1

第 6 章 共形映射

By 付小宁

2

z 平面内的任一条有向曲线 C 可用 z=z(t), t

表示 , 它的正向取为 t 增大时点 z 移动的方向 , z(t)

为一条连续函数 .

如果 z '(t0)0,<t0<, 则表示 z '(t) 的向量 ( 把起点放取在 z0. 以下不一一说明 ) 与 C 相切于点 z0=z

(t0).z(t0)

z()

z()

z '(t0)

§1 共形映射的概念

3

事实上 , 如果通过 C 上两点 P0 与 P 的割线 P0P 的正

向对应于 t 增大的方向 , 则这个方向与表示 t

tzttz

Δ

)()Δ( 00

的方向相同 .

O x

y

z(t0)P0

Pz(t0+t) C

(z)

当点 P 沿 C 无限趋向于点 P0, 割线 P0P 的极限位置就

是 C

上 P0 处的切线 . 因此 , 表示t

tzttztz

t Δ

)()Δ(lim)( 00

0Δ0

的向量与 C 相切于点 z0=z(t0), 且方向与 C 的正向一致 .

z '(t0)

4

我们有

1) Arg z '(t0) 就是 z0 处 C 的切线正向与 x 轴正向间的夹角 ;

2) 相交于一点的两条曲线 C1 与 C2 正向之间的夹角就是

它们交点处切线正向间夹角

O x

(z)

z0

1C

2C

5

设函数 w=f(z) 将点 z ， z+∆z 分别影射为 w ，

w+∆w ，向量 (z ， z+∆z) 与实轴的夹角为 θ 、

向量 (w ， w+∆w) 与实轴的夹角为 φ ，则称

φ- θ 为影射 w=f(z) 产生的角度转动，即

点 z 处转动角

当 w=f(z) 解析时，点 z 处转动角 =

z

zfzzfArg

zzz

zfzzfArg

zzzArgzfzzfArg

)()(

)(

)()(

])[()]()([

)(zfArg

z

zfzzfArg

zz

)()(lim)(lim

00

6

类似地，可定义函数 w=f(z) 在 z 处的伸缩率

当 w=f(z) 解析时，点 z 处伸缩率

Note: 若 不存在，而伸缩率

|)()(

|lim|)(|

|)()(|lim

00 z

zfzzf

zzz

zfzzfzz

|)(| zf

1||

||lim

||

||lim

00

z

z

zzz

zzzzz

)(,)( zfZzf

7

1. 解析函数的导数的几何意义 设函数 w=f (z) 在区域 D

内解析 , z0 为 D 内的一点 , 且 f '(z0)0. 又设 C 为 z 平面内通过点 z0 的一条有向光滑曲线 : z=z(t), t, 且 z0=z(t0),

z '(t0)0, <t0<. 映射 w=f (z) 将 C 映射成 w 平面内通过点 z0 的对应点 w0=f (z0) 的一条有向光滑曲线 : w=f [z(t)],

t .

0

( )00 0 0

0

elim lim lim lim e

e

ii

iz z z x z

ww w w wf z

z z z z z

O x

y

O u

v

z0

P0 rzPz

C

(z) (w)

w0

Q0

Qw

w

0 0

0 0 0 00 0

lim , limz z

wf z Arg f z

z

8

根据复合函数求导法 , 有 w '(t0)=f '(z0)z '(t0)0.

因此 , 在上点 w0 处也有切线存在 , 且切线正向与 u 轴正向的夹角是 Arg w '(t0)=Arg f '(z0)+Arg z '(t0).

若原来的切线的正向与映射过后的切线的正向之间的夹角理解为曲线 C 经过 w=f (z) 映射后在 z0 处的转动角 , 则1) 导数 f '(z0)0 的辐角 Arg f '(z0) 是曲线 C 经过 w=f (z) 映射 后在 z0 处的转动角 ;

O x

y

O u

v

z0

P0 rzPz

C

(z) (w)

w0

Q0

Qw

w

0 0

0 0. 即 Arg f '(z0)= Arg w '(t0)Arg z '(t0)

9

2) 转动角的大小与方向跟曲线 C 的形状与方向无关 . 所以这种映射具有转动角的不变性 .

