

47

11. Составить каноническое уравнение гиперболы (рис.2.8) если гипербола

проходит через точки M x (6; - 1) , M 2 ( - 8; 2ур2 ).

12. Построить графики функций: а) y = -2 ( x -1 ) 2 +1; б) y = x 2 + 4 x + 2.

13. Построить на плоскости фигуры, ограниченные линиями:2 I 2 2 2а) y = x + 2x, y = x + 2; б) y = - V 3 - x , y = 0; в) x - y = 1, x = 3.


14. Найти координаты центра и радиус окружности

x + y — 4 x + 2 y — 4 = 0.15. Найти уравнение прямой, соединяющей центры окружностей

x 2 + y 2 = 8 x и x 2 + y 2 = 6 y .16. Составить каноническое уравнение эллипса (рис.2.7), если известно:

а) эллипс проходит через точки M ( 4; - л/э ) , M 2 ( 2л/э;3);

б) точка M (л/Г5;- 1) эллипса, с = 4.

17. Составить каноническое уравнение гиперболы (рис.2.8), если известно:3

а) с = 10, b = 4; б) с = 6; е = —.

18. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, если известно, что она расположена симметрично:а) относительно оси Ox и проходит через точку A (9; 6) ;

б) относительно оси Ox и проходит через точку C (-1; 3).


19. Составить каноническое уравнение гиперболы (рис.2.8), если известно:2

а) точка M (-2 ; -1 ) гиперболы и уравнения асимптот y = ± —x ;

б) точка M (-5 ; 3) гиперболы и е = V2 ;2 2

x yв) фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса — + — = 1, а экс

центриситет е = 2 .

20. Найти точки пересечения окружности (x - 8)2 + (y + 2)2 = 50 и прямой x + y = 0 .21. Найти уравнение, которое задает геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от центров окружностей

(x - 8) 2 + (y -12) 2 = 25 и (x - 6) 2 + (y - 8) 2 = 16.

48

Решение типовых задач Пример 1. Найти координаты центра и радиус окружности

х 2 + у 2 — 8 х + 6 у = 0 .< Приведем уравнение окружности к каноническому виду, выделяя

полные квадраты в левой части уравнения:

( х 2 — 2 • 4 • х + 42) — 42 + (у 2 + 2 • 3 • у + 32) — 32 = 0 о

о (х — 4)2 + (у + 3)2 = 16 + 9 о ( х — 4)2 + ( у + 3)2 = 52. Сравнивая полученное

уравнение с уравнением (2 .10), получаем координаты центра окружности C (4; — 3) и радиус R = 5. >

Пример 2. Написать уравнение прямой, проходящей через точку

M (2; — 2) и касающейся окружности ( х +1)2 + ( у — 2)2 = 25.

< Центр окружности находится в точке C ( —1; 2). Проверим, прохо

дит ли окружность через точку M : (2 + 1)2 + ( —2 — 2)2 = 9 +16 = 25. Так

как координаты точки М удовлетворяют уравнению окружности, то точка

М лежит на ней. Тогда вектор С М (-3 ;4 ) будет нормальным для каса

тельной. Запишем уравнение касательной, проходящей через точку M :—3( х — 2) + 4 ( у + 2) = 0 о —3х + 4 у +14 = 0. >

Пример 3. Составить каноническое уравнение эллипса (рис.2.7),

проходящего через точки M12

и M ,16

3; 5v 5 уНайти его эксцен-

v4’ 5 утриситет, координаты фокусов.

2 2 х у< Искомое уравнение эллипса имеет вид — +— -a b

липс проходит через точки M x и M 2, то координаты точек должны удо-

1 . Так как эл-

влетворять уравнению эллипса:

16 144+

a 25 b2

256

= 1,

Л + ^ = 1.a 2 25b 2

Пусть = t;16

a'= z , тогда получаем систему

161 + 9 z = 1,

91 +16 z = 1о <

t = 1/25.

z = 1/25о <

a 2 = 25,

b2 = 16.

<

1

49

2 2 x yИскомое уравнение эллипса имеет вид-----1-----= 1. Находим

25 16

c = V a 2 - b 2 = V25 -16 = 3. Эксцентриситет эллипса равен s = c , тогда

3s = - , координаты фокусов F l (-3 ;0 ), F2 ( 3;0) . >

Пример 4. Составить уравнение гиперболы (рис.2.8), проходящей через точку M (9; 8), если уравнения асимптот гиперболы имеют вид

2л/2y = ±-

3x . Найти эксцентриситет и координаты фокусов.

2 2 x y< Уравнение гиперболы имеет вид — - =—т- = 1 ( точка М лежит нижеa

прямой y2>/2

3x ). Так как точка М лежит на гиперболе, и учитывая, что

уравнения асимптот гиперболы имеют вид y = + —x , получаем системуa

уравнений:

82

a2 b -

b _ 2V2

a 3

= 1,8 ^ _6 4 _

a 2 b 2 ~ ,

, 2V2b = ----- a

3

81 64'9

a1,

A 2 8 2b = — a 9

a 2 = 9,

b2 = 8.

2 2 x VИскомое уравнение гиперболы имеет вид — - = 1. Находим

c = 7 a2 + b2 =л/ 9 + 8 = л/Т7. Тогда эксцентриситет гиперболы равен

, а координаты фокусов Fj ( - ^ 7 ; 0 ) , F2 VT7; 0) . >c VT7

s = — ■a

< <

Ответы

1. 1) эллипс; 2) окружность; 3) парабола; 4) гипербола; 5) прямая; 6) две пересекающиеся прямые. 2. А на окружности, B внутри, C вне ее.

3. (-3 ; 1); >/ш. 4. 8. 5. ( x + 1)2 + (y + 1)2 = 25. 6. а) y = x2;б) y = - — ;

3в) y 2 = - 8x. 7. 5; 3; (4; 0 ); (-4 ; 0). 8. y = + - x. 9. x2 + y2 + 4y = 0.

50

10. а) — + = 1; б) — + = 1. 11.— - y 2 = 1. 14. C (2; -1 ); R = 3. 100 36 100 64 32 8

2 2 2 2 2 215. 3x + 4y -12 = 0. 16. а) — + = 1; б) — + — = 1. 17. а) — - = 1;

18 27 20 4 84 16x2 y2 x 2 y2

б )----- — = 1. 18. а) y 2 = 4 x; б) y 2 = -9 x. 19. а) —--------— = 1;16 20 7/4 7/9

2 2 2 2б) x— = 1; в) x— = 1. 20. (1;-1); (9 ;-9 ). 21. x + 2y -2 7 = 0.

16 16 4 12 V ' V '

Занятие № 11. Плоскость Основные понятия: общее уравнение плоскости, уравнение плоско

сти, проходящей через точку, перпендикулярно данному вектору, неполные уравнения плоскости [1, с. 244-247].

Уравнение плоскости в прямоугольной декартовой системе координат Oxyz, проходящей через точку M {){x{)\y{)\z ) перпендикулярно векто

ру N = ( А ; В ; С ) ф 0 (нормальный вектор плоскости), имеет вид:

A(x - x0 ) + B(y - y 0 ) + C(z - z0 ) = 0 . (2.11) Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0 .Частные случаи общего уравнения:Ax + By + Cz = 0 (D = 0 )- плоскость проходит через начало координат;Ax + By + D = 0 (C = 0 )- плоскость параллельна оси Oz (аналогичный смысл имеют уравнения Ax + Cz + D = 0, By + Cz + D = 0).Формулы для нахождения угла между плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей приведены в табл. 2.4.

Таблица 2.4

Уравнения плоскостей Угол р между Pi иР2

Условие Pi || Р2 Условие Pi 1 Р2

Р J Aj х + Bj у + С j z + Dj = 0

Р 2 : А 2 х+В 2 у + С 2 z+D 2 = 0

(л 'ьА 'з ) Nl ||#2

А 1 В 1 С 1

А 2 В 2 С 2

S 1I S 2

N i - N 2 = 0

cos р= “«1 • N 2

Расстояние от точки М 0 (х0; у 0; z 0) до плоскости

Р : Ах + В у + С z + D = 0 находится по формуле:

А х 0 + В у q + С z q + DP (M 0, P ) =

4А- + В 2 + С ■(2.12)

51

Задачи

1. Принадлежит ли точка M (1; 2; 3) плоскости P: х + 3 у — z — 3 = 0 ?

2. Дано уравнение плоскости 3 х — 2 у + 5 z — 9 = 0. Найти а) координатыкакого-либо вектора нормали к плоскости; б) координаты какой-либо точки, принадлежащей плоскости.3. Построить плоскость 3 х + 2 у + 6 z —12 = 0 и вычислить объем пирамиды, ограниченной координатными плоскостями и данной плоскостью.4. Составить уравнение плоскости Р, проходящей через точку

М {2 ; -1; 3) и перпендикулярной вектору N (-3 ; 2; 5).

5. Составить уравнение плоскости Р, проходящей через точку M (—2; 1; 3)

и параллельной плоскости P 1: 2 х + 4 у — z + 5 = 0.

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (1; 1; 1) и параллельной плоскости Oxy .7. Какой геометрический образ соответствует уравнению х — у = 0 а) на плоскости? б) в пространстве?8. Точка M (3; —4; 1), служит основанием перпендикуляра, опущенного из

точки Q (2; 0; 5) на плоскость Р. Составить уравнение плоскости Р.

9. Являются ли параллельными плоскостиP :4х + 2у — 4z + 5 = 0 и

P : 2 х + у — 2 z —4 = 0 ?

10. Являются ли перпендикулярными плоскости P : 2 х — 3 у + 4 z — 2 = 0 и

P : х + 2у + z — 7 = 0 ?

11. Найти косинус угла между плоскостями P : 2 х — 3 у + 6 z — 7 = 0

и P : 4 х + 8 у + z — 3 = 0.

12. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М ( 3; -4 ; 2)

параллельно векторам я(3; 1; -1) и Ъ{\; -2 ; 1).

13. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки:M 1 (3; — 2; 1), M 2 (2; 1; — 1), M 3 (1; 0; 1).

14. Составить уравнение плоскости Р, проходящей через точкиO (0; 0; 0), А (3; —2; 1) и B (1; 4; 0).

15. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А (—2; 3; 1) и

перпендикулярной плоскостям P : х — у — z = 0 , P : 2у = х .

16. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку K (1; 2; — 3)

и ось Oz .Домашнее задание

17. При каком значение " m " плоскость 2х + my + 3z + 3m — 9 = 0 проходит через начало координат.52

18. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М ( - 1;3; 2) и

параллельной плоскости Oyz .19. Составить уравнение, которое задает геометрическое место точек пространства, равноудаленных от двух заданных точек А (2; -1; 4) и

B (-4 ; 3; 6).

20. Точка М (1; - 3; 2) служит основанием перпендикуляра, опущенного

из точки Q ( 3;2; - 4) на плоскость P . Составить уравнение плоскости P .

21. Являются ли плоскости р : x - 3 z + 2 = 0 и P2 : 2 x - 6 z - 7 = 0 па

раллельными ?22. Найти косинус угла между плоскостями р :6 x + 2y - 3 z + 5 = 0 и

P2 : 2 x — y +2 z +1 = 0 .

23. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M 1 (2; 1; 3), M 2 (-1 ; 3; 2 ), M 3 (3; -1; 1).


24. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А (—1; 1; 3) и

B (1; - 3; 2) и перпендикулярной плоскости P : 2 x - y + 3 z + 4 = 0.

25. Найти расстояние от точки А (1; - 2;1) до плоскости

P : 2 x - 3 y + 6 z - 7 = 0.26. Найти расстояние между параллельными плоскостями P1 : x - 2 y - 2 z -1 = 0, P 2 : 2 x - 4 y - 4 z -14 = 0.

27. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А (3; - 1 ; 2) и

перпендикулярной плоскостям P1: 2 x + y - z +1 = 0 и P2: x - y + 2 z = 0.

28. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки А(1; 0; -1 ) и

B (2; - 3;1) и перпендикулярной плоскости P : x + 2 y - 3 z +1 = 0.

29. Составить уравнение плоскости, проходящей через перпендикуляры, опущенные из точки А (-2 ; 3; 1) на плоскости 4 x + y - 3 z +1 = 0 и

x — 2 y + z +1 = 0 .Решение типовых задач

Пример 1. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку

М 0( 1; - 1; 0) перпендикулярно вектору N ( - 2 ; 3; 1).< Воспользовавшись уравнением (2.11) плоскости, проходящей че

рез заданную точку М 0 с заданным нормальным вектором N , получаем- 2(х -1 ) + 3(у +1) + 1(z - 0) = 0 или 2х - 3у - z - 5 = 0. >

53

Пример 2. Составить уравнение плоскости Р , проходящей через точки М х{0; 1; 5), М 2 (3; 0; 1) и М 3(—1; 1; 2).

< Находим координаты векторов М 1М 2 (3; -1; - 4),

М ХМ Ъ{—1; 0; —3) и определяем координаты нормального вектора

7V = М ХМ 2 х М гМ 3 плоскости Р :

^ 1

N =

к

3 -1 -4

— 1 0 —3

— 3/ +13^ — к

Зная координаты нормального вектора и выбрав точку М 1, записываем уравнение плоскости Р : 3(х — 0) + 13(у — 1) —1(z — 5) = 0 или Р : 3х +13у — z — 8 = 0. >

Пример 3. Найти угол между плоскостями Рг : — 3у + z +1 = 0 и

Р 2 : 2 у + z — 3 = 0.<1 Нормальные векторы плоскостей Р\ и 1\ имеют координаты:

iVj(0; -3 ; 1), N 2 (0; 2; 1). Так как N x = л/lO, N 2 = л/5, а скалярное

произведение N\ • N 2 = 0 — 3• 2 +1 • 1 = — 5, то получаем:

cos р =N i - N 2 — 5

N 1 N 2 л/Ш-л/5 5л/2 л/2= . Откуда р = 45 >

Пример 4. Найти расстояние от точки М 0 (1; — 1; 1) до плоскости Р : 2х — 3у + 6z — 25 = 0.

< Воспользуемся формулой (2.12) и получим

p ( M 0 , P ) =

2 1 —3(—1) + 6-1 — 25

л/4 + 9 + 36

— 14 14 „- j = J = — = 2. >л/49 7

Ответы1. нет. 2. а) (3; — 2; 5); б) (3; 0; 0); 3. 8. 4. 3х — 2у — 5z + 7 = 0.

5. 2х + 4 у — z + 3 = 0. 6. z = 1. 7. а) прямая; б) плоскость.

8. х — 4у — 4z —15 = 0. 9. Да. 10. Да. 11. cosa = 10 . 12. х + 4у + 7z — 1 = 0.63

13. х + у + z — 2 = 0. 14. 4 х — у —14 z = 0. 15. 2 х + у + z = 0. 16. 2х — у = 0.17. 3. 18. х +1 = 0. 19. 3х — 2у — z +10 = 0. 20. 2х + 5у — 6z + 25 = 0.

421. Да. 22. cosa = — . 23. 6х + 7у — 4z — 7 = 0. 24. 13х + 8у — 6 z + 23 = 0.

25. 1. 26. 2. 27. х — 5у —32 —2 = 0. 28. х + у + z = 0.29. 5 х + 7 у + 9 z — 20 = 0.

о

54

Занятие № 12. Прямая в пространстве и плоскость

Основные понятия: общие уравнения прямой, канонические уравнения прямой, параметрические уравнения прямой [1, с. 248-252].

Если для прямой L заданы точка М 0 (х0 ;у0; z0 ) е L , направляющий

вектор а = (т ; п ,р )ф О (я □ L ) (рис. 2.11),тогда dl = {jn.n p ) / L

канонические уравнения прямой в пространстве S ' s * M(x;y;z)имеют вид: •'

•X _ х 0 У ~ Уо z ~ z 0

m n pПараметрические уравнения прямой в

(2.13) Mo(xo;yo;zo)

Рис.2.11

пространстве:

x = x0 + tm,

У = Уо + tn,

z = z^+tp, £ е □ .

L :

Общие уравнения прямой L (прямая-линия пересечения двух непараллельных плоскостей):

Axx + Вху + Cxz + Dx = 0,

~A,x + В2У + C2z + D 2 = 0 .

Формула для нахождения угла между прямыми Ьх и Ь2 с направляющими

векторами = (/??,; д ) и а2 = {т2, п2; р 2), условия параллельности и

перпендикулярности прямых приведены в табл. 2.5.Таблица 2.5

<

Угол (р между L x и Ь 2 Условие L x\\L2 Условие L x _L L 2

cos (р =ах • а2

ах • а2

ал Ua2

mL = nL = Pl_

m 2 П2 P 2

a} _L a2

m • m + n • n + Pi ■ P2 = 0

Формула для нахождения угла между прямой (2.13) с направляющим вектором а = (ш; /?; р ) и плоскостью Р . А х + В у + С z + D = 0 с нормаль

ным вектором N = (у4; В; С ) , условие параллельности и перпендикуляр

ности прямой L и плоскости Р приведены в табл. 2.6.

Таблица 2.6Угол р между

L и PУсловие L ||Р Условие L 1 Р

a -N a ± N mA + nB + p C = 0

aV\N m n p

~A ~ B ~ C

>3111 ку —1 1' N

55

Задачи1. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М ( 2; -3 ; 5 )параллельно а) вектору а(2; 4; - 3 ) ; б) прямой

т x -1 y +1 z - 2L :----- = ------ = -------; в) оси Oy.

2 - 1 32. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку Q (-2 ;3 ; 1) параллельно вектору а { - 3; 2; 4) .

3. Даны точки A(2;4;-1 ), B (3 ;- 2;0) на прямой. Записать а) канонические уравнения прямой; б) параметрические уравнения; в) общие уравнения прямой.4. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку A ( - 1; 2; 3) перпендикулярно плоскости P : 2x + y - z -1 = 0.

5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M (2; -1 ; 4),

x y -1 z + 2 перпендикулярно прямой — = —-— = —-— .

6. Записать параметрические уравнения прямой x 1 = y + 1 = z + 2. Найти

координаты каких-либо двух точек, принадлежащих этой прямой.7. При каком значении m прямая L: x = 2 1 +1, y = mt - 2, z = - 1 - 3, t e R , параллельна плоскости P : x - 3 y - 7 z +1 = 0 ?

x — 1 y — 2 z + 38. Найти угол между прямыми L x: —-— = — — = —— и

x - 4 y + 3 z - 4L 2 : ------= ------ = -------.2 1 0 1

ft тт - - T x -1 y + 3 z -19. Найти угол между прямой L : — — = — — = и плоскостью

P : 2 x - 2y +1 = 0.

10. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(1; - 2; 1)

r x y z x +1 y + 2 z - 3параллельно прямым L : — = — = — и L : ----- = ------- = -------.

1 6 2 3 2 5 4 211. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A ( 3; 1; - 2 )и

r x - 4 y + 2 zпрямую L : ------= ------- = — .

2 1 -212. Найти координаты точки пересечения плоскости 2x + 3 y - 5 z +1 = 0 и

x - 5 y - 4 z - 5прямой ------= ------- = -------.

3 1 2

56

15. Найти направляющий вектор прямой

I x + y - 2 z = 0,13. Найти синус угла, образованного прямой | с плоско-

|3x + 2 y - 2 z = 0

стью 3x + 2 y - z + 4 = 0.Домашнее задание

14. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку M ( —1; 2; - 3 ) параллельно прямой L\ x = 2t + \, y = - t + 3; z = 4 t -2 , teU

x + y + 2 z = 0

x - y - 2 z = 0

16. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точки A (-1 ; 3; 2 ) и B ( 1; 2 ; - 3 ) .

17. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку A (2; - 3 ; 1) перпендикулярно плоскости P : x - y + z - 3 = 0.

18. При каком значении m прямая L: x = t +1, y = 2mt -1 , z = - t +1, t e R , параллельна плоскости P : 3 x + y - z +1 = 0 ?

If» тт - т x -1 y +1 z - 319. Найти угол между прямыми L x : = —-— = — —

иL 2\ x = —2 t + \\ y = 3 t -V , z = t + 3, feD .


20. Найти расстояние между прямыми L j и L 2:

а) L i :x +1 y — 2 z + 3

1 - 2 2L

x - 4 y + 3 z - 4

1 0 1

б) L j : -x y +1 z - 2

L 2 : x = 3t + 2 , y = - 6 , z = - 2 t - 2 , ^eD6 1 -2

21. Найти проекцию точки M (2; -3 ; 6) на плоскость 2x - 3 y + z - 5 = 0.

Решение типовых задач Пример 1. Составить различные уравнения прямой L, проходящей

через точку М 0 (3; 2; -1 ) и параллельной вектору а (2; -1; 5).

< Составим канонические уравнения L:x — 3 y — 2 z +1

Зная ка-2 - 1 5

нонические уравнения L, запишем ее параметрические уравнения: x = 2t + 3, y = - t + 2, z = -5t -1, t e R . Из канонических уравнений легко

x - 3 y - 22 = -1 , I x + 2 y - 7 = 0,

y - 2 z +1 [5y + z - 9 = 0. -1 =

получить общие уравнения прямой:

57

Пример 2. Найти угол между плоскостью P :^2х + л/2у — 2 z +1 = 0г х — 1 у + 3 z

и прямой L : ----- = — т=г- = —.1 V2 1

< Нормальный вектор плоскости Р: n {^2; л/2; - 2 j , направляющий

вектор прямой L : а № ) , р - угол между Р и L. Тогда

|У2+ 2 —2 42 _1 1

костей: а = N ^xN i =

sin р = —р .— '-----= — j= = —; р = arcsin—. >V2 + 2 + 4V1 + 2 +T 4>/2 4 4

Пример 3. Записать канонические уравнения прямой2 х — 3 у + z + 8 = 0,

х у — z —1 = 0.

<1 В качестве направляющего вектора а прямой L можно взять вектор а = N\ х N 2 , где Ni (2; - 3; l), N 2 (l; 1; - 1) - нормальные векторы плос-

i j к

2 -3 1 = 2 / + 3 j + 5 к .

1 1 — 1

Чтобы найти координаты точки M 0 е L , положим z0 = 0 и, решив

Г2 х — 3 у + 8 = 0систему < , получим х0 = —1, у 0 = 2. Зная координаты точки

[х + _у-1 = 0

M 0 (-1; 2; 0) и направляющего вектора а (2; 3; 5), записываем канониче-

„ г х +1 у — 2 z ские уравнения прямой L : = — — = —. >

тт тт - г х — 1 у +1 z Пример 4. Найти угол между прямыми L j : -----= -----= — и2 — 2 6

L 2 : х = —2Z +1, у = t — 2, z = t — 1, ZsD .

< Угол р между прямыми L 1 и L 2 равен углу между направляю

щими векторами этих прямых. Направляющие векторы прямых L\ и L 2

задаются координатами ал ( 2; — 2; б) и й2 ( - 2; 1; О соответственно. Тогда

а.-аЛ |2 - (-2) + (-2) -1 н-6 -1| „cos^ = . , =J = 0=> <р = 90°. >

IJ ci2 1 л/4 + 4 + 36 >/4 + 1 + 1 Пример 5. Найти координаты точки M 1 пересечения плоскости

P : 2 х + 3у — 5z +1 = 0 и прямой L : х— 5 = у— 4 = - — 5 .3 1 2

< Запишем параметрические уравнения прямой

58

x = 3t + 5,

L : <jy = t + 4, . Так как каждой точке прямой L соответствует неко-

2 = 2? + 5, t е □ .торое значение параметра t , то обозначим через t 1 значение парамет-ра,

соответствующее точке M i . Тогда координаты точки M i запишутся:

Xj = 3tj + 5,

y = tx + 4, Так как точка M l е Р , то ее координаты должны удовлетво-

Z = 2tj + 5.

рять уравнению плоскости Р : 2(3tj + 5) + 3(tx + 4) - 5(2tj + 5) +1 = 0. Разрешая последнее уравнение относительно ti, получим = - 2. Из параметрических уравнений прямой L, находим координаты точки М х ( - 1; 2; 1). >

Ответыx — 2 у + 3 z — 5 x — 2 у + 3 z — 5 x — 2 y + 3 z — 5

1. а ) ------= - ----- = ------ ; б ) ------ = - ----- = ------ ; в ) ------ = - ----- = ------ .2 4 —3 2 —1 3 0 1 0

2. x = —3t — 2; y = 2t + 3; z = 4t +1. 3. а) — 2 = 4 = — ; б) x = t + 2;1 —6 1

г л 1 \ f6x + y — 16 = 0; x +1 y — 2 z — 3У = —6 t + 4; z = t — 1; в) \ 4 .----- = ------ = ------ .[ x — z — 3 = 0. 2 1 —1

5. 2x + 3y — 1 = 0. 6. x = 2t +1; y = —1; z = t — 2; (1;—1; — 2); (3;—1; — 1). 7. 3.

8. 450. 9. 450. 10. 8x — 3 y —14z = 0. 11. 4x + 6y + 7 z — 4 = 0.

12. ( —1;2; 1). 13. — . 14. — = - = — . 15. (0; 4; — 2 ). v ' 42 2 —1 4 v 'x +1 y — 3 z — 2 x 2 y + 3 z 1 /л

16.----- = y -----= -------. 17.------ = ------ = ------ . 18. m = —2. 19. 900. 2-------— 1 —5-----------1 — 1 11 22

20. а) L ; б) — . 21. (0; 0; 5).3 7

Контрольные задания по теме «Аналитическая геометрия»

1. Найти координаты вектора Ъ + i , еслиЪ ТТ а, а — (-1; 2;2)и |£| = 3|а|.

Ответ: ( —2; 6; 6).

2. Точки A (3; 1; — 2), B (1; 3; 5) и С ( —5; 1; — 4) являются вершинами

Л A B C . Найти длину его медианы, проведённой из вершины B .

Ответ: 6>/2 .

59

3. При каких значениях а и /? векторы а{а\ — 2; — 1)и Ь(3; 4; /?)колли-3

неарны ? Ответ: а = ——; /3 = 2.

4. Векторы Й и b с общим началом в точке О изображены на рисунке.

У ^

ъ а

-2 О 3 *

Найти скалярное произведение а-Ъ . Ответ: - 6 .5. Даны векторы <5(2; 1; -1 ), Ь(0; 4; 2). Найти орт вектора с = 2 а - Ь .

(2 1 2 Ответ: —; — ; — .

^3 3 3 )6. Вектор a(x;y;z) образует с осями Ох и Оу соответственно углы 45° и 120°, а с осью Oz - тупой угол у . Найти координаты вектора а , если

2а

г 4 2 1 1л

3 3 3V 3 3 3 у7. Даны координаты вершин Л A B C : A (3; 3; - 3), B (3; 3; 3),

C (1; 1; -1 ). Найти A C . Ответ: 0.

8. Найти внутренний угол ZA треугольн ика ABC , если даны координаты вершин треугольника А{2\ 2; 4), 5 (3; 1; 0), С ( 1; 0; 2). Ответ: 450.

9. Найти работу силы F{2\ 5; — 1) по прямолинейному перемещению ма

териальной точки из положения М (1; 1; -1 ) в положение N (3; 5; 2).

Ответ: 21.

10. Даны векторы <3(3; 2т; 1), 6 (2 ;-1 ; 3), с ( - 2; 2; 6). Векторы

а — 2Ъ и с взаимно перпендикулярны. Найти значение "т". Ответ: 8.

11. На векторах а { - 1; 2; 1) и 6(3; 1;- 2) построен параллелограмм. Найти

его площадь. Ответ: 5л/з.

12. Даны векторы: а( 1; т ; -2 \ Ъ = (2; -1; 0) и с (—1; 3; 2). Найти значение " m ", при котором эти векторы образуют левую тройку и объем параллелепипеда, на них построенного, равен 24 куб.ед. Ответ: 3.

13. При каком значении " т " векторы а = 2i + j , b = m i +3k,

с = 5 / - к компланарны? Ответ: 30.14. Составить уравнение прямой, изображенной на рисунке.

60

O

Ответ: 3x — 2y + 6 = 0.

15. Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точку (3; — 4)

и точку пересечения прямых 5x — 2 у — 1 = 0 и 3x + 4 у —11 = 0.Ответ: -3.16. Вектор N ( p ; 9) перпендикулярен прямой Зх - у + 2 = 0. Найти значе

ние p. Ответ: p = —27.2 217. Найти координаты центра окружности x + у +16 у — 9 = 0.

Ответ: ( 0;—8).2 218. Найти расстояние между фокусами эллипса 2 x + 3 у = 48.

Ответ: 4л/2.2 2 x У

19. Записать уравнения асимптот гиперболы — — = 1.

3Ответ: y = ± — x.

22

20. Найти координаты вершины параболы y = x + 4 x +1 и построить ее.

Ответ: ( —2; — 3).

21. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М 0 (1; 1;—1)

перпендикулярно вектору Л(2; 3; 1). Ответ: 2х + Зу + z — 4 = 0.

22. Из какого утверждения следует, что плоскость Ax + By + Cz + D = 0 параллельна оси O z :1) A = 0 2) C = 0 3) B = 0 4) A = B = 0. Ответ: 2).23. Найти значения "m" и "n", при которых прямаяx = mt + 3; y = 2t + 5; z = —4t — 1 и плоскость 3x + ny + 5z — 7 = 0 взаимно перпендикулярны. Ответ: m = —2,4; n = —2,5.

x +1 y — 2 z + 324. Найти угол (в градусах) между прямыми ----- = ------- = -------и

1 —2 2х - 4 у + З z - 4 л .------= -------= -------. Ответ: 45 .

1 0 1гг - ~ x + 1 У — 2 z + 825. Найти координаты точки пересечения прямой = — — = —-—

c плоскостью Oxy . Ответ: ( 11; — 2; 0) .

61

3. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ

Занятие № 13. Функция Основные понятия: множества числовой прямой, функция, область

определения, область значений, способы задания функции, обратная функция, элементарные функции [1, с. 69-72].

Г рафики основных элементарных функций

У ‘1 / х У L/ У = a y = ax

/ (a > 1) va<(0

(0;1) (0;1)

OW

x OW

x

62

У ‘ 1 -

1 y = sin x

, 0 / 1 --- 'bI J 1

- p ' ч

— - 1 -

p ' x

У -

Оf -p/2 p/2

j y = tg x

x

У '

p 2J y = arcsin x

r 1 ^I.......... >

-1 /

0 1 x

I------- -p /2

Уp/2

/ у = arctg x

0 x

-p /2

Уp

у = arcctg xp/2 -

0 x

63

Задачи1. Построить промежутки изменения переменной x , заданные неравен-

3| < 1;2

ствами: а) x < 4; б) x < 16; в) x

д) x2 > 9; е) ( x - 2)2 < 4.

Построить графики функций на указанных отрезках.2. На отрезке x < 3: а) у = 2x; б) y = 2x + 2; в) y = 2x - 2.

3. На отрезке x < 2: а) у = x 2; б) у = ( x - 1)2; в) у = x2 -1 .I 3 3 34. На отрезке x < 1: а) у = x ; б) у = - x +1; в) у = 3x — 1.

г) 0 < x -1 < 4;

5. На отрезке x + 1| < 2: а) у

6. Вычислить:

x б) у x x x.

а) f ( 0) , f ( x + 1) , f ( - 1) + 1, f' ' I " '

б) p (0) , p (-1) , <p , ,,V x ) (p( x)

в) g ( -1 ) , g ( 2) , g ( 0) , если g (x )

если f ( x ) = x

2 x - 3

2

V 2 )

если (p( x ) =

2 x +1

x2 +1

■ад < x < 0;

г)F ( b ) - F ( a )

если F ( x ) = x"b - a

Найти область определения функции:

8. у = V 9 - x2 .7. у = Vx + 2 .

10. у = arcsinx — 1

2

13. у = lnx - 3

x + 5

11. у = V x +1 - V 3 -

lg (20 - 5 x )

x

9. у = tog2

12. у =

1

x - 5 1

14. у =J ,

J.

15. у = Л/4

x — 3 x + 2

1+ —.

xx

fx" - 6x + 9Определить, является ли данная функция четной, нечетной или же

функцией общего вида:

16. у = x2 • x + 2sinx. 17. уx4 - 3x2

- 2x. 18. у = cos^x - 5xzx ( x - 2 )

Для функции у = f ( x ) на указанном множестве X найти обратную

функцию у = f -1 ( x ) и указать ее область определения. Построить графи

ки прямой и обратной функций, если

19. у = 1 - 3x, x е(-сю; + ад). 20. у = x2, а) x е (-ад ;0 ]; б) x е [0; + ад).

64

<

Построить график функции:

21. у = х2 - 6х + 5. 22. у = ---- — . 23. у = (0,5)х +1.х — 2

2х — 1, х е ( —да;1]; . .24. у = \ t ( ] 25. у = х +1 + 2.

— log2 х, х е(1; + да).Домашнее задание

Найти область определения функции:х — 3 I---------------

26. у = —------ . 27. у = у/ х2 + 7 х +12.х2 — 25

28. у = arccos (1 — 3х). 29. у = V1 + 2 х + 4log3 (1 — х).

30. Для функции у = х2 +1, х е [0; + да) найти обратную функцию и ее область определения. Построить графики прямой и обратной функций.31. Построить графики функций:

х2, х е (— да; 0]; cos х, х е (0; + да).

Дополнительные задачи для самостоятельной работы32. Построить графики функций:

а) у = 3х + 2; б) у = 4 х — х2; в) у = ( х — 1)3; г) у

хха) у = 2 — 0,1 х; б) у = —“ — 1; в) у = 2

33. Построить график квадратного трехчлена у = ох2 + Ьх + c (a Ф 0),

приведя его к виду у = a (х — х0 )2 + у0:2 2 2 а) у = —2х + 8х; б) у = — х + 2 х — 1; в) у = х + 3х + 2.

34. Найти область определения функций:

а) у = V4 — х2; б) у = ----- 1 ; в) у = 1п (х 2 — 2х +1); г) у = J |х| — 1.1W х2 — 9 V 7

Решение типовых задач Пример 1. Найти область определения и множество значений функ-

1ции у = — . .Л/х2 + 3х

< Областью определения данной функции является множество значений х

, удовлетворяющих неравенству х2 + 3х > 0 ^ х (х + 3) > 0 ^х < —3, х > 0,

т.е. Ds = (—да; — 3 ) и ( 0; + да). Множество значений функции удовлетво

65

ряет неравенству у < 0, и так как подкоренное выражение может принимать любое положительное значение, то Ef = (—да; 0). >

Пример 2. Для функции у = 3х+1 найти обратную и построить графики прямой и обратной функций.

< Из уравнения у = f (х), т.е. у = 3х+1 выра

зим х : х = log3 у — 1, т.е. g (у ) = log3 у — 1. Если аргумент функции g обозначить через x , азначения - через у , то получим

—1у = f (х) = log3 х — 1 - обратная функция к

функции у = 3х+1. Для данной функции область определения D f = (—да; + да), а множество зна

чений E f = ( 0; + да); для обратной функции

f 1 (х) область определения D —1 = (0; +да), а множество значений

E —1 = (—да; + да). Графики взаимно обратных функций симметричны от

носительно прямой у = х (рис. 3.1). О

Пример 3. Построить график функции у = (х + 2)2 — 3.< Г рафик этой функции можно построить, преобразовав график функции у = х2 с использованием правил построения графиков. Согласно этимправилам, параболу у = х2 следует сдвинуть на две единицы влево по оси Ох и на три единицы вниз по оси Оу , сохранив ее форму (рис. 3.2). о

Ответы1. а) (—4; 4); б) [—4; 4]; в) (2; 4); г) (1; 5]; д) (—да; — 3) и (3; +да)

е) [0; 4]. 6. а) f ( 0 ) = 1, f ^ +1) = х2 + х +1, Д —1) + 1 = 4, / 1

б) 9 (0) = —3, ^ ( —1) = — 5 q>{1 2х х2 V х

1 х2 +1V 2 J

34

л: +1 5 (р(х) 2х — 3в) g (—1) = —1, g (2) = 4, g (0) = 1; г) Ь + a. 7. [—2; +да). 8. [—3; 3]. 9. (5; +да). 10. [—1; 3]. 11. [—1; 3]. 12. (—да; 1 )и (2; +да).

66

13. (-ад; - 5 )и (3 ; +ад). 14. (-ад; 3 ) и ( 3; 4). 15. [-4; 0 ) и ( 0; 4]. 16. Не-1 — x / \четная. 17. Общего вида. 18. Четная. 19. у = ----- , D — = (-ад; + ад).

_ _ 3 f20. а) у = - 4 x, D -1 =[0; +ад); б) у = yfx, D -1 =[0; + ад).f 1 L 5 5 / у ' ’ f

26. (-ад; - 5) и (-5; 5) и (5; +ад). 27. (-ад; - 4 ]и [-3 ; +ад). 28,

29. [-0,5; 1). 30. у = V x-1 , D - 1 = [1; + ад). 34. а) [-2; 2]; б) (-ад; - 3]и[3; +ад); в) (-ад; 1)и(1; +ад); г) (-ад; - 1]и[1; +ад).

Занятие № 14. Предел функции. Непрерывность Основные понятия: предел функции, бесконечно малые и беско

нечно большие функции, теоремы о пределах, односторонние пределы, непрерывная в точке функция и ее свойства, точки разрыва, предел числовой

последовательности, неопределенности 0

[1, с. 73-78, 87-91].0V 0 У ЧадУ

, (0 -ад), (ад-ад)

ЗадачиВычислить пределы:

1. lim 1 2. lim4 x - 2

x—>2 x — 1

1

x——1 x3 -13. lim

x—

1 + sin 2 x p 1 - cos 4x

4. lim 1

4

5. lim 6. lim1 1

x—№ 3x +1 x—1+0 x — 1

9. limx—1

12. lim

( x - 1)( x + 6)x2 -1

2 - V x - 3

10. lim

7. lim 5 x+2x—-2+0

2 x2 - 5 x - 3

x—2 x — 2

x2 - 48. lim

x—3 x — 9

x—2 x - 2 x11. lim ----- = — .

x—0 yj1 + 3x -1

2x—7 x - 493n4 + 2

15. lim--------- .п—ад n — 2

13. limx—o

16. lim

2 x + 7x——ад 5 x 2

n

14. lim 2 x — x +1x— 4 x - 2

2

п—ад 3n + 4

x—+ад18. lim IVx2 + 2x - x). 19. lim— x).

x—адx

I2.4

17. lim n

- xx + 2 x

20. limx—3

n —ад 1,3 1y n + 1' 1 6 4 x - 3 x2 - 9 )

Выбрать график функции у = f (x), соответствующий заданнымусловиям:

lim f (x) = +ад,x—2-0 2)

lim f (x) = 0. )21. 1)x — 2+0

lim f (x) = -ад,x ———0lim f (x) = +ад.

x—+03) lim f (x) = 1

x—±0

2

<

67

У

V 1

L1

" \ 0■ f ■ \ ^x 0 1 \2 х \ I 0 1 х

1

а)

J !

б) в)

22. 1)lim f (x) = 0,

x^ -(x / \ 2) lim f (x) = -1 . 3) lim f (x) = +o>.lim f ( x )= -1 . x^±0 w x ^ 2±0 w

x +<x>

x 0 х

б) в)

Выяснить, являются ли данные функции непрерывными в указанных точках:

23. f ( x )x

x3 - 8x 2. 24. f (x ) =

lg x + 4 x - 5x2x0 = 1.

x — 3x — 225. Для функций, изображенных на рисунках, указать точки разрыва

Домашнее заданиеВычислить пределы:

x2 + 2x 3x -1 3x -1 x2 - 2 x +126. lim —;----- . 27. lim--------. 28. lim— ----- . 29. lim ----- --------x -1 x +1 x ^ x +1 x^!9x -1 x 1 x2 -13 3,. 4x2 + 5 2n4 + 3n2 - 8 . x3 + 4x2 - 2

30. lim— ----- . 31. lim----- ------------. 32. lim —------------- .x 1 x -1 п ю 10n + n - 4 x “ x + 21x + 2

68

33. l im - ^ —1п—да 2 n +1

г34. lim

х ——1

X х 2 + 1Л

Vх — 1 х — 1im (х — л/х2 — х +1)->+х> \ /

35. lim ( xх —+да

36. Найти точки разрыва функции и построить ее график:

у

(х + 1)2 , х < —1;

1 — х , — 1 < х < 2;

х2 — 5, х > 2.

Дополнительные задачи для самостоятельной работыВычислить пределы:

37. lim 3 х +1

х —1 2 х - 12

38. lim1

х——3+0 х + 3

40. limх——±да v 2 j

41. lim х — х — 2х —— 2 х — 2

39. lim ln (х — 1).х—1+0

5n + 3 42. lim-------п—да 3n — 2

43. limп — да

П +1 \ п

46. limх——1

49. lim

V 2 п j х2 — х — 2

—1 х3 +1

х — 1

V4 х2 +1 44. lim ----------- .х——да х +1

лп г 1 — 5 х 47. lim , = =х—++дал/4 х 2 + 4 х +1

45. limп—да

г 5п + 4л2п

5п + 3пх—1 V х + 3 — 2

50. limп—да 5п—2 + 3п—1 ■

. 48. lim

51. lim

V 3п у—4 х + 5 х + 6

52. Найти точки разрыва функций: а) у =

1х — 1 1

х—2

х < 0;

х — 2 х3 — 8у

б) у =х > 0;

х2 — 4 х + 2

л:Решение типовых задач

П ^ 3х + 5Пример 1. Вычислить lim -------- .х—14 х — 2

< Так как f (х) = ^х + ^ - элементарная функция, то она непрерывна в

области определения Df =г

V

1—да; — 2

л ги

J V

1—; + да 2

л. Точка х0 = 1 е Df , тогда

J- л. v 3х + 5 по определению непрерывной функции lim --------

х—14 х — 2= f (1) = 2 ± + 5 = 4 .0

w 4 • 1 — 2

<

69

Неопределенность вида 'O 'V 0 у

при x — x0 раскрывают, максимально

сокращая дробь на выражение, стремящееся к нулю, т.е. на (x - x0)s , гдеs > 0 (часто s = 1). Если заданному сокращению мешает иррациональность, то сначала избавляются от нее.

тт т', 1- x2 -1 6Пример 2. Вычислить lim —-------------.x—4 х 2 - 7 x +12

< Так как при x — 4 числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю, то

Для сокращения дроби на (x - 4), разло-имеем неопределенностьV 0 )

жим числитель дроби на множители по формуле разности квадратов, а знаменатель - как квадратный трехчлен:

^0 (x - 4)(x + 4) x + 4 8 0= lim ^ G------г = lim ------ = - = 8. >x2 -16limx—4 х - 7 x +12 0V 0 ) x—4 (x — 3)(x — 4) x—4 x — 3 1

3 - V x + 9Пример 3. Вычислить lim

< Имеем неопределенность

x—0

V 0 у

x

для раскрытия которой избавимся от ир-

рациональности в числителе путем умножения числителя и знаменателя на выражение 3 + л/ x + 9, сопряженное числителю:

3 - V x + 9 ^ Ь . г г г ^ \ , 2lim -------------x—0

= limx—0

xr (3 -л / x + 9 )-(3 W x + 9 ) r 32 - U x + 9 )2= lim Л---------r—’ ; \----- = lim — ’ \ =x—0 x -(3 + V x + 9) x—0 x -(3 + V x + 9)

- x 1 1— -t----- . \ = — lim ------ , = — . >x -(3 + \ x + 9 ) x—0 3 + ■у x + 9 6

0

v 0 )

Неопределенность видачадУ

раскрывают, максимально сокращая

дробь на выражение, стремящееся к бесконечности.2 x-1 + 7 x

Пример 4. Вычислить lim x—1 '

ад< Имеем неопределенность — . При этом 7 >> 2 , поэтому разделив

чад)

числитель и знаменатель дроби на 7x 1, получим

70

2x-1 + 7xlim

x +да 2x + 7x-1v 7 у

x -1

+ 7

= limx^+да ( О Ax

7 • 2V 7 J

= 7, так как

+1

чдаудля случая от-

x ^ +да. >

Из указанного правила раскрытия неопределенности

ношения многочленов при x ^ д а имеем следствие: если Pn (x) = anxn + an -1 xn-1 + ... + a1 x + 00 и

Qm (x) = bmxm + bm-1 xm -1 + ... + b x + b0 - многочлены степеней п и m

да, если п > m;

у Pn (x) соответственно, то lim^ да Qm (x)

a,„

bесли n = m;

m

Пример 5. Вычислить limx^-да

0, если n < m.

8х + 2 x + 5 х + 22 х3 +1

< Так как в числителе и знаменателе стоят многочлены одинаковых сте

пеней, то по правилу, сформулированному выше, получаем:.3 , 0 - 2

limx ^ -да

8х3 + 2 x2 + 5 х + 2 f да 2 х3 +1 VWJ

= 8 = 4. >2

Неопределенность вида (да - да) раскрывают, преобразуя ее к не-

f да^f 0 1определенностям

V ^или

V 0 J

Пример 6. Найти limx 2v x - 4 x - 2

4 1 л

J

< Для преобразования неопределенности (да - да) к видуV 0 у

приведем

дроби к общему знаменателю: limx^2 V x2 - 4 x - 2

(да-да) =

= lim 4 - x - 2x^2 (x — 2) • (x + 2) v 0 j

2 - x r 1 1= lim ------r—-p------ г = - lim ------ = — . >x^2 (x — 2) • (x + 2) x^2 x + 2 4

71

Пример 7. Вычислить lim (п — V п2 — п ).п — да \ /

< Так как нужно найти предел числовой последовательности, то п е □ , и, следовательно, здесь неопределенность (да — да). Чтобы от нее перейти к

неопределенностиЧдаУ

виду дроби: п — V п2 — п =

, преобразуем общий член последовательности к

( п — V п2 — п )( п + V п2 — п )

lim (пп — да '

= limп — да

(п — V п2 — п )(да —да) = limп — да

п + п

п + п

п

ЧдаУ

п + 4 п.Тогда

п

= limп

гп

V1+ . /1—1

п У

1+. 11—1п

1—. О 2

Пример 8. Найти точки разрыва функции f (х) = х , х < 1;2х, х > 1.

< Функция f (х) является «склейкой» двух элементарных функций и онаопределена на множестве П , поэтому она может иметь разрыв только в точке х0 = 1, где она меняетсвое аналитическое задание. Найдем односторонние пределы функции при х — 1 ± 0:f (1 — 0 )= lim f (х)= lim х2 = 1,

х——1—0 х—1—0f (1 + 0 )= lim f (х ) = lim 2х = 2, f (1) = 1.

х—1+0 х—1+0

\ у ‘/

\ 2 - - /j d

\ 1"

У , .-1 0

1 ►1 *

Рис. 3. 3равны между собой, то в точке х0 = 1 функция терпит разрыв первого рода (неустранимый).

Скачок функции (рис.3.3) в точке х0 = 1: d = f (1 + 0) — f (1 — 0) = 1. О

Ответы 1. 1. 2. 0. 3. 1. 4. да. 5. 0. 6. ±да. 7. 0. 8. 4. 9. 3,5. 10. ^ . 11. ^ .

12. — У5в. 13. 0,4. 14. —0,25. 15. +да. 16. 0. 17. +да. 18. 1. 19. 0. 20. ^ .21. 1) б; 2) а; 3) в. 22. 1) в; 2) а; 3) б. 23. Нет. 24. Да. 25. а) х = 1; б) х = 2; в) х = —2; х = 2. 26. — 0,5. 27. 0. 28. 0,5. 29. 0. 30. да. 31. 0,2. 32. да. 33. 0.

72

34. 0,5. 35. 0,5. 36. x = -1 точка разрыва 1 рода. 37. да. 38. ±да. 39. -да. 40.0; +да. 41. 3. 42. 5/ у 43. 0. 44. -2 . 45. +да. 46. - 1. 47. -2,5. 48. - 11. 49. 4.50. 25. 51. 0,5. 52. а) x = 0 точка разрыва 2 рода; б) x = -2 точка устранимого разрыва.

Занятие № 15. Замечательные пределы.Основные понятия: замечательные (специальные) пределы, эквива

лентные бесконечно малые функции [1, с. 79-86].sin x

Первый замечательный предел: limx——0 x V 0 у

= 1.

его следствия:

lim g f ° Лx——0 x 0

arcsin x

V 0 У x——0 x'O 'V 0 у V 0 у

= 1.x——0 x

Второй замечательный предел определяет число e ( e = 2,71828182... - иррациональное число), которое является основанием натуральных логарифмов (ln x = lo g x):

limn—да

1+ 1n

n J( r ) = e ,

или limx—да

1+ 1x

x(1да) = e , lim (1 + x) x (1да) = e

Третий замечательный предел:loga (1 + x)lim

x—0 xf 0 1 1 ln (1 + x )

lim—-------- f 0 1 = 1V 0 J ln a x—0 x V 0 J

ax - 1Четвертый замечательный предел: limx—0 x V 0 J

= ln a , limx—0 x V 0 J

= 1.

Пятый замечательный предел: limx—0

(1 + x J - 1x 0 = M.

V 0 JПусть lim a ( x) = lim J3(x) = 0, т.е. функции a ( x) и /3(x ) являются бес-x—x0 x—x

a ( x ) ( ч ( 4конечно малыми. Если lim —7—7 = 1, то a ( x ) и B( x ) называются эквива-

x—x0 j3( x ) wлентными бесконечно малыми. Эквивалентность обозначается так: a ( x) ~ /3( x ), x — х(0.

73

Из замечательных пределов следует эквивалентность бесконечно ма-

1 - co sa ( x)a 2 (x(x )

2

лых функций при a (x ) — 0 (x — X0 ) :

s in a (x ) ~ a ( x ). arcsina(x ) ~ a ( x ).

tg a ( x ) ~ a ( x). arc tg a ( x) ~ a ( x).

loga (1 + a ( x )) — p — . ln (1 + a ( x )) ~ a ( x ). a a(x) - 1~ a(x)-ln

a( x )

a.

e-\--/ - 1 ~ a (x ). (1 + a(x))^ -1 ~ ju -a (x ) .

При вычислении пределов используют теорему: предел отношения двух бесконечно малых функций равен пределу отношения эквивалентных им функций.

ЗадачиВычислить пределы:

1. lim sin 5x tg 2 xx ——0 x

1 - e

2. lim-x—0 arcsin3x

3. lim

5 x4. lim

x ——0 4 xln (1 + 2 x2)

7. lim—-----------x—0 tg3x

5. limx—0

л/1 + 2 x -1x —0 3 x

ln (1 - 5x)x

6. limx—0

3xe 18. lim-x—0 arctg10 x

2 x tg 2 x9. lim

x—0 sin 5x

10. limx—0

arctg 3xxsin 2x - sin

11. limx—0

ln (1 + 2 sin 2 x )x sin3x

42 112. lim n • arctg------

n—ад n + 23

• .n13. lim (n +1) sin—

п—ад 2n

14. lim

1C g 2 n (n2 + 1)'

15. lim x2 -1

v3x16. lim I 1 + —

x—ад V x17. lim(1 - 4 x)

x—0

x—-1 arcsin(x +1)

' n + 3 '18. limn— ад n -1 )

Домашнее заданиеВычислить пределы:

sin x19. lim e 1

x—0 x 2 - 4 x20. lim

x—0tgx - arcsin x

22. lim (n2 + 1) tg2 —. 23. limn—ад' ' n x—(

3xx

2 21. lim n - lnn—ад V

Л

n )x + 2 x

n x—0ln (1 + tg 3x)24. lim

x—-2sin ( x + 2)

74

Дополнительные задачи для самостоятельной работыВычислить пределы:

25. limх—0

1 — cos хл:

26. limх—0у/х2 +1 tg2 2 х

2 х2е

28. lim (х + 2)lnх—да

х + 3 29. limх—да

27. limх—010х+1 ln (1 + 3х )

~ И

30. lim

+ х — 1 ln (11 +10 х )

х———1 е5 х+5 — 1

Пример 1. Найти предел lim

Решение типовых задачsin х • tg 3х

х—0sin х • tg3х f 0 Л< Так как при х — 0: sin х ~ х, tg3х ~ 3х , то lim -------------

х—0 х 2 0V 0 Jг х • 3х lim — — = 3. Ох—0 х2

Пример 2. Найти lim ln (1 +10 х)х—0 е5 х — 1

< Так как при х — 0: ln (1 +10х) ~ 10х, е5х — 1 ~ 5х , тоln (1 +10 х)lim

х—0 е5 х — 1 V 0 j10x= lim

х ——0 5 х

Пример 3. Найти lim

= 2. О

sin (х — 1)лх—1 х — 1

< Здесь х — 0, но х — 1 — 0 при х — 1 и имеет место эквивалентность: sin (х — 1) ~ х — 1, х — 1. Тогда:

sin (х(х —1)limх—1 х 2 — 1 V 0 j

x —1= lim —----х—1 х 2 — 1 V 0 j

1= limх ——1 х +1 2

1= - . о

Пример 4. Вычислить пределы функций, используя второй замеча-тельный предел.

5< а) lim(1 — 3х)х (1да) = lim(1 — 3х)

х—0 V ' х—0

1 f — (—5-3)3 х = lim

х—0 х—0(1 —3x) 3 х

—15

VД5

б) limх—да

Г о \ х 1 + 2

V х J(1да)= lim

х—да

Г 0^-2 1 + 2

V х Jlimх—да

1

2

f 1 + 21V х J2

V

е

в) lim(2х — 3)х ~4 = lim(1 + 2 (х — 2))х ~4 =х—2 х—2

*

75

г= lim

x—2

1 Л(1 + 2 ( x - 2)) 2( x-2)

V

x+2= e 2 = yje.

Ответы

>

I. 5. 2. У у 3. 2ln^ . 4. - 1,25. 5. 1. 6. -2,5. 7. 0. 8. 0,3. 9. 0,4. 10. 18.

II. ад. 12. 3. 13. ^ . 14. 0. 15. - 2. 16. e6. 17. e“4. 18. e4. 19. - 0,25.

20. Y y 21. ад. 22. —2. 23. ^ . 24. -2 . 25. 0. 26. 2. 27. 90. 28. 3. 29. e“2Контрольные задания по теме

«Функции одной переменной. Предел. Непрерывность»1. Найти область определения функции у = %/4 - x + ln( x - 2).Ответ: (2; 4].

Вычислить пределы:3x — 7 x + 42 lim

x—1 1 - x f

3. limn—ад 3 + 5n 7 - 2n2

. Ответ: 0,5.

. Ответ: 0,8.

2

2 - 4n 2n2 - n + 3^

4. limx — 5

x—5+j5 -*Jx. Ответ: -2л/5.

5. lim —-------1)' cos2x . Ответ: -16.x—0 sin( x / 2)

n

6. limn—ад

7. limx—3

n - 2n

x

2 . Ответ: 1 .e

Vx - 3

x2 + 9 Л x2 - 9

Ответ: —. 2

8. Найти точки разрыва функции f ( x )

Ответ: x = 1 точка разрыва 1 рода.

1 , x < 1; x2x, x > 1.

2

<

. 30. 2.

76

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Занятие № 16. Производная. Геометрический смысл производной Основные понятия: приращение функции, производная, основные

правила дифференцирования, геометрический смысл производной, уравнения касательной и нормали [1, с. 104-105, 111-117].

Пусть функция у = f (x) определена в некоторой окрестноститочки Xo. Производной функции у = f (x) в точке Xo называется пределпри Ax ^ o отношения приращения функции к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует).

Обозначение производной f '( xo ). По определению,

/ ' ( xo) = lim ^ = lim f (xo + A x ) - f (xo).Ax o Ax Ax o Ax

Наряду с обозначением f ' ( x) для производной приняты и другие

обозначения: у' или — , f ( ) или y'x (f (x)) , fx. .dx dx x V V n x x

Если функция имеет производную в точке, то она называется дифференцируемой в точке. Операцию нахождения производной называют дифференцированием.

Основные правила дифференцирования:если функции u (x), v (x), w (x), F (u ) дифференцируемые, тогда

f

1. (cu) = cu', c = const.

2. (u + v - w) = u' + vf - w '.f

3. ( u v ) = u fv + uv '.f

л ( u u'v - uv' ( ч4. ( v J = - ; 2 - , (v " o).

5. [ F (u (x ))] x = F • ux (правило дифференцирования сложной функции).Геометрический смысл производной: производная функции у = f (x) в точке xo равна угловому коэффициенту касательной к кривой у = f (x) в

точке кривой M o (xo;f (xo )) , т.е. f \ x o) = kKac = tg^Kac •

Уравнение касательной в точке Mo (xo; f (xo)) к графику функции

у = f ( x) имеет вид:

77

y = f (*o) + f ' ( *o) (* - *0 )•

Уравнение наклонной нормали: y = f (*o ) -f ' ( *o )

(4.1)

(* - *o ), если

f '( *o ) Ф o . Если f '( *o ) = o , то уравнение нормали имеет вид: * = *o (вертикальная нормаль).

1. с = o , *' = 1.

2.1. (у[й) = —^ • и' .V ' 2VU

3. (а и ) = аи • ln а • и', (o < а Ф 1).

4. (loga u) = —1— и , (o < а Ф1).и ln а

5. (sin и) ' = cos и • и'.

7. (1^и) ' = — • и и . cos и

9. (arcsin и) ' '

Таблица производных

2. ( ' )' =

' Р '

.S' — 1 f гпS - l l • и . 5 GU .

2.2.1

ии .

и tе • и .

11. ( а т ^ и )

^1 — и 1

и

V и

3.1. ( е и)' =

4.1. (ln и) = 1 • и ’ .и

6. (cos и) ' = — sin и • и'.

8. ( сг^и ) ' = ----- • и'sin и

10. (arccos и) '1

и 12. (а т с ^ и )

и

1 + и 2и

1 + и 2Задачи

Найти производные функций:

15 2. y = V *3 + 3 — 1. 3. y = 5cos3* — 3sin5*.1. y = (2 * +1)

4. y = * н-----ь е . 5. y = ------- .* sin 2 *

26. y =

*2 + 4*

. 7. y = ln(* + 3).

8. y = 3 Л • t g 3*. 9. y = *3 • arcsin2x + -\Jk . 10.y = tfx + c tg2*.

11. y = *2 • arctg -1 . 12. y = (* — 3)2 • е3—x. 13. y = tg (ln *).

14. y = tg7* . 15. y = V1 — *2 • arc sin x . 16. y = ln3 (cos4*)

Для функции y = f (*) найти f '( *o ), если

17.y = ln(2* — 1) + Grctg*, *o =1. 18. y = *2 • 2 ^*, *o = 4.

78

1

19. Функция у = f (x) задана на отрезке [ a ; b ]. На рисунке изображен

график ее производной y = f '( x ). Определить количество точек графика

функции y = f (x), в которых касательная к нему параллельна:

а) оси Ох; б) прямой у = 2 x + 2 ; в) прямой у = 3 - x .

20. Функция у = f (x) задана на отрезке [a ; b] . На рисунке изображен график ее производной у = f '( x) . Определить количество точек графика функции у = f (x), в которых касательная к нему параллельна прямым:

а) у = x + 5; б) у = 3 - 2 x ; в) перпендикулярна оси Oy.

21. На рисунке изображен график функции у = f (x) и касательная к нему

в точке с абсциссой x 0. Найдите значение f '( x0 ).

б)

22. Написать уравнения касательной и нормали к графику функции2

у = x - 3 x +1 в точке с абсциссой x о = 2 .

79

23. На гиперболе у = ----- найти точку М, в которой касательная:х +1

а) параллельна прямой у = 2 x +1;

б) перпендикулярна прямой у = —1 x — 3.8

24. К кривой у = 2 — e 2 x—1 проведена касательная параллельно прямой у = 3 — 2 x . Найти абсциссу точки касания.

Домашнее заданиеНайти производную функции

25. у = tg2x — sin2x. 26. у = ^ 3 x2 — 1 . 27. у = xln (2x +1).2 3

28. у = cos3 4x . 29. у = 2arctg3x. 30. у = ^ —т. 31. у = x e x .1 + x3

32. Написать уравнения касательной и нормали к графику функции3 2у = x — 1ox +1 в точке с абсциссой x o = 1.

33. Написать уравнения касательных к кривой у = x 2 — 4 x в точках с ординатой у = —3.34. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у = 2 + x — 2 x4 в точке с абсциссой x o = 1.

Дополнительные задачи для самостоятельной работы2 x f 2 x35. Показать, что функция у = e удовлетворяет уравнению у — у = e .

36. Является ли прямая у = x + 2 касательной к графику функции у = 2 x — ln x ?

x/37. Написать уравнение касательной к кривой у = 1 — е ' 2 в точке пересечения ее с осью Оу. Построить кривую и касательную.38. Написать уравнение касательной к кривой у = ln x в точке пересечения ее с осью Ox. Построить кривую и касательную.

Решение типовых задач Пример 1. Найти производную функции у = еsin x.

< Данная функция является сложной функцией аргумента x : у = eu(x) , где

u (x ) = sin x. Поэтому, используя правило дифференцирования сложной

функции, получим у'х = I еи I • и'х = esmx • cosx >v ' и

х — 1

80

Пример 2. Найти уравнение касательной к графику функции

у = tgл

x ----4V

в точке его пересечения с осью ординат.У

< Используем уравнение касательной (4.1). Абсцисса xo точки касания равна нулю. Чтобы записать уравнение касательной, нужно найти значения функции и ее производной в точке xo = 0 :

f ( xo ) = f ( 0 ) = tgV 4 У

= - tg л = - 1 , f ,(x ) = -------г4 2cos лx ----

f '(xo ) = f '( 0 ) =cos 2

v" 4 у

= 2 . Следовательно, уравнение касательной

имеет вид: у — — 1 + 2 (х — 0) или у = 2 х — 1 . >Пример 3. Касательные, проведенные к графику функции

у1

x — 2в точках с абсциссами xi и x2 , параллельны. Найти x2 , если

x1 = — 1 .< Область определения функции: x Ф 2 . Найдем производную функции

1 „---- - . Значения производной в точках x1 и x2f ( x) = -(x — 2 )■

соответственно равны: f (x1 )= —■ Ч = —1 ; f (x2 ) = —(—1 — 2)2 9 (x — 2)'

как по условию прямые (касательные) параллельны, то к 1 = к 2 или

. Так

f ' ( x1) = f '( x2) , т.е. имеет место уравнение9 ( x2 — 2 )

. Решая его,

получим 2 ) = — 1, (-^2)2 = Тогда х2 = 5 , т.к. -1 = х . >Ответы

1. 30 ( 2 x + 1)14. 2.2у1.x3 + 3

. 3. — 15(sin3x + cos5x). 4. 2 xx.2 ■

—2cos2x x2 — 4 m 5 . ----- ------ . 6 . ---- -— . 7.sin2 2 x

9. 3x • arcsin2x

x22 x 2 32x 8. —2x • 3—x • ln3 • tg3x ч 3

1—x

2x3

4T—

x2 + 3

. 10.4 x‘ 3 34 xI sin2 2 x

cos2 3x

2 11. 2 x • arc tg 1x

x 1 + x81

1

2

12. ( * - 3 ) . е3-* (5 -* ) . 13 .------- 1--------. 14. ^ . 15. _ * arcsin* + 1.* • cos2 (ln *) cos2 * yl1 _ *2

.216. -12 tg4* ln2 (cos4*). 17. 2,5. 18. 16(2 + ln2). 19. а) 4; б) 4; в) 3. 20. а) 6; б) 2; в) 4. 21. а) 0,25; б) - 2. 22. * - y - 3 = 0 , * + y -1 = 0.23. а) (0 ;-1 ) , (-2 ;3 ); б) ( -0 ,5 ;-3 ) , (-1,5; 5 ) . 24. 0,5.

2 3* 2* 2 5 . 2 cos 2*. 26. . . 27. ln (2* +1) +cos2 2* ^/3*2 -1 2* + 1

28. - 12cos24 * • sin4*. 29. 2arctg3* • ln 2 -----^—r. 30 2* *1 + 9*2 ' (1 + *3 )2 '

31. e*3 (1 + 3*3 ). 32. 17* + y - 9 = 0, * -1 7 y -137 = 0. 33. 2* + y +1 = 0;2* - y - 9 = 0. 34. - 7. 36. нет. 37. y = -0,5*. 38. y = * -1 .

Занятие № 17. Дифференциал. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно. Производные высших порядков

Основные понятия: дифференциал, производные высших порядков, производная функции, заданной параметрическими уравнениями; производная неявно заданной функции, механический смысл производной первого и второго порядка [1, с. 106, 109-111, 125].

Дифференциал dy функции y = f (*) в точке *0 имеет вид:

dy = f '(*0 ) d* .Формула для приближенных вычислений: т.к. A y « d y , то

f (*0 + A * )« f (*0 ) + f '(*0 )A * (4.2)(см. решение типовых задач, пример 4). Производной второго порядка функции f (*) называется производная функции f '(*), т.е. f " (*) = (f ' (*)) ", f "" (*) = (f '" (*)) " и т.д. Другие обозначения производ-

2 3/(V \ п d y rttts \ т d yных: f (*) = y = —у ; f (*) = y = —3 .

d* d*Производные функции y = f (*), заданной параметрическими уравнения

ми: * = *(t), y = y ( t ), t e ( a ; 0 ):

f (*) = y * = y " ; y** = ^ Ф - (*" * 0). (4.3)*" *"Производная функции y = y (*), заданной неявно уравнением

F ( y ) = 0 : так как F (*, y (*)) = 0, то дифференцируя полученное тож-

82

дество по х, получим уравнение, из которого находим у ' (x) (см. решениетиповых задач, пример 6).

Механический смысл первой и второй производной. Пусть точка движется прямолинейно по закону s = s ( t), где s — пройденный путь и t —время. Тогда величина мгновенной скорости движения v (t ) точки в момент времени t равна v ( t) = s ' (t ), а величина её мгновенного ускорения a ( t) = v'(t) = s " (t).

ЗадачиНайти дифференциал функции:

2. у = V x2 +1.3 21. у = x — 3x + 3x. 3. s =

4. d ( sin2 1). 5. у = x (ln x — 1).2

6. Определить A у и d-у для функции у = x — 2 x и вычислить их при изменении x от 3 до 3,01.

Для функции, заданной параметрическими уравнениями, найти у 'х :

7. x = 2cos t , у = 3sin t, t e

9. x = t ln t , у = 3t — tg3 t , t e

* 2 ,V 2 J fo; т

6 j

. 8. x — t + 2t, у — t — 8Л-1, ? £ D .

10. x = t • 3 11, у = t3 — 3t , t e (—ro;o).

