١

مربع كاي اتاختبار اختبار مربع كاي لجودة التوفیق ) ١(

fit Test-of-square Goodness-Chi

ن وائیة م ة عش ھ عین رت من ذي اختی ع ال الي للمجتم ع االحتم ى التوزی ة التعرف عل أن عملید السابق ع . الشروط الالزمة لتطبیق بعض االختبارات كما أوضحنا في البن ار مرب یستخدم اختب

ھ ع ل ن مجتم ا م م اختیارھ ة عشوائیة ت ت مشاھدات عین ا إذا كان ار م ق الختب كاي لجودة التوفی .توزیع احتمالي معین

م ن الحج ھ عشوائیة م تقلة n تتكون البیانات الالزمة لالختبار من عین ن المشاھدات المس . م

ي )cell الخالیا( من الفئات الشاملة المانعة k تصنف المشاھدات إلى جدول الكما ھو موضح ف observed frequency عدد المشاھدات التي تقع في فئة معطاة تسمى التكرار المشاھد .التالى

i ،i تمثل عدد المشاھدات في الفئة رقم iOلھذه الفئة حیث 1,2,...,k.

K … I … 2 1 الفئة Ok … Oi … O2 O1 التكرار

المشاھد

میة د تكون أس ات ق ة ) وصفیة(الفئ ى . أو عددی ة إل اھدات العین د تنتمي مش ال ق بیل المث ى س على إن . واحدة من الفئتین االسمیتین ذكر وأنث و العمر ف ر موضع الدراسة ھ ان المتغی أیضا إذا ك

:التالیةمشاھدات العینة قد تتبع واحدة من الفئات العمریھ الرمز ھ ب ال ، سوف یرمز ل iPإلجراء االختبار نعرف االحتم رت عشوائیا أن مشاھدة اختی ، ب

ري ع النظ ن المجتم رض ( م م ) المفت ة رق ي الفئ ع ف وف تق االت iس ین االحتم ك نع ى ذل وعل1 2 kP ,P ,...,P ات iللفئ 1,2,...,k والي ى الت ھ . عل حیح ، فإن دم ص رض الع ون ف دما یك عن

ة أي ل فئ ة لك رارات المتوقع اب التك ن حس 1یمك 1 2 2 k kn P ,n P ,...,n P ات iللفئ 1,2,...,k الرمز ا ب ز لھ وف یرم ي س والي والت ى الت 1عل 2 kE ,E ,...,E . دیل رض الب دم والف رض الع ف

:الشكل سوف یكونان على 0H : العینة اختیرت من مجتمع یتبع توزیع احتمالي معین. 1H : العینة اختیرت من مجتمع ال یتبع ھذا التوزیع االحتمالي المعین.

:صحیح فإن 0Hللعینات الكبیرة وبفرض أن

.2k2 i i

i 1 i

(O E )E

ع 2Xقیمة لمتغیر عشوائي ع توزی یتب ا ة 2 تقریب درجات حری kب 1 . ة لمستوى معنویرفض ة ال إن منطق 2ف 2X ث أن 2حی

ع دول توزی ن ج تخرج م ة 2تس درجات حری بk 1 . ت رفض 2إذا وقع رفض ن ة ال ي منطق دد . 0Hف ان ع إذا ك وال ب مقب ون التقری یك

٢

ن ر م ة أكب اھدات العین ن 50مش ل ع ة ال یق ل فئ اظر لك ع المن رار المتوق ض . 5والتك ي بع ف األحیان تستخدم مشاھدات العینة في تقدیر معلمة أو اكثر من معالم

و. المجتمع ثم یستخدم ھذا التقدیر في حساب التكرارات المتوقعة فإذا كان عدد المعالم المقدرة ھm ھذه الحالة تصبح فإن درجات الحریة في (k m 1) .

مثال

:الحــل0H :البیانات تتبع التوزیع المنتظم. 1H :البیانات ال تتبع التوزیع المنتظم.

iتحت فرض العدم فإن 1P ,i 1,2,...,12

12 .

2لحساب :نتبع الخطوات التالیة

:وعلى ذلك 2122 i i

i 1 i

(O E ) 9.999E

kبدرجات حریة 2ومن جدول توزیع 1 12 1 11 0.05ولمستوى معنویة فإن

0.052 19.675 . 2وبما أن منطقة الرفضX 19.675 2و تقع في منطقة القبول نقبل

.0Hفرض العدم

مثال

11 10 11 9-10 8-9 7 8 6-7 5-6 4-5 3-4 2-3 1-2 0-1 الفترة الزمنیة 39 47 41 37 33 41 45 49 39 54 34 41 iO

41.17 41.17 41.17 41.17 41.17 41.17 41.17 41.17 41.17 41.17 41.17 41.17 iE

ن ، فى إحدى معارض الساعات ا 500أخذت عینة عشوائیة م وحظ الوقت علیھ ت ، ساعة ول فكان :النتائج على النحو التالي

11 10-11 9-10 8-9 7-8 6-7 5-6 4-5 3-4 2-3 1-2 0-1 الفرتة الزمنية iOالتكرار 41 34 54 39 49 45 41 33 37 41 47 39

.05.0ھل یمكن القول إن الوقت المالحظ یتبع التوزیع المنتظم عند مستوى معنویة

ي الجدول 178اختیر ا ف وكان التوزیع التكراري لھذه األرقام كم رقم من أحد الجداول عشوائیا :التالي

الرقم 1 2 3 4 5 6 7 8 9 التكرار المشاھد 17 18 22 20 15 29 22 20 15

ة توى معنوی د مس دم ، عن رض الع ر ف 0.05أختب ا ن توفیقھ ابقة یمك ات الس ، أن البیان .بالتوزیع المنتظم

٣

:الحــل

2i i i(O E ) / E 2

i i(O E ) i iO E iE iO مركز الفحص

0.3907 0.1602 0.2492 0.0002 1.1551 4.2977 0.2492 0.0002 1.1551

7.7284 3.1684 4.9284 0.0484

22.8484 85.0084 4.9284 0.0484

22.8484

-2.78 -1.78 2.22 0.22 -4.78 9.22 2.22 0.22 -4.78

19.78 19.78 19.78 19.78 19.78 19.78 19.78 19.78 19.78

17 18 22 20 15 29 22 20 15

1 2 3 4 5 6 7 8 9

7.5676 178 المجموع 178 0H :العینة تم اختیارھا من مجتمع یتبع التوزیع المنتظم.

