МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ЧЕРКАСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІВЧЕНКО Олександр Віталійович

УДК 621.391

МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ, МЕТОДИ ТА ЗАСОБИ ОЦІНЮВАННЯ

ПАРАМЕТРІВ НЕГАУСОВИХ КОРЕЛЬОВАНИХ ВИПАДКОВИХ

ПРОЦЕСІВ

01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Черкаси – 2016

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Черкаському державному технологічному університеті

Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник доктор технічних наук, професор

ПАЛАГІН Володимир Васильович,

Черкаський державний технологічний університет,

завідувач кафедри радіотехніки та інформаційно-

телекомунікаційних систем

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор

ПОЛОЖАЄНКО Сергій Анатолійович,

Одеський національний політехнічний університет

МОН України, завідувач кафедри комп’ютеризованих

систем управління

кандидат технічних наук

НАКОНЕЧНА Оксана Андріївна,

Східноєвропейський університет економіки і

менеджменту, м. Черкаси, доцент кафедри

документознавства та інформаційної діяльності

Захист відбудеться “16” березня 2016 р. о 15 годині 30 хвилин на засіданні

спеціалізованої вченої ради K 73.052.01 Черкаського державного технологічного

університету за адресою: 18006, м. Черкаси, бул. Шевченка, 460.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Черкаського державного

технологічного університету за адресою: 18006, м. Черкаси, бул. Шевченка, 460.

Автореферат розісланий “ 15 ” лютого 2016 р.

В.о. вченого секретаря

спеціалізованої вченої ради С.Ю. Протасов

1

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Використання методів теорії обробки випадкових

процесів є необхідним при побудові сучасних інформаційно-вимірювальних систем,

систем діагностики, моніторингу, контролю, розвиток яких характеризується

підвищеними вимогами до точності та якості обробки інформації.

Удосконалення систем цього класу пов’язано як з технологічним оновленням,

так і зі створенням досконалих методів оцінювання параметрів випадкових процесів,

що відображають поведінку об’єкту дослідження.

На сучасному етапі розвитку радіолокації, радіонавігації, систем зв’язку,

телеметрії, радіовимірювальної техніки при вирішенні практичних задач

впроваджуються методи оптимальної оцінки параметрів оброблюваних випадкових

процесів, які традиційно вважають нормально розподіленими, що в багатьох

випадках унеможливлює відображення реальних процесів з необхідною

адекватністю.

Складність математичного представлення великої кількості реальних явищ у

системах обробки сигналів, що являють собою випадкові процеси різної фізичної

природи, пов’язана з їх негаусовим характером. Зокрема, випадкові процеси, які

описують завади в каналах зв’язку, процеси передачі дискретних даних по каналах

короткохвильового діапазону, процеси, які описують відбиті від рухомих цілей

сигнали, процеси споживання потужності підприємствами є негаусовими

випадковими процесами.

Таким чином, при побудові ефективних методів та обчислювальних

алгоритмів обробки випадкових сигналів є необхідним адекватне математичне

представлення реальних об’єктів дослідження, побудова та удосконалення

математичних моделей, які більш точно відображають закономірності перебігу

випадкових процесів.

Шляхи вирішення проблем подолання апріорної невизначеності про об’єкти

дослідження і побудови їх математичних моделей та методів обробки випадкових

процесів окреслено в роботах А.Я. Білецького, В.М. Безрука, Т.К. Вінцюка,

Я.П. Драгана, Ю.П. Кунченка, Б.Р. Левіна, Б.Г. Марченка, М.В. Мисловича

А.О. Морозова, Ю.Г. Сосуліна, Л.С. Сікори, Р.Л. Стратоновича, Я.З. Ципкіна,

В.Г. Репіна, В.І. Тихонова, М.І. Шлезінгера, Л.М. Щербака Г.П. Тартаковського,

В.А. Тіхонова, В.В. Шахгильдяна, І.М. Яворського та ін. Серед зарубіжних

науковців, які внесли значний вклад у вирішення цієї проблеми, можна вказати Van

Trees H., Widrow В., Walach Е, Haykin S., Kailath Т., Sayed А.Н., Yousef N.R., Al-

Naffouri Т.Y., Nascimento V.H., Rupp M., Douglas S.С, Meng T.H.-Y., Rao C. та ін.

Традиційні методи для статистичної обробки даних використовують в

основному оцінювання параметрів за середнім арифметичним значенням вибірки з

використанням центрального моменту другого порядку (дисперсії) для визначення

абсолютної помилки і функції кореляції для встановлення статистичної залежності.

Оцінка за середнім арифметичним є загальновизнаною методикою обробки

результатів багаторазових вимірювань, однак її використання слід вважати

коректним тільки для симетричних розподілів випадкових процесів. Найчастіше в

практичних дослідженнях припускають гаусовий (нормальний) розподіл

2

статистичних даних, хоча дане припущення не відображає всі властивості

вимірювальних випадкових процесів.

Застосування традиційних методів при дослідженні і розробці систем

оцінювання параметрів випадкових негаусових процесів характеризується

складністю їх алгоритмічної та апаратної реалізації, що призводить до відповідних

труднощів при створенні якісних засобів обробки сигналів. Застосування

традиційного підходу додатково ускладнюється при обробці корельованих

негаусових процесів.

Для обробки негаусових випадкових процесів перспективним є інший

напрямок дослідження, започаткований професором Ю.П. Кунченком, який

ґрунтується на поліноміальній обробці статистичних даних при їх моментно-

кумулянтному описі та ефективно розв’язує задачі оцінювання параметрів

негаусових процесів. Удосконалення методу максимізації полінома (методу

Кунченка) для оцінювання параметрів корельованих випадкових процесів є

логічним продовження досліджень у сфері поліноміальної обробки негаусових

процесів.

Даний підхід потребує додаткових теоретичних досліджень і практичних

розробок. Зокрема, відомі математичні моделі негаусових процесів, що базуються на

моментно-кумулянтному описі, не враховують наявність кореляційних зв’язків між

дискретними значеннями. Тому, для підвищення адекватності математичного опису,

виникає необхідність розширення відомих моментно-кумулянтних математичних

моделей для негаусових корельованих випадкових процесів.

Таким чином, представляється актуальною науково-технічна задача

розширення класу математичних моделей, створення методів і засобів

математичного і комп’ютерного моделювання процесів визначення параметрів

негаусових стаціонарних корельованих випадкових процесів, що спостерігаються в

інформаційно-вимірювальних системах, системах діагностики, моніторингу,

контролю, розв’язання якої створює можливості підвищення точності вимірів

параметрів процесів в умовах апріорної невизначеності.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота

проводилася на кафедрі радіотехніки та інформаційно-телекомунікаційних систем

Черкаського державного технологічного університету відповідно до держбюджетних

науково-дослідних робіт «Розробка теорії математичних методів і алгоритмів

вимірювання параметрів довільного радіосигналу при адитивних негаусових

завадах», номер державної реєстрації 0106U004485; «Розробка високоефективних

методів і алгоритмів сумісного розрізнення сигналів і оцінювання їх параметрів на

фоні негаусових завад» , номер державної реєстрації 0112U001706.

Мета і задачі дослідження. Мета дисертаційної роботи полягає у створенні

методів та засобів математичного і комп’ютерного моделювання ефективних

алгоритмів оцінювання параметрів негаусових корельованих процесів, шляхом

розробки моментно-кумулянтних математичних моделей досліджуваних процесів, а

також методів оцінювання параметрів цих моделей для покращення якості

отримуваних оцінок за рахунок підвищення точності останніх, що забезпечує

побудову ефективних методів і комп’ютерних засобів функціонування систем

3

обробки даних відповідного класу.