Найти производную у ' (x) для функции у (x), заданной неявно уравнением:

3 9 9 9 * 311. x — 2x у + 5x — у — 5 = o . 12. x sinу + у cos x — 2 x — 3 у +1 = oНайти производные второго порядка от функций:

.413. у = x4 — x3 + 3x2 — 3x. 14. у = cos5x + e3x. 15. у = — + ln x.

12

16. у = e

20. Найти

—x 17. у = xx +1

18. у = x2 • (2ln x — 3). 19. у = sin2 x.

d 2 у dx2

от функции, заданной параметрическими уравнениями:

a) x = t2 +1, у = — — t , t e(0;+oo); 6) x = arctgt, у = \n(\ + t2\ t e □ .

21. Закон движения точки по координатной прямой выражается уравнением x = 4 +121 — o, 25t (x - в метрах, t — в секундах). Найти скорость точ

83

ки в момент времени 10 = 8 [с ]. В какой момент времени скорость точки равна нулю?22. Найти моменты времени, в которые скорость точки равняется нулю, если закон ее движения по координатной прямой имеет вид:

3 2x = t — 31 +1 (x - в метрах, t — в секундах).23. Материальная точка движется вдоль оси Ox по закону

3 2x = 2 1 — 211 + 601 + 5 (x — в метрах, t — в секундах). Найти расстояние между остановками точки (начало движения 10 = 0).24. Материальная точка движется прямолинейно по закону

t 3 2s = —— + 1 + 31 +1 ( s — в метрах, t — в секундах). Найти скорость в мо

мент времени, когда ускорение равно нулю.25. Тело двигается прямолинейно по закону s = [t ( s — в метрах, t — в секундах). Найти скорость и ускорение тела в момент времени t = 4.

Домашнее задание26. Найти дифференциалы функций:

а) у = crctg e *; б) у = e“ s x; в) у = i ln2 х

27. Найти производную у ' (x) для функции у (x), заданной неявно3 3уравнением x + у — 3 x y = 0.

28. Для функций, заданных параметрическими уравнениями, найти у ' (x):

a) x = e2t, y = e3t, t eD ; б) х = cos/ + /sin/, у = s in /- /c o s t, t е 0;— .V 2 J

29. Найти производные второго порядка от заданных функций:

а) у = x V1 + x2 ; б) у = x2 ln x .

d 2 у30. Найти — — от функции, заданной параметрическими уравнениями:dx

x = ln t , у = 1 , t e ( 0; +ад).

31. Показать, что функция у = x + sin 2 x удовлетворяет уравнению у " + 4 у = 4 x.32. При движении тела по прямой скорость v (м/с) изменяется по законуv ( t ) = 3 t2 — 2 1 +1 (t — время движения в секундах, начало движения t0 = 0). Найти ускорение тела через 3 секунды! после начала движения.

84

33. При движении точки по прямой положение точки на прямой изменяется по4------------------------3 / \ t t 3 2 , , закону s (t ) = —-----— + 1 +1 (t —время в секундах, начало движения to = o ).

Найти скорость точки через 4 секунды после начала движения.

Дополнительные задачи для самостоятельной работы34. Показать, что функция у = ex cos x удовлетворяет уравнению у " — 2 у ' + 2 у = o.

235. Найти у ' (x), если x = е— , y = arctg2 1, t e (o; +да).36. Написать уравнение касательной к циклоиде: x = a (t —sin t ),

у = a (1 —cos t ) в точке, для которой t = —.

37. Написать уравнения касательных к окружности2 2x + у + 4x — 4у + 3 = o в точках пересечения ее с осью Ox.

d 2 у38. Найти — — от функции, заданной параметрическими уравнениями:dx

( —а) x = t2, у = t3 + 1 , t e (o ; +да); б) x = 2cost, у = s in t , t e o; — .V 2 J

39. Показать, что функция у = у( x ) , заданная параметрическими уравне-Г

ниями: x = е sin t, y = et cos t , t

у № (x + у )2 = 2( ху' — у ).

удовлетворяет уравнению:

40. Материальная точка движется вдоль оси Ox по законуx = ( t —2) ( t —3) (х — в метрах, t — в секундах, начало движения to = o ).Найти: а) скорость в момент прохождения начала координат; б) расстояние между остановками точки; в) путь, пройденный от начала движения до первой остановки; г) удаление точки от начального положения в момент второй остановки.

Вычислить приближенно с помощью дифференциала:41. arctg 1,o5. 42. -^15,8 .

Решение типовых задач Пример 1. Тело движется прямолинейно по закону

t3 5t2s ( t) = —-----— + 4t ( s - в метрах, t — в секундах). Найти длину интервала

времени между остановками тела.

85

< Скорость тела v ( t) = s ' ( t) = t - 5t + 4. В момент остановки тела2

его скорость равна нулю: t - 5t + 4 = 0. То есть 11 = 1, t2 = 4. Следовательно, временной интервал между двумя остановками тела At = 4 -1 = 3 [с]. >

Пример 2. Тело массой m = 2 [ кг] движется прямолинейно по закону

s ( t ) = 3 t3 + 12 + 2 1 + 5 (s - в метрах, t - в секундах, начало движения ?0 = 0). Найти величину действующей на тело силы F (t ) в момент/ = з [ 4

< Если тело движется прямолинейно, то, в соответствии со вторым законом Ньютона, величина силы, действующей на это тело, равнаF ( t ) = m |a (t )| = m|v '( t) |. Скорость v ( t ) = s '( t) = 912 + 2t + 2 , а

ускорение a (t ) = v'( t) = 18t + 2. (Движение - ускоренное, если a(t)- v(t) > 0). Следовательно, F (t) = 2|l 8/ + 2| h F (3 ) = 112 [h].>

Пример 3. Найти дифференциал функции y = arcsin-1 -.

< Имеем dy =

*2

r . 1 Y 2 2arcs in — dx = -------- , dx = ------ , dx.>^ Y3 1 *>/*4 -1

* J1 - *4Пример 4 [1, с. 110]. Покажем, что если а мало, то можно использо

вать приближенную формулу -\/1 + а « 1 + —.

< Рассмотрим функцию f (*) = V * . При малых A*, используя формулу (4.2), получим

А* 0 + A* « д/*0 + (^fX\ .A* ^ J *0 + A* « ч---- ^=A*. V-------------------------------------------------------------------------’--2yl*0*=*0

аI------ аОткуда, положив *0 = 1, A* = а , получим V1 + а ~ 1 + —. В частности,

^1,0003 * 1,00015 при а = 0,0003. >Пример 5. Функция y = у (*) задана параметрическими уравнениями

* = e* sint, у = e* cost, t ■ ^0; I. Найти у * .

< *j = e l sin t + e l cost , yj = e* cost - e* sin t . Тогда

86

, _ у \ _ е * (c°s^ — sin/) _ c o s t - s in /X x't ^ (co s/+ sin/) co s /+ sin/

Пример 6. Дано уравнение x 2 + ln у — x 3e y = 0. Найти у ' (x).< Дифференцируя данное уравнение по x с учетом того, что у = у (x),

1 2 з Ь х 2е у - 2 х ) уполучим: 2х-\— у ' - З х е у - х е Уу' = 0 , откуда у' = --------- --------—. >

У 1 - х 3у е уПример 7. Найти у ", если у = x • sin 3x.

< у ' = (x • sin3x) ' = sin3x + 3x cos3x;y" = (sin 3x + 3x cos 3x)' = 3 cos 3x + 3 cos 3x - 9x sin 3x = 6 cos 3x - 9x • sin 3x >

Пример 8. Найти производную второго порядка функции у = f (x),3 - 3заданной параметрическими уравнениями x = a cos t , у = a sin t ,

t eс0 ; -

2V 2 j

< По формулам (4.3) имеем: y'x = = —tgt;(a sin t)t _ 3a sin t cos tо -л

(a cos t)J —3a cos t sin t

= ( у Л = (—tg t )J = —1________ 1 = 1xx f ^ 9 9 4xt (a cos t) J cos t —3a cos t sin t 3a sin t cos t

Ответы2 \ _ xdx 3

. 3. ds = —21 dt. 4. sin 2t dt.1. dy = (3x2 — 6x + 3)dx. 2. dy = .x y ( ) y

3 2t — 85. dy = ln xdx. 6. d y = 0,04; A у = 0,0401. 7. — ctgt . 8.

2 ~ 5t4 + 2 3tg23t 3t2 — 3t ln3 _ 3x2 — 4xy2 + 5

9 . --------- . 10. — -------------. 11 .------- ^ ------ .1 + ln t 3—2t (1 — 2t ln3) 4 x2 у +1

^ y 3sin x — 2x sin у + 2 ^ 2 , , ^ __ _ _ 3x12. -— -------. 13. 12x — 6x + 6. 14. —25cos5x + 9e .x cos у + 3у cos x — 3

x4 — 1 _ e_x2 _ — 2 _ „ ___ „ _ 4 t2 +115. — — . 16. — ------. 17 .-------- ^. 18. 4ln x . 19. 2cos2x. 20. а) .x2 4 x2 — 2 (x + 1)3 4t3

б) 2 (1 + 12 V 21. 8; 24. 22. 0; 2. 23. 27. 24. 4. 25. 0,25; —— . 26. а) e , d x ;V / xy i ^ „ 2 x32 1 + e2

б) — sin x • ecosxdx; в) — dx. 27. y x . 28. а) 1,5et ; б) tgt.x у — x

87

2 x + 3 x 129. а ) ----------^ ; б) 2ln x + 3. 30. 32. 16. 33. 56. 35.e

........... t t + 4t3( -+ x2)

36. y = x + a

1 27 229б) - , . 3 . 40. a) v(2) = -1; v(3) = О; б) — ; в) 53— ; г) 54.

2 - П . 37. у = 0,5( x +1); у = -0 ,5 ( x + 3). 38. а) 3t2 -1 4t3

4 sin t 41. 0,811. 42. 1,994.

256 256

Занятие № 18. Правило Лопиталя Основные понятия: нахождение пределов по правилу Лопиталя

[1, с. 131-134].

Правило Лопиталя (см. комментарий с. 320) для раскрытия неопреде-

ленностей (0 — и —V 0 J V8 J

. Если функции f (x) и g (x ) дифференцируемы в

окрестности точки x = a, g '(a) Ф О, а lim f (x) = lim g (x) = О илиx—— a

f ( x) f ' ( x)lim f (x) = lim g (x) = 8 , то lim = lim при условии, чтоx—a x—a x—a g ( x) x—a g'( x)Г f ' ( x )lim t существует.x ——a g (x)Правило остается верным, если x — 8 , x — +8, x — -8 .

Применение правила Лопиталя для неопределенностей вида (О • 8 ),( 8 - 8 ) , (18 ) , ( 8 О) , (ОО) показано в примерах 1-5 (см. решение типовых задач). Правило Лопиталя может применяться повторно ( см. пример 4).

2

1. limx—О

4. lim

ЗадачиНайти пределы, используя правило Лопиталя: sin 5x - sin 2x

x

- 3x—3 x3 - 27

7. limx—О

arctg 3 x - 3 x

10. lim

xln x

x——+8 x88

2. limx—о sin 2x

5. limx—0 ln (1 + x)

ln( x + 4) - ln48. limx—0

11. lim

2 x2

3x +1 + ln xx—+8 2 x2 + 3 x + ex

x -1 x——1 ln x

1 + cos x x—n sin x

1 - cos x

3. limx—1

6. limx—n

9. limx—0 x + x

12. lim2 xe

x — +8 x 3

13. limx——+8

n - 2 arctg x3/

^ x -1. 14. lim (1 - e2 x ) ctgx.

x— 0' '

16. lim x ln x.x——+0

17. limx— 0V x sin x x2 у

19. lim

Домашнее заданиеНайти пределы, используя правило Лопиталя:

x + 2ln xx3 - 4 x 2 + 3x—1 x 3 + 5 x - 6

20. limx——+8 x

22. lim ex - e”3xx—0 sin 2 x

25. lim xe 2x.x ——+ 8

23. limx—n

sin3x - sinx

cos

26. lim (x—0V

V

e 2 x + x

j

1

15. lim (1 - x ) tg П x.x——1 2

118. lim x 1-x.

x—1

21. lim ln x"3x—1 x3 - 1

_ . ,. sinx - cosx 24. lim ----------— .x—П ln (tgx)

4

27. lim1 - tgx

x—n cos 2 x 4


28. limln ( x -1 )

29. lim lnx + 2 xx—1+0 ctgn x x——+8 4 x -1

tgx30. lim ------x—n tg 3 x2

31. lim (sin x)x—+0

tgx Г32. lim

x——81 + -

V x у33. lim x e

x——8

Решение типовых задач^ ,• x -1 + ln xПример 1. Найти lim-

< limx——1

x2 -1 + lnx (0 2 x + ■

ex - e V 0 j

x—1 ex - e

(x2 -1 + ln x) '= lim ------------------= lim------

x—1 (ex — e) ' x—1 ex„3

x

Пример 2. Найти limx—0 sin 2x

< lim>x -1 - x3 ( 0 Л

x—0 sin6 2 x v 0 j(sin62xD (2x)6, x ^

3 о T 3(ex -1 - x ) ' 3x • ex - 3x = lim ---------- -— — = lim - 2 ^ 0 Л

x—0 ((2x)6) ' x—0 26 • 6x5 V 0 j3 x2(ex -1 )= lim

x—0 26 •6•x5

89

1

= (ex -IO jc , jc —>01= lim2 3 * • * 1

*—0 26 • 2 • *5 128. >

Пример 3. Найти lim * • ln *.*——+0

< lim *3 • ln*(0•да) = lim ln **——+0 *——+0 1

“ 3

*lim*—+0 -3 • *

1 з— = — lim x = 0. >“4 3 x—>+0

*

Пример 4. Найти lim*——1

* 1* -1 ln *

< lim* — — 1

* 1* -1 ln *

(да - да) = lim * ln * - * + 1*—1 (* — 1)ln *

Tv 0 у

ln * + * • — 1

= lim- * ln *x—1 * ln * + * -1 v 0 у

= limX ——■ 1

1ln * + * — *

= lim* — 1

1

*

ln * + *-1*

ln * + * 1 +1 *

*Пример 5. Найти lim (sin *)*——+0

< Пусть A = lim (sin *) * (00) • Тогда ln A = ln lim (sin *) **——+0 *——+0

lnsin * ( дал= lim ln(sin *) * = lim (* • lnsin * )= lim — -*—+0 *—+0 *—+0 1*——+0 *——+0 VMy

*

= lim sin *cos *

—X= 1- lim -----= 0 (так как lim cos* = 1, sin* □ x, x —>• 0).*—+0 - *

-2 * ——+0 * *—0Следовательно, ln A = 0, A — e =1. >

Ответы

1. 3. 2. 0,5. 3. 1. 4. — . 5. 2. 6. 0. 7. 0. 8. 9. 0. 10. 0. 11. 0. 12. +да. 13. 2 .81 8 3

14. -2. 15. —. 16. 0. 17. 18. 19. - 5 . 20. 1. 21. 22. 2. 23. -2.ж 6 e 8 3

24. 2V2. 25. 0. 26. 3. 27. 1. 28. 0. 29. 0,5. 30. 3. 31. 1. 32. e3. 33. 0.

1

12

90

Занятие № 19. Экстремумы функции одной переменной. Основные понятия: возрастающая и убывающая в интервале

функция, локальный экстремум функции, критическая точка, наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [1, с. 140-143].

Чтобы найти точки экстремума функции у = f (x), нужно:1. Найти область определения функции Df .2. Найти производную у ' и критические точки: значения x, которые являются внутренними точками области определения и в которых у ' = 0 или у не существует.3. Определить знак у ' слева и справа от каждой критической точки. Если при переходе аргумента x через критическую точку x0 ( слева направо):

• у J меняет знак с + на — , то x0 есть точка максимума;• у J меняет знак с — на + , то x0 есть точка минимума;• у J не меняет знака, то в точке x0 нет экстремума.

Непрерывная на отрезке [a; b] функция f (x) достигает своего наибольшего M и наименьшего m значений на отрезке.

Правило для нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции f ( x) на отрезке [ a; b ] :

1. найти критические точки функции х^,х2 ... е (а; &);2. присоединить к этим точкам концы отрезка (точки x = a; x = b ) и найти

значения функции f ix ) в этих точках: f (a) , f (b) ;

3. среди полученных значений функции выбрать наибольшее и (или)

наименьшее значение.

Задачи1. На рисунке изображен график функции у = f (x) на отрезке [—5; 6]. Определить знаки f (x) , f ' ( x) на каждом из интервалов:(—5; — 3) , (—3; 1) , (1; 3) , (3;4 ),(4; 6) и знаки f (x) , f ' ( x) , в точках —3; — 1; 1; 3 (если f ' ( x) не существуют в точке x 0 , то найти знаки

f J (x 0 ± 0 )), точки экстремума и экстремумы функции.

91

2. Функция y = f (x) задана на отрезке [ a; b ] . На рисунке изображен график ее производной y = f ' (x) . Указать промежутки, на которых функция y = f (x) возрастает; убывает. Найти критические точки, точки минимума и максимума.3. На рисунке изображен график производной функции y = f (x). В какой

точке отрезка [ - 3;2] функция принимает наибольшее значение? В какой точке отрезка [1;5] функцияпринимает наименьшее значение?4. Пусть производная функции f ( x ) имеет вид:

f ' ( x ) = x2 ( x2 + 1) ( x2 - 3) . Опре

делить количество промежутков убывания функции f ( x ) и количество точек экстремума.5. Найти интервалы монотонности функции y = xz

Найти точки экстремума функции:6. y = 12x + 3x2 - 2x3. 7. y = x + V3 - x. 8. y = (x - 7)2 • eJ

Найти интервалы монотонности и экстремумы функции:1 2

v = f [x)

\/-4 _0 1 ) 5

N 4> /

-4 8x2 + 3.

x-8

9. yx2 - 7x — 4

10. y = x2 ln x. 11. y = ^ (x2 - 1) .

Найти наименьшее m и наибольшее M значения функции y = f (x) на отрезке [a; b] :

12. y = 2x3 + 3x2 -1 на отрезке [-2; - 0,5].

13. y = V1 0 0 -x2, [-6 ; 8]. 14. y = 3 x -1 + x, [0; 2].Домашнее задание

Найти интервалы монотонности и экстремумы функций:

15. y = x3 - 6x2 - 15x - 2.

17. y = x e2 x.

16. y =x — 3

x18. y = x ln x.

92

19. Пусть производная функции f ( * ) имеет вид

f '( * ) = * (1 - *3 ) ( *2 -1 6 ) . Вычислить суммарную длину промежутков

возрастания функции f ( * ) .

20. Найти точки экстремума функции y = (2*2 - 18х +18) • e3-х .Найти наименьшее m и наибольшее M значения функции y = f (*)

на отрезке [ a; b ] :

21. y = 2*3 - 3 *2 -12* +1, [-2; 1].

22. y = (* -1 2 ) • eх -11, [10; 12]. 23. y = 1 , [0;4].* + 1

Дополнительные задачи для самостоятельной работыНайти интервалы монотонности функций:

24. y = * (*2 -12). 25. y = 3у/* - 5 +1. 26. y = 3* - sin3*.3

27. Вычислить сумму значений функции y = * - 3 * + 2 в точках экстремума.28. Доказать, что y = sin * + cos * - 2* не имеет точек экстремума.29. Найти наибольшее значение функции y = 9* - 8 sin * + 5 на отрезке

[ - ж 2 ;° ] .

30. Найти наибольшее значение функции y = — 40— на отрезке [1;7].2 * + 3 *

Решение типовых задач Пример 1. Найти интервалы монотонности функции

y = *3 - 9 *2 - 24.< Область определения данной функции: Dy = L . Найдём производную

функции: y t = 3* -1 8 * . Так как y ' существует при V* е , то критиче

ские точки получим, решая уравнение y' (*) = 0: *j = 0, *2 = 6. Эти точки разбивают Df на три интервала. Определяем знаки y ' (*) на каждом из полученных интервалов.

Знаки y t + - +---------------------1------------------------ 1------------------ ►y(x) 0 6 S х

Функция y (*) возрастает на интервалах (-да ;0) , (6; + да) и убывает на интервале (0;б) . >

93

Пример 2. Найти интервалы возрастания функции, если ее производная имеет вид / ' (х) = х2 (х2 -1 j (х2 - 3 j , если Dj- = П .

< Так как f '(x) определена при Vx е D^ , то критические точки

найдем, решая уравнение f ' (x) = 0 :

x2 (x2 —1)(x2 — 3) = 0 ^ x1 = 0, x2 3 = ±1, x4 5 = ±л/3 . Полученные точки разбивают числовую ось на шесть промежутков. Исследуем знак производной и поведение функции на каждом из промежутков

Знаки f '(x) + — + + — +

f (x) / —V3 ' V -1 S o S 1 \ s ^ x

Учитывая, что f ' ( x )> 0 при x е (—1;1) и равна нулю только при x = 0 и

f ' (x) > 0 при x е (—да, — U № , + да) , то по достаточному условию

возрастания функции получаем, что f (x) возрастает на интервалах

(—да;— л/з) , (—1; 1) , (yj3 ; + да) .>

Пример 3. Найти точку максимума функции у = 4x — 2x ln x , и максимальное значение функции.< Область определения функции: D f =(0; +да). Найдём производную

функции: у ' = 4 — 2ln x — 2x •1 = 2 — 2ln x . Так как у ' существует приx

Vx е D f , то критические точки получим, решая уравнение у'(x) = 0 :

2 — 2ln x = 0 ^ x = e е D j . Эта точка разбивает Dу на два интервала.

Определяем знаки у ' (x) на полученных интервалах.

y(x) 0 е X

При переходе через точку x = e производная меняет знак с "+" на "—", следовательно, x = e — точка максимума функции. Тогда ymax = у (e) = 2 e .

Пример 4. Найти сумму наибольшего и наименьшего значений функ-x2

ции у = ---- - на отрезке [—0,5; 3].

94

< На заданном промежутке функция непрерывна, её производная равна2 * (* + 1 ) - *2 * (* + 2)

y = — -------—---- = —------ ф . Находим критические точки (точки в ко-(* +1) (* +1)

торых производная равна нулю или не существует): а) y ' = 0 при *(* + 2) = 0 . Отсюда * = 0, *2 = - 2 . Причем * = 0е [-0,5; 3 ], а точка *2 = -2 £ [-0,5; 3 ] ; б) y ' - не существует при *3 = - 1, но *3 £ [-0,5;3] . Вычисляя значения функции на концах отрезка и в точке * = 0, получаем: f (-0 ,5) = 0,5, f (0) = 0 , f (3) = 2,25 . Итак, наименьшее значение функции f (*) на отрезке [-0,5; 3] равно 0 , а наибольшее равно 2,25 , т.е., М = / ( 3 ) = 2,25 и т = / ( 0 ) = 0 , и их сумма М + т = 2,25 .>

Ответы1. f (*) > 0, * е (-5; -1 ); f (*) < 0, * е (1; 4); f (*) > 0, * е (4; 6);f t(*) > 0, * е(-5; - 3); f '(*) < 0, * е (-3; 1), * е (1; 3); f '(*) > 0, * е (3; 6); f t (-3 ) = 0; f t ( -1 )< 0; f t (1) = 0; f ' (3 - 0 )< 0; f ' (3 + 0 )> 0; * = - 3 - точка максимума; * = 3 - точка минимума; f (-3 ) = 3; f (3) = -2.2. (a; 0), (3; 5) - интервалы возрастания; (0; 3), (5; 6 ) - интервалы убывания; критические точки: -6; 0; 3; 5; * = 0, * = 5 - точки максимума;* = 3 - точка минимума. 3. Наибольшее значение в точке * = - 3; наимень

шее - в точке * = 3. 4. (-да; - л/э), (■'/Э; +да)- интервалы возрастания;

( - л/3; S ) - интервал убывания; две точки экстремума * =± V3.

5. (-да; -2 ) , (0; 2 ) - интервалы убывания; (-2 ; 0), (2; + да)- интервалы возрастания. 6. * = - 1 - точка минимума; * = 2 - точка максимума.7. * = 2,75 - точка максимума. 8. * = 7 - точка минимума. 9. (-да;1),(7; +да) - интервалы возрастания; (1;4) и (4; 7) - интервалы убывания;

уmax = у (1) = 2 уmin = y (7) = 14. 10

интервал убывания; ymin = у

г 1 л -#=; +да

W e уинтервал возрастания;

0; 11

интерва л убывания; ymjn = у 1=< e У W e ,

(1, + да)- интервалы возрастания; (-да; -1 ) , ( 0, 1 ) - интервалы убывания;

у max = у(0) = 1, ymin = у(±1) = 0. 12. m = -5 , M = 0 . 13. m = 6, M = 10.14. m = -1, M = 3. 15. (-1; 5) - интервал убывания; (-да;-1 ) , (5; + да) - интервалы возрастания; ymax = у(-1) = 6, ymin = у (5) = -102.

95

16. (-да; 0); (0;+да) интервалы возрастания. 17. (-да; - 0,5) - интервал

убывания, (-0,5; +да) - интервал возрастания; ymin = y (-0 ,5) = — —.2e

г18. 1л

0; - v e у

г- интервал убывания; 1 Л

—; +да ve У

- интервал возрастания;

y min y1= — . 19. 7. 20. x = 2 - точка минимума, x = 9 - точка мак- e

симума. 21. m = -1 2 , M = 8. 22. m = -1 , M = 0. 23. m = -1 , M = 0,6.

24. (-2; 2) - интервал убывания; (-да; - 2) . (2;+ да) - интервалы возраста

ния. 25. (5; + да) - интервал возрастания. 26. Функция всюду возрастает.27. 4. 29. 5. 30. 8.

Занятие № 20. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика. Асимптоты

Основные понятия: выпуклая, вогнутая кривая, точка перегиба кривой, критическая точка II рода, уравнения асимптот [1, с. 144-149].

График дифференцируемой функции y = f (x) называетсявыпуклым (вогнутым) в интервале (a ; b), если он расположен ниже (выше) любой касательной к графику функции на этом интервале (рис. 4.1, 4.2).

Рис. 4.1 Рис. 4.2 Рис. 4.3

Точка (x 0; f (x 0 )) графика непрерывной функции, отделяющая выпуклую его часть от вогнутой, называется точкой перегиба (рис. 4.3).

Правило нахождения абсциссы точек перегиба графика функции:1. Найти область определения функции Df .2. Найти производную y " и точки x е D f , в которых y " = 0 или y " не существует (критические точки II рода).3. Определить знак y " слева и справа от каждой из этих точек. Исследуемая точка x будет абсциссой точки перегиба, если по разные стороны от нее y имеет разные знаки.

Правило нахождения вертикальной асимптоты: x = c - уравнение вертикальной асимптоты графика функции y = f (x ), если хотя бы один из односторонних пределов функции в этой точке равен бесконечности:

96

f ( c - 0) = да или f (c + 0) = да, т.е. в точке x = c функция имеет разрыв IIрода. Вертикальные асимптоты следует искать в конечных точках границы области определения функции.Наклонных асимптот у графика функции y = f (x) может быть не болеедвух: левая (при x ^ -да ) и правая (при x ^ +да).

Правило нахождения наклонной асимптоты: y = k x + b - наклоннаяасимптота графика функции y = f (x), если существуют пределы

f (x ) ( ( \ \k = lim — , b = lim (f (x) - k x ) ( для правой x ^ +да, для левойх^да x х^да

x ^ - д а ).Если k = 0, то прямая y = b - горизонтальная асимптота.

Задачи1. На рисунке изображен график функции y = f (x) на отрезке [-5 ;б ].Определить знаки f "(x) на интервалах (-5 ;-1 ) , (-1;1), (1;3) ,(3;6), точки перегиба графика функции, значения f "(1) и f " ( -1 ) .

2. Функция y = f (x) определена на интервале (-5; 7). На рисунке изображен график ее производной y = f '( x ). Найти интервалы возрастания, убывания, выпуклости, вогнутости, точки экстремума и абсциссы точек перегиба графика функцииу = f (x ).

Найти интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графиков функций:3. y = x 3 - 6 x 2 +12x + 4. 4. y = 3x 2 - x 3. 5. y = x 4 + 2 x 3 - 36x2.

6. y = arctg 2 x. 7. y = ln (1 + x 3 ).

38. Найти вертикальную асимптоту графика функции у =

9. Найти горизонтальную асимптоту графика функции у =

x - 47 x

2 x +1Найти асимптоты графика функции:

97

2 x 2 x10. у = —---- . 11. у = ------- ь 2 x . 12. у = x • arctgx.

x 2 — 1 x — 1Домашнее задание

Найти интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции:

2 I x 413. у = 3x5 — 5x 4 + 3x + 2. 14. у = e~x ' 2 . 15. у = — + 16lnx.

Найти асимптоты графика функции:2

3 x ln x ^ x +116. у = ------ 17. у = ---- . 18. у = —------- ь 2 x .x + 2 x x 2 — 4Дополнительные задачи для самостоятельной работы

Найти интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции:

19. у = (x — 1) + e x. 20. у = — ь— - . 21.у = (x — 1)-3 x .x x

Найти асимптоты графика функции:

22. у = — — 1-------. 23. у = -2x— .x + 2 x — 3 3 x + 2

r ln (x + 1)24. у = 3 xe . 25. у = — —- + 2 x .x

Решение типовых задач Пример 1. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки

перегиба кривой у = x 6 — 4,5 x 5 + 5 x 4 + 0,5 x .<1 D j = □ . Найдем вторую производную:

у " = 30x 4 — 90x 3 + 60 x2 = = 30x2 (x2 — 3x + 2). Из уравнения у " = 0 по

лучим критические точки II рода: x х = 0, x2 = 1, x 3 = 2. Найденные точки разбивают D f на интервалы. Определим знаки у в этих интервалах:

З н а к и у '' + + _ +

Учитывая знаки у ", и то, что функция у (x) дважды непрерывно дифференцируемая, заключаем, что на интервале (1;2) кривая выпукла, а на интервалах (—да; 1), (2; + да)— вогнута.Находим значения у (1) = 2, у (2) = 1. Так как в точке x = 0 у ” не меняет знак, то точка O (0;0) не является точкой перегиба; в точках x = 1 и

98

* = 2 у " меняет знак, поэтому точки M (1; 2) и M 2 (2; 1) являются точками перегиба. >

Пример 2. Найти интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба2

кривой у = 0,5 * + ln *.< Df = ( 0; + да). Найдем вторую производную:

1 * 2 -1 (* - 1)(* +1)у" 2 2 2

* * *

Критические точки II ро

да: а) у " = 0 в точках х 1 = - 1, х 2 = 1, б) у " не существует в точке *3 = 0. Точки х y = -1, х 3 = 0 не принадлежат области определения. Точка * = 1 разбивает D f на два промежутка. Находим знаки у ” в этих интервала- хобласти определения функции.

Знаки у ' ' +у 0 1 4—У x

На интервале (0; 1) кривая является выпуклой, а на интервале (1; + да) - вогнутой. В точке * = 1 у " меняет знак, поэтому * = 1 - абсцисса точки перегиба кривой. Вычисляем у (1) = 0,5. Точка M (1; 0,5) является точкой перегиба кривой. >

*2 - 2 * + 3Пример 3. Найти асимптоты кривой у = -------------- .

х + 2< Функция у = у (*) не определена в точке * = -2 . Находим

*2 - 2 * + 3 *2 - 2 * + 3 ^ lim -------------- = -да, lim ---------------= +да. Следовательно * = -2 -

-2-0 * + 2 *^-2+0 * + 2вертикальная асимптота. Найдем наклонную асимптоту:

k = lim *2 - 2 * + 3 = 1, b = lim* +да * (* + 2) * +да

*2 - 2 * + 3- *

-4 * + 3 = l im ----------= - 4.

* +да * + 2* + 2Таким образом, уравнение наклонной асимптоты имеет вид: у = х — 4. >

Пример 4. Найти асимптоты кривой у = 2 * + arctg* .<1 Функция у = у (*) определена и непрерывна на всей числовой оси, следовательно, вертикальных асимптот кривая не имеет. Находим наклонные асимптоты:-ч » 1- 2* + arctg* _ 1 л. г_ _ и ж 1) k ! = lim ----------------= 2; bx = lim [2* + arc tg* -2 * ] = ----- ,

*^-да * * -<да 2о жу = 2*------- левая наклонная асимптота.

2

99

2 x + arctg x _ т г_ _ и n2) k 2 = lim --------------- = 2; b2 = lim [2 x + arctg x — 2 x] = —,

x ^ +да x x ^+да 2

у — 2x + — - правая наклонная асимптота. >

Ответы1. f "(x) < 0, x e (—5; — 1); f "(x) > 0, x e ( —1; 1); f " (x) < 0, x e (1; 3); f "(x) < 0, x e (3; 6); (—1; 1), (1; 0)—точки перегиба; f "(1) = 0; f "(—1) = 0. 2. (—5; — 1), (4; 7 ) — интервалы возрастания; (—1; 4) — интервал убывания; (—4; 2), (5; 6 )—интервалы выпуклости, (—5; — 4), (2; 5),(5; 7) — интервалы вогнутости; x = — 1—точка максимума; x = 4 точка минимума; x = —4, x = 2, x = 5, x = 6 — абсциссы точек перегиба.3. (—да; 2) — интервал выпуклости; (2; + да) — интервал вогнутости;( 2 ; 12) — точка перегиба. 4. (—да; 1) — интервал вогнутости; (1; +да) — интервал выпуклости; (1; 2 )—точка перегиба. 5. (—да; —3) (2; + да) — интервалы вогнутости; (—3; 2 )— интервал выпуклости; (—3; — 297),(2; — 112) — точки перегиба. 6. (—да;0) — интервал вогнутости, (0; + да) —

интервал выпуклости; (0;0) — точка перегиба. 7. (—1; 0), (^2 ; + да) — ин

тервалы выпуклости, (0 ;3 2 ) — интервал вогнутости; (0; 0), (^2 ; ln3) —

точки перегиба. 8. x = 4. 9. у = 3,5. 10. x = ±1— вертикальная асимптота;n

у = 0 — горизонтальная асимптота. 11. у = 2x + 2, x = 1. 12. у = ——x +1 —

левая асимптота, у = П x — 1 — правая асимптота. 13. (—да; 1) — интервал

выпуклости, (1; + да)— интервал вогнутости; (1; 3 )— точка перегиба.14. (—1 1) — интервал выпуклости; (—да; — 1) и (1; + да ) — интервалы вогну-

тости;1 л

^ 1 ; Г точки перегиба. 15. (0 ;2 )— интервал выпуклос

4ти, (2; + да) — интервал вогнутости; I 2; — ь 16ln2 — точка перегиба.

V 3 )16. x = —2 — вертикальная асимптота; у = 3 — горизонтальная асимптота.17. x = 0 — вертикальная асимптота; у = 0 — горизонтальная асимптота при x ^ +да. 18. x = ±2 — вертикальные асимптоты; у = 2 x +1 — наклонная

асимптота. 19. График всюду вогнутый. 20. (—да;— ,5 ) — интервал вы-

100

пуклости, (--^2,5; + д а )- интервал вогнутости; (-^ 2 ,5 ; - 3,6^0,4 ) -

г 1 г 1 ^точка перегиба. 21. I — ; 0 - интервал выпуклости, I -да; — , (0; + да)2 j 2 j

точки перегиба.интервалы вогнутости; (0; 0), ;2 232 ,

22. x = 1; x = -3 - вертикальные асимптоты; у = 0 - горизонтальная

асимптота. 23. x = - 2 - вертикальная асимптота. 24. у = 0 - горизонталь

ная асимптота при x ^ -да. 25. x = -1; x = 0 - вертикальные асимптоты; у = 2x - правая наклонная асимптота.

Занятие № 21. Полное исследование функции и построение графика Основные понятия: исследование поведения функций и построение

графиков [1, с. 149-150].План полного исследования функции и построения ее графика:

1. Найти область определения функции.2. Исследовать функцию на четность, периодичность.3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.4. Исследовать поведение функции на границе области определения и

найти уравнения асимптот.5. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции.6. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика

функции.7. Построить график функции, учитывая результаты исследования,

полученные в п. 1 - 6.Задачи

1. Изобразить эскиз графика функции y = f (x) на интервале (-5; -1 ), если на этом интервале у > 0, у ' < 0, у " > 0.2. Изобразить эскиз графика функции y = f (x) на интервале (1; 6), если на этом интервале у < 0, у ' > 0, у " < 0.3. Изобразить эскиз графика функции y = f (x ) в окрестности точки x0, в которой f ( x) непрерывна, f '(x0) не существует, f '(x0 - s ) < 0,

f "(x0 + s ) > 0.Провести полное исследование и построить графики функций:x + 4 ln x

4. У = — . 5. yx yfx

101

Домашнее задание6. Изобразить эскиз графика функции у = f (*) на интерале (a; b), еслина этом интервале у > 0, у " < 0, у " < 0.7. Изобразить эскиз графика функции у = f (*) на интервале (a; b), если на этом интервале у > 0, у ' > 0, у " > 0.8. Изобразить эскиз графика функции у = f (* ) в окрестности точки *0,если f " (*0 ) = 0, f "(*0 - s) > 0, f " (*0 + s) < 0.

Провести полное исследование и построить графики функций

9 у = ,2 * +1 . 10 у = *е*.( * -1 )

Дополнительные задачиПровести полное исследование и построить графики функций

.311. у = - * — . 12. у = 3 1 - *3 .

*2 - 3Решение типовых задач

* 3Пример 1. Исследовать функцию у = ---------- и построить ее график.

( х - 2 ) 2

< ] 1. Dj- = ( — go ; 2 ) ( 2 ; + 00) .

2. Так как Dj- не симметрична относительно начала координат, то функция у (*) не является ни четной, ни нечетной.

3. График функции пересекает оси координат в точке O (0;0).4. Исследуем поведение функции в точках границы области опреде

ления, т.е. при * ^ +да, * ^ -да, * ^ 2 - 0, * ^ 2 + 0:3 3X X

lim ---------- = +да, lim ---------- = -да.х +да( * - 2) *^ -да( * - 2)

3 3* / - „ч *

■да.у ( 2 - 0 ) = lim ---------т = +да, у (2 + 0 )= lim ---------- = +да*^2-0 (* - 2)2 *^2+0 (* - 2)2

Точка *0 = 2 - точка разрыва II рода * = 2 - уравнение вертикальной асимптоты.Найдем наклонные асимптоты кривой:

k = lim у ( ) = lim ---- *—— = 1. b = lim Г у ( * ) - k* 1 =* (* - 2)2 * *^±да

102

= lim(х - 2)'

= lim -x ±ro

X -(X - 2)'

(X - 2 )2

4 ( x 2 - x )= lim —------ -J- = 4.

(X - 2 уГ рафик имеет одну двустороннюю наклонную асимптоту y = х + 4.

5. Исследуем функцию на монотонность и экстремум. Для этого, 3 х2 (х - 2)2 - х3 - 2 (х - 2) х2 (х - 6)

находим производную y = ----- ------- ------- -— ------- - = — ------.( х - 2 ) ( х - 2)

Находим критические точки: а) y ' = 0 при х1 = 0, х2 = 6; б) y ' не существует при х3 = 2.

Найденные критические точки: х = 0; х = 2; х = 6 разбивают Dy наинтервалы. Определяем знаки y ' (х) на полученных интервалах.

Знаки у ' + + - ,----^ ^ — °— ^у 0 __ 2 6 __ х

Функция возрастает на интервалах (-да;2) и (6; + да), убывает на интервале (2; 6) и имеет одну точку экстремума х = 6. Это точка минимума функции.

Находим значение функции в точке минимума:

y,rin = y (6) =6

(6 - 2 )2= 13,5.

6. Находим интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба графика функции. Для этого находим y ”.

y(3х2 -1 2 х)(х - 2)3 - 3(х - 2)2 (х3 - 6х2) 24 х

(х - 2)6 (х - 2)4Критические точки II рода: а) y " = 0 при х = 0; б) y " не существует если х = 2. Определяем знак y ".

Знак и у'

У+ +

0 2 х

На интервале (-да;0) график функции выпуклый, на интервалах (0;2),( 2; + да) - вогнутый. При переходе через точку х = 0 y " меняет знак, следовательно, точка O (0; 0) является точкой перегиба.

103

7. Используя все полученные результаты исследования, строим график:

ОтветыУ

O x 0 х

4. у min = у (2) = 3; x = 0, у = x - асимптоты. 5. ymax = у (е2 ) = - ;

х3 . .8

'3е4 )- точка перегиба; x = 0, у = 0 - асимптоты.

1 ^ 1. 1

у ‘

--- ► у

y ‘

Oa b

6. O X 7 O 8.A

ba

x0 \ х

9. уmin

= у (—2 ) = — 3;

10- уmin = у (—1)

7 8 Л

2 27) _1 г

е

- точка перегиба; x = 1, у = 0 - асимптоты.

—2.—А Л„2v е

- точка перегиба; у = 0 - левая асимп

тота. 11. ymax = у (—3) = —4,5, у min = у (3) = 4,5; (0;0) - точка перегиба;

x = —s/3, x = л/э, у = x - асимптоты. 12. (0; 1), (1; 0) - точки перегиба; у = — x - асимптота.

104

Контрольные задания по теме «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»

1. Найти производную функции f (*) = ln(1 + sin*). Ответ: C0S* .1 + sin*

2. Найти уравнение касательной к графику функции у = *V* - 2* + 3 в точке с абсциссой *0 = 4. Ответ: у = * -1 .3. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции у = f (*),

2заданной параметрическими уравнениями * = t - c o s t , у = t + sin t , в точке, соответствующей значению параметра t = 0. Ответ: 1.

24. Тело движется прямолинейно так, что v = 6s +1, где v - скорость (м/с), s = s(t) - пройденный путь (м). Найдите ускорение движения (м/с2). Ответ: 3.

вХ - в~*5. Вычислить предел по правилу Лопиталя: lim --------- . Ответ: 0.* +да * • ех

6. Найти интервалы возрастания, убывания функции у = (* 1 .* +1

Ответ: (-да; - 1), (1; + да) - интервалы возрастания, (-1; 1) - интервал убывания.

*37. Найти точку максимума функции у = —------ . Ответ: *max = -6 .* - 12

8. Найти сумму m + M , где m и M - наименьшее и наибольшее значения функции у = * ln * на отрезке [1; е ] . Ответ: е .9. График функции у = f (*) на отрезке [a, b] имеет вид:

Тогда на этом отрезке выполняются условия:1) f (*) < 0, f " (*) < 0, f "(*) < 0- 2) f (*) > 0, f " (*) > 0, f "(*) > 0.3) f (* ) > 0, f '(*) < 0, f "(*) > 0. 4) f (*) < 0, f '(*) < 0, f "(*) > 0.Ответ: 2).10. Найти точку перегиба графика функции f (* ) = x7 + 7 х +1.

Ответ: (0; 1)-* 111. Найти асимптоты графика функции f (*) = ----------- . Ответ: у = 1

* - 2 *горизонтальная асимптота; * = 0, * = 2 - вертикальные асимптоты.

105

5. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Занятие № 22. Неопределенный интеграл.Основные понятия: определение первообразной, свойства первооб

разных, определение неопределенного интеграла и его свойства, таблица основных интегралов, метод непосредственного интегрирования [1, с. 159-162].

Функция F(х) называется первообразной функции f (х) на интервале (a ; b ), если F '{ х) = f { х) для всех х е { a ; b ).

Совокупность всех первообразных функции f (х) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символомJ f (х) dх, т.е.

J f ( х ) dх = F ( х ) + C ,

где F (х) - одна из первообразных функции f (х), а C -произвольная постоянная.

Таблица основных интегралови = и (х) - произвольная дифференцируемая функция; s, a ElU , а > О :

1. J usdu = u— + C , s Ф -1; 1.1. J + C ; 1.2. J = - - + C;s +1 д/u U u_u

2.1. J eudu = eu + C ;2 . f audu = — + C , a Ф 1; J ln a

^ ?du , _3. I — = ln u + C ;u

4. J sin udu = - cos u + C ;

6. J tg udu = - ln cos u + C

о r du8. J — — = tg u + C ;cos2 u

10. J - * - = in

12. J

1 4 J

sin u du u

yja2 - u du

= = arcsin— + C ;2 a

— inu2 - a2 2 a

u - au + a

5. J cos udu = sin u + C ;

7. Jc tgudu = ln|sinu + C ;

9. Jdu

sin2 u= - ctg u + C

u+ C ;

с du- ln f u

t g - 11. J ------ tg ---1---2 cos u 4 2 4 J

+ C ;

13. Jdu

2 2 u2 + a 2 a1 u = — arctg— + C ;

a

+ C ; 15. Jdu

Vu2 ± a 2= ln u + /U2 ± a + C .

106

ЗадачиНайти первообразные функции:

1. Эх5 - 4. 2. 1 3. 1

V7 - х2 cosZ 5х4. Для функции f (х) = х2 - 4х + Э найти первообразную, график которой проходит через точку A (0; 5).

Э5. Для функции f (х) = —------ найти первообразную, график которой

х + 25проходит через точку A (5; п ) .

Найти интегралы, используя таблицу основных интегралов и свойства неопределенного интеграла:

6. j f х2 + Э + —1 ^

dxx ,3dx

12. j Э5 - 7 х dx.

f dx 15. j

sin2 Эх

18. j sin2 х cos xdx.

dx2 1 j

24 j

27 j

30 j

x — Эdx

x ( 4 + ln x ) dx

x2 + 25.

dx

л/25x2 +1c x +1 .

33. j , d x .

36. j

x2 +1 dx

(x + 1)2 + 9

7. \

10.

13.

16.

19.

22.

25.

28.

31.

34.

37.

3 /XЭ' + 5x

dx

dx.

-s/Э - 5 x

e—xdx.

25 x2 +1 sin xdx

1 + Эcosx dx

x2 - 25'

e2 x4 + e

x +1

I --

d x .

:dx.x2

dx

x + 4 x + 5

8. j

11.

14.

17.xex dx.

Эcos x • sin xdx. 20.

xdx 23.

26.

29.

32.

35.

38.

Э - 5 x )4dx.

у/Эх -1 dx.

. x . sin—dx.2

e

4 9ln2 x

dx.+ e

dx.xe2 x

2 x4 + e dx

dx.

xdx

7 x ^ - 4dx

x (ln2 x - 4 )'

xdx

л/э- x4dx

\lx2 - 2 x - 2

107

39. J-dx

40. J-dx

41. J;dx

yj\ - 2x - x2 J x2 - 8x +12 9x2 + 6x +10Указание. В задачах 37-41 в квадратном трехчлене нужно выделить полный квадрат.

Домашнее заданиеНайти первообразные функций:

343. f ( x) =

2x2 + 9

42. f ( x) = — .x

44. Для функции f (x) = tfx + 3 найти первообразную, график которой проходит через точку A (1; 7).

45. Для функции f (x) = 3x2 - 3x найти первообразную, график которой

проходит через точку A 0; -1

ln3Используя таблицу и основные свойства неопределенного интегра

ла, найти интегралы:р2 x _ 1 46. I _ dx .

3 x

49. J—1— dx.J 2 + x

47 Jx4 + x2 - 6x

x'

50. J| 4sinx

d x .

11 ^

48 Jdx

x

cos 5x.

52. j

55. j

58 b r 1

e 2 + e 2 dx. 53. J( 9 x + 2 )4dx .

d x . 51. J cos — dx. J 3

54. J 43-5xd x .

1 + 4 xldx.

-dx.

56. j

59 J

4 + 5sin x 1

x

d x .

d x .

f 1 57 b - -dx.

6°. j1

yix + 2 x + 3d x .


61. J 3x • 7xdx . 62. jdx

x - 2 x + 563. J . sin2x dx .

64 Jarcsin3 x

1 — x2 d x . 65. - 23 x 2 + 34x d x . 66. J

cos2 x

dxx

2

• 2 2 sin x • cos x

67. J(sin3x + cos3x) dx . 68. J sin2 xdx.carctgx

69. J ------— dx .

108

70. j sin 2x • cos Эхах. 71 jcos л/х

y/xdx. 72 j

dx

V5 - 4 x - x2

Решение типовых задачг x2 - 3xVx + 5 ,

Пример 1. Найти I-------- 1=------ dx .у /X

d Поделим числитель подынтегральной дроби на знаменатель и используем свойство линейности неопределенного интеграла:

2 „ г ( э Л э ’х - 3xvx + 5Vx

-dx — j x 2 - 3x + 5x 2 dx — j x 2dx - 3 jxdx + 5 jx 2dx

- ix 32+1 x1+1 x /2 3-----+ 5

y2 + 1 1+ 1 - 1 ^+ 1+ C — - - x2 + 104* + C .

5 2

Пример 2. j -dx10 x

u — 1 -1 0 x du — -10 dx

1 p(-10) dx 1 fdu _ = 10j 1 -10 x ~ 10j u ~

— —1 ln u + C — —1 ln 1 -1 0 x + C ( использована формула 3 таблицы ос- 10 10

новных интегралов ).

Пример 3. J х

Лdx —

+ х

u — х + 1 du — 2 xdx

1 • 2 yfu + C — Vx2 +1 + C ( использована формула 1.1 таблицы основных2

интегралов ).

Пример 4. Jdx

х (ln2 х + 4)

u — ln х dx

du — — x

г du 1 u —------ — — a r c tg - + CJ u2 + 22 2 6 2

1 ln x— arctg—— + C (использована формула 13 таблицы основных интегра-

лов).

Г eПример 5. jVx

dx —u — Vx

du —2yfx

dx

fx2 [ — dx — 2 j eu du —

2 yjx

— 2eu + C — 2e^x + C (использована формула 2.1 таблицы основных интегралов).

109

Пример 6. JdX

X — 2 X + 5J

dX

л/(X—1)2

= ln u + д/u + 4 + С = ln X — 1 + V( X—1)2 + 4

+ 4

+ С = ln

U = X — 1 du =dX J

dU

u2 + 4

X 1 + л/X — 2 X + 5 + С.

(использована формула 15 таблицы основных интегралов).Пример 7. Найти J cos2 3xdx.

<Воспользуемся формулой понижения степени:

J cos2 3xdx = J 1 + cos6 XdX = 1 J (1 + cos6 X) dX = 1 (J dX + J cos6 XdX)

—( x + is in 6 x l + C. > 2 1 6

2'

Ответы1

2

1 (л X 1 1 Л Л1. —X — 4 X + С. 2. arcsin —;= + С. 3. — tg 5 X + С. 4. —X — 2 X + 3x + 5.

2 7 7 5 33 x 17п 1 3 ^ , ^ / “ 5 ^ ,5. —arctg — +-------. 6. - x + 3x + ln x + С. 7. 6 v x ------+ С.5 5 20 3 X

8. —— (3 — 5x )5 + С. 9. 1 (1 + x2 )4 + С. 10. — 2 л/3 — 5 x + С. 25 8 ' ' 5

11. - ( 3x — 1)29

3 + С. 12. —— 3 (5 — 7 x )4 + С. 13. —1 e_3 x + С. 28 3

14. —2 cos X + С. 15. —1 ctg 3x + С. 16. 1 eX + С . 17. ^ 9 + ex + С.2 3 2

1 1 1 18. - s in 3 x + С. 19. — cos4 x + С. 20. - l n 3 x + С. 21. ln| x — 3| + С .

3 4 3

22. - ^ ln (25x2 +1) + С. 23. 1 ln (4 + e2x) + С . 24. ln|4 + lnX + С.

1 x 1 x25. — ln 1 + 3cosx + С. 26. arcsin— + С . 27. - a r c t g — + С.

3 2 5 5

f090<4 x — 5

+ С. 29. ln x + x — 4 0О+ 5x + yj 25x +1x + 5 5

+ С.

1 ex 131. —arctg-----+ С. 32. — ln

2 2 4ln x — 2

+ С. 33. Vx2 +1 + ln X + ^ X + 1 + С.ln x + 2

2Г, 2 ■ ^ 1 ■ x ^ 1 x +1 _34. — v 1 — x + arcsin x + С . 35. — arcsin —= + С. 36. - arctg------- + С .

2 V3 3 3

110

37. arctg (x + 2) + C. 38. ln x — 1 p x — 2 x —

40. — ln4

x - 6x - 2

1 3x +1 ^+ C. 41. —arctg---------p C. 42.

x p 12 p C. 39. arcsin — + C .

л/21 2 x ^p C . 43. —arctg— p C .

2 x4 V 16 , 3x 6 У 3 2/

44. — x^4 p 3x h---- . 45. x3 ------- . 46. — x^3 — x '3 + C .5 5 ln3 5 2x 2 6 .------

47. — p ln|x| p - p C . 48. -2V3 - x p C. 49. ln|2 p x\ p C.2 x

. 11 . x50. -4 cos x ----- tg5x p C. 51. 3sin— p C. 52. 2

5 3'/ ~x/ e /2 - e / 2 p C.

(9 x p 2 )5 453. --------}— p C . 54. 4

45

56. —ln |4p5sinx pC. 57. — ln 5 1 12

3-5 x-p C . 55,

5ln4 83 p 2 x

—ln (l p 4 x2 )p C.

x

1 x p 4 ,59. —arctg--------p C. 60. ln

3 3

3 - 2 x

x p 1 p x p 2 x p 3

p C. 58. arcsin— p C.3

21xp C. 61. — p C .

ln215/

62. — arctg x—1 p C. 63. 2л/3 - cos2 x + C . 64. — (arcsin x)Z2 p C .2 2 54 5/ 24 —7/ 1

65. — x/ 4 ----- x /12 p 3x p C . 66. tgx - ctgx p C . 67. x — cos 6x p C5 17 6

68. —2

x - —sin2 x 2

5arc tgx — —p C. 6 9 .--------- p C. 70. —cosx----- co s5xp C .

ln5 2 10i— x p 2

71. 2sinv x p C . 72. arcsin--------p C.3

Занятие № 23. Интегрирование по частям в неопределённом интеграле. Метод подстановки

Основные понятия: интегрирование по частям, интегрирование подстановкой в неопределенном интеграле [1, с. 163-167].

Если u (x) и v (x) - дифференцируемые функции, то справедлива формула интегрирования по частям:

J udv = uv - J vdu. (5.1)или

J u ( x) v'( x ) dx = u ( x ) v ( x ) - J v ( x ) u '( x ) dx, (5.2)

т.е. при вычислении интеграла J u (x) v '(x ) dx по формуле (5.2) первый

множитель u ( x ) дифференцируется, а второй v'( x) - интегрируется.

111

В интегралах вида J Pn ( x) f ( x) dx, где Pn ( x) - многочлен степени n, можно придерживаться следующих рекомендаций:

I. Если f (x) «легко интегрируется», т.е. имеет вид

eax, aax, cos /3x, sin fix и т.д., то в формуле (5.1) следует выбрать u = Pn (x), dv = f (x) d x .

II. Если f (x) «плохо интегрируется», т.е. имеет вид

lnx, arcsinx, arctgx и т.д., то следует выбирать: u = f (x), dv = Pn (x) dx.

Правило замены переменной x = ф( t ) под знаком неопределенного интеграла состоит из цепочки равенств:

J f (x )dx = J f (ф (t ) У ( t ) dt p C = F (t ) p C = F(fp~l (x)) p C ,

где t = (p~l (x) - функция обратная к функции x = ф (t ).Иногда целесообразно применять подстановку в виде t = ф( x ), тогда

J f (ф ( x ))ф ( x ) dx = J f (t )dt, где t = ф ( x ).

ЗадачиНайти интегралы:

1. J x sin xdx. 2. J(x p 3) exdx. 3. J(3x p 1)-cos2xdx. 4. J x • 2 xdx.

5. Jx3ln xdx. 6. J (4 4x - x) ln2xdx . 7. J arctgx dx. 8. J (x 2 p 7) e2xdx.

c 2 x I-----9. Найти интеграл I . dx, применяя подстановку Vx p 1 = t .

yf x p 1 Найти интегралы:

10. J r-2dx— . 11. f dx . 12. J x dx .^ ( x - —) 3>lx- 5 p (V x - 5 ) ^ ——+ —

Домашнее заданиеНайти интегралы:

13. J xe~xdx . 14. J (3 p 2x) ln xdx. 15. J arcsin 3xdx

16. f - ^ r f v . 17. f 2 + d x . 18. f-----(поду x -1 x p 3 p 2yJ x p 2 x2 4 x2 - 4

2 ,становка x = ------).cos t

112

19 j

Дополнительные задачи для самостоятельной работыНайти интегралы:xdx г I > _ , г 9v • -г _ f 2

sin2 2 х20. j arctgyfxdx. 21. j e2x • sin xdx. 22. j x • cos2 xdx.

Применяя указанные подстановки, найти интегралы:2 x

23. j - ^ ----dx, x — lnt. 24. jV 4 - x2dx, x — 2 s in t.ex +1

Решение типовых задач2 , -Л - xПример 1. Найти j (x2 + 1)e Xdx.

j ( x2 + 1)e_xox

+2 j xe xdx

u — x +1, du — 2 xdx

dv — e~xdx, v — - e _x u — x, du — dx

-x +

dv — e dx, ve • (x + 1) + 2 • (_ x • e +

+ j e xdx) —- e x •(x2 + 1) - 2*e x - 2 e x + С — - e x (22 + 22 + -) + С .

Пример 2. Найти j arctg 2 x d x .

, ^ 2 dx< j arctg2 xdx —

2dx

>

u — arctg 2 x, du —

dv — dx,1 + 4 x"

v — x— x • arctg 2 x

- j x'1 f 8xdx 1

- — x • arctg 2 x — j ------- - —x • arctg 2 x — ln1 + 4 x2 4 j 1 + 4 x2 4

1 + 4 x + C .>

Пример 3. Найти интеграл jdx

становку 4 x + 3 — t :

(4 x + 3 - 1) %/ x + 3. <i Применим под-

jdx

(4 x + 3 -1)V x + 3

4 x + 3 — t

x — t4 - 3

dx — 4 t3 dt

(t -1 ) + 1t -1

dt —

= 4(/ + ln |/ - l |) + C = 4 (4 x + 3 + ln |4 x + 3 - l |) + C. >

Ответы

1. - x cos x + sin x + C. 2. ex (x + 2) + C. 3 .-x + 1 sin2x + — cos2x + C.v ' 2 4

113

, X-2x 2x ^ - x4 1 4 ^ 4 . ------------ -— + С. 5. — ln x ----- x + С.ln2 ln2 2 4 16

'g К x2 ^— x 1 ----V

8. 1 '2 v

У

16 3/ 1 у 1 / 2\ln 2 x ----- x/2 + —x + С . 7. x -arctgx — ln (1 + x ) + С.9 4 2 V /

2 15 x — x +----У

e2x + С. 9. - ( x + 1)2 — W x+Y + С. 10. 2ln 3

yfx — 1■\fx +1

+ С .

2 x — 5 11.—т= arctg A------

V3 s \ 3

(x + 3x )]

+ С . 12.

2

(V2 x + 1) 72 X + 1+ С .13. — xe~x — e—x + С.

14. (x2 + 3x) ln x —(X + 3) + С . 15. x - arcsin 3x + 1 >Я—9x2 + С .2 3

16. x + 2\fx + 2 ln yfx — 1 + С . 17. 2yjx + 2у/ x + 2 +1

+ С .

18.x2 — 4

\-С . 19. — —ctg2x + 1 ln sin2x + С.4 x 2 4

20. x - arctgyfx —yfx + arctg^fx + С .e2 x x2 x 1

2 1 .----- (2sin x — cos x) + С . 2 2 .----- +—sin2x + - cos2x + С .5 v ' 4 4 8

23. ex — ln (ex + 1) + С. 24. 2arcsin X + X^ 4 X + С.

3

Занятие № 24. Интегрирование рациональных дробей Основные понятия: рациональная дробь, правильная, неправильная

дроби, разложение правильной дроби на простейшие, интегрирование простейших дробей, интегрирование рациональной дроби [1, с. 167-172].

Рациональная дробь

т>( \ Pm (x) b0 xtn + b xtn 1 + ... + bm-1x + bm ~R ( x ) = ---- \ = ----------- 1----- г---------- ------ называется правильной,Qn (x) ao x + ax x + ... + an—1 x + an

если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени знаменателя, т.е. m < n. Если m > n , то дробь называется неправильной. Правильную рациональную дробь всегда можно разложить на сумму простейших дробей I—IV типов:

г АI тип: I------ dx = А\п х - а +С; a e D ; i e D .х - а

114

II тип: J Aу-к pl

( x - a )

A ( x - a )dx = —------- --------l-C; a e U ; A e U ;k eU , k > 2 .

пт f Ax p B AIII тип: J —----------- dx =x p px p q

l - k

— / 2 v Pt = — (x p px p q) = x p —

2 2 Px p px p q = t p q2

4

; A, B, p , q eU ;

2p - 4q < 0 (см. решение типовых задач, пример 1).

Г + 5 2 л Г\ Г 1 - 1 ГIV тип: Г----------------- - Л ; р - Aq < 0; к е □ , к > 2.^х2 + px + q^

Если Qn (x) = (x - a—)... (x - as ) (x - b)k (x2 p px p q ), тогда правильная

P ( x )дробь R (x) = m представима в виде суммы простейших:Q n ( x )

A A„ Бъ B,к-lR ( x ) = ----1----p ". p ' lr ' t-1x - a— x - as (x - b) (x - b)

p... p B Mx p Nx - b - 2x p px p q

Основные правила интегрирования рациональных дробей.1. Если рациональная дробь неправильная, то ее представляют в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби (см. решение типовых задач, пример 2).2. Разлагают знаменатель правильной дроби на множители.3. Правильную рациональную дробь разлагают на сумму простейших. Таким образом, интегрирование правильной дроби сводится к интегрированию простейших дробей (см. решение типовых задач, примеры 2, 3).

ЗадачиЗаписать разложение дроби на простейшие, не находя коэффициентов:

1. 3x p 5x p 7 x p 2 x — 4-----------------T7-------------- \ . 2 . --------------------------------(x -1 ) (x p 2 ) (x2 p 3 x p 4 ) x2 (x - 3)(x2 p 9)

3.

Разложить дробь на простейшие:3

x p 2 x4.

x p x p 2

(x - 1)(x2 p l)

Найти интегралы:с 2 x p 1 , p 3x — 2 , r 5 x p 3 . c

5. J ~2----- ------ d x . 6. J —---------- d x . 7. J ---- —a x . 8. Iо ' 1 /л ** 1 5 2x 1x3 dx

x p 2 x p 10 x - 4x p 5 x p x — 2

115

( х - 2) dx

х3 - 4 х 2 + 3 х10. j хЭ +1

Э 2 х - хd x . п . j. х +1

■dx.х + 2 х

Домашнее заданиеЗаписать разложение дроби на простейшие, не находя коэффициентов:

Э х +1 3 12. — --------г-. 13.х 2 ( х 2 + 4 )

„ 12х +1814. Разложить дробь —--------на простейшие.

(х -1 )2 (х2 +1)

15. j

х - 9 х Найти интегралы:

х + Э .-dx.

х - 8 х + 20е 5 х + 6 17. j ------------ d x .

x ( х + 2 )2

16 j

18 j

-3 х + 9dx .

х - 5 х +62 х + 5 х + 49

х - 3)( х + 4 х + 20( х -Э ) (-dx.

19. j

Дополнительные задачи для самостоятельной работыг 2 х +1 , с

d x . 20. j - ------ — ------ - dx. 21. jx + x + 5 x4 + Эх3 + Эх2 - 5x2 +1 (x - 2) (x + 5) x + Эх + Эх +1

dx .

Решение типовых задачс 5x + 2 ,

Пример 1. Найти интеграл j —z------------ d x .x + 6 x +13

< Сделаем замену t —1 • (x2 + 6 x + 13) — x + Э. Тогда исходный интеграл

можно представить в видеt — x + 3

с 5 x + 2 .I —------------ dx —

x + 6 x +13x — t - 3 dx — dt

—I( 5 •( t - 3) + 2 ) dt

( t - 3)2 + 6 •( t - 3) +13

j( 5t -1 5 + 2 ) dt

t2 - 6 t + 9 + 6 t - 18 + 1Э

<-(5t-13) dt , td t

j t2 + 4 j1-j-

dt

5, / ? Л 13 t ^ 3 . / 2 i- x + 3 ^= —In t + 4 -----arctg—+ C = — In 1 +6x + 1 3 ----- arctg--------bС >2 V / 2 2 2 V > 2 2

132

t2 + 4 j t2 + 4 1Э x + Э

Пример 2. Найти интеграл j x4 - Эх2 - Эх - 2Э 2 ох - х - 2 х

2

d x .

< Так как степень числителя больше степени знаменателя, т.е. дробь неправильная, то нужно выделить целую часть. Разделим числитель на знаменатель «уголком»:

116

X 3x2 — 3x — 2

x 3 о 2■x —2 x

3 2 оx x 2x

x3 — x2 — 3x — 23 2 оx —x —2 x

X +1

Тогда

— x — 2 x4 — 3x2 — 3x — 2

3 2 оx —x —2 xX +1

x + 2

x ( x2 — x — 2 )

Следовательно,px4 — 3x2 — 3x —J 3 2x x 2 xРазложим полученную правильную дробь на сумму простейших:

( x + 2) A B С A( x — 2 ) (x +1) + Bx ( x +1) + Сx (x — 2)

К ч r (x + 2) dxx +1) dx — I — ----- -

' J x ( x — 2 )(x +1)

X ( x — 2)( x +1) x x — 2 x +1 x (x — 2 )(X + 1)Тогда A (x — 2) (x +1) + Bx (x +1) + Сx (x — 2) = x + 2.

Подставив поочерёдно в правой и левой частях предыдущего равенства значения x1 = 0, x2 = 2, x2 = — 1, получим

x1 = 0: —2 A = 2; A = —1;2

x2 = 2: 6B = 4; B = —;2 3

x2 = —1: 3С = 1; С = 1 .2 3

x4 — 3x2 — 3x — 23 2 о x x 2x

Итак, J

j 2 2 1—-----ь x + ln x — ln x — 2 — ln x +1 + С . t>

2 3 3

г (V r rdx 2 r dx 1 r dxdx = (x +1) dx + 1 -------- ------------- --------=JV ’ J x 3 J x — 2 3 J x +1

Пример 3. Найти интеграл J dx

x5 — X2<i Дробь правильная. Разложим знаменатель на множители:

x5 — x2 = x2 (x3 — 1) = x2 (x — 1) (x2 + x + 1).Тогда

1 A B С Dx + Ex5 — X2 X2 (x — 1)(x + x + 1)

= — ь — +X2 + X +1) X x2 X — 1 x2 + X + 1

117

Ax (x — —) (x p x p —) p B (x — —)(x p x p —) p Cx (x p x p —)p

p ( Dx p E ) x2 (x - 1) = 1.При x— = 0 имеем: -B = 1; B = -1.