1H :العینة تم اختیارھا من مجتمع ال یتبع التوزیع المنتظم.

iتحت فرض العدم فإن 1P ,i 1,2,...,99

. تم السابقجدول الالتكرارات المتوقعة في

iالصیغة حسابھامن i1E nP (178)( ) 19.789

حیثi 1,2,...,9.معنویة لمستوى

0.05 2فإن.05 15.507 2والمستخرجة من جدول توزیع عند درجات حریة

8191k . 507.15منطقة الرفض وبما أنX2 .2وفنقبل ع في منطقة الرفض تق ال .0Hفرض العدم

مثال

ة 40التوزیع التكراري ألطوال التاليجدول الیعطى ي . بطاری ات ف الى ھل البیان الجدول التد ك عن ات وذل ار البطاری ع أعم د لتوزی ق جی ع الطبیعي یعطى توفی ول أن التوزی تتفق مع الق

0.05 مستوى معنویة . الحدود الفعلیة للفئة التكرارات المشاھدة التكرارات المتوقعة

0.6 2.6 6.8 10.7 10.3 6.1 2.2

2 1 4

15 10 5 3

1.45 - 1.95 1.95 – 2.45 2.45 – 2.95 2.95 – 3.45 3.45 – 3.95 3.95 – 4.45 4.45 – 4.95

40 المجموع 40

٤

:الحــل0H : العینة اختیرت من مجتمع یتبع التوزیع الطبیعي. 1H :من مجتمع ال یتبع التوزیع الطبیعي العینة اختیرت.

جدول تم حسابھا من منحنى طبیعي لھ نفس المتوسط واالنحراف الالتكرارات المتوقعة في sحیث السابقجدول الالمعطاة في المعیاري لمشاھدات العینة 0.697 , x 3.4125 أي

, بدال من ( s , xأننا سوف نستخدم في ) الخاصة بالمجتمع الذي اختیرت منھ العینة :على سبیل المثال للفئة الرابعة فإن . zحساب قیم

12.95 3.4125z 0.67,

0.697

23.45 3.4125z 0.054.

0.697

1z ومن جدول التوزیع الطبیعي القیاسي فإن المساحة بین 0.67 2z 0.054. ھي :

P( 0.67 Z 0.054) P(0 Z 0,67) P(0 Z 0.054)

. 0.2486 0.0199 0.2685 :وعلى ذلك فإن التكرارات المتوقعة للفئة الرابعة ھي

4E (0.2685)(40) 10.7 .

حیث أن k

ii 1

O 40

. التكرار المتوقع للفئة األولي تم الحصول علیھ باستخدام المساحة الكلیة

للفئة ). الحد األعلى الفعلي للفئة األولى( 1.95تحت المنحنى الطبیعي على یسار القیمة الحد األدنى ( 4.45األخیرة استخدمت المساحة الكلیة تحت المنحنى الطبیعي على یمین القیمة

التكرارات المتبقیة تم حسابھا بنفس الطریقة التي شرحناھا للفئة الرابعة ). خیرة الفعلي للفئة األجدول علیھا من النحصل 5بدمج التكرارات المتوقعة للفئات التي تكراراتھا المتوقعة أقل من .

.التالى الحدود الفعلیة التكرارات المشاھدة التكرارات المتوقعة

10 10.7 10.3 8.3

7 15 10 8

1.45 – 2.95 2.95 – 3.45 3.45 – 3.95 3.95 – 4.95

:فإن السابق جدول المن 2k2 i i

i 1 i

(O E ) 2.648.E

0.05لمستوى معنویة 2فإن.05 3.843 2والمستخرجة من جدول توزیع بدرجات

kحریة m 1 4 2 1 1 . 2منطقة الرفضX 3.843 . 2وبما أن تقع في .0Hمنطقة القبول نقبل

٥

مثال

:الحــل0H :البیانات تتبع التوزیع الطبیعي. 1H :البیانات ال تتبع التوزیع الطبیعي.

:إلیجاد االختبار نوفق أوال التوزیع الطبیعي ثم نختبر جودة التوفیق كاألتي

:الدالة االحتمالیة للتوزیع الطبیعي لھا الشكل التالي

x 2 21f (x) exp (x ) / 2 .2

, حیث أن التوفیق بتقدیر معالم التوزیع بطریقة العزوم ةتبدأ عملی،ھي المعالم للتوزیع :وذلك من االدلتین التالیتین

i i

i2 2

2 2i i i i

f xˆ 4.32,f

n f x ( f x )ˆ (0.81) .n(n 1)

نستخدم ھذه التقدیرات ودالة . یالحظ تأثیر ھذه العملیة على درجات الحریة فیما بعدلكل خلیة ثم بالضرب في iPاالحتمال المذكورة في الحصول على االحتمال المتوقع

:مجموع التكرارات وذلك للحصول على التكرار المتوقع لكل خلیة كاألتينحول ذلك الحد األدنى ixھو iنفرض أن الحد األدنى للفئة iPإلیجاد االحتمال المتوقع

إلى قیمة معیاریة بطرح الوسط الحسابى المقدر والقسمة على االنحراف المعیاري المقدر :كاألتي

ˆ ˆz (x ) / .

فنحصل على الحدود الدنیا المعیاریة iھو الحد األدنى المعیاري للفئةizعلى فرض أن یستخدم جدول االحتماالت للمنحنى الطبیعي في الحصول على االحتماالت . للفئات المختلفة

1المناظرة للحدود الدنیا 2z ,z iP(zالى ..., z ) . في مثالنا ھذا نالحظ أن مجموعولكن التكرار المتوقع لبعض یقل سیقل عن خمسة فنقوم یدمج 30التكرارات أكبر من

:نفرض إن لدینا البیانات التالیة الفصول -0.61 -1.21 -1.81 -2.41 -3.01 -3.61 -4.21408 328 180 65 4 3 1 iO

الفصول -4.81 -5.41 -6.01 -6.61 -7.21 -7.81 8.41-9.01 0 1 1 13 83 284 iO

0.05 المطلوب اختبار ھل ھذه البیانات تتبع التوزیع الطبیعي أم ال وذلك عند مستوى .

