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第六章气体动理论基础第六章气体动理论基础§6-1 平衡态温度状态方程§6-2 理想气体压强公式§6-3 温度的统计解释§6-4 能量均分原理内能§6-5 麦克斯韦速率分布律§6-6 玻尔兹曼分布律§6-7 平均碰撞次数平均自由程

2


§6-1§6-1 平衡态　温度　状态方程平衡态　温度　状态方程一、热力学系统平衡态

1 、热力学系统

★ 热力学系统分类根据系统与外界交换能量或物质的特点，可以分为三种：

(1) 孤立系统－－与外界既无能量交换，又无物质交换的系统(2) 封闭系统－－与外界只有能量交换，但无物质交换的系统(3) 开放系统－－与外界既有能量交换，又有物质交换的系统

　由大量微观粒子（分子、原子等微观粒子）所组成的宏观物体或系统。

２、平衡态指在不受外界影响（或不变的）的条件下，系统的宏观性质不随时间变化的状态称热平衡态。

3


系统在热平衡时，系统内任一宏观体元均处于力学平衡、热平衡、相平衡中。

※ 从微观的角度应理解为动态平衡态

※ 若在我们所讨论的问题中，气体活动的高度空间不是很大，即重力加速度随高度的变化可以忽略，则在达热力学平衡态时，上述宏观量不仅是稳定的（指不随时间变化）还是均匀的（即不随位置变化）。

※ 平衡态是一种是理想概念

※ 处于热平衡态时，系统的宏观属性具有确定的值。因此可以用一些确定的物理量来表征系统的这些宏观属性。用来描写热平衡态下各种宏观属性的物理量叫系统的宏观参量。

4


我们可以从这些参量中，选取不多的相互独立的几个物理量作为描述系统热平衡态的参量，叫系统的状态参量。　　

主要的参量有：几何参量，力学参量，热学参量，化学参量，电磁参量 ; 体积 V ，压强 P ，热力学温度 T ，摩尔数 v 。

二、温度温标１、温度概念

温度是表征物体冷热程度的宏观状态参量。温度概念的建立是以热平衡为基础的。

5


A B A B

绝热壁导热壁

A B

C

A B

C

如果两个系统分别与第三个系统达到热平衡，那么，这两个系统彼此也处于热平衡。这个结论称热力学第零定律。

6


处在相互热平衡状态的系统必定拥有某一个共同的物理性质，我们把描述系统这一共同宏观性质的物理量称为系统的温度。２、温标　温度计

温度计要能定量表示和测量温度，还需要建立温标　──即温度的数值表示法。

其一、要选定一种合适物质（称测温质）的测温特性；其二、规定测温质的测温特性与温度的依赖关系（线性）；其三、选定温度的标准点（固定点），并把一定间隔的冷热程度分为若干度。