通过 z0 点的可能的曲线有无限多条 , 其中的每一条都具有这样的性质 , 即映射到 w 平面的曲线在 w0 点都转动了一个角度 Arg f '(z0).

O x

y

O u

v(z)

(w)

z0 w0

10

相交于点 z0 的任何两条曲线 C1 与 C2 之间的夹角 , 在其

大小和方向上都等同于经 w=f (z) 映射后 C1 与 C2 对应的

曲线 1 与 2 之间的夹角 , 所以这种映射具有保持两曲线

间夹角与方向不变的性质 . 这种性质称为保角性 .

y

O x O u

v(z) (w)

z0

w0

C1

C2

1

2

1 1 2 2 2 1 2 1

11

3) 称为曲线 C 在 z0 的伸缩率 . 上式表明 |f '(z)| 是两象点间距离和两原象点间距离比值的极限，从而可视为映射 w=f (z) 在点 z0 处沿曲线 C 的

伸缩率 , 它与曲线 C 的形状及方向无关 . 所以这种映射又具有伸缩率不变性 .

上式可视为 0 0 0f z f z f z z z

0 1,f z 0表示从z出发的任一无穷小距离伸长；

0 1,f z 0表示从z出发的任一无穷小距离缩短；

0 1,f z 0表示从z出发的任一无穷小距离不变。

||

||lim

||

||lim|)(|

00

0

0 z

w

zz

wwzf

zzz

12

例 1 求 w= f(z)=z3 在 z=0, z=i 处 的导数值 , 并说明几何意义。解： w= f(z)=z3 在全平面解析， f '(z)=3 z2 。

21 3 3 3 if i i e ） 在 z=i 处具有伸缩率不变和保角性。伸缩率为 3 ，旋转角为 。 2) 0 0, 0f f z z 3=z 在 处显然不具有保角性。

定理一 设函数 w=f (z) 在区域 D 内解析 , z0 为 D 内的一点 , 且 f '(z0)0, 则映射 w=f (z) 在 z0 具有两个性质 :

1) 保角性 . 即通过 z0 的两条曲线间的夹角跟经过映射后所 得两曲线间的夹角在大小和方向上保持不变。2) 伸缩率的不变性 . 即通过 z0 的任何一条曲线的伸缩率均 为 |f '(z0)| 而与其形状和方向无关 .

13

在 D 内作以 z0 为其一个顶点的小三角形 , 在映射下 , 得

到一个以 w0 为其一个顶点的小曲边三角形 , 这两个三角

形对应边长之比近似为 |f '(z0)|, 有一个角相等 , 则这两个

三角形近似相似 .

O x

y

O u

v(z) (w)

z0

w0

C1

C2

1

2

定理一的几何意义 .

14

O x

y

O u

v(z) (w)

z0

w0

C1

C2

1

2

.|)(|||

||

)(||||

|)(|

00

0

0

0

zfww

zz

zfwzzww

zf

近似地映射成圆也将很小的圆

由此看出映射伸缩率

15

2. 共形映射的概念定义 设函数 w = f (z) 在 z0 的邻域内是一一的 , 在 z0 具

有保角性和伸缩率不变性 , 则称映射 w = f (z) 在 z0 是保

形的 , 或称 w = f (z) 在 z0 是共形映射 . 如果映射 w = f

(z) 在 D 内的每一点都是保形的 , 就称 w = f (z) 是区域D 内的共形映射 . 仅具有保角性和伸缩率不变性的映射称为第一类保

形映射；而具有伸缩率不变性和保持角度绝对值不变而

旋转方向相反的映射称为第二类共形映射。

例如 是第二类共形映射。w z

16

定理二 如果函数 w =f (z) 在 z0 解析 , 且 f '(z0)0, 则映

射 w=f (z) 在 z0 是保形的 , 而且 Arg f '(z0) 表示这个映射

在 z0 的转动角 , |f '(z0)| 表示伸缩率 . 如果解析函数 w=f

(z) 在 D

内是一一的， 且处处有 f '(z)0, 则映射 w=f (z) 是 D 内的共形映射 .