٦

نحصل على . بعض الخالیا المتجاورة مع األخذ في االعتبار تأثیر ذلك على درجات الحریةإلى منحنى طبیعي بطریقة المساحات ونحن نقول الجدول التالى وھو یمثل توفیق البیانات

iP :تم الحصول علیھ كالتالى iPبطریقة المساحات ألنھ توجد طریقة أخرى للتوفیق العمود

1 1

2 2 1

3 3 2 1

4 4 3 2 17

8 8 ii 1

89 i

i 1

P P z z ,

P P z z P ,

P P z z p p

P P z z p p p

P P z z p

P 1 p

:سنتعرف علیھا من المثال التالى تیطلق علیھا اسم طریقة اإلحداثیا

الحدود الدنیاix

iO iz P(z 2) iP iE 2

i i i(E O ) / E

1.611269266 12.4852 0.0091 0.0091 2.37037- 8 2.4أقل من2.41 65 -2.358025 0.0526 0.0435 59.682 0.473863543 3.01 180 -1.617284 0.1894 0.1368 187.6896 0.315041154 3.61 328 -0.876543 0.4443 0.2549 349.7228 1.349297329 4.21 408 -0.135802 0.7257 0.2814 386.0808 1.244432069 4.81 284 0.604938 0.9115 0.1858 254.9176 3.317879934 5.41 83 1.345679 0.9817 0.0702 96.3144 1.840568465 6.01 13 2.08642 0.9977 0.016 21.952 3.65061516 0.007672506 3.1556 0.0023 2.814815 3 6.6أكبر من

13.81063943 1372 المجموع

2وعلى ذلك 13.8. دمج د ال ا بع دد الخالی ة فنجد ع للحصول على قیمة مربع كاي الجدولیة نحدد أوال درجات الحری

این فتكون درجات 9ھو دیر الوسط والتب ل تق ین مقاب نھم درجت ة م الث درجات حری وبخصم ثي ة ھ ة . 6الحری توى معنوی د مس ي 0.05عن ة ھ اي الجدولی د أن ك 2نج 12.592 ذلك وب

.أكبر من الجدولیة 2نرفض فرض العدم طالما أن

مثال

د ق عن ر جودة التوفی داثیات واختب ة اإلح ع الطبیعي بطریق ى التوزی ق إل ة وف ات التالی من البیان0.05 .

الفصول -20 -25 -30 -35 40-45

8 27 33 25 7 iO

٧

:الحــل0H :البیانات تتبع التوزیع الطبیعي.

1H :البیانات ال تتبع التوزیع الطبیعي. , حیث أن ة العزوم ةتبدأ عملی،ھي المعالم للتوزیع التوفیق بتقدیر معالم التوزیع بطریق

:من المعادلتین التالیتینi i

i2 2

2 2i i i i

f xˆ 32.7,f

n f x ( f x )ˆ (5.314) .n(n 1)

ة یم المعیاری ى الق ول عل داثیات بالحص ة اإلح تخدام طریق ي باس ى الطبیع ق للمنحن تم التوفی یي ى الطبیع داثیات المنحن اص بإح دول الخ ن ج تخرج م م نس ات ث ز الفئ اظرة لمراك المن

ي(داثي الرأسي المناظر للقیم المعیاریة المحسوبة اإلح ) أو یتم حسابھ بإستخدام الحاسب اآللة والقسمة ثم نحسب التكرار المتوقع بضرب اإلحداثیات في مجموع التكرارات في طول الفئ

.التالى دول لجا على االنحراف المعیاري كما في

iE f z ˆxzˆ

الحدود الدنیا iOالتكرار xمركز الفئات

6.2 0.06562 -1.9 22.5 7 20 25.1 0.26609 -0.9 27.5 25 25 37.7 0.39894 0 32.5 33 30 25.1 0.26609 0.9 37.5 27 35 6.2 0.06562 1.9 42.5 8 40

ك ى ذل 2: وعل 1.3559 د أن ریتین نج ین ح د درجت اي وعن ع ك ع مرب دول توزی ن ج وم2.05 5.99 . 2وبما أن 5.99 0وبذلك نقبل فرض العدمH.

مثال

:الحــل 0H: عدد الوفیات في األسبوع والناتجة من حوادث السیارات تتبع توزیع بواسون.

1H : عدد الوفیات في األسبوع والناتجة من حوادث السیارات ال تتبع توزیع بواسون. :صحیح فإن الدالة االحتمالیة لتوزیع بواسون ھي 0Hبفرض أن

أسبوع 200 مدن خالل 10والتي وقعت في x عدد الوفیات في األسبوع التالى جدول الیعطى .والناتجة من حوادث السیارات

4 3 2 1 0 x التكرارات المشاھدة 109 65 22 3 1

تتفق مع الفرض القائل أن عدد الوفیات في األسبوع السابق جدولالھل النتائج المعطاة في 0.05معنویة والناتجة من حوادث السیارات تتبع توزیع بواسون ؟ استخدم مستوى .

٨

ieP(X i) ,i 1,2,...i!

غیر محددة من فرض العدم فإنھ یمكن تقدیرھا من مشاھدات العینة وأفضل تقدیر وحیث أن :حیث أن السابق جدول الھو الوسیط الحسابي للمشاھدات والذي یتم حسابھ من للمعلمة

i i

i

x O 122ˆ x 0.61.O 200

:نحصل على ون بالقیمة في توزیع بواس باستبدال i 0.61

i(0.61) eP P(X i) , i 0,1,2,3,4.

i!

التكرارات المتوقعة لعدد الوفیات في األسبوع والناتجة من حوادث السیارات ،

i iE nP ,i 0,1,2,3,4 التالىجدول ال، معطاة في.

x التكرارات المتوقعـة

.7.108!0

e)61.0(200)0X(P.20061.0

0

.3.66!1

e)61.0(200)1X(P.20061.1

1

.2.20!2

e)61.0(200)2X(P.20061.2

2

.1.4!3

e)61.0(200)3X(P.20061.3

3

.7.0!4

e)61.0(200)4X(P.20061.4

4

.التكرارات المشاھدة والتكرارات المتوقعة بعد تقریبھا التاليیعطي الجدول و

x 0 1 2 3 4 < 5 المجموع التكرارات المتوقعة 109 66 20 4 1 0 200 التكرارات المشاھدة 109 65 22 3 1 0 200

5 نجد أن ھناك تكراریین كل منھما أقل منالسابق جدول البالنظر إلى التكرارات المتوقعة في

وھما التكرار الرابع والتكرار الخامس وبذلك ال یصلح تطبیق اختبار مربع كاى إال بعد التغلب :التالى جدول الالتكراریین كما ھو معطى في على ھذه المشكلة وذلك بدمج

> 3 2 1 0 x

التكرارات المتوقعة 109 66 20 54 22 65 109 iO

:فإن السابقجدول المن

٩

2k2 i i

i 1 i

(O E ) 0.41515.E

0.05لمستوى معنویة 2فإن.05 5.992 ع ن جدول توزی درجات 2والمستخرجة م ب

ة kحری m 1 4 1 1 2 . رفض ة ال 2Xمنطق 5.992 . ا أن ي 2وبم ع ف تق .0Hمنطقة القبول نقبل

مثال

:الحــل0H :بواسون توزیع تتبع البیانات. 1H :البیانات ال تتبع توزیع بواسون.