При x2 = 1 имеем: 3C = 1; C = —.

4 3 2Приравнивая коэффициенты при x , x , x , получаем систему уравнений

A p C p D = 0,B p C p E — D = 0,C — E = 0,

из которой найдём A = 0, D = ——, E = —.

Итак,1 -1 1 x -1p

x5 - x2 x2 3 (x - —) 3 (x2 p x p 1

Следовательно,r dx rdx 1 p dx lp x — 1 , 1 1, л l p 2x p 1 — 3I—,-----;t = — I ^ - p - I ---------- I ----------dx = - p - ln x — 1 —- I ^ --------J x5 — x2 x 3 J x — 1 3 J x2 p x p 1 x 3 6 J x2 p x p 1

1 1 , 1 1, / 2 Л 1 r dxx — — — ln (x2

dx

= — p — ln Ix — — — — ln (x2 p x p l ) p — f--------x 3 1 1 6 v ' 2 V —

x p— 2

x 3 6 ' ' 2 W 1 \2

V1 1, ( x - l ) 1 2x + l ^

= — + — ln ---------- 1- —j= arc tg — j=— + С . >* 6 x + x +1 V3 V3

ОтветыA B C D Ex p F

3p —4

p--------- p---------- ^p---------- ? p Vx — 1 x p 2 (x p 2)2 (x p 2)3 x2 p 3x p 4A B C Dx p E Fx p G 3 3 2 x

2. — p — p ------p ^ ------ p -----------т . 3 . --------- ------- -. 4,x x2 x — 3 x2 p 9 (x2 p 9)2 2x 2 (x p 2) x — 1 x2 p 1

. ln (x2 p 2x p 10) — - arctg x p 1 p C. 6. 3 ln (x2 — 4x p 5)p

118

-л

5 11, _ _ ( х - 1) 8+4arctg (х - 2) + C . 7. — х + ln |2х - 1| + C. 8.

1 2 1 1+— ln х - 1 + C . 9. — ln х +— ln х - 1 +— ln х - Э + C.

Э 1 Э 2 1 6

10. х +---- + 2ln х - 1 - ln х + C .х

х3 г, 1, i i 1, / 2 Э х _ ----- 2х + — ln|x| — ln (х + 2) + —j= arctg—j= + C .

+ —ln | x + 2| +

11

A B Cx + D 12. - + — + — ----- . 13.

x x2 x2 + 4A

x -1B Cx + D Ex + F

+ -- z-----+ ---------- :( x - 1) x2 +

214. — +

Эx x - Э x + Э

15.

1 (x2 +1)

1, / 2 0 ~r\\ 7 x - 4 — ln (x - 8 x + 20) + — arctg—-—+ C.

16. x + ln2

x — 5 x + 6 + 8lnx - 3

+ C . 17. — lnx

x - 2 2 x + 2 x + 2+ C .

18. 2ln x - 33 x + 2 — arctg 4 4

2 1C . 19. — + x — ln (x2 + 1) + 4 arctgx + C.

20.9

343ln

x + 5x - 2

9 5

49 (x - 2 ) 14 (x - 2)г* x 1 2 _ + C. 21. — + ----- + ------- .

2 2 x +1 ' - ^ 2+ C .

( x + 1)2Занятие № 25. Определённый интеграл и его свойства

Основные понятия: задачи о площади и о работе, определение и обозначение определенного интеграла Римана по отрезку, классы интегрируемых функций, основные свойства определенного интеграла, интеграл с переменным верхним пределом, оценки интегралов, среднее значение, формула Ньютона-Лейбница [1, с. 177-193].

Площадь криволинейной трапеции (рис.5.1), ограниченной графиком непрерывной функции y — f (х ) (f (х ) > 0), двумяпрямыми х — a , х — b и осью Ox , вычисляется по формуле

y I

y — f (x)ia O b x S — j f ( х ) d x . (5.3)

Рис. 5.1

чина которой

Работа А переменной силы F на отрезке вели-

F = / (х), а направление совпадает с направлением оси

Ox, равна определенному интегралу от силы: A — j f (х) dx .

119

1

a

a

Формула Ньютона-Лейбница (см. комментарии с. 319, 320 ) для вычисления определенного интеграла:

bJ f (x)dx = F (x)l = F (b)—F (a)где F (x ) - одна из первообразных непрерывной на [a; b] функции f (x).

Свойства определенного интеграла:a

• J f (x ) dx = 0.ab a

• j f ( x ) dx = —J f ( x ) dx .

\ { ci f i ( x ) + c2f 2 (x ))dx = ci \ f i ( x ) dx + c2 \ f 2 (x)dx; Vcl9 c2 eU .a a ab с bJ f (x) dx = J f ( x)dx + ^ f(x )dx; \/a, b, с e □ .

• Если f (x) < g (x) Vx e [a ; b], то J f (x) dx < J g (x) dx.a a

• Если M и m - наибольшее и наименьшее значения непрерывной на от-b

резке [a; b] функции f (x), то m (b — a ) < J f (x) dx < M (b — a ).a

• Производная интеграла с переменным верхним пределом:( X V

F '( x )= J f (t ) dt = f ( x ), x e [ a; b ],V a у

где функция f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ].• Среднее значение f (c ) непрерывной на [ a; b ] функции y = f (x):

1 bf (c) = ^ ^ J f (x) dx, c e [ a ;b].

a

• Интегрирование на отрезке [—a; a ]:a

2J f (x) dx, если f (x) — чётная;0

0, если f (x) — нечётная.

J f ( x) dx =—a

a

a a c

120

Задачи1 1

1. Вычислить интеграл J ( 3 f ( x ) — 5 g ( x ) ) d x , если J f (x) d x = 2 и0 0

1

J g ( x ) d x = 5.

—2

Вычислить интеграл J 3 f ( x ) d x , если J f ( x) d x = 5 и J 3 f (x) d x = 2.—2

3. На рисунке изображен график функции y = f (x)

интеграла J f (x )dx.

Вычислить интегралы:-

4. J ( x2 — 3 x p 2 ) d x 5.l

Jd x

0

25/x

7. J V25 — 2xdx .12

2

10. J f (x) d—2

4 x2 p 3

/2

x , если f (x ) =

■/3

0

—4, — 2 < x < 0, 1, 0 < x < 2.

212. f--------dx . 13. f cos2 (pdoJ x — 2 J

6.0

Jd x

cos2 x

8. J sin x cos2 xdx . 9. J1 2 , x d x

1 p x

4 ( ^ p 2) 11. J - -----dx .1

14.

-s/x

- ____ 1J Y2 A-Ax p 4 x p 5

d x.3 Л ~ 0

15. Вычислить работу силы, направленной вдоль оси Ox , величина кото

рой равна F = . 1 , по перемещению тела из точки x = 0 в точку x = 3.л/l p x

16. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 5 см, если сила в 1 н растягивает ее на 1 см.

04

0 0

a

0

0

<

121

Указание. По закону Гука сила F возрастает пропорционально растяжению х пружины: F — kx.17. Скорость тела дается формулой v — 1 + 2t (м/сек). Найти путь, пройденный телом за первые 10 сек после начала движения.Указание. Путь, пройденный телом за промежуток времени от момента t — t до момента t — t2, равен определенному интегралу от модуля скоро-

t2

сти: 5 — j |v (t )| dt.t1

2 dt18. Найти F '(0) , если F (x) — j -

. 1+4t 2 '

ж/ 2.319. Вычислить интеграл j хЭ • cos xdx , используя свойства.

20 2 0 3

~x и T ~x20. Сравнить интегралы: I1 — j ex dx и I2 — j ex dx .-1 -1

21. Не вычисляя интеграл I — jV 1 + x3dx , оценить его величину.0

22. Найти среднее значение функции f (х) — cos 2 х на отрезке 0; — 12

3623. Найти среднее значение функции f (х) —------ - на отрезке I V—; 3 .

9 + х2 L JДомашнее задание

3 Э

24. Найти интеграл j ( 4 f ( х ) + — g ( х) ) d x , если j f ( х) d x — 4 и-2 -2

-2

j g (х) d x — 2.3

1 1 2 1

25. Найти интеграл j 2 f (х ) d x , если j f (x ) d x — -2 и j 2 f ( x ) d x — 3.

26. Найти F '

- 1 - 1

, если F ( x ) — jV2 У о t

122

Вычислить интегралы:— n 2 Г~

27. J (x 3 p x ^ x ) d x . 28. J cos^_x -x .n

n/ 430. J sin2 (pdy . 31

/2

. J f ( x) d x , если

29 J1 x2

01 p xd x .

— i

x p 1, — 1 < x < 0;n

cos x, 0 < x <2

32. Найти среднее значение функции f (x) = x3 на отрезке [0; 1].

Дополнительные задачи для самостоятельной работы33. График непрерывной функции y = f (x) (см.

рис.) симметричен относительно точки A (0; 2).5

Вычислить интеграл J f (x) d x.—5

y ‘i

-5A. 2

O 5 x

Вычислить интегралы: 1 2

34. J |2x — 3|dx . 35. J x6sin2xdx.—2

2—2

36. J f ( x) d x , если f (x) =x ,0 < x < 1;

yjx, 1 < x < 2.

37. Не вычисляя интеграл jV 4 — x2 dx, указать его значение, используя0

геометрический смысл.38. Вычислить работу силы, направленной вдоль оси Ox , величина кото

рой равна F = , по перемещению тела из точки (2; 0) в точку (3; 0).x

39. Определить объем продукции, произведенной рабочим за второй час

рабочего дня, если производительность труда f (t ) = -------- p 2 ( t —время).2t p 1

Указание. Если f (t) — производительность труда в зависимости от времени t , то объем продукции V при t— < t < t2 вычисляется по формуле

t2

V = J f (t ) dt.

0

<

0

t1

123

Решение типовых задач—'2

Пример 1. Вычислить интеграл j c°^х dx .—/ sin- хж6

—<

— sin х о • 22 sin х

—2 2) = —.>

% 2 2

тт — /1 + cos2х Пример 2. Вычислить интеграл j „1------------dx .0 2

—— 1 + cos2x f — /2cos x f — | f r f

< j J ------------dx — j J ---------- dx — j |cos x|dx — j cos xdx +0—

0 0 0

+ j ( - cos x) dx — sin x

2

2 + ( - s i n x ) ^ / - ( l - 0 ) + ( 0 - ( - l ) ) - 2 . >

3—x 8Пример 3. Найти среднее значение функции f (х)

на отрезке [0,2].< Среднее значение функции

2 х2 + 4

1 2'y ср 2 - 0 j I ' -2+

0

3—— — j xdx + 4 j -

3—х 8 ^

2 dx Э— х2

1 23—х 1 2 8 dx — — -----dx + — т-----

2 j 2 2 0 х2 + 4dx —

4 О ох2 + 4 4 2

2x+ 2 arctg —

2 Ъп п _-----1— = 2я\ >2 2

Ответы

1. -19. 2. -13. 3. Sj - S2 + S3 - S4. 4. - . 5. - . 6. 1. 7. - . 8. - . 9. — .6 6 3 3 12

74 — л/310 -6 . 11. — . 12. 5,5 + 7 ln 2 . 13. — l----- . 14. arctgЭ - arctg2. 15. 23 6 8

(ед.работы). 16. 0,125 Дж. 17. 110 (м). 18. 2. 19. 0. 20. / х > / 2. 21. 2 < I < 63 2 13

22. - . 23. -— = . 24. 10. 25. -1 . 26. —. 27. — . 28. -V —. 29. 1 - —.— Э-V3 — 20 4— 1 1 4л/2 -1

3 0 .------- . 31. 1,5. 32. - . 33. 20. 34. 12. 35. 0. 36. —-------- . 37. —.8 4 4 Э2 1, 5 „38. - (ед.работы). 39. — ln — + 2 (ед.).3 2 Э

124

6

00

Занятие № 26. Основные методы вычислений определённого интеграла

Основные понятия: интегрирование по частям в определенном интеграле, интегрирование подстановкой [1, с. 194-197].

Если функции u = u ( x), v = v ( x ) и их производные u '( x ) и v'( x)непрерывны на [ a; b ], то справедлива формула интегрирования по частям:

b ь bJ udv = uv — J vdu .a a

Если функция f (x) непрерывна на [ a; b ], а функция x = p ( t ) непрерывно дифференцируема на [tx; t2 ] и p ( t ) e [ a; b] при t е [^ ; t2 ], p (tx) = a , (p( t2 ) = b , то справедлива формула замены переменной в определённом интеграле:

b t2J f ( x ) dx = j f ( p ( t ) ) p ( t ) d t .a t

ЗадачиВычислить интегралы:

п 1 21. J x cos xdx . 2. J(x +1) e ’xdx . 3. J x3 ln2xdx .

0 0 11 1

4. J arcsin xdx . 5. J x - arc tgxdx. 6. J x2 - cos 2xdxx 20 0 0

Вычислить интегралы, используя указанную подстановку:2 4 dx

7. J(x — 1) - xdx , x — 1 = t . 8. J — ---- , Vx = t .

Вычислить интегралы:ln2 --------- 0 ___ 64 ,

9. J Ve2x — 1dx. 10. J x - 3 ’1 — xdx . 11. J -~j=-f= .0 —7 g 3 x — V x

Домашнее заданиеВычислить интегралы:

1 e п12. J x - exdx . 13. J ln xdx . 14. J(x — 2)- sin3xdX.

0 1 0

1

125

л/315. J arc tgxdx. 16 J5 V x — 1

dxx0 1

Вычислить интегралы, используя указанную подстановку:с dx f

17 I 7 7 — , *ln3V e p 1

6ex p 1 = t . 18 I

dx

y 1 p yj 3x — 2

Дополнительные задачи для самостоятельной работыВычислить интегралы:

19. J1 e2x

n/

ex p 1ax. 20. j

xcos2 x

dx . 21. 4 _ -ax.Q*\j x p 1

Решение типовых задачn

Пример 1. Вычислить интеграл J x sin 2x dx.

n< J x sin2x dx =

u = x,0

du = dx 1

dv = sin2 xdx, v = — cos2x2

x O = — cos 2 x 2

n 1 n TC 1p — cos 2x dx = ---- cos 2n p — sin 2xn 2 J 2 4

0

n

071 1 / . _ . 71

—-------- 1— (sin 2 7i — sin 0) — — . >2 4 ' 2

„ n 9 dxПример 2. Вычислить интеграл I —j=—4 л/x p 1

%/x = t2dx

“v/x p 1x = t

dx = 2t dt ,

x 4 9t 2 3 J M = 2 JI t p 1

dt =

= 2 ( f - ln | f + l|)|* = 2 ( 3 - l n 4 ) - 2 ( 2 - l n 3 ) = 2 - 2 1 n ^ . >

Ответы„ 5 3 2 31 15 л n n 1 n 2 — 8 131. — 2. 2. —e ----. 3. — l n 2 ------. 4 . -----1. 5 . -------- . 6 . -------- . 7. —

9 9 4 16 2 4 2 32 42

0 0

0

126

8. 2ln1,5. 9. 7 3 — —. 10. —43 — . 11.10>/2 — 34 + 6 ln (л/2 — 1).3 28 V /

—л/3 ln4п — 412. 1. 13. 1. 14 .-------. 15 i 316. 4 — 2arctg 2. 17. ln—

г18. 3 + ln

v 5

3 3r\ \ 'У — py

. 19. e — 1 + ln----- . 20. — + ln — . 21. 4ln3 — 4.e +1 4 2у

Занятие № 27. Вычисление площадей плоских фигур Основные понятия: формулы для вычисления площадей плоских

фигур [1, с. 197-200].Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций

У = f 1 (x) и y = f 2 (x) , f 1 (x) < f 2 (x) и двумя прямыми x = a , x = b (рис.5.2), вычисляется по формуле y

S = J^-/2(x)— f 1(x))dx . (5.4)

Иногда удобно использовать формулы, аналогичные (5.3) и (5.4), считая x функцией от y , в частности, O

y = f 2( x)

y = f \( x)

d

a b x Рис. 5.2

S = J(P2 ( у ) —P1 (y )) dy (5.5)

где p2(y) > p ( y ) ,y e [c;d ] (см. решение типовых задач, пример 3).Если фигура ограничена кривой, заданной параметрическими уравнениями x = x ( t ), y = y ( t ), прямыми x = a , x = b и осью O x , то её площадь вычисляется по формуле

t2

S = J У (t)-x '(t) d t , (5.6)t1

где пределы интегрирования находятся из уравнений a = x (tj), b = x (t2 )(y (t )> 0 на отрезке [t1; t2 ]).Пусть кривая задана в полярной системе координат уравнениемр = p ( p ) . Площадь криволинейного сектора, ограниченного лучами p = a , p = f5 и графиком непрерывной функции р = p ( p ) , вычисляется по формуле

Р1 рS = - J p 2 (p ) d P. (5.7)

b

a

c

127

ЗадачиНайти площади фигур, изображённых на рисунках:

2.

У‘{ I5

т ,\ о Ха x

- 4

Найти площади фигур, ограниченных линиями:3. у — 1 - х , у — 0.

5. у - х — 0, у — -1 , х — 3.х

о7. у — 2 - х , у — х .

9. у 2 — 3х, ху — 9, у — 9.

4. х — у - 2, х — 0.2 36. у — х , у — х .

8. у — ех, у — е х, у — е.п10. у — б1п2х, у — 1, х — —

V

п п— < х < — 4 2 у

12. х — 4cost, у — 9sin t (0 < t < 2 п ) .11. у — ln х, х + у — 1, х — е .13. р — 4 (1 + co sp ).

Домашнее заданиеНайти площади фигур, изображённых на рисунках:

У

14. -4 -1

у — х + 4 х + 5

O x 15.

у*1\ 1

^ — 1 + х

-1 о 1 X

Найти площади фигур, ограниченных линиями:16. у — х2, у — 9. 17. у — ех, у — 0, х — 0, х — 2.18. у — х + 4х, у — х + 4. 19. Первым витком спирали р — р и полярной осью.

Дополнительные задачи для самостоятельной работыНайти площади фигур, ограниченных линиями:

20. р — sin2p. 21. р — р, р — 2р . 22. х = a cos t , у = a sin t.

Решение типовых задач Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой

у — - х + 4х + 5 и осью Ох (рис. 5.3).

2

128

< Найдем абсциссы точек пересечения параболы y = — x + 4x + 5 с осью O x : x1 = —1, x2 = 5.Используя формулу (5.3), получим:

5S — J (—x + 4x + 5) dx

—1 -3

г 3 Лx 2----- ъ 2x + 5x3

3—1

= — у + 2 • 52 + 5 • 5 + — 2 •(—1)2 — 5 •(—1) =

125 1= ------ + 50 + 25-------2 + 5 = 36. >

3 3

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной прямымиx = 0,x = 2 и кривыми y = 2x, y = 2x — x2 (рис.5.4).

2 *< Так как максимум функции y = 2x — x достига- y n

ется в точке x = 1 и равен 1, а функция y = 2x > 1

на отрезке [0;2] , то 2x > 2x — x2 при x е [0; 2].Используя формулу (5.4), получим:

2

4

S = J 2x — (2x — x2) dxln2

x0 v У

1

O 1 2 Рис. 5.4

x

In 2 3Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной параболами

x = —2 y 2, x = 1 — 3 y 2 (рис. 5.5).< Решая систему уравнений о 2x = —2y , „ ..найдем ординаты точек

x = 1 — 3 y 2, x =пересечения кривых У1 = — 1, y2 = 1.Так как 1 — 3 y 2 > —2y 2 при —1 < y < 1, то по формуле (5.8) получим

1„. . . _ ( . 3 \S = J (1—3у2 )—(—2у2 )

—1dy = 2 У-

У'

v

У' i

1 x = 1 —

1 1 ^^ ^ 1 x—1

с.иР 5.5

4= - . >

3

0

129

Пример 4. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды x = a ( t — sin t ), y = a (l — cos t ),0 < t < 2n и осью Ox (рис. 5.6).< По формуле (5.6) имеем

2nS = | a (l — cost)-a (l — cost)d t =

02n

= a2 J (l — cos t ) dt =

2n,= a 2 Л - - 2 cos t p

1 p cos2t2

dt = a2

0

3 1—t — 2sin t p —sin2t2 4 у

2n= 3na 2

0Пример 5. Найти площадь лунки, ограниченной дугами окружнос-

стей р = 2а cosp, р = 2а sinp, 0 < р < n2

a > 0.n

< Окружности пересекаются при р = —; рас

сматриваемая фигура (рис.5.7) симметрична от

носительно луча р = К . Следовательно, ис- 2a cosp 4

пользуя формулу (5.7), площадь можно вычис- Рис. 57 лить следующим образом:

К/— 4 /1 1 1

S = 2- — J 4a2 sin2 p d p =2a2 J (l — cos2p)dp =2a2 р — sin2p

a2 . >J

Ответы

52 4 8yfl . 1 9 „о m о1. 4,5. 2. — . 3. - . 4. ——. 5. 4 — ln3. 6. — . 7. - . 8. 2. 9. 78 — 9 ln 3 .3 3 3 12 2

n — 2 e2 — 2 e p 3 n o 10 .------ . 11 .--------------. 12. 36n. 13. 24n. 14. 6. 15. —. 16. 36. 17. e2 — 1

4 2 2

18. — . 19. 4 n 3. 20. n . 21. — . 22. - n a 2.6 3 2 120 8

0

130

Занятие № 28. Длина дуги кривой. Объём тела вращения Основные понятия: плоская, гладкая, спрямляемая кривые, понятие

длины дуги кривой, формулы для нахождения длины дуги кривой, объем тела вращения [1, с. 201-204].

Если плоская гладкая кривая задана уравнением y = f (x), то длина

ее дуги l от точки A (a, f (a )) до точки B (b, f (b )) (a < b) вычисляется по формуле

l = jV 1 + ( f '( x ))2 d x . (5.8)a

При параметрическом задании гладкой кривой уравнениями x = x (t ), y = y ( t) (t1 < t < t2 ), длина ее дуги l вычисляется по формуле

l = j V( x02+(y't?dt. (59)t1

Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением p = p ( p ) , a < (p < ( , то длина дуги равна

l = J ^ P 2 + (P p)2dP. (510)a

Объем Vox тела, образованного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x) > 0, осью абсцисс и прямымиx = a и x = b (a < b ), вычисляется по формуле

bVOx = x j f 2 (x) d x . (5.11)

aЕсли криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной

функции x = p ( y ) > 0 и прямыми x = 0, y = c , y = d (c < d ) , то объемтела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси O y , равен

dVOy = ^ J p 2 (У) dy . (5.12)

ЗадачиНайти длину дуги кривой:

/ 3 ^1. y = 2у (x — 1) от x = 1 до x = 4. 2. x = 5cost , y = 5sin t , — < t < — .

3. x = 1 13 — t , y = t2 + 2, 0 < t < 3. 4. p = ep , р е [0 ;ж ] .

6

c

131

п5. у — ln (cos х ), заключённой между точками с абсциссами х — 0 и х — —.

6. р — р (первого витка спирали).3 37. х — a cos t , у — a sin t (астроиды).

Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной заданными линиями:8. у — 2х - х2, у — 0. 9. у — 2х, у — 4, х — 0.

10. у — 4х - х2, у — 2х . 11. у — (х - 2)2 , у — 16.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигу

ры, ограниченной заданными линиями:12. у 2 — 4 - х , х — 0. 13. х + у — 4, ху — 3. 14. у — х , ху — 1, х — 0, у — 4.

Домашнее заданиеНайти длину дуги кривой:

15. у 2 — х3 от точки О (0; 0) до точки C (4; 8).t t п / \ 2п16. х — е cost , у — е sin t , 0 < t < —. 17. р — 8 (1 - co sp ), ------< р < 0.

2 318. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями ху — 1, х — 1, х — 2 , у — 0.

Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями:19. у — х3, у — 1, х — 0. 20. у — х2 +1, у — 3 х -1 .


Найти длину дуги кривой:п

21. х — 3(cost + 1sin t ), у — 3(sin t - 1cost ) ,0 < t < —.

п п п п22. у — 1 - ln(sin х ) , —< х < —. 23. р — 1 - sinp , - — < р < - —.

Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями:24. у — е-2 х , у — е- х, х — -1 . 25. у — х2 + 2 х , х — -3 , у — 0.

Решение типовых задачУПример 1. Найти длину дуги полукубической параболы у — х^2 от

х — 0 до х — 5.

132

V 3 1/< Так как y = x72 и y ' = — x ' 2, то по формуле (5.8) получим

V 5 г 9 ^32 1 p — xl = j^/l p ( у )2 -x = {■J- p 9 xdx = — 1

о о * 4 27 v J

33527

0Пример 2. Найти длину дуги одной арки циклоиды ( рис. 5.8)

x = a (t — sin t ) , y = a (l — cos t ) , 0 < t < 2 n .< x = a (l — cos t ), y = a sin t . При измененииx от 0 до 2 n a , параметр t меняется от 0 до 2 n . Тогда, используя (5.12), имеем

2n I-----------------------l = J a J (l — cos t ) p sin2 tdt =

02— ________ 2— f 2n

= a J V2 — 2cos tdt = 2a J sin—dt = = —4 a cos—0 0 2 2 0

Пример 3. Найти длину кардиоиды р = a (l p cosp) ( рис. 5.9).< Кардиоида симметрична относительно полярной оси. Найдём половину длины кардиоиды по формуле (5.10):

l = I a la (1 p c o s p 2 / / ' чч2

= 8а. >

— l = J ■sja( lp c o s p )2 p ( a (—sinp ))2d p =

n n n= 4a.= a | 2 p 2 cos p d p = 2a J cos — d p = 4a - sin —

0 0 2 2

Таким образом, = 4a => I = 8a. >

Пример 4. Вычислить объём тела, полученного вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной линиями xy = 6, x = 1, x = 6, y = 0 (рис.5.10).

<i Из уравнения гиперболы xy = 6, ограничивающей сверху данную трапецию, находим выражение для у и применяем у формулу (5.11):

636 f о . -Vox = n J ~ dx = —36 n -~

x x

6

- - -I= —36 j - = 307t. >l V6 J

1 6 xРис. 5.10

l

133

у

4.2 / у 2 — 8х стемы уравнений:

у — х.2

Пример 5. Вычислить объём тела, полученного вращением вокруг2 2оси Оу фигуры, ограниченной параболами у — х и 8х — у .

< Построим графики заданных функций ( рис. 5.11). Найдём ординаты точек пересечения двух парабол, исключив х из си-

2> ^ ^

Получиму 2 — 8 х.

у 1 = 0, у 2 = 4. Искомый объём равен разности двух объёмов: объёма V , полученного вращением криволинейной трапеции, ограниченной параболой у 2 — 8х , (0 < у < 4), и объёма V2 , полученного вращением криволинейной трапеции, ограничен

ной параболой у — х2 (0 < у < 4). Для вычисления V и V2 используемформулу (5.12): Гоу — V1 - V2 —

Л

о 2Рис. 5.11

x

4 4 4 2— п | ydy - п | — dy — п —

0 0 64 2п у

0 5 • 64о 16 24

= = о7Г-------71 = -----71. >5 5

Ответы

1. — (5 6 ^ 7 - 1 ) . 2. - п. 3. 12. 4. V 2 (е п - 1 ) . 5. ln

6. i 2 + f -1

3п* IT

1,5 ^ „ 16 32ln4 -15 27. 4 a . 8. — п. 9. п ---------------. 10. 22—п.15 ln4 5

11. 16382 п . 12. 512п. 13. —п. 14. — . 15. — 5 15 3 12 27

(1^Л/Гй - 1).

_ о 2

16. у[2(е2 -1 ) . 17. 16. 18.п . 19. - п . 20. п . 21. — . 22. ln>/3.2 5 2 6

( 1 1 4 1 2 1 о 8— + — е — е . 25. 2 — п.14 4 2 J

2

23. V 6 -л /2 . 24. п-15

Занятие № 29. Несобственные интегралы Основные понятия: определение и вычисление несобственных ин

тегралов I и II рода [1, с. 209-214].Интегралы с бесконечными пределами (I рода). Пусть функция f (х)

определена на промежутке [ a; +ад) и интегрируема на любом (конечном)

134

отрезке [ a; b ]. Тогда несобственный интеграл от этой функции в пределах от a до +ад определяется равенством

+ад b[ f (x ) dx = lim [ f (x ) dx .

b +x> a aАналогично определяются интегралы:

b b [ f (x) dx = lim [ f (x) d x ;

a——ад —ад a+00 с bf f ( x ) d x = lim \ f ( x ) d x + lim \ f ( x ) d x , c e D .

C l— ^ —GO Ь — ^-+GO—ад a сЕсли пределы в правой части этих формул существуют и конечны, то

несобственные интегралы называются сходящимися. В противном случае - расходящимися.

Интегралы от неограниченных функций (II рода). Пусть функция f (x) ограничена, интегрируема на любом промежутке [ a; b — s ] , где0 < s < b — a , и имеет бесконечный разрыв в точке b . Тогда по определению полагают

b b—sJ f ( x) dx = lim J f (x ) dx .a S^ +° a

Аналогично, если точка a является точкой бесконечного разрыва, то b b j f (x ) dx = lim J f (x ) d x .a s^-+0 a +s

Если функция f (x) имеет бесконечный разрыв в точке c отрезка

[ a; b ] и непрерывна при a < x < c и c < x < b , то по определениюb c—s bJ f (x) dx = lim J f (x) dx + lim J f (x) d x .

£^•+0 n ^ + 0a a c+ц

Если пределы в правой части этих формул существуют и конечны, то несобственные интегралы называются сходящимися. В противном случае - расходящимися.

ЗадачиВычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

+ад j 0 j +ад 2 i +ад iс dx ^ r d x ^ r ^ . t r a x ^ r d x1. I . . 2. I ------ -. 3. I cos3xdx. 4. I -------. 5. I ----- -— .0 vX+Y —ад 4 + x 0 —ад x —3 2 x ln3 x

135

pro

I0- Idx

5 — x

,4 ' —Udx

x

pro6. | ln xdx . 7. j dx

x p 2 x p 2

pro pro. 8. | x - e_2xd x . 9. I -

0 5 V'

dx

Я7dx

11 Ь — г . 12 Jdx

4 ^ ( 4 — x )cos2 x

15. J1 x2 — 5

—d x .

i 3 . j

i6. |

5 V x — 4x — 4

dx(x — 3) ln (x — 3)

dx

x — 8 x

17. | e5xdx—ro0

21. f 0 ! ^ ^ 22. . 23. f ^ o U ^ d x . 24. 7—TO x2 p 1 j x — 1 sin3x p 1 0

Домашнее заданиеpro 1

18. I - * - .n 9 p x2

pro pro19. J sin 2xdx . 20. J x2 - 52 x dx .

0 0 „ —

cos3x dxx ln2 x

Дополнительные задачи для самостоятельной работыpro

25. Вычислить интеграл J x f (x)dx, если:

a) f ( x ) = e 2 , x e U ; б) f ( x) =0, x < 0,

2e“2x, x > 0;

в) f ( x ) =

1—, x e 2 [0; 2],

0, x £ [0; 2].

Решение типовых задачdxПример 1. Вычислить несобственный интеграл J ----- — или дока

1 p x2зать его расходимость.

0 dx 0 dx и < По определению имеем: J ----- - = lim J ----- - = lim arctgx\^ =^ 1 p x 2 a —ro a - p x 2 a —ro

lim (arctg0 — arctga) = 0 —с 71

a ^ —ro

71

V 2 J— ( интеграл сходится). >

l

5 2

0 0 4

0

0

2x

<

0

136

2 y dbiПример 2. Вычислить несобственный интеграл I .Y у/ х — 1

или доказать

его расходимость.< Подынтегральная функция имеет бесконечный разрыв в точке х — 1.2 хdх 2 хdх f 2 (х -1 +1) dх I ------ — lim I ------ — lim I -—!>/х -1 £—+01+£Vх -1 £—+0 L+£ л/х -1

— lim£—+0

V1+£

— lim£ —>+0'!■ < - - . ) * 2 + 2 4 х - 1

1+£ 1+£

2 , 8— — ь 2 — —. >

3 3

Ответып 11. Расходится. 2. —. 3. Расходится. 4. Расходится. 5 . ---- -—. 6. Расходится.4 2ln2 2

17. п. 8. —. 9. Расходится. 10. Расходится. 11. 3. 12. Расходится. 13. Расхо-

4п п . 4 1 п

дится. 14. —. 15. 0. 16 .---- arcsrn—. 17. - . 18. —. 19. Расходится.2 2 5 5 6

20. 25 . 21. —T— . 22. Расходится. 23. Расходится. 24. - ^ . 25. а) 0; б) 1 ; 3ln5 8 ln3 2

в) L

Контрольные задания по теме «Интегральное исчисление функции одной переменной»

Найти интегралы:

1- I1 - 3х + 2 х2

х-Idх. Ответ: х - 3х + ln |х| + C.

2. ь / г + 2 х^х. Ответ: — $ + 2 х )3 + C.

г зшх1х 1 , Ч3. I------------ . Ответ: — ln (7 - 5cos х ) + C.

5собх - 7 5с (3х-1 ) 1х 1 7,

4. I —------------ . Ответ: — ln х -1 +— ln х - 5 + C.1 х2 - 6 х + 5 2 2

137

Вычислить интегралы:

5. 1 1 +1 + *J~x 7

„ dx. Ответ: —. 2 4

e — 2

6. I ln x d x . Ответ: 1.

e 02 x +17. I xe x dx. Ответ:

0

9. I xdx_ . Ответ:------- 2ln2.41—>/x 3

10. Вычислить интеграл I f (x)dx, если f (x) =—1

1 x — 1 , 2 — 3ln38. I ------- dx. Ответ:4

—1; — 1 < x < 0,2; 0 < x < 1.

Ответ: 1.

11. На рисунке изображен график функции y = f (x )

и даны числа S i, S2 , S3 — площади указанных фигур. Найти значение ин- b

теграла I f (x)dx. Ответ: S1 — S2 + S3.a

12. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x — x и y = x .4

Ответ: — (кв. ед.).3

13. Найти объем тела вращения вокруг оси Ox фигуры, ограниченной ли-I------ пниями y = Vx — 1, x = 2, y = 0. Ответ: — (куб. ед.).

ln 214. Вычислить несобственный интеграл I = I exdx или доказать его рас-

—адходимость. Ответ: 2.

<

138

6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Занятие № 30. Функции нескольких переменных Основные понятия: функции двух и трех переменных, область опре

деления, область значений, график функции, линии уровня, поверхности уровня [1, с. 275-277].

Задачи1. Выразить объем z кругового цилиндра как функцию его радиуса x и высоты y .2. Даны функцииа) f (x; y ) — x2 y — 3y3 x +1, найти f (2; — 1);

б) z — ln (x — y 2 ), найти z (M ), если M (1; 0).

Найти область определения (и изобразить ее) функции:

3. z — x + y . 4. z — д/9 — x2 — y 2 . 5. z — Vx — y + ^x + y .x + 2

6. z — ln(2x — y ). 7. z — 4 — x — y +— 1 .*Jx2 + y 2 — 1

о ■ x . y _ fZZ 2 2 28. z — arcsin — + arcsin —. 9. u — V 25 — x — y — z .3 2 v

Описать поверхность, являющуюся графиком функции, и построить ее:10. z — 1 — x — y . 11. z — д/4 — x — y . 12. z — x + y .

Найти линии уровня функций и построить их:

13. z — x2 — y 2. 14. z — —.x

15. Найти поверхности уровня функции u — x + y + z .

Домашнее заданиеНайти область определения функции и изобразить ее:

^16 — x 2 — y 216. z — ln (— x — y). 17. z —

x + y/ 2 218. Построить график функции z — — д/9 — x — y .

19. Найти и построить линии уровня функции z — x y .2 2 220. Найти поверхности уровня функции u — x + y + z .

139

Дополнительные задачи для самостоятельной работыНайти область определения функции и изобразить ее:

x2 +л/У21. z — 4 — x + л/ V — 1 22. z — arcsin V

23. z — V— 2 x —.2

ln

X

л, _ 1 1 124. u — —;= H— t= +4 x TV 4 z

2 2 225. Найти поверхности уровня функции u — x + y — z .


Пример 1. Найти область определения функции z — 2 V2 2 x + у 1

< Областью определения данной функции будет множество точек (х; у) е □ 2 таких, что

2 у—----- ----- > 0. Выполнение этого неравенстваx + V

Рис. 6.1

1

возможно в двух случаях: У > 0,2 , 2 x + У

или1 > 0

Первой системе неравенств удо-У < 0,x2 + у 2 — 1 < 0.

влетворяют координаты всех точек, расположенных в верхней полуплоско-2 2сти у > 0, вне круга, ограниченного окружностью x + у — 1. Второй си

стеме неравенств удовлетворяют координаты всех точек, распо-ложенных в нижней полуплоскости у < 0, внутри того же круга. В обоих случаях точкиокружности в область определения не входят (рис. 6.1). >

2 2Пример 2. Найти линии уровня функции z — x + у .2 2< Для функции z — x + у , графиком которой

является параболоид вращения (рис. 6.2), семейством линий уровня служит множество концентрических окружностей с центром в точке0(0; 0j и сама эта точка: x2 + у 2 — C (C — const, C > 0j. >

140

Ответы1. z = n x2y. 2. а) 3; б) 0. 3. Вся плоскость, кроме точек прямой x = —2.

2 24. Круг x + у < 9. 5. Внутренняя часть правого вертикального угла, образованного биссектрисами координатных углов у = x и у = — x , включая сами

биссектрисы. 6. Часть плоскости, лежащая внутри параболы у = 2x , исклю-2 2чая точки самой параболы. 7. Кольцо 1 < x + у < 4 . 8. Прямоугольник

— 3 < x < 3; — 2 < у < 2. 9. Шар x2 + у 2 + z2 < 25. 10. Плоскость2 2 2x + у + z = 1. 11. Верхняя полусфера сферы x + у + z = 4. 12. Параболоид

вращения. 13. Семейство равносторонних гипербол с общими асимптотами у = ±x ; прямые у = x и у = — x . 14. Пучок прямых с вершиной в начале координат, за вычетом вершины. 15. Семейство параллельных плоскостей.

2 216. Полуплоскость x + у < 0. 17. Кольцо 0 < x + у < 16. 19. Семейство равносторонних гипербол с общими асимптотами x = 0 и у = 0 ; прямые x = 0 и у = 0. 20. Семейство концентрических сфер с центром в начале координат. 21. |x| < 1; |у| > 1. 22. Пара вертикальных углов |у| < |x| (x Ф 0).

23. Криволинейная фигура, ограниченная параболой у 2 = —2 x , исключая

точку (0; 0), и окружностью x2 + у 2 = 1, исключая точки самой окружности.24. Часть пространства, лежащая внутри первого октанта x > 0; у > 0; z > 0.25. Семейство однополостных гиперболоидов при и > 0; семейство двуполостных гиперболоидов при и < 0 ; конус при и = 0 .

Занятие № 31. Частные производные. Полный дифференциали его применение

Основные понятия: частные приращения функции, частные производные функции нескольких переменных, полное приращение и полный дифференциал, применение в приближенных вычислениях, частные производные высших порядков [1, с.284-291].

На примере функции z = f (x; у ):Аxz = f (x + Ax; у ) — f (x; у ); AyZ = f (x; у + Ау) — f (x; у ) — частныепри-ращения по x и у.dz ,. A xz dz . А yz— = lim ; — = lim —-----частные производные по x и у.dx Ax 0 Ax ду Ау 0 АуЧастные производные, рассматриваемые как функции двух переменных, обозначаются следующим образом:

dz dzf x (x; у ). f y (x; у ) или zx . zУ или •

141

Az — f ( x + Ax; y + Ay ) — f (x; y )—полное приращение функции z — f (x; y ).Полный дифференциал функции z — f (x; y ) в точке M (x; y ):

d^ dzdz ( M) — — (M ) dx + — ( M ) d y . (6.1)

dx dydu du du

du ( M ) — — ( M ) dx +-----( M ) dy +----- (M ) dz — полный дифференциалdx dy dz

функции трех переменных u — f (x; y; z ) в точке M (x; y; z ).Для приближенного вычисления значения функции двух переменных используют формулу:

df df (xo + Ax; —о + a— )~ f (xo; —o) + — (xo; —o)Ax + f (xo; —o)a—. (6.2)dx dy

Определения и обозначения частных производных второго порядка функции двух переменных:

d (dz"'

df

dx

ddx

vdx у

dz

d2 z _ d (dz^~~T — J xx ; ~Z~dx2 dy vdx

d 2 z— f " •J xy ■>

d 2 z d

vd— у

В случае непрерывности

— f " • —

dydx dy(_dz

v? — у

dxdy

— f "2 Jyy •d 2 z

d 2 z d 2 zdxdy d—dx

ЗадачиНайти частные производные первого порядка по каждой из независи

мых переменных:1. z — x4 + 3xy2 + y 5. 2. z — 2xy.

3. z — y sin(2x + 3y ). 4. u — In(x2 — y 3 + z4).

5. Дана функция z — (2x + 3y )4 . Найти z'x (M ), z— (M ), если M (1; — 1).Найти частные производные второго порядка:

6. z — ln (x + 3 y ). 7. z x +3 y — e J .

8. Проверить, что^2 d z 2d z 3 5если z — x y .

dxd— d—dxНайти частные производные 1-го и 2-го порядков данных функций:

9. z — xy — 10. z —x

cos(x )

y11. Показать, что функция z — In (x + e y ) удовлетворяет уравнению

142

dz d z dz d z----------------------- — = 0.dx дxдy дy dx2

Найти полный дифференциал первого порядка функции 12. z = x4 у 2 — x3 у 3 + x2y 4. 13. и = xy2z3.14. Заменяя приращение функции дифференциалом, приближенно вычислить ln (3/163 + 4^9 8 — 1).

Домашнее задание15. Найти частные производные 1-го и 2-го порядков функции z = x sin у.

x16. Найти частные производные второго порядка функции z = arctg— и доу

казать, что данная функция удовлетворяет уравнению z"xx + z ” = 0.17. Показать, что функция z = cos(x + 3 у ) удовлетворяет уравнению

»2z —9 » 2 z= 0dv2 dx2 '

18. Найти полный дифференциал первого порядка функции z = (x2 + у 5 ) в точке M (1; 1).19. Заменяя приращение функции дифференциалом, приближенно вычислить д/1,983 + 1,032 .

Дополнительные задачи для самостоятельной работы20. Найти частные производные 1-го и 2-го порядков функции

' 3 ^z = cos2

21. Показать, что функция z = sin(x—у) удовлетворяет уравнениюx

d ( 2 dz^ xdx dx

x 2 . 4 = 0.дy 2

22. Показать, что функция z = In (x2 + у 2 + 2x + 1) удовлетворяет уравнениюd2 z d2z Лапласа: — - ч---- - = 0.dx2 дv2

x

23. Найти полный дифференциал первого порядка функции и = y z .24. Прямоугольный параллелепипед имеет измерения: a = 6 м, b = 3 м, с = 2 м. Как приближенно изменится длина диагонали параллелепипеда, если а увеличить на 2 см, b - на 3 см, а с уменьшить на 4 см?

143

Решение типовых задач Пример 1. Найти частные производные функции

z = 2x - 3у 2 + 5xy3 - ex .

dz 2 з< Считая y = const, получим: — = 6x + 5y - ye xy. Полагая x = const,dx

dz , л 2 x v получим: — = -6 у +15xy - xe * . >dv

Пример 2. Найти частные производные функции z = xy (x > 0).гг dz dz ( V V V-i< При вычислении — считаем у = const: — = x ) x = yx^ , при вычис-

dxdz

dxdz j у Y у

лении — считаем x = const: — = x ) у = x ln x . >dy dv

Пример 3. Найти частные производные второго порядка функции

z = In (x2 + у 2 ) и доказать, что данная функция удовлетворяет уравнению Лапласа: zxx + z уу = 0.

dz 2 x< Найдем частные производные первого порядка: — = —----- -,

dx x + уdz 2 Уdy x2 + у 2

. Тогда, дифференцируя повторно, имеем:

d 2 z d ' 2 x ^

<Nx1221

c(212y+2<N1

dx2 dx

d 2 z d

4x 2 + у 2у

" 2 У 1

(x2 + у 2 ) (x2 + у 2 j ’

_ 2(x2 + у 2) - 2у • (2у ) _ 2(x2 - у 2)dy2 dV

d 2 z d

Vx2 + У2 у

_ 2 x

(x 2 + у 2 (x

- 4 xy d2 z d

C2 + у 212 ’

f 2 у ^dxdy dy v x 2 + у 2

l

2?V+2

1

4 x 2 + У 2 у

- 4 xy

(x2 + у 2Гd2z d2z

Легко заметить, что функция z = In (x2 + у 2 )Очевидно, чтоdxdy dydx

удовлетворяет уравнению Лапласа:d2z ^ d2z 2(y2 - x2 ) 2(x2 - у 2 ) 2у 2 - 2x2 + 2x2 - 2у 2

dx2 + л. .2dV2 (x2 + у 212 (x2 + у 212 (x2 + у 212

0. >

144

Пример 4. Найти полный дифференциал функции z = ln tg у ) .dz 1 1 2 у

< Найдем частные производные: — = — —г ----- ——- • у — —dx tg^ у ) cos2 (xy) sin(2xy),

dz 1 1 2xx = ^ ^ ---- г . Тогда по формуле (6.1) полный диффе-ду tg (xy) cos2 (xy) sin(2xy)

ренциал равен: dz = — 2у—г dx ч-----2x—г d y , dz = — -2— г d x + xdy). >sin (2 xy) sin (2 xy) sin (2 xy)

3 02Пример 5. Вычислить приближенно 1,01 ’ .< Рассмотрим функцию z = xy . Искомое число будем рассматривать как значение этой функции при x = 1,01 = x0 + Ax, у = 3,02 = у0 + Ay. Еслиx.0 1, у0 = 3, то Ax = 0,01, Ay = 0,02. Найдем f (1; 3) = 13 = 1,d f (x; у ) = fx (x; у )Ax + f l (x; у )Ay = yxy 1 Ax + xy In xAy,уd f (1; 3) = 3 • 12 • 0,01 + 13 • ln 1 • 0,02 = 0,03 . Тогда, используя формулу (6.2), получим f (1,01; 3,02) = 1,013,02 * f (1; 3) + d f (1; 3) = 1 + 0,03 = 1,03. >

Ответы

1. — = 4x3 + 3у 2; — = 6xy + 5у 4. 2. — = у 2x'ln2; — = x21>’ln2. dx ду dx дуdz dz

3. — = 2у cos(2x + 3у ); — = sin(2x + 3у ) + 3у cos(2x + 3у ).dx дy

, ди 2x ди —3у2 ди 4z34. — - • - ^ -dx x2 — у 3 + z4 ’ ду x2 — у 3 + z4 ’ dz x2 — у 3 + z4

5. zx (M ) = —8; zу (M ) = —12. 6d2z 1 d2z 3

-у - 2 / „ \2 ’ „ \2 ’dx2 (x + 3 у )2 dxду (x + 3 у )2

d2z 9 - d2z ~ 2\ x2 +3у. _ d ! l ^ _ x 2 +3у.= 2 (1 + 2 x2 )7. — - = 2(1 + 2x2 ) +3у; ------= 6xeду2 (x + 3 у )2 dx2 v ’d2z x2+3 у dz у dz 1 d2z 2у d2z 1_ = 9 ex +3у. 9. — = у + А г ; — = x ^ ; — r = — f ; ------= 1 + — ;ду2 dx x2 ду x dx2 x д^ду x2d2z Л л Л dz _ 2x sin x2 dz cos x2 d2z _ 2(sin x2 + 2x2 cos x2)ду2 = . . dx = “ ; ду = ; dx2 = — у ;d 2 z 2 x sin x 2 d 2 z 2 cos x 2д^ду у 2 ; ду2 у 312. dz = xy (( 4 x2 у — 3xy2 + 2 у 3 ) dx + ( 2 x3 — 3x2 у + 4 xy2 ) dy ).

145

13. du — y z 2 (yzdx + 2xzdy + 3xydz). 14. « 0,005 . 15. — — 3x2 sin y ;dx

dz 3 d2z . d2z 2 d2z 3 .— x cos y ; — - — 6x sin y ; ------— 3x cos y ; — - — — x sin y .dy

16. d 2 z dx 2

d x 2

2xy d 2 z

dxdy

2 xy

(x2 + —2) 2 ’ d—2 (x2 + —2) 2

dy—

18. dz — 24dx + 60dy . 19. « 2,97.

d 2 zdz dz 3 d z20. — — — 2sin (4x + 3 y ); — — — sin (4x + 3 y ) ; — - — —8cos(4x + 3 y ); dx dy 2 dx2

f)2 Р)2 Qz -6 cos(4 x + 3 y ); — — — — cos(4 x + 3 y ).

dxdy 2

23 du — y zV i 1 \ln y , x , x ln y '-----dx +----- d y ------ — dz

z y z z 224. Увеличится на 2 см.

Занятие № 32. Дифференцирование сложных и неявных функций Основные понятия: частные производные сложной функции двух пе

ременных, полная производная, дифференцирование неявных функций одной и двух переменных [1, с. 288-291].

Дана функция z — f (x; y ), аргументы которой есть функции одной независимой переменной t : x — x(t) и y — y(t) (рис. 6.3).

x f Если функции x — x(t) и y — y(t) имеют производные в У t точке t , а функция двух переменных z — f (x; y ) в соот-

Рис 6 з ветствующей точке (x; y ) дифференцируема, то производная данной сложной функции по переменной t имеет

вид:dz dz dx dz dy— —-------- + ------- . (6.3)dt dx dt dy dt

Для функции z — f (x; y ) при условии, что y — y (x), ее полная произ-x водная по x равна

и

V

Уdz dz dz dy dx dx dy dx

Рис. 6.4

x Для сложной функции z — f (u; v ), где u — u(x; y) и y v — v(x; y) (рис. 6.4), частные производные определяются

по формулам:

dz dz du dz dv dz dz du dz dv dx du dx dv dx ’ dy du dy dv dy

(6.4)

146

z

Если уравнение f (x; у ) = 0 определяет функцию у = y(x), то производная этой неявно заданной функции в точке x0 находится по формуле:

dydx

fx(x0; у0) (6.5)x=x0 f у (x0; y 0 )

при условии, что fy(xQ; У0) * 0, где У0 = y f e ) и f ; У0) = 0.Пусть уравнение F (x; у; z ) = 0, определяет функцию z независимых

переменных x и у . Частные производные этой неявной функции z = z(x; у ) в точке M (x0; У0) вычисляются по формулам:

dzdx

Fxc(x0'; У0; z0) dzFz (x0 '; У0; z0V dVM = M0 1 z Vx0; y0; z0

F V(x0; У0; z0)

M =M0 Fz (x0; y0; z0 )при условии, что F ^ ; У0; z0 ) * 0, где z0 = z(x0; У0 ) и F (x0; У0; z0 ) = 0.

Задачиdz 3 2 21. Найти — , если z = e x- y , где x = tg t , у = t - 1.dt

_ TT „ du 3 2 22. Найти — , если u = x у z , где x = t , у = t , z = sin t .dt

3. Найти частную производную — и полную производную — функции/ х dx dx

z = In (ex + ey ), где у = x3.dz dz 2 24. Найти — и — , если z = u v - v u , где u = x cos у , v = x sin у .dx dy

5. Найти — и — , если z = u2 In v , где u = x , v = 3x - 2у .dx dy у

6. Найти — , если z = (l + u2 ) , где u = u(t), v = v(t) - дифференцируемыеdt

функции.

7. Найти производную — функции у = y(x), неявно заданной уравнениемdx2 2 4 4 луг x у - x - у = 16 .

8. Найти производную — функции у = y(x), неявно заданной уравнениемdx

x 2e 2 у - у 2е 2 x = 0.

9. Найти частные производные — и — функции z = z(x; у ), неявно задан-dx dy

2 2 2 ной уравнением x + 4у + 9z - 36 = 0.

147

10. Найти частные производные — и — функции z — z(x; y ), неявно за-dx dy

данной уравнением ez — xyz — 0.dz dz

11. Найти частные производные — (M ) и — (M ) в точке M (0; 1) функцииdx dy

z — z(x; y ), неявно заданной уравнением z2x — x2y + y 2z + 2x — y — 0.12. Найти полный дифференциал первого порядка функции z — z(x; y ), не-

2 2 2 x y z , явно заданной уравнением — + — + — — 1.

Домашнее заданиеdz 2 2 t13. Найти — , если z — x + y + x y , где x — sin t , y — e .dt

* TT ~ dz dz 7 2 214. Найти — , — и d z , если z — u — v , где u — x cos y , v — x sin y .dx dy

15. Найти производную — функции y — y(x), неявно заданной уравнениемdx

xe2 y — y ln x — 8 — 0.

16. Найти частные производные — и — функции z — z(x; y), неявно за-dx dy

3 2данной уравнением z + 3x z — 2x y .17. Найти полный дифференциал первого порядка функции z — z(x; y ), не

явно заданной уравнением x + y + z — e~(x+y+z).


18. Найти — и — , если z — f (u; v), где u — ln (x2 — y 2), v — xy2, f - диф-dx dy

ференцируемая функция.u19. Показать, что функция z — arctg—, где u — x + y , v — x — y , удовлетво-v

dz dz x — y ряет уравнению---- 1---- --

dx dy x2 + y 220. Найти полный дифференциал первого порядка функции z — f (u; v), где

2 yu — x y , v — x^ .dz dz21. Найти — и — в точке (— 2; 1; 2), если z3 + x2 — 4yz — 4 — 0.dx dy

148

д2 z д2 z д2 z z22. Наити — - , ------и — - , если х + у + z = е .дх2 дхду ду2

Решение типовых задач Пример 1. Найти частные производные функции z = ху , если х = tg t ,

у = sin t .

у-1< Найдем частные производные данных функций: — = у • хдх

дz у л dx 1 dy 1 ~ ^ „ч— = х^ • in х ; — = ---- — ; — = cost и воспользуемся формулой (6.3):ду dt cos21 dtdz — = у • х dt

у-1 ---- + хУ • i n - - -------------- - - - sin t-1 1• X - •

cos2 1х* • in х • cos t = sin t • tgt

cos2 t+

+ tgtsin t • in tgt • cos t = tgt sin t 1+ cos t • in tgt . >

v cos tПример 2. Найти частные производные функции z = eu • sin v , если

и = х • у , v = х + у .

< Найдем частные производные данных функций: — = еи • sin v ,ди

дz ди ди дv . дv— = е • cos v ; — = у , — = х ; — = 1, — = 1 и подставим их в формулыдv дх ду дх ду

дz(6.4): — = е • sin v • у + е • cos v -1 = уе у sin( х + у) + е у cos(х + у ) ,дх

дzду

= е • sin v • х + е • cos v • 1 = хе у sin( х + у) + е у cos(х + у ) . >

Пример 3. Найти — , если (х2 + у 2 )3 - з(х2 + у 2) + 1 = 0.<Лх

< Обозначим f (х; у ) = (х 2 + у 2 - з(х2 + у 2 ) + 1 и найдем частные производные этой функции:

fXc = з(х2 + у 2 )2 • 2х - 3 • 2х = 6х (х2 + у 2 )2 -1Vг.

УЛ

f y = з(х2 + у 2 ) ^ 2у - 3 • 2у = 6у((х2 + у 2 - 1V У

dy6 х

Тогда по формуле (6.5) получим: — = - ,^ 6 уГ(х 2 + у 2 }

((х2 - у 212 - 1)

7w T j dV

X= — . >

у

149

Пример 4. Найти частные производные — и — функции z — z(x; y ),dx dy

2 2 2 л r\заданной неявно уравнением x + y + z — 1 — 0 ./ \ 2 2 2< Пусть F (x; y; z) — x + y + z — 1. Найдем частные производные функ-

т-v \ dF dF dFции F (x; y; z): — — 2x, — — 2y, — — 2z и по формулам (6.6) получаем: dx dy dz

dz x dz y— — — , — — — всюду, где z Ф 0 , то есть кроме точек окружности dx z dy z

2 2x + y — 1, расположенной в плоскости z — 0 . >

ОтветыJ dz _ 3tgt—2t2 + 2t

dt3 At + 2

Vcos2 t уT 3x r x , о„2 x

. 2. dT — t7 (8sin t + 1 cos t ).

_ dz e dz e + 3x e t dz 3 3 . _ / . 43. — — —------; — —------------— . 4. — — - x sin 2y(cosy — sin y );

dx ex + ey dx e x + e x dx 2

dz— — x3 (sin y + cos y ) 1 — sin 2y . 5. — — —- ln (3x — 2y ) + ^ --------- -;dy "Л 2 J dx —2 V —2 (3x — 2 y )

dz 2 x 2 ln (3x - 2—) 2 x 2d— y y (3x — 2y )

2V—1 du ( 2у / 2\ dv x (— 2x )6. 2uv(1 + u ) •-----+ (1 + u ) • ln(1 + u )• — . 7. — ----------- t

V ; dt V ; V ’ dt u 2 2 xy ( 2 y 2 — x 2 )

„ y 2e2x — x e2y Л dz 1 x dz 2 y Л dz yz dz xz8. — 9. — —------ ; — — — —. 10. — - ' -

x2e2y — y e 2x dx 9 z ’ dy 9 z dx ez — x— dy ez — xy

11. * (M ) ——3, (M ) = —1. 12. — ^ dx — dy.dx dy z 3z

13. sin 2t + 2e2t + et (sin t + cos t). 14. —z — 2x cos 2y ; —z — —2x2 sin 2y ;dx dy

e 2 — — —dz — 2x(cos 2ydx — x sin 2 ydy). 15 .---------- . 16. — — 2 6xz\ ;

ln x — 2 xe2 y dx 3(x 2 + y 2 )

150

2 x2 2 x - у

f u(u; v) + у 2 • Л («;v);* = 2x . 17 - dx - d y . 18 *dy 3(x2 + у 2 ) dx

^ = 2 xy • f v(u; v) — • f u(u; v) .dv x2 - у 220. f (u; v)- (2xydx + x 2dy)+ f v'(u; v) • (yxy 1dx + xy In xdy).

_ dz dz . . d2z d2z d2z x + у + z21. — = 0,5; — = 1. 22. - - - 'dx dy dx dxdV dy (x + у + z - 1)

Занятие № 33. Скалярное поле Основные понятия: скалярное поле и его геометрическое изображение,

функция поля, производная по направлению, физический смысл, градиент, его свойства, касательная плоскость и нормаль к поверхности [1, с. 292-296].

Формула для вычисления производной дифференцируемой функции и = F(x; у; z) скалярного поля в точке Р{х\, y ;z ) по направлению

s {cosa; cos(3; cosy}:

du dF dF dF(P) = d F (P) cos а + — (P) cos p + — (P) cos y.ds dx dy dz

Если скалярное поле плоское (функция поля z = f (x; у ) ), то производная по направлению имеет вид:

dz df df— = — cos« + — cos В , (6.7)ds dx dy

где cos а и cos (3 - направляющие косинусы вектора s .Г радиентом скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией

и = F (x ; у; z ) , называется вектор, равныйди - ди ди

grad и = — i н-----j лdx dy dz

к

или grad и =d x ' dy' dz

Скорость наибольшего возрастания поля в данной точке равна

grad иV я. Л2d uvdx у

+r du^ 2

у+ f дил 2

v dz уДля плоского скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией z = f (x ; у ), градиент определяется формулой:

dz - dzg ra d z = — i -1---- /.

dx dy(6.8)

151

Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением F(x; y ;z) = 0, в точке PQ (хо> Уо'^о)иРи условии, что gradF(P0) Ф 0, имеет вид:

F (Ро)(х - хо) + F; (Ро)(у - уо) + F;(Po)(z - zo) = 0. (6.9) Канонические уравнения нормали к поверхности в точке Pq :

х - хо _ у - уо _ z - z0 F ( Po) = f; ( Po)=F '( Po).

1. Найти производную функции и = {х3у 2 — 1 + In (у + г) в точкеЗадачи

и = {х3 у 2 - IJz + in[v + z) в М (1; 2; - 1) по направлению вектора ? = (1; - 2; 2).

2. Найти производную функции z = х3 - Зх2у + 3ху2 +1 в точке M (3; 1) в направлении, идущем от этой точки к точке N (6; 5).

3. Найти и построить градиент функции z = х2 + у 2 в точке M (3; 2).

4. Найти градиент функции и = ех+2у + xln z в точке Л/(1; 0; l).5. Для функции z = х\п у найти точку (х0; у 0), в которой g ra d z = i + 2 j .

( 2 ^6. Найти все точки, в которых модуль градиента функции z = (х + у ) 2 равен 6 .

2 2 27. Найти угол между градиентами функции и = х + у + z +1 в точках

A

8. Найти наибольшую скорость возрастания скалярного поля и = 2х3у - 3yz + 4z2 в точке N (1; 2; -1).9. Найти единичный вектор нормали к поверхности уровня скалярного поля и = х2 - у 2 + 2z 2 в точке Mq (1; -1; -1 ).10. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к однополостно-

2 2 2 / \ му гиперболоиду х + 2у - z - 5 = 0 в точке Pq (2; -1; 1).Домашнее задание

хТ

3х11. Найти производную функции z = —у в точке M (3; 4) по направлению

Увектора s = -3 i - 4 j .

12. Найти производную функции и = х2 - 2xz + у 2 в точке A(1; 2; -1 ) по направлению, идущему из точки A в точку B(2; 4; - 3).152

13. Найти все точки, в которых модуль градиента функции2 2z — x + y + 2 x — 4 y + 5 равен 2.

14. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности2 2 / \ z — 3x — 2y + xy — x + y в точкеP0 (x0;y0;z0), если x0 — 1, y 0 — 3.


в точке M (1; — 2) по15. Найти производную функции z — arcsin

направлению вектора s = 5i -1 2 j .

16. Найти и построить линии уровня скалярного поля z = {х — у )2. Найти и

построить вектор grad z в точках - 1) и B(1; 1).

17. Для функции z = 2х log 2 е + у In у — 1х — 5у + 8 найти точку (х0; у 0 ), в

которой grad z = 9i —4 j .

1 ( 2 2 2 \18. В каких точках градиент поля u — — (x + y + z ) — xyz перпендикуля-2 , 2 , 2I x2

рен оси Oz ?2

19. К поверхности z — 5x + 6xy проведена касательная плоскость, параллельная плоскости 4 x + 6y — z + 2 — 0. Найдите координаты точки касания.

Решение типовых задач Пример 1. Найти производную функции z — xy в точке P(5; 1) в

направлении от точки Р к точке Q(7; — l).

< Найдем вектор s = PQ и его направляющие косинусы: P Q {2; —2],

— ► I------ г 2 л/2 - 2 42PQ =V4 + 4 = 2 V 2 ; cosа = ^ = — , cos/?

dzНайдем частные производные функции в точке P : —

dx

2 4 2 2 ’ 2л/2 2 '

— —Ip —1>

dz—у

— xP

— 5. Тогда по формуле (6.7): — — 1-------+ 5P ds

PГ rz \

— — 2 - й .v 2 у

Знак минус показывает, что функция в данной точке в данном направлении убывает. >

153

Пример 2. Дана функция z = x + x y . Определить градиент в точке M (-1 ; 2) и его модуль.

< Вычислим частные производные функции: —dx = (1 + У) m = 3

Mdzdy

= x| = -1 . Следовательно, по формуле (6.8) градиент функции в точкеM

М (-1; 2) можно записать в виде: grad z = 3i - j , а его модуль равен

grad z = л/9 + 1 = -\/lO. >Пример 3. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к

2 У2 / \эллиптическому параболоиду z = x + —~ в точке P0 (1;-2;3).

2/ \ 2 У< Запишем уравнение поверхности в виде F (x; у; z ) = x + — - z = 0. То

гда F'x (x; у; z) = 2x, F'y (x; y; z) = y, FC (x; y; z) = -1 и, следовательно,

F'x (P0) = 2, Fy (P0) = -2. Используя формулу (6.9), запишем уравнение касательной плоскости 2 (x - 1) - 2 (у + 2) - 1(z - 3) = 0 или 2x - 2у - z - 3 = 0.

x — 1 У + 2 z — 3 Уравнения нормали имеют вид: =— — =— —.

Ответы

1. 2. 0. 3. 6i + 4j . 4. ei + 2ej + к. 5. (e\ 2e). 6. Точки, лежащие на окруж-

- 1 1 - 2 ^ности x2 + у 2 = 2. 7. 135° . 8. л/365 . 9.

VV6 Те л/6,10. 2x - 2у - z - 5 = 0 - уравнение касательной плоскости,x - 2 у +1 z -1 9 16------ =-------=--------уравнения нормали. 11. — . 12. — . 13. Точки, лежащие

4 -4 -2 80 3на окружности (х + 1)2 + (у - 2)2 = 1. 14. 8х -1 0 у - z + 12 = 0,х — 1 у - 3 z + 10 4. 15 .-------1= . 16. х - у = С ; grad z = 4i - 4 j ;

8 -10 -1 ' ' 13V3 g ra d z\ = 6 . 17. (4; l). 18. В точках гиперболического параболоида z = x y .

19. (1, -1 , - 1 ) .

154

литель: A( M ) —

Занятие № 34. Экстремумы функции двух переменных. Основные понятия: максимум, минимум функции двух переменных,

критическая точка, наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в ограниченной замкнутой области [1, с. 301-304].

Чтобы найти точки экстремума функции z — f (x; y ), нужно:1. Найти область определения функции Dj .2. Найти частные производные z'x, z— и критические точки: точки

M (x; y ) е D—, в которых все частные производные первого порядка равны нулю или не существуют.3. Исследовать каждую критическую точку M (x; у ), в которой функция дважды дифференцируема. Найти частные производные второго порядка в точке M (x; у ): z'!xx (M ) — A, z'—y (M ) — C, z— (M ) — B . Составить опреде-

A B. Если

B C

• A > 0, то M (x; у ) — точка экстремума: при A > 0 точка минимума, при A < 0 точка максимума;

• A < 0, то в точке M (x; у ) нет экстремума;• A — 0, то для решения вопроса о наличии или отсутствии экстремума в

точке M ( x; у ) требуется дальнейшее исследование.Непрерывная в ограниченной замкнутой области D функция

z — f (x; у ) обязательно имеет в этой области наибольшее и наименьшее значения.