共形映射是把区域双方单值的映射成区域，在每一点保角，在每一点具有伸缩率不变性。例如函数 在 是第一类保角的；

zw e 0 4Imz

在 是保形的。0 Im 2z

17

§2 分式线性映射分式线性映射

2

0

d

d ( )

0

,( )( ) 0

az b a bw ad bc

cz d c d

w ad bc

z cz d

cwz dw az b

dw bz a d bc

cw a

18

两个分式线性映射的复合 , 仍是一个分式线性映射 . 例如

( 0),

' '( ' ' ' ' 0),

' '

( ) ( )( ' ' ' ') 0

w

z

z

az bw

cz dad bc

则

式中

19

也可将一般的分式线性映射分解为一些简单映射的复合 ,

),(,

,1

,

.1

2

121

为常数

则令

BABAw

w

20

由此可见 , 一个一般形式的分式线性映射是由下列三种特殊映射复合而成 :

zw

azw

bzw

1)iii

;)ii

;)i

下面讨论三种映射 , 为了方便 , 暂且将 w 平面看成是与 z 平面重合的 .

21

i)w=z+b. 这是一个平移映射 . 因为复数相加可以化为向量相加 , z 沿向量 b 的方向平移一段距离 |b

| 后 , 就得到 w.

O

(z)(w)

z

wb

22

ii) w=az, a0. 这是一个旋转与伸长 ( 或缩短 ) 的映射 . 设 a=ei 将 z 先转一个角度 , 再将 |z|

伸长 ( 或缩短 ) 倍后 , 就得到 w.

O

(z)=(w)

z

w

23

1. 保角性

2

1 1 1iii) ,

0, , .

0 , 0,

, 0

0 , 1/

. 1/

.

w wz z z

z z

z w z w

z

w z

z

首先讨论 这时

当 时是解析函数因此是保形映射而当 时 时 对这两点作保形映射的补充规定任何穿过 点的两条曲线在 点的夹角就是 在无穷远处的两条曲线的夹角则 在整个扩充复平面是保形的

分式线性映射的几何性质

24

而 i) 与 ii) 是平移，旋转和伸缩变换显然是保形的，所构成的复合映射 w=az+b 在整个扩充复平面上是保形的 , 而分式线性映射是上述三种映射复合而构成的 , 因此有

定理一 分式线性映射在扩充复平面上是

一一对应的 , 且具有保角性 .

25

2. 保圆性映射 w=az+b 和 w=1/z 都具有将圆周映射成圆周的特性 , （这里将直线看作是无穷大半径的圆）这种性质称作保圆性 . 映射 w=az+b 显然具有保圆性 ,

下面说明 w=1/z 具有保圆性 .

2 2 2 2

2 2 2 2

1,

,

,

z x iy w u ivz

x yu v

x y x y

u vx y

u v u v

令

则

或

26

因此 , 映射 w=1/z 将方程 a(x2+y2)+bx+cy+d

=0

变为方程 d(u2+v2)+bucv+a=0 。 当 a0,d0 ：圆周映射为圆周 ;

当 a0,d=0 ：圆周映射成直线 ;

当 a=0,d0 ：直线映射成圆周； 当 a=0,d=0 ：直线映射成直线 .

这就是说 , 映射 w=1/z 把圆周映射成圆周 .

或者说 , 映射 w=1/z 具有保圆性 .

27

根据保圆性 , 在分式线性映射下 , 如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点 , 则它就映射成半径为有限的圆周 ; 如果有一个点映射成无穷远点 , 它就映射成直线 .

定理二 分式线性映射将扩充 z 平面上的圆周映射

成扩充 w 平面上的圆周 , 即具有保圆性 .