:ھي، 0Hعند صحة الفرضیة ،xوھذا یعني أن صیغة دالة االحتمال للمتغیر

0 x 0,1,... x

xP(X x) ex!

وأفضل تقدیر لھذه المعلمة ھو متوسط العینة، وھو یعتمد على معلمة واحدة غیر معلومةx:

7i i

1

1 162ˆ x O x 2.7.n 60

:وعلیھ یمكن بناء الجدول األتي6 5 4 3 2 1 0 الفئاتiA

iOالتكرارات 2 16 14 10 7 6 5 iPاالحتمال 0.067 0.181 0.245 0.220 0.149 0.080 0.058 iEالتكرارات المتوقعة 4.02 10.86 14.70 13.2 8.94 4.8 3.48

1O وبما أن 5 1تضاف الفئةA 2إلىA فنحصل على: iOالتكرارات المشاھدة 18 14 10 7 6 5

iEالتكرارات المتوقعة 14.88 14.70 13.2 8.94 4.8 3.48

1.52 1.2 1.94 3.2 0.7 3.12 i iO E

0.66 0.30 0.42 0.78 0.03 0.65 2i i i(O E ) / E

:اإلحصاء من الصیغة التالیةنحسب قیمة

ماضیھ الل ستین شھرا ا خ ھ م ي مدین ھریة ف ق الش دد الحرائ ین ع ھ تب ات اآلتی ت البیان إذا كان :أخذت عشوائیا

iAعدد الحرائق الشھریة 0 1 2 3 4 5 6 iOعدد الشھور 2 16 14 10 7 6 5

ق الشھریة دد الحرائ ر العشوائي(فھل یمكن اعتبار أن ع د ) Xالمتغی ع بواسون عن ع توزی یتب0.01مستوى معنویة .

١٠

2n2 i i

i 1 i

(O E ) 2.84.E

nنجد أن القیمة الحرجة الموافقة لـ2ومن جدول توزیع m 1 6 1 1 4 درجات0.05حریة ومستوى المعنویة المعطى 2تساوي

.05 9.488 . 2وبما أنX 9.488

.0Hتقع في منطقة القبول نقبل فرض العدم 2و

مثال

:الحــل 0H : عدد الوفیات في األسبوع والناتجة من حوادث السیارات تتبع توزیع بواسون. 1H : عدد الوفیات في األسبوع والناتجة من حوادث السیارات ال تتبع توزیع بواسون.

:صحیح فإن الدالة االحتمالیة لتوزیع بواسون ھي 0Hبفرض أن ieP(X i) ,i 1,2,...

i!

دیر وحیث أن ة وأفضل تق غیر محددة من فرض العدم فإنھ یمكن تقدیرھا من مشاھدات العین :حیث أن الجدول السابقھو الوسیط الحسابي للمشاھدات والذي یتم حسابھ من للمعلمة

i i

i

x O 3335ˆ x 4.16875.O 800

:نحصل على في توزیع بواسون بالقیمة باستبدال

.i 4.16875

i(4.16875) eP P(X i) , i 0,1,2,...,9

i!

یارات ، وادث الس ن ح ة م بوع والناتج ي األس ات ف دد الوفی ة لع رارات المتوقع التكi iE nP ,i 0,1,2,...,9 الجدول التالي، معطاة في :

x التكرارات المتوقعـة0 4.16875(4.16875) e800.P(X 0) 800 12.4

0! .

0

1 4.16875(4.16875) e800.P(X 1) 800 51.61!

.

1 2 4.16875(4.16875) e800.P(X 2) 800 107.5

2! .

2

دد الحوادث ات الخاصة بع ى السیارات بتسجیل البیان ي تعرضت x قامت شركة للتأمین عل الت :التالي لھا السیارات المؤمن علیھا والبیانات في الجدول

>9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 x التكرار المشاھد 10 40 100 150 200 125 75 50 30 20

ع بواسون ع توزی ا تتب ھل یمكن القول أن عدد الحوادث التي تتعرض لھا السیارات المؤمن علیھ0.05وذلك عند مستوى معنویة .

١١

3 4.16875(4.16875) e800.P(X 3) 800 149.43!

. 3

4 4.16875(4.16875) e800.P(X 4) 800 155.84!

. 4

5 4.16875(4.16875) e800.P(X 5) 800 129.95!

. 5

6 4.16875(4.16875) e800.P(X 6) 800 90.26!

. 6

7 4.16875(4.16875) e800.P(X 7) 800 53.77!

. 7

8 4.16875(4.16875) e800.P(X 8) 800 288!

. 8

9 4.16875(4.16875) e800.P(X 9) 800 139!

. 9

.التكرارات المشاھدة والتكرارات المتوقعة بعد تقریبھا التاليیعطي الجدول و

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 x التكرار المشاھد 10 40 100 150 200 125 75 50 30 20

13 28 54 90 130 156

التكرار المتوقع 12 52 108 149

:من الجدول السابق نحصل على

2k2 i i

i 1 i

(O E ) 19.29.E

ة إن 05.0لمستوى معنوی 2ف.05 15.507 ع ن جدول توزی درجات 2والمستخرجة م ب

ة kحری m 1 10 1 1 8 . رفض ة ال 2Xمنطق 15.507 .ا أن ي 2وبم ع ف تق .0H نرفضالرفض منطقة

مثال

:ضربات كاآلتي yالتي تستقبل ymفي معركة حربیة كان عدد المناطق 5 4 3 2 1 0 y

1 7 35 93 211 229 ym ة ون بمعلم ع بواس ع توزی وائي یتب ر عش ربات متغی دد الض دم أن ع رض الع ر ف د اختب عن

0.05مستوى معنویة 3.25فرض أن ب 0.05عند مستوى معنویة .