※ 主要有三个步骤

温度计 : 即测温的工具。

7


３、热力学温标

规定水的三相点（水，冰和水蒸汽平衡共存的状态）为 273.16K 。

　一种与测温质和测温特性无关的温标。开尔文（ lord Kel

vin ）在热力学第二定律的基础上建立了这种温标，称热力学温标。

例如，（一个大气压下）　对水的冰点，华氏温标为 32F0 ，攝氏温标为 0C0,

对水的沸点，华氏温标为 212F0 ，攝氏温标为 100C0 。

由热力学温标可导出摄氏温度Ｔ＝ t ＋２７３ . １５

※ 选用不同的测温物质或不同的测温特性，测量同一系统所得的温度数值，一般情况下并不完全相同。

8


三、理想气体及其状态方程1 、理想气体

2 、理想气体的状态方程热平衡态下，系统各个状态参量之间满足一定的关系，这样的关系叫系统的状态方程

。。

弹性碰撞分子与器壁间碰撞视为,分子间,忽略分子间作用力:从微观定义

理想化三大实验定律所得结论P ,不太高ρ ,不太大,在室温下:从宏观定义

克拉珀龙方程 RTM

MPV

mol

式中Ｒ是气体普适常量，在ＳＩ中Ｒ＝ 8.31 (J·mol-1·K-1),

Mmol 是气体的摩尔质量。

过程方程 2

22

1

11

T

VP

T

VP

9


３、状态图（Ｐ－Ｖ图、Ｐ－Ｔ图、Ｖ－Ｔ图）

气体的平衡态除了可用一组状态参量来描述，还可用状态图来表示，而一组状态参量在状态图中对应的是一个点。不同的状态在状态图中对应点不同。

在状态图中，一条光滑的曲线代表一个由无穷多个平衡态所组成的变化过程，如右图所示。

111TVPA ,,

222TVPB ,,

Ｐ

Ｖ０曲线上的箭头表示过程进行的方向。

由于非平衡态不能用一组确切的状态参量来描述，因此在状态图中，非平衡态过程也就无法找到相应的过程曲线与之对应。

10


§6-2 §6-2 理想气体压强公式理想气体压强公式

一、理想气体分子的微观模型

3 、分子间，分子与器壁间的碰撞是完全弹性的，遵守动量和能量守恒定律。

即：理想气体分子可看作彼此间无相互作用的遵守经典力学规律的弹性质点。

1 、分子可以看作质点。（除特别考虑）

2 、除碰撞外，分子之间，分子与器壁不计相互作用力。

11


二、气体分子的统计假设每个分子运动具有偶然性，然而正是由于每个分子的偶然性，才使得大量分子运动出现了规律性。这种规律性具有统计平均意义，称为统计规律性。

　在平衡态，当重力的影响可以忽略时，容积内各处的压强、密度、温度都相同，而分子始终在作无规则的热运动，故我们可以认为：

6

1(1) 每个分子向各个方向运动的机会均等（）；　

6

N(2) 对于大量分子，向各个方向运动的分子数平均相等 ( )；

12


以上就是用统计平均的观点所得出的气体分子的性质。

(4) 每个分子运动速度不尽相同，由于分子不停地发生碰撞而发生变化，因而分子具有各种可能的速度。对于全同分子，不会因碰撞而丢失具有某一速度的分子。

2222

3

1vvvv zyx

例如： 2222zyx vvvv

(3) 分子速度在各个方向上的分量的各种平均值平均相等；

13


三、压强的统计解释

设器壁光滑，考虑速度为vi 的分子 , 现讨论其对于Ａ１

面的碰撞。iv

xv

yv

zv

x

y

z

1l

2l

3l

1A2

A

0

设一容器，边长为 1 、 2 、 3 ，内有Ｎ个分子。

ixixixixmvmvmvP 2 )(对于 i分子：

１、先考察一个分子（例如 i 分子）一次碰撞中给予器壁 A1

的冲量

ixmv2由牛顿第三定律， i 分子给予器壁的冲量为

14


２、 i 分子在单位时间内施于 A1面的平均冲力

i分子单位时间内与 A1面碰撞的次数为 1

2l

vix

则 i 分子单位时间内施于 A1面的总冲量（冲力）为

122

l

vmv ix

ix 力）秒次

秒其量纲关系为（力

３、所有分子在单位时间内对器壁的冲力──对 i求和

2

1 11 ix

N

iA v

l

mF

222

21

1

2Nxxx

N

iix vvvv

N

vvvv Nxxxx

222

212

故若令表示分子在 X 方向速率

平方的平均值，

2

1

1ixmv

l

N

iixvl

m

1

2

1

15


2

1

2

x

N

iix

vNv

那么

于是所有分子在单位时间内施于 A1面的冲力为

2

1

xvN

l

m

N

iixix

N

iA v

l

mvl

mF

1

2

1

2

1 11

４、求压强的统计平均值

321lll

Nn 令 ──为分子数密度（即单位体积内的分子数）

又由统计平均的观点有 22

3

1vv

x

所以 2

3

1vnmP

32

1

ll

FP A由压强的定义 2

321xvmlll

N

)2

1(

3

2 2vmn

16


引入分子平均平动动能

2

2

1vmw

压强的微观解释 :

(2)气体压强是指：容器壁的单位面积上受到的大量分子碰撞冲力的时间平均值。

因此，对少量分子或个别分子上述公式不成立。

※ 气体压强与大气压强的区别：前者如上所述，后者则是空气重量所致。

wnP3

2

(1) 压强是对大量分子的分子数密度和分子平均平动动能的统计平均结果。 ---这就是宏观量 P与微观量之间的关系。w

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§6-3 §6-3 温度的统计解释温度的统计解释一、温度的统计解释