Для досягнення мети дослідження необхідно розв’язати такі задачі:

• систематизувати та виконати аналіз особливостей застосування моделей

і методів обробки негаусових випадкових процесів при статистичному оцінюванні―

для обґрунтування можливостей використання нових моментно-кумулянтних

моделей випадкових процесів і методів їх опрацювання, спрямованих на підвищення

точності оцінювання для забезпечення побудови ефективних методів і

комп’ютерних засобів функціонування систем обробки даних;

• розробити математичні моделі негаусових корельованих випадкових

процесів, заснованих на використанні кумулянтних функцій вищих порядків із

застосуванням перфорації кумулянтного опису;

• удосконалити метод максимізації полінома для оцінювання параметрів

корельованих випадкових процесів;

• розробити, на основі удосконаленого методу максимізації полінома,

нелінійні обчислювальні алгоритми визначення параметрів негаусових

корельованих стаціонарних випадкових процесів;

• дослідити, на основі використання запропонованих імовірнісних

моделей, властивості оцінок параметрів, які отримано удосконаленим методом

максимізації полінома і перевірити ефективність розроблених обчислювальних

алгоритмів у порівнянні з існуючими;

• створити програмні засоби комп’ютерного моделювання для оцінювання

параметрів негаусових корельованих випадкових процесів та дослідити

ефективність застосування отриманих алгоритмів.

Об'єкт дослідження – процеси оцінювання імовірнісних параметрів

корельованих негаусових стаціонарних процесів, які спостерігаються в

інформаційно-вимірювальних системах та каналах передачі даних.

Предметом дослідження є математичні моделі корельованих негаусових

процесів, що засновані на моментно-кумулянтному описі, методи і засоби

моделювання оцінювання параметрів негаусових процесів, що орієнтовані на

створення засобів їх комп’ютерної реалізації.

Методи дослідження. Проведені теоретичні дослідження ґрунтуються на

використанні апарату теорії ймовірності, математичної статистики та теорії процесів

(для дослідження, опису і аналізу випадкових процесів, побудови їх математичних

моделей), а також загальних методів математичного кореляційного аналізу та

методів статистичного оцінювання (для побудови і модифікації методу оцінювання

параметрів корельованих випадкових процесів при їх моментно-кумулянтному

описі), методів обчислювальної математики (для побудови обчислювальних

алгоритмів обробки процесів), методів організації комп’ютерних засобів

моделювання (для розробки програмних засобів моделювання).

Достовірність отриманих наукових результатів і висновків перевірено

порівнянням теоретичних положень з експериментальними даними, отриманими за

допомогою комп’ютерного моделювання.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у створенні методів

4

математичного моделювання оцінювання параметрів випадкових корельованих

негаусових процесів на основі використання моментно-кумулянтних моделей,

удосконаленого методу максимізації полінома, що дозволяє підвищити точність

оцінювання параметрів випадкових процесів і забезпечує високу якість статистичної

обробки в комп’ютеризованих системах, таких як інформаційно-вимірювальні

системи, системи контролю, діагностики, моніторингу, тощо.

Вперше запропоновано:

• імовірнісні моделі негаусових корельованих випадкових процесів, що

базуються на описі скінченою послідовністю кумулянтних функцій вищих порядків,

що дозволило розширити їх класифікацію і синтезувати ефективні обчислювальні

алгоритми обробки процесів при залежних вибіркових значеннях;

• методи синтезу нелінійних обчислювальних алгоритмів визначення

параметрів: дисперсії, коефіцієнтів асиметрії та ексцесу негаусових корельованих

стаціонарних випадкових процесів, які спостерігаються в каналах передачі даних,

що дозволило зменшити дисперсії оцінок невідомих параметрів випадкових

процесів в порівнянні з відомими методами;

• метод генерації псевдовипадкових корельованих послідовностей з

кумулянтними функціями вищих порядків наперед заданого виду, що дозволило,

шляхом комп'ютерного моделювання, підтвердити ефективність застосування

отриманих алгоритмів і достовірність теоретичних висновків про можливість їх

використання для задач оцінювання параметрів.

Удосконалено:

• метод максимізації полінома, заснований на використанні стохастичних

поліномів і застосуванні кумулянтних функцій вищих порядків, які описують

статистичні зв’язки між вибірковими значеннями випадкових процесів, що

дозволило розробити обчислювальні алгоритми оцінювання параметрів випадкових

процесів з меншими значеннями дисперсій у порівнянні з відомими результатами,

коли кореляція між вибірковими значеннями не враховується.

Отримали подальший розвиток:

• обчислювальні методи поліноміального оцінювання параметрів

випадкових процесів, що дозволяє забезпечувати ефективні рішення прикладних

задач при дослідженні негаусових корельованих випадкових процесів.

Практичне значення одержаних результатів визначається тим, що

запропоновані моделі негаусових корельованих випадкових процесів, методи та

засоби моделювання дозволяють: отримувати нелінійні обчислювальні алгоритми

оцінювання параметрів з меншими дисперсіями шуканих оцінок; точність

синтезованих алгоритмів перевершує точність відомих обчислювальних алгоритмів

оцінювання параметрів, які використовуються в припущенні про гаусовий розподіл

випадкових процесів; розроблена імітаційна модель процесу оцінювання дозволяє

дослідити точністні характеристики отриманих оцінок параметрів корельованих

процесів за допомогою сучасних ЕОМ, що значно скорочує час дослідження при

проектуванні систем оцінювання, забезпечує оперативну побудову моделей для

конкретних задач та здійснює комп’ютерне моделювання існуючих та проектованих

систем обробки випадкових процесів; отримати аналітичні вирази, що описують

5

кількість добутої інформації про оцінювані параметри та асимптотичні дисперсії

оцінок з яких видно, що в загальному випадку, точністні характеристики

синтезованих алгоритмів оцінювання можуть бути значно вищими, ніж в існуючих

алгоритмах методу моментів (зі зростанням степеня оціночного полінома дисперсія

оцінки може наближатися до нуля). Причому ступінь ефективності віднайдених

оцінок залежить як від характеристик негаусовості випадкових процесів, так і

величини кореляції випадкових послідовностей, які представляють випадковий

процес.

Основні результати, які отримано при виконанні дисертаційної роботи,

впроваджено: державним підприємством НВК «Фотоприлад» ― при проектуванні

спеціальної апаратури каналу управління; використовуються для учбового процесу в

спецкурсах «Основи теорії нелінійної статистичної радіотехніки», «Адаптивна

обробка сигналів», «Теорія нелінійної статистичної радіотехніки», які викладаються

в Черкаському державному технологічному університеті.

Особистий внесок здобувача. Наукові та практичні положення дослідження,

представлені в дисертаційній роботі, отримано особисто автором або при його

особистій участі та підтверджено в індивідуальній публікації та у співавторстві. У

роботі [5, 25] обґрунтовано і введено нові моделі негаусових корельованих

випадкових процесів, що базуються на описі скінченою послідовністю кумулянтних

функцій вищих порядків. У роботі [7, 17, 22] виконано удосконалення методу

максимізації полінома (методу Кунченка) для оцінювання параметрів випадкових

процесів за статистично-залежною вибіркою. У публікаціях [1, 4, 6, 8, 10]

дисертанту належать результати дослідження асимптотичних властивостей оцінок,

отриманих удосконаленим методом максимізації полінома. Проведено розробку

нових алгоритмів оцінювання параметрів негаусових дискретних процесів, а саме:

асиметричних корельованих послідовностей [2, 6, 10], ексцесних корельованих

послідовностей [4, 8, 20] та асиметрично-ексцесних корельованих послідовностей

[9]. У роботі [9, 21] запропоновано структуру побудови генератора корельованих

псевдовипадкових послідовностей з кореляційною функцією наперед заданого виду,

а також його реалізацію програмним шляхом; у роботі [3, 12, 14] запропоновано

моментно-кумулянтні моделі для отримання способу генерації корельованих

випадкових величин. У роботах [15, 19] досліджено вплив кореляційних зв’язків на

значення величини дисперсії отриманих оцінок для різних моделей випадкових

процесів.