28

圆周的对称点

OPOP'=r2,

因为 OP'T 相似于 OPT. 因此 ,

OP':OT=OT:OP, 即 OPOP'=OT2=r2.

C

PP'

r

T

O

P 与 P' 关于圆周C 互为对称点

29

1 1

1 1

1 1

1 1iii) ,

1 1( , , 1 )

1, | | 1

,

. .

i i

w w w wz z

z re w e z w rr r

z w z zz

w w

w

要从 作出 应先作出点 关于圆周

对称的点 然后再作出点 关于实轴对称的点即得

z

w1

w 1

对称点的特性 C

0z.

1z.

2z.

,: 0 的一对对称点RzzC

, 21 是关于圆周设 zz

.,0 zz 切点为的切线作从 .20 的割线是显然 zz

01022

0 zzzzzz 因为

.0 Rzz 所以

. , : 的半径的切线就是且上在即 CCz

z.

,2R

.正交与因此 C ,反之

, 21 正且与是经过设 Czz

,交的任一圆周

,处正交在交点与又因 zC

( 21 半径为无的特殊情形的直线是与显然过 zz

., 0zC 因而必过正交其必与穷大),

. 0 的切线就是的半径因此 zzC

C

0z.

1z.

2z.

z.

结论

: , 021 的一对对称点的是关于圆周 RzzCzz

. , 21 正交与的任何圆周经过 Czz 充要条件是 :

,20102 Rzzzz 则

.21 的一对对称点是关于圆周与即 Czz

33

z1,z2 是关于圆周 C 的一对对称点的充要条件

是经过 z1,z2 的任何圆周都与 C 正交 .

C

R

z0 z1z2

z'

3. 保 对称点性

即分式线性映射具有保对称性 .

定理三

. 的一对对称点的象曲线 C

, , 21 也是关于它们的象点在分式线性映射下 ww

, , 21 那么的一对对称点是关于圆周设点 Czz

证 ,: 21 的圆周与经过设 zz

,: 21 的任一圆周与经过 ww

分式线性映射

,, 角性而分式线性映射具有保正交与因为 C

. )( 必正交的象与所以 CC

., 21 的对称点是一对关于与因此 Cww [ 证毕 ]

36

§3 唯一决定分式线性映射的条件

分式线性映射dczbaz

中含有四个常数 a,b,c,d. 但是 , 如果用这四个数中的一个去除分子和分母 , 就可将分式中的四个常数化为三个常数 . 所以 , 上式中实际上只有三个独立的常数 . 因此 , 只需给定三个条件 , 就能决定一个分式线性映射 .

37

定理 在 z 平面上任意给定三个相异的点

z1,z2,z3, 在 w 平面上也任意给定三个

相异的点 w1,w2,w3, 则存在唯一的分

式线性映射 , 将 zk(k=1,2,3)依次映射

成 wk(k=1,2,3).

一、分式线性映射的确定

38

[ 证 ] 设 ( 0 )a z b

w a d b cc z d

, 将 z k ( k = 1 , 2 , 3 )

依 次 映 射 成 w k ( k = 1 , 2 , 3 ) , 即

. ( 1 , 2 , 3 )kk

k

a z bw k

c z d

因 而 有( ) ( )

, ( 1 , 2 )( ) ( )

kk

k

z z a d b cw w k

c z d c z d

及 33

3

( ) ( ). ( 1 , 2 )

( ) ( )k

kk

z z a d b cw w k

c z d c z d

39

由此得

3 2 3 21 1

2 3 1 2 3 1

. (6.3.1)w w z zw w z z

w w w w z z z z

这就是所求的分式线性映射 . 如果有另外一个分式线性映射 , 也把 z 平面上三个相异点 z1,z2,z

3依次映射成 w 平面上的三个相异点 w1,w2,w3, 则

重复上面的步骤 , 消去常数后 , 最后得到的仍然是 (6.3.1) 式 . 所以 (6.3.1) 式是由三对相异的对应点唯一确定的分式线性映射 .

40

, .

