This article was downloaded by: [Florida State University]On: 04 October 2014, At: 16:23Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954Registered office: Mortimer House, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH,UK

Geodezijos DarbaiPublication details, including instructions forauthors and subscription information:http://www.tandfonline.com/loi/tgac18

ДВИЖЕНИЕБЛИЗПАРАБОЛИЧЕСКОГОСПУТНИКА ВГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕЗЕМЛИП. А. Петрошкявичюс a , Petras Petroškevičius &Petras Petroškevičiusa Вильнюсский инженерно-строительныйинститут Кафедра геодезииPublished online: 27 Sep 2012.

To cite this article: П. А. Петрошкявичюс , Petras Petroškevičius & PetrasPetroškevičius (1979) ДВИЖЕНИЕ БЛИЗПАРАБОЛИЧЕСКОГО СПУТНИКАВ ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ЗЕМЛИ, Geodezijos Darbai, 9:1, 112-120, DOI:10.1080/13921843.1979.10553183

To link to this article: http://dx.doi.org/10.1080/13921843.1979.10553183

PLEASE SCROLL DOWN FOR ARTICLE

Taylor & Francis makes every effort to ensure the accuracy of all theinformation (the “Content”) contained in the publications on our platform.However, Taylor & Francis, our agents, and our licensors make norepresentations or warranties whatsoever as to the accuracy, completeness,or suitability for any purpose of the Content. Any opinions and viewsexpressed in this publication are the opinions and views of the authors, andare not the views of or endorsed by Taylor & Francis. The accuracy of theContent should not be relied upon and should be independently verified withprimary sources of information. Taylor and Francis shall not be liable for anylosses, actions, claims, proceedings, demands, costs, expenses, damages,and other liabilities whatsoever or howsoever caused arising directly orindirectly in connection with, in relation to or arising out of the use of theContent.

This article may be used for research, teaching, and private study purposes.Any substantial or systematic reproduction, redistribution, reselling, loan,sub-licensing, systematic supply, or distribution in any form to anyone is

expressly forbidden. Terms & Conditions of access and use can be found athttp://www.tandfonline.com/page/terms-and-conditions

Dow

nloa

ded

by [

Flor

ida

Stat

e U

nive

rsity

] at

16:

23 0

4 O

ctob

er 2

014

GEODEZIJOS DARBAI, IX t., 1979

УДI( 521.1+521.4

ДВИЖЕНИЕ БЛИЗПАРАБОЛИЧЕСКОГО СПУТНИКА

В ГРАВИТАЦИОННОМ ПОЛЕ ЗЕМЛИ

П. А. Петр о ш к я в и ч юс

В настоящей статье приводятся дифференциальные уравнения Лаг­

ранжа, пригодные для близпараболического возмущенного движения, и

рассматриваются возмущения близпараболических орбит искусственных

спутников Земли (ИСЗ) под действием геопотенциала.

Уравнения Лаrранжа

Введем следующую систему оскулирующих элементов

Q, i, (t), q, у, ао,

где Q- долгота восходящего узла, i- наклон орбиты, u)- угловое рас­

стояние периген от узла,

q=a(l-e)

- перигейное расстояние, а- большая полуось орбиты,

е- эксцентриситет орбиты,

1-е у= -2-'

t Vo ао= g 2,

Vo- истинная аномалия параболического движения, имеющего то же

Перигейное расстояние, что и эллиптическое движение.

Используя классическую систему уравнений Лагранжа [1, 2) и учи­тывая, что

1 ~- м ао+ 3 ао- }/ 2 Jf(l-e)З.

112

Dow

nloa

ded

by [

Flor

ida

Stat

e U

nive

rsity

] at

16:

23 0

4 O

ctob

er 2

014

гре М- средняя аномалия, можно написать следующую систему урав­

нений:

dq Jfq дR Jf2JfqJ!т=:( дR dt =- у2у /1. (1-2"'() (l+a6) дао + у /1. (1-2"'() дrо

~l _ _ 1 - 1 дR Jf2 1 Yl-1 дR dt- V2V/l.VQ (l-2j)(l+a~)дa0 +J/!J."Jfq(1-2j)дw'

di ctgl дR cosec i дR

dt - V-2 Jf /1. V q Jf 1 - "'( дrо - Jf 2 V /1. Jf -q V 1-"'( дQ '

dro dt=-

dQ cosec i дR

d'!=y2y,.,. yqJft-,дl'

"Jf2 Jfq Jfl=Т дR у2-у J/l=Т Jf /1. ( 1 - 2j) дq v /1. v q ( 1 - 2j)

дR -t­дi

3Vi=1 (ао+{ аБ) дR- ctgi дR +y-2"Jf!J.V.q(1-2j)(I+a~) дао Jf2y,.,.yqJf1-"'( дi'

dan = v~ + Vq дR dt "Jf2q3i2(1+a5) Jf2Jf!J.(l-2"'()(1+a~) дq-

3V1-"'((ao+ ~а~) дR + 1--у дR

}r /1. yq (1- 2"'() (1 +а6) доо Jf2 у /1. у q (1- 2j)(1+a6) д1'

где R- пертурбационная функция.

