1

Повторные гравиметрические наблюдения. Изд. МГК при Президиуме АН СССР и НПО «Нефтегеофизика».–

М.: 1983. – с. 53-58.

УДК 550.831.23 (05)

И.В.Джунь (Украинский институт инженеров водного хозяйства)

ПРОСТОЙ МЕТОД УЧЕТА НЕОДНОРОДНОСТИ

ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ НА БАЛЛИСТИЧЕСКОМ

ГРАВИМЕТРЕ

«История статистики и анализа данных – это пестрая смесь

здорового скептицизма и наивного оптимизма относительно

точных видов распределений наблюдений» [6]

В случае неоднородности результатов измерений nggg ...,,, 21 гравиметра,

их закон распределения не будет следовать закову Гаусса, так как этот закон

возможен при постоянной дисперсии. Пусть результатам измерений

соответствует отличная от нормальной плотность распределения 0; ggf , где

0g некоторое «истинное» значение измеряемой величины. Оценка для 0g

является функцией результатов измерений, которые мы предполагаем

независимыми. Найдем эту оценку, применив метод максимального

правдоподобия [5]. Сущность этого метода состоит в том, что 0g оценивают

при условии максимума функции праводоподобия [5]:

0; ggfL (1)

Логарифмируя (I) имеем:

0;lnln ggfL

Значение Lln достигает максимума при том же значении 0g , что и L.

Поэтому, полагая, что функция правдоподобия L зависит от единственного

переменного аргумента g, решим относительно 0g уравнение правдоподобия:

0

;lnln

0

0

0

g

ggf

g

L (2)

Из (2) следует

0

;

;'

0

0

ggf

ggf, (3)

2

где 0;' ggf производная функции 0; ggf по 0g .

Уравнение (3) перепишем в виде

00 Pgg , (4)

где

00

0 1

;

;'

ggggf

ggfP

. (5)

Из (4) находим, на основании п-го количества намерений, оценку

n

i

n

ii

P

Pg

g0 (6)

Оценка (6) идентична формуле для вычисления средневесового значения

по результатам ig с весами iP . Например, для нормального закона

2

20

20

2

1;

gg

lggf

учитывая, находим

2

0

2

0

00

0 111

;

;'

gg

gg

ggggf

ggfPi ,

т.е. только в том случае, если известно заранее, что результаты наблюдений

следуют закону Гаусса, можно считать, что вое наблюдения ig имеют равный

вес.

Полагая, что плотность вероятности 0; ggf принадлежит семейству

симметричных распределений Пирсона (это мнение, согласно выводам работ

[7, 8] и [3, 4] достаточно обосновано), имеем [1]

2020

0

0

0

;

;'

ggcc

gg

ggf

ggf

, (7)

где 65:3295:2 2

22

2 c ; (8)

;;

;65:95:32

2

4

22

2

22

c (9)

эксцесс распределения 32

3

r – центральные моменты; 2

1

0;

l

l

r

r dgggfg ;

0,1;4,2 10 r , а 1l и 2l – нижняя и верхняя границы естественной

области определения плотности 0; ggf .

Подставляя в (5) вместо 0g среднее арифметическое ign

g1

, по

формуле (7) получим в первом приближении веса наблюдений, позволяющие

учесть неоднородность последних

220

2

20

11

ggccggggcc

ggP

iii

ii

Учитывая (8) и (9), имеем

22 32

65

ggP

i

i

, (10)

т.е. вес наблюдения определяется его отклонением от центра распределения.

Для нормального закона 0 и

2

1

iP .

Если, например, 1 , то в первом приближении:

228

11'

ggP

i

i

При 2811, ii Pgg , т.е. вес наблюдений, близких к g примерно в 1,4

раза больше, чем был бы в предположения закона Гаусса. При возрастании

gg 1 веса уменьшаются (табл. 1).

4

Таблица 1

Изменение веса наблюдений а зависимости от значения gg 1

при коэффициенте эксцесса 1

ggi 'iP ggi 'iP

2:22,1 3 2:64,0

2 2:10,1 4 2:46,0

3 2:1 5 2:33,0

2 2:92,0 6 2:25,0

Из табл. 1 видно, что вес наблюдения ig , при 0,6 ggi , примерно в 6 раз

меньше веса наблюдения, близкого к g .

Заметим, что веса (10) можно улучшить после подстановки оценки 0g

(вычисленной по формуле (6) с использованием предварительних весов) в

формулу (10) для получения окончательных весов iP . Вес оценки можно

получить по известной формуле [2]:

n

ii

n

i

g Pgg

Pn

2

0

2

11

20

, (11)

где n – количество измерений.

В практике наблюдений возможны и плосковершинные распределения,

для которых 1 . Плосковершинные распределения могут возникать при

наличии равномерных трендов центра распределений ошибок [4]. Оставляя

пока в стороне вопрос о возможности вообще оценок по таким

распределениям, рассмотрим, что произойдем в этом случае с весами Pi.