RTM

MPV

mol

RTMV

MP

mol

NmM mNM omol （ No 为阿伏加德罗常数）

RTmNV

NmP

0

1

理想气体方程 nkTP

oN

Rk 玻尔兹曼恒量

12323

1038.110022.6

31.8

KJk在ＳＩ中

TN

R

V

N

o

nkT

18


wnnkTP3

2 则有： KTw

2

3

KTvm2

3

2

1 2 或

w

１、温度是描述热力学系统平衡态的一个物理量。

２、宏观量温度 T 是一统计概念，

上式给出的是“动态”的含义，非平衡态系统不能用温度来描述。

是大量分子无规则热运动的集体表现，是分子平均平动动能的量度。

此即宏观量 T与微观量的关系，这说明

19


4 、温度所描述的运动是分子无规则运动（热运动，是相对质心参照系，平动动能是系统的内动能），

５、上式结果与分子的种类无关，即只要温度相同，则分子的平均平动动能就相同。

nKTP

6 、阿伏加德罗定律的一种表述，

即在相同的压强，相同的温度下，各种气体的分子数密度相同──这是一个很有用的公式

温度和系统的整体运动无关。

例如铜块中的自由电子在０Ｋ时平均平动动能为 4.23eV 。

3 、零点能的问题

20


二、气体分子的方均根速率

kTvm2

3

2

1 2

m

KTv

32

称之为气体分子的方均根速率。

molM

RT3

21


例 6-1 求００Ｃ时氢分子和氧分子的平均平动动能和方均根速率

解：已知Ｔ＝２７３ＫmolkgM H

31022

molkgMO31032

2

氢分子和氧分子的平均平动动能相等，均为

eVJ

kT

221

23

1053310655

273103812

3

2

3

..

.

氢分子的方均根速率

33

2 1084.1102

27331.833

2

2

H

H M

RTv

22


氧分子的方均根速率

23

0

2 1061.41032

27331.833

2

2

M

RTvo

23


例 6 － 2 　在一密闭容器中，储有 A、 B、 C三种理想气体，处于平衡状态。 A种气体的分子数密度为 n1 ，它产生的压强为 P1 ， B种气体的分子数密度为 2n1 ， C种气体的分子数密度为 3n1 ，则混合气体的压强 P为 (A)3P1 (B)4P1 (C)5P1 (D)6P1 答 [D]

RTPV 0/ NN RTN

NPV

0

RTN

nRT

VN

NP

00

RTN

nP

0

11 1

0

12 2

2PRT

N

nP

13 3PP

1321 6PPPPP

24


例 6 － 3 　在推导理想气体压强公式中，体现统计意义的两条假设是 (1) .

(2) .

沿空间各方向运动的分子数目相等

222zyx vvv

25


例 6 － 4 　推导理想气体压强公式可分四步：(1) 求任一分子 i 一次碰撞器壁施于器壁的冲量 2mvix ；(2)求分子 i 在单位时间内施于器壁的冲量的总和（ m/l1 ） (vix)

2

(3)求所有 N 个分子在单位时间内施于器壁的总冲量 N （ m/l1 ）(vix)

2 ；(4)求所有分子在单位时间内施于单位面积器壁的总冲量—压强。

wnVlllmP ix

N

i 3

2)]/([ 2

1321

在上述四步过程中，哪几步用到了理想气体的假设？哪几步用到了平衡态的条件？哪几步用到了统计平均的概念？ (l1 、 l2 、l3 分别为长方形容器的三个边长 )