Апробація результатів дисертації. Основні положення дисертаційної роботи

доповідалися та обговорювалися на 14 наукових, науково-практичних міжнародних

конференціях, форумах:

на ІV Міжнародній науково-практичній конференції «Обробка сигналів і

негауссівських процесів», присвяченої пам’яті професора Ю.П. Кунченка (Черкаси:

ЧДТУ, 2013); 12-ій Міжнародній науково-технічній конференції «Сучасні проблеми

радіоелектроніки, телекомунікацій та комп’ютерної інженерії» (Львів, 2014);

Міжнародній науково-технічній конференцій «Радіотехнічні поля, сигнали, апарати

та системи» (Київ, 2014); IV Міжнародній науково-практичній конференції «Фізико-

технологічні проблеми радіотехнічних пристроїв, засобів телекомунікацій, нано- та

6

мікроелектроніки» (Чернівці, 2014); V Міжнародній науково-практичній

конференції «Обробка сигналів і негауссівських процесів», присвяченій пам’яті

професора Ю.П. Кунченка (Черкаси, 2015); 13-му міжнародному молодіжному

форумі «Радіоелектроніка і молодь в ХХІ ст.» (Харків: ХНУРЕ, 2009); Міжнародній

науковій конференції «Статистичні методи обробки сигналів і даних» (Київ.: НАУ,

2013); ІV-й Міжнародній науково-практичній конференції «Сучасні проблеми і

досягнення в галузі радіотехніки, телекомунікацій та інформаційних технологій»

(Запоріжжя: ЗНТУ, 2008); Третій міжнародній науково-практичній конференції

«Інтегровані інтелектуальні робототехнічні комплекси (ІІРТК-2010)» (Київ: НАУ,

2010); П’ятій міжнародній науково-практичній конференції «Інформаційні

технологій та комп’ютерна інженерія.» (Івано-Франківськ – Вінниця, 2015);

V mezinarodni vedecko – prakticka conference “Moderni vymozenosti vedy – 2010” –

(Praha, 2010); VI mezinarodni vedecko – prakticka conference “Dny vedy – 2010” –

(Praha, 2010); III Міжнародній науково-практичній конференції «Обробка сигналів і

негауссівських процесів», присвяченій пам’яті професора Ю.П. Кунченка (Черкаси:

ЧДТУ, 2011) ; II Міжнародній науково-практичній конференції «Обробка сигналів і

негауссівських процесів», присвяченій пам’яті професора Ю.П. Кунченка (Черкаси:

ЧДТУ, 2009).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у 26 наукових

роботах, в тому числі: 7-ми статтях ― у фахових виданнях України; одній статті ―

у виданні, що реферується в науково-метричних базах даних; одному патенті

України і 14-ти публікаціях ― у матеріалах конференцій.

Структура дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, 4 розділів,

висновків, списку використаних джерел, що налічує 154 найменування, та додатків.

Загальний обсяг роботи становить 206 сторінок, у тому числі 150 сторінок

основного тексту, ілюстрованого 34 рисунками на 31 сторінці.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність проблеми статистичного підходу до

вирішення задач по оцінюванню параметрів корельованих випадкових процесів, що

спостерігаються в різних сферах науки і техніки, зокрема, показано необхідність

розвитку обчислювальних алгоритмів обробки корельованих дискретних значень

випадкових процесів (послідовностей), що мають відмінний від гаусового характер.

Сформульовано мету і задачі дослідження, відзначено наукову новизну і практичну

цінність одержаних результатів, наведено відомості про апробацію, публікації та

використання результатів дослідження, а також викладено структуру дисертації.

У першому розділі проведено аналіз статистичних підходів, підпорядкованих

дослідженню задач кореляційного аналізу різного роду процесів, які

характеризуються наявністю статистичних зв’язків. Розглядається і обґрунтовується

важливість оцінки параметрів корельованих послідовностей як дискретного

представлення досліджуваних процесів. Показано можливість оцінювання

параметрів (кумулянтів) однаково розподілених статистично пов’язаних випадкових

послідовностей методом моментів і методом максимальної правдоподібності.

7

Продемонстровано наступне: якщо багатомоментні щільності розподілу

імовірностей досліджуваних процесів є невідомими, то частковий опис у вигляді

усереднених характеристик, а саме моментних і кумулянтних функцій, дозволяє

відображати важливі властивості об’єктів дослідження, у тому числі і характер

статистичної залежності.

Розглянуто інформаційно-вимірювальні системи, в яких досить часто

доводиться мати справу з обробкою процесів, статистичні характеристики яких

мають негаусову щільність розподілу імовірностей, але відліки, які являють собою

вибіркові значення цих процесів, є статистично залежними один від одного, що

обумовлюється як фізичними властивостями самого процесу, так і величиною кроку

дискретизації. Зазначені процеси характерні для сигналів, що надходять на вхід

радіоприймального пристрою у вигляді або активної синусоїдальної завади від

сторонньої випромінюючої станції (в системах радіозв'язку), або у вигляді відбиття

від підстильної поверхні (в когерентно-імпульсних радіолокаційних станціях).

Іншими видами корельованих процесів є: процеси, що описують відбиті від рухомих

цілей сигнали або процеси, що представляють інформаційний сигнал з шумовою

несучою; сигнал, спотворений модулюючою завадою; процеси в каналах

радіозв’язку з частотною адаптацією, для яких характерна наявність завмирань;

процеси, що описують властивості каналу OFDM системи.

Аналіз методів оцінювання параметрів негаусових процесів показав

необхідність застосування іншого підходу, який базується не на використанні

щільності розподілу для опису випадкових процесів, а на кінцевій послідовності

моментів і кумулянтів, що потребує розробки та дослідження нових математичних

моделей об’єктів дослідження, удосконалення методів оцінювання, що дозволяє

підвищити точність методів і засобів обробки сигналів.

На підставі виконаного аналітичного огляду встановлено теоретичну

значимість і прикладну необхідність проведення досліджень у напрямку

математичного та комп’ютерного моделювання оцінювання параметрів негаусових

корельованих випадкових процесів, а також розробки методів їх реалізації при

розв’язанні задач аналізу, синтезу, проектування, побудови і функціонування в

системах моніторингу, контролю, діагностики та управління.

У другому розділі проведено обґрунтування застосування в якості

імовірнісної моделі корельованих негаусових стаціонарних випадкових процесів,

так званих близьких до гаусових багатомірних випадкових процесів, представлення

яких базуються на перфорації кумулянтного опису.

Показано, що використання моментно-кумулянтного опису дозволяє

відображати важливі властивості процесів, які відмінні від гаусових випадкових

процесів. При цьому відмічається, що кумулянтний опис має ряд переваг у

порівнянні з моментним. Відзначено, що всі види статистичного зв’язку, які можуть

існувати між елементами досліджуваної послідовності, можуть бути відображені за

допомогою кумулянтних функцій.

Для практичних задач часто достатнім є врахування статистичного зв’язку, що

відображається двохмоментним імовірнісним розподілом. У цьому випадку опис

випадкового процесу з яким-небудь статистичним зв'язком між вибірковими

8

значеннями, крім одномоментних кумулянтів, можна визначати за кумулянтними

функціями

[k] [i k]i 1 2 i 1 1 1 2 2 2

k i k

(t , t ) (t , t ,..., t , t , t ,..., t )

, ( 1 2t , t ― дискретні моменти

часу, в які беруться вибіркові значення і між якими спостерігається статистичний

зв’язок).

На основі кумулянтного опису отримано нові математичні моделі та виділено

три класи випадкових корельованих процесів, які є близькими до гаусових, і для

яких може бути сформульовано наступні визначення.

Визначення 1. Асиметричними корельованими випадковими процесами 1-го

типу будемо називати сукупність значень випадкового процесу в різні моменти

часу, для яких відмінними від нуля є кумулянтні функції одномоментного розподілу

)t(χ2 , )t(χ3 і багатомоментного розподілів )t,t(χ 212 , )t,t,t( 3213 . Для

асиметричних стаціонарних корельованих випадкових процесів, щільність

імовірності яких залежить лише від різниці моментів часу ( 1kk t-t=τ ),

кумулянтний опис представлений у вигяді кумулянтів 2 , 3 і кумулянтних

функцій ),0( 22 , ),,0( 323 .

Визначення 2. Ексцесними корельованими випадковими процесами 1-го типу

будемо називати сукупність значень випадкового процесу в різні моменти часу, для

яких відмінними від нуля є кумулянтні функції одномоментного розподілу )t(χ2 ,

)t(χ4 і багатомоментного розподілів )t,t(χ 212 , )t,t,t,t( 43214 . Для ексцесних

стаціонарних випадкових процесів, щільність імовірності яких залежить лише від

різниці моментів часу ( 1kk t-t=τ ), кумулянтний опис представлений у вигляді

кумулянтів 2χ , 4χ і кумулянтних функцій ),0( 22 , ),,,0( 4324 .