Правило для нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции z — f (x; у ) в ограниченной замкнутой области D :1. Найти критические точки функции, лежащие внутри области D , и вычислить значения функции в этих точках.2. Найти наибольшее и наименьшее значения на границе области D .3. Среди полученных значений функции выбрать наибольшее и (или) наименьшее значение (см. решение типовых задач, пример 2).

Задачи2 21. Найти экстремум функции z — 1 — ^ x + у , исходя из геометрических

соображений.

Найти экстремумы функций:2. z — x2 — xy + у 2. 3. z — x3 — 2 у 3 — 3x + 6 у +1

4. z — 3xy — x — у . 5. z — x + у — 3x + 4 j~y .

155

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (х; у ) в области D :6. z = х2 + 2ху — 4х + 8у + 3; D = {(х; у ) : 0 < х < 1, 0 < у < 2}.

7. z = х2 - у 2; D = {(х; у ) : х2 + у 2 < 4}.2 2 / \28. Найти наименьшее значение функции z = х + у + (х + у — 3) . Что

можно сказать о наибольшем значении этой функции?2 29. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = х + 3 у — х — 2 у

в области D = {(х; у ) : х > 0, у > 0, х + у < 1}.Домашнее задание

Найти экстремумы функции:2 210. z = х + ху + у — 6 х — 9 у +1 9 911. z = х + у — 2ln х — 8ln у .

—х12. z — х — у + 2еНайти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (х; у ) в

области D :13. z = х2 + 3у 2 — х +18 у — 4; D = {(х; у ) : 0 < х < 4, х < у < 4}.

14. z = х2 + ху — 2; D = {(х; у ) : 4х2 — 4 < у < 0}.

Дополнительные задачиНайти экстремумы функций:

15. z = ху(9 — х — у ). 16. z = (х2 — 2 у 2 )ех—у .

17. z = (х — у )2 + (у —1)3. 18. z = 8 + х + у (х > 0, у > 0). х у

Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = f (х; у ) в области D :19. z = е—у (2у — х2 ); D = {(х; у) : х2 < у < 4}.20. z = х3 — 6ху + 3у 2; D = {(х; у ) : 0 < х < у < 3}.

Решение типовых задач3 3х уПример 1. Исследовать на экстремум функцию z = ------------ ху + 1.

8 272

< Область определения функции Dj = С . Находим критические точки. Для этого найдем частные производные и составим систему:

2 .. лд z 3— = 0, дх

— х 8

< ^ или < 2= 0 у

. ду . 9156

— х = 0,

3 2 у = - х ,

8х64

— х = 0,

х1 = 0,у1 = 0,

х2 = 4,

у 2 = 6-

Получили две критические точки: P (0; 0) и P2 (4; 6).Теперь каждую из них проверим на наличие в ней экстремума при помощи достаточных условий экстремума. Найдем частные производные второго

порядка:d2z

dx

3Т = “ x. 2 4

d 2 z dxdy

= - 1 ,d2z 2 d 2 z„ = — у и вычислим значения A = „dy2 г dx2 P

B = d 2 zdxdy

Cd 2 z

P dy2xy

p

(P - критическая точка) в точках P1 и P2 , А = ----- 1.6

В точке р (0; 0): А(P ) = -1 < 0, следовательно, в точке P1 функция экстремума не имеет. В точке P2(4; 6): А(P2) = 4 -1 = 3 > 0, и т.к. A > 0, то в точке P2 функция имеет минимум, равный zmin = f (4; 6) = -7 . >

Пример 2. Найти наименьшее и наибольшее значения функцииz = x2 + у 2 - xy + x + у в областиD = {(x; у) e R2 : x < 0, у < 0, x + у > -3].

< 1. Построим область D (рис.6.5) и найдем критические точки, расположенные внутри области D :

dz — = 2 x — у +1 = 0, dx dz— = 2 у — x +1 = 0 dy

Получили точку М ( - 1; -1 ) , лежащую внутри области D и z(M ) = -1.2. Исследуем функцию на границе областиа) на отрезке OA: x = 0 ^ z (у ) = у 2 + у , - 3 < у < 0.Тогда z ( y ) = 2у +1 = 0 ^ у = -0,5 e ( - 3; 0);

x — —1,

У = - 1 .

le

б) на отрезке OB: у = 0 ^ z (x) = x2 + x.- 3 < x < 0.Тогда z'(x) = 2x +1 = 0 ^ x = -0,5 e ( - 3; 0); получаем точку P ( - 0,5; 0) e OB и z(p) = -0,25;

в) на отрезке AB: у = -3 - x ^

z(x) = x2 + (3 + x)2 + x(3 + x) + x - 3 - x = 3x2 + 9x + 6, - 3 < x < 0. Тогда z'(x) = 6x + 9 = 0 ^ x = -1,5 e ( - 3; 0); получаем точку K (-1,5; -1,5) e AB и z (K ) = -0,75;

г) вычислим значения функции в угловых точках области A(0; - 3), B (- 3;0) и O (0;0): z(A) = 6, z(B) = 6, z(O) = 0.

157

3. Из всех найденных значений выберем теперь наибольшее и наименьшее:znan6 — z (0; — 3) — z (—3;0) — 6, zuavrn — z ( —1; — 1) — —1 . >

Ответы1. zmax — z (0; 0) — 1 2. zmin — z (0; 0) — °. 3. zmin — z(1; — 1) — —5 ; zmax — z(— 1; 1) — 7 . 4. zmax — z(1; 1) — 1. 5. Экстремумов нет.6. z nau6— z (1; 2) — 20; znauM — z 0 ; 0) — 0. 7. znan6— z (2; 0) — z (—2; 0) — 4;znauM — z (0; 2) — z (0; —2) — —4. 8. znauM — z (1; 1) — 3; наибольшего значения

r 1 1 7функции не существует. 9. zHau6 — z(0; 1) — 1; zнаим — z1 3 12

10. zmin — z(1; 4) — —20 . 11. zmin — z(1; 2) — 5 — 8 ln 2 . 12. zmax — z(0; 0) — 2 . 13. zHau6— z(4; 4 )—128; z HauM — z(o; 0 )——4 .

14. z

HauMr 2 20 2 (1

Hau6 — z3 9

15. z

-3,25.

max z(3; 3) — 27 . 16. zmax — z(— 4; — 2) — — . 17. Экстремумов нетe

218. zmin— z(4; 2 )—6 . 19. z Hau6— z(o; 1)—- ; zHauM — z(o; 0 )—0 .e20. z Hau6 — z(0; 3) — z(3; 0) — 27 ; z HauM — z(2; 2) — —4 .

Контрольные задания по теме «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных»

1. Указать область определения функции двух переменныхz — л/1 — x2 +^[y^'

У

-1

3.(А

У

Ш %1

-1 -1 L x

ж W /.4.

dz dz i \2. Найти частные производные — , — функции z — ln (ex + ey ).

Ответ: — — edz

dx dy

dx ex + ey dy ex + ey3. Показать, что функция u — sin x • cos at удовлетворяет уравнению

2_2utt — a uxx — 0 .158

1

1

2 24. Найдите значение полного дифференциала функции z = у — ху — х в точке M (1; 1), если Ах = 0,01; Ау = —0,02. Ответ: d z (M ) = 0,05.

5. Найти полную производную — сложной функции z = 4 х2 —у2 ,

2у[х п х 4 х — уе2у = . Ответ:

если

у/х ( х2 — у2 )

6. Найти частные производные — , — для функции z (х; у ), заданной неяв-дх ду

3 3х2 х 2 -z у но уравнением z 1-------- = 0. Ответ: — = —----- ------у z х дх 3z4 — х

х

dz -Л 2 23х z

ду ( 3z 4 — х ) у 2

7. Составить уравнение касательной плоскости к поверхности2

z = ^ — 5х2 + 3у3 +1 в точке А(х0;у0; z0), если х0 = 1, у0 = 2.х

Ответ: 22х — 40у + z + 34 = 0.

8. Найти экстремумы функции z = уу[х — 2 у 2 — х +14 у . Ответ: z_ _ = z (4; 4) = 28'max

2 29. Указать линию уровня и = 1 плоского скалярного поля и = х + 4у :

У I1

2.

V

-1 \ O

-1

У !

4. O x

1

3

159

х 1 - 3 -10. Найти градиент функции z = — в точке А(3', 4). Ответ'. — i ----- j .

11

y- 16 32

. Найти производную функции u = ^x3y 2 - lj • z + ln (y + z j в точке

21; 2; — l) по направлению вектора a = 0 ; - 2; 2) . Ответ: —.

7. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Занятие № 35. Двойной интеграл и его вычисление Основные понятия: определение двойного интеграла, его свойства,

правила вычисления в прямоугольной декартовой системе координат и в полярной системе координат [1, с. 310-316 ].

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.Обозначение двойного интеграла: JJ f (x; y)dxdy , где функция f (x; y)

Dопределена и непрерывна в замкнутой плоской области D. Пусть область D ограничена прямыми x = а и x = b и кривыми y = q \(x) и y = ^ ( x ), причем функции q \(x), <p2(x) непрерывны и (x) < p 2(x) Vx e [a; b] (рис. 7.1). Такая область называется правильной в направлении оси Oy : любая прямая, проходящая через внутреннюю точку области D и параллельная оси Oy пересекает границу области не более чем в двух точках. Тогда имеет место следующий способ вычисления двойного интеграла:

b <P2 (x)JJ f (x; y)dxdy = J dx J f (x; y ) d y . (7.1)D a (Pi(x)

y = P2(x) i

y = Vl( x)y = W2( x)

cРис.7.1 Рис.7.2

Если область D ограничена прямыми y = с и y = d и кривыми x = y/1(y) и x = iy2(y) , причем щ (y) < y/2(y) Vy e [c; d] (рис. 7.2), т.е область D правильная в направлении оси Ox , то имеет место формула:

160

d Wliy)Iff (x; y)dxdy = j dy j f (x; y)dx. (7.2)D c цгх{у)

Интегралы, стоящие в правой части равенств (7.1) и (7.2) называются повторными.

При вычислении двойного интеграла, например, по формуле (7.1),vi (x)

сначала берут внутренний интеграл j f (x; y ) d y , как обычный опреде-v (x)

ленный, по переменной y при фиксированном x , а затем полученный результат интегрируют по x на отрезке [a; b ] . В случае, когда область D - правильная по обоим направлениям, то правые части в равенствах (7.1) и (7.2) можно соединить равенством, при этом говорят, что произошло "изменение порядка интегрирования".

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах.Переход под знаком двойного интеграла от декартовых координат к полярным задает следующая формула:

Iff (x; y)dxdy = jj f (pcosp; P sinp )p d p d p , (7.3)7-4 ^D D

*

где D - замкнутая область в полярной системе координат, соответсву- ющая области D в декартовой системе координат.

*Пусть область D ограничена полярными лучами (р = а , р = р и кривыми p = p ( v ) , p = p l (v ) такими, что p ( V ) < p 2(p) для любых р е [а; Р]

*

(рис. 7.3), т.е. область D - правильная: луч, выходящий из полюса, пересекает границу области не более, чем в двух точках. Тогда двойной интеграл в правой части равенства (7.3) сводится к следующему повторному

Р Pi(p)j j f (pcosp; p s in p )p d p d p = j d p j f (pcosp; p s in p )p d p . (7.4)D a p(p)

Переход к полярным координатам полезен, если подынтегральная функция или уравнение границы области интегри-

l lрования содержат сумму x + y .*

На практике область D не строят, а выясняют пределы изменения полярных координат, используя вид области D на плоскости Oxy (см. решение типовых задач, пример 4).

161

Задачи1 x+1

1. Вычислить повторный интеграл J dx J 2y d y .-1 0

2. В двойном интеграле JJ f (x; y)dxdy , где область D ограничена линия-D

ми x = 0, y = -1 , у = 2 — 2x , расставить пределы интегрирования двумяспособами.

Вычислить двойной интеграл:3. JJ (2x + 4y ) dxdy , где область D ограничена линиями y = 0, y = 3,

Dx = 1, x = 2.

4. JJx + 1 d x d y , где D ограничена линиями x = 0, y = e, y = ex.D y

y 2 ‘

D5. JJy 2xdxdy , где D ограничена линиями x = —1, x = 1, y = —1, y = x2.

D0 x+1

6. Изменить порядок интегрирования J dx J f (x; y ) d y .—1 0

7. В двойном интеграле JJ1 dxdy , где D ограничена линиямиJD y

y = 1, y = 2, y = — x, y = ex, перейти к повторному двумя способами и вычислить его рациональным способом.

Я x. = dxdy перейти к полярным координа-

D <\jx 2 + y 2там.

Вычислить интеграл, используя полярные координаты:

9. JJ^ x2 + y 2dxdy , где D — верхняя половина круга с центром в точкеD

0(0; 0) и радиусом R = 3.

10. JJ^x2 + y 2 + 3 jdxdy , где D ограничена линиями y = 1 — x2 , y = x, x = 0.D

Домашнее задание2 1

11. Вычислить повторный интеграл J dx J (x2 + 2 y )dy .0 0

Вычислить двойной интеграл:12. JJ cos(x + y)dxdy , где D ограничена линиями y = 0, x = n, y = x .

D162

13. JJ (x — y ) dxdy , где D ограничена линиями y = x2 и x = y 2D

14. В двойном интеграле JJ f (x; y)dxdy перейти к повторному двумя спо-D

1собами, если область D ограничена линиями y = x, y = —, y = 3.x

ч*. ^ гг dxdy15. Вычислить, используя полярные координаты, интеграл JJ —-----—, гдеD x + y

2 2 2 2 D ограничена линиями x + y = 9 и x + y = 25.


16. Свести двойной интеграл JJ x I у x2 + y 2 — 11 dxdy к повторному в по-D '

лярных координатах, если область D ограничена линиями y = —V1x

x = 0.

x

3 12 y/217. Изменить порядок интегрирования J dy J f (x; y)dx + J dy J f (x; y)dx .

0 y/3 2 y/3_ 2

18. Найти среднее значение функции f (x; y) = e y + xy в области D , если D — треугольник с вершинами 0(0; 0), A(0; 1), B(1; 1).

(•(•‘v/x + y + 319. Вычислить двойной интеграл JJ —— -------— dxdy , где D ограничена

линиями x =D x + у

y |, x2 + y 2 = 4, x = 4 1 — y 2 .

Решение типовых задач Пример 1. В двойном интеграле

I = JJ (2y(x +1) + x) dxdy расставить преде-D

лы интегрирования двумя способами и вычислить его более рациональным из них, если область D ограничена линиями x = 1, y = x и y = — x.

< Построим область D ( рис. 7.4) и расставим пределы интегрирования. Так как область D правильная и ограничена слева линией, заданной уравнением x = — y при Рис.7.4

163

y e [ - t o ] и x = y при y e [0; l], то для того, чтобы воспользоваться формулой (7.2) ее следует разбить на две области Di и D2 линией y = 0, проходящей через точку O (0; 0j «склейки» прямых.При использовании формулы (7.1) получаем более простой интеграл:

02( x +1) • — + xy

Vdx J^ (x + 1) • x + x — (x + 1) • x + x j dx =

— x

0

2 , 2 x dx = —. >3

Пример 2. Изменить порядок интегрирования в повторном инте-2 x+2

грале J dx J f (x; y ) d y .—1

У ‘\ x = —4 у

4

2\ Ж

1

x = у — 2

//Z ^ jx = 4 у\ /У ЛS '\л / // 1 J/T /

/ 1 ук 12 У ►

/-2 -1 о 1 2 3 х

Рис.7.5

< По условию область D определяется системой неравенств

-1 < x < 2,2 Л Причем x = —1 иx2 < y < x + 2. F

x = 2 являются абсциссами точек пересечения нижней границы y = x2 и верхней y = x + 2 (рис. 7.5). После изменения порядка интегрирования внешний интеграл будет по переменной y . Так как левая граница области D задается разными уравнениями, то, как и в примере 1, разбиваем ее прямой y = 1 на две области

x+2' +D1 и D2 . В результате имеем J dx J f (x; y)dy = JJ f (x; y)dydx

—1 x2 A

1 4 у 4 4 у

JJ /(* ; y)dydx = = \d y J / (x ; y)dx + j d y j / (x ; y )d x . >D2 0 - J y 1 У~2

Пример 3. Вычислить двойной интеграл JJ xydxdy, где область DD

ограничена линиями y = 0, y = cosx, x = — л /3, x = л /3.< Построив область D (рис. 7.6), выбираем более рациональный поря

док интегрирования (в направлении оси Oy область правильная).

x

2x

164

JJ xydxdy = J dx J xydy =D - я / 3 0

ж/3 ( 2 cosx Лг y

= x dx =2

——3 v 0 ji — 31 Г 2= — J xcos xdx = 0 (по свойству2 —ж/3

ж/ 3 cos x У ‘i

= cos x

1

ш

i

1/УУ

1

й

i

\ .

/ я— У

O — \ X3

Рис.7.6

определенного интеграла от нечетной функции по симметричному проме-

Пример 4. Вычислить Я ( (x2 + y 2)32 + 1) dxdy , где область D зада-D

2 2на условием x + y < 25.< Так как область D — круг с центром в точке 0 (0 ; 0) и радиусом

2 2R = 5, а подынтегральная функция содержит выражение x + y , то удобнее вычислять интеграл в полярных координатах, переходя к которым по формулам (7.3) и (7.4) с учетом того, что 0 < р < 5, 0 < р< 2—, имеем

2ж 5J J ( ( x 2 + y 2 ) 3 2 + 1)dxdy = J J ( p 3 + l ) p d p d p = J d p J ( p 4 + p ) d p =D D 0 0

2 ж= 1

0

( „5 2 Л5p

ь Р d р =v5 2v J 0 v

25~2

Г

0 0

25625 + —v 2 j

2n = 1275л-. >

Ответыо 1,5 2—2x 2 1—0,5y «

1. 2. J dx J f (x; y)dy = J dy J f (x; y)dx. 3. 27. 4. - . 5. 0.3 0 —1 —1 0 31 0

6. J dy J f (x; y) dx. 7. 1 + 0,5ln2 2. 8. JJ p c o sp d p d p . 9. 9—. 10, 7—

D0 y—114 5 5e — 4 —

11. — . 12. —2. 13. 0. 15. 2—ln —. 18. f cp. = — — . 19. —(1 + ln8)

16

3 3 4eя

~2

Занятие № 36. Некоторые приложения двойного интеграла Основные понятия: вычисление площадей плоских областей, вы

числение объемов с помощью двойного интеграла, физический смысл двойного интеграла [1, с. 317-324].

Объем V криволинейного цилиндра, ограниченного сверху

165

поверхностью z = f (x, y ) > 0, снизу плоскостью z = 0 и с боковых сторон цилиндрической поверхностью, у которой образующие параллельны оси Oz, а направляющей служит контур области D , вычисляется по формуле:

V =JJ f (x; у ) dxdy. (7.5)D

Площадь S области D :S = JJ d S . (7.6)

DМасса материальной пластины D на плоскости Oxy с заданной плотностью y(x; у ):

m = JJ/(x; y )d x d y . (7.7)D

ЗадачиВычислить с помощью двойного интеграла площадь фигуры, огра

ниченной линиями:I. y = x, y = x2. 2. у = 1, y = yfx , x = 0.3. р = ф (первый виток спирали в полярной системе координат),(р = 0, (р = 1.

4. y = ex, у = 1 — x, x = 1.5. Используя геометрический смысл двойного интеграла, указать его значение JJ (2 — 2x — y)dxdy , где D ограничена линиями x =0, у =0, у = 2 —2x .

DНайти объем тела T , ограниченного поверхностями:

6. x = 0, x = 2, y = 0, у = 1, z = 0, z = x + y + 5.2

7. y = 0, y = x , x = 1, z = 0, z = 3.

8. z = 0, x2 + y 2 = 4, z = x2 + y 2 + 2.Найти массу пластины, ограниченной заданными линиями, с задан

ной плотностью у( x; у ):9. x =0, x =3, y =1, у =2, y(x; y ) = 2y.10. x = 0, y = x, y = 2, y(x; y) = x .

II. x2 + y 2 = 4, x = 0, y = 0 (при x > 0, y > 0), y(x; y) = 6yjx2 + y 2 .

Домашнее задание12. Используя геометрический смысл двойного интеграла, указать егозначение JJ (12 — 6x — 4y)dxdy , где D ограничена линиями x =0, y =0,

D3x + 2 y = 6.

166

13. Вычислить с помощью двойного интеграла площадь меньшей из двух2 2фигур, ограниченных линиями y = x и x + у = 4у .

Найти объем тел, ограниченных поверхностями:2 214. x = 0, y = x, у = 1, z = 0, z = x + y .

2 2 2 215. x =0, y = x, x + y = 1, z =0, z =3 — x — y , тело содержит отрезок осиOz (при x > 0).

Найти массу пластин, ограниченных заданными линиями, с заданной плотностью y( x; y ):

316. y = x, y = x (x > 0), y = 2 x .

17.x =0, y = x, y =V1 — x2 , y = 4 — x2 — y

Дополнительные задачи для самостоятельной работыНайти площадь фигур, ограниченных линиями:

x18. y = sin— и y = cos x — 1 при 0 < x < 2ж.2

19. y = ln x, y = 1 — x, x = e .2 220. Найти массу пластины D , заданной условием 1 < x + y < 4, если ее

поверхностная плотность у = 3 x .Найти объем тел, ограниченных поверхностями:

21. у = 0, у = 1, x = —1, z = 0, z = >/—x .

22. x = 0, y = 0, z = 0, x + y = 1, z = yj 1 — y .23. Используя геометрический смысл двойного интеграла JJ (4 —y)dxdy ,

Dуказать его значение, где D ограничена линиями x = 0, x = 2, y = 0, y = 2

Решение типовых задач Пример 1. Найти площадь фигуры D , ограниченной линиями x = 0,

4 x 4y = sin x , y = — ---- .

ж Л< Построив область D (рис. 7.7)

и используя формулу (7.6), имеемж sin x

SD = JJ dxdy = J dx J dy =D 0 4( x—ж)

ж жРис.7.7

167

= J |s isin x 4( x - n)n

dx = = — cos x4 (x — n) 2Л

V n

n

= 4 (ед. площ.). >Пример 2. Найти объем тела T , ограниченного поверхностями

z = 0, у = x , у + z = 1.

< Так как в уравнении у = x отсутствует z , то это уравнение цилиндрической поверхности (параболический цилиндр) с образующей, параллельной оси O z , т.е. перпендикулярной плоскости Oxy (z = 0). Тогданижним основанием тела T является область Dxy , ограниченная линиями

пересечения с плоскостью z = 0 цилиндра у = x (параболой) и плоскости у + z = 1 (прямой у = 1) (рис. 7.8). Плоскость же у + z = 1 образует верхнее «основание» («крышу») цилиндрического тела T , т.е. z = 1 — у — его переменная высота.

х

Рис.7.8

Тогда объем тела T , согласно формуле (7.5) будет Ут = И (1 — y)dxdy =D

1 1= J dx J (1—у)^у = — JГ (у — 1)2

—1 x 1

2 —1 2

= Д x4 — 2 x2 +1^ dx =о

x 5 2 x 3 Л------ ---------h x5 3V J

dx= —1 J (0 — (x2 — 1)2 ) dx= 1 J (x2 — 1)2 2 —1 2 —1

1 2 ! 8 , * \= --------hi — — (ед. объема). >5 3 15

dx =

0

1

2xl

168

Пример 3. Найти массу круглой пластины D : x + у < 2x , если в каждой ее точке плотность равна расстоянию от этой точки до начала координат.

2 2< Приведя уравнение окружности x + y = 2x к каноническому виду,2 2получим (x —1) + у = 1, т.е. центр C (1; 0), радиус

x + у —плотность пластины D . Тогда, по формуле (7.7),

имеем m=JJyj x2 + y 2dxdy. Так как область инте-D

грирования D — круг и подынтегральная функция2 2содержит x + у , этот интеграл вычислим переходя

к полярным координатам (р; p j . Уравнение окруж-2 2 2 оности x + у = 2 x в полярной системе координат имеет вид р = 2 p c o s p ;о Л л т.е. р = 2 c o s p , < p < —.

^ 2 2---------- л/2 2 cosp Л 2 3

Тогда m = JJyjx2 + y 2dxdy = = J d p J p 1 d p = J —D —л/2 —л/2

2 cospd p =

8 Л2 8 Л2 ( \- J cos2 p c o s p d p = = - J (1 — sin2 p j cospdp

—л/2 Г

sinp

—л/2\ л/2

sin p

У= ^ (ед. массы). >

Ответы1 1 1 2 4

1. - . 2. - . 3. - . 4. e — 1,5. 5. - . 6. 13. 7. 1. 8. 16л. 9. 9. 10. - . 11. 8л .6 3 6 3 3

12. 12. 13. л — 2. 14. 1 . 15. — . 16. — . 17. — . 18. 4 + 2л. 19. 0,5e4 +1,53 16 15 16

2 220. 28. 21. - . 22. - . 23. 12.3 5

169

x

Занятие № 37. Криволинейный интеграл Основные понятия: определение криволинейного интеграла по

координатам, физический смысл, вычисление, формула Остроградского- Г рина, условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования^, с. 328-340].

У а Г в Пусть Г — плоская, гладкая, ориентированная кри-А 1 вая (рис. 7.10), заданная уравнением y = р (x), P(x; у) и

Q(x; y) — непрерывные функции, определенные на Г .O a b x Тогда вычисление криволинейного интеграла по коор-

рис 7 10 динатам сводится к вычислению определенного интеграла:

bJ P (x;y)dx + Q(x;y)dy = J (P (x; p(x)) + Q (x; p(x)) • p ( x ) ) d x . (7.8)Г a

Если кривая Г задана параметрическими уравнениями: x = p (t), y = \y(t), и при перемещении из точки A в точку Bзначение t меняется от ^ до t2, то имеет место формула:

J P( x; y)dx + Q( x; y)dy =Г

t2= J (P (p (t); v (t) V ( t )+ Q (p (t); v (t) V (t)) d t. (79)

t1Физический смысл криволинейного интеграла по координатам. Работа Е переменной силы F = Р(х; y)i + Q(x; у ) j вдоль кривой A B qс т ь криволинейный интеграл от силы F вдоль этой кривой:

E = J P (x;y)dx + Q(x;y )dy. (7.10)AB

Значение криволинейного интеграла зависит от направления, в котором проходится кривая Г . Если эту кривую проходить в обратном направлении от B к A , то значение интеграла изменит знак на противоположный, т.е.

/ = —/ .AB BAСвязь криволинейного интеграла по замкнутой кривой Г с двойным интегралом по области D , границей которой является кривая Г , задает формула Остроградского — Грина (см. комментарий с. 322):

^P(x-,y)dx + Q(x;y)dy = JJ r d Q _ Pdx dy

dxdy , (7.11)l / ' i v r i i jГ D

при этом кривая Г обходится в положительном направлении, т.е. при движении вдоль нее область D остается слева (рис.7.11).

170

Условие независимости криволинейного интеграла J P (x ; y)dx + Q(x; y)dy от пути интегрирования, це-

ABdP _ dQликом лежащего в односвязной области:ду dx

Задачи1. Даны точки 0(0; 0), A(2; 2) и B(2; 0). Вычислить J (x + у )dx , если

Га) Г — отрезок прямой OA от O до A ; б) Г — ломаная OBA ;

x 2в) Г — дуга параболы у = — от O до A.

2. Даны точки O(0; 0), A(4; 2) и B(2; 0). Вычислить J ydx + xdy , еслиГ

а) Г — отрезок прямой OA от O до A ; б) Г — ломаная OBA .Почему криволинейный интеграл в случаях а) и б) имеет одинаковое значение?

Вычислить:3. [J\х2ydx + х3d y , где Г - пробегаемый в положительном направлении

г2 2контур, образованный дугами парабол у = x и x = у .

Г 2 24. J x ydy — xy dx , где Г — кривая, заданная уравнениями Г

от t1 = 0 до t2 =ж/ 2.

Г — верхняя полуокружность ,[у = r sin t

x = Vcost , у = yfsint,

5. J x2dx h у 2d y , где Г — верхняя полуокружность jx _ r cos t ’ пробегае-Г

мая по ходу часовой стрелки.6. Даны точки A(—3; 0) и B(0; 3). Вычислить работу силыF = уг + (у — х) j при перемещении единицы массы по прямолинейному пути A B .7. Поле образовано силой, имеющей постоянную величину F и направление положительной полуоси O x . Найти работу поля, когда материальная

2 2 2точка описывает по ходу часовой стрелки дугу окружности x + у = R , лежащую в первой четверти.8. Убедиться, что криволинейные интегралы не зависят от пути интегрирования и вычислить их:

(—1;4) (1;1)а) J xdx — y d y ; б) J exhу (dx h d y ) .

(1; ) (0;0)171

Применяя формулу Остроградского — Г рина, вычислить интегралы по замкнутой линии (направление обхода Г положительное):9. | y 2dx + {x + y ) 2d y , где Г — контур треугольника с вершинами

гA(1; 0), B(1; 1) и C (0; 1).

10. \^ху2 dx - x2y d y , где Г - окружность х2 + у 2 = 4. г

Домашнее заданиеГ 2 211. Вычислить J (x — y )dx + xydy , где AB — отрезок прямой от точки

ABA(1; 1) до точки B(4; 4).

12. Вычислить J (x — y)2 dx + (x + y )2 d y , если Г — ломаная OAB : 0(0; 0),Г

А(2; 0), В(4; 2).13. Вычислить [j] ydx + xdy по различным замкнутым линиям (направление

гобхода Г положительное): а) Г — окружность x = cos t, y = sin t; б) Г —

контур, ограниченный дугой параболы у = х2 и отрезком прямой у = 1.14. Найти работу силы F = —xi — у упри перемещении материальной точки из положения M1 (2; 0) в M 2 (0; 1).15. Применяя формулу Остроградского — Грина, вычислить[j]2(x2 + у 2)dx + (х + у )2 d y , где Г - контур треугольника с вершинами гA(1; 1), B(2; 2) и C (1; 3), проходимый в положительном направлении. Проверить найденный результат, вычисляя интеграл непосредственно.

Дополнительные задачи для самостоятельной работыС 2 216. Вычислить J (x — 2xy)dx + (2xy + y )d y , где AB — дуга параболы

AB2

у = x от точки А( 1; 1) до точки В{2; 4).17. Найти работу силы + у); 0) вдоль замкнутой ломаной с вершинами O (0; 0), M(0; л / 2), N (л /2; 0) в положительном направлении обхода контура.

18. Проверить, что выражение "1 Р - + —v x У у

dx +Гг, \2 x

Лу

dy является полнымУ У

дифференциалом некоторой функции u( x; у ) . Найти эту функцию.

172

19. Применяя формулу Остроградского - Грина, вычислить интеграл[|]2xydx - ^Зх + у 2 j d y , где Г - контур, ограничивающий трапецию со стогронами х = 0, y = 0, y = 2, х + y = 3, проходимый против часовой стрелки.20. Используя криволинейный интеграл, вычислить площади фигур, ограниченных следующими кривыми:

ч )х = a cos t ,а) эллипсом < , . ’ ' ly = b sin t; б) астроидой3х = a cos t ,

y = a sin31.

Решение типовых задач Пример 1. Вычислить J xydx + (х - y )dy вдоль параболы y = х2 от

ABточки A(1; 1) до B(2; 4).

< При вычислении интеграла используем формулу (7.8):2 2

J xydx + (х - y )dy = х • х2 + (х - х2) • 2 х j dx = 2 х2 - х3 j dx =AB 1 1

2 3 1 л4— x ------- x

1 3 4 J

11 = — .> 12

Г 2 2Пример 2. Вычислить J y dx + х d y , где Г - верхняя половинаг

+

эллипса х = a cos t , y = b sin t , пробегаемая по ходу часовой стрелки (рис.7.12).

<1 При вычислении интеграла используем формулу (7.9):о

J y 2 dx + x2dy = J (b2 sin21 • ( - a sin t)г n

2 2 \+ a cos t • b cos t j dt =

0 4a b l ia c o ^ t -hsiY? t^dt = —ab2. >K ‘ , 3n

Пример 3. Найти работу переменной силы F ( —y ; х), точка прило-2

жения которой описывает дугу параболы y = х от точки 0(0; 0) до -4(2; 4).

< Вычислим работу данной силы по формуле (7.10):

2 ( \ 2 х3 °E = J ( - y j dx + xdy = J -x2 + x • 2x j dx = J x2dx = —

OA

<

2

173

Пример 4. Вычислить с помощью формулы Остроградского — Грина [j] x d y -y d x вдоль границы Г треугольника ABC (обход в положитель-

гном направлении) с вершинами A(1; 0), B (4; 0) и C (1; 2)(см. рис. 7.13).

дР дОC < P(x; у ) = — у и Q(x; у) = x , тогда — = — 1 и — = 1.

dy dxУ ‘2

........ По формуле Остроградского — Г рина (7.11) получим:О 1 4 х \(—y)dx + xdy = j j( l - ( - ] ) ) dxdy = 2 ^ dxdy = 2- SA =

Рис.7.13 г D D

_ 2 - - - 2 - 3 - 6 . >

Ответы

1. а) 4; б) 2; в) 10.2. а) 8; б) 8; не зависит от пути интегрирования.S ' Г \ г \ 7 г \

3.— . 4.—. 5 . - r 3.6. — . 7. F R . 8. а) —6; б) e2 — 1. 9. - . 10. 0. 11. 21.35 4 3 2 3

1 3 4 1912. 4 5 - . 13. а) 0; б) 0. 14. - . 15. — . 16. 40 — . 17. 1 — 0,5—.3 2 3 30

jc 62 318. u = ln x + 2 ln у h-----h C . 19 .----- . 20. а) —a b ; б) — —a2 .у 3 8

Контрольные задания по теме «Интегрирование функций нескольких переменных»

1. В двойном интеграле JJ f (x; y)dxdy перейти к повторному и расставитьD

пределы интегрирования (см.рис.).4—x

4 2 2 4—2уОтвет: J dx J f (x; y)dy = J dy J f (x; y)dx.

0 0 0 0

У‘2 2 x

2. Вычислить повторный интеграл J dx J (1 + x )dy.

O 4 х 14Ответ: — .

3

174

3. В интеграле jjV 9 - x2 - у 2 dxdy перейти к полярным координатам иD

расставить пределы интегрирования, если D - область, ограниченная линиями: х2 + у 2 = 4, у = 0, x = 0 (x < 0, y > 0).

л 2Ответ: j d p j p y l 9 — p 2 dp.

Л 0 2

2 24. Найти объем тела, ограниченного параболоидом z = 2 - x — у и кону

сом z = д/x2 + у 2 . Ответ: (куб. ед.).6

5. Вычислить криволинейный интеграл II рода j xydx + (2 x — у )dy , гдеГ

13Г-отрезок прямой от точки A (—1; 0) до точки B (0; 2). Ответ: — — .

6. Используя формулу Остроградского - Г рина, вычислить криволинейный

интеграл J = [ j](4 x -у + 3)<ix: + (5х + у - 3)dy, где Г - У п ^

треугольник ABC (см. рис.). Ответ: 6. ^ В „-1 о 1 х

8. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Занятие № 38. Дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными,однородные

Основные понятия: дифференциальное уравнение первого порядка, решение, общее решение, общий интеграл, задача Коши, частное решение, интегральная кривая, теорема существования и единственности решения задачи Коши; дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, однородное уравнение первого порядка [1, с. 417-421].

Дифференциальным уравнением первого порядка относительно искомой функции у (x) называется уравнение вида F (x; у; у ') = 0.

Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, имеет вид

у' = f (x; у ) .Задача Коши (см. комментарий с. 318): у' = f (x; у), у (x0 ) = у0.

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде

у ' = f (x) • g (у )175

M1 ( x ) M 2 (y ) dy + N1 ( x ) N 2 (y ) dx = 0.При решении таких уравнений сначала разделяют переменные , потом находят общий интеграл, при этом возможна потеря решений (см. решение типовых задач, пример 3).Однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет вид

f у у ' = f - (8.1)

V X Jили

M ( x; y)dx + N (x; y)dy = 0, где M (x;y) и N (x;y ) — однородные функции степени к , т.е.

M(tx; ty ) = tkM (x; y) и N (tx; ty ) = tkN (x; y), V t Ф 0.y

Однородное уравнение (8.1) с помощью подстановки — = иx

( y = xu ^ y = и + x • и' ), где и = и(x) — новая неизвестная функция, приводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными (см. решение типовых задач, пример 4).

Задачи

1. Является ли функция y = Vx2 +1 решением уравнения yy' = x ?

2. Найти общее решение дифференциального уравнения y ' = e2 x.3. Решить задачу Коши y = sin x, y (0) = 1.

4. Проверить, что функции —i = 0 и y2 = x являются решениями уравне-

y ' = З^у2 , проходящими через точку (0; 0). Какое условие теоремысуществования и единственности решения здесь нарушается?5. Какие из дифференциальных уравнений являются уравнениями с разделяющимися переменными: а) (x + 2xy)dx + (1 + x )dy = 0;

б) у = (2 у + 1) • ctgx; в) у = x • (x2 + у 2) ?6. Найти общее решение дифференциального уравнения ydy = xdx.7. Установить соответствие между дифференциальными уравнениями:

1) у ' — 8x7 у = 0; 2) у ' — 6 x5 у = 0; 3) у ' = 6xy и общими решениями:

6 г 2 8 О 2А) у = Ce ; В) у = Ce6x ; С) у = Cex ; D) у = Ce3x .8. Какие из дифференциальных уравнений являются однородными уравнениями:а) у ' = x2 + у 2; б) x3 у ' = 2 x2 у — у 3; в) (x2 + 2xy)dx + (xy — x2)dy = 0 ? 176

или

ния

9. (x2 — 9)dy — 2xydx = 0. 10. y(1 + ln y) + xy' = 0. 11. у ' = ——x .x

Решить задачу Коши:

12. 2y ' yfx = y , y(4) = 1. 13. xdy — у + x • tg y dx = 0, y(6) = n.V x J

14. x2 у ' — x2 — 2xy=0, y(2) = 2.15. Построить интегральную кривую уравнения у ' + ytgx = 0, проходящую через точку (0; 0,5).


Решить дифференциальные уравнения:

x Г 1 \e16. Является ли функция у = — решением уравнения у

x1—1

V x J?

Решить дифференциальные уравнения:17. у x3 = 2 у . 18. x cos ydy = esin ydx . 19. 2x3 у = y(2x2 — у 2) .

Решить задачу Коши:20. (xy2 + x)dx+ (x2у —y )d y = 0, y(0)=1. 21. x2 — 3y2 + 2xyyr= 0, y (2)=1.

Дополнительные задачи для самостоятельной работы2 2 2 222. Решить дифференциальное уравнение (у + xy )у ' + x — yx = 0.

Решить задачу Коши:23. у ' = 24 у ln x, у (e) = 1. 24. у — xy' = 2(1 + x2y '), у(1) = 1.

2

25. у ' = - ^ — у , у (—1) = 1. 26. xy ' = у ln у , у (1) = 1. x x x

Решение типовых задач2Пример 1. Проверить, являются ли функции у = sin x , у = x реше

ниями дифференциального уравнения у ' sin x — у cos x = 0.< Функция у = sinx будет решением, т.к. у ' = cosx и

• • 2cos х • sin х - sin x • cos x = 0 для всех x e □ . А функция у = x не являетсярешением дифференциального уравнения ни на каком интервале, т.к. у ' = 2x и равенство 2x • sin x — x2 • cos x = 0 выполняется только для отдельных значений х - нет такого интервала, на котором равенство выполнялось бы для всех х . >

( 3 \ f 2 2x +1) у ' = 3x у — x , у(0) = 1.

< Исходное уравнение можно записать в виде (x3 + 1) у ' = x2 (3у — 1).t 2 у xРазделяя переменные, будем иметь------- = —----- . Интегрируя по x обе

3 у — 1 x +1177

2 2 с у 'dx г x dx г dy г x dx части этого уравнения I------- = I —----- , I--------= I —----- ,

j 3у — 1 1 x3 +1 1 3у — 1 1 x3 +1

получим общий интеграл 1 ln |3y — 1 = 1 ln |x3 + 1| + 1 ln C1, C1 > 0.3

Потенцируя последнее равенство, получим 3 у — 1 = C (x +1)C (x 3 +1) +1

или у = ---------------, где C = ± Q , C Ф 0.

Решением уравнения также будет: у = 1 . Таким образом, общее решение

дифференциального уравнения имеет вид у = ^ + ^ , С е □ .

Далее, используя заданное начальное условие у(0) = 1, получим , C(03 +1) +1 ^ ^1 = ---------------, откуда C = 2. Следовательно, искомое частное решение

2 з , имеет вид у = —х +1. >3

2Пример 3. Решить уравнение (x — 4)dy = 2 xydx .

rdy г 2 xdx< Разделяя переменные и интегрируя I — = I —-----, получим

у x2 — 4ln|у| = ln x — 4 + ln C1, C1 > 0 или у = C (x — 4), где C = ± Q , C Ф 0.

При делении на у и x — 4 потеряли решения у = 0, x = 2, x = —2. Итак,

общее решение уравнения имеют вид: у = С(х2 - 4) (С е □ ). Решениями также являются х = 2 ,х = —2. >

2 2 2Пример 4. Решить дифференциальное уравнение 2x у ' = у + 5x .

2 f< Разделив обе части уравнения на x , получим 2у ' =f Л2

у + 5.v x у

Это однородное дифференциальное уравнение. Полагаем у = x • и , тогдаf 2у ' = и + x • и' и уравнение принимает вид 2и + 2x • и' = и + 5 или

2 x • и' = и 2 — 2и + 5. Это уравнение с разделяющимися переменными:2 и' 1 г 2du rdx и — 1 , 1 1 ,

, I-------- о-----г = I— , arctg----- = ln x + C .и — 2и + 5 x I (и — 1)2 + 22 I x 2

У у — X I I

Так как и = —, то общий интеграл уравнения: arctg------ = 1пЫ + С . >л: 2х

178

1 21. Да. 2. у = - e2x + C. 3. y = 2 - cos x. 4. f y' (x; y ) = — не является не-

Ответы2

Упрерывной. 5. а); б). 6. у 2 - x2 = C. 7. 1) - С); 2) - А); 3) - Д). 8. б); в).

9. у = C (x2- 9), x = 3, x = -3. 10. у = e l+C/x. 11. у = x ( - ln|x| + C ).

12. у = e^x-2. 13. у = x arcsinx . 14. у = x2- x . 15. у = 0 ,5cosx . 16. Да.

. 217. у = Ce x2. 18. e~sinу = C - lnlx \, x = 0. 19. у 2 = —7— ; у = 0.

ln |Cx

11 + x2 j 3 у 2 - x220. у = J ---------- . 21. у = x 4 1 — x . 2 2 .----------- h у + x = lnу il 1 - x2 у V 8 2 у

x|

x + 1

у -1+ C , у = 1

О О23. у = (x ln x - x + 1)2. 24. у = 2 ------^ . 25. у = ---- . 26. у = xel~ x.

2 x +1 1 - 3x

Занятие № 39. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли

Основные понятия: линейное дифференциальное уравнение первого порядка, уравнение Бернулли, метод Бернулли [1, с. 422-423].

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет виду' h P( x) у = Q( x ) .

По методу Бернулли (см. комментарий с. 316) решение этого уравнения ищут в виде: у = u( x) • v( x ) . (см. решение типовых задач, пример 1). Линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции x( у ) : x + P( у ) x = Q( у ) .Уравнение Бернулли имеет вид:

у h P(x) • у = Q(x) • у п (n ф 0, n Ф1).Решение уравнения Бернулли можно также искать в виде у = u( x) • v( x ) .

Задачи1. Определить типы уравнений и указать способы их решения:

о 9 9а) у ' h у sin x = x ; б) x ydx + (1 + x )(1 + у)^у = 0 ;

V9 9 9x + у ; г) (2x + 3у )dx + 6xydy = 0 ;

д) у ' = x2 у 2; е) у ' 22 x 2 x - у

ж) 2 x2 у ' = у 2 + 3 x2; з) (xy2 + x) dx+ y d y = 0.

179

Решить дифференциальные уравнения:

2. у' — - у = — x . 3. (x — ey )у' + у = 0. 4. у' — - у = 2^/x3y .x 2 x

5. Решить задачу Коши: у r cos x — у sin x = 1, у(0) = 0.

Домашнее заданиеРешить дифференциальные уравнения:

3 — x 2

6. у = x + у . 7. у — xy = — y e .Решить задачу Коши:

3 2 о8. у' + - у = — , у(1) = 1. 9. у + (3 — 2 xy) у = 0, у(1) = —1.

x x

Дополнительные задачи для самостоятельной работыРешить дифференциальные уравнения:

10. у' = 2 у + ex — x . 11. 2ydx+ (у2 — 2x)dy= 0. 12. у — — у = x J y .x

Решение типовых задач Пример 1. Решить уравнение у ' + у = e~x.

< Это линейное дифференциальное уравнение. Полагаем у = и (x) • v (x), тогда у ' = и' • v + и • v ' и уравнение принимает вид

f f — xи • v + и • v + и • v = e или

и ’ • v + и •( v ’ + v ) = e~x. (*)

Функцию v (x) найдем из условия, чтобы обращался в нуль коэффициент

при и (x ) в уравнении (*):v ' + v = 0.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Тогдаdv v

откуда находим любое отличное от нуля решение: v = e"Подставляя найденную функцию в уравнение (*), получим:

и' • e x = e x ^ и' = 1 ^ и = J dx и = x + C .

Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения:у - (x + C)-e~x. >

180

1T = —J dx

Ответы2

2. у = — + Cx3. 3. x = (ey + C ) —. 4. у = x3 (x + C )2 , у = 0. 5. у = x2

2 у cos x2ex 1 1

6. у = Cex — x — 1. 7. у 2 = — -----, у = 0. 8. у = — — . 9. x = 2у 2 +— .2 x + C x у

10. у = 2x + 1 — ex + Ce2x. 11. x = —1 у 2 + Cy, у = 0.

12. у = x4 (0,5ln|x| + C ) , у = 0.

Занятие № 40. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Основные понятия: дифференциальное уравнение второго порядка, решение, общее решение, общий интеграл, задача Коши, частное решение, теорема существования и единственности решения задачи Коши; уравнения, допускающие понижения порядка [1, стр. 431-435].

F (x; у; у '; у ") = 0 — дифференциальное уравнение второго порядкаотносительно искомой функции у (x). Дифференциальное уравнение, разрешенное относительно у ": у " = f (x; у; у ').

Задача Коши: у " = f (x; у; у '), у (x0 ) = у0, у ' (x0 ) = у0 .I. Простейшее уравнение 2-го порядка: у " = f (x ) .

Решение этого уравнения получается путем двукратного интегрирования.II. Уравнения, не содержащие явно неизвестной функции — это

уравнения вида F(x; у '; у " ) = 0.Порядок уравнения понижают, полагая у ' = z(x), тогда у " = z '.

III. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной имеют вид: F (у; у '; у ") = 0. Порядок уравнения понижают, полагая у ' = р ( у ) ,

dpтогда у = р ---- .dy

Задачи1. Проверить, является ли функция у = x e x решением дифференциального

уравнения у " — у ' = ex.

2. Показать, что уравнение у " = у имеет интегральные кривые у = ex и

у = e—x, пересекающиеся в точке (0; 1). Противоречит ли это теореме существования и единственности решения задачи Коши?3. Используя методы понижения порядка, свести к уравнениям первого порядка следующие дифференциальные уравнения:

181

а) уу" = (у')3; б) x (у" + 1) = 2 у ' ; в) xy” = у' ln у ;•x

г) у " + 2 (у ”)2 у = (у ”)3; д) xy " - у ” = x2ex ; е) у " h 4 = x2.

4. Найти общее решение уравнения у " = e5x h sin x -1 .

5. Решить задачу Коши: у " = cosx + e~x, y(0) = 1, у r(0) = - 1.Решить уравнения:

6. у " - — = x . 7. yy" + (y ')2 = 0.x

Решить задачу Коши:8. (x2 + 1)y" = 2xy ', y(0)=1, / ( 0 ) =3. 9. y" = e2y, y(0)=0, y '(0 )=1.

Домашнее заданиеРешить уравнения:

1 2 о10. у ' = 1 . 11. у" + - ^ ( у ')2 = 0.

x 1 - уРешить задачу Коши:

I2. 2xy"h у = °, у(1)= 5, / 0 ) = 4 . 13. xy"- 2 у ' = 2x4, у (1) = 1 у '(1) = 4.

Дополнительные задачи для самостоятельной работыРешить уравнения:

14. (1 -x2)y "=xy ', у (0)=1, у '(0)=3. 15. у "x ln x = у ' .

16. уу " = у 2 у " + (у ")2. 17. у " tgy = 2( у ')2.

18. Решить задачу Коши: у "у3 = 1, у(0) = 1, у ' (0) = -1 .

Решение типовых задачff 2 3 xПример 1. Найти общее решение уравнения у = --------- + e .

(х -1 )< Последовательно интегрируя два раза данное уравнение, получим

J у ,dx= /2 3x 1--------^ + e3x dx.

v(x - 1)22 1 _3x3x

у = ------ e + C1 >x -1 3

y = - 2 ln \x - l \ + e 3x + Clx + C2. >

Пример 2. Найти частное решение уравнения xy" = 2x - у ' , удовлетворяющее начальным условиям у (1) = 1/2, у '(1) = 1.

182

< Полагаем у ' = z (x ), тогда у " — z ' и уравнение принимает видz

xz' — 2x — z или z ’ h— = 2. Это линейное уравнение относительно функ-x

ции z. Найдем решение этого уравнения методом Бернулли. Полагаем, , uv

z — u • v. Имеем: u v + uv h---- = 2 или u v + ux

= 2. Подберем

" 1 + u • 0 = 2, J du = | 2 x d x , u — x2 + C . Следовательно, z = (x2 + C j 1 .

, v . dv dx 1функцию v так, чтобы v h— = 0. Тогда — = ----- , v = —. Получаемx v x x

ur 1 + u • 0 = 2, J du = J 2 x d x , u

Из условия z(1) = у "(1) = 1 получаем 1 = 1 + Q ^ Q = 0. Имеем z = x илиx2

у ' = x . Интегрируя, получим у = — + C2 . Находим C2 из начальных усло-

1 1 х2вий: — = — + С2, С2 = 0. Таким образом, у = —— частное решение. >

(у ')2Пример 3. Найти частное решение уравнения у " = ------ , удовлетво-у

ряющее начальным условиям у (0) = 1, у "(0) = 1.< Полагаем у r = р ( у ) , тогда у " = p fy • p и уравнение принимает вид

уТак как p Ф 0 (иначе у " = 0, что противоречит начальному условию

pу ' (0) = 1), то p ' — — . Это уравнение с разделяющимися переменными.

уРешая его, получим p — Q у . Из начальных условий у(0) — 1, у '(0) — 1 получаем p (1) = у '(0) = 1. Откуда имеем Q — 1. Следовательно, p = у или

у " — у . Разделяя переменные и интегрируя, получим у — C2ex . Из условия

у(0) = 1 находим C2 — 1. Таким образом, у — ex — искомое частное решение данного уравнения. >

Ответы2

1. Да. 4. у — — e — sin x -------h C x + C2. 5. у = — cos x + e +1.

C x 36. у — x4 — — + C2 . 7. у 2 — Q x + C2 . 8. у = x3 + 3 x +1.

183

9. e y = 1 - x . 10. у = x (ln |x + Ci) + C2 . 11. у = 11

C1 x + C2

12. у = Бл/x - 3 . 13. у = — + x3 -1 . 14. у = 3arcsinx +1.

15. у = Qx(ln x -1 ) + C2 . 16. x = — lnCi

У

18.

-1

Уу + C 1

+ C2 (при C1Ф 0),

x + Cn(при C1 = 0); у = C . 17. ctgy = C2 + C1x .

^ 2 у 2 -1 = 1 - 2 x.

Занятие № 41. Линейные дифференциальные уравнениявторого порядка

Основные понятия: линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, фундаментальная система решений, структура общего решения; общее решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений, метод вариации произвольных постоянных[1, с. 440-445].

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

y" + p / + q y = 0, . (8.2)где р , q еП . Общее решение уравнения (8.2): у (х ) = Сху х (х) + С2у 2 (*), где У1 (x), У2 (x) - фундаментальная система решений (ФСР) на интервале

(a ,b ), т.е. W (x)= У1 У2 Ф 0 Vx е ( a ,b ).у1 у2 2

Характеристическое уравнение: X + pX + q = 0.Общее решение уравнения (8.2) приведено в табл . 8.1, в которой корни ха-

X 2 = - p ± VD, где D = p — q . 1,2 2 4

Таблица 8.1.рактеристического уравнения имеют вид

D Корнихарактеристического

уравненияФСР Общее решение

D >0 Х1 Ф Х2 xe()x2x;e=()x

y = C1y 1 + C2 y 2D =0 X1, 2 = Л) xx()x2x;e=()x

5?

D < 0 Л 2 = a + fii, (fi > 0) У1 (x ) = eax cos f i x ;

У2 (x ) = eax sin f ix

184

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка:у" + p y ' + q y = f (x). (8.3)

Общее решение уравнения (8.3): у = у оо (x) + учн (x), где уоо (x) - общее решение соответствующего однородного уравнения (8.2), учн(x) - частное решение неоднородного уравнения (8.3).Метод вариации произвольных постоянных для нахождения учн: если уоо = Q у! + C2у 2 - общее решение однородного дифференциального уравнения, то частное решение неоднородного уравнения ищется в виде учн = Q (x) у 1 + C2 (x) у2, где C ( x ), C2 ( x) определяются из системы

C1 " у1 h C2 " у2 = 0,1 2 (8.4)

C1 " у1 " + C2 " у2 " = f ( x ) ■

Задачи1. Найти общее решение дифференциальных уравнений:а) у" + 2у - 3у = 0; б) у" + у = 0; в) у" - 2у + у = 0;г) у ” + 4 у = 0; д) у" - 4 у + 5у = 0.2. Решить задачу Коши у " + 6у " + 9у = 0, у(0) = -1, у "(0) = 2.

Решить уравнения:e~x 13. у" + 2 у ' + у = -----. 4. у" + 9 у = -

x sin3xДомашнее задание

5. а) у" - 2 у' - 3 у = 0, б) у" + 4у' + 4у = 0, в) у" - 4у' + 13у = 0.

ex6. Решить уравнение у - 2у + у = — .x

Дополнительные задачи для самостоятельной работыРешить уравнения:

7. у" + у' = (1 + ex ) . 8. у" + 2 у ’ + у = x (1 + x)-1 • e_x.

e2 x9. у" - 4 у ' h 5 у = ------ . 10. у" + у = tgx .cos x

Решение типовых задач—2 xtt f eПример 1. Решить уравнение у + 4 у + 4 у =x3

<1 Структура общего решения: у =уоо (x) + учн(x) Найдем общее решение уоо соответствующего однородного уравнения у " + 4 у ' + 4 у = 0. Характе-

185

ристическое уравнение: X + 4X + 4 = 0, ^ 2 — —2. Следовательно

(см. табл.8.1), уоо = —1 -e~2 х + —2 • xe~2 х .Частное решение учн исходного уравнения будем искать в видеУчн = —i(x )-e~2х + —2(x)• xe~2x. Так как у1 = e_2*, у2 = xe-2*, то система уравнений (8.4) примет вид

—1 ' (x) • e~2 x + —2' (x) • xe~2 x — 0,

—/ ( x) •(—2e-2 x) + —2'( x) •( )= xРешим ее по формулам Крамера:

A —,—2 xe xe - 2 x

-2 e —x e—x — 2 xe-2 x= e-4 x

A—1

0 xe-2 x

—2 xe —2 x —2xe — 2 xe.3x

-4 xe

x

A—2

—2 '(x)

- 2 xe

—2e

A^f—2A

—2 x e

0- 2 x

3x~

-4 xe ' n '( , A—1 1. Тогда получим —1 (x) — — — —A3x

1 1— . Откуда, интегрируя, найдем —1 (x) — —x x

x2

—2(x)=2 xz

. Общее решение исходного уравнения имеет вид

—2x —2x / \ —2 x e xeу = ( —1 + —2 x ) e h

xr = >y = (Cl + C 2x )e -2x + ^ - e - 2x. >

2x

Ответы1. а)у = —e + —2e 3x; б) у —— + —2e x; в) у = —ex + —2xe

г) у = —jCos2 x + —2sin2x; д) у = e2 x (—1cos x + —2 sin x )

2. у —— e (1 + x ). 3. у — e (—1 + —2x ) — xe + xe ln |x |.

4. у — —1 cos3x + —2 sin3x — 1 xcos3x + 1sin3x ln |sin3x|.

5. а) у = —1 e~x + —2 e3x; б) у — e~2 x (—1 + —2 x );

в) у = e2x (—l cos3x + —2 sin3x). 6. у = (—1 + —2x) ex — xex + xex ln| x| 186

1

7. y = C1 + C2e_x + x - ln(1 + ex ) - e_x • ln(1 + ex ).,X'

X+ x - ln|l + x| + xe x •(x - ln|l + x|).8. y = ( C1 + C2 x ) e-x + e-x

9. y = e2* (Ci cosx + C2 sinx) + e2* (cosx ln|cosx + xsinx).

10. y = Ci cos x + C2 sin x - cos x ln , x n+ T

Занятие № 42. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами со специальной

правой частьюОсновные понятия: специальная правая часть, метод подбора, об

щее решение линейного неоднородного уравнения со специальной правой частью [1, с. 445-449].

Частное решение у чн неоднородного уравнения (8.3) в случаях, когда правая часть уравнения f (x) имеет специальный вид находится методом подбора:

I. f (x) = Pn (x) • eax,где Pn(x) - многочлен степени n , а-заданное число, то частное решениеучн выбирается в соответствии с табл. 8.2 (см. решение типовых задач, пример 2).

Таблица 8.2Соотношение между числом а и корнями характеристического уравнения

Вид частного решения учнВид многочлена Rn (x) с неизвестными коэффициентами при n = 0, 2

Л1 Фа Ф Л2 Учн = Rn ( x) eax R0 (x ) = A Ri (x) = Ax + B

R2 (x) = Ax + Bx + C

2Ф= Учн = Rn (x )• e • x

2=а=Л1 Учн = Rn (x )• e • x

II. f (x) = eax (M cos Px + N sin P x ),где M , N , a , P - заданные числа, то частное решение учн находят в в соответствии с табл. 8.3 (см. решение типовых задач, пример 3).

Таблица 8.3.Соотношение между числом a + iP и корнями характеристического уравнения

Вид частного решения учн ( A и B - неизвестные коэффициенты)

Л1 Ф а + i P Ф Лл Учн = e(XX (A cos Px + B sin Px)Л1 = а + i P Ф Л2 Учн = e(XX (A cos Px + B sin Px) • x

187

Задачи1. Указать вид частного решения учн линейного неоднородного дифференциального уравнения, не находя неопределенных коэффициентов:а) у" - 5 у ' + 6 у = (x2 + 1)ex; б) у" - 4у = x2e2x; в) у" - 4у' + 4у = e2x;

г) у" - 2у' + 2у = ex sin x ; д) у" + 9у = cos2x; е) у " - 4у' = 5.Найти общее решение дифференциальных уравнений:

2. у" + 2у' + 5у = ex . 3.у " -2 у ' = x2 - x . 4. у ” + у = cos3x.Решить задачу Коши:

5. у ' - 8у '+16у = e4x, у(0) = у'(0) = 1. 6. у" - 2 у '+ у =1, у(0)=1, у '(0 )= -2 .Домашнее задание

Найти общее решение дифференциальных уравнений:7. у " - 3у ' = 18x. 8. у " + 4у ' + 5у = 5x2 - 32x + 5. 9. у " + 5у ' = sin x .

10. Решить задачу Коши у " - у = e2x, у(0) = 4/3, у '(0) = 5/3.Дополнительные задачи для самостоятельной работы

Найти общее решение дифференциальных уравнений:11. у ” + у = x + 2ex. 12. у "-3у ' = xe3x. 13. у ' + 4у = sin2x .

14. у ” + 4у = 2sin2x - 3cos2x + 1. 15. у" + у = 20sin2 x .

16. Решить задачу Коши у " - 2у ' = e2x + 6x2 -1 , у(0) = 1, у '(0) = 3 2 .

Решение типовых задач Пример 1. Определить вид частного решения учн (неопределенных

коэффициентов не находить) уравнения у " - 3 у ' + 2 у = f (x ) , если

а) f (x) = x - 2; б) f (x) = e4x; в) f (x) = xe2x; г) f (x) = sin x .

< Характеристическое уравнение X - 3X + 2 = 0; его корни Л = 1, —2 = 2.а) Правая часть вида f (x) = Pn (x) • eax, где Pn (x) = x - 2, т.е. n = 1 и a = 0 Ф X12 . Следовательно, учн = Ax + B .

б) Правая часть вида f (x) = Pn (x) • eax, где Pn (x) = 1, т.е. n = 0 и

a = 4 Ф —1 2 . Следовательно, учн= Ae4 x.

в) Правая часть вида f (x) = Pn (x) • eax, где Pn (x) = x , т.е. n = 1 и

a = 2 = —2 . Следовательно, учн = x ( Ax + B ) e2 x .

г) правая часть вида f (x) = eax (M cos fix + N sin fix ), где a = 0; fi = 1;M = 0, N = 1, a + /3i = i ф \ 2- Следовательно, у Чн= A cos x + B sinx. >

188

Пример 2. Найти частное решение уравнения у " — у — e~x , удовлетворяющее начальным условиям у (0) = 1, у '(0) = 5/2.

< Общее решение уравнения находится по формуле у —уоо + Учн.2

Характеристическое уравнение: X — 1 = 0 ; его корни Хх 2 — ±1. Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид (см. табл. 8.1) Уоо = —1 e + —2 e .Правая часть данного уравнения вида f (x) = Pn (x) • eax, где Pn (x) = 1, т.е.

n = 0 и a = — 1 = X . Следовательно, у чн — Axe~x (см. табл.8.2). Подставляя

Учн, у ' чн = Ae~x — Axe~х, у "чн = — Ae~x — Ae~x + Axe~x в данное уравне

ние, получим: —2Ae~x + Axe~x — Axe~x = e~x ^ A = —1/2. Таким обра- 1 —x rзом, у чн = ——xe и общее решение уравнения имеет вид:

у — —e + —2 e~x — 1 xe~x. Тогда у r — — ex — —2 e~x — 1 e~x +1 xe_ x .

Найдем —1 и —2, используя начальные условия.у (0) — 1,

у (0) - 2

—1 + —2 - 1,

г г 1 - 5 ^ С1 = 2, С2 = -1 .1 2 2 2

Итак, искомое частное решение имеет вид у = 2ех — е х ~~хе Х ■ >

Пример 3. Найти общее решение уравнения у ” + у — 2 cos x — 4 sin x . <1 Общее решение уравнения находится по формуле у =уоо +учн.

Характеристическое уравнение: X +1 — 0 ; его корни X 2 = ±i. Общее решение соответствующего однородного уравнения у "+у = 0 (см. табл. 8.1) имеет вид уоо = — 1 cos x + —2 sin x .Правая часть данного уравнения вида f (x) = eax (M cos J3x + N sin fix) , где a — 0 ; fi — 1; M = 2 , N = —4, a + fii = i — корень характеристического уравнения. Следовательно, частное решение неоднородного уравнения имеет вид (см. табл. 8.3), учн = x ( A cos x +B sin x ) ^

у 'чн = A cosx + B sinx + x (—A sinx + B cosx ) ^

у '' чн = —2 A sin x + 2 B cos x + x (—A cos x — B sin x ).

Подставляя учн, у ' чн, у "чн в исходное уравнение и приравнивая коэффициенты в обеих частях равенства при cos x, sin x, получим A = 2, B = 1.

189

Общее решение данного уравнения имеет виду = C1cosx + C2 sinx + x (2cosx + sinx). >

Ответы.31. а) Учн = ( Ax2 + Bx + C) ex ; б) Учн = (Ax3 + Bx2 + Cx ) e2 x ; в) Учн = Ax2e2 x ;

г) Учн = xex (A cosx+B sinx) ; д) Учн = Acos2x+Bs in 2x ;

е) Учн = Ax. 2. y = e~x (C\ cos 2x + C2 sin 2x ) + 0,125ex .2 3 / 13. y = C1 + C2e x - x/^ . 4. y = C1cosx + C2 sinx - — cos3x.

5. y = e4x (1 - 3x + 0 ,5x2 ). 6. y = 1 - 2xex . 7. y = Q + C2e3x - 3x2 - 2x .

8. y = e (C1 cos x + C2 sin x) + x — 8x + 7 . 9. y = C1 + C2 e —1 1

----- (5 cos x + sin x ). 10. y = ex + - e2x. 11. y = C cos x + C sin x + x + ex .26 ’ 3

12. y = C1e3x + C2 + e3x — x — x v 6 9 ,

13. y = C1cos2 x + C2 sin2 x - 1 x cos2 x .

x / \ 114. y = C1 cos 2 x + C2 sin2 x - —( 2cos2 x + 3sin2 x ) + —.

15. y — C1 + C2 e + +10x + 2cos2x — s in 2 x .3

16. y = e (1 + 0,5x) — x — x — x .

Контрольные задания по теме «Дифференциальные уравнения»f 21. Доказать, что решением уравнения первого порядка y ' = y x является

2функция y (x )=

x2 +12. Определить типы дифференциальных уравнений 1 -го порядка:

1) x2dy = (2xy + 3)dx; 2) xy' = yln — ; 3) (y - 2)dx - ( x + 2)dy = 0:V x )

4) y ' (2 y In y + y + x) = y ; 5) (x + 1)(y ' + y 2 ) = - y .Ответ: 1) линейное; 2) однородное; 3) с разделяющимися переменными;4) линейное относительно x (y ) ; 5) уравнение Бернулли.3. Найти общее решение уравнения xy + (x + 1)y ' = 0.

Ответ: y = C (x +1)e x.190

4. Найти общее решение дифференциального уравнения у ' - у = вх.

Ответ: у = (x + C) вх.