答： (1),(2),(3) 用到了理想气体的假设 ,

(2),(4) 用到了平衡态的条件，(4) 用到了统计平均的概念。

26


§6-4 §6-4 能量按自由度均分原理内能能量按自由度均分原理内能一、自由度１、什么叫自由度：决定一个物体在空间位置所需的最少的独立坐标数。

x

y

z 0

zyxP ,, 例如，一个自由质点的自由度是 3──

3 个平动自由度

27


X

Y

Z

A

B

C

应用程序

一个自由刚体的自由度是 6

－－ 3个平动自由度，以确定质心的位置；

－－ 3 个转动自由度，以确定轴和绕轴转动的角度。

　注意：当物体运动受到一定限制或约束时，自由度减少。

结论：一个自由度对应着一个独立的坐标，表明一种独立的运动。

28


X

Y

Z

X

Y

Z

C

c

理想气体的刚性分子A ：单原子分子 ----3 个自由度（视作质点）B ：双原子分子

决定质心 ----3 个自由度确定转轴方位 ----2 个自由度

),,( 中的两个

C ：三原子以上的分子6个自由度 ---- 视为刚体

实际气体 ---不能看成刚性分子，因原子之间还有振动。

5i

２、气体分子的自由度──与气体分子的结构有关

6i

29


二、能量按自由度均分原理

kTvm2

3

2

1 2 2222

3

1vvvv zyx 而

)2

1(

3

1

2

1

2

1

2

1 2222 vmvmvmvm zyx

1 、分子的平均平动能平均地分配在每一个平动自由度上，且每一个平动自由度上的平均平动能的大小都是 (1/2)kT。

之所以会出现上述结果，是因为分子无规则热运动，相互碰撞后达热平衡的结果。

)2

3(

3

1kT kT

2

1

30


2 、能均分原理

上述结果可推广到转动和振动自由度（这是因为他们之间都能通过碰撞而交换能量）。即得：

　在平衡态下，分子无规则热运动碰撞的结果，使得没有那一个自由度上的能量比其它自由度上的能量更占优势。

在平衡态下，气体分子的每一个自由度的平均动能相等，每一个自由度的能量均为。 kT

2

1

这就是能均分原理3 、气体分子的平均总动能，气体分子的热运动能量（ 1 ）一个自由度为 i的刚性分子所具有的平均总动能为

kTi

k 2

31


单原子分子 kTk 2

3 全为平均平动能

双原子分子 kTk 2

5 kT

2

3平均平动能为

平均平动能为多原子分子 kTk 2

6

平均转动能为

kT2

3

kT2

3

。

。

动动能和振动势能包括振动自由度上的振

还应其热运动能量,因其还有振动自由度,对于非刚性分子

就是分子的热运动能量,分子的平均总动能,对于刚性分子

)2(

32


三、理想气体分子的内能１、什么是内能：内能是指系统内所有分子的热运动能量和分子间相互作用势能之总和。

２、内能是态函数

３、理想气体内能

（１）由于理想气体不计分子间相互作用力，因此理想气体的内能仅为热运动能量之总和。

是热力学状态参量 P、 V、 T的函数，即Ｅ =Ｅ（ P、 V、 T），是相对量。──因为状态参量是相对量。

33


（２）设热力学体系内有 N 个刚性分子，则 N 个分子的平均总动能的总和──即内能为

kTi

NE2

由于我们只讨论刚性分子，所以理想气体刚性分子的内能只是：所有分子的平均总动能之总和。

RTi

M

ME

mol 2

kTNi

mN

Nmo

o 2 RT

i

M

M

mol 2kT

iNE

2

34


(I) 这说明理想气体的内能仅为温度的单值函数，因此当理想气体的状态发生变化时，其内能的增量仅与始末状态的温度有关，而与过程无关，即

TRi

TRi

M

ME

mol

22

(II) 　单原子气体

双原子气体

多原子气体子

RTE2

3

RTE2

5

RTE2

6

35


§6-5 §6-5 麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速率分布律 * 几个概念的说明：

1 、概率

（ 1 ）离散型随机变量的概率（如掷骰子）—等可能事件的概率

N所有可能的试验结果数

mA有利于的结果数AP事件 A出现的概率

（ 2 ）连续型随机变量的概率（如麦克斯韦速率分布）随机变量在 X+dX 间隔内的概率 dXXXdP

（ X ）称之为随机变量 X 的概率密度。概率具有以下性质

（ 1 ）概率的取值域为 0≤P （ A ）≤ 1 ；（ 2 ）各种可能发生事件的概率总和等于 1 ，即

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考虑事件的统计规律时，个别事件的偶然性和其自身所遵从的规律退居次要地位，而且一般说来，不可能从个别事件所遵从的规律导出其所遵从的统计规律。

对于随机变量，则为 1

dXX

1

所有可能的试验结果

的结果数iA于i有利

iiAP

此式称为概率归一化条件。

2 、统计分布律一种对于大量偶然事件的整体起作用的规律。

3 、概率和统计值都遵从涨落规律

37


一、气体分子的速率分布函数

如果我们将气体分子在平衡态下，所有可能的运动速率 ( 在经典物理中为 0→) ，按照从小到大的排列，分成一系列相等的速率区间，例如从：

0─ 100m/s，100─ 200m/s，200─ 300m/s …，

（ i ）如果跟踪考察某些个别分子，在某一瞬间，到底在哪个速率区间内运动，那么，我们发现这种运动完全是偶然的，无规则的 ( 即随机的），毫无意义的。

对某一分子，其任一时刻的速度具有偶然性，但对于大量分子，其速率的分布从整体上会出现一些统计规律。

38


（ ii ）如果我们考察的对象，不是个别的具体的分子，而是大量分子的整体，例如我们考察：在某一平衡态下，分布在各个速率区间内的分子数Ｎ，占总分子数 N 的百分比──这时就会发现，它是存在确切的统计规律的，按照这个思路考虑下去，就可得到麦氏速率分布律。