1 1i i

2 2

11 2

2

w-w z-z若f z =w i =1, 2 ,则 =k (k-待定复常数)w-w z-z

z-z进一步 ,若f z =0, f z = 则w=kz-z

3 2 3 21 1

2 3 1 2 3 1

. (6.3.1)w w z zw w z z

w w w w z z z z

?,

,

应该怎么办现如果在三对点中出在求分式线性映射时

.1代替的因式用数字将含有

41

现在研究 , 在给定两个圆周 C 与 C‘, 在圆周上分别取定三个点 , 必能找到一个分式线性映射将 C 映射成C’ . 但是这个映射会将 C 内部映射成什么呢 ?

二、分式线性映射对圆域的映射

42

1. 问题 : 圆域内部被映射成什么区域 ?

CC

..

, 21 内任意两点为Czz

1z.2z

.

1w

2w

.

..Q

.,, : 212121 内部在外部在且圆弧假设 CwCwwwzz

上某点上某点

C

zzQ 21

与一一对应性相矛盾 .

结论 : 在分式线性映射下 , C的内部不是映射成 . 的外部的内部便映射成 CC

43

z1z2

z

z3

w1

w2

w3 w1

w2

w3

w

w

方法 1 ：如果在 C 内任取一点 z0, 而点 z0 的象在 C‘ 的内部 , 则 C 的内部就映射成 C’ 的内部 ; 如果 z0 的象在 C‘ 的外部 , 则 C 的内部就映射成 C’ 的外部。

判别方法 :

44

z1z2

z

z3

w1

w2

w3 w1

w2

w3

w

w

方法 2 ：若在 C 上取定三点 z1, z2, z3, 它们在 C‘ 的象分别为 w1,w2,w3. 如果 C依 z1z2z3 的绕向与 C’依 w1

w2w3 的绕向相同 , 则 C 的内部就映射成 C‘ 的内部 , 否则映射成 C’ 的外部。

45

2. 分式线性映射对圆弧边界区域的映射 :

这二圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所围成的区域 .

2) 当二圆周上有一点映射成无穷远点时 ,

3) 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时 ,

这二圆周的弧所围成的区域映成角形区域 .

1) 当二圆周上没有点映射成无穷远点时 ,

这二圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域 .

根据前面的讨论可知

46

例1 中心在z=1与z1, 半径为2的二圆弧所

围区域, 在映射zi

wzi

下映射成什么区域?

x1

i

i

1

C1C2

y

(z)

O

47

[ 解 ] 所设的两个圆弧的交点为 i 与 i, 且相互正交 . 交点 i 映射成无穷远点 , i 映射成原点 . 因此所给的区域经映射后映射成以原点为顶点的角形区域 , 张角等于 /2.

.22

)21()21(

12

12

,121

i

i

iw

zC 对应点是与正实轴的交点取

此点在第三象限的分角线 C1' 上 . 由保角性知 C2 映

射为第二象限的分角线 C2.

48

映射的角形区如图所示

x1

i

i

1

C1C2

y

(z)

O

C2'

C1'

O u

v

(w)

49

例 2 求将上半平面 Im(z)>0 映射成单位圆 |w|<1 的分式线性映射 .

O 1-1 x

y

O 1-1 u

i

v(z)(w)

50

[ 解法一 ] 在 x 轴上任意取定三点 :z11, z2=0, z3=

1使它们对应于 |w|=1 上三点 :w1=1, w2=i, w31,

则因 z1z2z3 跟 w1w2w3 的绕向相同 , 由 (6.3.

1)6.3.1)式得所求的分式线性映射为

.1101

01

1111

zzi

iww

(6.3.2)1

z i z iw i

iz z i

化简后即得

51

注意 : 如果选取其他三对不同点 ,势必也能得出满足要求的 , 但不同于 (6.3.3) 的分式线性映射 .

