ПРОГРАМНА СИСТЕМА IC 2 · математиката, което дава възможност за пресмятане на почти всички формули
формули зведення
Transcript of формули зведення
На допомогу учням 10 класу при вивченні теми Формули зведення.
0 1
1
x
y
I чвертьII чверть
III чверть
IV чверть
0180
090
0270
ФОРМУЛИ ЗВЕДЕННЯ
• - це формули, що дозволяють виражати значення тригономе-тричних функцій будь - якого кута через функції кута першої чверті, тобто менших за 90°.
x
y
0 cos
sin
900+
1800+
2700+
Побудуємо довільний гострий кут повороту .
Тепер зобразимо кути 900+ , 1800+ , 2700+ и 3600+ .
сos(900+)
sin(900+)
сos(1800+)
sin(1800+)
sin(2700+)
cos(2700+)
, 3600+
З рівності прямокутних трикутників можна зробити висновок, що:
cos=sin(900+ )=–cos(1800+ )=–sin(2700+ )=cos(3600+ ), а также
sin=–cos(900+ )=–sin(1800+ )=cos(2700+ )=sin(3600+ ).
Розглянемо приклади:
В градусній мірі: В радіанах:
10200=900·11+300=900·12–60028
18 193 2 3 2 6
· ·
1020 901190
1209030
28 28 2 56 2 2 118 18 19
3 3 3 3 3 3·
Помножте отримані суму чи різницю на й отримайте шукані вирази.
2
В обох випадаках ми досягли наступного: аргумент тригонометричної функції подано у вигляді цілого числа прямих кутів плюс чи мінус якийсь гострий кут.
ПРАВИЛО 1. ЯКЩО КУТ ВІДКЛАДАЮТЬ ВІД ОСІ ОX, ТО НАЙМЕНУВАННЯ ФУНКЦІЇ НЕ
ЗМІНЮЄТЬСЯ.
0 x
y
02
III
III IV
2
ПРАВИЛО 1. А ЯКЩО КУТ ВІДКЛАДАЮТЬ ВІД ОСІ ОY, ТО НАЙМЕНУВАННЯ ФУНКЦІЇ
ЗМІНЮЄТЬСЯ.
0 x
y
0
23
III
III IV
2
2
23
cossin ctgtg
ПРАВИЛО 2. ЗНАК В ПРАВІЙ ЧАСТИНІ ФОРМУЛИ ВИЗНАЧАЄТЬСЯ ЗА ЗНАКОМ ФУНКЦІЇ В ЛІВІЙ
ЧАСТИНІ.
0 x
y
02
2sin sin
sin sin
tg tg
2cos cos
III
III IV
2ctg ctg
ПРАВИЛО 2. ЗНАК В ПРАВІЙ ЧАСТИНІ ФОРМУЛИ ВИЗНАЧАЄТЬСЯ ЗА ЗНАКОМ ФУНКЦІЇ В ЛІВІЙ
ЧАСТИНІ.
0 x
y
0
III
III IV
2
23
2sin cos
23cos sin
2tg ctg
tg
23ctg
Пригадаємо знаки тригонометричних функцій
х
0
у
1
1
х
0
у
1
1
х
0
у
1
1
Знаки синуса
Знаки косинуса
Знаки тангенса й котангенса
++ ++
+
+––––
–
–
Приклад.
Знайти sin 10200.
Розв‘язання. Спочатку подамо даний кут в потрібному нам вигляді:
10200=900·11+300=900·12–600
I II
0 0 0 01020 90 30 31 01sin sin · cos
0 0 0 01020 90 60 62 01sin sin · sin
У першому випадку нам доведеться змінювати дану функцію синус на кофункцію – косинус (кількість прямих кутів непарне – 11), у другому функція синус збережеться.
I
II
Залишається нез'ясованим питання про знак перед отриманим результатом. Для його вирішення нам необхідно вміти працювати з одиничним тригонометричним колом (уважно слідкуйте за обертанням точки):
?
?
х
у
0 1
1
х
у
0 1
1
I II
12
3 4
56
7 8
910
11
12
3 4
56
7 8
910
11 12
В будь-якому випадку виходить IV чверть, у якій синус набуває від‘ємних значень.
– –
Отже, 0 0 0 0 3
1020 90 3011 302
sin sin · cos
0 0 0 0 31020 90 6012 60
2sin sin · s in .