１、麦克斯韦速率分布函数

将气体分子的所有可能的速率，按照从小到大分隔成一系列相等的速率间隔，即 v1v1+v, v2v2+v,…,然后考察分布在速率间隔 v+v 内的分子数 N占总分子数的百分比 N/N, 为了进一步消除速率间隔 v 的影响，将比值 N/N

除以 v, 即得 N/Nv 取极限，并令极限值为以 f(v) 表示，──其是速率 v 的确定函数。即

39


dv

dN

NvN

Nvf

v

10

lim)(

── 这就是麦氏速率分布函数。

１）速率分布函数的物理意义

一定质量的气体，在给定温度下，在平衡态时，

。单位速率间隔内的概率

v率附近其分子的速率分布在速,一个分子

总分子数的百分比

速率间隔内分子数占v分布在速率附近单位

或；

40


３）分布函数的归一化条件

dvvNfNv

v)(

2

1则

表示分布在 v1-v2区间内的分子数。

２）麦氏速率分布函数式：

2223

2

24 ve

kT

mvf kT

mv

/)()(

dvvNfdN )(：可得由dv

dN

Nvf

1)(

式中 m 是分子的质量，Ｋ是玻尔兹曼恒量。

41


2

1

)(v

vdvvf

N

N

10 　分布在 v1-v2区间内的分子数占总分子数的百分比

（或一个分子的速率处于 v 1→v2区间内的概率）

1)(00

N

dNdvvf

N

２０分布在 0→ 速率区间内所有的分子，其与总分子数的比值是 1 ，即

1)(0

dvvf

── 这就是分布函数的归一化条件的数学表示。

( 一个分子的速率分布在 0→ 的所有可能区间的概率当然是1)

42


二、麦氏速率分布曲线若以 v 为横轴， f （ v ）的值为纵轴，以分布函数作曲线，这就是麦氏速率分布曲线。

1 、图中小方块面积的物理意义

小方块的面积为 vvf )(

表示分子速率分布在 v附近， v～ v+ v△ 区间内的分子数占总分子数 N 的百分比，

)(vN

Nvf

v

f(v)

vp

N

N

43


2 、曲线下总面积

由小方块面积可知，曲线下总面积为

0)( dvvf

由归一化条件可知，曲线下总面积之总和为 1 ，是一个常数，虽然曲线形状与温度等有关，但总面积将保持不变。

3 、最概然速率vp 与气体分子速率分布曲线极大值对应的速率叫做气体分子的最概然速率 vp 。物理意义是：对所有相同的速率区间而言，速率在含有 vp区间内的分子数占总分子数的百分比最大。

或：气体分子的速率取 vp附近值的概率为最大。

44


三、分子速率的三种统计平均值1 、平均速率 v

N

v

v

N

i

将麦氏速率分布函数式代入得

dvvekT

mdvvvfv kT

mv3

0

223

0

2

24

/)()(

mkT

v8

N

vdN

0

N

dvvvNf

0)(

0

)( dvvvf

molM

RT

8

molM

RT60.1

45


2 、方均根速率

N

v

v

N

i

2

2

m

kTdvve

kT

mv kT

mv 3)

2(4 4

0

22/32

2

m

kTv

32

N

dNv

0

2

N

dvvNfv

0

2 )(

0

2 )( dvvfv

molM

RT3

molM

RT73.1

46


222/3

2

)2

(4 vekT

m

dv

d kT

mv

kT

mv

kT

mv

evkT

mvev

kT

m 2222/3

22

)2(2

2)2

(4

0|)2

1(2)2

(42

22/3

2

pvvkT

mv

kT

mvev

kT

m

m

kTvp

2

3 、最概然速率将函数 f(v) 对 v 求导得 0

pvvdv

df

molM

RT2

molM

RT41.1

47


以上各种速率各有用处，分布函数的特征由 vp 表示；讨论分子的平均平动能用 2v

讨论平均自由程用 v

（１）温度与分子速率

TvM

RTv p

molp 即2

f(v)

v

m 相同

( 设它们的温度分别为 73K,273K,1273K)

７３Ｋ２７３Ｋ

１２７３Ｋ

48


（２）质量与分子速率

mv

m

kTv pp

12 即

f(v)

v

T 相同 , m3<m2<m1

m1

m2

m3

49


例 6-5 试说明下列各式的物理意义

2

1

v

vdvvNf(1)