١٢

:الحــل0H : توزیع بواسونالبیانات تتبع. 1H :البیانات ال تتبع توزیع بواسون.

:فإن0Hتحت فرض العدم

x 1,2,... x

3.25(3.25)P(X x) ex!

:نحصل على الجدول األتي 0Hوالختبار صحة 5 4 3 2 1 0 عدد الحوادث األسبوعیةiA

iOالتكرارات المشاھدة 229 211 93 35 7 10.278 0.180 0.222 0.205 0.126 0.039 iP

المتوقعة تالتكرارا 22.464 72.576 118.08 127.872 103.68 131.328i iE nP

:بدمج الفئة األخیرة مع الفئة السابقة لھا فنحصل على الجدول األتي

4 3 2 1 0 iA

8 35 93 211 229 iO

0.408 0.222 0.205 0.126 0.039 iP

235.008 127.872 118.08 72.576 22.464 i iE nP

227.008 92.872 25.08 138.424 206.536 i iO E

:وعلي ذلك

2 2454.98 ـ 2ومن جدول توزیع kفإن القیمة الحرجة الموافقة لـ 1 5 1 4 ة ومستوى درجة حری

0.05معنویة ھي0.05

2 9.488 رفض 2Xوبما أن منطقة ال 9.488 2و ي ع ف تق .أي أن عدد الضربات ال تخضع لتوزیع بواسون، 0H منطقة الرفض نرفض فرض العدم

مثال

ار ة باختب دد 200قام مسئول مراقبة الجودة في مصنع إلنتاج وحدات معین ة ع ن ناحی وحدة م :السطوح التالفة وتم الحصول على البیانات التالیة

عدد السطوح التالفة 0 1 2 3 4 5 < 6 التكرار 90 62 31 13 3 1 0

استخدم توزیع بواسون لتوفیق ھذه البیانات واختبر جودة التوفیق عند مستوى معنویة 0.05 .

١٣

:الحــل0H :البیانات تتبع توزیع بواسون. 1H :البیانات ال تتبع توزیع بواسون.

7i i

1

1 180x O x 0.9.n 200

:وعلیھ یمكن بناء الجدول األتي6 5 4 3 2 1 0 الفئات

iOالتكرارات 90 62 31 13 3 1 0 iPاالحتمال 0.407 0.366 0.165 0.049 0.011 0.002 0.0003

التكرارات المتوقعة 81.4 73.2 33 9.8 2.2 0.4 0.06i iE nP

:نحصل على بدمج الفئات الثالث األخیرة مع الفئة الرابعة

iOالتكرارات المشاھدة 90 62 31 17

iالتكرارات المتوقعة 81.4 73.2 33 12.46 iE nP

4.6 2 11.2 8.6 i iO E

1.706 0.121 1.714 0.909 2i i i(O E ) / E

:الصیغة التالیةنحسب قیمة اإلحصاء من 2k2 i i

i 1 i

(O E ) 4.4499E

k نجد أن القیمة الحرجة الموافقة لـ 2ومن جدول توزیع 1 4 1 3 درجات حریة0.05ومستوى المعنویة المعطى 2تساوي

.05 7.815 . الرفضوبما أن منطقة 2X 7.815 2و 0تقع في منطقة القبول نقبل فرض العدمH.

مثال

:الحــل :المطلوب توفیق منحنى ذي الحدین واختبار الفروض التالیة

:من البیانات التالیة وفق توزیع ذي الحدین x 0 1 2 3 4 5 المجموع

80 23 30 16 5 4 2 iO 0.05ثم اختبر جودة التوفیق عند مستوى .

١٤

0H :البیانات تخضع لتوزیع ذي الحدین. 1H : تخضع لتوزیع ذي الحدینالبیانات ال.

حیث أ مجھولھ والدالة تأخذ p,nبما ان توزیع ذي الحدین یعتمد على معلمتین وھما :الشكل التالى

x 1,2,...,n , x n xnP(X x) p q

x

nمن البیانات المعطاة نجد أن 5 ویكون المطلوب تقدیرp حیث :

i i ixˆx O x / O 3.7125 , p ,n

:وھو pفنحصل على تقدیر للمعلمة i i ip O x / n O 0.7425.

ذي الحدین بعد التعویض عن قیمة كل من نحصل على دالة التوزیع االحتمالي لتوزیع

ˆ ˆq,p,n حیثˆ ˆq 1 p كاألتي:

x 1,2,...,5 x 5 x5P(X x) (0.7425) (0.2575)

x

:من الجدول التالي 2ھذه الدالة تستخدم في إیجاد 2

i i i(O E ) / E iE iO x 0.481 8.927 11 2 1.504 21.306 16 3 0.054 31.306 30 4 1.356 18.053 23 5

2 5.212 80 80

اي ع ك ار مرب ق اختب ق شروط تطبی اي . تم دمج الخلیة األولى والثانیة لتحق ع ك ن جداول مرب م2 ة ) ٢(وبدرجات حریة 0.05ومستوى معنوی 2

.05 5.991 ا أن رفض وبم ة ال منطق2X 5.991 .2وبما أن 0 فرض العدم القبول نقبلتقع في منطقةH.

مثال

:ألقیت أربع قطع نقود عشرین مرة وتم الحصول على النتائج التالیة 4 3 2 1 0

ixعدد الصور iO التكرار المشاھد 3 4 5 5 3

ع ع توزی المطلوب استخدام اختبار مربع كاي لجودة التوفیق الختبار ما إذا كانت النتائج تتفق م0.01وذلك عند مستوى معنویة ½ذي الحدین باحتمال نجاح .

١٥

:الحــل0H : ذي الحدینالبیانات تخضع لتوزیع. 1H :البیانات ال تخضع لتوزیع ذي الحدین.

حیث أ مجھولة والدالة تأخذ p,nبما أن توزیع ذي الحدین تعتمد على معلمتین وھما :الشكل التالى

x 1,2,...,n , x n xnP(X x) p q

x

nمن البیانات المعطاة نجد أن 4 ویكون المطلوب تقدیرp حیث

i i i41 xˆx O x / O 2.05 , p ,20 n

:وھو pفنحصل على تقدیر للمعلمة i i ip O x / n O 0.41.