5. Найти y (x ) - решение задачи Коши: x2 dy - (x2 + 2xy)dx = 0, y(2) = 3 .

Ответ: у (x ) = 5 x2 - x.

t 2 у6. Найти общее решение дифференциального уравнения у = — i— .У x

4I 4Ответ: у (x ) = ±xJ C ---- .x

7. Найти общее решение дифференциального уравнения

у ” = cos3x + s in 5 x . Ответ: у = - 1 cos3x — — sin5x + Cx + C .9 25 1 2

8. Проверить, какая из следующих функций:О 2 ■•л ■•л

1) у = x + - ; 2) у = x 3 +1; 3) у = - - ; 4) у = x 2 + -x 2 x xfу

является решением уравнения у + 2 — = 3 .Ответ: 3).x

9. Записать линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно искомой функции у (x ), если известны корни егохарактеристического уравнения: —1 = 2, — = 3. Ответ: у " - 5у " + 6у = 0.10. Найти решение задачи Коши: у " + у ' - 2 у = 0, у(0) = 3, У (0 )= 0 .

Ответ: у = 2ex + e~2x.11. Найти вид частного решения у чн следующих линейных неоднородных дифференциальных уравнений, не вычисляя неопределенных коэффициен

тов: 1) у" - 4 У + 3 у = ( x + 2) ex ; 2) у " + 1 у = 3 x ;

3) У " - 4 у ' + 4 у = e2 x ; 4) у " + 4 у ' + 3 у = cos 2 x .

Ответ: 1) у чн = (Ax2 + Bx) ex ; 2 )у чн = Ax + B; 3 )у чн = Ax2e2x;

4) у чн = A cos 2 x +B sin 2x.12. Найти общее решение дифференциального уравнения у " + 2 у ' = 3x +1

-2 ^ 2 1 Ответ: у = C + C e x + — x — x.1 2 4 4

191

Занятие № 43.Числовые ряды. Необходимый признак сходимости. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

Основные понятия: определения числового ряда, суммы ряда, сходящегося, расходящегося рядов, свойства сходящихся рядов, необходимый признак сходимости, ряды с положительными членами, признаки сравнения [1, с. 379-385].

Числовым рядом называется выражение видаГО

а1 + а2 + ••• + an + ••• = 2 an , (91)n=1

где {ап }“=1 - заданная числовая последовательность. Числа аь а 2 , ..., ап,... называются членами ряда, ап - общим членом ряда.

nСумма п первых членов ряда Sn = 2 ak = ai + а2 +... + ап называется

k=1n — ой частичной суммой ряда (9.1). Если последовательность {Sw }ГО частичных сумм ряда имеет конечный предел lim Sn = S , то ряд называется

n ГОсходящимся, а число S - суммой этого ряда; в противном случае ряд называется расходящимся.

I. Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд (9.1) сходится, то lim an = 0.

n roII. Признак сравнения. Пусть для рядов:

ГО2 an (an > 0 ) (9.2)n=1ГО2 bn (bn > 0) , (9 3)n=1

начиная с некоторого номера, выполняется неравенство an < bn. Тогда: если сходится ряд (9.3), то сходится и ряд (9.2); если расходится ряд (9.2), то расходится и ряд (9.3).

III. Предельный признак сравнения. Если для рядов (9.2) и (9.3) су-а

ществует конечный предел lim — = L Ф 0, то ряды либо одновременноn ^ r o b

n

сходятся, либо одновременно расходятся.В качестве «эталонных» рядов (рядов сравнения) часто используют следующие ряды:

9. РЯДЫ

192

Я 1• обобщенный гармонический ряд - ряд вида У — , p > 0 ,

n=1ПРкоторый сходится при p > 1 и расходится при p < 1;• ряд, составленный из членов геометрической прогрессии (геометриче-

Яский ряд): У bqn = b + bq + bq2 +... + bqn- 1 +... (b Ф 0). Этот ряд сходится

n=0

при |q| < 1, его сумма равна S b1 - q

Задачи

и расходится при |q| > 1

Для ряда У an выписать к первых членов ряда:n=1

Я n2Я 2 n - 11 . У к = 5 . 2 . У

n~1 n2 + 1 ny n! +1

1 4 2 Ш Щ

к = 5.

3. Для ряда — +2 3л/2 4л/3 5а/4

+... указать формулу общего члена ря-

да:

а) an = (- О'

в) an = ( - 1 )

Vn(n + i y n ’

n+1 V"

б ) a n =4n

г ) a n = ( - 1 )

(n + l)Vn ’

1 3 n -1(n + i)V " ’ n W n - 1

Записать одну из возможных формул общего члена ряда, зная его первые четыре члена:

1 1 1 14 . -------+------- +...2 4 6 8

+М У ( 5^4

6. У

Найти сумму S ряда: (0,2)"

5 7- Уn=1

V 3 У

2n-1 • 3'

5 у+

V 7 у+..

8. У

nn=1 5 n=1 7

Найти предел общего члена ряда и сделать вывод о сходимости ряда: Я n2 - 3 „ Я 4n + 54n _ Я n + 2=i4n2 + 2n + 5 n=i2n + 4 V n — 1 n=iJn (n

Исследовать ряды на сходимость, используя признаки сравнения:

Я n +1 Я

9. Уn=12n + 4л/" — 110. У

"=iJn (n + O'

11. У ,n=lV " У12. У - 2n=i2n + 3n + 5

13. У Cgm

=1 2n3 + 3

Я

n

n

193

Я14. I

2n + 3n +1 Я sin2 n— 4 3n=i2n + n + 5n + 3

15. In=1 nVn

Я J16. I arcsin-

n=1 n

Домашнее заданиеНайти сумму S ряда:

17. ! ( з -(0,7)" + 7-(0,3)").n=1

Я о " —119. Для ряда I —— найти а =

, о „ 4 4 4 418. 4 + - + — +---- +... + — +... .5 25 125 5n

2 = 1 n 2

20. Для ряда In=1

n !

~ ,3 n + 1найти P = 7 ax - аз + 5a2

41a.

Исследовать ряды на сходимость:

21. I ( n +1) sin — . 22. In=1 2n

Я 3n2 + n + 2- . з 2 n=1 n + n + n + 1

Я 4n 2 + 7 23. I 4n + 7

n=13n + n + 2

Дополнительные задачи для самостоятельной работыИспользуя определение, найти сумму ряда:

2 Я 424. I —

n=1 n + 2n25. I -

n=1(2n - iX2" + 1) 'Исследовать сходимость ряда:

26. In -1

n=1л/n3 + 3n -1

_ » ( n + 2 Л 27. I lnn +1

28. I arctg n +1

n=1 3/n + 3n +13

Решение типовых задач Пример 1. Записать одну из возможных формул общего члена ряда

_ 22 23 24 an, зная его первые четыре члена: 2 + — + — + — +....

0 21 22 23 24 < a = 2 = — , a = — , ^ , a 4 = — . Очевидно, что числители дро-

1 1 2 2 3 3 4 4бей образуют геометрическую прогрессию 2, 22, 23, 24, ...; n -й член этой

прогрессии равен 2n . Знаменатели образуют арифметическую прогрессию

Я

Я

Я

194

1, 2, 3, 4 ,... ; n -й член прогрессии равен n . Тогда общий член ряда an

2 nможно записать в виде an = — .

nОднако нужно иметь в виду, что по нескольким первым членам од

нозначно восстановить формулу общего члена ряда нельзя. Например, в данной задаче формула общего члена ряда может иметь вид:

2n +(n —1)(n — 2)(n — 3)(n — 4)an . ^n

ГО nПример 2. Исследовать на сходимость ряд 2n=i 2n +1

n 1< Так как lim ------- = — Ф 0, то не выполняется необходимое условиеn ——го 2n +1 2

сходимости ряда: lim an = 0 , и, следовательно, ряд расходится. >n—ro

ГО jПример 3. Исследовать на сходимость ряд 2 — --------.

р р р 2 ln (n +1)

< Из неравенства \п(п +1) < п +1, п е □ => а = ——— - > —-— = Ъп1п(и + 1) п +1

расходится как остаток после первого члена гармоническогоn +1

ГО л

Ряд 2 — г n=1n + 1ГО j

ряда 2 1 . Следовательно, по признаку сравнения исходный ряд расхо-n=1 n

дится. >ГО j

Пример 4. Исследовать сходимость ряда 2 arcsin —= .n=1 v n

< Применим предельный признак сравнения, взяв для сравнения расходя

щийся ряд 2 (обобщенный гармонический ряд при p = —). Так n=1 V n 2

. 1 1 arcsin - = - =arcsin—1= □ —j= , n —> с о ; t o lim ------_ y J J _ = \[m2iIL = 1 ^ 0 , следователь-

yjn y/n 1 1yjn yfn

но, исходный ряд также расходится. >

как

195

Пример 5. Исследовать сходимость ряда ZЯ n3У!n

Я< Для сравнения выберем ряд Z ~7, который сходится. Вычислим

n=1nn

3 3lim n -+ 1 = lim —n— - = 1 Ф 0 , тогда по предельному признаку сравненияn —я 1 n —я n +1

n2исходный ряд сходится. >

Ответы1 3 5 7 9 1 4 9 16 25

1. — \-----\------\------ \------ +.... 2. — \-----\-----\------ \------- +.... 3. в).2 5 10 17 26 2 3 7 25 121

v " -1( - 1) ( n+1 Y 1 1c ~ - 6. — . 7. 1. 8. lim a n = —; расходится.

20 n——я 44. an = ^ ---- . 5. an

2n v 2n -1 у9. lim an = 2; расходится. 10. lim an = +я ; расходится. 11. Сходится.

n—я n—я12. Расходится. 13. Сходится. 14. Сходится. 15. Сходится. 16. Расходится.

25 1117. 10 . 18. 5. 19. — . 20. — . 21. Расходится. 22. Расходится. 23. Сходится. 36 24

24. —. 25. 2. 26. Расходится. 27. Расходится. 28. Сходится.2

Занятие № 44. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. Знакопеременные ряды Основные понятия: признаки Даламбера, Коши; понятие знакопе

ременного ряда, достаточный признак сходимости знакопеременного ряда, знакочередующийся ряд, признак Лейбница, абсолютно и условно сходящиеся ряды [1, с. 385-391].

IV. Признак Даламбера (см. комментарий с. 317). Пусть для рядаЯ aZ an (an > 0) существует конечный предел lim n+1 = l . Тогда при l < 1n=1 "—я a nряд сходится, при l > 1 расходится.

V. Интегральный признак Коши (см. комментарий с. 318). Если чле-Я

ны ряда Z an (an > 0) являются значениями непрерывной положительнойn=1

монотонно убывающей на промежутке [1; + я ) функции f (х) и an = f (n)Я +Я

для любых п е □ , то ряд и несобственный интеграл J f(x)dx схо-n=1 1

дятся или расходятся одновременно.

196

ЯVI. Радикальный признак Коши. Пусть для ряда У an (an > 0) су-

n=i

ществует конечный предел Jim "a" = l . Тогда при l < 1 ряд сходится, прип—я

l > 1 расходится.

Числовой ряд У an , члены которого могут быть как положитель-п=1

ными, так и отрицательными, называется знакопеременным рядом.VII. Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда.

Я ЯПусть У an - знакопеременный ряд. Если ряд У |an| сходится, то и дан-

п=1 п=1ный знакопеременный ряд также сходится.

Я ЯЕсли ряд У |an| сходится, то ряд У an называется абсолютно схо-

" = 1 " = 1Я Я

дящимся. Если ряд У |an| расходится, а знакопеременный ряд У an схо-п=1 п=1

дится, то он называется условно сходящимся.Ряд называется знакочередующимся, если любые два соседних члена его имеют противоположные знаки. Если первый член ряда положителен, то знакочередующийся ряд может быть записан в виде:

Яa 1 - a 2 + a 3 - a 4 + • • • + (— l)n 1 a n + • • • = У (— l)n 1 a n , (94)

п=1

где ап > О для любого п е □ .VIII. Признак Лейбница (см. комментарий с. 319). Знакочередую

щийся ряд (9.4) сходится, если:1) члены ряда по абсолютной величине образуют монотонно убыва

ющую последовательность, т.е. ах> а2 > ...> ап > ап+1 > ...;2) lim a = 0,

при этом его сумма S удовлетворяет неравенству: 0 < S < a i .

ЗадачиИсследовать на сходимость ряды, используя признак Даламбера:

Я я 7 "1. У -----"-----. 2. У .

"Ti2" (" +1) У 1 п 2

197

Коши:Исследовать на сходимость ряды, используя радикальный признак

3. 2rof n + О n

n=14 2n + 3

/ r s \nro f ~-2 , ^ \

4. 2n=1

ГО5. Исследовать на сходимость ряд 2

n2 + 2 3n — 1

1

гральный признак Коши.Исследовать на сходимость ряды:

n=1 (n +1) ln2 (n +1)используя инте-

ro 5n6. 2

n=7. 2

n1 (2n + 0 ! n=1 n!

8. 2 2'n=1 n + 3

1 -3...(2n - 1 )

10. Исследовать на сходимость ряд 2 (—1)n+1

n=1 V

=14 - 7...(3n +1)

используя признак

Лейбница.Выяснить, какие из рядов сходятся абсолютно, какие условно, какие

расходятся:

i i . 2(— 1)

n+1

1 3 5 n=1 V n. 12. 2 (— 1)

n +1 2

. 13. 2 ( — 1)= 1 1 0 n + 1 2 '

(n—1)n2 + 1

ГО(—1)n—1

. 14. 2n= n •2n

Домашнее заданиеИсследовать на сходимость ряды:

ГО15. 2

(n + 3)2'16. 2

n=1

Vln n +117. 2

r o r n + 3^nn=14 3n + 1n=1 (n + 1)! n=1 n

Выяснить, какие из рядов сходятся абсолютно, какие условно, какие расходятся:

ro(— 1)

n +1 2 n ro

18 2 2 .n=1 n + 2n + 319. 2 (— 1)

n+1 3 n20. 2 ( — 1)n

n=1

10 n 3n + 5

Дополнительные задачи для самостоятельной работыГО

21. Исследовать на сходимость ряд 2 3n+1 - е2 n . Вычислить a2 .n=1 ro 2n • n

22. Исследовать на сходимость ряд 2 ------- и вычислить limn=1r i 5 n +1 n—ГО

Г \2 О .

4 an+1УИсследовать на сходимость ряды. В случае абсолютной сходимости

найти а = а2 • а 4 — 2а1 • а3; в случае условной сходимости найти Р = а 1 • а 4 — а9; в случае расходимости найти у = а1 + 5а2:

23. 2 ( — 1)n=1

198

n+1 3n +1 n + 3

n24. 2 (— 1)

n—1 2nn=1 2'

25. 2 (— 1)n=1 n + v n

n

n

ro

n

Я26. Исследовать на сходимость ряд Z (-1 )n-1 1

В случае сходи-n=1 n +12 n

мости найти его сумму с точностью 6 = 0,01.я (_ l)n+1

27. Исследовать на сходимость ряд Z ( J \, . В случае сходимости

найти его сумму с точностью 6 = 0,001.n=1 (2n)!

Решение типовых задачя

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд Z

«"+1 о"n=1 n!

2" • 2 .. an+1 и lim2" 2

< Так как an = — , an+! = -(---- = - у -------- -Тn! (n +1)! n!(n +1) n—я an

2" • 2 "! 2= lim —------------- = lim -------= 0 < 1, то ряд сходится по признаку

п —Я n !(n + 1) 2" п —Я n +1Даламбера. >

Я f 2n + 5л2"Пример 2. Исследовать на сходимость ряд Zn=1V 3" + 8

< Так как lim " a„ = lim "" —Я n —Я

^2n + ^ 2n= lim

n ——Я2n +5 2

v 3n + 8 у n —®v 3n + 8 у ному признаку Коши. >

ЯПример 3. Исследовать на сходимость ряд Z

2 2

3то ряд сходится по радикальному признаку Коши. >

Я

v 3 у= 4 < 1.

9

< Функция f (х) = 1х-ln х

n=2 " ln "удовлетворяет условиям интегрального признака

Коши в промежутке {2; + я ) . Исследуем на сходимость несобственный

+Я dx v f dx ф интеграл: I -------= lim I--------= lim ln ln x l = +я , т.е. интеграл рас-2 X ln X f —+»2 X ln X ф—+я 12

Я 1ходится, следовательно, и ряд Z -------также расходится. >

n=2 n ln n

Пример 4. Исследовать ряд Z ( - 1)" + _ на абсолютную и условнуюn=1 "сходимость.

< Исследуем ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд из абсо

лютных величин членов данного ряда: Zn=1

ский ряд, который расходится. Так как

(-1 )n+1 1

"

Я 1

n=1"гармониче-

Я

Я

199

1 1 1 1 . s

1a \ = 1 > a 2 = T > ^ 3 = - > • • ■ > a n = - > a n+\ = — : > • • • и2 3 n n +1

lim an = lim — = 0, то исходный ряд сходится по признаку Лейбница,п ——я п—я "причем условно, т.к. ряд из абсолютных величин расходится. >

ЯЯПример 5. Показать, что ряд У (— 1)"+ - у сходится и вычислить

п=1 п—2

его сумму с точностью до 10 .< Данный ряд является знакочередующимся. Так как

a1 = 1 > a 2 = 1 > a3 = -1 > ••• > an = Л > - и lim an = lim Л = 0 , то8 2/ n n—я n—я "ряд сходится по признаку Лейбница.Находим первый член ряда, который по абсолютной величине меньше

-2 1 110 : a = ---- <----- . Поэтому, с точностью д < 0,015 125 100

S * S4 = 1 - 1 + - -------- * 1 - 0,125 + 0,037 - 0,016 = 0,896 * 0,90. >4 8 27 64

ОтветыI. Сходится. 2. Расходится. 3. Сходится. 4. Расходится. 5. Сходится.6. Сходится. 7. Сходится. 8. Расходится. 9. Сходится. 10. Сходится.II. Сходится абсолютно. 12. Сходится условно. 13. Расходится.14. Сходится абсолютно. 15. Сходится. 16. Расходится. 17. Сходится.18. Сходится условно. 19. Сходится абсолютно. 20. Расходится.

44 121. Расходится, a = 27. 22. Сходится, 5. 2 3 .------. 24. — . 25. 0.

2 5 826. * 0,06. 27. * 0,460 .

Занятие № 45. Степенные ряды. Область сходимости Основные понятия: степенной ряд, свойства, радиус сходимости,

интервал сходимости, область сходимости [1, с. 391-396].Ряд вида

Яa 0 + axx + a2 x2 +... + anxn +... = У anxn (9.5)

n=0называется степенным рядом. Числа a0 , a i, a2 , ..., an,... называются коэффициентами ряда. Множество Q тех значений x, при которых ряд сходится, называется областью его сходимости. Множество Q всегда не пусто, так как любой степенной ряд (9.5) сходится при x = 0.

Если степенной ряд (9.5) сходится в точке x Ф 0, то область Q для ряда (9.5) состоит из интервала сходимости (— R;R) (R > 0), к которому в зависимости от конкретной ситуации могут быть присоединены точки

200

х = ±R (рис.9.1), в которых нужно исследовать ряд на сходимость. Число R называется радиусом сходимости и находится по формуле

R = limn——Я

a„a,n+1

(9.6)

если существует предел limn —я

an+1a

Ф 0 .

b—►-R 0 R X

Рис. 9.1.

Если lim an+1 = 0, то R = я , а если lim an+1n ——Я a n n——Я an

я , то ряд сходится

только при х = 0, т.е. R = 0. Для степенных рядов

a 0 + al (х - х0) + a2 (х - х0Я

) + ... + an (х - х0 )" + ... = Z an (х - х0 )" (9.7)n=0

интервал сходимости имеет вид: (х0 - R; х0 + R) (рис. 9.2). Радиус сходимости находится по формуле (9.6).

х0 - R х0 х0 + R х Рис. 9.2.

Интервал сходимости степенных рядов (9.5) и (9.7) можно найти, применяя непосредственно признак Даламбера или признак Коши (радикальный) к рядам, составленным из абсолютных величин членов исходных рядов:Я Я nn - > %

n=1 n=1Z \an х и Z |an х - х0 (см. примеры 3 - 5).

ЗадачиЯ

Найти интервал сходимости степенного ряда Z an (х - х0 )" , еслиn=0

известен его радиус сходимости R :Я Я Я о

1. Z anXn , R = 5. 2. Z an (х - 3)" , R = 2. 3. Z an (х +1)" , R = - .n=0 n=0 n=0 2

201

Я4. Найти интервал сходимости степенного ряда У an (x + 3)" , если

п=0

limп — Я

an = 3.an+1Найти радиус сходимости степенного ряда:

5. У - g L , . 6. ( . + 3)'п=0\ п + 2 п=0 10

Найти интервал сходимости степенного ряда:5" „ £ ( x -1)" Q £ (x + 4)'7. У 7------г x" . 8. У ----- { - . 9. У ^ — v- , .

ПТ0(" + 1)! "Г0 3"+1 "Г)(п2 + l ) - 2"+1Найти область сходимости степенного ряда:

10. У (x . 11. Г Г (-1)"—1 (x - 3)" . 12. ГГ " 3 •10 "+1 x"п=0 5"л/п + 1 п=1 2" • !n(l + п) п=1 (2n l)!п = 1

Я13. Найти интервал сходимости степенного ряда У an (x - 2) , если

п=0

= 4.limп — Я

anaп+1

Домашнее заданиеЯ . +114. Найти радиус сходимости степенного ряда У ----- -------- г- xn.

п=0 2" •(п2 + 1)Я ^"

15. Найти интервал сходимости степенного ряда У , x. =iV (2п -1 )- 2"

Найти область сходимости степенного ряда:

16. УУ (— + !) (x - 5) . . 17. У (x + 1)3'п =1 Л/" п=1

Дополнительные задачи для самостоятельной работыЯ 3" • п!

18. Найти интервал сходимости степенного ряда У --------- xnп=1 (" + 1)"

Найти область сходимости степенного ряда:

19. УУ (x + 2)П---- -. 20. У ( - 1)" (x —1)3".=1 (l + п) ln2(1 + п)' "=1 27п • 3 п + 2

202

Найти область сходимости степенных рядов. Сколько членов данного ряда достаточно взять, чтобы соответствующая частичная сумма Sn (х) при х = Х0 отличалась от суммы ряда S (х0 ) меньше, чем на £ ?

21 2 (х + 1) v _ о m ™ 2 ^ 1 \n (х — 2)’ 2 n • 8n

хсn =1

£ = 0,05.

2 , £ = 0,01. 22. 2 ( — 1)n 1 = - ^n=1 V2n + 3

хп = 1.

ГО хп

n


Пример 1. Найти радиус и интервал сходимости ряда 2n=1

< Это степенной ряд вида (9.5) с an = 1 , an+1 = —1—n n + 1

формуле (9.6) получим:1

тогда по

R = limn—ro

n1

n +1

1 • n +1= lim ------= 1. Следовательно, интервал сходимости:n—ro n

(—1 1) . >

ro (х — 2)nПример 2. Найти радиус и интервал сходимости ряда 2 ----- 2—

< Это степенной ряд вида (9.7) с an 1 1n2 , an+1

(n +1)2

n =1 n

и х0 = 2. Тогда

R = limn—ГО

а„аn+1

= limn—ro

n1

= lim (n +1)2n—ro n2 = 1 . Следовательно, ряд схо-

(n + 1)2дится для всех значений х е (х0 — R; х0 + R) = (1; 3). >

ГО хпПример 3. Найти область сходимости Q степенного ряда 2

n =1 n< Применяя радикальный признак Коши к ряду, составленному из абсолютных величин, получим

lim n\un\ = limn—ro n—ro

хn

■ F || . 1lim — = х lim — = 0 < 1. Так как предел не зави-n—ro n n—ro n

сит от х и меньше единицы, то ряд абсолютно сходится при всех значениях х. Следовательно, Q = (—ro, го). >

1

n

203

ГОПример 4. Найти область сходимости Q степенного ряда 2 n! хп

n=1< Применяя признак Даламбера, к ряду, составленному из абсолютных величин, получим

limn—ro

иn+1и

= limn—ro

(n +1)! .n+1х

n! х'= lim (n +1) х = х lim (n + 1) = +ro

„ n—ron—ro

Следовательно, ряд сходится только в точке х = 0 ^ Q = {0}. >ГО

Пример 5. Найти область сходимости степенного ряда 2 (х —1)

n=1 n< Применяя признак Даламбера, к ряду, составленному из абсолютныхвеличин, получим

limn—ro

иn+1и

limn—ro

(х —1)1n+1

n +1

(х — 1)nn

limn —ro

(х —1) nn +1

= |х — 1 lim n = |х —1|n—ro n + 1

Следовательно, ряд сходится при |х —1| < 1 и расходится при |х —1| > 1, т.е. интервалом сходимости является интервал — 1 < х — 1 < 1 ^ 0 < х < 2 . Исследуем сходимость ряда на концах интервала. При х = 0 получим

числовой (— 1)n=1 n

, который сходится условно по признаку Лейбница,

ГОа при х = 2 получим расходящийся гармонический ряд 2 _ . Тогда об-

n=1nласть сходимости Q=[0; 2). >

Ответы

1. (—5; 5). 2. (1; 5). 3. (—2,5; 0,5). 4. (—6; 0). 5. 1 . 6. 0. 7. (— ro; + го) .

8. (—2; 4). 9. (—6; — 2). 10. [— 4; 6). 11. (1; 5]. 12. (—ro; + го) . 13. (0; 4). 14.

' f ; f j . 16. (4; 6]. 17. [— 3; 1). 18. ( — e . 19. [— 3; — 1].

20. (—2; 4]. 21. [— 3;1); n = 4. 22. [1 ;3]; n = 198.

2. 15.

204

Занятие № 46. Ряды Тейлора Основные понятия: разложение функций в степенные ряды, ряд

Тейлора, ряд Маклорена, разложение элементарных функций в ряды Маклорена [1, с. 396-402].

Ряд Тейлора (см. комментарий с. 323) для функции f ( х ) в точке х0 имеет вид:

f (х0 ) + f '( х0 ) ( х - х0 ) + f "(х0 h 42■ (х — X0 ) +.. + ■ (х — х0 )" +.. (9.8)2! v 07 n!

Ряд Маклорена (ряд Тейлора в точке X0 = 0 ) для функции f (х ):

/ ч f '(0 ) f "( 0) 2 f ( 0)( 0) nf (0) + — ^ х + — ^ х2 +... + ----- ^ х" +..w 1! 2! n!

Разложение некоторых функций в ряд Маклорена (см. комментарий с. 320):

X Я х"-п "!

" 2 n+1n=0

• ^ (—1)Sin X = Z -------—"Si (2" +1)!

^ (—1)cos X = Z 4 / ■---- ,n=J (2")! ,

jceO .

" х 2"jceO .

Я(л \m 1 V - rn(m-l)...(m-n + l ) n(1 + x) =1 + Z — ------ — ------------ x

n=1 n!х < 1,

(m — любое действительное число).1

1 — х 1

= Z х хn=0Я

= Z ( —1)" х"1 + х

< 1.

х < 1.n=0

. . » ( —1)"+1 Xn ln (1 + X) = Z ------------ X

n=1 n (—1; 1].

(9.9)

(9.10)

Задачи1. Написать (формально) ряд Тейлора для функции f (х) = 3х в точке

х0 = 12. Написать два первых отличных от нуля члена ряда Маклорена для функции f (х ) = ln ( х + eX ).

205

Разложить функции в ряд Маклорена и найти области сходимости полученных рядов:

.- x 2

x10

3. f (x) = cos5x . 4. f (x ) = e

5. f (x ) = x ln ( l + 2 x ) . 6. f (x ) = -1 3 x

7. f (x ) = cos2 x . 8. f (x) = ln (3 - 4x) .

9. f (x ) = t ^ . 10. f (x )= 12 + x sjl — xРазложить функции в ряд Тейлора в точке x0 :

11. f (x) = ex , x0 = 2. 12. f (x ) = t ^ , x0 = 1.2 + x

Домашнее заданиеРазложить функции в ряд Маклорена и найти области сходимости

полученных рядов:13. f (x ) = xe-2 x. 14. f (x ) = sin x cos x.

15. f (x ) = ln (9 + 2x). 16. f (x ) = x .

17. Разложить функцию f (x) = cos 2 x в ряд Тейлора в точке x0 = —.

Дополнительные задачи для самостоятельной работы—x

18. Разложить функцию f (x) = (2 - x) sin — в ряд Тейлора в точке x0 = 2.

19. Разложить функцию f (x) = ------ - в ряд Маклорена.4 — x

Применяя дифференцирование, разложить заданные функции в ряд Маклорена:

20. f (x ) = ln (x + л/1 + x 2 ). 21. f (x ) = arcsin x . 22. f (x ) = ( l + x) ln ( l + x ).Вычислить:

1 sin x 1 223. [ ------dx с точностью s= 0,01. 24. [ e~x dx с точностью s= 0,001.x0 x 0

Найти пять членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения:25. y" + 2У + 2xy = 0, y (0) = y'(0) = 1.26. y " — y cos x - x = 0, y (0) = 1, y ' ( 0) = 0.

206

Решение типовых задач Пример 1. Написать три отличных от нуля члена разложения функ

ции f (х) = ln х в ряд Тейлора в точке х0 = 1.

< Находим производные функции f (х) = ln х : f '(х) = 1 , f "(х) = - 1х х2 ’

2f " (х) = — . Подставляя х0 = 1, имеем f (1) = ln 1 = 0 , f ' (1) = 1, f " (1) = —1, х

f ""(1) = 2. Следовательно, используя (9.8), получим три члена разложения функции в ряд Тейлора:

1 (х - 1) + (х - 1)2 + (х - 1)3 + ... = х -1 - Р (х - 1)2 + ^ (х - 1)3 +... >

/ \ 3Пример 2. Разложить в ряд Маклорена функцию f (х) = ех .

< Обозначим t = х и используем разложение (9.9):

е t = х~ . И "2 Ч = 1 4 - = 2ГО f-П ГО ГО х3'-пП!п=0 п=0 -п ' !п=0

Пример 3. Разложить в ряд Маклорена функцию f (х) = х~л/Т—х

< Перепишем данную функцию в виде f (х) = х3 • (1 + (— х2 )) 2 и восполь-1

зуемся разложением (9.10). Подставляя m = — — и делая подстановку, по

лучим:

0—х2) 2 =

ГО1 Г 1 Л ( 1— п +1

=(1+t) 2 = 1 + 2п=1

2------ 1

4 2 У 2п!

Это разложение справедливо для интервала —1 <t < 1.

Подставив в это разложение t = — х , получим разложение в ряд Маклорена верное для всех х из интервала—1 < х < 1:

J ГО ГО3 • 5 •... •( 2п — 1)1 + 2 -------------(------- ) х

х п=1 2' • п !2 п - 1 + 2 ( 2п 1)!! х2 п

2п • п!П=1

Тогдах~

JT—= х~

хn f ( —1) !

V »2 1 2я • п!х.2п = х 3 + 2

(2п — 1)!х.2 п+3

“т 2п • п !п=1Так как 2п • п! = (2п) ! ! , то ответ может быть записан в виде:

1 1

207

x Я

V i—.= x3 + У

( 2n -1 ) !!x2n+3, x e ( - u ) . >

x" n=1 (2n)!!Замечание. Двойные факториалы означают последовательное произ

ведение четных или нечетных натуральных чисел:(2п -1 )!!= 1-3 • 5 •... • (2п — l) (читается: "два эн минус один два факториал");(2 .) !! = 2 • 4 • 6 •... • (2 .) (читается: "два эн два факториал").

я n" ';1. У --------- (x -1 )" . 2. 2x ------- +... . 3. У

У п! 2 У

Ответы2 Я (-1)" 52п

■x2n, x e ( - я ; яп=0Я

4. У ^п=0 п!

Я

Я >п п+106. У 3" x"'* “, xn=0

■x2n, x е ( - я ; я ). 5. Уn=1

' 1 г3 , 3

n=0 ( 2 " ) !

x"+1, x e (-0 ,5 ; 0,5].

(—я ; я ) .

V

" о 2 n—1

У

^ (-1 )" 2 7. 1+ У Ц Ц

пУ 1 ( 2 п )!2nx , x е ( - я ; я(—я ; я ) .

я л " "8. ln 3 - У ------- , x e

У п • 3"1. 9. £ № " , x

4 4 У п=0 2п+1 ( - 2; 2).

10. 1 + У (2" - 1)!! x ' У 1 (2")!

x e [-1 ; l ) . 11. e2 У ^ 2)"=1 "=0 n !

x", x e ( - я ; + я ) .

я(-1 )" (-1)" • 2"

l 2- УЪп+Т( x - 1Ь x e ( - 2 ; 4 ). t t . У"=0 " !'2'п=1 3

я I 1 Vn о 2 "

x"+1, x e ( - я ; + я ) .

14. У 1) 22 x2"+1, x(-1)"+12

п • 9'

(-1 )" 2x

п=0 (2" +1)!9 9 >

2 ; 2 ,

e ( - я ; я ) . 15. ln9 + Уп=1

\П п+116. У 2nx"' \ xn=0 2 ; 2

. 17. У

'"x"

п=я ( 1 \"+1 _2п

x e ( - я ; + я ) . 18. У ( ^ —-— (x - 2)2"+1 ( ; ) У 24" (2n) V 7

1 ( 2" -1 )!

x e ( - я ; + я )

ni 2 п—1 г —x ----

V 4 у

2 п-1

п=0я 2п+1 ( \ sn (2n -1 ) !! x2"+1

19. У ----- т , x e ( - 2; 2). 20. x + У ( - 1 ) ” \ 4 J----------- -n=0 4"+1, ( ; ) У K ’ (2" )!! 2n +1-

x ( - 1; 1) .

я

я

208

^ ( 2 n — 1)! х2n+1 r 1 Л „ ^ Л"+1 х"+121. х + Z J • ~ ~ r, х e [ —1; 1]. 22. х + Z (—1) ' / 1Vn=! (2n)! ! 2" + 1 "=1 " (" +1)

х e [—1; 1]. 23. 0,94. 24. 0,748. 25. 1 + х — х2 +1 х3 —1 х4.L J 3 4, х2 х3 х5 5 х6

26. 1 + — + — +------2! 3! 5! 6!

Занятие № 47. Ряды Фурье Основные понятия: ряд Фурье, коэффициенты Фурье, сходимость

ряда Фурье [1, с. 410-416].Рядом Фурье (см. комментарий с. 323) для функции f (х ) , опреде

лённой на отрезке [—l; 1 ] , называется тригонометрический ряд

a0 7T"X . 7"X -0 + Z I an coS—r~ + bn s in~ “ , (9.11)1 n=IV 1 1 J

где числа a0, an, bn {n e □ ) называются коэффициентами Фурье функции f ( х ) и вычисляются по формулам:

1 l 1 la° = / I f (х ) dX; a" = - 1 f (х ) cos7 "XdX;

—l —l (9.12)

77"X 1 dX.

1 T ( 4 . nnb " = / J f ( X) S i n ~

—lТерема Дирихле (см. комментарий с. 318). Если 2l - периодическая

функция f (х ) кусочно-монотонна и ограничена на отрезке [—l; l ] , то ряд Фурье (9.11), построенный для этой функции, сходится во всех точках отрезка [—l; l ]. Причём сумма S (х ) ряда Фурье является 2l - периодической,совпадает с функцией f (х ) во всех точках непрерывности f (х ) и равна среднему арифметическому значению односторонних пределов функции f (х ) в точках Xj её разрывов: S (хг) = 0 ,5 (f (хг — 0) + f (хг + 0)).

• При вычислении коэффициентов Фурье полезно использовать формулы:

J х cos aXdX = X sin aX + -1 cos aX; J a a

Jх sin aXdX = — X cos aX + — sin aX.J a a

209

Задачи

1. Для 2ж - периодической функции f (х )0; х е ( —ж;0];

построен ряд2; х е (0 ;ж ]

Фурье, сумма которого S (х ) . Найти его коэффициенты а0, b3 и значения

S (0 ), S (ж ) , S (1,5#), S (2 ,2# ).2. Найти значение свободного члена ряда Фурье для функции

2f (х ) = 4 хех + 7 в интервале (—3; 3).3. Для разложения в ряд Фурье функции f (х ) = х +1 в интервале (—2; 2) найти коэффициенты Ьп (п е □ ).

4. Функция f (х ) = х2 — 3х + 5 разложена в интервале (—1;1) в ряд Фурье,

сумма которого S (х ) . Найти S (1) и S (6).5. Разложить в ряд Фурье в интервале (—ж; ж) функцию

—1; х е ( —ж;0];

0; х е ( 0;#].

6. Разложить в ряд Фурье в интервале (—ж; ж) функцию f (х ) = х .7. Для разложения в ряд Фурье в интервале (—3;3) функции

.0f (х)

х е (—3;1];запишите выражения коэффициентов Фурье.

(х — 1) ; х е(1 ;3]

х 2 — х8. Функция f (х ) = —:----- разложена в интервале (—4; 4) в ряд Фурье,

хсумма которого S ( х ) . Найти S ( 0 ) , S ( 4 ), S (9 ), S (—12), S ( 79 ).9. Разложить в ряд Фурье в интервале (—2; 2) функцию

f ( х ) =

1; х е (—2 ;—1] ; 0; х е ( —1;1];

10. Функция f ( х ) разложена в ряд Фурье в

1; х е(1 ;2 ].Домашнее задание

х; х е [ —ж;0);

0; х е [0 ;ж ]

интервале (—ж ;ж ). S (х ) - сумма ряда Фурье. Найти S (—ж ), S (3 ,2ж ), S ( 4 ,5ж ).

2 1 0

<

11. Найти значение свободного члена ряда Фурье для функции f (х ) = х3 + 7 в интервале (—n; n ) .

12. Для разложения в ряд Фурье функции f (х ) = х ln (х2 +1) в интервале

(—e; e) найти коэффициенты an (n = 0,1,2,...).

х2 — 413. Функция f (х ) = -------- разложена в интервале (—3;3) в ряд Фурье,х — 2

сумма которого S ( х ) . Найти S ( 2 ), S (—3), S (10).14. Разложить в ряд Фурье в интервале (—n ;n ) функцию f (х )15. Разложить в ряд Фурье в интервале (—1;1)

—5х .функцию

f ( х )—1; х e [—1;0] 2; х e (0;1]

и найти его сумму в точке х = 100.

„sin2 х Г \

V— n ;—n

2 216. Функция f (х ) = e“...... • sin х разложена в интервале

Фурье, сумма которого S (х ) . Найти S —n , S (6 ,5 n ) , S (8 ,5 n ),

в ряду

V2 Уг

SV

11-----n

4

л

уДополнительные задачи для самостоятельной работы

17. Разложить в ряд Фурье в интервале (—n ;n ) функцию f (х ) = |х

18. Разложить в ряд Фурье в интервале (—1;1) функцию f (х ) = х2.

19. Разложить в ряд Фурье в интервале (—2; 2) функцию f (х ) = х -хх


Пример 1. Функция f (х )- Т 2 ; х e [ - n ;0 ] ;2

nх ----2

х (0 ; n ]разложена в ряд

Фурье в интервале ( -n ; n ) . S (х ) - сумма ряда Фурье. Найти свободный

член ряда Фурье и значения S (0 ), S — , S (7 ,5 n ) .V 2 у

<

211

< Так как свободный член ряда Фурье равен — , то, используя (9.12) с

учётом того, что l = #, геометрический смысл определённого интеграла и график заданной функции (см. рис.9.3), получим:

1 #= — J f (х ) dx =

a 0

У'i

#/ 2

\ Z i .1-# 1 1

О #/2 # x

-#/ 2

a.-#

1 ( 0 Л #dx +

Рис.9.3J [ - f ) * + J

V-# V у о

х ----2

dx)

2 2 I ^ # - # 1 — + 2 ---------2 4 2v 2 , 4 2 У

ar- — ^ = - —. Согласно теореме Дирихле,

сумма ряда S (х ) есть 2# -периодическая функция, совпадающая с f (х ) в

точках её непрерывности, т.е. S

S (7 ,5# ) = S (7 ,5 # -4 • 2#) = SV 2 У

f

2

V 2 У гf

0 (см. рис.9.3),л

—. Точка х = 0 явля- 2

ется точкой разрыва функции f (х ). Поэтому здесь:

= 0 . >2 2

Пример 2. Функция f (х ) = - х2 - 2х разложена в интервале (-2 ; 2) в ряд Фурье, сумма которого S (х ) . Найти S (2) + S (5) + S (7) + S (12).< Здесь l = 2 и точка х = 2 - правый конец интервала разложения, поэто

му S (2) =f ( -2 ) + f ( 2 )_ 0 - 8

= -4 ; т.к. S (х ) имеет период 21 = 4, то2 2

S ( 5) = S ( 5 - 4) = S (1) = f (1) = - 3 ;S (7 ) = S ( 7 - 2 • 4) = S (-1 ) = f (-1 ) = 1;S (12) = S (12 - 3 • 4) = S (0) = f (0) = 0. При этом учтено, что функция f (х ) в точках х = 1, х = -1 , х = 0 непрерывна. Тогда искомая сумма будет: 5,(2) + 5,(5) + 5,(7) + 5,(12) = - 4 - 3 + 1 + 0 = -6 . >

Пример 3. Разложить в ряд Фурье в интервале (-# ;# ) функцию

1; х е [-# ;0 ] ;

- х; х е (0;#].f (х)

212

< Здесь l = —. Поэтому, используя (9.12), для коэффициентов Фурье име

ем: a0 = —( 0 — \

J 1 •dx — J :1 • dx - j xdx\-ж 0 У —

x 0 x - —— ~2

\_—

—2п- 1 —= 1---- , т.е.

2

a,

a n = -

—J cosnxdx- J x c o s nxdx

V-— 0—

sin nxn

sin nxx- — n

— J —+ — sin nxdx

0

0 - 0cos nx

n

—

0

bn = - —

( 0У—

—n

1 —

1 J sn0

( l-c o s ra :) = —^ - y ( l - ( - l ) ” ) (иеШ );7ТП ' '

У

\

J sin nxdx - J .sin nxdx - J x sin nxdxV-— 0 у

cos nxn

+ x-cos nx-— n

— л —

- 1 Jn J cos nxdx0

1 (-1)" -1 +—•(-1 ). sin nx — л(-1 )" (—+ 1)-1

—1

n nV

n20 ,

—n(n e □ ).

Итак, искомое разложение имеет вид: f (x ) =

1 - ( - 1 )" (-1)" (— + 1)-1 .— „ cos nx + -— ------ -— sin nx

п пx ( - —; —). >

Пример 4. Разложить в ряд Фурье в интервале (-4 ; 4) функциюx2

< Здесь l = 4. Тогда согласно (9.12) имеем:4 4

1 С ЭС 1 i* JC 7ГТ1Х= — \ —dx = 0; ап =—\ —cos----- dx = 0 (и е О ) , т.к. подынтеграль-^_42

a.4* 2—4

ная функция нечётная, а интервал интегрирования симметричный.г 4 л—nx4 4

1 г x . —nx , 2 c . —nx , 1b„ = — —sin----- dx = — xsin------dx = —n 4 J 2 4 8 J-4 0 4 4

-4x cos -

—n

4 '( - 1 )” 1 4 . —nx= ----- -— — +------------ sin------—n —n —n 4

_ 4 • ( - 1)V

n+1

4 г —nx , cos

—n 'J '0

0

—n(n e □ ).

0

213

4 ЯИтак, f (х ) = - Z

n n=1

/ (-1)n+1 . n"X -— ----- sin------

n, x e ( -4 ;4 ) .>

JОтветы

41. a0 = 2; b3 = — ; S (0) = S (n ) = 1; S (1,5n) = 0; S (2 ,2n ) = 2. 2. 7.

3n4 Я

3. — '(-1)"+1. 4. 6; 5. 5. - 1 + — Z 1 ( 1) ' sin"X. 6. 2 Z ( - 1 )n+1 sin "X

nn 2 n n=1 " k=1 n

1 3 1 37. a0 = - J (х - 1)2 dX; an = - J (х - 1)2 cosn "XdX. 8. S (0) = 0; S (4) = 4 ;

3 3 3

n"XS (9) = 0 ; S (-1 2 ) = 4; S (79) = 2. 9 . ------- Z - s i n ------cos—2 n n=1 " 2 2

7Г10. S (—n ) = ---- ; S (3 ,2n ) = -0 ,8 n ; S (4 ,5n ) = 0. 11. 7. 12. an = 0,

2Я

(-1 ) '(n = 0,1,2,...). 13. S (2) = 4 ; S ( -3 ) = 2; S (10) = 0. 14. 10 Z s i n "X.i "

1 3 Я 0 - ( - 1 ) n)15. - + - sin nnX; S ( l° ° ) = 0,5 . 16. S

2 n n=1 "

" =1

( T )V 2 J

= 0:

S (6,5n) = e ; S (8,5n) = - e ; S —v 4 у

yfle

2 n n=1 "cos "X. 18. f (х ) = - + — Z ( -1 )

n n=1

2

1 4 Я3 - 2

n cos nnXn

19. f (X)= 2 ]Z (—1)n+1 - 1 s in nnXn n=1 n 2

Занятие № 48. Ряды Фурье для чётных и нечётных функций.Разложение в ряд Фурье непериодической функции

Основные понятия: ряд Фурье, свойства определённых интегралов от чётных и нечётных функций, коэффициенты Фурье, аналитическое продолжение функции за пределами заданного промежутка [1, с. 410-416].

Для чётной функции f (х ) , раскладываемой в ряд Фурье в интервале

(—l ; l ) , коэффициенты Фурье, согласно (9.12) принимают вид:

214

а() = — j*/ (•*) dx ,а п = — J*/ (•*) cos ~ ~ dx, 6и = 0 ( и е П ) . (9.13)0 0

Поэтому чётная функция имеет ряд Фурье - «только по косинусам»:а0 “ #пх ( Л

0 an cos----- , х e ( - l ; l ).и-1 l2 n=1

Аналогично, если f (х ) - нечётная, то для разложения её в ряд Фурье на ( - 1; l) имеем:

y lа() = ап = 0, bn = — f (х ) s in 7П! .dx (и е О ). (9.14)

#пхСоответственно, ряд: ^ bn sin----- , х е ( - 1;l ) , т.е. получаем разло-

n=1 ln

n=1жение «только по синусам».

При разложении в ряд Фурье непериодической функции f (х ) , за

данной в произвольном интервале ( а ; р ) , можно получить бесконечно много таких разложений в зависимости от способов периодического продолжения функции f (х ) вне заданного интервала ( а ; р ) . Но сумма S (х )любого такого ряда совпадает со значением f (х ) в интервале ( а ;Р ) в точках непрерывности f (х ). При этом, выбирая чётное или нечётное продолжение функции f (х ) , можно разложить её в интервале ( а ; р ) соответственно только по косинусам или только по синусам.Раскладывая произвольную функцию f (х ) в интервале ( а ; р ) в ряд Фурье, полезно помнить:• для периодической ограниченной кусочно-непрерывной функции f (х )

интеграл по любому промежутку длиной в её период T имеет одно и то жегг п 1 T р - а значение, т.е. если 1 = р - а = 2l или l = — =------- , то

2 2х1 +T l р

J f ( х ) dK = J f (х ) dx = J f (х ) dx; (9.15)х1 - l а

• если график функции y = f (х ) , разлагаемой в ряд Фурье, имеет центр симметрии С (х0,>7о), то а0 = 2 у0 и а й =0 (и е О ) ;• если график функции y = f (х ) , разлагаемой в ряд Фурье, имеет ось

симметрии, параллельную оси Оу, то Ьп = 0 (п е □ ).

215

Задачи1. Найти коэффициенты an (n = 0,1,2,3,...) ряда Фурье в интервале

. 2( -n ; n ) для функции f (х ) = х • 2sin х .2. Какие гармоники содержит ряд Фурье в интервале ( 5; 5) для функции

f (х ) = |х •(х2 - 5 ) ?3. Найти коэффициенты an (n = 0,1,2,3,...) ряда Фурье в интервале (0 ;4 )

для функции f (х ) = (х - 2 )3 + 3.4. Найти коэффициенты Ьп {п е □ ) ряда Фурье в интервале (~1;3) для

функции f (х ) = (х - 1)2 .5. Какие гармоники содержит ряд Фурье в интервале ( 4; 2) для функции

5; - 4 < х < -1;0; -1 < х < 2?

6. Какие гармоники содержит ряд Фурье в интервале ( - 1;2) для функции f (х ) = х2 • sin х ?7. Разложить в ряд Фурье в интервале (-2 ; 2) функцию f (х ) = 1 - |х .8. Функцию f (х ) = -3 в интервале (0 ;4 ) разложить в ряд Фурье по синусам.9. Разложить в ряд Фурье в интервале (3;5) функцию

1; 3 < х < 4;0; 4 < х < 5.

10. Функция y = f (х ) (см. рис.) разложена в ряд Фурье по косинусам,сумма которого S (х ) . Найти свободный член

ряда и S ( 5).

f (х)

11. Разложить функцию y = f (х ) (см. рис.) в ряд Фурье по синусам. НайтиS ( -1 ) , S (32 ,5 ), S (26 ), где S ( х ) - сумма ряда Фурье.

У ‘i

11 1 '1 1' ' О 1 1

-2 V-1

W

x

216

Домашнее задание12. Функция f (х ) = ln (2 + cos х ) разложена в ряд Фурье в интервале(—3 ;3 ) . Какие из коэффициентов Фурье равны нулю?13. Какие гармоники содержит ряд Фурье в интервале ( - n ;n ) для функ

ции f (х ) = sin (ex ) ?

14. Найти коэффициенты an (n = 0,1,2,3,...) ряда Фурье в интервале (-5 ; 0) для функции f ( х ) = 2 х + 6.15. Какие гармоники содержит ряд Фурье в интервале ( - 1;4) для функции f (х ) = ( 2 х - 3 )2 ?16. Функция y = f (х ) (см. рис.) разложена в ряд Фурье по синусам. S (х ) - сумма ряда. Найти свободный член ряда, S (0) и S (10).

У2

17. Разложить функцию y = f (х ) (см. рис.) в ряд Фурье по косинусам. Найти S (1), S (8 ,7 5 n )S (-1 0 ,5 n ) , где S ( х ) - сумма ряда Фурье.

О 3 xУ'

1i

111 О

- 7 \ - 7 j2 x■ I

-1

f (х ) =

18. Какие гармоники содержит ряд Фурье в интервале (0;3) для функции

1; 0 < х < 1;2 И как следует дополнить функцию f (х ) ,

(х -1 ) ; 1 < х < 3?чтобы её ряд Фурье содержал: а) только косинусы; б) только синусы?19. Разложить функцию y = f (х ) (см. рис.) в ряд Фурье у по синусам. 2

О 2 x

Дополнительные задачи для самостоятельной работы20. Разложить функцию y = f (х )(см. рис.) в ряд Фурье по косинусам.

У'21

О 1 3 5 x

1

217

21. Разложить функцию y = f (x ) (см. рис.) в ряд Фурье: а) по синусам; б) по косинусам. У ‘1

2

//1 11 1

-1 О 1 3 X

Решение типовых задач Пример 1. Какие гармоники содержит ряд Фурье в интервале

( -2 —; 2—) для функции f (x ) = 4 x2 +1 • cos x ?< Так как функция f (x ) - чётная, а интервал её разложения в ряд Фурье - симметричный, / = 2п , то коэффициенты Ьп = 0 (п е □ ). Поэтому разло-

nx ^жение содержит только гармоники вида cos — , т.е. имеем ряд Фурье по

косинусам. >Пример 2. Какие гармоники содержит ряд Фурье в интервале (—5;1)

для функции f (x ) = 5 - (x + 2) ? Найти a0.

< График заданной функции на промежутке (—5;1) имеет центральную симметрию (центр симметрии C (-2 ; 5) - вершина кубической параболы), тогда = 0 (и е П ) , а0 = 2ус =10. Поэтому ряд Фурье при 1 = 3 содер-

. ппхжит лишь гармоники вида sin3

т.е. имеем ряд по синусам. >

Пример 3. Разложить функцию y = f (x ) (см.рис.) в ряд Фурье:а) по синусам; б) по косинусам.

У‘i

1

л-1 О 1 2 X

< а) Функции имеет вид f (x ) =0; -1 < x < 1,

Продолжим еёx -1 ; 1 < x < 2.

нечётным образом, т.е. функцией вида f (x ) = x +1 при —2 < x < — 1 (см.рис. а). При этом l = 2 . В силу нечётного продолжения функции f (x ) на ( -2 ; 2) согласно (9.14) для коэффициентов Фурье имеем: a0 = 0, а = 0 (п е □ ) ;

<

218

b" = 2 j f (X)0

sin 7nXdX = J ( X - 1) 1

2 f 2 г nnX 2 +----- I cos-------dX = —

nn

2

J «1r

nn- cosnn + 0

. n"X , sin----- dX

2

2

/ ^ 2 nnX (X - 1 ) -----cos

nn 2+

V

nn (-1 )n+1 + ■

nnnn

sinnn - sin-V

2 )nnX-s in -----г 2

1 у2

1 f+1nn V

2 . nn --- sin —nn у

Рис. б

1

Тогда разложение функции f (х ) в ряд Фурье по синусам имеет вид:

2 Я 1 ( , .xn+1 2 Лf (X) = -_Z ~ \ ( - 1 ) "

n n=1 n nnsin-n"X

б) Продолжая функцию f (х ) чётным образом, т.е. f (х ) = - х -1 при -2 < х < -1 (см. рис. б) по формулам (9.13) при l = 2 имеем:

2 г 1^ = 0 ( и е П ) ; a^ = -^ f(x )d x = Su = - ;

a ,222

J f (X)0

cos 7nXdX = J ( х -1 ) 1

nnX , t Л 2 nnXcos------ах = (х - 1)------sinnn

nnn"X

2 2 2 n n

22

4

2

2 2 1 n ncosnn - cos

nn

V

42 2 n n ( - 1)n cos

nn (n e □ ).

Тогда разложение функции f (х ) в ряд Фурье по косинусам имеет вид:

\ 4 я ( 1) c o snn

г ( \ 1 -г ' ' 2 ппх/ М = 7 + ~ ^ ----------2----- ~ C0S T - >4 П п=1 п 2

1

219

#пх

Ответы71 flX

1. ап = 0 (п = 0,1,2,3...). 2. cos— . 3. а0 = 6 ; ап = 0 (п е □ ). 4. Ьп = О

, ^ ч . п т „ 2жлх . 2 п т 4 “(и е О ). 5. sm----- . 6. cos-------- и sm------- . 7. —v з 3 3 П

о 6 ^ ( -1 )n -1 • #Пх 1 1 ^ ( -1 ) - 1 . 1Л 18. — 2 “— -------sin------. 9. — +— 2 - — ------- sin#n%. 10. a0 = —;# n=1 n 4 2 # n=1 n 3

S (5) = 0.

, cos— 2 2

11.n=1_iV #n2 — ( - 1)n - 2 cos

n# 4 . #n sin— sin

#пх

УS ( - 1) = 0 ;5 '(32 ,5) = 0,5 ; S(26) = 0. 12. bn = 0, (n e □ ). 13. cosra:.

2 #n\ a14. a0 = 2 ; an =0, (n e □ ). 15. cos —-— . 16. - - = 0; S (O) = 0 ;

4 ro sinn#TS (10) = -1 . 17. f (х) = - 2 ------ cosпх ; S (-10 ,5# ) = 0; S (1) = 1;

c t c ^ \ л 2 # пх . 2 # пх S (8 ,75# ) = - 1 . 18. cos-------и sm-3 3

а) f ( х ) =( х +1)2 ; - 3 < х < -1 ;

1; 1 < х < 0 ;б) f (х ) =

- ( х + 1)2 ; - 3 < х < - 1;

1; - 1 < х < 0 .

19. f (х )= 4 2 i s i n #ПхV ' # 2 n 2n=1

Контрольные задания по теме «Ряды»5

36.1. Найти сумму S ряда 2 ((0 ,2 )n - (0>1)n) . Ответ:

n=1ro 2n2 + 5

2. Исследовать на сходимость ряд 2 2n=13n + n + 5

. Ответ: расходится.

3. Числовой ряд 2 an - сходится. Найти lim2a„ + 5

n=1 n ——ro 5 a n+1 + 2. Ответ: 5

2^ 2 n fyj _|_ J n

4. Исследовать на сходимость ряд 2 — (----- . Ответ:n=1 (3n + 6)n

сходится.

<

220

5. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

. Ответ: сходится абсолютно.Я rj"

У ( - i ) " -1^ ,п=1 (2" )!

6. Проверить, что ряд У (—1)п —1

сходится. Указать количество членов ря-п=1 "

да, достаточное для вычисления его суммы с точностью 0,0001. Ответ: 10.7. Найти радиус сходимости и интервал сходимости степенного рядая п(x - 4)"У1 V " +1

-. Ответ: R = 1; (3 ;5).

Я8. Степенной ряд У anx" сходится в точке xi = 5. Тогда верно утвержде-

п=1ние:

1) ряд сходится при ^2 = - 4 ; 2) ряд сходится при ^2 = -5 ;3) ряд расходится при ^2 = 6 ; 4) ряд расходится при = -6 .

Ответ: 1).9. Найти третий член ряда Маклорена для функции f (x) = sin (x2 ).

.10Ответ:

x120

10. Для разложения в ряд Фурье на интервале ( —3; 3) функции f (x) (см. рис.) найти коэффициент a0. Ответ: 3.

11. Функция f (x) (см. рис.) разложена в ряд Фурье по синусам. S (x) - сумма ряда Фурье. Найти значение S (7). Ответ: - 2.

У2

О

y = f (x)

2 4 x

"

221

12. Для разложения в ряд Фурье на интервале ( —2; 2) функции f (х)(см. рис.) запишите выражение ненулевых коэффи-

2У2

- 2 О -2

циентов Фурье. Ответ: bn = J (х - 2) sin nXdx.У = f (х) 2

2 x

10. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Занятие № 49. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Модуль и аргумент

Основные понятия: алгебраическая форма комплексного числа, изображение на плоскости, сопряженное комплексное число, равные комплексные числа, действия над комплексными числами в алгебраической форме, модуль, аргумент комплексного числа, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа [1, с. 402-404].

Алгебраическая форма комплексного числа: z = х + ly , где х = Rez е □ —действительная часть, у = Imz е □ —мнимая часть ком

плексного числа, i—мнимая единица, i2 = — 1. Комплексное число z = х + ly, изображается на плоскости Oxy точкой с координатами (х; у )или радиус-вектором этой точки.Сопряженное комплексное число: Z = х — iy (рис.10.1.).Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по обычным правилам алгебры, заменяя i на —1 всякий раз, когда i2 появляется в процессе вычислений. При делении комплексных чисел числитель и знаменатель дроби умножают на число, сопряженное знаменателю. Г еометрически сложение комплексных чисел истолковывается как сложение векторов по правилу параллелограмма (рис. 10.2.).

Рис.10.1

0

222

Число р —z - I2 2x + y называется модулем комплексного числа

z — x + i y . Всякое решение ф системы уравненийx у

СОSф —— , S l nф ——Р Р

называется аргументом комплексного числа z — x + iy Ф 0. Все аргументы числа z обозначаются символом: A rgz. Значение аргумента, удовлетворяющее условию 0 < Arg z < 2 л (в некоторых случаях —л < Arg f < л ), называется главным значением аргумента и обозначается arg z .Тригонометрическая форма комплексного числа z имеет вид:

z = p(cos ф + i sin ф),

показательная форма: z = рв1ф, где ф — arg z.Свойства модуля и аргумента:

i2 f 1f 2

f 1f 2

f • f —f , 1" f f 1 • f 2 f1 • |f 2 ’

A rg(z • f 2 ) — ArgzT + ArgZ2 , Argr \

£ lV f 2 У

Argzj — Argz 2.

ЗадачиВыполнить действия:

1. (—4 + 3i) + 2 (2 — 2,5z).

4. 1—i . 5. 1

2. (—1 + 3i)(2 — i). 3. (3 — 4 i)

6. i.•47 7.1 — 2i

1 + i 2 + 3i (l + i /3 )(>/3 + i)8. Изобразить векторами комплексные числа:f1 = —5; f2 — 4 i; f3 ——1 — 2i;

Вычислить:

9. Re ( i(2 + 3i)) + Im (2 + 3i). 10.

f 5 — 1 — i.

2—i3

11. arg(—2).

12. sin (arg(2 — 3i)). 13. arg(3i). 14. arg(2 + 2i).

15. Найти x, у из уравнения 2x — 3i + yi — I3 —4il — y + xi, если x e □ , у e □ .

2

223

Представить комплексные числа в тригонометрической и показательной формах:16. —2 i . 17. 1. 18. —Л — iV 2 . 19. л/3 — i . 20. —1 + 1л/э .

Используя свойства модуля и аргумента, найти:

21. 3 + 4i2 i

22. |(1 — i)(2 — i )|. 23. arg 1 + i 1 — i

24. Даны два комплексных числа Z1, z2 (см. рис.):

У ‘r

^210° У ■Z2 ^ C

Л 6О0

Z\ J ^ О x О X

Найти arg(z1 • Z2 ).

Домашнее заданиеВыполнить действия:

25. i(3 — i)(3 + i ) . 26. (2 — 2i)2. 2 + i 2 7 .-------i

-4 + 3 i. 3 13(2 + 3i) . 2(2 + 3i)

29. Найти модуль и аргумент комплексных чисел и записать числа в тригонометрической и показательной формах:

а) z = —V3 + i ; б) z = 7 • i19; в) 2л/э + 2i; г) —3 — 3i.30. Найти z = х + iy из уравнения z —13 — 4i| = iz.

2 — 2i31. Найти модуль и аргумент комплексного числа z = ------- .

1 + i

Дополнительные задачи для самостоятельной работыВыполнить действия:

32. (i — 2)2 • i2011 1 + i

33. (2 + i)3 • i . 34. Re(1 + i )2 + Im(1 + i )2 .

35. Найти модуль и аргумент комплексного числа z , если z =

36. Записать число (1 — i117 ) тригонометрической форме.

35 . 3537. Дано число z = cos— п — i sin— п . Найти z , arg z.

3 338. Найти arg(z • z ) , z Ф 0.39. Найти z = х + iy из уравнения: 2|z + i — iz = 1 — i.

2 + i —2 — i

224

Решение типовых задач Пример 1. Для чисел z- = 10 + 5i и z2 = 1 - 2i найти: а) 2 + 3z2;

ZiZ iб) z1 - 2 z2; в) iz1z2; г) — .

z2<1 a) 2zx + 3z2 = 20 +1 Oz + 3 — 6z = 23 + 4z

б) z1 - 2z2 = 10 + 5i - 2 + 4i = 8 + 9i ^ z1 - 2z2 = 8 - 9i;

в) i z1 z2 = i(10 + 5i)(1 - 2i) = 5i(2 + i)(1 - 2i) = 5i(2 - 4i + i - 2i2 ) == 5i(4 - 3i) = 15 + 20i;

Zi 10 + 5z (10 + 5z)(l + 2z) 10 + 20z + 5z + 10z2 25z „ r) — = -------- = ---------- —-------- = ------------------------ = ----- = 5i. >

z2 1 - 2 / ( l - 2 z ) ( l + 2z) 1 - 4z 5Пример 2. На комплексной плоскости изобразить числа 21 = -2 + 3i;

z 2 = -2 i ; z3 = 1 + i ; z4 = 4 векторами:

Пример 3. Представить в тригонометрической и показательной формах числа а) z1 = -2 + 2z'V3 ; б) z2 = -5 ; в) z3 = 3i.

< а) для z1 = -2 + 2z>/3 имеем: х = - 2 , у = 2 V 3 , р = x2 + у 2 = 4 ,

л - 2 1 . у 2л/3 л/3 _cos (р = — = — = — , sm (р = — =----- = — . Этим значениям косинуса и

р 4 2 р 4 2

2 лсинуса соответствует значение аргумента р = — . Следовательно, триго-

2л . 2лнометрическая форма: z1 = 4 cos----- ь zsin-

V2лi—

z1 = 4 e 3 ;б) для числа z2 = -5 : * = -5 < 0, у = 0, т.е. z2 е Ox ^ р = л ,

Р= z2\ = |-5| = 5. Тогда z2 = 5 (cos л ь i sin л ) , z2 = 5 el

225

лв) для числа z3 — 3 i : x — 0, y — 3 > 0, т.е. z3 e Oy ^ ф — —

1 1 ~ r л . л Лf 3 — 3 II u; Т о г д а f II 3 cos—+ i sin—3 1 1

ч 2 2 Уf \

лi—, z3 = 3e 2 . >

Пример 4. Найти arg f .V f 2 У

, если 21 — 5 + 5 i, z 2 — — i .

л< Число 21 — 5 + 5i e I ч. ^ ф — —, число z2 — — f 1 i e Oy, причем

_ 3л _ .y 2 < 0 ^ ф2 — — . Так как Arg

r \ £ l

V f 2 У— ф1 —ф2 —

Л4 V 2 У

— — л , то 4

главное значение аргумента равно: argс \

£iV f 2 У

3= — л . >

4

Пример 5. Найти z — x + iy из уравнения |z + 2i| — 2i — z — 3.< Данное уравнение равносильно системе уравнений (используем понятие равных комплексных чисел):

sjx2 + (y + 2 ) 2 — x — 3, ^у — —2, 0 3. или у — —2, х — — .х - х — 3 2— 2 — y — 0

3=> z = ------ 2г. >

2Ответы

2 3 . 1 1 . 1. —2i. 2. —5 + 5i. 3. —7 — 24i. 4. —i. 5 . i. 6. —i. 7 . i. 13 13 2 4r\ Q

9. — 6. 10. - 11. л. 12. — = . 13. —. 14. —. 15. x — 8, y — 11.3 VT3 2 4

r16. 2

18. 2

cos л л . л

V 2 УУ

—i-+ 1 sin

V V 2 Уr f 3л I . . 3 л л

— 2e 2 . 17. cos0 + isin0 — ei0.3л

cosV V У

л—i— r2e 6 . 20. 2

+ 1 sin

2лV

—i-

УУ2 л Л

2e 4 . 19. 2

,2л

c f лcos

V V 6 У+ 1 sin

лV 6 У У

cos----- + i sin-V 3 3

лУ

2e 3 . 21. 2,5. 22. >/10. 23. - . 242 18

5л25. 10i. 26. —8i. 27. —3 + i. 28. —2,5 — 6i. 29. а) z — 2, argz —

б) z — 7, arg z — ^ ; в) z — 4, arg z ^ ; г) z| — 3л/2, arg z —2 6 4

65л

226

30. 2,5 + 2,5i. 31. z 2, argz = — . 32. -3 ,5 + 0,5i. 33. -11 + 2i. 34. 2.3 7

38. 0.{ З7 . 37 1 77 . 36. 2 cos— + i sin— 7.3 z II a i-t g z II

I 2 2 J 37

39. z = 1 — i, z2 = 1 - i.1 3 2

Занятие № 50. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме. Множества комплексных чисел

Основные понятия: возведение комплексных чисел в целую положительную степень, извлечение корня [1, с. 404-405].

