《 函数及其图象 》 达标检测 (训练时间: 60 分钟 分值: 100 分)
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《函数及其图象》达标检测
(训练时间: 60 分钟 分值: 100 分)
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一、选择题 ( 每小题 4 分,共 48分 )
1 . (2011· 兰州 ) 如右图所示,某反比例函数的图象过 ( -2,1) ,则此反比例函数表达式为 ( )
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A.y=2x B.y=-
2x
C.y=12x D.y=-
12x
【解析】设反比例函数的解析式为 y=kx,则 k=-2× 1
=-2,
∴ y=-2x.
【答案】 B
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A . k<3 B . k≤3 C . k>3 D . k≥3
【解析】由题意得, k - 3<0 ,∴ k<3.
【答案】 A
2.(2012 中考预测题)反比例函数 y=k-3x 的图象,当
x>0时,y随 x的增大而增大,则 k的取值范围是( )
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3 . (2010 中考变式题 ) 如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC 的顶点 C 的坐标是 (3,4) ,则顶点 A 、 B 的坐标分别是 ( )
A . (4,0), (7,4) B . (4,0), (8,4)
C . (5,0), (7,4) D. (5,0), (8,4)
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【解析】过 C作CE⊥OA 于点 E ,∵ C(3,4) ,故在 Rt△OCE 中, OC
= 5.∵ 四边形 OABC 是菱形,∴ OA=OC= 5 ,故 A(5,0) .过 B作BF
⊥x 轴于点 F ,在 Rt△ BAF 中,由 AB=OC= 5 ,BF=CE= 4 得AF
= 3 ,∴ OF= 8 ,∴ B(8,4) .
【答案】 D
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4 . (2011· 山西 ) 已知二次函数 y = ax2+ bx+ c 的图象如右图所示,对称轴为直线 x = 1 ,则下列结论正确的是 ( )
A . ac> 0
B .方程 ax2+ bx+ c = 0 的两根是 x1 =- 1 , x2= 3
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C . 2a - b = 0
D .当 x > 0 时, y 随 x 的增大而减小
【解析】由图象知抛物线与 x 轴的两个交点为 ( - 1,0)和 (3,0) ,
所以当 y = 0 时,方程 ax2+ bx+ c= 0 的两根是 x1 =- 1 , x2= 3.
【答案】 B
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A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【解析】如图所示,由 y= (x-1)2-1 x≤3 , (x-5)2-1 x>3
的
图象可知,使 y=k成立的 x值恰好有三个的是过(3,3)点且与 x
轴平行的直线,∴ k=3.
【答案】 D
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6 . (2011· 江西 ) 时钟在正常运行时,分针每分钟转动 6° ,时针每分钟转动 0.5°. 在运行过程中,时针与分针的夹角会随着时间的变化而变化.设时针与分针的夹角为 y( 度 ) ,运行时间为 t( 分 ) ,当时间从 12: 00 开始到 12: 30 止, y 与 t 之间的函数图象是 ( )
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【解析】由题意, y( 度 ) 与 t( 分 ) 之间的函数关系式为 y = 6t- 0.5t= 5.5t(0≤t≤30) ,满足函数关系式的图象只有 A.
【答案】 A
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7.(2012中考预测题) 如图,某电信公司提供了A、B 两种方案的移动通讯费用y(元) 与通话时间x(分) 之间的关系,则以下说法错误的是
( )
A .若通话时间少于120分,则A 方案比B 方案便宜20元
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B .若通话时间超过 200 分,则 B 方案比 A 方案便宜 12 元
C .若通讯费用 60 元,则 B 方案比 A 方案的通话时间多
D .若两种方案通讯费用相差 10 元,则通话时间是 145 分或185 分【解析】排除法,观察图象可得,当 x<120 时,50-30=
20(元),A正确;当 x>200时,可求得 yA=25x-18,yB=
25x-30,
B正确;当 x=60时,观察图象可得 C正确;当费用相差 10元
时,通话时间是 145分或 195分.