,dvvNfdN 2

1

v

vdvvNf

表示速率分布在区间内的分子数 21 vv N

2

1

2v

vdvvvf

表示速率分布在 v1→v2区间内的分子数对平均速率的贡献

2

1

3v

vdvvf

表示速率分布在 v1→v2区间内的分子数占总分子的百分比

N

dvvvNfv

v

2

1

N

N

50


例 6 － 6 已知麦克斯韦速率分布函数为 f （ v ）， vp 是分子的最可几速率，则表示 ; 速率 v>vp 的分子的平均速率表达式为。

pv

dvvf0

解 : (1) 表示速率分布在 0vp区间内的分子数占总分子数的百分比

p

p

v

vdvvf

dvvvfv2

51


例 6 － 7 　质量相等的氢气和氦气温度相同，则氢分子和氦分子的平均平动能之比为————，氢气和氦气的平动动能之比为—

———，两种气体的内能之比为———————。解：（ 1 ）平均平动能为　　

23kTw

（ 2 ）平动动能为

,2

3kTNEk

温度相同，∴其比为 1 ： 1

2

1

2

1

N

N

E

E

k

k 2

1

mol

mol

MM

MM

1:21

2 mol

mol

M

M

52


（ 3）内能之比为

RT

RT

U

U

mol

mol

MM

MM

23

25

2

1

2

1

3

5

1

2

mol

mol

M

M

3

52 3:10

53


例 6 － 8 　容器内储有 1 摩尔双原子理想气体，气体的摩尔质量为 Mmol ，内能为 E ，则气体的温度为———————，气体分子的最概然速率为——————————。气体分子的平均速率为———————。解：因为

R

ETRTE

5

2,

2

51

mol

p M

RTv

22

molM

RTv

8

3

molM

E

52

molM

E

54

54


例 6 － 9 　体积为 V 的房间与大气相通，开始时室内与室外温度均为 T0 ，压强均为 P0 ，现使室内温度降为 T ，则房中气体内能的增量是多少？摩尔数的增量是多少？（空气视为理想气体）。解：设初态房中气体质量为 M0 ，末态质量为 M ，又室内与大气相通，故过程中压强不变，则

RTM

MRT

M

MVP

molmol

00

0

00

22RTi

M

MRTi

M

ME

molmol

（ 1 ）即内能的增量为零。

molmol M

M

M

M 0

（ 2 ）摩尔数的增量为

02 0

0

RTM

MRT

M

Mi

molmol

0

00

RT

VP

RT

VP

0

0 11

TTR

VP

55


§6§6－６玻尔兹曼分布律－６玻尔兹曼分布律

一、麦克斯韦速度分布律前面讨论的分子速率分布未考虑分子速度方向，要找出分子按速度的分布，就是要找出速度分量在 vx～ vx +dvx ， vy～vy +dvy ， vz～ vz+dvz 区间的分子数占总分子数的百分比。

麦克斯韦推导出了速度分布律

)(22/3

222

)2

(),,(zyx vvv

kT

m

zyx ekT

mvvvF

zyx

vvvkT

m

dvdvdvekT

m

N

dN zyx )(22/3

222

)2

(

在速度空间单位体积元内的分子数占总分子数的百分比，即称之为气体分子的速度分布函数，为

56


vy

vz

vxo vy

vz

vxo

v

d

vdv

v

　下面的讨论将说明，麦克斯韦速率分布律只不过是较普遍的麦克斯韦速度分布律中的特殊情况。

为此，我们引入速度空间。即以 vx 、 vy 、 vz 为轴的直角坐标系所确定的空间。

　在速度空间里，每个分子的速度矢量都可用一个以坐标原点为起点的箭头所表示。　

速度分量限制在 vx vx+d vx 、 vy vy+d vy 、 vz vz+d vz区间内的分子，它们的速度矢量的端点即在体积元 d= d vx d vy d vz