(1)

В несколько упрощенном виде аналогичная система получена и в

работе [3].

При введении вместо ао элемента cro, как значения ао для некоторой эпохи, надо в уравнениях системы ( 1) О"о заменить ао и пер­вый член в правой части последнего уравнения приравнять к нулю.

В этом случае величина а0 вычисляется по формуле t

1 з _ - _l_ -;;-з + ур:- j" V "'( 3

а0+- а0 -ао+ 3 о V у ,r- dt, 3 2 -уз r qз (2)

lo

11 - некоторая постоянная.

Если возмущающая сила не зависит от времени t, а зависит только от координат и составляющих скорости, то в этом случае время t можно исключить из уравнений Лагранжа, приняв за независимую переменную

величину О'о, которая однозначно связана с временем и растет одновре­

менно с ним. На основании последнего уравнения системы ( 1) можем написать формулу для перехода от t ·к О'о

d3 1 d3 dao = у 11- дR дR дR dt '

-=::--::-=-...,....-----".,.-- + F- + О - + Н -V 2 у qз ( 1 +а~) дq дrо д"'(

(3)

113

Dow

nloa

ded

by [

Flor

ida

Stat

e U

nive

rsity

] at

16:

23 0

4 O

ctob

er 2

014

где F- yq

- У2 У~ ( 1-2-r)(l+a~)' ,r- 1 з

3 r 1--r (ао+з au)

G=- - • У2 У !J. У q(l-2-r)(l +а~)

1--r Н= у~ у !J. yq(1-2-r)(t ta~)'

(4)

здесь э- любой оскулирующий элемент.

При рассмотрении возмущений первого порядка величины F, G и Н могут быть приняты равными нулю. Тогда будем иметь следующую си­

стему уравнений:

или

dq qc дR 2q2yi--r (l+a~) дR -da-

0 = - p.-(-1--2-r-) -да-0 + --!J.-;-:( 1;---;2"-r') - дю '

d-r q(1--r) дR 2q-rYI--r (1 +а~) дR da0 =- ~J-(1-:..-r) да0 + !J.(l-2-r) дю'

dl qctgl(l+ а~) дR qcoseci · (1 +а~) дR dao =- ~J.Y1--r дю ~J.Y1-1 дQ'

dQ. q(1 +a~)cosec l дR dao = 1-'·Yl--r дf '

dю 2q•JI1 -r(l+a~)дR 2q-rY1--r(1+a~)дR da0 =- ~J-(1-2-r) дq - p.(l-2-r) . ) 7Ji +

q(I+a~)ctg l дR p.y1--r д[.

Связь между t и а0 получается из уравнения

1

l ,

(5)

(б)

К системе (5) может быть присоединено и шестое уравнение в виде

dаовозм. =l+ ~ дR _ da0 ~J-(1-2-r) дq

.,;~ 1 3) Зqr 1--r(au+зao дR q(1--r) дR (7)

!J.(l-2-r) дю + p.(1-2-r) д-(

1 2 3qY1--r(;u+з!~g) (1 +а~) дR d;n - q2( +а о) дR - - + da

0- ~J-(1-2-r)(l+aб) дq ~J-(1-2-r)(l+~~) дю

q(1--r)(l+a~) дR + ~J-(1-2-r) (l+a~) д-f"

(8)

В работе (5) для той же системы оскулирующих элементов полу­чены и уравнения Ньютона.