Визначення 3. Асиметрично-ексцесними корельованими випадковими

процесами будемо називати сукупність значень випадкового процесу в різні

моменти часу, для яких відмінними від нуля є кумулянтні функції одномоментного

розподілу )t(χ2 , )t(χ3 , )t(χ4 і багатомоментного розподілів )t,t(χ 212 ,

)t,t,t( 3213 , )t,t,t,t( 43214 . Для асиметрично-ексцесних стаціонарних випадкових

процесів, щільність імовірності яких залежить лише від різниці моментів часу

( 1kk t-t=τ ), кумулянтний опис представлений у вигляді кумулянтів 2χ , 3χ , 4χ і

кумулянтних функцій ),0( 22 , ),,0( 323 , ),,,0( 4324 .

Застосування перфорації кумулянтного опису випадкових процесів дозволяє

використовувати його при розв’язанні різноманітних практичних задач, зокрема для

визначення оцінок параметрів за допомогою удосконаленого методу максимізації

полінома.

Для синтезу алгоритмів оцінювання параметрів негаусових корельованих

процесів у роботі проведено удосконалення методу максимізації полінома з

використанням стохастичних поліномів, який в якості апріорної інформації про

досліджуваний процес використовує усереднені характеристики у вигляді

9

моментних і кумулянтних функцій.

Задачу щодо віднаходження оцінок параметрів корельованих процесів

сформульовано наступним чином. Нехай спостерігається корельований

стаціонарний ергодичний випадковий процес )t( з відомою нормованою

автокореляційною функцією r ( ) . Значення процесу обсягом n (вибірка, реалізація,

початкова послідовність) },...,,{ n21 взято в дискретні моменти часу. Задача

полягає у віднаходженні різних вибіркових характеристик (параметрів) процесу

)t( за отриманою вибіркою.

У подальших дослідженнях в якості математичної моделі процесів, параметри

яких оцінюються, будуть використані моделі з наведеної класифікації з уточненням

відмінних від нуля кумулянтних функцій.

Одна з властивостей поліномів Кунченка полягає в тому, що для

стохастичних поліномів з коефіцієнтами, що залежать від параметра випадкового

процесу )t( , існують такі коефіцієнти, для яких математичне сподівання

стохастичного полінома як функція невідомого параметра має максимум у точці

істинного значення параметра.

Використання методу максимізації полінома для оцінювання статистичних

характеристик корельованого процесу потребує додаткових досліджень. В даній

роботі при розробці нових алгоритмів оцінювання будуть використані степеневі

стохастичні поліноми, які є частковим випадком функціональних поліномів

загального вигляду.

Враховуючи положення неудосконаленого методу максимізації полінома,

запишемо вибірковий стохастичний поліномом степеня S у вигляді:

n S v n

ivS 0 ik v k

v 1 i 1k 0 v 1

nk k

. (1)

Коефіцієнти полінома визначаються наступним чином. Коефіцієнт k 0

дорівнює:

S v

0 ik ii 1 k 0a

k h d

, (2)

де }{E ivi - моменти випадкового процесу порядку i , які залежать від параметра

, що оцінюється і функціонально пов’язані з кумулянтами; коефіцієнти

ikk , i 1,S визначаються як:

dhka

ikik , (3)

де функції ikh такі, що для будь-якого b,a :

S

ik ii 1

dh 0

d

, ____

n,1k . (4)

Виконання умови (4) забезпечується тим, що коефіцієнти ikh відшукуються

10

з системи рівнянь:

S n 1

ik i, j(v k) ij 1k 0

dh ( )K , i 1,S,

d

v 1,n 1 , для b,a . (5)

Функції i, j(v k)K визначаються через моменти і моментні функції вищих

порядків:

i i i i i ii, j(v k) v i k j v k i j v k i jK E{[ ][ ]} E{[ ]} E[ ] .

][E i

k

i

v - автокореляційні функції, які представлені кумулянтними функціями.

Наведені моментно-кумулянтні моделі корельованих випадкових процесів

мають свої функції i, j(v k)K .

Таким чином, статистичний зв’язок між значеннями вибірки при

поліноміальній обробці враховується за рахунок коефіцієнтів ikh , які залежать

від кумулянтних функцій корельованого процесу.

Коефіцієнти, що знайдені з рівнянь (5) задовольняють основній властивості

стохастичних поліномів Кунченка і є оптимальними щодо забезпечення мінімальної

дисперсії відхилення максимума полінома від істинного значення параметра.

Як видно з виразів (1) ― (4) вибірковий стохастичний поліном є

диференційованим по , тому для віднаходження оцінок параметрів можна

використовувати рівність:

ˆ

n

vS S v niv 1

ˆ ik v k ii 1k 0 v 1

| h [ ] ( [ ]) | 0d

. (6)

При розв’язанні рівняння (6) вибирається дійсний корінь, що залежить від

вибіркових значень, для якого поліном (1) асимптотично при n (як функція

параметра ) має максимум у точці n̂ , в околицях істинного значення 0 .

Причому при n величина n̂ сходиться по імовірності до 0 .

Наслідок 1. Для оцінок параметрів, що віднайдено методом максимізації

степеневого полінома при степені S, мінімальна дисперсія асимптотично дорівнює:

2 1(S)min S 0J ( ) . (7)

У розгорнутому вигляді даний вираз має вигляд:

0

S n 12(S)min jk j

j 1k 0

dn h

d

. (8)

Функція (S) 0J ( ) називається кількістю інформації про параметр , яку

можна про нього видобути із реалізації },...,,{ n21 обсягом n удосконаленим

методом максимізації степеневого полінома при степені S, коли стаціонарний

випадковий процес описується послідовністю моментів і моментних функцій.

Слід відзначити, що кількість добутої інформації S 0J ( ) в загальному випадку

11

менша кількості інформації Фішера I , хоча в певних випадках спостерігається їх

рівність.

З аналізу виразу (8) видно, що дисперсія оцінки в удосконаленому методі

максимізації полінома визначається коефіцієнтами полінома і відповідно залежить

від кореляційних функцій процесу.

Для оцінки параметра випадкового процесу, віднайденої методом максимізації

полінома, асимптотично справедлива наступна нерівність:

2 2S 1 min S min , або 1 1

S S 1J J ,

Важливим залишається питання відшукання коефіцієнтів полінома (6), а саме

способів розв’язку системи рівнянь (5). Для спрощення розв’язку зроблений перехід

з часової в частотну область за допомогою перетворень Фур’є.

Після переходу в частотну область отримуємо систему рівнянь для

знаходження коефіцієнтів полінома у вигляді:

S

j j ji i,m m

i 1

dh (e )K (e ) ,e , m 1,S

d

, (9)

де ji,mK (e ) , j

m ,e ― спектральне представлення (поліспектри) відповідних

функцій i,m(v k)K , mk

d

d

, m,i 1,S .

Розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь (9) відносно jih (e ) , i 1,S

визначає оптимальні коефіцієнти, представленні в частотній області.

Здійснюючи обернене перетворення Фур’є над jih (e ) , отримуємо набір

оптимальних коефіцієнтів полінома ikh .

Для визначення дисперсії оцінки за виразом (8), здійснюючи перехід у

частотну область, отримаємо вираз:

2 /Tn S

j j *vS i m

v 1 i 1 /T

d T dE h (e )[ ,e ] d

d 2 d

.

Таким чином, проведено удосконалення методу максимізації полінома

(методу Кунченка) для оцінювання параметрів корельованих випадкових негаусових

процесів, яке полягає у застосуванні нових математичних моделей на основі

кумулянтів і кумулянтних функцій і адаптації стохастичних поліномів Кунченка для

знаходження оцінок параметрів за корельованою вибіркою. Коефіцієнти полінома

визначаються за умови мінімуму дисперсії оцінки шуканого параметра.

У третьому розділі на основі розроблених моделей корельованих випадкових

процесів і удосконаленого методу максимізації полінома, проведено синтез та аналіз

обчислювальних алгоритмів оцінювання параметрів випадкових процесів.

У якості математичних моделей реальних процесів, параметри яких буде

оцінено, розглянуто асиметричні, ексцесні і асиметрично-ексцесні корельовані

випадкові процеси. Параметри, які підлягали оцінюванню: 2 , 3 , 4 .