此可见 , 把上半平面映射成单位圆的分式线性映射不是唯一的 , 而是有无穷多 . [ 解法二 ] 将上半平面看成半径为无穷大的圆域 ,

实轴就是圆域的边界圆周 . 因为分式线性映射具有保圆性 , 因此它必能将上半平面 Im(z)>0 映射成单位圆 |w|<1. 由于上半平面总有一点 z= 要映成单位圆周 |w|=1 的圆心 w=0,

52

,

, 0

| | 1 .

,

.

z z

w w

w

z

w

实轴要映射成单位圆而 与 是关于实轴的一对对称点 与 是与之对应的关于圆周 的一对对称点所以根据分式线性

映射具有保对称点不变的性质知 必映成

从而所求的分式线性映射具有下列形式 :

.

zz

kw 其中 k 为常数 .

53

| | | | , | | 1

, 1, | | 1, e ,

.

i

zw k z w

z

zk k

z

因为 而实轴上的点 对应着

上的点这时 所以 即 这里

是任意实数因此所求的分式线性映射的一般形式为

反之 , 形如上式的分式线性映射必将上半平面 Im(z)>0 映射成单位圆 |w|<1. 因为当 z 取实数时 ,1|e|e||

zz

zz

w ii

e ,(Im( ) 0) (6.3.3)i zw

z

54

即把实轴映射成 |w|=1. 又因为上半平面中的 z=

映射成 w=0, 所以 (6.3.3)必将 Im(z)>0 映射成 |w|<1.

6.3.3 ,2

i 当（ ）中取 时即得解法一的结果：

.z i

w iz i

6.3.3 , 0i 当（ ）中取 时即得：

.z i

wz i

55

.,11,1

,11,

∞

wiz

wz

映射成且使映射成使求分式线性映射例 3

,10 的对称点是关于圆周与因为 www

,1

111

iziz

的对称点为关于圆周又

称点的性质知据分式线性映射不变对

解 1 利用分式线性映射不变交比和对称点

56

iz

iw 1,,

11

,1),,0,1(

ii

i

iz

zww

11

1

11

1111即 ,

1izzi

z

.)1(

1)1( 为所求所以iz

ziw

).1(1

10

wiz

izzw 对应平面上的逆象为在

由交比不变性知

57

解 2

,,1 wiz 时因 ,)1( iz

bazw

所以

,1,1 wz 时又

由对称点的不变性知， ,01

1

w

iz 对应

,1,1 iab 故

.)1(

1)1()1(1)1( 为所求所以

izzi

izzi

w

利用不变对称点

,bai 故

58

解 3

将所求映射设为z

zew i

1

,1 zz

A

,,1 wiz 时因为 ,0)1(1 i所以

,1

1,

11

ii

,1,1 wz 时又 ,11

iA

所以

zi

iziw

11

1

11

故

利用典型区域映射公式

.)1(

1)1( 为所求iz

zi

59

且满足条件映射成求将 22 0)Im( iwz

.2π

)2(arg,2)2( 的分式线性映射 iwiiw

分析 :22 0)Im( 可考虑映射成为将 iwz

)(z

o

.o

)(

上半平面0)Im( z

单位圆域1z

单位圆域22 iz

. i2

o

)(w

例 4

60

平移伸长

解 如图示)(z

o

. i2o

)(

iziz

22

)(2 iw

o

)(w

.

izz

iw22

)1(2

则所求映射为 :

.

. i2.

61

另解 如图示 :

iziz

e i22

22iw

0)2( i

iziz

eiw i

22

22

所以

. 41

2)2(i

eiw i由此得

)(z

o

.o

)(

.

o

)(w

. i2

..