نحصل على دالة التوزیع االحتمالي لتوزیع ذي الحدین بعد التعویض عن قیمة كل منq,p,n كاألتي:

x 1,2,...,4 x 5 x5P(X x) (0.41) (0.59)

x

:من الجدول التالي 2ھذه الدالة تستخدم في إیجاد قیمة اإلحصاء 2

i i i(O E ) / E iE iO x 0.8310 4.9681 7 1 0.5272 6.9084 5 2 0.0085 4.7983 5 3 1.0655 1.6672 3 4

2 2.4322 20 20

2من جداول مربع كاي. الخلیة األولى والثانیة لتحقق شروط تطبیق اختبار مربع كايدمج تم 0.05ومستوى معنویة ) 2(وبدرجات حریة 2 نجد أن

.05 5.995 . منطقة وبما أن2Xالرفض 5.99 .2وبما أن 0فرض العدم القبول نقبلتقع في منطقةH.

اختبار مربع كاى لالستقالل) ٢(

square Test of Independent -The Chi

ین صفتین ة ب في كثیر من األحیان یرغب الباحث في التعرف عما إذا كانت ھناك عالقي التعرف . من صفات مجتمع ما ا ف ي مدرسة م ة ف د یرغب مسئول التغذی ال ق فعل سبیل المث

ة ھ التعلیمی ة بكفاءت ا عالق ب لھ ة للطال ة الغذائی ت الحال ا إذا كان ي . عم د یرغب باحث ف أیضا ق . الخ …في التعرف عما إذا كانت ھناك عالقة بین لون الشعر ولون العینین مجال الوراثة

م ن الحج ة عشوائیة م ار عین ن المجتمع موضع الدراسة nإلجراء االختبار نخت تصنف .ممشاھدات ھذه العینة حسب مستویات كل من الصفتین موضع الدراسة في جدول مزدوج یسمى

١٦

ق دول التواف رض أن . Contingency tableج 1بف 2 kA ,A ,...,A فة تویات الص ز لمس ترمA 1و 2 kB ,B ,...,B فة تویات الص ز لمس كل Bترم ى الش ون عل ق یك دول التواف إن ج ف

ا المستوىترمز ijO، حیث أن التالىجدول الالموضح في وفر فیھ ي یت iAلعدد المشاھدات التن الصفة jBو المستوى Aمن الصفة B م i حیث 1,2,...,r وj 1,2,...,c .أیضاin

توى ا المس وفر فیھ ي یت اھدات الت دد المش ز لع فة iAترم ن الص أي أن Aمc

i. ijj 1

n O

.

ا .أیض jn توى ا المس وفر فیھ ي یت اھدات الت دد المش ز لع فة jBترم ن الص أي أن Bمr

j. iji 1

n O

. وعلى ذلك:

c r c r. j i. ij

j 1 i 1 j 1 i 1n n O .

.خلیة ( r x c)عددھا ) خالیا ( یحتوي جدول التوافق على خانات

1B المجموع 2B … CB

1.

2.

r.

nn

n

11 12 1c

21 22 2c

r1 r2 rc

O O ... OO O ... O

O O ... O

1

2

r

AA

A

n .1n .2n ... .cn :العدم والفرض البدیل سوف یكونان على الشكل فرض

0H : المتغیرین مستقلین. 1H .المتغیرین غیر مستقلین :

التكرارات اھدة ب رارات المش ة التك ى مقارن تقالل عل اي لالس ع ك ار مرب د اختب یعتمان. صحیح 0Hالمتوقعة في كل خلیة عندما iP(Aإذا ك وفر لمشاھدة ( ال أن یت یرمز الحتم

توى ا المس فة iA م ن الص ان Aم iP(Bوإذا ك ا ( اھدة م وفر لمش ال أن یت ز الحتم یرمن iAیرمز الحتمال أن یتوفر لمشاھدة ما المستوى ijP وإذا كان B من الصفة jBالمستوى م

:فإن B من الصفة jBو المستوى Aالصفة

ij i jP P(A B ). Aوفي حالة االستقالل بین الصفتین , B ) فإن ) تحت فرض العدم:

ij i jP P(A ) P(B ). :كالتالي ijPیمكن الحصول على تقدیر لالحتمال

١٧

. ji.ij

nnP .n n

:وعلى ذلك یمكن حساب التكرارات المتوقعة كالتالي

.ji.ij

i. . j

nnE n n n

n n ,i 1,2,..., r, ; j 1,2,...,c.

n

:صحیح فإن 0Hبافتراض أن 2c r ij ij2

j 1 i 1 ij

(O E ).

E

وائي ر عش ة لمتغی ع2Xقیم ع توزی ا یتب ة 2تقریب درجات حری r)ب 1)(c 1) ث دد rحی عفوف ق cو الص دول التواف ي ج دة ف دد األعم ة. ع توى معنوی رفض لمس ة ال إن منطق ف

2 2X ث 2حی ع دول توزی ن ج تخرج م ق 2تس ي ملح ة ) ٥(ف درجات حری ب

(r 1)(c 1) . 2إذا وقعت 0في منطقة الرفض نرفضH .

مثال

:الحــل 0H : عدد ساعات النوم وعدد األطفال مستقلین.

1H : عدد ساعات النوم وعدد األطفال غیر مستقلین. :التالى جدول الالتكرارات المتوقعة معطاة في

ا ل إنجابھ . یعتقد األطباء أن عدد ساعات النوم لسیدة لدیھا أطفال یختلف عن عدد ساعات النوم قبالىجدول السیدة لدیھا أطفال وسجلت البیانات في 60بفرض إنھ تم سؤال ا ھو االستدالل . الت م

.05.0الذي یمكن الحصول علیھ من ھذه البیانات ؟ عند مستوى معنویة عدد األطفال النوم الحالي بالمقارنة قبل اإلنجاب المجموع

أقل نفسھ أحسن 30 15 15

0 1 3

5 4 7

25 10 5

1 2

أو أكثر 3

المجموع 40 16 4 60

١٨

عدد األطفال النوم الحالي بالمقارنة قبل اإلنجاب أقل نفسھ أحسن

2 1 1

8 4 4

20 10 10

1 2

أو أكثر 3

الین جدولالالتكرارات المشاھدة والتكرارات المتوقعة بعد دمج بعض التكرارات معطاة في ین الت . 5التوالي وذلك حتى یتحقق الشرط أن عدد التكرارات المتوقعة في كل خلیة ال یقل عن على

عدد األطفال اقـل نفسھ أو أحسن 5 + 0 = 5 4 + 1 = 5 7 + 3 = 10

25 10 5

1 2

أو أكثر 3

عدد األطفال اقـل نفسھ أو أحسن 10 5 5

20 10 10

1 2

أو أكثر 3 :یمكن حساب السابقینجدول المن

2c r ij ij2

j 1 i 1 ij

(O E )11.25.