Для кількісного визначення величини зменшення дисперсії оцінки довільного

12

параметра , віднайденої удосконаленим методом максимізації полінома при

використанні полінома степеня S, у порівнянні з дисперсією оцінки того ж

параметра, віднайденої при степені полінома k=2,3,…,S, використовується

коефіцієнт зменшення дисперсії Sk)(g цих оцінок:

2k)(

2S)(

Sk)(g

.

Показано, що дисперсія оцінки, яку віднайдено методом моментів, має індекс

k=1. Оцінка параметра 2 удосконаленого методу максимізації полінома при

гаусовому розподілі співпадає з оцінкою методу максимальної правдоподібності

(ММП).

На рис.1 ― 7 наведено результати досліджень. На рис.1 у вигляді графіка

показано залежність коефіцієнтів зменшення дисперсії 21)( 2g , 31)( 2

g оцінки

параметра 2 від параметра 3γ асиметричних випадкових процесів з функцією

кореляції ||2,1-e1200)(r при степенях полінома 3,2S .

Залежність коефіцієнта зменшення дисперсії 31)( 3g оцінки асиметрії 3 від

оцінюваного параметра асиметричних випадкових процесів з функцією кореляції

|)|7,0sin5,07,0(cose1800)(r ||,350- при степені полінома 3S наведено на

рис.3.

Проведені дослідження показують, що врахування параметрів негаусових

процесів у вигляді кумулянтних коефіцієнтів третього порядку дозволяє збільшити

ефективність обробки вибіркових значень з оцінювання параметрів процесів у

вигляді зменшення їх дисперсій в порівнянні з методом моментів і методом

максимальної правдоподібності при гаусовому розподілі. Так, для асиметричних

корельованих негаусових процесів з максимальним інтервалом кореляції 2,5 при

степені полінома 2S зменшення дисперсіі оцінки параметра 2 , в порівнянні з

методом моментів може сягати 1,25 рази ( при 6,030 ), а при 3S - 5 разів (при

6,030 ). Дисперсія оцінки параметра 3 удосконаленого методу максимізації

полінома при 3S буде в 1,66 раз меншою, ніж дисперсія оцінки, що віднайдено

методом моментів навіть при 030 .

Для дослідження ефективності оцінок, віднайдених удосконаленим методом

максимізації полінома, також введено коефіцієнт зменшення дисперсії. Він

визначається як відношення дисперсії оцінки 2( )S параметра корельованої

випадкової послідовності, віднайденої удосконаленим методом максимізації

полінома, до дисперсії 2( )S(nkor) оцінки параметра цієї ж випадкової

послідовності, віднайденої методом максимізації полінома, який не враховує

кореляцію при степені полінома S:

2)nkor(S)(

2S)(

Skor)(g

.

13

Рис.1 Залежність відношення дисперсій оцінок параметра 2 при степенях

полінома S 2,3 від коефіцієнта

асиметрії 3 для ||2,1-e1200)(r

Рис.2 Залежність коефіцієнта зменшення

дисперсії оцінок Skor)( 2g параметра 2

при степенях полінома 3,2S від

інтервалу кореляції для 6,03 , ||2,1-e1200)(r

На рис. 2, 4 графічно зображено залежність коефіцієнтів зменшення дисперсії

Skor)( 2g і Skor)( 3

g параметрів 2 і 3 асиметричних процесів з кореляційними

функціями другого порядку, які часто використовуються в додатках від часової

відстані між значеннями вибірки при S=2,3.

Рис.3 Залежність відношення дисперсій

параметра 3 при степені полінома S 3

від оцінюваного параметра для

|)|7,0sin5,07,0(cose1800)(r ||,350-

Рис.4 Залежність коефіцієнта зменшення

дисперсії Skor)( 3g параметра 3 при

степені полінома 3S від інтервалу

кореляції, при 5,03 для

|)|7,0sin5,07,0(cose1800)(r ||,350-

Залежність коефіцієнта зменшення дисперсії оцінки 4̂ від величини

оцінюваного параметра ексцесних випадкових процесів з функцією кореляції

14

7,0cose1500)(r ||4,0- при четвертій степені полінома наведено на рис. 5.

Рис.5 Залежність відношення дисперсій параметра 4̂ при степені полінома

S 4 від величини оцінюваного

параметра для 7,0cose1500)(r ||4,0-

Рис.6 Залежності дисперсії оцінки параметра 2̂ від інтервалу кореляції при

фіксованих значеннях параметра ексцесу

4 при степенях полінома 3,2S для ||2,2-e1200)(r

Графіки залежності дисперсії оцінки параметра 2̂ ексцесних випадкових

процесів з функцією кореляції ||2,2-e1200)(r від часової відстані між значеннями

вибірки при фіксованих значеннях параметра ексцесу 4 наведено на рис.6.

Графік конфігурації поверхні коефіцієнта 21)( 2g від параметрів 3 і 4

асиметрично-ексцесних процесів з функцією кореляції ||2,1-e1200)(r наведено

на рисунку 7.

Рис.7 Залежність відношення дисперсії параметра 2̂ при степені полінома

S 2 від параметрів асиметрії 3 і ексцесу 4 для ||2,1-e1200)(r

З графіків видно, що при часовій відстані між значеннями вибірки, що є

значно меншою ніж інтервал кореляції, дисперсія оцінки збільшується. У той самий

15

час додаткове зменшення оцінки можливе за рахунок зміни коефіцієнта ексцесу до

своїх граничних значень.

Таким чином, врахування негаусовості корельованого процесу, наприклад, за

рахунок відомих значень коефіцієнтів асиметрії, ексцесу і значень функції кореляції,

дозволяє зменшувати дисперсії оцінок методу максимізації полінома.

Наведені графічні залежності наочно демонструють, що вирішальна роль у

підвищені ефективності оцінювання параметрів полягає у врахуванні характеру

розподілу процесу, що досягається шляхом його представлення моментно-

кумулянтним описом.

Аналіз результатів цього розділу свідчить про те, що дисперсії оцінок

удосконаленого методу максимізації полінома в загальному випадку не

перевищують, але можуть бути значно меншими за дисперсії відомих оцінок,

віднайдених класичними методами. Оцінювання параметрів корельованих процесів

удосконаленим методом максимізації полінома дозволяє отримувати оцінки з

меншими дисперсіями, ніж оцінки неудосконаленого методу максимізації полінома.

Загальний алгоритм знаходження оцінки параметра (кумулянта або

кумулянтного коефіцієнта) довільного порядку негаусового стаціонарного

корельованого випадкового процесу представлений у вигляді блок-схеми,

зображеної на рис.8, яку можна розглядати як структурну схему приймача, який

реалізує алгоритм віднаходження оцінки з використанням виразу (6).

Г1

Г3Г2 Гs

РП

k1h t

k2h t

k3h t

ks

h t

,

____ ____

v kξ(t ), v 1....n k 0....n

2v kξ (t )

3v kξ (t )

sv kξ (t )

1 k v kh (t )ξ(t )

22

k v kh (t )ξ (t )

33

k v kh (t )ξ (t )

ss

k v kh (t )ξ (t )s

sk v kh (t )ξ (t )

3 k3(t ) v kh ξ (t )

22

k v kh (t )ξ (t ),

1 k v kh (t )ξ(t )

РПРП

І

ІІ

ІІІ

S

блок гетеродинів

приймач

θ

Рис.8 Узагальнена структурна схема поліноміального оцінювання параметрів

негаусових корельованих процесів

У приймачі виділено пристрій, в якому формуються сигнали ikh , i 1,S .

Цей пристрій називається блоком гетеродинів. Він складається з S опорних

гетеродинів iГ , S,1i . При S>2 приймач складається з S паралельних каналів і

16

містить S опорних гетеродинів, які виробляють сигнали ikh , i 1,S . У кожному із

каналів значення вибірки v kξ(t ) , ,

____ ____v 1....n k 0....n підносяться до степеня i 1,S і

після цього помножуються на сигнал гетеродина iГ , тобто вибіркові значення

підлягають нелінійному безінерційному перетворенню. Значення з помножувачів i

v k(t ) і опорних гетеродинів iГ надходять на суматори. Вихідні сигнали

суматорів додаються, в результаті чого утворюється вихідний сигнал приймача ―

права частина виразу (6).