Если z = ^(cos р + i sin р ) , то возведение в степень осуществляется по формуле Муавра (см. комментарий с. 320):

zn = рп(cosгкр + isinгкр), п<е □ , (101)а извлечение корня n-й степени - по формуле

кр + 2жк . р + 2жк

cos------------ h i sin-----------n n

Все значения корней n-й степени из комплексного числа z лежат в вершинах правильного n-угольника (рис. 10.3) с центром в начале координат, положение которого можно определить по одной вершине, напримерш ~ тжг arg zW0, для которой arg Wc

, к = 0, n -1 . (10.2)

о n | Wc 1= # '

ЗадачиВычислить:

1. z6, если z = ^5с «г *Лп . . пcos— h I sin—

12 12V У2. (cos100 + i sin100 j

27

3. (-1 + i )10. 4. (1 - i S )4 .

Найти все значения корней и построить их на комплексной плоскости:5. 4^-1. 6. . 7. V-1 - i .

Найти все корни уравнения:8. x2 + 25 = 0. 9. x2 + 4x +13 = 0. 10. x2 + x +1 = 0. 11. z4 - 8z = 0.

227

12. Найти: а) ,\5( 1 + i )

б) 53 - 4i в) arg (1 - i)

13. Построить линии на комплексной плоскости:а) Re z = -1 ; б) Im (z2 ) = 2 ; в) 1 ь Im z = |Re z|.

14. Построить на комплексной плоскости множества точек, удовлетворяющих неравенствам:

а) Im z > 0; б) 1 < Re z < 3; в)z < 2,

Re (z +1) > 0;г)

z - 1 > 1,

0 < arg z < л/ 2.


15. Вычислить (2 + i л/12 )5.

16. Найти все значения корней -8 + i 8л/3 и построить их на комплекс-ной плоскости.17. Решить уравнения: а) z2 - 2z + 2 = 0 ; б) 2z3 + л/3 - i = 0.18. Построить линии и области:

а) z 2 < ( Im z )2 ь 4 ; б)л /3 < arg z < 0,

Re z < 1;в) z +1 = 2.


19. Вычислить (1 ь i)8

4 220. Решить уравнение: z + 5z - 36 = 0.Построить линии и области:

21. z - 3| + |z ь 3| = 10. 22. 0 < arg(z - i) <л/4.23. z + z = Im z. 24. 1 < |z + i| < 2.25. Выразить с помощью неравенств следующие области:а) первый квадрант; б) полукруг радиуса единицы с центром в начале координат, расположенный выше оси Ox; в) полуплоскость, расположенную выше прямой у = -1 ; г) полосу, расположенную между прямымиУ = 1 У = 3.

Решение типовых задач20Пример 1. Вычислить (1 + i) .

< Представим число z = 1 + i в тригонометрической форме:

3

<

<

228

1 + i = V21 cos— + i sin—' 4 4 у

Л0 f 20—

. Тогда по формуле (10.1) при n = 20 получим:

(1 ь i)20 = (л/2 ) cos- i sin-20л 210(cos 5жЫ sin 5 ж) = -1024. >

. 4 4 yПример 2. Найти V—1.

< Представим число z = -1 в тригонометрической форме:-1 = 1 • (cos л ь i sin л ). По формуле (10.2) имеем

7 г ( л ь 2 л к . . л ь 2 л к Л ) = V1 cos------------ ьzsin----------- .' I 2 2 )

Придавая к значения 0 и 1получим два различных значения корня:л ь 2 л . . л ь 2л Л

• A = - f { cos л ь Z sin л

w0 = 1-С «гл . . лcos— ь i sin—

2 2V= i, W1 = 1 •

уcos- = -I. >

2Пример 3. Найти все корни уравнения x + 6 x +13 = 0.

2< Как известно, квадратное уравнение ax ь bx ь с = 0 не имеет действи-

2 2тельных корней, если его дискриминант D = b - 4ас = - 0 < 0. В этом случае квадратное уравнение имеет два комплексно сопряженных корня,

—b i Biкоторые находятся по формуле: x1 2 = ----------, (B > 0).Тогда для данного

’____ 2ауравнения получим х12 = —3 ± л/З2 —13 = —3 ± 2i. >

Пример 4. На комплексной плоскости Oxy построить множества точек, удовлетворяющих условиям:

а) Re z ь Im z > 2 ; б) 1 < z < 2.< а) Так как Re z = x, Im z = у , то неравенство примет вид x ь у > 2.Это линейное неравенство, его геометрический образ см. на рис. а.

= R - окружность с центром z0 и радиусом R , то мно-- кольцо (рис. б) между окружностями с центрами в

б) Так как z — z0жество 1< z < 2

Рис. аначале координат и радиусами R\ = 1, R2 = 2. >

Ответы

1. 25i. 2. —i . 3. —32i. 4. —8 ь i8yj3. 5. — ь i— ^ — i— \л/2 л/2 v 2 V2

229

1 1 1 1 * ^ 1 , ^ 1 ••+ i --1= ; ----Т= — i --1= . 6 . ----- \--- i ; -------- \--- i;у/2 л/2’ >/2 Л ' ' 2 2 9 2 2

7. ^2 ( cos—л + is in 5 л |; ^21 8 8 У

^ 1 3 . 13 Л cos— л + 1 sin— л

V 8 8 У8. x12 — ±5/.

1 Я9. xi 2 — —2 ±3i. 10. x1 2 — — — ±— i. 11. —1 + ^ л/3; — 1 — i'VJ; 0; 2.

12. а) W 2 ; б) ^5 ; в) 5 л. 15. 512 — i 512л/3. 16. >/э + i; — л/3 — i ;4

5 5 IV IV—1 + i'v 3; 1 — i'v 3. 17. а) 1 ± i; б) cos — л + i sin— л; cos— л + i sin— л;18 18 18 18

Re z > 0,

Im z > 0 ;29 29 1

cos — л + i sin— л. 19. —. 20. 2; — 2; 3i; — 3i. 25. а) 18 18 4

б)z < 1, в) Imz > —1; г) 1 < Imz < 3. Im z > 0;

Занятие № 51. Геометрическое истолкование однозначной функции комплексного переменного. Производная

Основные понятия: однозначная функция комплексного переменного, ее геометрическое истолкование, действительная и мнимая части функции, предел, непрерывность, производная, условия Коши — Римана [1, с. 406-407].

Функция комплексного переменногоW — f ( z ) , z e E (10.3)

(E — область определения функции) может быть записана в виде:W — u (x; y ) + iv (x; y ) , (10.4)

где функции ReW — u (x; y ) и ImW — v (x; y ) действительные функции двух действительных переменных x и y. Переход от записи (10.3) к (10.4) называется отделением действительной и мнимой части функции.Иногда легче выполнить это отделение, если взять z не в виде z — x + iy,а в тригонометрическом виде f — р(cosф + i sinф).Необходимые и достаточные условия существования производной функции (10.4) в точке:

du dv du dv— — — , — —----- , (10.5)dx dy dy dx

при этом предполагается, что в рассматриваемой точке (x; y ) существуют полные дифференциалы функций u (x; y ) и v (x; y ). При выполнении этихусловий230

<

W ' = f '( z ) = aU + i *w ax a*

(10.6)

Условия (10.5) называются условиями Коши - Римана (см. комментарий с.318, с. 322).

ЗадачиНайти образ точки z0 при отображении W = f (z) :

11. zn = 1 - i, W = z + iz. 2. zn = 2 + 3i, W =

Wz + i

x + iy3. z0 = -2 + 2i, W = x - y + i (x - y ). 4. z0 = 2i,

' ' x + y + 2Отделить действительную часть и мнимую часть функции

W = f (z) , положив z = x + iy :

5. W = z2 6. W = -z

7. W z -1 z +1

8. Отделить действительную часть и мнимую часть функции W = z , положив z = ^(cosp + i sinp).9. Найти образ линии Im z = 1 - Re z при отображениях:

а) W = 3z + i, б) W = z210. Найти образ линии z = 2 при отображениях:

а) W = z

111. В какую область функция W = — преобразует области:

z

а) 1 < Re z < 2, б)z

1< —,

2^ ?7

0 < arg z < —4

12. Найти образ линииarg z =

7

12 ’ при отображении W = z30 < z < да

13. Показать, что условия Коши - Римана для функции3 2 i 2 3 \W = x - 3xy + i (3x y - y ) выполняются в каждой точке и найти произ

водную W' этой функции.14. Показать, что функция W = z не имеет производной ни в одной точке.

Домашнее заданиеНайти образ точки z0 при отображении W = f (z) :

15. z0 = 2i, W = (1 + z )2 . 16. zn = 1 + i, W = z10.

231

17. zn = -1 + i, Wz +1z + i

218. Найти образ линии Im z = (Re z ) +1 при отображении W = 2 z +1.

z| < 2,19. Найти образ области: 7 7 при отображении W = z2

---- < arg z < —6 6

Найти производную функции W = f (z ) , там, где она существует:

20. W = x + 2y + i (2x + y ) . 21. W = z • Re z. 22. W = -z

Дополнительные задачи для самостоятельной работыПри каких значениях z функция W = f (z) принимает а)только

действительные значения; б)только мнимые значения:

23. W = 3 z2 + i. 24. W =1

25. Найти образ области:

z + 2 + i1 < z + i\ < 3,

7 / \ 7— < arg (z + 1 ) < ----4 v ' 6

.\2при отображении W = (z + i) .26. Точка z = x + iy движется по линии: z = 2. По какой линии движется точка W = 1 - 2i - 3z ?27. Точка z = x + iy движется по линии: z - 1 = 1. По какой линии движет

ся точка W = — ?z

Решение типовых задачПример 1. Отделить действительную часть функции W = iz +1

от мнимой.2 2< Положим z = x + iy ^ и + iv = i(x - y + 2ixy) +1 ^ и = -2xy +1,

v = x2 — у 2, т.е. ReJV = 1 — 2 xy, I in W = x2 - y2. >Пример 2. Показать, что функция W = Re z не имеет производной

ни в одной точке.< Так как Re z = Re (x + iy) = x, то для данной функции и = x, v = 0,

ди dvи условие (10.5): — = т - нигде не выполняется. >дх ду

<

<

232

Пример 3. Найти образ прямой x — 1 при отображении W — z .2

< Отделяя в W — z действительную часть от мнимой, получим u + iv — (x + iy)2 — x2 + 2xyi — y 2. Следовательно, u — x2 — y 2, v — 2xy.

Полагая x — 1, найдем u — 1 — y , v — 2y . Исключив y из этих уравнений, /v 2

получим u — 1 — — , или окончательно v ——4 (u — 1).

2

V 2 Уy

О

Рис.10.4Это уравнение параболы. Следовательно, прямая л; = 1 отобразилась в параболу (рис. 10.4). >

Ответы1. 1 — i. 2. 0,1 — 0,2i. 3. — 4. 4. 0,5i. 5. ReW — x2 — y 2; ImW — 2xy.

6. ReW

ImW —

x2 2 x + y

ImW 2 2 x + yy x2 + y 2 — 1* 7. ReW '

2 2(x +1) + y2 y 4 4. 8. ReW — р cos4p; ImW — р sin4p. 9. а) прямая

(x + 1)2 + y 2

v — — u + 4; б) парабола v — —0,5u2 + 0,5. 10. а) окружность |W| — 16;

|W — 0,5| < 0,5,б) окружность |W| — 0,5. 11. а) кольцо

'\W\ > 2,

|W — 0,25| > 0,25;

б) л 12. Луч arg z — —. 13. W' — 3x2 — 3 y 2 + 6 xyi — 3z— < argW < 0. 4

4

2

15. W0 — —3 + 4i. 16. W0 — 32i. 17. W0 — 0,4 — 0,2i. 18. Парабола

<

233

(u — 1)2 = 2 (v — 2). 19. Сектор|W| < 4,

л л 20. Не существует нигде.— < argW < - .

3 3. / ч ттт. у 2 - x2 2xy 1

21. W (0) = 0. 22. W = -------------- ь i ------------ — = — — при z Ф 0.(x 2 ь у 2 )2 (x 2 ь у 2 )2 z2

23. а) (Re z) • (Im z) = = - -1 ; б) Imz = i Re z. 24. а) Imz = -1 ;

1 < \W\ < 9,л л 26. По окружности

— < arg W < — .2 3

б) Re z = -2 . 25.

W - (1 - 2i )| = 6. 27. По прямой Re W = 0,5.

Занятие № 52. Элементарные функции комплексного переменного Основные понятия: однозначные основные элементарные функ

ции комплексного переменного, их свойства, вычисление значений, аналитическая функция [1, с. 407-409].

Функции ez, sin z, cos z для любого комплексного z Эйлер (см. комментарий с. 323) определил рядами:

2 nz 1e = 1 ь z ь — ь .... ь — ь ...

2! n!3 5 2n-1z z / \n—1 zsinz = z ------- I-----.... ь (—1) -------- — ь ...

3! 5! (2n -1 )!2 4 2n-2

-t z z (\ \n—1 zcosz = 1------- -----.... ь (—1) --------- — ь ...2! 4! (2n - 2)!

Из определения следует формула Эйлера:elz = cos z + i sin z.

Имеют место равенства:ez = ex • ey = ex ( cos у + i sin у ) (10.7)

iz . — iz iz —ize ь e . e - ecos z = ------------; sin z =

2 2 i Гиперболические функции. По определению

„z , —z z - z1 e ь e 1 e - e c hz = ; s hz = -----------

234

(читается: s hz - синус гиперболический z, chz - косинус гиперболиче

ский z ). Функции ez, chz, shz имеют комплексный период 27i.Связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями:

sin ( iz) = i shz, cos (iz) = chz, sh (iz) = i sin z, ch (iz) = cos z.Известные тригонометрические формулы справедливы и для функций комплексных переменных sin z, cos z (см. пример 2).Однозначная функция называется аналитической в некоторой области, если в каждой ее точке она имеет производную.Все свойства и правила дифференцирования функции действительной переменной переносятся на аналитические функции комплексного переменного: правила дифференцирования произведения, дроби, сложной функции и т.д. Имеют место формулы:

(n \ n-1 1 Оz ) = nz , n = 1,2....

(ez) = ez. ( sin z ) ' = cos z. ( cos z ) , = - sin z.

(chz) = shz. (shz) = chz.

ЗадачиНайти образ W0 точки z0 при отображении W = ez, найти

|W0|, ReW0, ImW0, если:7 -ч r \ 4 л 71. zn = — i. 2. zn = 27i. 3. zn = -1 h— i .0 2 0 0 6

Вычислить, указав действительные и мнимые части полученных значений:4. e3 . 5. sin (2 i). 6. c h (3i).7. Доказать, используя условия Коши - Римана (10.5), что функцияW = e2 zаналитическая на всей плоскости и найти ее производную, используя формулу (10.6).

2 28. Доказать равенство: ch z - s h z = 1.Найти действительную и мнимую часть функций:

9. W = e2z+3i. 10. W = sin (iz -1 ) . 11. W = cos(z - i).Найти образ W0 точки z0 при отображении:

12. W = cos z, z0 = 2 - i. 13. W = ch ( iz) , z0 = 1 + 2i.

14. Найти значение производной функции f ( z ) = z3 + 2iz в точке z0 = 3 - 2 i.

235

л15. Найти образ линии Im z — — при отображении W — e2

л16. Найти образ области 0 < Im z < — при отображении W — e .

Домашнее задание17. Отделить действительные и мнимые части функций:

а) f ( f )z ) — e5iz+1

Л—iб) f (z ) — sin ( z + л1 ) , в) f (z ) — ch ( z + i).

18. Вычислить: а) e1—i , б) cos (3 — 2 i).19. Доказать, используя условия Коши — Римана (10.5), что функцияW — f ( z ) аналитическая на всей плоскости и найти ее производную, используя формулу (10.6), если

б) W — sin z.

Дополнительные задачи для самостоятельной работы0 < Re z < 2,

fл при отображении W — eA 0 < Im z < —.

3

20. Найти образ области

21. При каких z функция W — ez (1 + i). принимает толькоа) действительные значения; б) только мнимые значения.

6?2 zi22. В каких точках функция f (z) — —-----не имеет производной?

z + 4

Решения типовых задач~ л .—2+— i

Пример 1. Вычислить значение e 3 , найти его модуль, действительную и мнимые части.

„ л л—2+—i 0 —i 0< e 3 — e • e 3 — e

( <тг <тг\ 1л . . л 1 cos— +1 sin—

V 3 3 У

Следовательно, Re( - .л I ( - .л I—2+—i 1 —2+—лe 3 — —- Im e 3

2 e 2A2 e 2

. Из формулы

(10.7) получим e 3 (ex cos y ) + (ex sin y ) — exy jcos2 y + sin2 y — ex,

тогда в данном примере

236

~ л .—2+—i 3 -2 1 e = 7 .>

Пример 2. Вычислить значение sin (1 - 2 i).

< sin (1 - 2 i) = sin1- cos (2 i) - cos1- sin (2 i) = sin1- ch2 - i cos1- sh2 =0,8415 • 3,7622 - z • 0,5403 • 3,6269 = 3,1659-1,9595 i. >

ОтветыI. W0 = i; |W0| = 1; ReW0 = 0; ImW0 = 1. 2. W0 = 1; |W0| = 1; ReW0 = 1;

V3 i , 1 V3 1ImW0 = 0. 3. W0 =^~ +— ; W0 = ReW0 = ^ ;I m W 0 = — .

2e 2e e 2e 2e4. W0 = cos3 + i sin3; ReW0 = cos3; ImW0 = sin3.

5. W0 = i s h2; ReW0 = 0; ImW0 = s h2.6. W0 = cos3; ReW0 = cos3; ImW0 = 0.

9. ReW = e2 x cos (2y + 3); ImW = e2 x sin (2y + 3).

10. ReW = -chx• sin(y +1); ImW = shx• cos(y +1).

II. ReW = co sx• ch(y -1 ) ; ImW = - s in x • sh(y -1 ).

12. cos 2 • ch1 + i sin 2 • sh1. 13. cos1- ch2 - i sin1- sh2.714. 15 - 34i. 15. Луч, выходящий из начала координат под углом — к по

ложительному направлению оси Ou: v = V3u, u > 0. 16. Угол с вершиной

в начале координат раствора 7 : 0 < argW < 7 . 17. а) u = e1-5y • cos5x;

v = e1-5y • sin5x; б) u = s in x • ch(y + 7 ) ; v = co sx• sh(y + 7 );

в) u = cos (y +1)- chx; v = sin (y +1)- shx. 18. а) e ( cos1 - i sin1);

б) cos 3 • ch2 + i sin 3 • sh2. 19. а) 2 x + 2 y i; б) cos x • chy - i sin x • shy.7

20.0 < a rg ^ < n n

j 21. a) Imz = ------h 7и, и e □ ; б) I in г = — ь 7и, n e □ .2 7 4 7 4

1 < W < e .

22. zj 2 = ±2z.

237

Контрольные задания по теме «Элементы теории функций комплексного переменного»

1. Для данного комплексного числа z = (1 - 1)(-2 ь 3i) найти мнимую часть Im z. Ответ: 5.

2. Представить число z = - —— в алгебраической форме. О твет:-------i.2 - 1 5 5

3. Дано: z1 = 1 ь 3 i, z2 = 3 - i . Найти |z1 • z ^ . Ответ: 10.4. Указать множество точек комплексной плоскости, заданных условием |Re z| < 1 .

-1

1) 2)

У 1

1

i

Ш А Щ .' Ш ш

-1-1

3)%

- 1 О

4)

1 X

АОтвет: 1).5. Представить в тригонометрической форме комплексное число

г 5 . . 5 Лz = 1 - iy/ъ . Ответ: 2V

cos—л ь i sin—л 3 3 У

6 . Указать вектор, соответствующий сумме комплексных чисел Z1 = - 1 ь 2 / и z 2 = 2 - i.

О-1 2)

У ‘

1 о/WX

fc-2.

У2

3)

У1к

7 1 .О

W1

4)-1 О X

1 )Ответ: 3).7. Найти z6, если z = V3 - i . Ответ: -6 4 .

о

8. Указать количество комплексных корней уравнения z ь 1 = 0. Ответ: 2.9. Найти . Ответ: 2.

10. Найти образ точки z0 = 1 ь i при отображении w = e . Ответ: —e—л

11. Отделить действительную и мнимую часть функции w = z ь z Ответ: ReW = x2 ь x - у 2; ImW = 2xy - у.

12. Найти значение sinг \ л— ь i

3V

л/3 1. О твет:------ ch1 ь i—sh1.

2 2

1

1

238

13. Найти значение производной функции f (z) — 3z2 + 5 в точке f 0 — 2 — i. Ответ: 12 — 6i.

239

11. ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ К РАЗДЕЛАМ 1-10.x у 0 0

1. Построить на плоскости линию, заданную уравнением

2. Найти матрицу X из уравнения

^0 1л

1 1 0 0

0 0 1 2

0 0 3 8

г 1 —-2 2

= 4 .

3. Пусть Av 1 0

. Найти A 2013 и A 2012.У

4. Пусть A - квадратная матрица порядка n , удовлетворяющая условию A2 = 2 A . Найти det A .5. Упорядоченная тройка чисел (1; - 1;1) - решение системы уравнений:

x + ay + z = 3a,ax + 3az = 2, Найти параметр a и определить, есть ли другие решения2 x + 3ay = a.

при найденном значении параметра a . Если есть, то найти их.6. Известно, что треугольник ABC - равнобедренный. Даны вершины:A (1; 2; - 2 ), B (-1 ; 4; 0). Найти координаты вершины C , если известно, что она лежит на оси Ох. Сколько решений имеет задача?7. В трапеции ABCD с основаниями ВС и AD заданы АВ(—7; 4; 5),

А С (3 ;2 ;-1 ) , А / )(20 ;-4 ;12 ). Точки М и N - середины сторон АВ и

CD соответственно. Найти сумму координат вектора MN.8. Найти точку пересечения высот треугольника с вершинами A (-6 ; 2),В ( 2 ; - 2 ) , С ( 2 ; 4 ) .

9. В плоскости векторов а (-2 ; 1; — 1) и Ъ = i — 2 j + к найти вектор с, у

которого |с| = у/\0 и который перпендикулярен оси Ох.10. В плоскости векторов а { -2; 1; — 1) и Ъ = i — 2 j + к найти вектор с, у которого проекции на оси Ox и Oy соответственно равны 1 и -2 .11. Даны уравнения двух сторон параллелограмма x - у - 2 = 0 иx - 5 у + 6 = 0. Диагонали его пересекаются в начале координат. Найти уравнения двух других сторон параллелограмма.12. Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки

г, о\ x - 1 у - 1 z - 2M (1; 2; - 8) на прямую5 1 5

239

2 213. Дана окружность х - 2х + у - 15 = 0 и прямая 4х - 3у - 29 = 0. Найти на данной прямой точку M , ближайшую к окружности, и определить расстояние р от этой точки до окружности.14. Найти область определения функций:

а) у = Vх3 - х2 ; б) у = ^ logo,5 (2х - 7).3

15. Найти предел lim (1 + tg2 у/х)х .х—0\ '

Вычислить интегралы:л//2 л -----------------

16. J Vl + sin 2х (h . 17. J v sin х - sin3 хdх.

218. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = х - 2х + 2 , касательной к ней в точке (3; 5) и осью Оу.

19. Вычислить площадь фигуры, заключенной между кривой у = е- х и осями координат (при х > 0).20. Исследовать функцию z = 2х4 + у 4 - х2 - 2у 2 на экстремум.

3 221. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = х - 6ху + 3у

х; у) : 0 < х < 3; 0 < у < 3; хв области D = |(х; у ) : 0 < х < 3 ;0 < у < 3; х + у > 3] .

22. Найти решение задачи Коши:

2у - ух ~хуу + х

,у(1) = 123. Найти уравнение линии, проходящей через точку A(2; 3), в каждой точке (х0 , у0 ) которой касательная к ней образует с осью Ох и с вертикалью х = х0 треугольник площадью 0,5.24. Найти общее решение дифференциального уравненияу (10) = e -2 х _ _ L + 1 .

х1025. Найти общее решение дифференциального уравнения у" - 2у - 8у = 2sin 3х • sin х + 2cos2 х -1 .

1 1 226. Вычислить интеграл J dy J ех dх.

0 у27. Найти массу плоского кольца с внутренним радиусом R = 3, а внешним R = 6, если поверхностная плотность кольца распределена пропор-

0 0

240

ционально расстоянию от его центра, при этом плотность на его внешней границе равна 12.

28. Вычислить интеграл [j](5x2 cosx - 2y)dx + (5х + еу )dy, если контурГ

2 2Г имеет уравнение х + y = 2х — 4 y — 1 и обходится против часовойстрелки.

да n !29. Исследовать на сходимость ряд 2 —1.

n=1 ППГО

30. Найти сумму ряда 2 nxn~1, применяя почленное интегрирование.

да 2n—1

n

n=1да

31. Найти сумму ряда 2 ------- , применяя почленное дифференцирование.n=12n — 1^ n +1

32. Найти сумму ряда 2 ------хn=0 n!

4 233. Решить уравнение z + (i — 4) z — 4i = 0._ 2

34. Найти образ линии Re z + Imz = 1 при отображении w = z .

35. Найти образ области Im z < 2 при отображении w =1 .z

36. Найти функцию w = Cz + b , отображающую точки: z1 = 0; z2 = 1;z + c

z3 = 3i соответственно в точки: W1 = —6 i ; W2 = 1 — 3i; W3 = 0.

Ответы( —3

1. прямая y = x — 2 . 2. . 3. A; E . 4. 0; 2n. 5. a = -1 ;2v Ъ

(—Злс3 + 4; 4x3 - 5; x3) , x3 e □ . 6. три решения; С (3; 0; 0), С (-1 ; 0; 0),

С (-2 ;0 ; 0 ). 7.4. 8. (1; 2). 9. ( 0 ; - 3 ; 1); (0; 3 ;-1 ) . 10. с (1 ;-2 ; 1).

11. х — у + 6 = 0; х — 5 у —14 = 0. 12. . 13. M (5; — 3),

•з 4р = 1. 14. а) у = [1; + да)^{0}; б) (3,5; 4]. 15. г 3. 16. 2. 17. - . 18. 9. 19. 1.

2 ° . zm ca = z ( 0 ; 0 ) = 0 z min = z ( 0 , 5 О = z ( 0 , 5 — 0 = z ( —0 , 5 ! ) =

= z (—0,5; —1) = 9 . 21. zHaM, = z (3; 0) = z (0; 3) = 27,

zHdUM = z (2; 2) = —4. 22. *УеУ1Х = *. 23. у = 3 ( 3х —5).

241

-2 х ln |х| .1024. у = ^ +----+ С1х9 + С2 х8 + С3 х7 +... + С9 х + C10

210 9! 10! 1 2 3 9 10_ 4 х _2 г 3 » 1 _ 3 . 1 . .25. у = Се + С е ------cos2х------ sin2х ч----- cos4х ч----- s in 4 х .

1 2 20 20 80 80

26. 0,5(е -1 ) . 27. 252 л . 28. 28л. 29. Сходится. 3 0 .---- 1—- х < 1.(1 - х )

1 1 _L х31. — 1п------, х < 1. 32. ех ( l + х ), х е □ . 33. Zj = 2, z2 = -2 ,

2 1 JC

z3 = -1 — p i, z4 = — ^ + — i . 34. Парабола Im w = 1 (Re w)2 - 2.V2 V2 л/2 л/2 8

35. Внешность круга |w + 0 ,25il > 0,25. 36. w = ---------.z +1

12. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Занятие № 53. Элементы комбинаторики Основные понятия: правила произведения и суммы, размещения,

перестановки, сочетания [2, с. 22 - 23].Формулы комбинаторики:

Pn = n! - число перестановок из n элементов;

s-im n!С„ = ---- ;------- -— число сочетаний из n элементов по m ;n m! (n- m)!

Am n!An = -------- -— число размещений из n элементов по m ;(n - m)!

“7m m ~An = n - число размещений с повторениями из n по m .

Задачи1. Из 20 участников конференции надо избрать делегацию, состоящую из 5 человек. Найдите количество способов выбора.2. Из ящика, где находится 16 деталей, пронумерованных от 1 до 16, требуется вынуть 5 деталей. Найдите количество всевозможных комбинаций номеров вынутых деталей.3. Сколькими способами можно составить в случайном порядке четырёхзначные числа, используя цифры 1, 3, 5, 7, 9, если каждая цифра входит в изображение числа только один раз?4. Сколькими способами можно рассадить 7 человек по 3 вагонам?5. Турист запланировал поездку по четырём различным городам. Сколько существует различных маршрутов посещения этих городов?

242

6. На плоскости даны пять точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько различных прямых можно провести через любые две точки из данных?7. На кинофестивале представлены 11 фильмов. Сколькими способами могут быть распределены два приза: за лучшую режиссёрскую и за лучшую операторскую работы, если эти призы могут быть отданы как за один, так и за разные фильмы?8. В классе 25 учеников. Сколькими способами можно выбрать двух дежурных, если: а) один из них должен быть старшим; б) старшего быть не должно?9. В музыкальном конкурсе принимают участие 12 исполнителей. Сколько вариантов распределения призовых мест между ними возможно, если призовых мест три?10. Пусть требуется составить набор из ручки, карандаша и линейки. Имеется: 5 различных ручек, 7 различных карандашей, 10 различных линеек. Сколькими способами можно составить требуемый набор?11. Сколько различных перестановок можно образовать из букв следующих слов: а) ПЕТУХ; б) ВОРОН; в) КОЛОБОК?12. Сколько различных четырёхзначных номеров автомашин можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9?13. В коробке лежит 6 синих и 4 красные ручки. Сколькими способами можно извлечь из этой коробки три ручки одного цвета?14. Компьютерный ключ к игре состоит из 8 цифр. Сколько существует различных вариантов компьютерных ключей, если: а) цифры ключа не повторяются? б) цифры ключа могут повторяться?15. Студенту, не допущенному к сессии, необходимо сдать 4 экзамена с 1го по 8-е февраля. Сколькими способами это можно сделать, если известно, что последний экзамен будет сдаваться 8-го февраля. Предполагается, что в один день можно сдать только один экзамен.16. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно вынуть 6 карт так, чтобы среди них: а) был хотя бы один туз; б) был ровно один туз; в) было не менее двух тузов; г) было ровно 2 туза?17. Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 8 защитников и 12 нападающих. Сколькими способами тренер может составить стартовую шестёрку, состоящую из вратаря, двух защитников и трёх нападающих?18. Программа по некоторой дисциплине содержит 25 вопросов. Студент выучил только 15 из них. Сколько «счастливых» билетов можно составить для этого студента, если в билете три вопроса, а для получения «зачёта» необходимо ответить хотя бы на два вопроса?19. Сколькими способами можно составить трёхцветный полосатый флаг (полосы могут быть как горизонтальными, так и вертикальными), если имеется материал пяти различных цветов?20. Сколько натуральных чисел, меньших 1000 можно написать при помощи цифр 2 и 5?

243

Домашнее задание21. Для обнаружения нефти на участке необходимо пробурить до 8 скважин. Кампания обладает средствами для бурения 5 скважин. Сколько способов отбора пяти различных скважин существует у компании?22. Найдите количество перестановок букв в слове «длина».23. Сколькими способами можно расположить восемь разных книг в ряд на одной полке?24. Сколько различных перестановок можно получить из букв слова КОЛОКОЛА?25. Сколькими способами можно разложить 6 различных конфет в три коробки?26. Сколькими способами можно составить команду из четырёх человек для участия в: а) кроссе на 3000м; б) шведской эстафете (800+400+200+100м), если в спортклубе имеется 10 бегунов?27. Имеется три группы студентов: в первой 10 человек, во второй 15 человек, в третьей 18 человек. Найдите количество способов выбора тройки студентов, в которой по одному студенту из каждой группы.28. В урне лежит 5 белых и 7 чёрных шаров. Сколько существует вариантов выбора 3 белых и 2 чёрных шаров из этой урны?29. Сколькими способами можно построить в ряд 5 мужчин и 5 женщин, чтобы никакие два лица одного пола не стояли рядом?30. Из группы, состоящей из 7 мужчин и 4 женщин надо выбрать 6 человек так, чтобы среди них было не менее 2 женщин. Сколькими способами это можно сделать?

Дополнительные задачи для самостоятельной работы31. В состав некоторого салата входят 6 продуктов. Сколько существует различных порядков добавления продуктов в салат?32. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1,2, 3, 4, 5?33. Некий гражданин ежедневно просматривает пять газет. Порядок просмотра газет случаен. Сколько существует способов его осуществления?34. Двенадцать друзей решили после окончания школы каждый год встречаться в одном кафе. Они считали, что удобнее всего обмениваться впечатлениями и беседовать за столиками по 3 человека. Сколько лет им потребуется, чтобы каждый мог посидеть с каждым из остальных за каким- либо одним столиком?35. В отборочном турнире участвуют 16 команд, из которых в следующий круг проходят 8. Сколько существует различных вариантов попадания команд в следующий круг?36. Сколько различных «слов», каждое из которых содержит 6 букв, можно составить из слова «экспертиза»?37. Буквенный замок содержит на общей оси 4 диска, каждый из которых разделён на шесть секторов, отмеченных различными буквами. Сколько

244

различных кодовых комбинаций можно составить при помощи этого замка?38. Код банковского сейфа состоит из 7 цифр. Сколько можно составить различных кодовых комбинаций, если: а) цифры не повторяются? б) цифры повторяются?39. Сколько можно сделать (различных) перестановок из n элементов, в которых данные два элемента « a » и « b » не стоят рядом?40. В парфюмерном магазине имеются 5 видов косметических наборов. Сколько существует способов выбора подарков для четырёх человек, если в подарок решено приобрести эти наборы?41. Сколько существует способов получения нечётных четырёхзначных чисел, если для их записи могут быть использованы цифры 3, 4, 5, 6, 7, 8 иа) цифры не повторяются? б) цифры могут повторяться?42. Три юноши и семь девушек отправляются на двух судах: байдарке и лодке по реке. Сколькими способами их можно разместить на этих судах поровну, чтобы в каждом был хотя бы один юноша?

Решение типовых задач Пример 1. Сколько трёхкнопочных комбинаций существует на ко

довом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр.

< Так как кнопки нажимаются одновременно, то выбор этих трехз 10!кнопок - сочетание. Отсюда возможно вариантов С10 = = 120 . >

Пример 2. Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр 1 ,2 ,3,4, если цифры в числе не повторяются?

< Так как различные четырёхзначные числа могут быть получены всевозможными перестановками этих цифр, то количество всех таких чисел равно Р4 = 4! = 24 . >

Пример 3. Комиссии, состоящей из семи членов, необходимо выбрать председателя и заместителя. Сколькими способами члены комиссии могут распределить между собой обязанности председателя и его заместителя?

< Так, как порядок, кто председатель, а кто его заместитель, важен,2 5! 7!

то всего существует Aj = —— = 5Т = ^ ' 7 = 42 способа распределения

обязанностей. >Пример 4. Вдоль дороги стоят 6 светофоров. Сколько может быть

различных комбинаций их сигналов, если каждый светофор имеет 3 состояния: "красный", "желтый", "зеленый"?

< Так, как светофоры различны, то порядок зажигания того или иного цвета важен. Кроме того, цвета могут повторяться. Поэтому число все

возможных различных комбинаций равно = З6 = 729 . >245

Пример 5. В вазе стоят 10 красных и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из вазы 5 гвоздик одного цвета?

< Можно выбрать 5 розовых гвоздик или 5 красных гвоздик. Розовые гвоздики можно выбрать одним способом, а число способов выбрать

5 10!красные гвоздики равно: Сю = = 252. Используя правило сложения,

получим общее число способов: 253. >Пример 6. На первой полке стоит 5 книг, а на второй 10. Сколькими

способами можно выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй?< Для выбора первой книги существует 5 способов, для выбора вто

рой 10 способов. Используя правило произведения, получим общее количество способов равно 5 • 10 = 50. >

Ответы1. 15504. 2. 524160. 3. 120. 4. 2187. 5. 24. 6. 10. 7. 121. 8. а) 600; б) 300.9. 1320. 10. 350. 11. а) 120; б) 60; в) 420. 12. 625. 13. 24. 14. а) 1814400;б) 100000000. 15. 840. 16. а) 1041600; б) 805504; в) 236096; г) 215760.17. 12320. 18. 1505. 19. 120. 20. 14. 21. 56. 22. 120. 23. 40320. 24. 1680.25. 729. 26. а) 210; б) 5040. 27. 2700. 28. 210. 29. 28800. 30. 371. 31. 720.32. 180. 33. 120. 34. 55. 35. 12870. 36. 151200. 37. 1296. 38. а) 604800;б) 10000000. 39. n ! - 2 (n - 1)! 40. 625. 41. а) 180; б) 648. 42. 210.

Занятие № 54. Вероятность события. Классическое и геометрическоеопределения вероятности события

Основные понятия: пространство элементарных событий, случайное событие, достоверное и невозможное события, различные определения вероятности события (аксиоматическое и классическое определения, геометрическое, статистическое) [2, с. 17 - 30].

Q = { d , ®2,......... } - пространство элементарных событий (исходов); щ e Q - элементарный исход. Случайное событие A - подмножество Q (A с Q ). Q -достоверное событие, 0-невозможное событие.В классическом определении вероятности события:1) Q = n < ад; 2) исходы d , i = 1, n , равновероятны.Тогда вероятность P (A) любого события A c Q (|A| = m) равна

р ( a ) = A = m .v ' | Q nP (0 ) = 0, P (Q ) = 1.Г еометрическое определение вероятности события. Пусть Q - область в □ " с мерой //(Q) < оо. При п = 1: мера //(Q) - длина; при п = 2: мера

246

^ (Q ) - площадь, при n = 3 : мера ^ (Q ) - объем. A - подмножество обла

сти Q (A с Q ). В область Q наудачу брошена точка. Вероятность попадания в A равна:

P ( a ) = t i AL( A~ m(Q)'

Задачи1. В урне лежат 2 шара: белый и чёрный. Из урны достают один шар, фиксируют цвет и возвращают обратно. Эту процедуру повторяют три раза. Описать Q - пространство элементарных исходов этого эксперимента и событие A - появилось два белых шара. Найти вероятность события A .2. Игральная кость бросается один раз. Описать пространство элементарных исходов этого эксперимента и событие A - на верхней грани выпадет не менее двух очков. Найти вероятность этого события.3. В коробке лежат 5 белых, 10 чёрных, 2 синих и 3 красных карандаша. Из неё наудачу взяли 1 карандаш. Найти вероятность того, что этот карандаш окажется белым или красным.4. Цифры 1, 2, 3, ..., 9 выписаны на девяти карточках. Наугад вынимают одну карточку. Найти вероятность того, что число, написанное на этой карточке: а) четное; б) двузначное.5. Одновременно бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков на двух костях не превосходит пяти.6. На полке стоят 14 книг, шесть из которых одного автора. Наудачу одновременно берут 2 книги. Найти вероятность того, что обе книги этого автора.7. В группе волонтеров университета 5 студентов химиков, 6 механиков,4 энергетика и 3 экономиста. Для очередного задания случайным образом были отобраны 7 волонтеров. Какова вероятность того, что среди выбранных окажется 2 химика, 3 механика и 2 экономиста.8. Из колоды в 36 карт одновременно извлекают 6 карт. Найти вероятность того, что среди них будут король пиковой масти и пиковая дама.9. В урне шесть занумерованных от 1 до 6 шаров. Наудачу по одному извлекаются все шары. Найти вероятность того, что номера извлечённых шаров появятся в возрастающем порядке.10. Студент пришёл на зачёт, изучив только 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент сдаст зачёт, если для этого он должен ответить а) на три предложенные преподавателем вопроса; б) хотя бы на два вопроса из трех предложенных.11. Кодовый замок автоматической камеры хранения содержит 4 диска с цифрами от 0 до 9. Предполагая, что все комбинации цифр равновозможны, найти вероятность того, что при наборе наудачу единственный раз четырех цифр на дисках замка: а) он откроется; б) он откроется, если набирающему известно, что все цифры различные.

247

12. Одновременно бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что на всех трёх костях выпадет различное число очков.13. Автобус останавливается на пяти остановках, не считая ту, на которой вошли пассажиры. Какова вероятность того, что вошедшие в автобус 5 пассажиров выйдут на разных остановках?14. Десять книг расставляются наудачу на одной пустой полке. Определить вероятность того, что при этом три определённые книги окажутся поставленными рядом.15. Колода из 32-х карт тщательно перетасована. Найти вероятность того, что все четыре туза лежат в колоде один за другим, не перемежаясь другими картами.16. Во время бури на участке между 30-м и 70-м километрами линии электропередач (ЛЭП) произошёл обрыв провода. Какова вероятность того, что разрыв произошёл между 40-м и 45- километрами линии?17. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадёт также и в кольцо, образованное построенными окружностями.18. Наудачу взяты два положительных числа X и у , каждое из которых не превышает единицы. Найти вероятность, что сумма x + у не меньше 0,5 и не больше 1.19. В прямоугольник со сторонами 2см и 6 см наудачу бросается точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в него четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон исходного прямоугольника.20. В квадрат наудачу бросается точка. Найти вероятность того, что точка окажется вне круга, вписанного в этот квадрат.21. На паркетный пол наудачу бросают монету радиуса r . Паркет имеет форму квадратов со стороной a (a > 2r ). Найти вероятность того, что монета не пересечёт ни одну из сторон квадрата паркета.

j22. Найти вероятность того, что квадратное уравнение x + px + q = 0 имеет вещественные (действительные корни), если числа p и q выбира

ются наудачу из отрезка [—1; 1].23. В шар радиуса R наудачу бросается точка. Найти вероятность того, что эта точка окажется внутри вписанного в данный шар куба.

Домашнее задание24. В урне 2 зеленых, 7 красных, 5 коричневых и 10 белых шаров. Из урны наудачу вынимается один шар. Какова вероятность появления цветного шара?25. Игральная кость бросается один раз. Найти вероятность того, что на верхней грани выпадет не более четырёх очков.

248

26. Бросаются одновременно две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: A - сумма выпавших очков равна 8; B - произведение выпавших очков равно 8.27. На складе имеется 15 принтеров, 10 из которых фирмы «Canon». Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 5 принтеров 3 принтера окажутся этой фирмы.28. В коробке находится 7 теннисных мячей, из которых 4 новых. Для игры наудачу берут три мяча. Найти вероятность того, что выбраны хотя бы два новых мяча.29. В чемпи онате России участвуют 18 шахматистов, из которых случайным образом формируются две группы по 9 человек в каждой. Среди участников соревнований 5 гроссмейстеров и 13 мастеров. Найти вероятности следующих событий: A - все гроссмейстеры попадут в одну и ту же группу; B - два гроссмейстера попадут в одну из групп, а три в другую.30. При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры нечётные и разные. Найти вероятность того, что номер набран правильно.31. Бросают 4 игральные кости. Найти вероятность того, что на всех выпадет одинаковое число очков.32. Ребёнок играет с пятью различными цифрами 1,2,...,5. Найти вероятность того, что выложив их в случайном порядке, он получит возрастающую комбинацию цифр.33. На отрезке длиной 20 единиц взято наудачу число. Какова вероятность того, что это число отличается от концов отрезка более, чем на 3 единицы?34. В квадрат наудачу бросается точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в квадрат параллелограмма (см. рис.)

35. В круг наудачу бросается точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг квадрата.36. В круг вписан правильный треугольник. Найти вероятность того, что наудачу брошенная в круг точка попадет в треугольник.37. Найти вероятность того, что сумма и произведение двух наудачу выбранных чисел из промежутка отрицательны.

Дополнительные задачи для самостоятельной работы38. Из урны, в которой находятся 6 белых шаров и 4 черных шара, вынимают одновременно 4 шара. Найти вероятность того, что среди отобранных три шара будут белыми.

249

39. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 5 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов хотя бы 4 отличника.40. Из колоды карт (52 карты) наудачу (случайным образом) извлекают три карты. Найти вероятность того, что это будут тройка, семёрка и туз.41. На столе лежат 20 билетов с номерами 1, 2, 3, ..., 20. Преподаватель наудачу берёт три. Какова вероятность того, что они из первых пяти?42. Стержень двумя случайными точками делится на три части. Какова вероятность того, что из полученных частей можно составить треугольник?43. Наудачу взяты два положительных числа X и у , каждое из которых не превышает единицы. Найти вероятность, что сумма x + у не меньше единицы, а произведение x • у не больше ^ .

Решение типовых задач Пример 1. Монета подбрасывается два раза подряд. Записать собы

тие А - «герб» появился хотя бы один раз.< Пространство элементарных событий этого опыта имеет вид

Q = {ГГ, ГР, РГ, РР}, где буква Г обозначает появление «герба», букваР - появление «решки». Таким образом, ГГ - событие, состоящее в том, что «герб» появился и при первом, и при втором бросании; ГР - событие, состоящее в том, что при первом бросании появился «герб», а при втором- «решка» и т.д. Событие A , состоящее в том, что «герб» появился хотя бы один раз, имеет вид А = {ГГ, ГР,РГ}. >

Пример 2. Бросаются две игральные кости. Записать событие А - сумма выпавших очков равна 8 .

< Пространство элементарных событий: Q = {(i, j ) : i, j = 1,2,..., 6 }.Здесь j обозначает количество очков, выпавших на первой кости, j - навторой. Событие A , состоящее в том, что сумма выпавших очков равна 8,имеет вид: A = {(2, 6 ) ,(3 ,5 ) ,(4 ,4 ) ,(5 ,3 ) ,(6 ,2 )} , >

Пример 3. В урне 18 шаров - 10 белых и 8 чёрных. Наугад извлекаются 5 шаров. Найти вероятность того, что среди извлеченных шаров окажутся: а) все шары белые; б) три шара белых и два чёрных, в) хотя бы четыре белых.

< Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 5 шаров из восемнадцати т.е.n =Q|=С 8 .

а) Обозначим событие A - все шары белые. Благоприятствующими появлению события A будут те элементарные исходы, когда 5 шаров выби-

250

раются только из белых. Следовательно, m = |A| = C ^ . Тогда вероятность,5

события A : P (A) = m =n

C10 10! 5!-13! 10 - 9 - 8 - 7 - 6Cf8 5!- 5! 18! 18-17-16-15-14 34

б) Обозначим событие B - три шара белых и два чёрных. Три белых шара могут быть выбраны C3 способами, а два чёрных - Cg способами. По правилу произведения число исходов, благоприятствующих появлению события B , равно m = - C^. Тогда вероятность события B :

10! 8 ! 5 !-13!_ 10 - 9 - 8 - 7-1-2 - 3 - 4 - 5 _ 2 0- - = = 51 .P (B )=

C 3 - C 2 C10 C8C5

18 3!-7! 2!-6 ! 18! 1-2 - 3-1-2-18-17-16-15-14в) Обозначим событие D - хотя бы четыре белых. По правилу про

изведения и суммы число исходов, благоприятствующих появлениюсобытия D , равно m = C10 - C + - C ° . Тогда вероятность события D :

АP (D ) =

C10C18

23102

>

Пример 4. (Задача о встрече.) Двое студентов условились встретиться в определённом месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждёт другого в течение 10 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает время своего прихода (в промежутке между двумя и тремя часами дня).

< Обозначим через x и у - моменты прихода на место встречи первого и второго студентов соответственно. Для простоты 2 часа дня примем за начало отсчёта. Рассмотрим декартову прямоугольную систему координат Oxy. Тогда пространство элементарных событий может быть записанотак: Q = {( x, у ) :0 < x < 1;0 < у < 1|. Геометрически Q представляет собой квадрат со стороной 1 (рис.1.12). Обозначим событие A - встреча состоится. Встреча состоится, если промежуток времени между моментом прихода первого и моментом прихода второго студента не пре

восходит 10 минут, т.е. 1 часа. Следовательно,6

A = |(x, у ) е Q : x — у| < 1 j . На рис.1.12 множеству

A соответствует заштрихованная фигура. Площадь

этой фигуры равна 1 — 2 -1 - — - — = 1 1 . Таким обра-2 6 6 36

зом, согласно геометрическому определению вероят-

251

1 1

ности Р (A) ~ m (A )- 36ju( Q) 1

Ответы1. Q = (666, ббч, бчб, чбб, ччб, чбч, бчч, ччч}, A = (ббч, бчб, чбб}, (б - достали

белый шар, ч - чёрный); Р (А) = 0,375. 2. Q = (1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 } , А = (2 ,3 ,4 ,5 , 6 }, (здесь элементарный исход щ= i — выпадение i очков),

Р (А) = 5 . 3. 0,4. 4. а) 4 ; б) 0. 5. — . 6. — . 7. - 2 5 - . 8. — . 9. 16 9 18 91 1326 42 720

57 209 5 24 110. а)---- ; б)------. 11. а) 0,0001; б) * 0,0002. 12. - . 1 3 . ----- . 14. — .

115 230 9 625 15

1 1 4 — ж15. . 16. 0,125. 17. 0,75. 18. 0, 375. 19. - . 20. -------- . 21.

1240 2 42

v а у

22. — . 23. . 24. — . 25. - . 26. Р (А) = — ; Р (B) = — . 27. -4 0 0 .24 3ж 12 3 v ’ 36 v ' 18 1001

22 1 6 1 1 1 128. — . 29. Р (А) = — ; Р (B) = — . 30. — . 3 1 . -----. 3 2 . ----- . 33. 0,7. 34. - .

35 v ' 68 v ' 17 20 216 120 22 3 /з 8 14 1

35. —. 36. — . 37. 0,25. 38. — . 39. — . 40. * 0 ,0 0 2 9 . 41. ---- . 42. 0,25.ж 4ж 21 33 1144 3 1

43. - l n ------- .9 2 9

Занятие № 55. Алгебра событий.Теоремы умножения и сложения вероятностей

Основные понятия: сумма, произведение событий, противоположное событие, несовместные события, независимые события, теоремы сложения и умножения вероятностей [2, с. 31 — 49].

Р (B /А )— условная вероятность наступления B при условии, что

, ч Р (AB) , ч А произошло. По определению Р (B / А) = ^ , Р (А) Ф 0.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое наступило:

Р ( AB ) = Р ( А)-Р ( B / А).События А и B называются независимыми, если выполнено равенство:

Р ( AB ) = Р ( А) Р ( B ).

252

Теорема сложения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий (AB Ф 0 ) равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

P ( A + B) = P ( A ) + P ( B) - P ( AB).

Вероятность появления одного из двух несовместных событий (AB = 0 ) равна сумме вероятностей этих событий:

P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ).

Вероятность противоположного события A : P (a ) = 1 - P (A).

Задачи1. Три стрелка стреляют в мишень. Событие А - первый стрелок попал в мишень, событие B - второй стрелок попал в мишень, событие С - третий стрелок попал в мишень. Записать события, состоящие в том, что из событий А, В, С произошли (произошло):

а) только А ; б) А и В , и не произошло С ; в) все три события;г) хотя бы одно событие; д) хотя бы два события;е) одно и только одно событие; ж) два и только два события;з) не более двух событий; и) не произошло ни одно событие.

2. Бросили монету и игральную кость. Определить, зависимы или независимы события: А - «выпал герб»; В - «выпало четное число очков».3. Брошены последовательно три монеты. Определить, зависимы или независимы события: А - «выпадение герба на первой монете»;В - «выпадение хотя бы одной решки».4. Игральную кость подбросили 1 раз. Рассмотрим события: E - «выпало 4 очка»; F - «выпало четное число очков». Будут ли события Е и F несовместными?5. Из колоды 36 карт извлекается одна карта. Событие П - появилась карта пиковой масти; событие Д - появилась дама. Описать события П+Д, ПД, и найти вероятности этих событий.6 . В барабане револьвера 7 гнёзд и вставлено 5 патронов. Дважды барабан наугад прокручивается, и каждый раз нажимается курок. Какова вероятность, что выстрела не будет?7. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7; для второго - 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадут: а) оба стрелка;б) хотя бы один из стрелков.8 . В урне 10 белых и 5 черных шаров. Из урны вынули два шара. Какова вероятность, что они одного цвета?9. Буквы У, У, Ж, М, К, А, М написаны на отдельных карточках. Найти вероятность того, что выбранные последовательно наугад 3 буквы составят слово а) «ЖУК»; б) «МУЖ».

253

10. Два игрока поочередно бросают монету. Каждый делает не более двух подбрасываний. Выигрывает тот, у кого раньше появится «герб». Найти вероятность выигрыша для 2-го игрока.11. Пусть вы забыли последнюю цифру нужного вам номера телефона и набираете ее наудачу. Какова вероятность того, что вам придется сделать не более двух вызовов?12. Среди 25 экзаменационных билетов имеется 5 «счастливых» и 20 «несчастливых». Студенты подходят за билетами один за другим по очереди. У кого больше вероятность вытащить счастливый билет: у того, кто подошел за билетами первым — р , или у того, кто подошел вторым — Р2 ?13. В команде КВН университета 5 студентов химиков, 6 — строителей,4 энергетика и 4 студента механического факультета. Для участия в конкурсе случайным образом были отобраны 6 студентов. Какова вероятность, что среди выбранных окажется хотя бы один энергетик.14. В одном ящике 5 белых и 10 красных шаров, в другом ящике 10 белых и 5 красных шаров. Из каждого ящика извлекают по одному шару. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет извлечен белый шар.15. Деталь последовательно изготавливается тремя автоматами. Первый автомат допускает 5% брака, второй - 3%, третий - 2%. Найти вероятность получения: а) годной детали; б) бракованной детали.16. Даны схемы электропередачи, элементы которых образуют цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказ любого элемента приводит к прерыванию передачи энергии в той ветви цепи, где находится данный элемент, и не приводит к отказу других элементов. Известна надежность (вероятность безотказной работы) элементов соответственно Р = 0,9; р = 0,85; p = 0,95. Найти надежность каждой из схем:

Домашнее задание17. Для сигнализации о пожаре в комнате установлены два независимо действующих сигнализатора, один из которых срабатывает в случае пожара с вероятностью 0,95, а второй - с вероятностью 0,9. Найти вероятность того, что в случае пожара сработает хотя бы один сигнализатор.18. Бросили две монеты. Событие E — «выпадение двух гербов», событие F — «выпадение двух решек». Будут ли Е и F несовместными? Будут ли они противоположными? Найти P( E + F ).

254

19. Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания в цель при одном выстреле из первого орудия равна 0,8, для второго и третьего орудий эти вероятности соответственно равны 0,7 и 0,9. Найти вероятность того, что только один снаряд попал в цель.20. Два игрока поочередно бросают монету. Каждый делает не более двух подбрасываний. Выигрывает тот, у кого раньше появится «герб». Найти вероятность выигрыша для 1 -го игрока.21. В коробке 10 деталей, из которых четыре окрашены. Сборщик наудачу достает три детали. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.22. Каждая буква слова «БАКАЛАВР» выписана на отдельной карточке. Карточки тщательно перемешаны. Поочередно извлекают пять карточек и выкладывают в ряд. Найти вероятность того, что получится слово «ЛАВКА».23. В электрическую цепь параллельно включены два элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказов элементов равны соответственно 0,1 и 0,3. Найти вероятность того, что цепь проводит ток.

Дополнительные задачи для самостоятельной работы24. В круг радиуса R вписан квадрат. Чему равна вероятность того, что поставленные наудачу внутри круга две точки окажутся внутри квадрата?25. Устройство содержит два независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов равны соответственно 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.26. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным 2 либо 5.27. В ящике 10 красных и 6 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две пуговицы. Какова вероятность того, что пуговицы будут одноцветными?28. Три стрелка, попадающие в цель независимо друг от друга с вероятностями 0,5, 0,4 и 0,3 соответственно, выстрелили по мишени одновременно. Какова вероятность того, что в мишени:

а) А — «не образовалось ни одной пробоины»;б) В — «образовалась одна пробоина»;в) С — «образовались две пробоины»;г) D — «образовались три пробоины»;д) E — «образовалась хотя бы одна пробоина»;е) F — «образовалось не менее двух пробоин».

29. Дана схема передачи сигнала, элементы которой образуют цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказ любого элемента приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент, и не приводит к отказу других элементов. Известна надежность (вероятность безотказной работы) элементов соответственно p = 0,9; p2 = 0,8; р = 0,5; p 4 = 0,7. Найти надежность схемы:

255

30. Бросают 4 игральные кости. Найти вероятность того, что на них выпадет по одинаковому числу очков.31. Числа 1,2,3,..., 20 написаны на листках бумаги, которые помещаются в коробку и тщательно перемешиваются. Из коробки наугад вынимается один листок. Какова вероятность того, что число на вынутом листке окажется либо простым, либо делящимся на три?32. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при трех выстрелах равна 0,875. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле, если она одна и та же для каждого выстрела.33. Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы хотя бы один раз выпало шесть очков с вероятностью, большей а) 0,5; б) 0,9?34. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются 4 карты. Найти вероятность того, что а) все они будут разных мастей, б) все они будут разных мастей при условии, что каждая карта после вынимания возвращается в колоду.

Решение типовых задач Пример 1. Бросаются две монеты. Рассмотрим события: A -«пер-

рвая монета упала гербом кверху»; B - «монеты упали одинаково». Являются ли эти события а) совместными; б) независимыми?

< а) Пространство элементарных исходов эксперимента имеет вид Q = {ГГ , ГР, РГ, Р Р } . Тогда A = {ГГ, Г Р } , B = {ГГ, РР} . Так как

AB Ф 0 (AB = {ГГ }), то A и B - совместные события.б) Так как пространство элементарных исходов образуют равновозможные

2 2 1 исходы, то P( A) = —, P( B) = —, P ( AB) = —. Тогда P( AB) = P( A) • P(B).

Следовательно, события А и В являются независимыми. >Пример 2. Из урны, содержащей 3 белых и 2 красных шара, науда

чу без возвращения вынимают два шара. Пусть событие A - «первый извлеченный шар является белым»; событие B - «второй извлеченный шар является белым». Найти P( B / A ) .

< Первый способ. В соответствии с определением условной вероят-P( AB)ности, имеем P (B / A) = —----- -. Событие AB - «из урны извлекли дваP ( A)

С 2 3 3 3 3 1белых шара». P( AB) = —^ = — , P( A) = —. Тогда P (B / A) = — : — = —.

— 2 10 5 V ' 10 5 2

256

Второй способ. Перейдем к новому пространству элементарных исходов Q j. Так как событие A произошло, то в новом пространстве осталось всего N = 3 + 2 — 1 = 4 равновозможных исхода. Событию B при этом благоприятствует |в| = 3 — 1 = 2 исхода. Следовательно,

Р(В/А) = - = ~. >4 2

Пример 3. На шести карточках написаны буквы, образующие слово «РЕМОНТ». Карточки перемешиваются и из них наугад поочередно извлекают и выкладывают слева направо четыре карточки. Найти вероятность события А - получится слово «МОРЕ» .

< Первый способ. Введем события A - «на первой выбранной карточке написана буква М»;A - «на второй выбранной карточке написана буква О»;A3 - «на третьей выбранной карточке написана буква Р»;A4 - «на четвертой выбранной карточке написана буква Е».Тогда A = Ai A2A3A4 . Так как A j,Аг,A3, A4 — зависимые события, то

P(Ai) = - P(A2 I Ai) = 1 P (A3 / A1A2 ) = P(A4 / A1A2A3) = 1 .6 5 4 3

Отсюда, согласно формуле умножения вероятностей, получаем

P( A) = р ( 4 ) • P( A2 I A ) • р ( A3 IA A2 )• р ( A4 I A A A3) = 1 • 1 • 1 • 1 “ .

Второй способ. Решим эту задачу, используя классическое определение вероятности. Поскольку карточки назад не возвращаются и порядок выбора существенен, то общее число элементарных исходов

IQ = A = 6 : = = 6 • 5 • 4 • 3 = 360. Событию A благоприятствует только

один элементарный исход, т.е. |A = 1. Значит, P(A) =A 1Q 360

Пример 4. Бросают две игральные кости. Какова вероятность появления хотя бы одной шестерки?

^ Обозначим события: A - «появление шестерки при бросании первой кости», B - «появление шестерки при бросании второй кости». Необходимо определить вероятность события C = A + B. События A и B — совместные и независимые, поэтому

P (C ) = P (A + B) = P (A ) + P (B) — P (AB) , где P( A) = -1 , P (B) = 1 ,6 6

11Р(АВ) = Р(А)-Р(В) = — . Тогда Р(С) = —+ — — — = — . > w w 36 w 6 6 36 36

257

Пример 5. Три стрелка независимо друг от друга попадают в цель при одном выстреле с вероятностью 0,9; 0,8 и 0,7 соответственно. Найти вероятности следующих событий: А - «в мишень попал только первый стрелок»; B - «в мишень попал хотя бы один стрелок».

< а) Рассмотрим события Ai - «в цель попал i-тый стрелок»,i = 1,2,3. Из условия задачи известно, что события А1, А2 , A3 независимые и Р(А1) = 0,9; Р(А2 ) = 0 ,8; Р(А3 ) = 0,7. ТогдаР( А) = Р( А1) - Р ( А2 ) - Р ( А3) = 0 ,9 - (1 — 0 ,8) - (1 — 0 ,7) = 0,054.

б) Событие B произойдет, если все трое попадут в мишень, если в мишень попадут любые два стрелка и т.д. Очевидно, что проще найти вероятность противоположного события B - «все трое не попали в мишень». Р ( B) = Р( А ) - Р( А2 ) - Р ( А3) = (1 — 0 ,9) - (1 — 0 , 8) - (1 — 0 ,7) = 0,006. ТогдаР(В) = 1 - Р(В) = 1 - 0,006 = 0,994. >

Пример 6 . Дана схема передачи сигнала, элементы которой образуют цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказ любого элемента приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент, и не приводит к отказу других элементов. Известна надежность (вероятность безотказной работы) элементов схемы соответственно p = 0,9; p 2 = 0,6; p 3 = 0,5; p 4 = 0,7. Найти надежность схемы:

< Пусть события Ai - работает i — тый элемент, i = 1,4. Выразим через Ai событие B , заключающееся в том, что схема работает. Схема работает, если не откажет 1-ый элемент, и работают 2-ой или 3-ий элементы, и не откажет 4-тый элемент. Тогда B = А1 (А2 + А3 ) А4 . Используем теоремы сложения и умножения вероятностей:p ( b ) = p (А )-p ( a 2 + A3)-p ( a ) =

= Р(А, )-(Р(Л2) + Р(А3)~ Р(А24 ))•/>( а ) = р, (р2 +Рз~ PiPi)P4 = = 0 ,9 (0 , 6 + 0 , 5 - 0 ,6 - 0 ,5 ) -0 ,7 = 0,504. >

Ответы1. а) А В С ; б) А В С ; в) АВС; г) А + В + С ; ) АВ + АС + ВС ; е) А В С + +АВС + А В С ; ж) АВС + АВ С + А В С ; з) АВС; и) A B C .

258

1 1 42. Независимы. 3. Зависимы. 4. Нет. 5. Р(ПД)= — , Р(П+Д)= — 6 . — .

36 3 49

7. а) 0,56; б) 0,94. 8 . — . 9. а) — ; б) — . 10. — . 11. 0,2. 12. P = Р2 =21 105 105 16 1 2

1 7= - . 13. p *0,816. 14. - . 15. а) 0,90307; б) 0,09693. 16. а) 0,89325;

б) 0,99925. 17. 0,995. 18. Е и F несовместные, не противоположные;

P (E + F ) =0,5. 19. 0,092. 2 0 . 5 . 2 1 . 5 . 2 2 . * 0,00089. 23. 0,97 .8 6 1 12 0

424. — . 25. 0,126. 26. 0,6. 27. 0,5. 28. а) 0,21; б) 0,44; в) 0,29; г) 0,06; д) 0,79;

ж1 13

е) 0,35. 29. 0,833. 3 0 . -----. 31. — . 32. 0,5. 33. а) n > 4 ; б) n > 13.216 203

34. а) p * 0,1055; б) — .32

Занятие № 56. Формулы полной вероятности и Байеса Основные понятия: полная группа событий, гипотезы, формула

полной вероятности, формулы Байеса [2, c. 50 - 55].Пусть события (гипотезы) Н1, Н2, ... , Hk образуют полную группу

событий некоторого эксперимента, т.е.: к

1) £ И, = П ;i=1

2) И • И7 = 0 , i Ф j (гипотезы попарно несовместны).

Тогда для любого события A имеет место формула полной вероятно-к

сти: P ( A) = £ P (И, )• P (A / И, ) .i = 1

Формулы Байеса (см. комментарий с. 316):. . P(Hj )• p ( a / и ) —

P (Hj / A ) = k — — , j = ‘ ,к .I р (Hi)• P (A /И, )i=1

позволяют найти условные вероятности гипотез И j , если известно, что событие A уже произошло.