Значения эксцесса для плосковершинных распределений находятся в

пределах 02,1 . При 2,1 , вообще говоря, нельзя строить какие-либо

оценки по данному распределению из-за чрезмерно большого воздействия

систематических ошибок (в этом случае веса 0iP . Даже при 2,1

плосковерошинность распределения ставит перед экспериментатором также

ряд проблем.

5

Например, нуль в знаменателе выражения (10) возможен, если

3201 gg (12)

При условии (12) iP , т.е. если

3201 gg , то нельзя строить

какие-либо оценки измеряемых величин.

В табл. 2 приведены предельно допустимые значения 01 gg в

зависимости от значения отрицательного эксцесса.

Таблица 2

Области предельно допустимых значений 0gg i

для отрицательных значений эксцесса

0gg i 0gg i

–0,1 61,7 –0,8 34,2

–0,2 69,5 –1,0 00,2

–0,4 60,3 –1,2 веса iP равны

нулю –0,6 82,2

Если допустить, что разброс отдельных ig может достигать 6 , то, как

видно из табл. 2, обработка совокупностей данных о эксцессом 2,0 , уже

недопустима. Но что происходит при этом с весами (10)? При 2,0 имеем,

полагая в (10) 00 g :

22 2,06,5

5

i

ig

P

Таблица 3

Значения весов в зависимости от величины ig при 2,0 00 g

ig iP ig iP

0 2:89,0 3 2:32,1

2:93,0 4

2:08,2

2 2:04,1 5 2:33,8

Из табл. 3 видно, что веса Pi увеличиваются до направлению к «хвостам»

распределения. Этого и следовало ожидать, так как «размытость» вершины

распределения неизбежно уменьшает веса (11) для оценки (6). Конечно, мы

6

предполагаем, что систематические погрешности, «размывающие» пик

распределения, воздействуют симметрично, имеют центр рассеяния равный

нулю, а размах наблюдений не превышает пределов, установленных в табл. 2.

Подводя итоги работы, следует сказать, что одна из самых

распространенных ошибок, которую допускают экспериментаторы, состоит в

том, что термин «нормальное распределение» понимается как «обыкновенно

появляющееся», иногда несмотря на существенную неоднородность

измерений. Эмпирические законы распределения неоднородных данных

настолько хорошо имитируют нормальный закон, что не всегда легко увидеть

различие. (На самом доле, как показывает проверка, никогда не бывает «в

точности» нормальных распределений. Эмпиричеокие данные чаще всего «на

глазок и не по сути аппрокоимируются нормальным законом» [6]. Обратного и

трудно ожидать, поскольку реальные схемы возникновения ошибки

измерения, как правило, не соответствуют тем исключительным и идеальным

условиям, которые описываются центральной предельной теоремой теории

вероятностей.

«…Совсем малые различия в форме распределения могут сильно влиять

не относительную эффективность и, тем самым, на сравнительное

достоинство разных методов» [6].

Предлагаемый нами метод учета неоднородности измерений требует

надежного определения эксцесса распределения погрешностей,

свойственного данному прибору (методу или даже месту наблюдения). Речь

идет о необходимости достаточного метрологического обследования прибора.

И только в том случае, если 0 , можно применять обычные арифметические

средние. При 0 необходимо не выбраковывать, а «взвешивать» каждое

измерение по формуле (10), а средневзвешенный окончательный результат 0g

и его вес: 0

2:1 g мы предлагаем вычислять по формулам (6) и (11). В этом

случае мы повысим надежность оценок измеряемых величин не только за счет

большей строгости математической обработки данных, но и за счет

сохранения всех наблюдений, которые обычно выбраковываются без

7

каких-либо записей наблюдателя в журналах, свидетельствующих с такой

необходимости, Назначая малый, но определенный вес большим gі, мы

сохраняем всю информацию, присущую намерениям на баллистическом

гравиметре, которым, как и вообще всем особо важным научным

наблюдениям, свойственны флюктуации веса.

Список литературы

1. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики, М.,

ВЦ АН СССР, 1968.

2.Бугай Н.T. Теорія помилок і спосіб найменших квадратів. Вид-во

Львівського університету. Львів, 1960, с. 109.

3.Джунь И.В. Распределение Пирсона УП типа в ошибках наблюдений

над колебаниями широт. Астрометрия и астрофизика. Киев, 1969. вып. 2.

4.Джунь И.В. Анализ параллельных широтных наблюдений,

выполненных по общей программе. Канд.дисс. Киев, 1974.

5.Крамер К. Математические методы статистики. М, Мир, 1975.

6.Мостеллер Ф., Тьюки Дж. Анализ данных и регрессия. М., Финансы и

статистика, вып. 1, 1982, с. 24, с, 30.

7.Jeffereys Н. The Law of Error in the Greenwich variation of Latitude

Observations, Manthly Notices of the R.A.S., v. 99, № 9, London.

8.Jeffereys H. Theory of Probability. Sec. ed., Oxford, 1940.