62

.0从而得

,2π

)2( iw由于已知

于是所求的映射为 ,22

22

iziziw

. 22

)1(2iz

ziw

或

,2π

)2(arg iw

63

例 5 求将单位圆 |z|<1 映射成单位圆 |w|<1 的分式线 性映射 .

x1

y(z)

O O u

v

(w)

1

1

64

[ 解 ] 设 z 平面上单位圆 |z|<1 内部的一点映射成w 平 面上的单位圆 |w|<1 的中心 w=0. 这时与1

| | 1

( 0 ). ,

1, 0, , .

z

w w

z w z w

点 对称于单位圆周 的点 应该被映射成

平面上的无穷远点即与 对称的点 因此

当 时 而当 时 满足这些条

件的分式线性映射具有如下的形式

,1

'11

zz

kz

zk

z

zkw

kk '其中

65

由于 z 平面上单位圆周上的点要映成 w 平面上单位圆周上的点 , 所以当 |z|=1,|w|=1. 将圆周 |z|=1 上的点 z=1代入上式 , 得

|,1||1|

1||11

|'|

又因

wk

所以 |k'|=1, 即 k'=ei. 这里是任意实数 .

因此 , 将单位圆 |z|<1 映射成单位圆 |w|<1 的分式线性映射的一般表示式是

e . (| | 1) (6.3.5)1

i zw

z

66

.1e

e

e1

ee||

i

i

i

iiw

反之 , 形如上式的映射必将单位圆 |z|<1 映射成单位圆 |w|<1. 这是因为圆周 |z|=1 上的点 z=ei ( 为实数 ) 映射成圆周 |w|=1 上的点 :

同时单位圆 |z|<1 内有一点 z= 映射成 w=0. 所以 (6.

3.5)必将单位圆 |z|<1 映射成单位圆 |w|<1.

67

例 6 求将单位圆映射成单位圆且满足条件 w(1/2)=0, w'(1/2)>0 的分式线性映射 .

2

1

2

1 1 11 11 42 2 22e , e e

1 2 311 12 2

i i i

z

z zzw w

z z

[ 解 ] 由条件 w(1/2)=0知 , 所求的映射要将 z=1/2

映射成 |w|<1 的中心 . 所以由 ((6.3.5) 得

68

1 1 1arg , 0 , arg 0,

2 2 2

12 120. .

1 212

w w w

z zw

zz

故 由于 为正实数从而

即 所以所求映射为

69

§4 几个初等函数所构成的映射

1. 幂函数 w=zn(n2 为自然数 ) 在 z 平面内处处可导 , 它的导数是 1d

,d

nwnz

z d

0.d

w

z因而当 z0 时 ,

所以 , 在 z 平面内除去原点外 , 由 w=zn 所构成的映射处处保形 .

,n

nw zi i r

z re w en

圆周 圆周；射线 射线。

映射的特点是 : 把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域 , 但张角变成了原来的 n

倍 .

2π

0 角形域 0

nθθ 0 0 n角形域

.

0

倍来的射变为原处角形域的张角经过映即在

n

z

) 0 ) 0n0

)(w

0

)(z

.0 ,2 , 处没有保角性在映射时当因此 zzwn n

一般，

71

0

)(z

特殊地 :

π2

0 n

角形域 π20 角形域

) n2

00 映射成正实轴的上岸

π2π2

映射成正实轴的下岸n

上岸)(w

0

沿正实轴剪开的 w平面下岸

72

0 0 0

2: 0 0 ( )n

n

n

n n

根式函数z= w

于是w=z和z= w的映射特点是扩大与缩小角形域。

例 1 求把角形域 0<arg z</4 映射成单位圆 |w|<1 的

一个映射 .[ 解 ] =z4 将所给角形域 0<arg z</4 映射成上半平面 Im()>0. 又从上节的例 2知 , 映射

4

4

| | 1.

.

iw w

i

z iw

z i

将上半平面映射成单位圆 因此

所求映射为

73

(z)

O4

O

()

1

(w)

z4

ii

w

iz

izw

4

4

40 arg 0 1.4

iz z Im w w

i

��������������

��������������

74

0 12 1

0 arg2

zw

z

例 求 映为单位园 的一个映射.

2

2

22

2

22

2

0 10 1

0 arg0 arg2

Im 01Im 0

Re 01

1

11 .

1

1

zz

z

tt s t s

t

zi

zs iw w w

s i zi

z

��������������

����������������������������

��������������

解：

75

例 3 求把下图中由圆弧 C2 与 C1 所围成的交角为

的月牙域映射成角形域 0<arg w<0+ 的一个映

射 .