E

ة توى معنوی 0.05لمس إن 2ف.05 5.992 ع دول توزی ن ج تخرجة م ي 2والمس ف

ة ) ٥(ملحق درجات حری 2 ب 1 2 . رفض ة ال 2منطق 5.992 . ا أن ي 2وبم ع ف تق . 0Hمنطقة الرفض فإننا نرفض

مثال

:الحــل

رة 2764یعطي جدول التالي تصنیف لعینة عشوائیة من دوالر و الفت دخل بال شخص حسب الرین . منذ آخر زیارة الستشارة طبیب ین المتغی اك استقالل ب ان ھن ا إذا ك و المطلوب اختبار م

0.05وذلك عند مستوى معنویة ) الدخل و زیارة الطبیب ( .

الدخل شھور 6منذ شھور لسنة 7من سنةأكثر من المجموع259 326 375 607 1197

35 45 78

140 259

38 54 78

112 285

186 227 219 355 653

3000أقل من 3000-4999 5000-6999 7000-9999

10,000أكثر من

المجموع 1640 567 557 2764

١٩

0H : المتغیرین مستقلین . 1H : المتغیرین غیر مستقلین .

:التكرارات المتوقعة تعطى في الجدول التالي

: من الصیغة التالیة 2وبالتالي من الجدول السابق یمكن حساب 25 3 ij ij2

i 1 j 1 ij

(O E ).

E

0.05لمستوى معنویة 2فإن .05 15.507 2والمستخرجة من جدول توزیع بدرجات

2حریة منطقة الرفض 15.507 . 2وبما أن ویترك الحل النھائي للطالب.

مثال

:الحــل :التكرارات المتوقعھ معطاه فى الجدول التالى

24.485 39.84 18.675 23.01 37.44 17.55 11.505 18.72 8.775

2.01 13.2767 اوي ة تس ات حری د درج 2و 4عن

. 7.46439 ا أن ن 2وبم ر م اكب2.01 فرض العدم قبلن.

الدخل شھور 6منذ شھور لسنة 7من أكثر من سنة52.19 65.70 75.57

122.32 241.22

53.13 66.87 76.93 124.52 245.55

153.68 193.43

222.504 360.16 710.33

3000أقل من 3000-4999 5000-6999 7000-9999

أكثر من 10,000

یم وعدد رجل متزوج وتم تصنیفھم 200أخذت عینة عشوائیة من للتعل في الجدول التالى تبعا :األطفال

التعلیم عدد األطفال 1 - 0 3 -2 3اكثر من

32 17 10

37 42 17

14 19 12

بسیط متوسط جامعى

ة د مستوى معنوی ك عن التعلیم وذل اختبر فرض العدم ان عدد األفراد في األسرة غیر مرتبط ب

0.05 .

٢٠

ودین A , Bإذا كان لكل من الصفتین ن صفین وعم مستویان فقط فإن الجدول الناتج یتكون مع ( ا أي أرب ران). خالی اتج جدول االقت الى دولالج . )2×2(یسمى الجدول الن ل جدول الت یمث

. عدد درجات الحریة التي ترتبط بجدول االقتران سوف تساوى الواحد الصحیح. اقتران

الصفة األولى الصفة الثانیة 2B 1B ba

dc

b

d

a c

1A

2A

n db ca :كالتالي 2یمكن استخدام صیغة بسیطة لحساب قیمة

.2

2 n(ad bc)(a c)(b d)(c d)(a b)

مثال

:الحــل 0H : المتغیرین مستقلین. 1H : المتغیرین غیر مستقلین.

:فإن السابقجدول المن

ن ة عشوائیة م رت عین دخین اختی والت یال ات 56لدراسة العالقة بین النوم ل والبیان شخصا :التالى جدولالمعطاة في

التدخین النــوم المجموع نعم ال

36

20

16

14

20

6

نعم ال

المجموع 26 30 56

توى د مس ك عن دخین وذل والت یال وم ل ین الن ة ب اك عالق ت ھن ا إذا كان ار م وب اختب المطل0.05 ةمعنوی .

٢١

22 n(ad bc)

(a c)(b d)(c d)(a b)

.256[(20)(14) (16)(6)] 3.376

(26)(30)(20)(36)

0.05لمستوى معنویة 2فإن.05 3.843 ع ن جدول توزی درجات 2والمستخرجة م ب

. 0Hتقع في منطقة القبول نقبل 2وبما أن . X2 > 3.843منطقة الرفض . حریة واحدة ن ل ع ب أن ال یق ة یج ل خلی ي ك ة ف رارات المتوقع ا أن التك بق أن ذكرن دث 5س وإذا ح

ن ل م دمج التكرارات 5وكان أحد التكرارات المتوقعة أق وم ب ا نق ذه . فإنن إن ھ ى أي حال ف وعلرح . الطریقة ال تستخدم في حالة جدول االقتران ي Yates (1934)وقد أقت یستخدم ف تصحیحا

مة اإلحصاء وباستخدام التصحیح یصبح قی. 5حالة ما إذا كان أحد التكرارات المتوقعة أقل من :الذي یعتمد علیھ قرارانا ھو

22

nn(| ad bc | )2

(a c)(b d)(c d)(a b)

:فإن قیمة اإلحصاء تصبح السابقعلى البیانات في جدول Yatesبتطبیق تصحیح

22

5656[ (20)(14) (16)(6) ]2

(26)(30)(20)(36)2.427.

0.05 لمستوى معنویة ،دون تصحیح ھ ب ذي حصلنا علی تنتاج ال س االس فإننا نحصل إلى نف . 0Hأي إننا نقبل

مثال

:الحــل0H : المتغیرین مستقلین. 1H : المتغیرین غیر مستقلین. 2

.05 3.84146 2 و عند درجات حریة یساوى واحد صحیح. 0.0104348 . ا أن وبم

2 2اصغر من.05 فرض العدم قبلن.