【答案】 D
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8.(2011· 兰州)如右图所示,矩形 ABCD的对角线 BD经过
坐标原点,矩形的边分别平行于坐标轴,点 C在反比例函数 y
=k2+2k+1
x的图象上.若点 A的坐标为(-2,-2),则 k的值
为( )
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A . 1 B .- 3
C . 4 D. 1 或- 3
【解析】由图所示矩形 AGOH 的面积等于矩形 OFCE 的面积,∴ S
矩形 OFCE= 2×2= 4.∵点 C 在双曲线上,∴ k2+ 2k + 1 = 4 ,∴ k1
= 1 , k2 =- 3.
【答案】 D
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9 . (2010 中考变式题 ) 如图,点 A 、 B 的坐标分别为 (1,4)和 (4,4) ,抛物线 y= a(x-m)2+ n 的顶点在线段 AB 上运动,与 x 轴交于 C、D 两点 (C在D 的左侧 ) ,点 C 的横坐标最小值为- 3 ,则点 D 的横坐标最大值为 ( )
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A .- 3 B. 1
C . 5 D. 8
【解析】当顶点为 A(1,4) 时,此时 C 的横坐标最小值为 x =-3 , D 的横坐标最小值为 x = 5. 当顶点为 B(4,4) 时,此时 D 的横坐标为最大值 5 + 3 = 8.
【答案】D
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10. (2012 中考预测题 ) 从甲地向乙地打长途电话的收费标准为:不超过 3 分钟收费 2.4 元,以后每增加 1 分钟加收 1 元 ( 不足 1 分钟按 1 分钟计算 ) .若通话时间不超过 5 分钟,则下图中表示电话费 y
( 元 ) 与通话时间 x( 分 ) 之间的函数关系的图象,正确的是 ( )
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【解析】注意此分段函数的图象是不连续的.
【答案】 C
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11.(2011· 芜湖)二次函数 y=ax2+bx+c的图象如右图
所示,则反比例函数 y=ax与一次函数 y=bx+c在同一坐标系
中的大致图象是( )
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【解析】由抛物线位置得 a<0,b<0,c=0,故 y=ax的图
象位于第二、四象限,y=bx+c的图象过第二、四象限.
【答案】 D
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12.(2012中考预测题) 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列四个结论:①b<0;②c>0;③b2-4ac>0;④a-b+c<0,
其中正确的个数有 ( )
A.1 个
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B . 2 个
C . 3 个
D . 4 个
【解析】观察图象得-b2a
<0,a<0,∴ b<0,①正确;c>0,
②正确;因抛物线与 x轴有两个交点,∴ b2-4ac>0,③正确;
当 x=-1时,a-b+c>0,④错误;所以正确的有 3个.
【答案】 C
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二、填空题 ( 每小题 4 分,共 20分 )
13. (2011· 上海 ) 一次函数 y = 3x - 2 的函数值 y 随自变量x 值的增大而 ________(填“增大”或“减小” ) .
【解析 ∵】 3 > 0 ,∴ y 随 x 的增大而增大.
【答案】增大
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14.(2011· 河南)已知点 P(a,b)在反比例函数 y=2x的图象上,若
点 P 关于 y 轴对称的点在反比例函数 y=kx的图象上,则 k 的值为
________.
【解析】点 P(a,b)关于 y轴对称的点的坐标为(-a,b).由题意知
点(-a,b)在反比例函数 y=kx的图象上,∴ k=-ab.
又∵ 点 P(a,b)在反比例函数 y=2x的图象上,∴ ab=2.∴ k=-2.
【答案】- 2
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15. (2011· 宁波 ) 将抛物线 y = x2 的图象向上平移 1 个单位,则平移后的抛物线的解析式为 ________ .
【解析】 y = x2 向上平移 1 个单位,得到 y = x2+ 1 ,抛物线平移规律是“上下平移常数变,上加下减.”
【答案】 y = x2+ 1
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16.(2012中考预测题)一名男士推铅球,铅球行进高度
y(单位:m)与水平距离 x(单位:m)之间的关系是 y=-112x2
+23x+
53,则他将铅球推出的距离是______m.
【解析】令 y=0,则-112x2+
23x+
53=0,解得 x1=10,
x2=-2,即推出的距离是 10 m.