Розв’язок рівняння максимізації полінома здійснюється в розв’язувальному

пристрої (РП). Для негаусових випадкових процесів розв’язати рівняння (6) в

явному вигляді досить складно. Тому використовуються наближені методи, зокрема

рекурентні методи розв’язку. Оскільки кожний з каналів є нелінійним

перетворювачем, тому, в цілому, приймач обробки даних є нелінійним. Практична

реалізація наведеної схеми можлива із використанням програмованих логічних

інтегральних схем (ПЛІС) для прототипування та реалізації обчислювальних

комплексів з високим ступенем інтеграції.

Четвертий розділ висвітлює проведення комп’ютерного моделювання роботи

обчислювальних алгоритмів, які синтезовані у відповідності до запропонованих

моделей та методів.

При проведенні комп’ютерного моделювання потрібно вирішити ряд задач. В

першу чергу, це організація безпосередньо самого експерименту, для проведення

якого використовується створений програмним шляхом генератор негаусових

псевдовипадкових послідовностей із заданими значеннями кумулянтних

коефіцієнтів і автокореляційних функцій. Методика побудови подібних генераторів

базується на застосуванні моделі полігаусового випадкового процесу.

Графіки оцінених значень нормованих кореляційних функцій cos)(R xx , A||

xx e)(R , що визначають функціональний вид статистичного зв’язку між

елементами бігаусової послідовності наведені на рис.9 а) і б), відповідно.

a)

б)

Рис.9 Графіки оцінених значень нормованих кореляційних функцій )(Rxx

бігаусової послідовності: а) cos)(R xx , б) A||xx e)(R

17

Запропонований підхід щодо побудови генератора негаусових випадкових

послідовностей дозволяє отримувати статистичні вибіркові значення, в основі яких

лежить негаусовий закон розподілу. При цьому отриману вибірку можна розглядати

як корельовану з кореляційною функцією наперед заданого виду.

Можливості задаватися параметрами негаусових корельованих випадкових

послідовностей при їх генеруванні розкриває широкі перспективи щодо

моделювання дискретних негаусових випадкових процесів, у яких необхідно

враховувати наявність кореляції.

При розробці математичних моделей оцінювання параметрів негаусових

корельованих процесів головним критерієм, який характеризує якість розроблених

алгоритмів, виступало відношення дисперсій оцінок, знайдених удосконаленим

методом максимізації полінома до дисперсії оцінки аналогічного параметра,

знайденого за допомогою методу моментів і методу максимальної правдоподібності

при гаусовому розподілі. Враховуючи таку особливість, для підтвердження

достовірності отриманих теоретичних результатів необхідно додатково знаходити

оцінку параметра методом моментів. Важливою умовою визначення дисперсії

отримуваних оцінок є багаторазове проведення експерименту для різних вибірок з

однаковими вихідними статистичними характеристиками.

Однією із задач моделювання було отримання порівняльних графіків

зображень експериментальних та теоретичних значень коефіцієнтів зменшення

дисперсії оцінок. У ході проведення комп’ютерного моделювання одержано не

тільки графічне зображення псевдовипадкових послідовностей різного типу

негаусових процесів, але й отримані графіки, які у дискретних точках відображають

залежності експериментальних значень коефіцієнтів зменшення дисперсій оцінок

2 та 3 асиметричних корельованих процесів з ||2,1-e1200)(r (рис. 10) при

об’ємах вибірки N=500 і кількості проведених експериментів L=500.

а) б)

Рис.10 Результати комп’ютерного моделювання коефіцієнтів зменшення

дисперсії для: а) параметра 2 від зміни коефіцієнта асиметрії асиметричного

процесу з ||2,1-e1200)(r при S=2 ; б) параметра 3 від зміни коефіцієнта

асиметрії асиметричного процесу з ||2,1-e1200)(r при S=3

18

На наведених рисунках суцільною лінією відображаються теоретичні

значення коефіцієнтів зменшення дисперсії, розраховані в попередніх розділах.

Поряд представлено дискретні значення коефіцієнтів зменшення дисперсії, отримані

в результаті комп’ютерного моделювання. З рисунків видно, що при заданій

кількості експериментів та обсягу вибірки розбіжність експериментальних і

теоретичних значень не перевищує 5 ― 10%.

Таким чином, результати комп’ютерного моделювання експериментально

підтверджують ефективність застосування удосконаленого методу максимізації

полінома (методу Кунченка) для оцінювання параметрів корельованих процесів з

урахуванням їх моментно-кумулянтного представлення.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі розглянуто і вирішено науково-технічну задачу

використання, створення і розвитку методів математичного та комп’ютерного

моделювання процесів оцінювання параметрів корельованих негаусових процесів на

основі розробки їх моментно-кумулянтних моделей, удосконалення методу

максимізації полінома для оцінювання параметрів статистичних даних за

корельованою вибіркою, що дозволяє підвищити точність оцінювання в системах

прийому і обробки при врахуванні характеристик негаусовості процесу, створити

алгоритмічні основи і засоби їх комп’ютерної реалізації. У тому числі отримано

наступні теоретичні та практичні результати:

1. На основі аналізу задачі удосконалення методів оцінювання негаусових

корельованих процесів для інформаційно-вимірювальних систем, систем

діагностики, моніторингу, контролю вибрано і обґрунтовано підхід для створення

методів і засобів математичного моделювання процесів оцінювання при

удосконаленні методу максимізації полінома (методу Кунченка). Даний підхід

дозволяє враховувати нові якості негаусових процесів, базується на розширенні

класу задіяних математичних моделей і характеризується використанням моментно-

кумулянтного опису, що дозволить створити нові ефективні методи синтезу

нелінійних обчислювальних алгоритмів визначення параметрів випадкових

корельованих негаусових процесів.

2. Розроблено математичні моделі негаусових корельованих випадкових

процесів різних типів і видів, які засновані на використанні моментних і

кумулянтних функцій, що надало можливість ураховувати статистичні зв’язки

вибіркових значень. Досліджено властивості багатомірних кумулянтних функцій

для визначення області допустимих значень, які можуть приймати ці

характеристики, та враховано їх при проведенні аналізу та обчисленні оцінок

невідомих параметрів корельованих негаусових процесів при кумулянтному описі.

3. Удосконалено метод максимізації полінома для оцінювання параметрів

випадкових процесів, що надало можливість створити нові ефективні методи

синтезу нелінійних обчислювальних поліноміальних алгоритмів визначення

параметрів корельованих негаусових випадкових процесів.

4 На основі розроблених методів синтезовано обчислювальні алгоритми

оцінювання параметрів корельованих асиметричних, ексцесних і асиметрично-

19

ексцесних негаусових випадкових процесів з кращими точністними

характеристиками, що дозволило підвищити точність статистичної обробки даних в

інформаційно-вимірювальних системах, системах діагностики, моніторингу,

контролю. Збільшення точності проявляється в зменшенні дисперсії оцінок

параметрів більше ніж в 2 рази в порівнянні з методом моментів і методом

максимальної правдоподібності при гаусовому розподілі і залежить від

статистичних параметрів випадкового процесу і степеня оціночного полінома.

5. На основі розроблених моделей та методів отримано статистичні

властивості обчислювальних алгоритмів оцінювання, які враховують такі

характеристики негаусових випадкових процесів, як-то: кумулянтні коефіцієнти

третього (коефіцієнт асиметрії) та четвертого (коефіцієнт ексцесу) порядків, сумісні

кумулянтні функції, що дозволяє збільшити точність оцінювання параметрів

корельованих негаусових випадкових процесів.

6. Розроблено програмний комплекс; його структура і набір програмних

модулів забезпечують проведення комп'ютерного моделювання оцінювання

параметрів корельованих негаусових випадкових процесів. Шляхом розробки

методу генерації псевдовипадкових корельованих послідовностей з кумулянтними

функціями вищих порядків наперед заданого виду та використанням нових

поліноміальних алгоритмів проведено обчислювальні експерименти на модельних

задачах, апробовано програмні модулі. Вирішення практичних задач показало

спроможність та ефективність розробленого програмного комплексу в цілому.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

У наукових фахових виданнях:

1. Палагін В.В. Анализ полиномиальных методов оценивания параметров

коррелированных негуассовских случайных величин / В.В. Палагін, О.В. Івченко

// Східно-Європейський журнал передових технологій»: Математика і

кібернетика – прикладні аспекти, Вип ¼ (67), 2014. – C. 29-33. (Наукометричне

видання). 2. Лега Ю.Г. Імітаційне моделювання оцінювання параметра асиметрії

асиметрично-ексцесних корельованих випадкових процесів / Ю.Г. Лега,

В.В. Палагін, О.В. Івченко // Науковий вісник Чернівецького університету:

збірник наук. праць. Фізика. Електроніка.- Т. 2, Вип 1. – Чернівці: Чернівецький

національний університет, 2012. – C. 48-51.