114

Dow

nloa

ded

by [

Flor

ida

Stat

e U

nive

rsity

] at

16:

23 0

4 O

ctob

er 2

014

Пертурбационная функция

Согласно работе (4), потенциал гравитационного поля Земли может быть представлен в виде

(9)

где второе слагаемое в правой части представляет собой пертурбацион­

ную функцию. Произвольный член ряда (9) равен

1

R1ш= r~:~ ~Flmp(i) Х р=О

х{[ c,m]l-m чет cos[(l-2p)v+ (l-2р)ш +m(Q-8)] + , -Sim I-m нечет

+[S'm]z-mчeт sin[(l-2p)v+(l-2p)ro +m(Q-8)] }• (10) Clm 1-m нечет

где аа- средний экваториальный радиус Земли; r, v- геоцентрическое

расстояние и истинная аномалия спутника; е- гринвичское звездное

время; C1m, S1m- постоянные коэффициенты, зависящие от фигуры и

внутреннего строения Земли. Функции наклона орбиты суть [4]:

F ( i) - ~ (2l-2t)! sinl -m-щ Х lшр - ~t!(l-t)! (/-m-2!)! 221-2!

t

Причем t изменяется от О до р или E(i~m) (в зависимости от того, что

меньше), а суммирование выnолняется по всем значениям с, при кото­рых биномиальные коэффициенты отличны от нуля.

Используя разложения координат невозмущенного движения в ря­ды [5]

00 00

(~у sinpv= ~vn ~S~ (n, а, р)а5''+ 1 , (12) n=O v=O

00 00

(~У cos pv = ~ Vн ~N~ (n, а, р) СJ5•+2п ' ( 13) п~О v=O

00 00

при ао<1 и (~У sin pv= ~ vн ~S. (n, а, р)ао 2v+2n+2a-1' ( 14) n=O v-0

(&) .. cos pv= ~ vн~N. (n, а, р)аба+2п-2•, n=O v=O

( 15)

115

Dow

nloa

ded

by [

Flor

ida

Stat

e U

nive

rsity

] at

16:

23 0

4 O

ctob

er 2

014

при а0> 1, которые сходятся абсолютно для значений эксцентриситета в интервале О~е< 1, представим пертурбационную функцию в зависи­мости от элементов орбиты:

l l

R1m= р.аэ ~ Flmp(i) Х ql·il~

р~О

{[ [ С ]l-m чет х ~s cos [ (l- 2р) (1) + m ( Q- е) ] +

Im 1-т нечет

+ [ ~Im ll-тn чeтsin [ (l-2р)ш +m(Q-e)] Х _ Jlm ~ l-m нечет

00 00

~ 11"-,N~ (n, -l-1, l-2p)a~•+2n Х ~'У ~N. (n, -l-1, l-2p)a02•+2n-2t-2 +

n=O v=O

r [ s1 ]/-тчет

+ с!: l--тнечетсоs[(l-2р)ш+m(Q-е)]-

[ С ]l-т чет ] - ~s sin[(l-2p)ш+m(Q-e)] х Im 1-т нечет

(16)

где верхняя строка в разложениях относится к случаю, когда ао< 1, а

нижняя- когда ао> 1. После введения обозначений

Slmpn{Ш, Q, О"о, Е>)= 00

~rNI a2n = ~ N:(n, -l-1,l-2p)W!mp(w,Q,e)+_21 _ 2 +

v=O

+ ~~ (n, -l-1, l-2p)Z!mp(ш, Q, е)~~п-21_3 ] cr~ 2• (17) • о

(показатель степени а0 надо взять с плюсом при а0< 1 и с минусом при ао>1),

WJmp{Ш, Q, е)=

= [ ~s J l- т чет cos [ ( l- 2р) (J) +т ( Q- е)] + Im l-т нечет

[ S ] 1-т чет + dщ sin[(l-2p)ш +m(Q-e)],

Im 1-т нечет ( 18)

Z!mp(ш, Q, 8) =

= lщ cos[(l-2p)ш+m(Q-e)]-[

S ]1-- т чет C1m l- т нечет

[С ] 1-т чет - ~s siп[(l-2p)ш+m(Q-e)],

IDl l- nz нечет ( 19)

116

Dow

nloa

ded

by [

Flor

ida

Stat

e U

nive

rsity

] at

16:

23 0

4 O

ctob

er 2

014

выражение для произвольнога члена ряда, представляющего пертурба­

ционную функцию, может быть записано в следующем виде:

(20)

Зададимся конкретными индексами р и n и будем рассматривать возмущения от

(21)

Возмущения первого порядка

Llля получения возмущений первого порядка воспользуемся систе­

мой дифференциальных уравнений Лагранжа (5, 7). Подставляя пертурбационную функцию (21) в дифференциальные

уравнения, после интегрирования получим

а1 п бqiшpn= q1!:_ 1 (l "( 21) Flшp(i) Х

"" х ~{Z: (n, -t-1, t-2p) [ 2'V1-v(t-2p) zlmp(w, Q, е) х

v=O

( (2n+2v+ l)-1

Х (2n-2l-2v+ 1) - 100 + (2n+2v+З)- 1 з) ]аgп + (2n-2l-2v-1)-l ао - Wimp(w, Q, 8) a~n-21-2

- s~ (n, -l-1, l-2p) [2-V1-v(l-2p) Wlmp(w, Q, 8) х s.