【答案】 10
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17.(2011·武汉)如图所示,平行四边形 ABCD的顶点 A,
B 的坐标分别是 A(-1,0)、B(0,-2),顶点 C、D 在双曲线 y
=kx上,边 AD交 y轴于点 E,且四边形 BCDE的面积是△ ABE
面积的 5倍,则 k=________.
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【解析】如图所示,连接 BD,设 S△ABE=x,则 S▱ABCD=6x.故 S△ BED=3x
-x=2x.故 DE∶ AE=2∶ 1.作 DG⊥y轴,DM⊥x轴,CF⊥y轴,CN⊥x轴,
则 DG∶ OA=2∶ 1,∴ GD=2.由▱ABCD可证△AOB≌△ CKD.∴ DK=OB=2,
CK=OA=1.∴ MN=1.∴ KM=CN=k2-2.∵ ON=2+1=3,∴ C(3,
k2-2).∵
C在双曲线上,∴k3=k2-2,解得 k=12.
【答案】 12
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三、解答题 ( 共 32分 )
(1)求 c 的取值范围;
(2) 试确定直线 y = cx+ 1 经过的象限,并说明理由.
18.(10分)(2011· 广东)已知抛物线 y=12x2+x+c与 x
轴没有交点.
【答案】解:(1)∵ 抛物线与 x轴无交点,
∴ Δ<0,即 12-4×12×c<0,∴ c>
12.
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(1)求 k 的值和边 AC 的长;
(2)求点 B 的坐标.
(2)∵ c>12>0,1>0,∴ 直线 y=cx+1经过第一、二、三象限.
19.(10 分)(2011·广州)已知 Rt△ ABC的斜边 AB在平面直角坐
标系的 x轴上,点 C(1,3)在反比例函数 y=kx的图象上,且 sin∠BAC
=35.
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【答案】解:(1)∵ 点 C(1,3)在反比例函数 y=kx的图象上,∴
k=xy=1×3=3.
如图①所示,作 CD⊥AB于点 D,∴ CD=3.在 Rt△ACD中,
①
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sin∠BAC=CDAC,∴
35=
3AC,解得 AC=5.
(2)在 Rt△ACD中,AD= AC2-CD2= 52-32=4,cos∠
BAC=ADAC=
45.
如图①所示,在 Rt△ ACB中,cos∠BAC=ACAB,
∴ AB=AC
cos∠BAC=
545
=254,
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∴ AO=AD-OD=4-1=3,OB=AB-OA=254-3=
134,
∴ 点 B的坐标为(134,0).
②
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如图②所示,AO=AD+OD=4+1=5,
OB=AB-OA=254-5=
54,∴ 点 B的坐标为(-
54,0).
20.(12分)
(2012 中考预测题 )如图,某公路隧道横截面为抛物线,其最大高度为 6米,底部宽度 OM为 12米.现以 O点为原点, OM所在直线为 x轴建立直角坐标系.
(1)直接写出点M及抛物线顶点 P的坐标;(2)求这条抛物线的解析式;
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(3) 若要搭建一个矩形“支撑架” AD-DC- CB ,使 C 、 D 点在抛物线上, A 、 B 点在地面 OM 上,则这个“支撑架”总长的最大值是多少?
【答案】解: (1)M(12,0), P(6,6) .
(2) 设抛物线解析式为 y = a(x - 6)2+ 6.
∵ 抛物线 y = a(x - 6)2+ 6 经过点 (0,0) ,
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∴ 0=a(0-6)2+6,则 a=-16.
∴ 抛物线解析式为 y=-16(x-6)2+6,即 y=-
16x2+2x.
(3)设 A(m,0),则 B(12-m,0),C(12-m,-16m2+2m),
D(m,-16m2+2m).
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∵ 此二次函数的图象开口向下,
∴当m = 3 米时, AD+DC+ CB 有最大值为 15米.
∴ “ 支撑架” 总长 AD+DC+CB=(-16m2+2m)+(12-2m)
+(-16m2+2m)=-
13m2+2m+12=-
13(m-3)2+15.