動的計画法の基礎と応用～色々使える大局的最適化法

決して特別なものではなく身の回りにあふれている

y=f(x)∫P(x, f(x))dx → minf(0)=0, f(T)=0, |f’(x)|≦ε

y

x T(=おばあちゃん家)

P(x,y)

y=f(x) ∫P(x, f(x))dx → minf(0)=0, f(T)=0, |f’(x)|≦ε

y

x T(=おばあちゃん家)

y=f(x)

http://www.ieeeghn.org/wiki/index.php/Richard_Bellman

http://www.amazon.com/

1x ix Ix

X

1y

jy

Jy

Y

X Y

X

Y

i

ui

ui

i

i

X

Y

ui

iuiii yxud

i

ui

変形可能範囲

基準パターン

この距離を最小化するのが最適弾性マッチング

基準パターン

入力

0

ii ud

i

j

112

10

min

iii

ui

uiiii ugudug

１

2

３１

１０ 5 5 １

３ 2 ４ 5

４ 0 2

2 ７ 0 ４６

i

j

O( JI )

O( 1 )

O(IJ)

O(J ) or O(IJ)

i

iuj

変形可能範囲

標準パターン

入力

1x 2x 1ix ix 1ix Ix1IxX

1y 2y 1jy jy 1jy Jy1JyY

IIuiiuu xyxyxy ,,,,11

Ii uuu ,,,, 1

1u 2u 1iu iu 1iu Iu

iuiii yxud

iuiii yxud

i

ii ud

iuiii yxud ,max

otherwise1

if0 iui

ii

yxud

iuj

Uchida, et al., “Logical DP matching for detecting similar subsequence”, ACCV2007

otherwise1

if0 iui

ii

yxud

A

B

C

5 5 5 0 5

2 2 0 5 0

0 0 2 5 2

2 2 0 5 0

i

j

5 5 5 0 5

2 2 0 5 0

0 0 2 5 2

2 2 0 5 0

i

0.7, 0.2, 0.1

0.4, 0.5, 0.1

0.1, 0.2, 0.7

0.5, 0.4, 0.1

i

0.7, 0.2, 0.1

0.4, 0.5, 0.1

0.1, 0.2, 0.7

0.5, 0.4, 0.1

0.1 0.1 0.2 0.2

0.4 0.4 0.5 0.5

0.7 0.7 0.2 0.2

0.5 0.5 0.4 0.4

0.7

0.1

0.1

0.1

0.7, 0.2, 0.1

0.4, 0.5, 0.1

0.1, 0.2, 0.7

0.5, 0.4, 0.1

0 Ti-1 i

0 i-1 i

i-1

i

0 i-1 i

0 Ti-1 i

O(N4T)

x

y s

I

i

ii

uuuuu

udF

ii

Ii 120,,,,

1

1

minmin

I

i uuu

ii

uuuuu

I

i

ii

uuuuu

ududud

ud

ii

Ii

ii

Ii

3

11

20

22

20,,,,

120,,,,

12

1

1

2

1

1

minmin

min

1u

1u 2u

1u

I

i

ii

uuuuu

I

i uuu

ii

uuuuu

I

i

ii

uuuuu

ugud

ududud

ud

ii

Ii

ii

Ii

ii

Ii

3

22

20,,,,

3

11

20

22

20,,,,

120,,,,

1

2

12

1

1

2

1

1

min

minmin

min

1u

2u

1u

I

i

ii

uuuuu

I

i uuu

ii

uuuuu

I

i

ii

uuuuu

ugud

ugudud

ugud

ii

Ii

ii

Ii

ii

Ii

4

33

20,,,,

4

22

20

33

20,,,,

3

22

20,,,,

1

3

23

2

1

3

1

2

min

minmin

min

2u

I

i

ii

uuuuu

I

i uuu

ii

uuuuu

I

i

ii

uuuuu

ugud

ugudud

ugud

ii

Ii

ii

Ii

ii

Ii

4

33

20,,,,

4

22

20

33

20,,,,

3

22

20,,,,

1

3

23

2

1

3

1

2

min

minmin

min

11

20 1

1

min

ii

uuu

iiii ugudug

ii

i

11 ii ug

ii ud

Raphael, “Coarse-to-Fine Dynamic Programming”,TPAMI, 2001

i

j

•

• J

iu

i 11

20 1

1

min

ii

uuu

iiii ugudug

ii

i

iu1iu1u 2u Iu1iu

i+1

i

i-1

K

N

𝐾𝑁

無理やりだが，DPで解ける形にはなった

DPは不得意な構造...

A B

+

+

+

A B

A B 10 5 2 20

3 9 8 10

20 5

7 3 2 3

A B 10 5 2 20

3+5=8 9+5=14 8+2=10 10+2=12

20 5

7 3 2 3

DP

A B 10 5 2 20

3+5=8 9+5=14 8+2=10 10+2=12

20+8=28 +8=9 +10=145+10=15

7 3 2 3

DP

A B 10 5 2 20

3+5=8 9+5=14 8+2=10 10+2=12

20+8=28 +8=9 +10=145+10=15

7+28=35 3+9=12 2+9=11 3+14=17DP

A B 10 5 2 20

3+5=8 9+5=14 8+2=10 10+2=12

20+8=28 +8=9 +10=145+10=15

7+28=35 3+9=12 2+9=11 3+14=17

A B 10 5 2 20

3+5=8 9+5=14 8+2=10 10+2=12

20+8=28 +8=9 +10=145+10=15

2+9=11

A B 10 5 2 20

3+5=8 9+5=14 8+2=10 10+2=12

+8=9

A B 10 5 2 20

3+5=8

)O( 22 NCN )O( NNC

NxN

# = は定数CNNCO )(

pseudo-2D

()

)O( 4N

)O( 3N

i

iu

i+t

tiu

i

これもDPは不得意．でも何とかして解きたい

DPはあきらめて別の最適化で解こう！

http://en.wikipedia.org/wiki/Seam_carving

http://en.wikipedia.org/wiki/Seam_carving

DP + beam search

Particle filter

× 1 × 2

Uchida, et al., “Analytical Dynamic Programming Tracker”, ACCV2010

0 Ti-1 i

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