3. Палагін В.В. Оцінювання параметрів негаусівських корельованих випадкових

процесів / В.В. Палагін, О.В. Івченко // Математичне та комп’ютерне

моделюваня. Серія: Технічні науки: зб. наук. праць / Інститут кібернетики

ім. В.М. Глушкова Національної академії наук України, Кам’янець-Подільський

національний університет ім. Івана Огієнка; [редкол. Ю.Г. Кривонос (відп.ред.)

та ін.]. - Кам’янець-Подільський: Кам’янець-Подільський національний

університет ім. Івана Огієнка, 2012. ― Вип.7. – С.172–176.

4. Івченко О.В. Оцінювання дисперсії корельованої ексцесної завади методом

максимізації полінома/ О.В. Івченко // Научно-технический журнал

«Электроника и связь» - Київ. – 2010. – №6(59) часть 1. – C. 27–31.

20

5. Палагін В.В. Особливості оцінювання параметрів статистично залежних

випадкових величин / В.В. Палагін, О.В. Івченко // Вісник ЧДТУ. ― 2009. ― №1.

― С.73–78.

6. Палагін В.В. Оцінка параметра асиметрії корельованої негауссівської завади

методом максимізації полінома / В.В. Палагін, О.В. Івченко // Вісник ЧДТУ.―

2009. ― №2. ― С. 67–72.

7. Палагін В.В. Адаптація методу максимізації полінома для оцінки параметрів

випадкових величин за статистично залежною вибіркою / В.В. Палагін,

О.В. Івченко // Системи обробки інформації. Харківський університет

повітряних сил ім. Івана Кожедуба, 2009. ― Вип. 2(76). ― С. 118–123.

8. Палагін В.В. Оцінка скалярного параметра корельованої ексцесної випадкової

величини 1-го типу 1-го виду методом максимізації полінома / В.В. Палагін,

О.В. Івченко // Вісник Інженерної Академії України. ― 2009. ― №2. – С. 268–274.

9. Палагін В.В. Генерування реалізації стаціонарних стохастичних процесів з

кореляцією вхідних даних при моделюванні / В.В. Палагін, О.В. Івченко,

В.В. Філіпов // Вісник ЧДТУ. ― 2009. ― №4. ― С. 49–53.

10. Палагін В.В. Оцінка скалярного параметра корельованої асиметричної

випадкової величини першого типу першого виду методом максимізації

полінома / В.В. Палагін, О.В. Івченко // Інформаційні технології та комп’ютерна

інженерія. - Вінниця. ― 2009. ― №3. ― С. 64–72.

11. Палагін В.В. Алгоритми опрацювання сигналів при рознесеному прийомі /

В.В. Палагін, О.В. Івченко // Вісник ЧДТУ. ― 2008. ― №3. С.9–13.

В інших виданнях:

12. Пат. на корисну модель № 64971 Україна, МПК G06F7/58 (2006.01). Спосіб

генерації корельованих випадкових величин / Ю.Г. Лега, В.В. Палагін,

А.В. Чепинога, О.В. Івченко; заявл. 18.04.2011; Опубл. 25.11.2011, Бюл. № 22.

13. Палагін В.В. Оцінювання параметрів випадкових негаусових корельованих

процесів методом максимізації полінома/ В.В. Палагін, О.В. Івченко //

Інформаційні технологій та комп’ютерна інженерія. Матеріали п’ятої

міжнародної науково-практичної конференції – Івано-Франківськ – Вінниця,

2015. – С. 193-195.

14. Івченко О.В. Особливості опису стохастичних процесів за допомогою

статистичних характеристик вищих порядків / О.В. Івченко // Праці V

Міжнародної науково-практичної конференції «Обробка сигналів і

негауссівських процесів», присвячені пам’яті професора Ю.П. Кунченка: Тези

доповідей. – Черкаси: ЧДТУ, 2015. – С. 35–37.

15. Івченко О.В. Оцінювання скалярного параметра асиметричного випадкового

процесу при різних видах кореляційного зв’язку між вибірковими значеннями /

О.В. Івченко, Д.В. Івченко // «Фізико-технологічні проблеми радіотехнічних

пристроїв, засобів телекомунікацій, нано- та мікроелектроніки": Матеріали IV

Міжнародної науково-практичної конференції – Чернівці: «Місто», 2014. –

С. 91 –92.

16. Палагін В.В. Поліноміальні алгоритми оцінювання дисперсії корельованої

ексцесної випадкової послідовності / В.В. Палагін, О.В. Івченко // Міжнародна

21

науково-технічна конференція «Радіотехнічні поля, сигнали, апарати та

системи». – Київ: КПІ, 2014. – С. 36-38. (Дисертантом проведений аналіз впливу

ефективності оцінок з ростом степеня полінома шляхом порівняння дисперсій

оцінок, що отримані різними методами).

17. Палагін В.В. Особливості оцінювання параметрів корельованих випадкових

послідовностей методом максимізації полінома / В.В. Палагін, О.В. Івченко // 12-

та Міжнародна науково-технічна конференція "Сучасні проблеми

радіоелектроніки, телекомунікацій та комп’ютерної інженерії". – Львів,

Національний університет "Львівська політехніка", 2014. – С. 81-82.

(Дисертантом проведено порівняння існуючих методів оцінювання параметрів

статистично залежних випадкових процесів).

18. Лега Ю.Г. Рекурентні методи рішення рівняння максимізації полінома при

корельованій вибірці / Ю.Г. Лега, В.В. Палагін, О.В. Івченко // Праці ІV

Міжнародної науково-практичної конференції «Обробка сигналів і

негауссівських процесів», присвячені пам’яті професора Ю.П. Кунченка: Тези

доповідей. – Черкаси: ЧДТУ, 2013. – С. 163–165. (Дисертантом запропоновані

рекурентні методи рішення рівняння максимізації полінома при корельованій

вибірці, а саме процедури Ньютона-Рафсона).

19. Івченко О.В. Анализ эффективности нелинейных алгоритмов оценивания

параметров статистически зависимых негауссовских процессов / О.В. Івченко //

Статистичні методи обробки сигналів і даних: Матеріали Міжнародної наукової

конференції – К.: НАУ, 2013. – С. 75-77.

20. Івченко О.В. Об’єм тіл і області допустимих значень ексцесних корельованих

випадкових процесів/ О.В. Івченко // Праці III Міжнародної науково-практичної

конференції «Обробка сигналів і негауссівських процесів», присвячені пам’яті

професора Ю.П. Кунченка: Тези доповідей. – Черкаси: ЧДТУ, 2011. – С. 38–40.

21. Лега Ю.Г. Генерування випадкових послідовностей з між елементною

кореляцією наперед заданого виду / Ю.Г. Лега, В.В. Палагін, О.В. Івченко //

Інтегровані інтелектуальні робототехнічні комплекси (ІІРТК-2010). Третя

міжнародна науково-практична конференція – Київ: НАУ, 2010. – С. 212-214.

22. Івченко О.В. Алгоритми оцінки параметрів негаусівських випадкових процесів

за статистично залежною вибіркою методом максимізації полінома /

О.В. Івченко // Materialy VI mezinarodni vedecko – prakticka conference “Dny vedy

– 2010” – Praha, 2010. – С. 16–19.

23. Івченко О.В. Особливості застосування моментно-кумулянтного опису

статистично залежних випадкових величин/ О.В. Івченко. // Materialy V

mezinarodni vedecko – prakticka conference “Moderni vymozenosti vedy – 2010” –

Praha, 2010. – С. 29–31.