内。

57


对于速率分布，限制在 v+dv 的分子，速度矢量的方向可任取，因此其矢量端点均落在半径为 v ,厚度为 dv的球壳层内。

　这个球壳层的体积即为 4v2dv(相当于 4r2dr)。即在速率空间中，速率区间体积元为 4v2dv,即

dvvd 24

以 d=4v2dv 代入气体分子的速度分布律

zyx

vvvkT

m

dvdvdvekT

m

N

dN zyx )(22/3

222

)2

(

58


2222zyx vvvv 并注意到　　　　　　　　，

则有

dvvekT

m

N

dN kT

mv

222/3

2

)2

(4

此即麦克斯韦速率分布律。

dvvfN

dN

dv

dN

Nvf ,

1

二、玻尔兹曼分布律麦氏速度分布律是在没有考虑外力场作用时的分布律，这时分子在空间的分布是均匀的，即气体分子的密度是均匀分布的 ( 既稳恒又均匀）。

59


zyx

kT

mv

dvdvdvekT

m

N

dN

223

2

2/)(

由麦氏速度分布函数

如果考虑外力场的作用（例如重力场、电场、磁场等），则在平衡态时，只是稳恒的而不再是均匀的。这时分子的分布除了考虑速度区间（ dvxdvy dvz ）外，还要了解在空间各处的分布将怎样变化，即分子在 x～ x+

dx ， y～ y+dy ， z～ z+dz区间内的分子数占总分子数的比率，即考虑位置区间（ dxdydz ）。

若引入平均平动动能表示式Emvk1

22 ，则上式可写成

60


zyx

kT

E

dvdvdvekT

m

N

dN k

23

2/)(

即：在没有外力场时，分子按速度的分布只与分子的动能有关。如果分子处于保守力场中，则应考虑在能量中还要包含有势能，即

pk EEE

由于势能函数一般说来是位置的函数，因此，这时分子数密度在空间的分布也将与位置有关。从某种意义上讲：

统计分布律。

子数密度在力场中的则是从能量角度讨论分,玻氏分布律

统计分布律。

的子数密度在没有力场时是从速度的角度讨论分,麦氏分布律

61


玻尔兹曼把麦氏速度分布推广由于势能函数一般说来是位置的函数，因此，这时分子数密度在空间的分布也将与位置有关。

dxdydzdvdvdvekT

mA

N

dNzyx

kT

EE pk

2/3)2

(

dxdydzdvdvdvekT

mCdN zyx

kT

EE Kp

2/3)2

(

kT

E

kT

EE

eeKp

称玻尔兹曼因子Ｃ＝ＡＮ比例常数

dxdydzdvdvdvekT

mCdN zyx

kT

E

2/3)2

(

上式为玻尔兹曼分布

62


1 、体积元 dV=dxdydz 内的总分子数

))2

(( 2/30

dekT

mdVendN kT

E

kT

Ekp

dvvekT

mdVendN kT

mv

kT

E p22

23

0

0/ 4

2

2

dvvd 24

因为在速率空间中有

所以，有

　如令 n0 表示势能 Ep=0 处单位体积内具有各种速度的分子总数，则在空间体积元 dxdydz 内的分子数，为

dxdydzdvdvdvekT

mndN zyx

kT

E

2/30 )