( (2v+2)-1 (2v+4)-1 з)

Х (2n-2l-2v-2)-t 00 + (2n-2l-2v)-1 °0 +

+Zimp(w, Q, е) J:gп-u-a} а~2',

бV!mpn = (а; У(\:__::.!"() Flmp (i) Х 00

x~{z: (n, -l-1, t-2p) [ 2vVt-,x v=O

( (2n+2v+ 1)-1

Х (l-2p) Zimp(w, Q, 8) (2n- 2l- 2v- 1)-t cro+

(2n+2v+З}-1 ) ] a~n + (2n-2l-2v-l)-1 ag - (1-v}Wimp(w, Q, 8} . ao2n-2t-2-

(22)

sl [ - ((2v+2)-1 - s:(n, -l-1, l-2p), 21V1- 1(t-2p)W 1pm(ш,Q,8J (2n- 2l- 2v- 2)-t cro+

117

Dow

nloa

ded

by [

Flor

ida

Stat

e U

nive

rsity

] at

16:

23 0

4 O

ctob

er 2

014

(2v+4)-l 3 .) ( 1 )Z ( g а)] cro } +2v + (2n-2l-2v)-1 ао + -:-У Imp ro, 'о a~n-21-3 ао '

бitmpn= (а; у у;~ 1

Ftmp(i) ( (l-2p)ctg i-m cosec i) Х 00

х ~{Z: (n, -t-1. t-2p) Ztmp(ro, Q, е) х v=O

[ (2n+2v+l)-1 (2n+2v+З)-I 2 ] agn+t

Х (2n-2l-2v+ 1)-1 + (2.n-2l-2v-l)-1 °0 agn-21-l-

s~ _ (n, -l-1, l-2p) Wtmp(ro, Q, Е>) Х s. . [ (2v+4)-l (2v+4)-1

2 J а~ } ±2• Х (2n-2l-2y-2)-1 + (2n-2l-2v)-1 °о a&n-21-2 °о •

6Q = (~) 1 1n cosec i дF 1mp(i) Х lmpн ~r 1 д

q r --у 1 00

~{N~ [ (2n+2v+1)-1 Х ~ N. (n, -l-1, l-2p) Wtшp(ro, Q, Е>) (2n_ 21 _ 2v-l)-1 +

v=O

(2n+2v+З)-1 ] 2n+t st

+ (2n-2l-2v+ I)-1 °~ :~n-21-t + s: (n, -l-1, l-

(23)

(24)

[ (2v+2)-1 (2v+4)-1 ] ag } +2•

- 2P)Ztmp(ro, Q, Е>) (2n-2l-2v-2)-1 + (2n-2/-2v)-1 а~"-21-2 аи ' (25)

6ro = (·~)t-ynyг=-:y Х lmpn q (1 __ 2У) 00

Х ~{~: (n, -l-1, /-2p)Wtmp(ro, Q, Е>) [ ( 2Ftmp(i)(l-n+ l)-

•=0

(1 _ 2-у) t . дF1mp(l)) ( (2n+2v+ 1 )-1 (2n+2v+З)- 1 2)

- (1--у) с gt дl \ (2n-2l+2v-I)-1 + (2n-2l+2v+I)-1 00 + +Ftmp(i) (2n+2v) (з (2n+2v+1)-

1

(2n-2l-2v-2) (2n-2l-2v-l)-t + (2n+2v+З)-l 2)] a~n+ 1 S~ + (2n-2l+2v+ I)-1 а о 0~n-21 _ 1 + S. (n, -l-l, l- 2р) Х

[(

(1 -2-у) дF1mp(l)) XZtmp(ro,Q,8) 2(l-n+l)F11np(i)- (1--y)ctgi дl Х

( (2v+2)-1 (2v+4)-1

2 ) • (2v+l) Х (2n-2l-2v-2)-1 + (2n-2l-2v)-1 00 +Ftmp(l) (2n.-2l-2v-3) Х

( (2v+2)-l (2v+4)-1

2 )] а~ } ±2v Х 3(2n-2l-2v-2)-1 + (2n-2l-2v)-1 °0 a5n-21-2 ао ' (26)

( а )1 1n 6О"овоам. lmpn=O"o+ cf- (1- 21) Ftmp(i) Х

118

Dow

nloa

ded

by [

Flor

ida

Stat

e U

nive

rsity

] at

16:

23 0

4 O

ctob

er 2

014

х ~ {~: (n, -l-1, l-2p) [("(!т-т> -l-1) х •=0

(2n+2v+l)-1 v-X Wlmp(ro, Q, 8) (2n_ 21 _ 2v-l)-1 -3 1-y(l-2p) Zlmp(ro, Q, 8) Х

( (2n+2v+2)-1 1 (2n+2v+4)-1

3 )] а5"+1

Х (2n-2l-2v)-1 ао+ 3 (2n-2l-2v+2)-1 00 а5"- 21 - 1 + 51 [( 1 > ) (2v+2)-1 + s: (n, -l-1, l-2p) n( ; "t -l-1 Zimp(ro, Q, 8) (2n- 2l-2v- 2)_1 +

.- ( (2v+З)- 1

+Зу l-r(l-2p)Wimp(ro, Q, 8) (2n- 2l- 2v-l)-1 cro+

1 (2v+5)-1 з)] о~ } ±2•

+ 3 (2n-2l-2v+ l)-1 °о 0~n-21-2 "о ' (27)

Итак, на основании формул (22)- (27) возмущения первого порядка

в элементах близnараболической орбиты могут быть вычислены по сле­

дующим соотношениям:

дq)mpn =бQimpn- {бlmpn)a.=a,•

дy/mpn = бVImpn- ( ~'>Vlmpn)ao=Go '

Дj ~mpn = бiJmpn- ( бiJmpr;)a.='ao'

ДQfmpn = бQJmpn- ( 6QJmpn)ao=;o,

д(t)~mpn = 6WJmpn- ( бWJmpn) а.=;.,

Да~Озм.Imрп =ба о возм.Jmрn- (ба о возм. Impn) а • .:...

Отметим, что для вычисления коэффициентов

~: (n, а, р) и ~: (n, а, р)

(28)

составлены программы для ЭВМ «Минск-32» на языке ФОРТРАН.

Полученные нами формулы целесообразно применять при вычисле­

нии возмущений от геопотенциала, когда эксцентриситет орбиты ИСЗ близок к единице.

Вильнюсский инженерно-строительный институт

Кафедра геодезии

ЛИТЕРАТУРА

Вручено

9.VII.l976

l. Д у б о шин Г. Н. Небесная механика. Основные задач н и методы, М., 1968. 2. С у б б о т и н М. Ф. Введение •В теоретическую астрономию, М., 1968. 3. Е л е н е в с к а я Н. Б. Разложение пертурбационной функции для эксцентриситета, близкого к единице. Бюл. ИТА, т. VШ, N2 6(99). Л., 1962. 4. К а у л а У. Спутниковая геодезия. Теоретические основы, М .. 1970.

119

Dow

nloa

ded

by [

Flor

ida

Stat

e U

nive

rsity

] at

16:

23 0

4 O

ctob

er 2

014

5. Петр о ш к я в и ч юс П. А. Разложение координат невозмущенного близпараболи­ческого движения в ряды. Труды по геодезии, т. IX, Вильнюс, 1978.

6. Петр о ш к я в и ч юс П. А. Дифференциальные уравнения возмущенного близпара­

болического движения. (деп. в ЛитНИИНТИ). Вильнюс, 1976.

BEVEIK PARABOLINIO PALYDOVO JUDEJIMAS lEMES GRAVIТACINIAME LAUKE

Petras Р е t r о s k е v i с i u s

REZIUME

Straipsnyje gautos Lagranzo diferencia\inёs lygtys, tinkancios beveik parabo\iniam judёjimui. Naudojantis siomis lygtimis ir koordinaciч eilu-

tёmis, dydzio у= 1 -;е laipsniniais, kur е- orbltos ekscentricitetas, nagri­

nёjamos geopotencialo issaukiamos perturbacijos dirЬtiniч Zemёs paly­dovч judёjime, kai orbltos ekscentricitetas artimas vienetui.

NEARLY PARABOLIC SATELLIТ'S MOVEMENT IN ТНЕ EARTH'S GRAVIТY FIELD

Petras Р е t r о s k е v i с i u s

SUMMARY

In the article the differeпtial equatatiars of Lagrauge series, that fit nearly parabolic movement, are got. Using these equatations and koordi-

natias lines in the degrees of у= 1 2 е where е is the eccentrkity of orblt,

the called out perturbations in the artificial Earth's satellites' movunert, wbren the eccentricity of orblt is neartoare, are examined.

Dow

nloa

ded

by [

Flor

ida

Stat

e U

nive

rsity

] at

16:

23 0

4 O

ctob

er 2

014