24. Івченко О.В. Алгоритми оцінювання параметрів негауссівських корельованих

сигналів методом максимізації полінома / О.В. Івченко // 13-й міжнародний

молодіжний форум «Радіоелектроніка і молодь в ХХІ ст.»: Зб. матеріалів

форуму. Ч.1. – Харків: ХНУРЕ, 2009. – С. 92.

25. Івченко О.В. Особливості застосування моментно-кумулянтного опису

статистично залежних випадкових величин/ О.В. Івченко // Праці II Міжнародної

науково-практичної конференції «Обробка сигналів і негауссівських процесів»,

22

присвячені пам’яті професора Ю.П. Кунченка: Тези доповідей. – Черкаси:

ЧДТУ, 2009. – С. 59–61.

26. Лега Ю.Г. Поліноміальні алгоритми опрацювання сигналів на тлі негауссівських

завад при рознесеному прийомі/ Ю.Г. Лега, В.В. Палагін, О.В. Івченко // Сучасні

проблеми і досягнення в галузі радіотехніки, телекомунікацій та інформаційних

технологій: Тези доповідей ІV Міжнародної науково-практичної конференції –

Запоріжжя: ЗНТУ, 2008. – С. 69-70.

АНОТАЦІЯ

Івченко О. В. Математичні моделі, методи та засоби оцінювання параметрів

негаусових корельованих випадкових процесів. ― Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за

спеціальністю 01.05.02 ― математичне моделювання та обчислювальні методи. –

Черкаський державний технологічний університет. ― Черкаси, 2016.

Дисертаційна робота висвітлює розробку принципово нових обчислювальних

методів та алгоритмів оцінювання параметрів негаусового корельованого процесу

для математичної моделі адитивного випадкового процесу, що є близьким до

гаусового. При побудові алгоритмів використовуються нові моделі корельованих

процесів і удосконалений метод максимізації полінома (метод Кунченка). Метод

максимізації полінома лежить в основі побудови високоточністних алгоритмів

оцінювання параметрів корельованого процесу з апріорною інформацією у вигляді

кумулянтів і кумулянтних функцій.

Синтезовані обчислювальні алгоритми оцінювання параметра корельованого

процесу є принципово новими, при цьому використовується моментно-кумулянтний

опис. Проведено порівняльний аналіз точності отриманих оцінок з оцінкою

аналогічного параметра, знайденою методом моментів і ММП. Показано, що

синтезовані обчислювальні алгоритми в цілому є ефективними, а вимірювачі,

побудовані на їх основі, дозволяють підвищити точність оцінювання. Ефективність

отриманих алгоритмів підтверджено комп’ютерним моделюванням.

Ключові слова: статистичне оцінювання параметрів, моментно-кумулянтний

опис, метод максимізації полінома, корельовані випадкові негаусові процеси.

АННОТАЦИЯ

Ивченко А.В. Математические модели, методы и средства оценивания

параметров негауссовых коррелированных случайных процессов. ― Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по

специальности 01.05.02 – математическое моделирование и вычислительные

методы. ― Черкасский государственный технологический университет. ―

Черкассы, 2016.

Диссертация посвящена разработке принципиально новых вычислительных

методов и алгоритмов оценивания параметра негауссовых коррелированных

процессов для математической модели процессов, близких к гауссовому. При

построении алгоритмов были разработаны новые модели коррелированных

процессов и усовершенствован метод максимизации полинома (метод Кунченка),

который позволяет находить высокоточные алгоритмы оценивания параметра

23

коррелированного процесса, имея априорную информацию в виде кумулянтов и

кумулянтных функций.

Синтезированные вычислительные алгоритмы оценивания параметра

коррелированного процесса являются принципиально новыми, а при синтезе

использовано моментно-кумулянтное описание. Показано, что синтезированные

вычислительные алгоритмы в целом эффективны, а измерители, построенные на их

основе, позволяют повысить точность оценивания. Эффективность полученных

алгоритмов подтверждена имитационным моделированием.

Показано, что использование моментно-кумулянтного описания позволяет

отображать важные свойства отличных от гауссовых случайных процессов. При

этом отмечается, что кумулянтное описание имеет ряд преимуществ по сравнению с

моментным. А именно: все виды статистической связи, которые могут существовать

между элементами исследуемой последовательности значений процесса (выборкой),

могут быть отображены с помощью кумулянтних функций.

На основе кумулянтного описания выделено три класса случайных

коррелированных процессов, которые близки к гауссовым: асимметричные,

эксцесные, асимметрично-эксцесные коррелированы случайные процессы.

Для синтеза алгоритмов оценивания параметра негауссовых коррелированных

процессов в работе проведено усовершенствование метода максимизации полинома

с использованием стохастических полиномов, который широко используется для

оценивания параметров по независимой выборке, взятой из исследуемого

случайного процесса.

На основе разработанных моделей коррелированных случайных процессов и

усовершенствованного метода максимизации полинома проведен синтез и анализ

вычислительных алгоритмов оценивания параметров случайных процессов. В

качестве математических моделей реальных процессов, параметры которых

необходимо оценить, предлагается рассмотреть асимметричные, эксцесные и

асимметрично-эксцесные коррелированные случайные процессы.

Проведенные исследования показывают, что учет параметров негауссовых

процессов в виде кумулянтных коэффициентов третьего и выше порядков позволяет

повысить эффективность обработки выборочных значений по оценке параметров

процессов усовершенствованным методом максимизации полинома в виде

уменьшения их дисперсий по сравнению с оценками метода моментов.

Анализ дисперсий полученных оценок показывает их меньшие значения, по

сравнению с оценками параметров этих же случайных процессов, найденных

методом максимизации полинома, который не учитывает корреляцию. Показано,

что с ростом степени стохастического полинома, который используется в

усовершенствованном методе, дисперсии оценок уменьшаются. По мере

уменьшения величины статистической связи между значениями выборки процесса

дисперсии оценок, которые найдены усовершенствованным и не адаптированным

методом максимизации полинома становятся равными. Проведенный анализ

теоретических исследований свидетельствует о целесообразности использования

усовершенствованного метода максимизации полинома для оценивания параметров

коррелированных негауссовых процессов.

Предложенный подход к построению генератора негауссовых случайных

24

последовательностей, который позволяет получать выборочные значения, в основе

которых лежит негауссовый закон распределения. При этом полученную выборку

можно рассматривать как коррелированную с кумулянтными коэфициентами и

корреляционной функцией заранее заданного вида, что дает широкие возможности

моделирования негауссовых случайных процессов, в которых необходимо

учитывать наличие корреляции.

Результаты имитационного моделирования экспериментально подтверждают

эффективность применения усовершенствованного метода Кунченко для

оценивания параметров коррелированных процессов с учетом их моментно-

кумулянтного представления. Разработаны обобщенные структурные схемы

полиномиальных алгоритмов оценивания параметров негауссовых процессов,

характеризующиеся своей простой реализацией, высокой эффективностью.

Ключевые слова: статистическое оценивание параметров, моментно-

кумулянтное описание, метод максимизации полинома, коррелированные

случайные негауссовые процессы.

ABSTRACT

Ivchenko O.V. Mathematical models, methods and tools for estimating the

parameters of correlated non-Gaussian stochastic processes. – As a manuscript.

Thesis to obtain the scientific degree Candidate of Technical Sciences in speciality

01.05.02 – mathematical modelling and numerical methods. – Cherkasy State

Technological University. – Cherkasy, 2016.

The thesis is devoted to the development of crucially new methods and algorithms

for estimation the parameters of correlated non-Gaussian processes for mathematical

model of additive random process, which is close to Gaussian. For constructing of the

algorithms were used models of correlated processes and modified polynomial

maximization method (Kunchenko method). The method allows to find the optimal

algorithm for estimation of parameters of correlated processes, having priori information

in the form of cumulants and cumulants functions.

Synthesized computational algorithms used for parameter estimation of correlated

non-Gaussian stochastic processes are fundamentally new and additionally is used

instantaneous cumulative description.

As a part of the work was performed comparative analysis of accuracy of received

estimations with the same estimation parameter found by method of moments and MLE. It

was proven that synthesized computational algorithms in general are effective and optimal

measurers, built on basis advised algorithms can improve measurement accuracy.

Efficiency of received algorithms is confirmed by computer modeling.

Keywords: Statistical estimation of parameters, moment-cumulate description,

modified polynomial maximization method, correlated non-Gaussian stochastic processes.