مقسمین حسب التدخین والتعلیم 49الجدول التالى یبین :شخصا

التدخین متعلم غیر متعلم یدخن 62 25 الیدخن 78 37

0.05المطلو اختبار العالقة بین التدخین والتعلیم عند مستوى معنویة .

٢٢

اختبار مربع كاي للتجانس) ٣(

square Test of Homogeneity-The Chi c وجمیعھا متماثلة من حیث التصنیف وبفرض أن rمجتمعات عددھابفرض أن لدینا

i یرمز لنسبة مشاھدات المجتمع رقم j|iP بفرض أن. ھي عدد فئات التصنیف في كل مجتمع . التالىیمكن تمثیل ھذه المجتمعات بالجدول . j التي تقع في الفئة رقم

فئات التصنیف 1 2 … j … c

المجتمع

11

1

1

1|1 2|1 j|1 c|1

1|2 2|2 j|2 c|2

1|i 2|i j|i ... c|i

1|r 2|r j|r c|r

P P ... P ... P

P P ... P ... P

P P ... P P

P P ... P ... P

12

i

r

1 1 2 j cP P P P rمجھولة فإننا نرغب في معرفة ما إذا كانت المجتمعات التي عددھا j|iPعندما تكون النسب

:متجانسة أي إننا نرغب في اختبار فرض العدم 0 j|1 j|2 j|r jH : P P .... P P

; j 1,2,....c.

ات عشوائیة عددھا ار عین ا rإلجراء االختبار فإننا نخت ع وأحجامھ ن كل مجتم دة م واحي 1ھ 2 rn ,n ,..., n بعض ھا ال ن بعض تقلة ع وائیة مس ات العش ون العین ى أن تك ص . عل بفح

:التالى مشاھدات ھذه العینات ووضع كل مشاھدة حسب تصنیفھا نحصل على الجدول 1 2 … j … c المجتمع

r

i

2

1

n

n

nn

rcrj2r1r

icij2i1i

c2j22221

c1j11211

O...O...OO

OO...OO

O...O...OOO...O...OO

r

i

21

N 1.n 2.n … j.n … c.n المجموع

حیث c

i ijj 1

n O

وr

. j iji 1

n O

و r c

i .ji 1 j 1

n n n

.

:حیث أن jPإذا كان فرض العدم صحیح وحیث أن النسب مجھولة فإننا نقوم بتقدیر

٢٣

،. jj

nP

n

. jij i. j i.

nE n P n ,

n

:وعلى ذلك فإن 2c r ij ij2

j 1 i 1 ij

(O E ).

E

ة 2الذي تقریبا یتبع توزیع X2ھي قیمة للمتغیر العشوائي درجات حری r)ب 1)(c 1) ع الختبار فرض العدم عند مستوى معنویة . ار مرب ي اختب ي استخدمناھا ف نتبع الخطوات الت

.كاي لالستقالل

مثال

:الحــل0H: متماثلین(المجتمعین المتمثلین بمجموعتین ھما مجتمعین متجانسین.( 1H: المجتمعین غیر متجانسین. :ونقوم بحساب التكرارات المتوقعھ كمایلي، 0Hنفرض صحة

jij i

nE n ( ).

n

:وعلى ذلك

11(42)(34)E 22.3225 ,

64

12(42)(30)E 19.6875 ,

64

21(22)(34)E 11.6845 ,

64

22(22)(30)E 10.3125 ,

64

2 2 2 22 (27 22.3225) (15 19.6875) (7 11.6875) (15 10.3125) 6.11.

22.3225 19.6875 11.6875 10.3125

:درجات الحریھ لھذا االختبارھي

المجموعھ ، یبین الجدول التالي وجود وغیاب اعراض ضیق التنفس لالطفال في مجموعتینساعھ او اقل قبل 42 طفل التي مزقت اغشیتھا الجنینیھ في خالل 42 االولى تتكون من

24طفل والتي مزقت اغشیتھا خالل اكثر من 22بینما المجموعھ الثانیھ والمكونھ من ،التسلیم0.05استخدم مستوى معنویھ. ساعھ قبل التسلیم .

المجموعھ نعم ال المجموع42 15 27 1 22 15 7 2 المجموع 34 30 64

٢٤

(r 1)(s 1) (2 1)(2 1) 1. اي ع ك ع مرب دول توزی ن ج ھ م ھ الحرج ى القیم ل عل دھاونحص 2فنج 3.843 . د ان ونج

6.11 3.843 رفض الفرض دیل 0Hاذن ن ل الفرض الب ر 1Hونقب ین غی د ان المجتمع ونج . متماثلین

مثال

:الحــل :التالى جدول الالتكرارات المتوقعة تم حسابھا في

العینات األربعة نوع المشروب المجموع C B A 100 200

47.01 300

21.95 43.89 10.32 65.84

42.50 85.01 19.98 127.51

35.55 71.10 16.71 106.65

ربات البیوت رجال األعمال

عمال طلبة

المجموع 230.01 275 142 647.01

:نحسب قیمة اإلحصاء من الصیغة التالیة

2c r ij ij2

j 1 i 1 ij

(O E )E

149.72.

ن ة م ین شرائح مختلف اك اختالف ب ان ھن قامت شركة للمیاه الغازیة بدراسة لمعرفة ما إذا كن المشروبات واع م ة أن ة التفضیل لثالث ن ناحی ع م ع . المجتم ة أرب ذه الدراس تخدمت لھ اس

ي اة ف ائج معط تقلة والنت ات مس دول العین الىج انس . الت اى للتج ع ك ار مرب تخدم اختب اس . المجتمعات األربعة متساویین في تفضیل المشروب: 0H :الختبار فرض العدم .المجتمعات األربعة غیر متساویین في تفضیل المشروب: 1H :ضد الفرض البدیل

0.05وذلك عند مستوى معنویة . العینات األربعة نوع المشروب المجموع

C B A 100 200 47

300

5 20 17

100

20 130 25

100

75 50 5

100

ربات البیوت رجال األعمال

عمال طلبة

المجموع 230 275 142 647

٢٥

0.05لمستوى معنویة 2فإن.05 12.592 د درجات ع عن والمستخرجة من جدول توزی

ة rحری c 3 2 6 .رفض ة ال 2Xمنطق 12.592 . ا أن ة 2وبم ي منطق ع ف تق .0Hالرفض نرفض