259

Задачи1. В компьютерном тренировочном тесте случайным образом появляются задачи трех типов: А, В, С. Вероятность появления этих задач соответственно равны 0,2; 0,5; 0,3. Студент может решить задачу соответствующего типа с вероятностями: 0,8; 0,2; 0,4. Найти вероятность того, что студент решит появившуюся задачу.2. В ящике содержатся 20 деталей, изготовленных на заводе №1, 30 деталей - на заводе №2 и 50 деталей - на заводе №3. Вероятность того, что деталь отличного качества для завода №1 равна 0,8, для завода №2 - 0,7, а для завода №3 - 0,9. Найти вероятность того, что наудачу извлечённая из ящика деталь окажется отличного качества.3. Банк выдает 44% всех кредитов юридическим лицам, а 56% - физическим лицам. Вероятность того, что юридическое лицо не погасит в срок кредит, равна 0,2; а для физического лица эта вероятность составляет 0,1. Найти вероятность того, что очередной кредит будет погашен в срок.4. Имеется два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 2 белых и 1 черный шар, во втором - 1 белый и 4 черных шара. Наудачу выбирают один ящик и вынимают из него шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым?5. На предприятии работае т 10 рабочих шестого разряда, 15 рабочих пятого разряда и 5 рабочих четвертого разряда. Причем все они имеют одинаковую производительность. Вероятность того, что изделие, изготовленное рабочим соответствующего разряда, будет одобрено ОТК, соответственно равна 0,95; 0,9 и 0,8. Найти вероятность того, что произвольно взятое изделие будет одобрено ОТК.6 . Из трамвайного парка в случайном порядке выходят 4 трамвая маршрута №1 и 8 трамваев маршрута №2. Найти вероятность того, что второй по порядку вышедший трамвай был первого маршрута.7. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятности попадания в цель первого и второго стрелков соответственно равны 0,7 и 0,8. Перед выстрелом они бросают монету для определения очередности. При первом выстреле мишень была поражена. Найти вероятность того, что стрелял первый стрелок.8 . В двух цехах изготавливается однотипная продукция. Производительность 1 -го цеха вдвое выше, чем производительность 2-го цеха. Изделия высшего качества составляют в среднем для первого цеха 95% от выпускаемой им продукции, для 2-го цеха - 90%. Из общей продукции этих цехов наугад взятое изделие оказалось не высшего качества. Какова вероятность того, что оно изготовлено во 2-ом цехе?9. В ящике 5 белых и 7 черных шаров. Наудачу извлекается шар. Он возвращается обратно и, кроме того, добавляется три шара одного с ним цвета. Снова наудачу извлекается шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.10. Имеется два ящика: в первом 3 белых и 2 черных шара, во втором 4 белых и 4 черных. Из первого во второй перекладывают, не глядя, два шара.

260

После этого из второго ящика взятый шар оказался белым. Найти вероятность того, что переложили два шара одного цвета.11. Есть 10 монет: 8 обычных, а на двух «герб» находится с обеих сторон. Наудачу взятая монета бросается три раза. Найти вероятность того, что выпадут три «герба».12. Из полного набора костей домино последовательно наудачу выбирают две кости. Найдите вероятность того, что, следуя обычным правилам игры, вторую извлеченную кость можно приставить к первой.13. В ящике первоначально находилось 6 синих и 4 красных кубика. Один кубик потерян, и цвет его не известен. Из ящика извлечены 2 кубика, и оба оказались красными. Найдите вероятность того, что был потерян тоже красный.14. На экзамен пришли 10 студентов. Трое из них подготовлено отлично, четверо — хорошо, двое — удовлетворительно, один — плохо. В программе имеется 20 экзаменационных вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный — на 16, удовлетворительно — на 10, плохо — на 5. Студент, сдавший экзамен, ответил на все три заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: а) отлично; б) плохо.

Домашнее задание15. Сборщик получил 3 коробки деталей, изготовленных заводом №1 и 2 коробки деталей, изготовленных заводом №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна, равна 0,8, а завода №2 - 0,9. Сборщик наудачу извлекает деталь из случайно взятой коробки. Найдите вероятность того, что извлеченная деталь оказалась стандартной.16. Имеется пять ящиков. В двух из них лежит по одному белому и трем черным шарам, а в трех ящиках — по два белых и два черных шара. Наугад выбирается некоторый ящик и из него вынимается шар. Найти вероятность того, что шар окажется белым.17. В красном ящике 12 черных и 6 белых шаров, в синем ящике - 15 черных и 10 белых. Бросается игральная кость. Если число выпавших очков кратно трем, то наудачу вынимают шар из красного ящика, если число выпавших очков не кратно трем, то наудачу вынимают шар из синего ящика. Найдите вероятность того, что вынули белый шар.18. Для некоторой местности статистикой установлено, что в апреле в среднем бывает 12 дождливых дней, в мае - 8, а в июне - 4. Найти вероятность того, что наудачу взятый день в период с 10 апреля по 10 июня (включительно) будет дождливым.19. Программа по некоторой дисциплине состоит из трех тем. Студент знает ответы на все вопросы темы I; на 80% вопросов темы II и на половину вопросов темы III. Студент сдаст зачет, если ответит на 2 вопроса, задан

261

ных из наудачу взятых разных тем. Найти вероятность того, что данный студент сдаст зачет с первой попытки.20. В первой коробке 7 белых и 3 черных шара, во второй коробке 8 белых и 4 черных шара, в третьей коробке 2 белых и 13 черных шаров. Шар, взятый наудачу из случайно выбранной коробки, оказался белым. Найдите вероятность того, что шар взяли из второй коробки.21. В ящике лежит 20 теннисных мячей, в том числе 12 новых и 8 играных. Из ящика наугад извлекают два мяча для игры. После игры мячи возвращают обратно в ящик. После этого из ящика вынимают еще два мяча для следующей игры. Оба мяча оказались новыми. Найти вероятность того, что первый раз тоже играли новыми мячами.22. На стендовой стрельбе перед стрелком в случайном порядке взлетят: одна мишень типа А, две - типа В и три - типа С. Стрелок попадает в летящую мишень в зависимости от ее типа соответственно с вероятностями:0,8; 0,5 и 0,3. а) Найти вероятность того, что стрелок попадет в первую появившуюся мишень. б) Стрелок попал в мишень. Найти вероятность того, что это была мишень типа А.

Дополнительные задачи для самостоятельной работы23. Два производственных участка по выпуску однотипной продукции за смену выдали одинаковое количество изделий. Возможный процент брака на первом участке составляет 5%, на втором - 4%. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь, из числа поступивших на склад, бракованная.24. На сборку поступают детали с трех автоматов. Первый дает 0,2% брака, второй - 0,1% брака, а продукция, поступающая с третьего автомата, не содержит бракованных изделий. На сборку поступило 2000 деталей с первого автомата, 3000 деталей - со второго и 5000 - с третьего. Найдите вероятность того, что деталь, взятая наудачу из всех этих деталей, будет бракованной.25. Радиодеталь представляет собой последовательно соединенные три резистора R1, R2, R3 и считается годной, если все они не бракованные. На сборку поступило с завода «Маяк» 4 коробки резисторов R1 и 1 коробка резисторов R3 , а с завода «Луч» - 3 коробки резисторов R2 и 2 коробки

резисторов R3 . Найти вероятность того, что из наудачу взятых из этих коробок трех резисторов R1 , R2 , R3 получится годная радиодеталь, если известно, что продукция завода «Маяк» имеет 5% брака, а завода «Луч» - 10% брака.26. Из коробки, содержащей 3 белых и 2 черных шара, потеряли 2 шара неизвестного цвета. Найдите вероятность того, что шар, извлеченный из коробки после потери, окажется черным.27. В первой коробке содержится 10 шаров, из них 8 белых; во второй - 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой коробки наудачу извлекли по одному

262

шару, а затем из этих двух шаров наудачу взят один шар. Найдите вероятность того, что взят белый шар.28. Известно, что 5% мужчин и 0,25% женщин — дальтоники. Найти вероятность того, что а) наугад выбранный человек — дальтоник (предполагается, что мужчин и женщин одинаковое число);б) наугад выбранный человек — мужчина, если известно, что выбранный человек страдает дальтонизмом.29. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 — с вероятностью 0,7; 4 — с вероятностью 0,6 и 2 — с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежит этот стрелок?30. В футбольной команде есть два пенальтиста Иван и Роман. Вероятность забивания гола с пенальти для Ивана равна 0,9; а для Романа — 0,7. В каждом случае пенальтист выбирается по жребию с помощью монеты. Гол с пенальти забит. Найти вероятность того, что удар по воротам исполнил Иван.

Пример 1. В торговую фирму поступают телевизоры от трех фирм изготовителей, в соотношении 2 :5 :3 . Телевизоры, поступающие от первой фирмы, требуют ремонта в течение гарантийного срока в 15% случаев, от второй и третьей - соответственно в 8% и 6% случаев. Найти вероятность того, что проданный телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока.

Определим событие, вероятность которого требуется найти:A - «проданный телевизор потребует гарантийного ремонта». Построим систему гипотез: Hi - «проданный телевизор был произведен i-той фирмой», i = 1,3. Ясно, что события H (i = 1,3) являются попарно несовместными (телевизор не может быть изготовлен двумя фирмами одновременно), и одно из них обязательно происходит. Согласно условию задачи телевизоры поступают в продажу от трех фирм в пропорции 2 : 5 : 3 . Обозначим через x количество телевизоров, приходящихся на одну долю в указанной пропорции. Тогда общее количество телевизоров, поступающих в продажу: 2 x + 5x + 3x = 10 x . При этом количество телевизоров, поступивших от первой фирмы равно 2 x , следовательно, согласно классической

Условные вероятности события A после каждой из гипотез заданы в условии задачи:


формуле вычисления вероятностей: P (H1) = -----= —. Аналогично найдем10 x 5

, P(H 3) = — .2 3 10

P (A IH 1) = 0,15; P (A IH 2) = 0,08; P (A IH 3) = 0,06.

263

Воспользовавшись формулой полной вероятности, получаем3 1 1 3P(A) = yP(Hi)P(A/Hi) = - - 0,15ч— 0,08 + — 0,06 = 0,088. >

/-1 5 2 10Пример 2. После осмотра больного врач считает, что равновозможно

одно из двух заболеваний С или D. Для уточнения диагноза больного направляют на анализ, исход которого дает положительную реакцию при заболевании С в 30% случаев, а при заболевании D - в 20% случаев. Анализ дал положительную реакцию. Какое заболевание становится более вероятным?

Рассмотрим событие А - «анализ дал положительную реакцию». Систему гипотез можно сформулировать следующим образом: Н - «пациент имеет заболевание С», H2 - «пациент имеет заболевание D». Из условия задачи ясно, что P(Н1) = 0,5, P(H2) = 0,5. Условные вероятности события А после каждой из гипотез равны соответственно: P (А / Н1) = 0,3; P (А / Н2) = 0,2.Вероятности того, что пациент имеет заболевания С (или D ) при условии, что анализ дал положительную реакцию, определяем, используя формулы

^ тт , АХ P (H 1) -P (А /Н1) 0,15 Байеса: P (Н / А) = v и— --------х— = —— = 0 ,6 ;1 2 0, 25

У P( Н ) - P( А / Н ) ,i =1

Н2 /А) = ^ 2 ) -P (A /Н2) = 0 1 = 0,4 .2 2 0 25

У P( Н,.) - P( А / Н,.) ,i =1

Так как Р(Н1/А ) > Р(Н2/А) , то заболевание С становится более вероятным. >

Пример 3. В первой урне 10 белых и 20 черных шаров, во второй -10 белых и 10 черных шаров. Из первой урны наугад извлекают 4 шара, из второй 6 шаров и перекладывают эти шары в третью, пустую урну. Какова вероятность того, что шар, извлеченный наугад из третьей урны, окажется белым?

<1 Рассмотрим событие А - «шар, извлеченный наугад из третьей урны, окажется белым». Перекладывание четырех шаров из первой урны можно осуществить пятью способами (по количеству белых шаров): четыре белых шара; три белых и один черный шар; два белых и два черных шара; один белый и три черных шара; ноль белых и четыре черных шара. Аналогично шесть шаров из второй урны можно переложить семью способами (6+0; 5+1; 4+2; 3+3; 2+4; 1+5; 0+6). Всего же получается 5 - 7 = 35 способов (комбинаторный принцип умножения). Каждый из 35 способов приводит к простой ситуации. Но это - долгий и неинтересный путь решения задачи.

264

В данном случае достаточно рассмотреть лишь две гипотезы И и И , соответствующие тому, что взятый из 3-й урны шар первоначально был в 1-й урне и, соответственно, во 2-й урне. При этом Р (И ) = 0,4, Р (И 2) = 0 ,6 . Следовательно, по формуле полной вероятности получим

Р(А) = Р(Н1)-Р(А/Н1) + Р(Н2)-Р(А/Н2) = 0 А - ^ + 0 , 6 ~ = ^ >Пример 4. Известно, что для данной местности и данного времени

года сухие и дождливые дни встречаются в отношении 5 :3 . Статистикой установлено, что для некоторого бюро прогноза погоды прогноз (предска

зание) дождя не сбывается в 1 случаев, а прогноз сухой погоды - в 2 слу

чаев. Определить вероятность того, что прогноз на данный день сбылся (был правильным), если а) день оказался сухим; б) день оказался дождливым.

< Пусть событие А— день оказался сухим, а событие В - день оказался дождливым. Можно рассмотреть две гипотезы: Щ - прогнозировалось «сухо», И2 - прогнозировалось «дождь». По условию сухие и дожд-

5 3ливые дни встречаются в отношении 5 :3 . ПоэтомуР(Щ) = —, Р(И2 ) = —.

8 83 1

Из условия задачи ясно, что Р (A /Их) = —, Р (A /И2) = —,

р (в /И ) = | , р (в /и 2) = 2 .

Вероятности событий A и B находим по формуле полной вероятности:5 3 3 1 1 5 2 3 2 1

Р( A) = ------- 1-------= —, Р( B) = -------- 1------- = —.8 5 8 3 2 8 5 8 3 2

Искомые вероятности будут:

а) Р( И ,/A) = Р( И1>Р( A1 = 3 ; Р (A) 1 4

23 2

Р(Н2)Р(В/Н2) 8 ‘ з 1 >Р(В) }_ 2 '

2

Ответы13 1 7 5 11

1. 0,38. 2. 0,82. 3. 0,856. 4. — . 5. 0,9. 6 . - . 7. — . 8 . 0,5. 9. — . 10. — .30 3 15 12 26

б) Р ( И2 / B) =

265

7 1 1711. 0,3. 12. — . 13. - . 14. а) 0,5787; б) 0,0017. 15. 0,84. 16. 0,4. 17. — .

18 4 45133 17 4 8

18. . 19. — . 20. - . 21. 0,2941. 22. а) 0,45; б) — . 23. 0,045. 24. 0,0007.465 30 9 27

25. — . 26. 0,4. 27. 0,5. 28. а) 0,02625; б) — . 29. Ко 2-й группе. 30. — .800 21 16

Занятие № 57. Формулы Бернулли, Лапласа, Пуассона Основные понятия: схема независимых испытаний Я. Бернулли,

формула Бернулли и ее приближенные формулы: формула Лапласа, формула Пуассона, наивероятнейшее число наступления события в независимых испытаниях [2, с. 55 — 60].

Вероятность Pn (к) к успехов в n испытаниях Бернулли задается формулой Бернулли (см. комментарий с. 316):

d ( 1 \ г^к k n—kP (k ) = Cnp q ,

где p — вероятность успеха в одном испытании, q = 1 — p .Для больших n применяют приближенную формулу Лапласа (см. комментарий с. 319):

Pn (к )~ -/— Р (x ) , yjnpq

1 — n _npгде значения функции (р(x) = ,— e 2 , x = ------ табулированы (см.

\]2л sjnpqприложение 1).Если Л = np < 10, то имеет место формула Пуассона (см. комментарий с. 322):

Л к —n ( к ' ' ' ePn ( к)

Л

к !Интегральная формула Лапласа:

Pn (к1 < к < к2 ) ~ Ф ( x2 ) —Ф ( x1) =

/ \ 1 x — Т г к — np 1 .где Ф ( x ) = .— I e 2 dt — функция Лапласа, xi = ------ , i = 1,2.s2 n 0 yjnpq

Значения функции Ф ( x ) табулированы для 0 < x < 5 (приложение 2), дляx > 5 полагают Ф ( x ) = 0,5. Для отрицательных значений x используютсвойство нечетности функции Лапласа: Ф (—x) = —Ф ( x).Наивероятнейшее число k0 наступления события в n независимых одинаковых испытаниях определяется из неравенств:

np — q < к0 < np + p.266

Задачи1. Игральная кость брошена три раза. Найти вероятность того, что «единица» выпадет ровно два раза.2. При передаче сообщения вероятность искажения каждого знака равна0.01. Предполагая независимость искажения любого из знаков, найти вероятность того, что группа из 5 знаков:а) содержит одно искажение; б) не будет искажена.1. Игральная кость брошена три раза. Найти вероятность того, что «единица» выпадет ровно два раза.3. Изделия некоторого производства содержат 5% брака. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наугад изделий:а) нет ни одного испорченного; б) будут два испорченных.4. Найти вероятность того, что при бросании десяти монет «герб» выпадет по крайней мере 2 раза.5. В круг вписан квадрат. Найти вероятность того, что из четырех точек, брошенных наудачу в данный круг, только одна попадет внутрь квадрата.6 . Играя в шахматы с равносильным противником, что вероятнее:а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех; б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаются.7. Для получения положительной оценки достаточно дать правильный ответ на два вопроса из трех в тесте. На каждый вопрос предложено пять различных ответов, из которых только один правильный. Студент не знает материал и поэтому выбирает ответы наугад. Найти вероятность того, что он получит положительную оценку.8 . В случайном эксперименте, состоящем из трех независимых испытаний, вероятность ровно двух «успехов» в 12 раз больше вероятности трех «успехов». Найти вероятность «успеха» в одном испытании.9. Для прядения смешаны поровну белый и окрашенный хлопок. Какова вероятность среди пяти случайно выбранных волокон смеси обнаружить менее двух окрашенных?10. Вероятность получения удачного результата при производстве сложного химического опыта равна 2/3. Найти наивероятнейшее число удачных опытов, если их общее количество равно 7.11. Орудие сделало 14 выстрелов по объекту, вероятность попадания в каждом из которых равна 0,2. Найти наивероятнейшее число попаданий и вероятность этого числа попаданий.12. Игральную кость подбрасывают наудачу 1200 раз. Найти вероятность наивероятнейшего числа выпадения «шестерки».13. Прядильщица, обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет на пяти веретенах.

267

14. Всхожесть семян данного растения равна 0,9. Найти вероятность того, что из 900 посаженных семян число проросших будет не менее 790 и не более 830?15. Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний равна 0,7. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 1470, но не более 1500 раз; б) не менее 1470 раз; в) не более 1469 раз.16. Радиотелеграфная станция передает цифровой текст. В силу наличия помех каждая цифра независимо от других может быть неправильно принята с вероятностью 0,01. Найти вероятности следующих событий:А - «в принятом тексте, содержащем 1100 цифр, будет меньше 20 ошибок»;В - «будет сделано ровно 7 ошибок».17. Сколько раз с вероятностью 0,0484 можно ожидать появления события в 100 независимых испытаниях, если вероятность его появления в отдельном испытании равна 0,5?18. Игральный кубик подбрасывают 800 раз. Какова вероятность того, что число очков, кратное трем, выпадет не менее 260, но не больше 274?

Домашнее задание19. В некотором роддоме за сутки родилось 6 детей. Найти вероятность того, что ровно 3 из них - мальчики (вероятность рождения мальчика считать равной 0,5).20. Найти вероятность того, что при бросании десяти монет «герб» выпадет ровно 2 раза.21. Найти вероятность выпадения хотя бы двух «шестерок» при трех бросаниях игральной кости.22. Всхожесть семян данного сорта растений оценивается с вероятностью, равной 0,8. Какова вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут не менее четырех?23. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.24. Какова вероятность того, что в столбике из 100 наугад отобранных монет число монет, расположенных гербом «вверх», будет от 45 до 55?25. Сотовый оператор обслуживает 1000 абонентов. В заданном интервале времени любой абонент независимо от остальных может сделать вызов с вероятностью 0,005 . Какова вероятность того, что в данном интервале времени было семь звонков?26. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9. Найти вероятность того, что при пяти выстрелах попаданий будет не менее четырех.

Дополнительные задачи для самостоятельной работы27. Пара одинаковых игральных костей бросается 7 раз. Какова вероятность следующих событий: А - «сумма очков, равная 7, выпадет дважды»; В - «сумма очков, равная 7, выпадет, по крайней мере 1 раз»?

268

28. В кошельке лежат 8 монет номиналом 5 у.е. и 2 монеты номиналом 3 у.е. Наудачу выбирается монета и бросается 5 раз. Найти вероятность того, что в сумме будет 15 у.е., если «герб» принимается за 0.29. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле из орудия равна 0,8. Сколько нужно произвести выстрелов, чтобы наивероятнейшее число попаданий было равно 20?30. Вероятность появления успеха в каждом испытании равна 0,25. Какова вероятность, что при 300 испытаниях успех наступит: а) ровно 75 раз;б) ровно 85раз?

Решение типовых задач Пример 1. Четыре стрелка независимо друг от друга стреляют по

мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8 для каждого стрелка. Найти вероятность того, что только три стрелка попадут в мишень.

< Так как для всех стрелков вероятность попасть в мишень одинакова (p = 0,8; q = 1 — p = 0 ,2) и безразлично, какие именно трое из них

попадут в мишень, то применима формула Бернулли. Найдем вероятность того, что три стрелка (к = 3) из четырех (n = 4) попадут в мишень:

/4(3) = С\ -0,83 -0,2* = =4-0,512-0,2 = 0,4096. >Пример 2. Отдел технического контроля проверяет партию из 100

деталей. Вероятность того, что деталь стандартна, равна 0,9. Найти вероятность того, что в партии: а) 80 стандартных деталей; б) не менее 85 и не более 95 стандартных деталей; в) не менее 90 стандартных деталей.< а) По условию, n = 100 ; p = 0,9; q = 1 — p = 0,1; к = 80. Так как n велико, воспользуемся локальной формулой Лапласа:

P100(80)1

9V100 • 0 ,9 • 0,1 [у/100 • 0 ,9 • 0,1

80 —100 • 0,9

четная функция, то 9

V101 f10л — = 9 —3 J 9 V 3j

Г л гЛ

1 f 1 0 1= -• 9 --------

3 V 3 JТ.к. 9 ( х) —

По таблице значений функции

103 у

0 ,00 16 . Тогда искомая вероятность(приложение 1) находим 9

P100(8 0 )« 0 ,0005.б) По условию, n = 100 ; p = 0,9; q = 1 — p = 0,1; kx = 85; k2 = 95. Воспользуемся интегральной формулой Лапласа:

P100(85 < к < 95)«Ф — Фf 8 5 —100• 0 ,9 Л

^ 100 • 0,9 • 0,1 J V V 100 • 0,9 • 0,1f 5 1 f —5 1= Ф —ФV 3 J V 3 J

269

f 51 f 51= —ФI 3 J V 3 JТ.к. Ф (x ) — нечетная функция, то Ф

функции Лапласа (приложение 2) находим ФV 3 J

По таблице значений

0,4525. Тогда искомая

вероятность Т^о (85 < к < 9 5 )« 2 • 0,4525 = 0,905.в) По условию, n = 100; p = 0,9; q = 1 — p = 0,1; к > 90, т.е.kj = 90; к2 = 100. Воспользуемся интегральной формулой Лапласа:

Т100(90 < к < 100)«Ф — Фf 90—100• 0,9 Л

^100 • 0,9 • 0,1

По таблице значений (приложение 2) находим Ф

f 101=Ф

V 3 J—Ф ( 0 )■

0,4995,

•v/100 • 0,9 • 0,1 ^10 1

v ^ JФ ( 0)= а Тогда искомая вероятность /|0о(90 - к - Ю0) ~ 0,4995. >

Пример 3. Книга издана тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того, что книга сброшюрована неправильно, равна 0,00001. Найти вероятность того, что тираж содержит: а) ровно пять неправильно сброшюрованных книг; б) хотя бы одну неправильно сброшюрованную книгу.< Так как n = 100000 велико, вероятность p = 0,00001 мала, то имеет место формула Пуассона. Находим X = np = 100000 • 0,00001 = 1 ■ а) Найдем вероятность того, что в тираже будет ровно пять (к = 5) брако-

ванных книг: Т (5) ~ 15. е- 1100000(5) ~ e =120- 1

б) Найдем вероятность того, что в тираже будет хотя бы одна неправильно сброшюрованная книга. События «в тираже будет хотя бы одна неправильно сброшюрованная книга» и «в тираже не будет ни одной неправильно сброшюрованной книги» - противоположные, следовательноТ100000 (к > 1) + Т 00000 (0) = 1. Отсюда искомая вероятность того, что хотябы одна книга будет сброшюрована неправильно, равна

10юоооо (к> 1) - 1 - ^юоооо (О) ~^~е • >

Ответы5

1. — . 2. а) p « 0,048; б) p « 0,951. 3. а) p « 0,7738; б) p « 0,02143.

4. 1013 .............. 8(ж — 2) 3

10240 ,9 8 9 . 5. 4 . 6. а) одну партию из двух; б) не менее двух

ж13партий из четырех. 7. . 8 . 0,2. 9. 0,1875. 10. 5. 11. 2 или 3; p « 0,2501.

270

12812. p * 0,0309. 13. p * — e“ 4 * 0,156. 14. p * 0,9736. 15. а) p * 0 ,4236;

б) p * 0 ,5; в) p * 0,5. 16 .P(A) * 0,9917; P (8 ) * 0,0589. 17. 55.45 2

18. p * 0,4003. 19. 0,3125. 20. * 0,044. 21. — . 22. p * 0,7373.1024 27

15625 -523. 0,04565. 24. p * 0,6826. 25. p = --------e 5 * 0,108. 26. 0,91854.

F F 1008

Контрольные задания по теме «Основные понятия теории вероятностей»

1. Игральная кость бросается 1 раз. Найти вероятность того, что на верхней грани выпадет четное число очков. Ответ: 1/2.2. Студент знает 20 из 30 вопросов программы. Найти вероятность того, что он не ответит на 1 заданный преподавателем вопрос. Ответ: 1/3.3. Бросаются 2 игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков, выпавших на обеих костях, равна 10. Ответ: 1/12.4. Из урны, содержащей 5 белых, 3 черных и 7 синих шаров, вынимают три шара. Найти вероятность того, что все извлеченные шары - белые.Ответ: 2/91.5. Программа по некоторой дисциплине содержит 25 вопросов. Студент выучил лишь 20 из них. Найти вероятность того, что он сдаст зачёт с первой попытки, если для сдачи зачёта надо ответить хотя бы на 2 вопроса из трёх в билете. Ответ: 209/230.6 . В круг радиуса R = 2 наудачу бросается точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри указанного кольца (см. рис.). Ответ: 3/4.7. Два стрелка производят по одному выстрелу в цель. Вероятности попадания в цель для 1 -го и 2-го стрелков соответственно равны 0,7 и 0,8.Найти вероятность того, что только второй стрелок попадет в цель.Ответ: 0,24.8 . Буквы И, И, С, Р, Ц написаны на отдельных карточках. Найти вероятность того, что выбранные последовательно наугад 4 буквы составят слово «ИРИС». Ответ: 1/ 60.9. Вероятность выигрыша на каждый из лотерейных билетов равна 0,01. Найти вероятность хотя бы одного выигрыша на двабилета. Уи

10. В одном из трёх ящиков 6 белых и 4 чёрных шаров, во втором 7 белых и 3 чёрных, в третьем - только 8 белых. Наудачу выбирают один из трёх ящиков и из него

Ответ: 0,0199.

271

берут один шар. Найти вероятность того, что шар белый.Ответ: 23/30.11. Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет два раза. Ответ: 5/16.12. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,2. Определите вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена 20 раз. Ответ: 0,0997.13. Сотовый оператор связи регистрирует вызовы со средней плотностью 300 вызовов в час. Найти вероятность того, что за две минуты к оператору

5 0 0 - 1 0поступит ровно три вызова. . Ответ: ~~ ~е .

13. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Основные понятия: дискретные и непрерывные случайные вели

чины, закон распределения, многоугольник распределения, функция распределения, плотность вероятности, числовые характеристики случайных величин и их свойства, примеры важных распределений случайных величин [1, c. 64 - 136].

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее - какое именно.Дискретная случайная величинаX (д.с.в.) - множество ее возможных значений |x1 , Х2 , .......} конечно или счетно. Непрерывная случайная величинаX (н.с.в.) - любое число из некоторого промежутка является ее возможным значением.Функция распределения вероятностей: ^ ( х ) = Р (Х < х), лс е □ .

Свойства функции распределения: Р(х) - неубывающая на □ функция;0 < F(x) < 1; F(-oo) = 0; F(+да) = 1.

Закон (ряд) распределения д.с.в. - таблица:X X1 х2 х3 xnP А p 2 p 3 pn

nв которой pk = P (X = xk ), У pk = 1, n < да.

к= 1

Для д.с.в. X : F (x) = P (X < х) = У pi , график функции распределенияXj < х

вероятностей имеет ступенчатый вид. Если X - н.с.в., то функция распределения вероятностей F (х ) - непрерывная функция.

272

Плотность распределения вероятностей (плотность) н.с.в. X — функция f ( х ) : f (х) = F Xх ).

х д а

Свойства плотности: / (х) > 0 ; F(x) = J / (t)dt, \fx е D ; J / (x)dx = 1 .— д а — д а

Вероятность попадания случайной величины в промежуток:P (х1 < X < х2) = F (х2) — F (х1), х1 < х2;P (х1 < X < х2) = F (х2 + 0) — F (х1), х1 < х2;

P (X = х0) = F (х0 + 0) —F (х0);х2

P (х1 < X < х2 ) = J f (х ) х.х1

Математическим ожиданием случайной величины X называется действительное число:

M ( X ) =Z ^ к ;к=1+даJ хf (х ) Л ;

X — д.с.в., n < да;

X — н.с.в.—да

Дисперсией случайной величины X называется неотрицательное число:

D ( X ) = M (( X — M ( X ))2 ) =

n ~Е ( хк — M (X )) pk; X —д.с.в., n < да;к=1

+даJ (х — M (X ) ) 2f (х )d^; X -н.с.в.

—даСреднее квадратическое отклонение случайной величины X :

a ( X ) ^ D ( X ).

Свойства математического ожидания:M (C) = C (C — постоянная); M (CX) = CM (X );M (XY ) = M (X ) M(Y ) , если X , Y — независимые случайные величины;

M ( X + Y) = M ( X ) + M (Y ).

Свойства дисперсии: D (C) = 0; D (CX) = C2D (X );D(X + Y) = D (X ) + D (Y), если X , Y —независимые случайные величины. Для вычисления дисперсии удобна формула:

D ( X ) = M ( X 2 ) — ( M ( X ) )2 .

n

273

Примеры распределений.1. Биномиальное распределение (Бернулли) — закон распределения д.с.в. X с возможными значениями {0 , 1, 2 ,..., n}, вероятности которых вычис

ляются по формуле Бернулли: pz = Р (X = i) = Clnp lqn~l , i = 0, n; где p — вероятность успеха в одном испытании, q = 1 — p . Числовые характеристики биномиального распределения: M (X ) = np, D (X ) = npq.2. Распределение Пуассона с параметром X > 0 — закон распределения д.с.в. X с возможными значениями {0,1,2, ■■■}, вероятности которых вы-

X -Xчисляются по формуле: pi = Р( X = i) = — e ■ Числовые характеристикиi!

распределения Пуассона: M ( X ) = D ( X ) = X.3. Равномерное распределение н.с.в. X на отрезке [a, b ] :

1 г \2b — a

0;

x e l a[a; b]; M (X ) = , D (X ) = (b — a)2

2 1 2f (x ) =

^ [ a ; b]■4. Показательное распределение н.с.в. X с параметром X > 0:

0; x < 0; i i

„ 0 . U ( X ) - T “ « - ' I - -5. Нормальное распределение н.с.в. X с параметрами а е О , сг > 0:

( х - а ) 21 2f (x ) = — -j= e 1,1 ■ Числовые характеристики нормального распре-

<jyj 2жделения: M (X ) = a, D (X ) = 1 . Вероятность попадания в интервал:

x2 — a1

Фxx — a

1Р (x1 < X < x2 ) = Ф

где Ф ( x ) — функция Лапласа (см. приложение 2).

Занятие № 58. Дискретные случайные величины

Задачи1. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения:

X -3 0 2 6

Р 0,1 0,3 0,4 0,2

Требуется:а) построить многоугольник распределения;б) найти вероятность Р (| X < 3);274

в) найти функцию распределения вероятностей F (х ) и построить ее график;г) найти математическое ожидание M (X ) и дисперсию D (X ).2. Является ли таблица

X -2 0 1 3 5

P 1//6 1 5

1//4 1 5

1//6

законом распределения некоторой дискретной случайной величины X ?

3. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения:X 0 1 2 3P 0,2 0,3 0,4 p 4

Найти значение p4 .4. Найти закон распределения дискретной случайной величины X - числа очков, выпавших на брошенной игральной кости.5. Найти закон распределения дискретной случайной величины X - количества выпадений герба при трех подбрасываниях монеты и найтиP (X < 2).

6 . Стрелок попадает в мишень с вероятностью p = 0,6. Найти математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины X - количества попаданий в мишень при десяти выстрелах.7. Дискретная случайная величина X имеет распределение Пуассона:

P (X = к) = " ^ j, к = 0 ,1 ,2 ,3 ,.... Указать математическое ожидание и

среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

8 . Дискретная случайная величина X имеет закон распределения:

X -1 2 3 5P 1/

/ 6 p 2 p 3 К

Известно, что значение X3 = 3 случайная величина принимает в три раза

чаще, чем значение X2 = 2. Найти математическое ожидание M (X ).

275

9. График функции распределения вероятностей F (х ) дискретной случайной величины X имеет вид:

У 'i

p

-2 О 1 X

вид: F ( х ) =

Найти дисперсию D ( X ) .10. Функция распределения вероятностей случайной величины X имеет

0; х < 2;0,1; 2 < х < 4;0,5; 4 < х < 6;1; х > 6.

Найти вероятности: P (3 < X < 5), P (3 < X < 6).11. В приборе имеется 20 одинаковых деталей, вероятность безотказной работы каждой из которых за промежуток времени t равна p = 0,9. Определить математическое ожидание и дисперсию числа деталей, вышедших из строя за время t .12. Вероятность попадания при одном выстреле p = 0,2. Определить расход снарядов, обеспечивающий в среднем 5 попаданий.13. Среднее количество вызовов, регистрируемых у оператора сотовой связи, в течение одной минуты равно 5. Предполагая, что дискретная случайная величина - число вызовов распределена по закону Пуассона, найти вероятность того, что в течение одной минуты оператор сотовой связи зафиксирует хотя бы один вызов.14. Найти закон распределения дискретной случайной величины, если известно, что она имеет распределение Пуассона и ее математическое ожидание в 10 раз больше среднего квадратического отклонения.

Домашнее задание15. Некоторое устройство состоит из двух независимо работающих узлов. Вероятность выхода из строя каждого из узлов известна: p = 0,1; p 2 = 0,2. Найти закон распределения дискретной случайной величины X — числа узлов, вышедших из строя.16. Дискретная случайная величина имеет закон распределения:

X -5 -2 0 1 4P 0,1 0,2 0,3 0,3 0,1

Найти вероятность P (—3 < X < 1) и математическое ожидание M (X ).

276

17. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения:

X 1 2 3 4P 0,2 0,3 p 3 0,4

Найти F (3,5) + F ( -1 ) , где F (х ) - ее функция распределения вероятностей.18. Из коробки, в которой лежат 3 красных и 2 синих карандаша, взяты наудачу 3 карандаша. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X - количества красных карандашей, взятых из коробки.19. Дискретная случайная величина X принимает все возможные значения:- 3, 3, 5, 7 с одинаковой вероятностью p. Найти дисперсию D (X ).20. Найти параметры n и p биномиального распределения случайной величины X , если известны математическое ожидание M (X ) = 12 и дисперсия D ( X ) = 6.21. Для дискретной случайной величины X , имеющей распределение

4 5Пуассона, известно, что P (X = 2) = —L—. Найти P (X = 4).

eДополнительные задачи для самостоятельной работы

22. Из урны, где лежат два черных и три белых шара, вытаскиваются друг за другом без возвращения шары до тех пор, пока не будет вынут черный шар. Найти среднее значение числа требующихся вытаскиваний.23. Функция распределения вероятностей дискретной случайной величины X имеет вид:

0; х < -6 ;

13561; х > 6.

F (х) =6 < х < 0;

0 < х < 6;

Найти среднее квадратическое отклонение <г( X ).24. Некоторая дискретная случайная величина X Ф 0 принимает положительные значения в 4 раза чаще, чем отрицательные. Найти математическое ожидание M (Y) и дисперсию D (Y) случайной величины Y -количества положительных значений случайной величины X в случайной выборке из 80 ее значений.

277

25. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения:X -3 -1 2 5Р 0,1 Р2 Рз 0,3

Найти р2, Рз, если M (X ) = 1,8.26. Дискретная случайная величина X имеет закон распределения:

X 1 3// 2

9//4

27//8 %

Р 1// 2

1//4

1//8 Х б 1 —2

Найти математическое ожидание M (X ).27. Иван и Сергей играют в следующую азартную игру: Иван бросает мяч в баскетбольную корзину. В случае попадания, он забирает «банк», а в случае промаха, «банк» забирает Сергей. Кому на руку такая игра, если перед каждым туром (броском) Иван кладет в «банк» 150 рублей, а Сергей - 50 рублей, причем вероятность попадания мячом в корзину для Ивана равна 0 ,8 .28. График функции распределения вероятностей F (х ) дискретной случайной величины X имеет вид:

У ‘10p

6p3Р

« r J L

i

=H 1-2 О 1 2 6 *

Найти дисперсию D ( X ).29. Команда состоит из трех стрелков. Вероятность попадания в цель для 1-го стрелка 0,9; для 2-го - 0,85; для 3-го - 0,75. На соревнованиях каждый стрелок делает по 10 выстрелов в цель. Найти математическое ожидание случайной величины X - количества попаданий в цель всей командой.

Решение типовых задач Пример 1. Имеются 5 карточек из разрезной азбуки с буквами А, Б,

М, О, У. Из них случайным образом извлекают (по одной) карточки до появления гласной буквы. Найти закон распределения дискретной случайной величины X - количества извлеченных карточек.

< Обозначим события: Г - взята гласная буква, C - взята согласная буква. Тогда вероятности возможных значений равны:

3p = Р (X = 1) = Р (Г ) = - = 0,6; p 2 = 2 (X = 2) = Р (С )-P ( Г /С) =

278

2 3 2 1= - • - = 0,3; p3 = P(X = 3) = P (C )-P (C /C )-P ( Г /C • C ) = - • - -1 = 0,1.

Закон распределения случайной величины имеет вид:

>

Пример 2. Дискретная случайная величина имеет следующий закон распределения:

X -4 -1 0 2 3P 0,1 0,2 p- 0,2 0,1

Найти вероятности p3 и P (|X| < 2).5

< Так как 2 pk = 1, то p- = 1 — (0,1 + 0,2 + 0,2 + 0,1) = 0,4. Тогдак=1

Р(|Х|<2) = Р (Х = -1 ) + Р (Х = 0) + Р (Х = 2) = 0,2 + 0,4 + 0,2 = 0 Д >Пример 3. Найти закон распределения дискретной случайной вели

чины X , если график ее функции распределения вероятностей F (х ) имеет вид:

У1

0,905

“ “I

Г*----0,2

—3 —1 О 3 4 X

<1 Из графика F (х ) следует, что возможные значения д.с.вX : х1 = —3, х2 = — 1, х- = 3, х4 = 4. Тогда их вероятности находим поформуле pt = P (X = х1) = F (х1 + 0) — F (хг-), т.е. p1 = 0,2 — 0 = 0,2;p 2 = 0,5 — 0,2 = 0,3; p3 = 0,9 — 0,5 = 0,4; p4 = 1 — 0,9 = 0,1. Закон распределения случайной величины имеет вид:

>

Пример 4. Для некоторого орудия вероятность попадания в цель равна 0,8. Найти функцию распределения вероятностей F (х ) , математическое ожидание и дисперсию случайной величины X — количества попаданий при трех выстрелах.

279

X -3 -1 3 4P 0,2 0,3 0,4 0,1

X 1 2 3P 0,6 0,3 0,1

< Здесь возможные значения д.с.в. X - это х1 = 0, х2 = 1, х3 = 2, х4 = 3. Так как дело имеем с повторением независимых опытов, то вероятности p z = P (X = х1) находим по формуле Бернулли:

p = С3° •(0,8)0 •(0 ,2)3 = 0,008; p 2 = С'1-0,8•(0 ,2 ) 2 = 0,096;

p 3 = с 32 •(0 ,8 ) 2 ^0,2 = 0,384; p 4 = C f ( 0 ,8)3 •(0 ,2 )0 = 0,512.Используя определение функции распределения вероятностей F (х) = I pt , запишем ее вид:

F (х) =

0 ; х < 0 ;

0,008; 0 < х < 1 ;

0,104; 1 < х < 2 ;

0,488; 2 < х < 3;

1 ; х > 3.Так как закон распределения случайной величины биномиальный, то М (Х) = пр = 3 -0 , 8 = 2,4; D(X) = npq = 3 -0 ,8 -0 ,2 = 0,48. >

Пример 5. Дана функция распределения вероятностей дискретной случайной величины X :

F ( х) =

Найти математическое ожидание M (X ) , дисперсию D (X ) и среднее

квадратическое отклонение с (X ).

< Дискретные случайные величины X и X имеют следующие законы распределения:

0 ; х < - 5

0,5; - 5 < х < - 1

<0,7; — 1 < х < 2 ;

1 ; х > 2 .

X -5 - 1 2

P 0,5 0 , 2 0,3X 2 25 1 4

P 0,5 0 , 2 0,3

Тогда M (X ) = I х ^ к = - 5 • 0,5 - 1 • 0 ,2 + 2 • 0,3 = -2 ,1 ;к=1

M ( X 2 ) = I х2 pk = 25 • 0 ,5 +1 • 0 ,2 + 4 • 0 ,3 = 13,9; D (X ) =к= 1

= М (х2) - (м(х))2 = 13,9 - (2 ,1)2 = 9,49; сг(X) = D(X) = ^ 4 9 . >

280

3

Ответы

1. а)

y i

0,40^

y ^ ,2 ------- -------------

1 0 ,1-3 О 2 6 x

y1

0,8

0,4

I

M----

-3 О 2 6 x

F (х)

0;0,1;

б) 0 ,8 ; в)х < -3 ;

3 < х < 0;0,4; 0 <х < 2; г) M (X ) = 1,7; D (X ) = 6,81. 2. нет. 3. 0,1.0 ,8; 2 < х < 6 ;1; х > 6 ;

4. P (X = к) = 1 ; к = 1,6. 5. X 0 1 2 3P 1/ V V 1

/8 /8 /8 /8

7P (X < 2) = - 6. M (X ) = 6; D (X ) = 2,4. 7. M (X ) = 1; а ( X ) = 1.

823

8. — . 9. 1,89. 10. P (3 < X < 5) = 0 ,4 ; P (3 < X < 6) = 0,9. 11. M (X ) = 2; 8

D (X ) = 1,8. 12. 25. 13. 0,993. 14. P (X = к) = 100ке“100к!

15. X 0 1 2

P 0,72 0,26 0,0216. 1,8. 17. P = 0,8; M (X ) = -0 ,2 .

18. 0,6. 19. 14. 20. п= 24, p = 0,5. 21. 22. 2. 23. ^17.e

24. M ( 7 ) = 64; D (Y ) = 12,8. 25. p 2 = 0,2; p 3 = 0,4. 26. 2. 27. Ивану. 28. 7,2. 29. 25.

281

Занятие № 59. Непрерывные случайные величиныЗадачи

1. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной вели-0; х < 0;

чины X имеет вид: / (х) = s 2х; 0 < х < 1; Найти:0; х > 1.

1) функцию распределения вероятностей F (х ) ;

( 1 ^2) вероятность попадания в интервал 0, — ;V 2 J

3) математическое ожидание, дисперсию;4) построить графики функций у = / (х) и y = F (х ) .2. График плотности распределения вероятностей / (х) непрерывной случайной величины X , распределенной по закону равнобедренного треугольника, приведен на рисунке.

Найти из геометрических соображений 1) a ; 2) M (X ) ; 3) P (X > 0 ,5a).3. Непрерывная случайная величина X распределена равномерно на отрезке [-2 ; б]. Найти вероятность P ( -5 < X < 5).

4. Может ли функция / (х ) = 1 + cos х быть плотностью распределения вероятностей некоторой непрерывной случайной величины X е (-ад; + ад) ?

0; х < - ^ 2 ;

5. При каком значении Л функция / (х) Л cos х;

0;

7 2 < х < 7 2 :

х > 2.

является плотностью распределения вероятностей некоторой непрерывной случайной величины X ?6. Найти математическое ожидание M (X ) непрерывной случайной величины X , если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:

0; х < -5 ;

0 , 2 - 0,04|х|; - 5 < х < 5;

0; х > 5./ ( х ) =

282

ны X имеет вид: F (х) =

7. Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величи-0; х < 1;3х - 3; 1 < х < b; Найти число b.1; х > b.

8 . Непрерывная случайная величина X имеет показательный закон распределения:

0; х < 0;

1 - в~х; х > 0.F ( х ) =

При этом P (-1 0 < X < b) = 1 . Найти число b.

9. Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины X имеет вид:

F (х) =

0;х

1;

х < 0;

0 < х < 8;

х > 8.

Найти дисперсию D ( X ).

10. Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [ a ; b ],

причем M (X ) = 8; D (X ) = 1 . Найти плотность распределения вероятно

стей / ( х ).

11. Случайная величина X имеет нормальное распределение, причем M (X ) = 0; а ( X ) = 1. Найти плотность распределения вероятностей

/ (х ). Что больше Р1 = P ( -0 ,5 < X < -0,1) или Р2 = P (1 < X < 2) ?

12. На станке изготавливаются втулки. Длина втулки X - случайная величина, распределенная нормально с параметрами a = M (X ) = 20 см,

а = D (X ) = 0,04 см . Найти интервал симметричный относительно математического ожидания, в котором с вероятностью 0,95 будут заключены длины изготовленных втулок.13. Случайные величины X и Y независимы, причем X распределена нормально с параметрами a = M (X ) = 1; а = а ( X ) = 2, а Y равномерно

распределена на отрезке [0 ;2 ]. Найти M (X + 2Y), D (X ± 2Y).

283

Домашняя работа14. График плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины X имеет вид:

У ‘ a

'кII

- 1 о 4 X

Найти значение a .15. Непрерывная случайная величина имеет функцию распределения вероятностей вида

0; х < -3 ;

■>/0,2х + 0,6 ; - 3 < х < 2;1; х > 2.

Найти значение ее плотности распределения вероятностей f (х ) в точке х1 =-1,75.16. Найти математическое ожидание M (X ) непрерывной случайной величины X , если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:

0; х < -2 ; f (х) = <0,08( х + 2); - 2 < х < 3;

0; х > 3.17. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины X , распределенной по показательному закону имеет вид:

0; х < 0;-2 х.f (х) 2e~ х > 0.

Найти ее функцию распределения вероятностей F (х ).18. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X , если ее

плотность распределения вероятностей имеет вид f (х) =1

3л/2e

х + 6 х+9 18

Ж19. Цех выпускает детали, причём контролируется их диаметр Х. Считая, что Х - нормально распределённая случайная величина с математическим ожиданием a = M (X )= 5 см и дисперсией D (X ) = 4 см2, найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали составляет от 2 до 10см.

284

Дополнительные задачи для самостоятельной работы20. Плотность распределения вероятностей некоторой непрерывной случайной величины X имеет вид:

' 0;

х 2

90;

х < 0;

0< х < 3;

х >3.

Найти вероятность P (0 < X < 2).

21. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Найти P (0 < X < 10), если M (X ) = 10 и P (10 < X < 20) = 0,3.

22. Найти среднее квадратическое отклонение а (X ) равномерно распре

деленной на отрезке [-4 ; 6] случайной величины X .

23. Найти дисперсию D (X ) непрерывной случайной величины X , если ее

0 ; х < 1 ;плотность распределения вероятностей имеет вид: / (х) = s 3

— ; х ^ 1

I х24. Известна дисперсия D (X ) = 3 некоторой непрерывной случайной ве

личины X , имеющей плотность распределения вероятностей / (х). Указать дисперсию случайной величины с плотностью / (х - 5).

25. Известно, что непрерывная случайная величина X е (-ад; + ад) с

функцией распределения вероятностей F (х) имеет математическое ожида

ние M (X )= 3. Указать математическое ожидание случайной величины,

имеющей функцию распределения F (х + 7).

26. Найти математическое ожидание M (X ) и функцию распределения ве

роятностей F (х) непрерывной случайной величины X е (-ад; +ад), если

ее плотность распределения вероятностей имеет вид / (х) = —j-1 -----т-.7 х2 +1)

27. Станок-автомат штампует валики, контролируя их диаметр X . Считая X нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием M (X )= 10 мм и средним квадратическим отклонением

а (X ) = 0,1 мм, найти интервал, в котором с вероятностью 0,9973 будут

заключены диаметры изготовленных валиков.

285

28. Непрерывная случайная величина X имеет функцию распределения вида

0; х < 0;

F ( х ) = Ах ; 0 < х < 4;1; х > 4.

Найти параметр А и математическое ожидание случайной величины X .29. Непрерывная случайная величина X имеет показательный закон распределения с параметром А = —. Найти M (2X + 3), D (2X + 3).

30. Случайная величина X распределена по нормальному закону. Плотность распределения вероятностей данной случайной величины имеет вид:

(х-2)2Д х ) = - ^ = e 18 . Найти M (2 X ) , D (2 X -1 ).

3у2жРешение типовых задач

Пример 1. Может ли функция F (х ) = 1 + — arctgp быть2 ж

функцией распределения вероятностей некоторой непрерывной случайной величины X е (-го; + ад) ?< Проверим у заданной функции F (х ) наличие всех свойств функции

распределения вероятностей: F (-го) =Ж У

1 Ж 1F (+ад) = -------- ь — = 1; F (х ) - непрерывная, возрастающая, F (х ) е (0 ,0 .ж 2 2

Следовательно, данная функция может быть функцией распределения вероятностей непрерывной случайной величины X е (—оо; + со). >

Пример 2. Плотность распределения вероятностей некоторой непрерывной случайной величины X имеет вид:

0; х < - ж;

(1 +cos х ); - ж < х < ж ;f (х ) = <! — w 2 ж

0; х > ж .

Найти функцию распределения вероятностей F (х ).х

<1 Так как F (х )= J f (х ) d\, то-Г О

х

при х < - ж : F (х ) = J 0 dх = 0;

286

при —л < х < л :

~П Х 1 1 х 1F (х)= J 0 dx + J — (1+cosх) dx = — (x+sinx)| = — (х+sinx+ л);—л 2л 2л

— л 1 л xпри x > л : F (x )= J 0 dx ч----- J (1 + cos x )dx + J 0dx = 1. Итак,

F (x )

0;1

2л _x < —л;

л

( л +x + sinx); - л< х<л ; >2л1; x >л.

Пример 3. Найти математическое ожидание M (X ) и среднееквадратическое отклонение с (X ) непрерывной случайной величины X , если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:

0; x < 0;

3 2— x ; 0 < x < 2; 8

2 3 3 x4< M ( X )= J x • - x 2 dx = -----J 8 8 4

0;

-2 ;

x >2.

2

J-0

3 2 Г 3 2 3 x

29 12 9 3—x dx — = — ;

8 V 2 j " 8 50

4 "" 5 4 " 203с

Пример 4. Найти дисперсию D (X ) , если случайная величина имеет функцию распределения вероятностей вида:

0; x < 0;

F (x )1 2— x ; 0 < x < 4;

161; x > 4.

< f (x ) = F ' ( x ) ^ f (x ) = — x в интервале (0; 4 ), вне этого интер-

вала f ( x ) = 0. Тогда8

+<ю 4 1 1 x3M (X )= J x f ( x )dx = J x • —xdx = — • —

—да

2

0

<

4

0

287

+ад 4 1 D (X )= J х2 / (х ) d\ - ( M (X )) =| х2 • —хдх -

8^ 2

V 3 J

64 0 64 8— = 8 ------= - . >9 9 9

Пример 5. Известно, что для равномерно распределенной случай

ной величины X е [1; b] вероятность P (2 < X < 4) = 1 Найти число b,

если Ъ > 4.< Так как случайная величина X распределена равномерно на от

резке [1 ; ь] , 4 < b, то интервал (2; 4 ) - это 1 часть всего отрезка [1; b ] .

Следовательно, Ъ — 1 = 3 (4 -2 ) =>& = 6 + 1 = 7, Ь = 1.>Пример 6 . Найти математическое ожидание M (X ) непрерывной

случайной величины X , если ее плотность распределения вероятностей0; х < 0;

имеет вид: / ( х ) = х - 1|; 0 < х < 2;0; х >2.

< Так как для любой случайной величины, имеющей симметричный закон распределения (см. рис.), математическим ожиданием является

центр симметрии, то здесь М (Х ) = 1. >Ответы

0; х < 0;

1. 1) F (х) хо 1 2 12; 0 < х < 1; 2) 3) M (X ) = - D(X ) = — . 2. 1)1;

1; х > 1.4 3 18

П П 1 Л 1

2)1; 3 ) - . 3. - . 4. Нет. 5. - . 6 . 0. 7. - . 8 . ln2. 9. — .8 8 2 3 3

10. / ( х ) =0,5; х е [7 ;9 ] ; 1

1 1 . / (х) = —= e 0; х ^ [7 ; 9]. >/27

х22 • Р1 > Р 2.

4

0

<

<

288

12.(19,6; 20 ,4). 13. M ( X + 2 7 ) = 3, D ( X ± 2 7 ) = 16. 14 . 1. 15 . 0,2.

16. 4 . 17. F (х ) =0; х < 0;

e - >: x > 0 . 1 , M ( X »=- i D ( X ) = 98 5 3

19. 0,9270. 20. — . 21. 0,3. 22. _ 23. - . 24. 3. 25. - 4.27 S 4

26. F (х ) = 1 + — arctgх, M (X )= 0. 27. (9,7; 10 ,3 ).2 ж

28. А = i M (X )= 8 . 29. M (2 X + 3) = 7, D (2 X + 3) = 16.

30. M (2X ) = 4, D (2X -1 ) = 36.

Контрольные задания по теме «Случайные величины»1. Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей

X -2 -1 0 1 2

P 0,1 0,2 0,2 0,4 0,1Найти вероятность P(|X| < 1). Ответ: 0,8.2. График функции распределения вероятностей дискретной случайной величины X имеет вид:

У' 1 У = F (х)1 ----------------------

1/31-2 О 1 X

Записать ряд распределения случайной величины X . Ответ: X -2 1

P 1/3 2/3

3. Подбрасывается игральный кубик. Случайная величина X - число выпавших очков. Найти математическое ожидание случайной величины X . Ответ: 7/2.4. Г рафик плотности распределения вероятностей f (х ) случайной величины приведен на рисунке. Найти значение a . Ответ: 0,25. a

-2 О

У = f (х)

3 X

289

5. Ряд распределения дискретной случайной величины X имеет видX -3 - 2 - 1 1 2

Р 0 , 1 0,3 0 , 1 0,3 0 , 2

Найти математическое ожидание случайной величины X . Ответ: -0,3.6 . Ряд распределения дискретной случайной величины X имеет вид

X -3 1 2 4Р 0 , 1 0 , 2 а b

Найти a; b , если M (X ) =2,5. Ответ: a = 0 ,1 ; b = 0,6.7. Непрерывная случайная величина X имеет функцию распределения ве-

0 ; х < 0 ;.2

; 0 < х < b;роятностей F (х ) =х4

1 ; х > b.

Найти дисперсию D (X ). Ответ: ^ .

8 . Непрерывная случайная величина X имеет плотность распределения вероятностей вида

0 ; х < - 1 ;

/ ( х ) = a (х — 1 ); —

0;

1 < х < 1 ;

х > 1 .

Найти a + M (X ). Ответ: - 3

9. Непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения4'

1 ( х+1)2e 18 . Найти математическое ожидание ивероятностей / (х) = ,—

3ы2псреднее квадратическое отклонение этой нормально распределённой случайной величины. Ответ: - 1 ; 3.10. Цех выпускает детали, причём контролируется их диаметр X . Считая, что X - нормально распределённая случайная величина с математическим ожиданием а=5см и дисперсией Л=0,81см2, найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали составляет от 4 до 7см. Ответ: 0,8533.

290

14. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Занятие № 60. Понятие выборочной совокупности. Г рафическое представление выборки

Основные понятия: генеральная и выборочная совокупности, объем выборки; варианта, частота, относительная частота, вариационный ряд, статистический закон распределения, размах варьирования, шаг выборки; полигон частот и относительных частот, гистограмма частот и относительных частот; эмпирическая функция распределения [2, с. 187 - 196].

Дана выборочная совокупность (выборка) хь x2,....,xn значений случайной величины X , полученных в результате n независимых измерений (n -объем выборки). Значения xt ( i = 1, n ) называются вариантами.Последовательность вариант, записанных в неубывающем порядке, называется вариационным рядом. Разность между крайними значениями вариационного ряда называется размахом варьирования R, т.е.R = хнаиб - хнаим •Статистический ряд - это перечень наблюденных значений случайной величины и соответствующих им частот:

X 2X1

*х2

2хк

mi m1 т 2 т к

где x е ( * , **, ••••, хп ) - варианты ( x* < х*^; i = 1, к - 1), щ - частота по* к

явления Xj в выборке, ^ т i = п-i=1

Интервальный статистический ряд:интервалы (ao; a1) (a\; a2 ) ( ar—1 ; ar )

mi m1 m2 mr

где щ — число наблюденных значений случайной величины, попавших вr

i — тый интервал, ^ т i = ni=1

Статистический закон распределения случайной величины-это перечень наблюденных значений и соответствующих им относительных частот:

X 2x1

2x2

2Xk

m1 m2 mkn n n

291

* . . л J * Лгде p = —- (j = 1 , к ) - относительные частоты, причем I Pj = l . n i=i

Интервальный статистический закон распределения случайной величины:

интервалы (a0; a1) (a1; a2) ( ar _1; ar )г.* * * *P Pi P2 Pr

где р г- = — , mi - число наблюденных значений случайной величины X , n

попавших в интервал (at_i; at) , i = 1, r; I pt = 1i=1-T*Эмпирическая функция распределения F * (x ):

0 ;

F * (x ) = I P* =Xi < x

I P * ;i =1

1 ;

x < a0;

ak_ < x < ak; k = 1 , r;

x > avГ рафическое изображение статистических законов распределения:

полигон, гистограмма, график эмпирической функции (см. решение типовых задач, примеры 1 - 3).

Задачи1. Из генеральной совокупности электрических ламп различной мощности извлечена выборка ламп мощностью 75, 60, 100, 40, 60, 60, 75, 40, 25, 100, 60, 25, 100, 75, 75, 40, 25, 100, 60, 60 (Вт). Определить объем и размах варьирования, записать вариационный ряд и статистический закон распределения.2. Найти относительные частоты вариант по данным статистического ряда:

X 2 5 9 1 1

mi 3 5 8 4

3. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 100 :

X 3 4 5 6 7mi 7 m2 45 2 1 2

Найти относительную частоту варианты X2 = 4.4. Построить полигон частот по данным статистического ряда:

X 3 6 7 1 0

mi 2 2 1 0 18 6

к

r

к

292

5. Построить полигон относительных частот по данным статистического

X 1 0 2 0 35 402 3 4 1

6 . Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 100. Найти относительную частоту варианты Х5 = 25 в выборке, если полигон частот имеет вид:

7. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 100, полигон относительных частот которой имеет вид:

Найти число вариант xi = 3 в выборке.8 . Построить гистограмму частот по данным интервального статистического ряда:

Интервалы(2 ; 6 ) ( 6 ;ю ) ( 1 0 ; 14) (14; 18) 2

Частоты m 1 0 16 40 2 0 4

9. Построить гистограмму относительных частот по данным интервального статистического ряда:

Интервалы(5; I0 ) (10; 15) (15; 20) (20; 25) (25; 30)

Частоты m 4 8 18 6 4

10. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 220. Найти значение а, если гистограмма частот имеет вид:

293

h

11. Найти эмпирическую функцию распределения по данным статистического ряда:

X 3 5 8 1 2

5 15 2 0 1 0

12. В результате испытания случайная величина Х приняла следующие значения: 2, 5, 7, 1, 10, 5, 9, 6 , 8 , 6 , 2, 3, 7, 6 , 8 , 3, 8 , 10, 6 , 7, 3, 9, 4, 5,6. Требуется: построить вариационный ряд; определить размах варьирования, найти статистический закон распределения случайной величины.13. В течение суток измеряют напряжение Х тока в электросети (в вольтах). В результате опыта получена выборка объема n = 30:214 ; 216 ; 220; 218 ; 222; 220; 218 ; 222; 220; 214 ;216 ; 218 ; 220; 216 ; 214 ; 220; 218 ; 222; 222; 220;218 ; 224; 226; 220; 212 ; 220; 218 ; 220; 216 ; 224.Найти статистический закон распределения случайной величины, построить график эмпирической функции.14. Измерен рост 500 девушек. Результаты измерений представлены в виде интервального статистического ряда:______________________________145 -15 0 150 -155 155 -16 0 160 -165 165 -17 0 170 -17 5 175 -18 0

8 18 28 90 169 132 55

Построить: а) гистограмму частот; б) полигон относительных частот;в) график эмпирической функции.

Домашнее задание15. Найти относительные частоты вариант по данным статистического ря-

X 3 7 9mi 1 0 1 2 18

294

16. Дан статистический закон распределения случайной величины

X 1 3 5 7 9P* 0,05 0,15 0,25 0,35 *

Р5Найти частоту варианты х5 = 9 , если объем выборки n = 140. 17. По данным статистического ряда

X 5 10 15 20 25mi 10 15 30 20 25

построить полигон частот.18. Дан статистический закон распределения случайной величины

X 2 3 6 9 11P* 0,15 0,2 0,2 0,35 0,1

Построить полигон относительных частот.19. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 114. Найти число вариант xi = 12 в выборке, если полигон частот, имеет вид

20. Построить гистограмму относительных частот по данным интервального статистического ряда:

Интервалы (° ;2) (2; 4) (4; 6) (м ) (8; 10) (1°; 12) (12; 14)Частоты Шг 8 16 30 20 10 10 6

21. Найти эмпирическую функцию распределения случайной величины по данным статистического ряда:

X 5 9 16m 4 7 9

22. В результате испытания случайная величина Х приняла следующие значения: 17, 17, 11, 11, 20, 11, 7, 7, 17, 4, 17, 4, 20, 17, 11, 4, 7, 22, 20,11, 22, 17, 22, 4, 7. Требуется: построить вариационный ряд; найти статистический закон распределения случайной величины; найти эмпирическую функцию распределения и построить ее график.

295

23. Имеются данные о количестве студентов в 30 группах физикоматематического факультета:

26, 25, 25, 26, 25, 23, 23, 24, 19, 23, 21, 18, 21, 18, 20,20, 19, 22, 24, 24, 23, 20, 23, 24, 19, 18, 18, 21, 15, 15.

Записать вариационный ряд количества студентов в группах. Найти размах варьирования. Построить полигон частот.24. В 2002 году количество служб, представляющих гражданам жилищные субсидии по сельским районам области, распределено следующим образом: 5, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 10, 1, 1, 1, 4, 4, 5, 1, 1. Найти эмпирическую функцию распределения.

Решение типовых задач Пример 1. По выборке объема n = 215 составлен статистический

X 4 9 13 18 23mi 25 m2 65 10 40

Найти частоту m2 и построить полигон частот.к

< Объем выборки вычисляется по формуле n = Z Щ , где mi - частотаi=1

варианты x . Тогда 215 = 25 + m2 + 65 +10 + 40 ^ m2 = 75.Полигон частот имеет вид:

>Пример 2. Задан интервальный статистический ряд:

Интервалы

13-17 17-21 21-25 25-29 29-33 33-37 37-41 41-45 45-49 49-53

mi 2 1 5 12 12 23 18 15 11 1

Построить полигон и гистограмму относительных частот.< В нашем случае шаг выборки h = 4, частоты щ заданы во вто

*рой строке таблицы, а в качестве вариант xi* выберем середины интерва-

лов. Найдем относительные частоты pi и их плотность Pi l . Составим табл. 14.1.296

Построим полигон относительных частот: ломаную с вершинами (x*; р 2

(x**; Р2 ) , ••• (xi0; Р10) (рис. 141).

Таблица 14.1Номер ин

тервала. 1*

xi mi*

Pi p * //h1 15 2 0,02 0,005

2 19 1 0,01 0,0025

3 23 5 0,05 0,0125

4 27 12 0,12 0,03

5 31 12 0,12 0,03

6 35 23 0,23 0,0575

7 39 18 0,18 0,045

8 43 15 0,15 0,0375

9 47 11 0,11 0,0275

10 51 1 0,01 0,0025

Полигон относительных частотР i 0,25

0,2

0,15

0,1

0,05

О 15 19 23 27 31 35 39 43 47 51 xi

Рис.1.14Гистограмма относительных частот - фигура, состоящая из прямо

угольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h -* /шаг выборки, а высоты равны отношению Ру^ (рис. 14.2). >

*

297

Гистограмма относительных частот

Рис.2.14Пример 3. По данным статистического ряда

X 1 6 12

mi 3 18 9

построить график эмпирической функции.< Найдем относительные частоты, разделив частоты на объем выборки

* * * n = 30: p = 0,1; p 2 = 0,6; p = 0,3. Статистический закон распределения имеет вид: _______________________

X 1 6 12

P* 0,1 0,6 0,3

Наименьшая варианта x = 1, следовательно, F * (х ) = 0 при x < 1. Отно

сительная частота события X < 6 равна 0,1. Тогда F * (х ) = 0,1 при

1 < x < 6. При 6 < x < 12 получим F* (х ) = 0,1 + 0,6 = 0,7. Так как

наибольшая варианта x = 12, то F *( х ) = 1 при x > 12. Искомая эмпирическая функция

0; x < 1;0,1; 1 < x < 6;

У41

0,7

0,1

О 1 6 12 Рис.3.14

имеет вид: F * (х ) =0,7; 6 < x < 12; 1; x > 12.

График этой функции изображен на рис. 14.3 >

<

298

Ответыэк эк sk sk

1. п = 20, R = 75. 2. р 1 = 0,15; р2 = 0,25; р 3 = 0,4; р 4 = 0 ,2 . 3. 0,25.0 при х < 3;

6 . 0,05. 7. 37 . 10. 38. 11. F * (х ) =0,1 при 3 < х < 5;

0 ,4 при 5 < х < 8 ;

0 , 8 при 8 < х < 1 2 ;

1 при х > 1 2 .

1 2 .

R = 9.

13.