0

(w)

O1

C1 C2

(z)

O

i

i

76

O

()

0

(w)

O1

C1 C2

(z)

O

i

i

iziz

i 0eiw

iziz

ewi )

2( 0

1

77

[ 解 ] 令 C1,C2 的交点 z=i 与 z=i 分别映射成平面中的

=0 与 =, 将所给月牙域映射成平面中的角形域的映射是具有以下形式的分式线性函数 :

iziz

k 其中 k 为待定的复常数 .

1

11 1 1

1

, .

iz k ik k i

i

z ii C

z i

令 。

这样 就把 映射成 平面上的正实轴

00

( )2

, 0 arg .

.ii z i z i

w ie ez i z i

根据保角性 所给的月牙域映射成角形域

由此得所求的映射为

2. 指数函数 zew

)( zew因为

, , iewiyxz 设 , , ye x 那末

平面z 平面wzew wz ln

,0 ze

.的共形映射平面上所构成的映射是一个全所以由 zew

常数直线 x 常数圆周

0

)(z

0

)(w

1)

常数直线 y 常数射线 0

)(z

0

)(w

2)

0

)(z

0

)(z

)(w

0

0

)(w

特殊地 :

az )Im(0 )3 带形域)20( a

aw arg0 角形域

ai

i2

映射特点

81

由指数函数 w = e z 所构成的映射的特点是 : 把水平的带形域 0<Im(z)<a(a) 映射成角形域 0<arg

w<a. 例 4 求把带形域 0<Im(z)< 映射成单位圆 |w|<1的

一个映射 . w=e zi

wi

e

e

z

z

iw

i

zi

82

( )A ( )C

2

2

2 1

2 1

z izw

z iz

O

( )

1 1( )

2z

z

iw

i

O

( )

( )A( )C

O

( )w

( )A( )C

O

( )z

( )A

( )C

例 5 把上半单位圆 |z|<1, 0<Im(z) 映射成单位圆 |w|<1 的映射

83

例 6 求映射把如图所示的半带状域映成上半单位圆。

i z

i

z

1-1

i

t

1-1

i wt e w t

zw e

84

O

(z)

a b

(w)

O

i()

O

πt

b a

w=e

π( )

iz a

b aw e

O

(s)

b-a

s z a t is

例 7 求把带形域 a<Re(z)<b 映射成上半平面 Im

(w)>0

的一个 映射 .

O

(t)(b-a)i

85

例 8 求把具有割痕 Re(z)=a, 0Im(z)h 的上半 平面映射成上半平面的一个映射 .

xO

y (z)

C(a+ih)

B Da O u

v (w)

ah a a+hB C D

86

xO

y (z)

C(a+ih)

B Da O u

v (w)

ah a a+hB C D

O

(z1)

CB D

ih

h2

C O B

D(z2)

CO Bh2

D(z3)

O

(z4)

CB Dh +h

z1=za

z2=z12

z3=z2+h2

34 zz

w=z4+a

ahazw 22)(

87

[ 解 ] 不难看出 , 解决本题的关键显然是要设法将垂直于 x 轴的割痕的两侧和 x 轴之间的夹角展平 . 由于映射 w=z2 能将顶点在原点处的角度增大到两倍 , 所以利用这个映射可以达到将割痕展平的目的 .

首先 , 把上半 z 平面向左平移一个距离 a:z1=za.

第二 , 由映射 z2=z12, 得到具有割痕 -h2Re(z2)<+

,

Im(z2)=0 的 z2 平面 .

第三 , 把 z2 平面向右作一距离为 h2 的平移 : z3=z2

+h2,

便得到去掉了正实轴的 z3 平面 .

4 3 4, , .z z z第四通过映射 便得到上半 平面

88

2 2

:

( )w z a h a

把所有的映射复合起来就得到所求出映射

4

4

, :

, .

z a

w z a w

最后把 平面向右作一距离为 的平移

便得到 平面中的上半平面