2(

即

63


dVendN kT

E p 0

表示在空间某位置（具有 Ep ）的体积元 dV ＝ dxdydz 内的总分子数。２、分子数密度按势能分布的规律

上式两边除以体积元 dV=dxdydz

kT

Ep

enn

0

即，单位体积元内具有各种速度的分子数，随势能 Ep 的增加而呈指数衰减。

0

1)( dvvf又

64


３、重力场中

★ 微观粒子按高度的分布重力场中，离零势能面为 z 的地方，其重力势能 mgz

kT

mgz

enn

0

上式可解释高空缺氧（因为）氧氢＜mm

RT

gzMmol

en

0

即，在重力场中，单位体积元内具有各种速度的分子数，随着高度的增加而呈指数衰减。

★ 气体压强随高度变化的规律：

nkTp kT

mgz

enn

0

65


kT

mgz

kTenP

0

kTnP 00 表示 z=0 处的压强， Mmol 为气体摩尔质量。

这说明大气压随高度按指数规律衰减。用测定大气压的方法测高度

0P

Pe RT

gzMmol

对气压公式两边取对数，得

P

P

gM

RTz

mol

0ln

因为

kT

mgz

eP

0RT

gzMmol

eP

0

66


★ 由于通常大气压并不是平衡态且气温也随高度变化，因此上述气压公式、高度公式都只是近似的，应用时应加以修正。

★ 压强公式还适用于浮悬在液体中的胶体微粒按高度的变化。计算表明，在高度不太大时，例如 z<10m 时，压强随高度变化不太显著。

　以装有氮气的 10 米塔为例，求在室温下顶部，底部压强比。

33

1010.130031.8

108.91028

RT

gzMmol

99890.031010.1

0

eeP

P RT

gzMmol

67


§6-7 §6-7 分子的平均碰撞次数及平均自由程分子的平均碰撞次数及平均自由程问题的提出

　前面已经说过：分子速率在几百米 / 秒的数量级，但为什么食堂炸油饼时并不能马上闻到油香味呢？

原来分子速率虽高，但分子在运动中还要和大量的分子碰撞。

68


一、分子的有效直径d

分子有效直径并非分子自身的线度，后者比 d小些。

d

　分子的一种最简单的模型：将分子看成是具有一定体积的弹性小球。　则分子的有效直径 d 定义为：两个分子质心之间所能允许的最小距离。

69


二、分子的平均自由程和平均碰撞频率１、自由程：

平均自由程：

２、碰撞频率：指一个分子在单位时间内与其它分子相碰的次数 Z 。

３、三者间的关系：vz,,)(

Tzv

由平均速度的定义有 z

v或

分子在连续两次碰撞之间所经历的直线路径

分子在连续两次碰撞之间所经历的直线自由程的平均值。

平均碰撞频率：一个分子在单位时间内受到的碰撞次数的平均值。z

70


三、决定和的因素： z

udnz 2

这样，在 A分子运动的路径上，凡分子中心与 A分子中心的距离小于或等于分子有效直径d 的分子都会与 A分子发生碰撞。为此我们以 A分子中心的运动轨迹为曲线，以分子直径d为半径，做一曲折圆柱体，那么，凡分子中心在圆柱体内的分子，都会与 A分子发生碰撞，

假定气体中只有一个分子（例如 A分子）以平均相对速率运动，而其它分子认为是静止不运动的。u

A

uu

71


理论证明：气体分子的平均相对速率与平均速率间有 u v

vu 2

vdnz 22

ndz

v22

1

n（１）这说明：平均自由程与分子数密度成反比。

（２）对于理想气体

kT

pnnkTp 即

72


说明 P

1 ，即真空度越高，越大。

的数量级是10-7m，是分子有效直径的1000倍。 z的数量级是109秒-1，即一秒种要碰撞几十亿次。

Pd

kT22

kT

Pvdz

22或

73


例 6 － 10 　在无外力场作用的条件下，处于平衡态的气体分子按速度分布的规律，可用 --------------------- 分布律来描述。如果气体处于外力场中，气体分子在空间的分布规律可用 --------------------- 分布律来描述。

麦克斯韦玻尔兹曼

74


例 6－ 11 　(1) 分子的有效直径数量级是 ________________

(2) 在常温下，气体分子的平均速率数量级是 __________

(3) 在标准状态下，气体分子的碰撞频率的数量级是 _______

T=300K

(`1) 10-10m

(2) 102~103m/smolM

RTv 6.1

(3) 108~109s-1

Pd

kT

z

v22

kT

Pvdz

22

把　　代入即可得到。PaP 51001.1 KT 273

75


例 6－ 12　气缸内有一定量的氢气（可视作理想气体），当温度不变而压强增大一倍时，氢气分子的平均碰撞次数　和平均自由程　的变化情况是

z

z

（ B）　和　都减为原来的一半；（ C）　增大一倍而　减为原来的一半；

（ A）　和　都增大一倍

（ D）　减为原来的一半而　增大一倍；

zzz

解 : 选 (C)

Pd

kT

z

v22

kT

Pvdz

22

76


例 6 － 12 　玻尔兹曼分布律表明在某一温度的平衡态　（ 1 ）分布在某一区间（坐标区间和速度区间）的分子数与该区间粒子的能量成正比。　（ 2 ）在同样大小的各区间（坐标区间和速度区间）中，能量较大的分子数较少，能量较小的分子数较多。　（ 3 ）在大小相等的各区间（坐标区间和速度区间）中比较，分子总是处于低能态的概率大些。　（ 4 ）分布在某一坐标区间具有各种速度的分子总数只与坐标区间的间隔成正比，与粒子的能量无关。（Ａ）只有 (1),(2) 是正确的；（ B ）只有 (2),(3) 是正确的；（Ｃ）只有 (1),(2),(3) 是正确的；（ D ）全部是正确的；

解 : 根据 dvdxdydzve

kT

mnn kT

E2

23

0 42

可知，只能选（ B ）。

第六章气体动理论基础 §6-1 平衡态温度状态方程 §6-2 理想气体压强公式...

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