X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0

1 2 3 1 3 5 3 3 2 2

0,04 0,08 0 , 1 2 0,04 0 , 1 2 0 , 2 0 , 1 2 0 , 1 2 0,08 0,08

X 2 1 2 214 216 218 2 2 0 2 2 2 224 226mi 1 3 4 6 9 4 2 1

P* ^30 Х 0 У/ 30 >5 Х 0 У/30 Х 5 ^30

<

ж sk sk

15. р 1 = 0,25; р 2 = 0,3; р 3 = 0 ,45 . 16. 28. 19. 32.

21. F *( х ) =

0 при х < 5;

0 ,2 при 5 < х < 9; 0,55 при 9 < х < 16;

1 при х > 16.

22. F * ( х ) =

0 при х < 4;

0,16 при 4 < х < 7;

0,32 при 7 < х < 11;

0,52 при 11 < х < 17;

0 ,76 при 17 < х < 20;

0 , 8 8 при 2 0 < х < 2 2 ;

1 при х > 2 2 .

X 4 7 1 1 17 2 0 2 2

mi 4 4 5 6 3 3

P 0,16 0,16 0 , 2 0,24 0 , 1 2 0 , 1 2

23. R = 11.X 15 18 19 2 0 2 1 2 2 23 24 25 26mi 2 4 3 3 3 1 5 4 3 2

299

24. F * ( x ) =

0 при x < 1;11/17 при 1 < x < 4; 13/17 при 4 < x < 5; 16/17 при 5 < x < 10;1 при x > 10.

Занятие № 61. Точечные и интервальные оценкиОсновные понятия: статистические оценки: несмещенные, смещенные, эффективные, состоятельные; точечные оценки: выборочная средняя, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение; мода, медиана; интервальные оценки: точность, надежность, доверительный интервал [2, с. 197 - 219].

Среднее арифметическое (выборочное среднее) % , дисперсия (выборочная дисперсия) Db выборки:

1 n ^ 1 n / - ч2xB = - Ё x i ; D b = - Ё ( x i - x b ) ;

n i=1 n i=1статистического закона распределения случайной величины:

к 1 к * * 1 *_ Ч * * J- Ч *xb = Ё xiPi = - Ё xi mi ;

i=1 n i=1

D b = Ё ( x * - x B ) p i = 1 Ё ( x * - x B ) mi .i=1 n i=1

Если задан интервальный статистический ряд, то x* - середина i- го ин тервала.Для вычисления выборочной дисперсии удобна формула:

n*2 * - 2Db = Ё x* 2 РВ = Ё x i P i x B

i =1Выборочное среднее xb является несмещенной оценкой математического ожидания случайной величины. Выборочная дисперсия Db является смещенной оценкой дисперсии случайной величины.Несмещенная оценка дисперсии:

n „ 1 к ( ,22 n тл 1 / * — Vs = — 7Db = — : Ё ( xi - x b ) m . n - 1 n - 1 i=2 v '

Выборочное среднее квадратическое отклонение: а в = 4Db .

Исправленное среднее квадратическое отклонение: s = л/s2 .

300

Медиана Me - варианта, делящая вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Если n = 2к +1, то Me = xk+1 , а если n = 2 k , то

xk + xk+1Me =2

Модой Mo вариационного ряда называется варианта, имеющая наибольшую частоту.Доверительным называют интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью (доверительной вероятностью) у . Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенной генеральной совокупности: (xB — S, xB + S ) , где точность оценки S определяется следующим образом:

если а известно, то S = , t - решение уравнения ф(? ) = у , значение

функции Ф(/) определяется из таблицы (приложение 2);

У 5 / \• если а неизвестно, то S = ^ = , ty = t(у; n) определяется из таблицыл/п

(приложение 3).Если известен доверительный интервал (a ; b) для оценки математическо

го ожидания, то точность этой оценки определяется по формуле: S = b a .

Задачи1. Определить медиану вариационного ряда:

а) 5 ,7 ,9 ,12 ,12 ,15 ,16 ,17 ,18 ,19 ,21 б) 12, 13, 14, 16, 17,19.2. Определить моду вариационного ряда 2, 4 ,5 , 7, 7, 7, 9, 9,11,12.3. Проведено пять измерений (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 4,5; 5,2; 6,1; 7,8; 8,3. Найти несмещенную оценку математического ожидания.4. Проведено пять измерений (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 2,1; 2,3; x3; 2,7; 2,9. Несмещенная оценкаматематического ожидания равна 2,48 . Найти значение x3 .5. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 10. Найти выборочную дисперсию, несмещенную оценку дисперсии и выборочное среднее квадратическое отклонение по данным статистического ряда:

X 10 11 12 13

mi 2 3 4 1

6. По выборке объема n = 31 найдена выборочная дисперсия DB = 6. Найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

301

7. Дан доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины: а) (32,06; 41,18);б) (18,44; 19,36). Найти точечную оценку математического ожидания.8 . Точечная оценка математического ожидания нормально распределенной случайной величины равна 12,04. Найти его интервальную оценку с точностью 1 ,6 6 .9. Дан доверительный интервал (12,44; 14,68) для оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины. Найти точность этой оценки.10. Проведено четыре измерения (без систематических ошибок) некоторой случайной величины (в мм): 8 ; 9; х3; 12. Выборочная средняя хв = 10.Найти выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение.11. Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию по данным статистического ряда

X 256 260 262 265 270mi 2 3 1 0 4 1

12. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания а нормально распределенной генеральной совокупности, если а = 5, хв = 1 2 , 2 и п = 25.13. По данным 16 независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены хв = 32,4 и s = 8 . Оценить истинное значение измеряемой величины с помощью доверительного интервала с надежностью у = 0,99. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.14. Г енеральная совокупность распределена нормально и ее среднее квадратическое отклонение а = 1,4. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,975 точность оценки 8 математического ожидания а генеральной совокупности по выборочной средней равна 0,5.15. На телефонной станции производились наблюдения за числом неправильных соединений в минуту. Наблюдения в течение часа дали следующие результаты:3, 1, 3, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 7, 2, 0, 1, 2, 1,2, 4, 0, 3, 0, 2, 0, 1, 3, 3, 1, 2, 0, 3, 4,2, 0, 2, 1, 4, 3, 4, 2, 0, 2, 3, 1, 1, 2, 2,3, 1, 4, 2, 2, 1, 2, 5, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 5.Оценить среднее значение и дисперсию числа неправильных соединений.16. На основании данных о динамике импорта рыбных товаров Россией

Годы 2 0 0 1 2 0 0 2 2003 2004 2005 2006 2007Рыба свежая и охлаждённая

6 , 2 13,9 32,4 72,2 131,09 150,2 170,5

302

в 2001-2007 годах (в млн. долл.) оценить среднегодовой объём импорта рыбных товаров и среднее квадратическое отклонение.17. Имеются данные о распределении городского населения по затратам на ежемесячную оплату электроэнергии: ______ ___________________________

Размер оплаты, руб. Менее100

100200

200300

300400

400500

500600

Более600

Удельный вес в общей численности аселения, %

12 29 25 15 11 6 2

Оценить среднемесячные затраты городского населения на оплату электроэнергии и среднеквадратическое отклонение.18. Произведено 16 измерений начальной скорости снаряда. Результаты измерений (в м/с) следующие: 1235,6; 1237,5; 1232,9; 1236,2; 1238,5; 1234,2; 1235,9; 1233,3; 1234,5; 1236,8; 1237,6; 1233,1; 1234,3; 1237,5; 1235,4; 1234,7. Найти а) оценки математического ожидания и дисперсии начальной скорости снаряда; б) доверительный интервал для математического ожидания начальной скорости с надежностью 0 , 9 5 .19. С целью определения среднего трудового стажа на предприятии методом случайной повторной выборки проведено обследование трудового стажа рабочих. Из всего коллектива рабочих завода случайным образом выбрано 4 0 0 рабочих, данные о трудовом стаже которых и составили выборку. Средний по выборке стаж оказался равным 9 ,4 года. Считая, что трудовой стаж рабочих имеет нормальный закон распределения, определить с вероятностью 0 , 9 7 5 границы, в которых окажется средний трудовой стаж для всего коллектива, если известно, что а = 1,7 года.

Домашнее задание20. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n = 20. Найти несмещенную оценку математического ожидания по данным статистического ряда: X 2 4 5 6 9

mi 7 2 1 5 5

21. По выборке объема n = 10 найдена выборочная дисперсия Db = 3,6. Найти исправленное среднее квадратическое отклонение.22. В результате измерений некоторой физической величины одним прибором (без систематических ошибок) получены следующие результаты (в

мм): 15; 18; 21; 24 . Найти xB, DB и s2 .23. Найти исправленную выборочную дисперсию по данным статистичес-

X 235 261 282 304mi 2 3 4 1

303

24. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,999 неизвестного математического ожидания а нормально распределенной случайной величины Х, если а = 8 , xb = 28 ,7 и п = 16.25. По данным 9 независимых равноточных измерений некоторой физической величины найдены xb = 41,94 и s = 10. Оценить истинное значение измеряемой величины с помощью доверительного интервала с надежностью у = 0,95. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.26. Г енеральная совокупность распределена нормально и ее среднее квадратическое отклонение а = 1,6. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью у = 0,989 точность оценки 8 математического ожидания а генеральной совокупности по выборочной средней равна 0,4.27. Имеются данные ежедневных измерений температуры в течение месяца: 15,3; 16,5; 15,8; 14,7; 13,9; 12,2; 12,6; 12,8; 12,3; 14,5;

14,2; 16,7; 15,4; 16,9; 17,1; 16,6; 13,7; 13,4; 14,3; 18,1;17,4; 17,7; 18,5; 17,9; 19,4; 20,4; 21,2; 19,8; 19,2; 20,5.

Оценить среднее значение температуры за месяц и среднее квадратическое отклонение.28. Оценить среднее значение, среднее квадратическое отклонение для данных о дневной выручке в магазине электроники:_________________Выручка, у.е. Менее

100100200

200300

300400

400500

500600

Более600

Число дней 3 5 9 14 8 4 2

Решение типовых задач Пример 1. Вычислить точечные оценки статистического ряда:

X 1 2 4 5 6mi 3 2 8 5 2

< Объем выборки п = 2 0 .1 к 1 76

xB = - Ё x*m = — (1-3 + 2 - 2 + 4 - 8 + 5 - 5 + 6 - 2 ) = — = 3,8 B n Ё 1 1 20 } 20 ,

Db = - Ё *2mi - xB = — (12 -3 + 2 2 -2 + 42 -8 + 52 -5 + 62 - 2 ) - 3,82 = n i=1 20 V ’

336- 1 4 ,4 4 = 1 6 ,8 - 1 4 ,4 4 = 2,36; а в = - D = %/2~36 * 1,536.

20Несмещенная оценка дисперсии:

OA 1—s2 = — Db = — 2,36 = 2,49, s = V s2 = -Д 4 9 * 1,578. >

n - 1 19

304

Пример 2. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 неизвестного математического ожидания а нормально распределенной случайной величины Х генеральной совокупности, если генеральное среднее квадратическое отклонение а = 5, выборочная средняя хв = 14 и объем выборки п = 25.

< Искомый доверительный интервал имеет вид: хв - а < a < хв +а,

где 5 = (так как а известно). Определим t из уравнения ып

ф ^) = "“ = = 0,475 . По таблице приложения 2 находим t = 1,96. То

* 1,96 - 5 1 0 * -гда о = —j==- = 1,96, а доверительный интервал имеет вид

14 -1 ,9 6 < a < 14 + 1,96, 12,04 < a < 15,96. >Пример 3. Найти выборочную среднюю, выборочную и исправлен

ную выборочную дисперсии по данным статистического ряда:

X 240 260 275 280mi 18 50 20 12

< Если первоначальные варианты хi - большие числа, то вводят

условные варианты и = х* - C , где C - число, близкое к выборочной

средней. При этом хв = Ub + C , Db (х) = Db (и), s2 (х) = s2 (u).Пусть C = 260 , тогда получим статистический ряд условных вариант:

и - 20 0 15 20

mi 18 50 20 12

Объем выборки n = 100 . Найдем выборочную среднюю для условных вариант:

ив = 1 Z и m = — ( -2 0 -1 8 + 0 - 50 +15 - 20 + 20 -12 ) = 1,8. Тогда n i=1 100

хв = Ub + C = 1,8 + 260 = 261,8 ;1 k

Db (и) = — Z и 2ni - uB = 165 - 3,24 = 161,76 . Следовательно, n i=1

Db (х) = Db (u) = 161,76. Исправленную выборочную дисперсию найдем

по формуле: s2 (х) = s2 (и) = ------Db (и) = -------161,76 = 163,39. >n - 1 99

305

1. а) 15 ; б) 15 . 2. 7 . 3. 6,38. 4. 2,4. 5. DB = 0,84; s 2 * 0,93; a B * 0,92.6 . 6,2. 7. а) 36,62; б) 18,9. 8 . (10,38; 13,70). 9. 1,12. 10. DB = 2,5;. а в * 1 ,5 8 . 11. хв = 262,1; DB = 9 ,19 . 12. (10,24; 14,16).

13. 26,5 < a < 38,3. 14. 40. 15. xB = 2; s 2 * 2,1. 16. xB * 82,3557;

s * 68 ,1065. 17. Xb = 260; s « 149 ,41. 18. а) xb = 1235,5; s 2 * 3 ,06 ;б) (1234,69; 1236,43). 19. (9,21; 9 ,59). 20. 5,1. 21. 2. 22. xB = 19,5;

DB = 11,25; s 2 = 15. 23. s 2 * 489,17. 24. (22,1; 35,3).25. 34,24 < a < 49,64.26. 104. 27. xB = 16,3; s * 2,62. 28. xB * 336,67;. s * 148,63.

Занятие № 62. Проверка статистических гипотез Основные понятия: статистические гипотезы; статистический критерий, область принятия гипотезы (область допустимых значений); критическая область (область отклонения гипотезы): правосторонняя, левосторонняя, двусторонняя, критические точки; критерий согласия Пирсона, уровень значимости, число степеней свободы [2, с. 329-334].

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений. Нулевой называют выдвинутую гипотезу H0 , а конкурирующей - гипотезу H , противоречащую нулевой.

Правило, по которому принимается решение о том, верна или не верна гипотеза H0 , называют критерием. Статистическим критерием называют случайную величину K , которая служит для проверки нулевой гипотезы H 0 . Наблюдаемым значением критерия Кшбл называют значение критерия, вычисленное по выборкам. Множество возможных значений критерия разбивается на два непересекающихся подмножества: критическую область и область принятия гипотезы.

Критические области определяются из следующих соотношений. Правосторонняя: p (k > kKp )= a ; левосторонняя: P(K < kKp ) = a ; двусто

ронняя: p (k < h P1)+ P(K > kKp2 ) = a , если область симметрична относи

тельно нуля, то: p ( k > kKp )= a , где a - принятый уровень значимости;

обычно a = 0,05 или a = 0,01.Выдвинуты гипотезы о параметрах распределения

H 0 : M (X ) = M (У ); Hj : M (X ) > M (У ), где X , Y —нормальные генеральные совокупности, выборки из них объемами n и m имеют выборочные средние xb , у в , генеральные дисперсии D (X ), D (Y ). В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину

Ответы

306

xB - y BZ = . . При данной конкурирующей гипотезе H-^D ( X У n + D (Y )/m

строят правостороннюю критическую область P (Z > zKp ) = а , а - уровень значимости. Находят критическую точку по таблице функции Лапласа (приложение 2) из равенства ф ( zKp ) = 0,5(1 - 2 а ) . При вычисленном

по выборкам ZHCl6n > zKp гипотезу H 0 отвергают. Если же ZHCl6n < zKp , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу.Если конкурирующая гипотеза H- : M (X ) < M (Y), то строятлевосто-

роннюю критическую область P (Z < - zKp ) = а , находят zKp из равен

ства ф (zKp ) = 0 ,5 ( 1 - 2 а ) , используя приложение 2. Если ZHCl6n < - zKp , то нулевую гипотезу отвергают.Если конкурирующая гипотеза H- : M (X ) : M (Y), то строятдвусторон-

нюю критическую область. При ZHC6n е ( - zKp; zKp ) гипотеза H0 принима

ется. Критическую точку находят из равенства ф (zKp ) = 0,5 (1 - а ) , используя таблицу функции Лапласа (приложение 2).

Выдвинута гипотеза H0 о функции распределенияF (x) = P (X < x) случайной величины X по данным интервального статистического ряда. В качестве критерия проверки принимается случайная

l 22 Х"'' V i *1 / величина %набл = Ё ----------------мера расхождения между эмпирически-

i=1 тми частотами щ и теоретическими частотами np (pi -теоретические вероятности).

Критерий согласия Пирсона (см. комментарий с. 322):1) выбирается уровень значимости а , равный вероятности того, что H0 будет ошибочно отвергнута.2) по а и числу степеней свободы к (для нормального распределения к = r - 3, r - число интервалов выборки) находят по таблице приложения4 значение х р ( а ; к).

2 23) если х тбл < XKP, то нет основания отвергнуть гипотезу, а если2 ^ 2

х набл > х Кр , то гипотезу отвергают.При применении критерия Пирсона необходимо учитывать:

• объем выборки должен быть достаточно велик (п > 50);• если mi < 5, то интервалы следует объединить, при этом складываются и соответствующие частоты, r - число интервалов после объединения.

307

Задачи2

1. Основная гипотеза имеет вид Н0 : а = 3 ,4 . Привести пример конкурирующей гипотезы.2. Задана критическая точка kKp = 1,86 . Записать соотношение для определения правосторонней критической области по уровню значимости a = 0,05 .3. Записать соотношение для определения левосторонней критической области по уровню значимости a = 0,05 и значению kKp = 1,74.

4. По уровню значимости a = 0,01 и значению k1Kp = —2,78 и k2Kp = 2,78записать соотношение для определения двусторонней критической области.5. По двум независимым выборкам объемов п = 10 и m = 10, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние xb = 15,4 и ув = 13 ,2 , также известны генеральные дисперсииD (X ) = 16; D (У) = 2 4 . При уровне значимости a = 0,05 проверить нулевую гипотезу Н 0 : M (X ) = M (У) при конкурирующей гипотезе Н1 : M (X )> M (Y ) .

6 . По двум независимым выборкам объемов п = 9 и m = 8, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние xb = 15 и ув = 27 . Генеральные дисперсии известны:D (X ) = 5,4; D (У) = 3 ,2 . При уровне значимости a = 0,01 проверить нулевую гипотезу Н 0 : M (X ) = M (У) при конкурирующей гипотезе Н 1 : M (X )< M (У).7. По результатам измерений составлен интервальный статистический рядИнтервалы

6670,2

70,274,4

74,478,6

78,682,8

82,887

8791,2

91,295,4

95,499,6

99,6103,8

Частоты 2 6 12 12 27 18 15 7 1

и найдены выборочная средняя xb = 85,362 и выборочное среднее откло

нение а в = 7,296. Оценить с помощью критерия % Пирсона гипотезу о согласии выборочного распределения с законом нормального распределения при уровне значимости a = 0,05 .

Домашнее задание8 . Основная гипотеза имеет вид H 0 : а 2 = 2,5. Тогда конкурирующей может являться гипотеза...

1) H : а 2 > 2,5 2) Hx: а 2 > 2 3) Hx: а 2 < 2,5 4) Hx: а 2 < 2,59. Левосторонняя критическая область может определяться из соотношен и я .

1) P(k < —1,72) = 0,05 2) P(k < —1,72) + P(k > 1,72) = 0,13) P(—1,72 < k < 1,72) = 0,9 4) P(k > 1,72) = 0,05

308

10. Соотношением вида P(K > 1,55) = 0,05 можно определить ...1) Двустороннюю критическую область2) Левостороннюю критическую область3) Правостороннюю критическую область4) Область принятия гипотезы

11. По двум независимым выборкам объемов п = 9 и m = 10, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние хв = 87 и Ув = 9 5 , также известны генеральные дисперсии

D (X ) = 90, D (Y) = 60 . При уровне значимости а = 0,01 проверить ну

левую гипотезу Н 0 : M ( X ) = M(Y) при конкурирующей гипотезе Н1 : M (X )ф M (Y).12. По результатам измерений составлен интервальный статистический ряд

Интервалы

46-50 50-54 54-58 58-62 62-66 66-70 70-74 74-78 78-82

Частоты 4 8 11 16 22 16 11 8 42

Оценить с помощью критерия % Пирсона гипотезу о согласии выборочного распределения с законом нормального распределения при уровне значимости а = 0 ,05 .

Дополнительные задачи для самостоятельной работы13. Обследуются образцы бетона на прочность после пропарки. Данные обследования, кг/см2, приведены ниже

185,2 149,6 159,0 187,2 182,8 194,7 196,4 132,6 170,9 186,2193,7 207,4 163,2 130,1 115,6 147,9 133,3 147,9 155,6 148,6147,9 161,6 170,1 207,4 153,5 158,0 154,7 127,5 185,2 170,0162,4 214,2 183,6 201,4 153,9 185,2 170,9 159,8 135,2 150,5182,8 168,5 146,2 164,1 147,1 146,2 206,1 142,0 118,2 146,2158,1 147,4 126,7 165,8 203,2 185,0 178,5 170,0 175,1 151,3130,1 156,4 194,7 159,2 130,1 169,1 168,0 180,2 191,1 163,2130,8 153,0 141,1 207,4 155,6 136,9 164,1 176,7 179,4 174,3157,3 154,7 185,2 156,4 176,0 219,3 186,2 179,4 190,4 161,5127,4 134,3 192,1 211,7 195,5 161,4 144,5 173,4 176,8 141,1

Требуется: 1) найти статистический закон распределения случайной величины X - прочность бетона на сжатие; 2) построить гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения; 3) вычислить точечные оценки параметров распределения (выборочную среднюю,

выборочную дисперсию); 4) оценить с помощью критерия % Пирсона гипотезу о согласии выборочного распределения с законом нормального распределения при уровне значимости а = 0,05.

309

Решение типовых задач Пример 1. Для проверки нулевой гипотезы Hq : M (X ) = M (Y) при

заданном уровне значимости а = 0,05 выдвинута конкурирующая гипотеза H -: M (X ) Ф M (Y) Тогда область принятия гипотезы может иметь вид...

1) P(T < -2 ,11) = 0,95 2) P ( - 2,11 < T < 2,11) = 0,953) p ( - 2,11 < T < 2,11) = 0,9 4) P(T > 2,11) = 0,05

< Так как конкурирующая гипотеза H -: M (X )ф M (Y), то критическая область двусторонняя, а область принятия гипотезы может иметь вид: P ( - 2,11 < T < 2,11) = 1 - а = 0 ,95, следовательно, ответ 2). >

Пример 2. По выборке X , объем которой n = 30 найден средний вес xb = 130 г изделий, изготовленных на первом станке; по выборке Y объемом m = 40 найден средний вес Ув = 125 г, изготовленных на втором станке. X и Y распределены нормально. Даны генеральные дисперсии D (X ) = 6 0 г2; D (Y) = 8 0 г2. При уровне значимости а = 0 ,05 проверить нулевую гипотезу Hq : M(X) = M(Y) при конкурирующей гипотезе H -: M Ф M (Y )

xB - Ув 130 -1254 D ( X )/n + D (Y )/m ^ 6 ^ 3 0 + 80/40

конкурирующая гипотеза имеет вид M (X ) Ф M ( Y ) , поэтому критическая область - двусторонняя. Найдем критическую точку:ф ^ ) = 0 ,5(1 - а ) = 0 ,5 (1 - 0 ,05 ) = 0,475. По таблице функции Лапласа

(приложения 2) находим zKp = 1,96, т.е. область принятия гипотезы

( -1 ,9 6 ; 1 ,96). Так как |Zнабл = 2 ,5 > zKp = 1 ,96 , то Hq отвергается и принимается гипотеза H -. >

Пример 3. В результате проверки недельного времени работы (в часах) электрических лампочек в аудиториях университета получена следующая выборка:

< Zнабл = I , , B B , , , = /____ = - 2 ,5 . По условию

46 36 44 35 42 42 30 38 35 4034 32 29 38 33 40 29 25 44 2234 27 35 43 35 37 28 45 34 2740 24 13 23 35 35 26 33 26 3321 35 45 34 41 32 40 23 39 3731 19 45 46 38 29 39 25 42 2916 44 36 45 41 26 44 45 34 4641 36 29 46 47 34 28 43 42 3936 35 46 39 37 33 29 29 40 4227 41 37 31 39 28 38 35 28 53

310

Оценить с помощью критерия % Пирсона гипотезу о согласии выборочного распределения с законом нормального распределения при уровне значимости а = 0,05

< В нашем случае хнаиб = 5 3 , хна11ш = 1 3 , тогда размах варьиро

вания R = 53 —13 = 4 0 .Этот промежуток разбиваем на интервалы, количество которых r опре

деляется по эмпирическим формулам: r или r « 5 lg n. Длина h каждо-

, R ^го интервала находится из соотношения h « — . В нашем случае число интер-r

валов r = V100 = 10 и шаг выборки h = R = 4 0 = 4. Получим ин-r 10

тервальный статистический ряд:

2

Интервалы

13-17 17-21 21-25 25-29 29-33 33-37 37-41 41-45 45-49 49-53

mi 2 1 5 1 2 1 2 23 18 15 1 1 1

В примере 2 занятия 60 для такого статистического ряда построена гистограмма (рис. 14.2).Нулевая гипотеза Н 0 : теоретическая функция распределения вероятно

стей имеет вид (нормальное распределение):

X ( t —XB )2F ( X) = — = J e 2s2 d t .

—ГО

Для того, чтобы воспользоваться критерием согласия Пирсона найдем

XB1 к 1 k

= - Ё x^m = 35,8; DB = - 2 X*2 m — x 2B = 5 7 ,6 ;n i=1 n i=1

s = 1— Db = 4 11 0 0 • 57 ,6 « 7 ,628 (в качестве вариант x* выбраны се- n — 1 V 99

редины интервалов построенного статистического ряда).Пусть p i — вероятность попадания случайной величины X в i — тый ин-

f ~ V Л ^I —ф

V s )тервал: p i = P (a — < X < a i ) = Ф ai — 1 XB

Vгде

)t1 x ___

Ф (x ) = .— J e 2 dt — функция Лапласа. Для того, < 2 п 0

чтобы воспользо-

ваться таблицей функции Лапласа ( приложение 2), сделаем замену311

a - хв ai - 35,8 U = —----- — = —--------- . Для вычисления теоретических частот npi со-г s 7,628

ставим табл. 14.2.Таблица 14.2

Сонцы интервалов ai Tr ai -хв ui s

ф(и) pi т

13 -2,99 -0,4986 0,0055 0,55

17 -2,46 -0,4931 0,0193 1,93

21 -1,94 -0,4738 0,0516 5,16

25 -1,42 -0,4222 0,1089 10,89

29 -0,89 -0,3133 0,1690 16,90

33 -0,37 -0,1443 0,2079 20,79

37 0,16 0,0636 0,1881 18,81

41 0,68 0,2517 0,1352 13,52

45 1,21 0,3869 0,0713 7,13

49 1,73 0,4582 0,0296 2,96

53 2,25 0,4878

2 2 Для нахождения %набл составим табл. 14.3 , из которой %наб)Л = 2,35. После объединения получили 7 интервалов (r = 7).

Таблица 14.3Интервалы mi т m - npt (m - т )2 (m - т )2/ т

13-17 2 0,55'0,36 0,13 0,0217-21 1 •8 1,93 •7,64

21-25 5 5,16 J25-29 12 10,89 1,11 1,23 0,1129-33 12 16,9 -4,9 24,01 1,4233-37 23 20,79 2,21 4,88 0,2437-41 18 18,81 -0,81 0,66 0,0441-45 15 13,52 1,48 2,19 0,1645-49 "I>12 7,13 ' 10,09 1,91 3,65 0,3649-53 1J 2,96J

£ 100 2,35

312

нПо таблице приложения 4 критических точек распределения х по уровню

значимости а = 0,05 и к = 7 - 3 = 4 найдем xKp (0,05; 4) = 9,5.

Так как х^абл = К, 35 < xKp = 9 5 , то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. >

Ответы2. Р(к > 1,86) = 0,05. 3. Р(к < -1 ,7 4 ) = 0,05.4. Р(к < -2 ,7 8 ) + Р(к > 2,78) = 0,01. 5. Нет оснований отвергать нулевую гипотезу: Zнабл = 1,1 < zKp = 1,64. 6 . Нулевая гипотеза отвергается:ZHабл = -12 < zKp =-2,33. 7. Нет оснований отвергать гипотезу:

н нХнабл = 4,4 < хкр = 9,5. 8 . 3). 9. 1). 10. 3). 11. Нет оснований отвергать ну

левую гипотезу: \ZH | = 2 < zKp = 2,58. 12. Нет оснований отвергать

гипотезу: ^ = 64; s = 7 ,9 6 ; х1абл = 2 , 4 8 < xlp = 9 ,5 .

313

Библиографический список1. Шипачев В.С. Высшая математика. - М.: Высшая школа, 2007.2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2006.3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. - М.: Наука, 1988.4. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Высшая школа, 2001.5. Математический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1988.6. Большая математическая энциклопедия Г. Якушева-М.: Олмо-пресс, 2004.7. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 2003.8. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. М.: Высшая школа, 1999.9. Агапов Г.И. Задачник по теории вероятностей. - М.: Высшая школа, 1986.10. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. М.: Высшая школа, 2006.11. Методические указания по самоконтролю и автоматизированному контролю самостоятельной работы студентов. Приложения производной. Сост. Р.А. Лозовская. - Новочеркасск, 1981.12. Типовое расчетное задание по дифференциальным уравнениям. Сост.: В.С.Федий и др. - Новочеркасск, 1981.13. Методические указания к проведению практических занятий по высшей математике. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной и его приложения. Сост.: Салько Д.С., Новобранова Р.И. и др. - Новочеркасск, 1985.14. Методические указания к проведению практических занятий. Дифференциальные уравнения. Сост. Федий В.С., Федий Н.С. и др. - Новочеркасск, 1988.15. Учебное задание по элементам линейной алгебры. Сост. Беляков В.И., Додохова Г.В., Гольдман А.Ю. и др. - Новочеркасск, 1988.16. Типовое расчетное задание по векторной алгебре и ее приложениям к аналитической геометрии. Сост.: Напрасников И.В. и др. -Новочеркасск, 1989.17. Методические указания к проведению практических занятий по высшей математике. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Сост.: Болдырева Е.М., Овсеенко Ю.Г. и др. - Новочеркасск, 1990.18. Беляков В.И., Беркович Ф.Д., Конышкова Е.М. Методические указания к проведению практических занятий по высшей математике. Теория вероятностей /Новочерк. политехн. ин-т.-Новочеркасск, 1990.

314

19. Учебное задание по высшей математике. Функции комплексного переменного. Сост. Павленко Л.Н. - Новочеркасск, 1991.20. Конышкова Е.М. Математическая статистика. Учебное пособие / Ново- черк. гос. техн. ун-т. -Новочеркасск, 1994.21. Беляков В.И., Федий В.С., Беркович Ф.Д., Конышкова Е.М. Элементы теории вероятностей в примерах и задачах / Новочерк. гос. техн. ун-т. - Новочеркасск, 1995.22. Беляков В.И., Федий В.С., Беркович Ф.Д., Конышкова Е.М. Элементы теории вероятностей в примерах и задачах. Случайные величины / Новочерк. гос. техн. ун-т. -Новочеркасск, 1995.23. Сборник задач по высшей математике. Элементы ТФКП и операционного исчисления. Простейшие уравнения математической физики. Учебное пособие/Сост. Беркович Ф.Д. и др. Юж.-Рос. гос. техн. ун-т. - Новочеркасск: Набла, 2000.24. Сборник задач по высшей математике. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Учебное пособие/П.А. Безгласный и др.- Новочеркасск, ЮРГТУ (НПИ), 2001.25. Сборник задач по высшей математике. Ч. II. Основы математического анализа. Учебное пособие/Ф.Д. Беркович и др. - Новочеркасск, ЮРГТУ (НПИ), 2001.26. Сборник задач по высшей математике. Интегральное исчисление. Элементы векторного анализа. Учебное пособие/Сост. Беркович Ф.Д., Горба- енко Т.Ю. и др. Юж.-Рос. гос. техн. ун-т. -Новочеркасск: ЮРГТУ, 2001.27. Сборник задач по высшей математике. Дифференциальные уравнения. Ряды. Учебное пособие/Сост. Беркович Ф.Д., Сальникова М.Г., Горбаенко Т.Ю. и др. Юж.-Рос. гос. техн. ун-т. -Новочеркасск: Набла, 2005.28. Теория вероятностей: Сборник тестовых заданий/ Сост. Безгласный П.А. и др. - Новочеркасск: ЮРГТУ(НПИ), 2008.29. Беляков В.И., Радулевич Д.А. Теория вероятностей: дидактические материалы. Ч 1,2 /Новочеркасск: ЮРГТУ(НПИ), 2010.30. Бессарабов Н.И., Зяблин В.Н., Калистратиди Г.В. Математика в примерах и задачах. Методы решений и сборник заданий. Ч III. -Новочеркасск, ЮРГТУ(НПИ), 2011.31. Демонстрационный вариант банка тестовых заданий по математике. 4.II. Дифференциальное и интегральное исчисления. Дифференциальные уравнения. Ряды. Сост. Безгласный П.А. и др. -Новочеркасск, ЮРГТУ(НПИ), 2011.32. Демонстрационный вариант банка тестовых заданий по математике. 4.III. Специальные главы. Сост. Безгласный П.А. и др. -Новочеркасск, ЮРГТУ(НПИ), 2011.33. Демонстрационный вариант банка тестовых заданий по математике. 4.I. Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Сост. Безгласный П.А. и др. -Новочеркасск, ЮРГТУ(НПИ), 2011.

315

КомментарииБайес Томас (1702 — 1761) — английский математик и священник,

член Лондонского королевского общества (1742).Родился в Лондоне. Отец - Джошуа Байес - пресвитерианский священник, был представителем известного нонконформистского рода из Шеффилда. Томас обучался дома, имеется предположение, что его учителем был Му- авр, который занимался частным преподаванием в Лондоне. В 1719 году поступил в Эдинбургский университет изучать логику и богословие. Известны несколько работ Байеса, в том числе и по теории вероятностей. Формула, которую сейчас называют его именем в работах Байеса не содержится. Она получила такое название с «легкой руки» Лапласа. Лаплас также спас от забвения ту теорию, набросок которой дал Байес, работы которого были опубликованы посмертно в 1763-1764 годах. Эта теория стала известна как теория вероятностей.

Бернулли - династия швейцарских ученых. Восемь представителей этой династии оставили след в развитии точных наук, трое из них (Якоб Бернулли (1654-1705), Иоганн Бернулли (1667-1748), Даниил Бернулли (1700-1782)) стали фигурантами мирового значения.Два брата - Якоб и Иоганн родились в Базеле в семье фармацевта Николая Бернулли. Старший, Якоб, увлекся математикой, которую постигал самостоятельно, он внес огромный вклад в теорию рядов, дифференциальное исчисление, теорию чисел, аналитическую геометрию, ввел значительную часть понятий в теорию вероятностей. Братья Бернулли доказали расходимость не только гармонического, но и других рядов с неограниченно убывающими элементами; факт этот казался поразительным в ту эпоху.

Иоганн Бернулли дал первое систематическое изложение дифференциального и интегрального исчислений, продвинул разработку методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Среди учеников Иоганна Бернулли был Эйлер. Самым известным из пятерых сыновей Иоганна Бернулли (трое старших стали профессорами математики) оказался Даниил, учился математике у отца и у брата Николая. В математике Даниилу Бернулли принадлежат работы по обыкновенным дифференциальным уравнениям, по теории рядов, по теории вероятностей с приложением к статистике народонаселения и отчасти к астрономии.

Гаусс Карл Фридрих (1777-1855) - выдающийся немецкий математик, астроном и геодезист.

В 1797 г. Гаусс дал свое по существу первое точное и полное доказательство основной теоремы алгебры (всякое алгебраическое уравнение с вещественными коэффициентами имеет корень, вещественный или комплексный). Первое же обширное сочинение Гаусса «Арифметические исследования» (1801) на многие годы определило последующее развитие двух важных разделов математики - теории чисел и высшей алгебры.

316

С именем Гаусса связаны фундаментальные исследования почти во всех основных областях математики: алгебре, дифференциальной и неевклидовой геометрии, в математическом анализе, теории функций комплексного переменного, теории вероятностей. Значительны заслуги Г аусса и в развитии астрономии. В 1801 г. Гаусс по нескольким наблюдениям рассчитал орбиту малой планеты Цереры, открытой 1 января 1801 и потерянной в лучах Солнца. Гаусс точно предсказал ее местоположение, и астрономы нашли планету в указанном месте.

В 1820 г. Гаусс предложил посадить лес на площади, образующей фигуру, называемую «Пифагоровы штаны», чтобы наши предполагаемые собратья по Солнечной системе, живущие на соседних планетах, догадались о высокой цивилизации земных существ. Проект осуществлен не был.

В возрасте 62 лет Г аусс изучил русский язык, чтобы ознакомиться в подлиннике с работами Лобачевского.

Благодаря Г ауссу, уровень математического образования в Г ермании был очень высок, математическая школа Геттингена была лучшей в Европе еще около ста лет, пока к власти в Германии не пришел Г итлер.

Д’Аламбер Жан ле Рон (1717-1783) - знаменитый французский математик и просветитель.

Через несколько часов после своего появления на свет был найден на ступеньках маленькой церквушки святого Жана ле Рона (Париж), откуда и происходит его имя. Воспитывался в семье бедного стекольщика.Первые же научные труды Д'Аламбера принесли ему известность.

С 1750 года Д'Аламбер вместе с Д. Дидро работал над составлением «Энциклопедии наук, искусств и ремесел», в которой им были написаны отделы математики и физики, а также статьи по философии, литературе и истории. Основные математические труды Д'Аламбера относятся к теории дифференциальных уравнений. Эти работы Д'Аламбера, а также последующие работы Л. Эйлера и Д. Бернулли составили основу математической физики. В теории рядов его имя носит широко употребительный достаточный признак сходимости (признак Д'Аламбера).

Декарт Рене (1596-1650) - французский философ и математик.Декарт был одним из образованнейших людей своего времени. Увле

кался философией, математикой, физикой, физиологией и др. В его знаменитом труде «Геометрия» (1637) положены две идеи: введение переменной величины и использование прямолинейных (декартовых) координат. Декарту принадлежит заслуга построения аналитической геометрии. Сделал он это вместе с Ферма. Хотя аналитическая геометрия Декарта имела много недостатков, она сыграла огромную роль в развитии математики.

Знаменитое высказывание Декарта: «Cogito ergo sum» («Мыслю, следовательно, существую»).

Дирихле Петер Густав Лежён (1805 - 1859) - немецкий математик.

317

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B5%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B5%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B0_%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%B9

http://www.math.ru/history/people/Bernoulli_D

http://ru.wikipedia.org/wiki/1805


http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0

Дирихле принадлежит ряд крупных открытий в самых разных областях математики, а также в механике и математической физике. Он внес существенный вклад в математический анализ, теорию функций и теорию чисел.

В анализе и математической физике он ввел понятие условной сходимости ряда и установил признак сходимости ряда (признак Даламбера). Доказал разложимость в ряд Фурье всякой монотонной кусочнонепрерывной функции. В 1825 г. Дирихле доказал великую теорему Ферма для частного случая n=5.

Капелли Альфредо (1855-1910) - итальянский математик.Основные труды по алгебраическим формам, алгебраическим урав

нениям, эллиптическим функциям. Впервые дал формулировку теоремы (теорема Кронекера - Капелли) с использованием термина «ранг матрицы».

Коши Огюстен Луи (1789-1857) - выдающийся французский математик.

Родился в Париже в семье видного чиновника, Лагранж отметил выдающиеся математические способности юноши и предсказал ему блестящее будущее. В первой своей работе о многогранниках (1811) Коши решил некоторые вопросы, не поддававшиеся первоклассным математикам.

Коши внес большой вклад в развитие математического анализа и других математических дисциплин. Он занимался пределами, комплексными числами, дифференциальными уравнениями. Многое из того, что сформулировал и доказал Луи Огюстен Коши (в т.ч. определения понятий предела, производной, непрерывной функции и их основные свойства), современно и сейчас. Его имя увековечено в следующих понятиях: неравенство Коши - Буняковского, задача Коши (одна из важнейших общих задач теории дифференциальных уравнений), уравнения Коши - Римана, признак Коши (достаточный признак сходимости ряда) и др.

Крамер Габриель (1704-1752) - швейцарский математик.В 1750 году Крамер установил и опубликовав правило решения си

стем линейных алгебраических уравнений с буквенными коэффициентами (правило Крамера), это позволило заложить основы теории определителей. Ему принадлежат также исследования алгебраических кривых высших порядков. В своей книге «Введение в анализ алгебраических кривых» Крамер впервые стал рассматривать ось Oy как равноправную оси O x .

Кронекер Леопольд (1823-1891) - немецкий математик.Основные труды Кронекера относятся к алгебре и теории чисел.

Кронеккер был сторонником «арифметизации» математики, которая по его словам должна быть сведена к арифметике целых чисел. Его стремление вложить все математическое в рамки теории чисел показывает хорошо из

318


http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D1%84%D1%83%D0%BD%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9_%D0%B2%D0%B5%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%B5%D0%BB

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA_%D0%94%D0%B8%D1%80%D0%B8%D1%85%D0%BB%D0%B5

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5


http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%A4%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%B0

вестное его заявление на Съезде в Берлине в 1886 году: «Целое число сотворил Господь Бог, а все прочее - дело рук человеческих».

Лагранж Жозеф Луи (1736-1813) - выдающийся французский математик и механик.

Самостоятельно изучал математику. В 18 лет стал профессором математики в артиллерийской школе в Турине. Лагранж ввел современное обозначение производной ( у ' или f '(x0) ) и первым стал использоватьтермин «первообразная».

Наиболее важные труды Лагранжа относятся к вариационному исчислению и механике.

Лаплас Пьер-Симон (1749 - 1827) - выдающийся французский астроном, математик и физик.

Лаплас был большим тружеником. Он проделал огромную работу: поставил на прочную математическую основу астрономию, которую великолепно изложил в своем большом труде по небесной механике.

Лаплас был одним из главных создателей теории вероятностей; доказал теорему, носящую его имя (теорема Лапласа), развил теорию ошибок и метод наименьших квадратов. Фундаментальными являются работы Лапласа по дифференциальным уравнениям.

Лаплас был любимцем Наполеона I. «Аналитическая теория вероятностей» Лапласа, изданная в Париже в 1812 году, была специальным курьером доставлена Наполеону в Витебск, где тот находился во время своего похода на Москву. Наполеон обещал Лапласу первые три месяца после взятия Москвы посвятить изучению его работы...

Лейбниц Готфрид Вильгельм (1646-1716) -немецкий философ, математик, физик, химик, юрист, историк, языковед.

В математике важнейшей заслугой Лейбница является разработка (наряду с И. Ньютоном) дифференциального и интегрального исчисления, имевшая огромное значение для дальнейшего развития математики и естествознания.Математику Лейбниц изучал самостоятельно. Он сам рассказывал, что еще в 1673 году, когда в возрасте 27 лет впервые предпринял поездку в Англию, то располагал весьма скудными математическими знаниями. В том же году в Париже Гюйгенс подарил ему экземпляр своих только что вышедших «Маятниковых часов». Чтобы понять эту книгу, Лейбниц занялся изучением Декарта, Паскаля, Кавальери и других авторов.В 1711, 1712 и 1716 годах Лейбниц встречался с Петром I, разработал по его просьбе ряд проектов по развитию образования и государственного управления в России. Лейбниц ввел применяемое и в настоящее время обо

значение производной — , впервые стал применять для обозначения инте-dx

319



http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%8F

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC


http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA

грала знак J . В теории рядов его имя носит признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница).

Лопиталь Гийом Франсуа (1661-1704) - французский математик.Исследовал ряд трудных задач математического анализа. Автор пер

вого печатного учебника по дифференциальному исчислению «Анализ бесконечно малых» (1696). В книге есть и так называемое правило Лопи- таля-правило нахождения предела дроби, числитель и знаменатель которой стремится к нулю.

Маклорен Колин (1698-1746) - шотландский математик.Маклорен - ученик и последователь И. Ньютона, в 21 год был членом Лондонского королевского общества.

В возрасте 15 лет, будучи студентом университета г.Глазго, доказал несколько теорем. В 19 лет был профессором математики в Абердине .

Кроме известной формулы разложения функции в ряд Маклорена, ему принадлежит интегральный признак сходимости ряда (называемый теперь признаком Коши).

Муавр (Абрахам де Муавр) (1667-1754) — английский математик французского происхождения. Член Лондонского королевского общества (1697), Парижской (1754) и Берлинской (1735) академий наук.Родился во Франции, в недворянской семье врача-гугенота; частицу де перед своей фамилией он добавил по собственной инициативе.В 1688 году он осел в Лондоне, где и прожил всю оставшуюся жизнь. На жизнь зарабатывал частным преподаванием. Де Муавр состоял в близкой дружбе с Ньютоном.Известен своими работами в области математического анализа, теории вероятностей, а также выводом формулы Муавра.Этому человеку удалось безошибочно назвать дату собственной смерти. Муавр умер в возрасте 87 лет. Незадолго до смерти он заметил, что становится всё более вялым, и ему требуется всё больше времени для сна. Математик подсчитал, что продолжительность его сна увеличивается в среднем на 15 минут в сутки. И сделал вывод, что умрёт, когда количество этих дополнительных минут станет равным 24-м часам. Исходя из этого он назвал дату — 27 ноября 1754 года — и действительно скончался в этот день.

Ньютон Исаак (1643 - 1727) - великий английский физик, математик, механик и астроном.

Ньютон разработал раньше Г. Лейбница и независимо от него дифференциальное и интегральное исчисление (которое он назвал методом флюксий). Автор фундаментального труда «Математические начала натуральной философии», в котором он изложил закон всемирного тяготения и три закона механики, ставшие основой классической механики. С работами Ньютона связана новая эпоха в физике и математике.320

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BD%D0%B3%D0%BB%D0%B8%D1%8F




http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0


http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B5%D0%B9%D0%B1%D0%BD%D0%B8%D1%86,_%D0%93%D0%BE%D1%82%D1%84%D1%80%D0%B8%D0%B4_%D0%92%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D0%B3%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BC



http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D0%BD%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%84%D0%B8%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BE%D1%84%D0%B8%D0%B8

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0_%D0%BD%D0%B0%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%84%D0%B8%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BE%D1%84%D0%B8%D0%B8

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%B2%D1%81%D0%B5%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%82%D1%8F%D0%B3%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%B2%D1%81%D0%B5%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%82%D1%8F%D0%B3%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D1%8B_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0

Первые математические открытия Ньютон сделал ещё в студенческие годы: классификация алгебраических кривых 3-го порядка и биномиальное разложение произвольной (не обязательно целой) степени, с которого начинается ньютоновская теория бесконечных рядов - нового и мощнейшего инструмента анализа. Он использовал ряды для решения уравнений (в том числе дифференциальных), исследования поведения функций.Наружность Ньютона была невзрачной. Одевался он всегда просто. Никогда не носил очков и до самой смерти (он умер в 85 лет) имел густые волосы, скрытые под париком. В последние годы потерял лишь один зуб. Был очень богат и щедр. Единственным наследником Ньютона был его никчемный племянник.В Вестминстерском аббатстве, национальном английском пантеоне, надпись на надгробии Ньютона заканчивается словами: «Пусть смертные радуются, что существовало такое украшение рода человеческого».В честь Ньютона названы единица силы в системе СИ, кратеры на Луне и на Марсе, российский остров в Северном Ледовитом океане.

Остроградский Михаил Васильевич (1801-1861) - выдающийся русский математик.

Занимался математическим анализом, алгеброй, теорией чисел, математической физикой, прикладными науками. Автор замечательных учебников по элементарной и высшей математике. Поступив на физикоматематический факультет Харьковского университета, не смог получить диплом, т.к. отказывался посещать лекции по богословию. Продолжил обучение в Париже, где в течение шести лет слушал лекции Ампера, Коши, Лапласа, Пуассона, Фурье. В Париже написал свои первые научные работы, в которых, среди прочего, развил теорию вычетов Коши, обобщил метод разделения переменных, примененный Ж. Фурье для решения уравнения теплопроводности в твердом теле, попутно выведя формулу преобразования тройного интеграла в двойной интеграл по поверхности (формула Остроградского).

Известен такой факт. В 1826 году он задолжал в гостинице «за харч и постой» и по жалобе хозяина был посажен в долговую тюрьму, где написал свою знаменитую работу «Мемуар о распространении волн в цилиндрическом бассейне», которую послал Коши. В ноябре 1826 г. Коши представил мемуар с самым лестным отзывом Парижской академии, которая удостоила эту работу высшего отличия - напечатания в «Записках ученых», посторонних академии. Более того, Коши сам, не будучи человеком богатым, выкупил Остроградского из долгового заведения.М.В. Остроградский - один из тех ученых, которые прославили русскую науку девятнадцатого века.

Пирсон Карл (1857 - 1936) - английский математик, статистик, биолог и философ.

321

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%83%D0%B1%D0%B8%D0%BA%D0%B0

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%83%D0%B1%D0%B8%D0%BA%D0%B0

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%84%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD_(%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D1%86%D0%B0_%D0%B8%D0%B7%D0%BC%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F)

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%98

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%B4%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BA%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B5%D1%80

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D1%83%D0%BD%D0%B0

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%80%D1%81_(%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B5%D1%82%D0%B0)

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%B2_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%B5%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%9B%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%82%D1%8B%D0%B9_%D0%BE%D0%BA%D0%B5%D0%B0%D0%BD




Основатель математической статистики, один из основоположников биометрики. Автор свыше 650 опубликованных научных работ. Опубликовал основополагающие труды по математической статистике (более 400 работ). Разработал теорию корреляции, критерии согласия, алгоритмы принятия решений и оценки параметров.

Пуассон Симеон Дени (1781 - 1840) - знаменитый французский математик, механик и физик.

Число научных трудов Пуассона превосходит 300. Они относятся к разным областям математики, математической физики, теоретической и небесной механики. Работал над интегрированием и рядами Фурье. В книге «Исследования вероятности мнений» (1837) представил распределение Пуассона. Известное высказывание Пуассона: «Жизнь лишь постольку прекрасна, поскольку ее можно посвятить изучению математики и преподаванию ее».

Риман Бернхард (1826 - 1866) - знаменитый немецкий математик, известный своими работами по теории функций и новаторскими теориями в области дифференциальной геометрии. Пути развития современной математики в значительной мере были предопределены трудами этого ученого.Наклонности к математике проявлялись у молодого Римана ещё в детстве, но, уступая желанию отца, Риман поступил в 1846 году в Гёттингенский университет для изучения филологии и богословия. Однако здесь он слушает лекции Г аусса и принимает окончательное решение стать математиком. В 1851 году Риман защищает диссертацию «Основания теории функций комплексной переменной», где было впервые введено понятие, позже получившее известность как риманова поверхность. С 1854 года Бернхард Риман работает в Гёттингенском университете. За следующие 10 лет он преобразовал сразу несколько разделов математики.Его работа по геометрии оказала чрезвычайно большое влияние на развитие математических и физических идей. Дело в том, что Риман дал классификацию всех существующих видов геометрии, включая найденные уже неевклидовы геометрии, и показал возможность создания любого числа новых пространств. Эта работа открыла Эйнштейну путь к разработке общей теории относительности.В последние годы своей недолгой жизни Риман был удостоен многочисленных почестей, получил признание ведущих ученых, был избран членом различных научных обществ, в том числе Лондонского Королевского общества и Французской Академии наук.20 июля 1866 года Риман скончался от туберкулёза в возрасте 39 лет.

Тейлор Брук (1685 -1731) - английский математик.Нашел общую формулу для разложения функций в степенные ряды

(ряды Тейлора). Положил начало математическому изучению задачи о колебании струны.322

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0





http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0



http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D0%BA%D0%B0

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B1%D0%B5%D1%81%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B5%D1%85%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0

Фурье Жан Батист Жозеф (1768 - 1830) - знаменитый французский математик и физик.

Основной областью занятий Фурье была математическая физика. Свои методы (ряды и интегралы Фурье) использовал в теории распространения тепла. Вскоре они стали исключительно мощным инструментом математического исследования самых разных задач - особенно там, где есть волны и колебания. А этот круг чрезвычайно широк - астрономия, акустика, теория приливов, радиотехника и др. Фурье ввел обозначение опреде-

bленного интеграла: J f (х ) d x .

a

Эйлер Леонард (1707-1783) - выдающийся швейцарский математик.Родился в Базеле в семье небогатого пастора. Его учителем был вы

дающийся математик Иоганн Бернулли. Сыновья И. Бернулли были приглашены в Петербург, по их рекомендации туда же был приглашен Леонард Эйлер. За первые 14 лет пребывания в Петербурге он написал более 80 крупных научных работ, из которых более 50 были опубликованы.

В 1741 году Эйлер уехал из России в Берлин, в котором жил и работал 25 лет. Но в 1766 году по приглашению Екатерины II Леонард Эйлер возвращается в Петербург, где плодотворно работал до конца своих дней. У Эйлера было 13 детей, все они остались в России. Эйлер был похоронен в Петербурге, его надгробие находится на старом кладбище Александро- Невской лавры, неподалеку от надгробия М.В. Ломоносова.

В пользу одного швейцарского приюта была выпущена почтоваямарка с портретом Эйлера и формулой вт +1 = 0.

Громадное научное наследие Эйлера включает блестящие результаты, относящиеся к математическому анализу, геометрии, теории чисел, вариационному исчислению, механике и другим приложениям математики.

Труды Эйлера из области математического анализа оказали огромное влияние на развитие высшей математики, Эйлер придал современный вид тригонометрии, дал одно из первых определений функции.

323



http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%86%D0%B8%D1%8F

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4%D1%8B_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A4%D1%83%D1%80%D1%8C%D0%B5

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D1%8F

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%83%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%83%D1%81%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%B2

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D0%B4%D0%B8%D0%BE%D1%82%D0%B5%D1%85%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%B0

Приложение 1i - xV

Таблица значений функции ф( х) = .— e /2у] 2л

Приложения

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 ,0 0,3989 3989 3989 3988 3986 3984 3982 3980 3977 39730,1 3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 39180 ,2 3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 38250,3 3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 36970,4 3683 3668 3652 3637 3621 3605 3589 3572 3555 35380,5 3521 3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 33520 ,6 3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 31440,7 3123 3101 3079 3056 3034 3011 2989 2966 2943 29200,8 2897 2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 26850,9 2661 2637 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 2444

1,0 0,2420 2396 2371 2347 2323 2299 2275 2251 2227 22031,1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 2 0 1 2 1989 19651,2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 17361,3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 15181,4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 13151,5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 11271,6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 09571,7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 08041,8 0790 0775 0761 0748 0734 0721 0707 0694 0681 06691,9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 0551

2 ,0 0,0540 0529 0519 0508 0498 0488 0478 0468 0459 04492,1 0440 0431 0422 0413 0404 0396 0387 0379 0371 03632 ,2 0355 0347 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 02902,3 0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 02292,4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 01802,5 0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 01392 ,6 0136 0132 0129 0126 0 1 2 2 0119 0116 0113 0 1 1 0 01072,7 0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 00812 ,8 0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 00612,9 0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 0046

3,0 0,0044 0043 0042 0040 0039 0038 0037 0036 0035 00343,1 0033 0032 0031 0030 0029 0028 0027 0026 0025 00253,2 0024 0023 0 0 2 2 0 0 2 2 0021 0 0 2 0 0 0 2 0 0019 0018 00183,3 0017 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 00133,4 0 0 1 2 0 0 1 2 0 0 1 2 0011 0011 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0009 00093,5 0009 0008 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007 00063,6 0006 0006 0006 0005 0005 0005 0005 0005 0005 00043,7 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 00033,8 0003 0003 0003 0003 0003 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 23,9 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0001 0001

324

1 I* /Таблица значений функции Ф(х) = ,— I e / 2 dtх г

_ iv '^2п

Приложение 2

0

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)0 ,0 0 0 ,0 0 0 0 0 0,43 0,1664 0 ,8 6 0,3051 1,29 0,40150,01 0,0040 0,44 0,1700 0,87 0,3079 1,30 0,40320 ,0 2 0,0080 0,45 0,1736 0 ,8 8 0,3106 1,31 0,40490,03 0 ,0 1 2 0 0,46 0,1772 0,89 0,3133 1,32 0,40660,04 0,0160 0,47 0,1808 0,90 0,3159 1,33 0,40820,05 0,0199 0,48 0,1844 0,91 0,3186 1,34 0,40990,06 0,0239 0,49 01879 0,92 0,3212 1,35 0,41150,07 0,0279 0,50 0,1915 0,93 0,3238 1,36 0,41310,08 0,0319 0,51 0,1950 0,94 0,3264 1,37 0,41470,09 0,0359 0,52 0,1985 0,95 0,3289 1,38 0,41620 ,1 0 0,0398 0,53 0,2019 0,96 0,3315 1,39 0,41770,11 0,0438 0,54 0,2054 0,97 0,3340 1,40 0,41920 ,1 2 0,0478 0,55 0,2088 0,98 0,3365 1,41 0,42070,13 0,0517 0,56 0,2123 0,99 0,3389 1,42 0,42220,14 0,0557 0,57 0,2157 1,00 0,3413 1,43 0,42360,15 0,0596 0,58 0,2190 1,01 0,3438 1,44 0,42510,16 0,0636 0,59 0,2224 1,02 0,3461 1,45 0,42650,17 0,0675 0,60 0,2258 1,03 0,3485 1,46 0,42790,18 0,0714 0,61 0,2291 1,04 0,3508 1,47 0,42920,19 0,0754 0,62 0,2324 1,05 0,3531 1,48 0,43060 ,2 0 0,0793 0,63 0,2357 1,06 0,3554 1,49 0,43190,21 0,0832 0,64 0,2389 1,07 0,3577 1,50 0,43320 ,2 2 0,0871 0,65 0,2422 1,08 0,3599 1,51 0,43450,23 0,0910 0 ,6 6 0,2454 1,09 0,3621 1,52 0,43570,24 0,0948 0,67 0,2486 1,10 0,3643 1,53 0,43700,25 0,0987 0 ,6 8 0,2518 1,11 0,3665 1,54 0,43820,26 0,1026 0,69 0,2549 1,12 0,3686 1,55 0,43940,27 0,1064 0,70 0,2580 1,13 0,3708 1,56 0,44060,28 0,1103 0,71 0,2612 1,14 0,3729 1,57 0,44180,29 0,1141 0,72 0,2642 1,15 0,3749 1,58 0,44290,30 0,1179 0,73 0,2673 1,16 0,3770 1,59 0,44410,31 0,1217 0,74 0,2704 1,17 0,3790 1,60 0,44520,32 0,1255 0,75 0,2734 1,18 0,3810 1,61 0,44630,33 0,1293 0,76 0,2764 1,19 0,3830 1,62 0,44740,34 0,1331 0,77 0,2794 1,20 0,3849 1,63 0,44840,35 0,1368 0,78 0,2823 1,21 0,3869 1,64 0,44950,36 0,1406 0,79 0,2852 1,22 0,3883 1,65 0,45050,37 0,1443 0,80 0,2881 1,23 0,3907 1 ,6 6 0,45150,38 0,1480 0,81 0,2910 1,24 0,3925 1,67 0,45250,39 0,1517 0,82 0,29389 1,25 0,3944 1 ,6 8 0,45350,40 0,1554 0,83 0,29673 1,26 0,3962 1,69 0,45450,41 0,1591 0,84 0,29955 1,27 0,3980 1,70 0,45540,42 0,1628 0,85 0,30234 1,28 0,3997 1,71 0,4564

325

Продолжение прилож. 2

х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)1,72 0,4573 2,04 0,4793 2 ,6 6 0,4961 3,65 0,499871,73 0,4582 2,06 0,4803 2 ,6 8 0,4963 3,70 0,499891,74 0,4591 2 ,1 0 0,4821 2,70 0,4965 3,75 0,499911,75 0,4599 2 ,1 2 0,4830 2,72 0,4967 3,80 0,499931,76 0,4608 2,14 0,4838 2,74 0,4969 3,85 0,499941,77 0,4616 2,16 0,4846 2,76 0,4971 3,90 0,499951,78 0,4625 2,18 0,4854 2,78 0,4973 3,95 0,499961,79 0,4633 2 ,2 0 0,4861 2,80 0,4974 4,00 0,4999681,80 0,4641 2 ,2 2 0,4868 2,82 0,4976 4,05 0,4999741,81 0,4649 2,24 0,4875 2,84 0,4977 4,10 0,4999791,82 0,4656 2,26 0,4881 2 ,8 6 0,4979 4,15 0,4999831,83 0,4664 2,28 0,4887 2 ,8 8 0,4980 4,20 0,4999871,84 0,4671 2,30 0,4893 2,90 0,4981 4,25 0,4999891,85 0,4678 2,32 0,4898 2,92 0,4982 4,30 0,4999921 ,8 6 0,4686 2,34 0,4904 2,94 0,4984 4,35 0,4999931,87 0,4693 2,36 0,4909 2,96 0,4985 4,40 0,4999951 ,8 8 0,4699 2,38 0,4913 2,98 0,4986 4,45 0,4999961,89 0,4706 2,40 0,4918 3,00 0,49865 4,50 0,4999971,90 0,4713 2,42 0,4922 3,05 0,49886 4,55 0,49999731,91 0,4719 2,44 0,4927 3,10 0,49903 4,60 0,49999791,92 0,4726 2,46 0,4931 3,15 0,49918 4,65 0,49999831,93 0,4732 2,48 0,4934 3,20 0,49931 4,70 0,49999871,94 0,4738 2,50 0,4938 3,25 0,49942 4,75 0,49999901,95 0,4744 2,52 0,4941 3,30 0,49952 4,80 0,49999921,96 0,4750 2,54 0,4945 3,35 0,49960 4,85 0,49999941,97 0,4756 2,56 0,4948 3,40 0,49966 4,90 0,49999951,98 0,4761 2,58 0,4951 3,45 0,49972 4,95 0,49999961,99 0,4767 2,60 0,4953 3,50 0,49977 5,00 0,49999972 ,0 0 0,4772 2,62 0,4956 3,55 0,499812 ,0 2 0,4783 2,64 0,4959 3,60 0,49984

326

Таблица значений t Y = t (у; и)Приложение 3

n Y n Y0,95 0,99 0,999 0,95 0,99 0,999

5 2,78 4,60 8,61 2 0 2,093 2,861 3,8836 2,57 4,03 6 ,8 6 25 2,064 2,797 3,7457 2,45 3,71 5,96 30 2,045 2,756 3,6598 2,37 3,50 5,41 35 2,032 2,720 3,6009 2,31 3,36 5,04 40 2,023 2,708 3,55810 2,26 3,25 4,78 45 2,016 2,692 3,52711 2,23 3,17 4,59 50 2,009 2,679 3,50212 2 ,2 0 3,11 4,44 60 2 ,0 0 1 2,662 3,46413 2,18 3,06 4,32 70 1,996 2,649 3,43914 2,16 3,01 4,22 80 1,991 2,640 3,41815 2,15 2,98 4,14 90 1,987 2,633 3,40316 2,13 2,95 4,07 100 1,984 2,627 3,39217 2 ,1 2 2,92 4,02 120 1,980 2,617 3,37418 2,11 2,90 3,97 да 1,960 2,576 3,29119 2 ,1 0 2 ,8 8 3,92

327

2Критические точки распределения %

Приложение 4

Числостепенейсвободы

к

Уровень значимости О

0,01 0,025 0,05 0,95 0,975 0,991 6 ,6 5,0 3,8 0,0039 0,00098 0,000162 9,2 7,4 6 ,0 0,103 0,051 0 ,0 2 0

3 11,3 9,4 7,8 0,352 0.216 0,1154 13,3 1 1 ,1 9,5 0,711 0,484 0,2975 15,1 1 2 ,8 1 1 ,1 1,15 0,831 0,5546 16,8 14,4 1 2 ,6 1,64 1,24 0,8727 18,5 16,0 14,1 2,17 1,69 1,248 2 0 ,1 17,5 15,5 2,73 2,18 1,659 21,7 19,0 16,9 3,33 2,70 2,0910 23,2 20,5 18,3 3,94 3,25 2,5611 24,7 21,9 19,7 4,57 3,82 3,0512 26,2 23,3 2 1 ,0 5,23 4,40 3,5713 27,7 24,7 22,4 5,89 5,01 4,1114 29,1 26,1 23,7 6,57 5,63 4,6615 30,6 27,5 25,0 7,26 6,26 5,2316 32,0 28,8 26,3 7,96 6,91 5,8117 33,4 30,2 27,6 8,67 7,56 6,4118 34,8 31,5 28,9 9,39 8,23 7,0119 36,2 32,9 30,1 1 0 ,1 8,91 7,632 0 37,6 34,2 31,4 10,9 9,59 8,2621 38,9 35,5 32,7 1 1 ,6 10,3 8,902 2 40,3 36,8 33,9 12,3 1 1 ,0 9,5423 41,6 38,1 35,2 13,1 11,7 1 0 ,2

24 43,0 39,4 36,4 13,8 12,4 10,925 44,3 40,6 37,7 14,6 13,1 11,526 45,6 41,9 38,9 15,4 13,8 1 2 ,2

27 47,0 43,2 40,1 16,2 14,6 12,928 48,3 44,5 41,3 16,9 15,3 13,629 49,6 45,7 42,6 17,7 16,0 14,330 50,9 47,0 43,8 18,5 16,8 15,0

328

Учебное издание

Безгласный Павел Александрович Бессарабов Николай Иванович Бергер Галина Александровна

Додохова Галина Вартановна и др.

ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИКЕ

Учебное пособие

Подписано в печать 2014Формат 60X 84 1/16. Бумага офсетная. Ризография.

Усл. печ. л. . Тираж экз. Заказ Южно-Российский государственный политехнический университет (НИИ)

имени М.И.Платова Отпечатано в ИД «Политехник».

346428, Новочеркасск, ул. Просвещения, 132.

П 69 В.В. Столярова, В.Н. Шевляков · 2020-06-10 · киванием ' —...

Documents

Transcript of П 69 В.В. Столярова, В.Н. Шевляков · 2020-06-10 · киванием ' —...