١

٢

٣

المحتويات

المقدمه اتخاذ القرارفي بحوث العمليات: الفصل األول

....................................................................................مقدمة (1-1) ...............................................معنى بحوث العمليات وطبيعتها (1-2) .........................................................علم وفن بحوث العمليات (1-3) ....................................................................نموذج قرار بسيط (1-4) .....................................................بعض نماذج بحوث العمليات (1-5)

..................................العمليات الحسابية في بحوث العمليات (1-6) ................................................مراحل دراسة بحوث العمليات (1-7)

صياغات وحل بياني: البرمجه الخطية : الفصل الثاني

....................................................................................مقدمة (2-1) ............................................استقصاء مشكالت النظم وصياغتها (2-2)

...........................................................................بناء النموذج (2-3) ن ................................................موذج برمجة بسيط وحله بيانيا

......................................................................تحليل الحساسية (2-5)

الحل الجبري: الفصل الثالث البرمجة الخطية .............. ......................................................................مقدمة(3-1) .......... ..........................الشكل النمطي لنموذج البرمجة الخطية (3-2) ..........................التوضيح البياني لخوارزمية طريقة السمبلكس (3-3)

.......... ...................حل الجبري لحل البياني والالمقـابلة بين ا(3-4)

٤

.... ...............................................خوارزمية طريقة السمبلكس (3-5) .........................مالءمة طريقة السمبلكس لجميع البرامج الخطية (3-6) ....... ........................عند تطبيق طريقة السمبلكس حاالت خاصة (3-7)

.. .........................................طريقة السمبلكس وتحليل الحساسية (3-8)

٥

الفصل األول اتخاذ القرار في بحوث العمليات

(1)ع مرج مقدمة (1-1) (1)مرجع معنى بحوث العمليات وطبيعتها (1-2) (4)مرجع علم وفن بحوث العمليات (1-3) (4)مرجع نماذج قرار بسيط (1-4) (1)مرجع بعض نماذج بحوث العمليات (1-5) (1)مرجع العمليات الحسابية في بحوث العمليات (1-6) (4)مرجع مراحل دراسة بحوث العمليات (1-7)

٦

الفصل األول اتخاذ القرار في بحوث العمليات

مقدمة (1-1)

د ات فق ذه بحوث عملی من الصعب علینا أن نحدد البدایة الفعلیة لما یسمى في أیامنا ھ

ض الع ي بع ا أنجز كثیر من الرواد األوائل ف ال یمكن ادراجھ اموا بأعم ا وق وم بحوث ل تحت ما یسمى الیوم بحوث العملیات

الذي قرر اختراق صحراء بالد الشام " خالد بن الولید"ونذكر من ھؤالء القائد المسلم ان ث ك ادة حی ق المعت لوكھ الطری ن س دال م ن ب ت ممك ر وق ي أقص روم ف أة ال لمفاج

ا ي ع ھ وف ھ من ون قدوم روم ویتوقع ره ال دانماركي 1917م ینتظ دس ال ام المھن م قاجن ة كوبنھ . ایرلنج بنشر أبحاث مھمة تتعلق بتیسیر استخدامات الھاتف لسكان مدین. وقد اعتبر عملھ األساس الریاضي لما یسمى نظریة صفوف االنتظار في ھذه األیام

و1914وفي عام ین التف ة ب ي م نشر العالم البریطاني النكستر بحثا بین فیھ العالق ق فھ ذي یمتلك الح ال ة الس ان وفعالی درة اإلنس ام . مق ة ق دة األمریكی ات المتح ي الوالی وف

اورات السفن خالل ة لمن ر فعالی العالم المعروف توماس أدیسون بایجاد الطرق األكثذا .لعالمیة األولىالحرب ا ع ھ ي مطل ومع تطور المنشآت الصغیرة التي كانت قائمة ف

ادة ا ور وزی ع تط رن وم ة الق ة والتجاری ناعیة والزراعی ة الص ات المختلف لتنظیمرق تخدام الط اوالت إلس دأت المح د ب رى فق ة األخ ة والحیوی ة واإلجتماعی واالداری

ومع ذلك فإن الفعالیات .واألسالیب العلمیة والتحلیل الكمي في مختلف ھذه التنظیمات ي الح كریة ف دمات العس ض الخ ى بع زي إل ات تع وث العملی ى لبح ة األول رب العالمی

ى رق العسكریة عل ا الف ي قامت بھ ائج الدراسات واألبحاث الت الثانیة وقد كان من نتالعملیات العسكریة في الحرب العالمیة الثانیة أن كسبت بریطانیا الكثیر من المعارك

ران الفاصلة ارك الطی ل مع رق . التي في تلك الحرب مث ذه الف ود ھ ا أسھمت جھ كمق اال ي تحقی ذاك ف ة آن ا ومادی ریة منھ ة بش كریة المتاح وارد العس ل للم تغالل األمث س

رادارا ل لل تخدام األمث ل تكاالس تخدام األمث ائرات واالس د الط ي رص كریة ف العسدو ي الع رق . لقاذفات القنابل إلیقاع الخسائر ف ا ف ي أحرزتھ جعت البحوث الت د ش وق

ة كریة األمریكی ة اإلدارة العس ات البریطانی وث العملی ة بح رق مماثل وین ف ى تك علل ى لنق ط مثل اد خط ة وإیج ران والبحری كالت الطی ة مش ي معالج ا ف تفادة منھ لالس

الم ن الع ددة م ي أرجاء متع ا المنتشرة ف دات لقواتھ ذخائر والمؤن والمع ت ،. ال نجحزة تخدام األجھ ام واس زرع األلغ ى ل ط مثل اد خط ي ایج ذلك ف رق ك ذه الف ود ھ جھ

ي االستفادة من والمعدات العسكریة وقد ة نجاحا ملحوظا ف نجحت البحریة األمریكیى د المسارات المثل ي تحدی بحوث العملیات العسكریة في عملیاتھا الحربیة وخاصة ف

.للغواصات والقطع البحریة لتجنب ضربھا من قبل العدوة ات المختلف ذت التنظیم د أخ نتیجة لنجاح بحوث العملیات في المجاالت العسكریة فق

ولي م ت روع العل ن ف رع م ذا الف ر لھ ا أكب دریج اھتمام ریع. وبالت اظم الس ع التع فم

٧

أت وازدادت ي نش كالت الت ع المش ة وم ة الثانی رب العالمی ب الح ذي أعق ناعة ال للصف ي مختل ة ف ات المختلف ور التخصص ع ظھ ریع وم اظم الس ذا التع ة لھ دا نتیج تعقی

شتغلین بتطبیق بحوث العملیات لحل التنظیمات فقد كانت الحاجة ملحة لزیادة عدد الم .مختلف المشكالت

ي الحرب ات العسكریة ف ذین اشتغلوا ببحوث العملی وكانت البدایة أن قام عدد من الناعیة كالت الص ن المش ر م ول لكثی ارات وحل دیم استش اموا بتق ة أن ق ة الثانی العالمی

.واألعمال واإلدارات المختلفة بطرق علمیة مناسبة في حینھادول و ي ال اث ف ز األبح ة ومراك د العلمی ات والمعاھ ن الجامع ر م ام الكثی ك قی ع ذل تب

.المتقدمة بتدریس بحوث العملیات فیھا ن ر م ة لكثی ول الفعال اد الحل ي إیج وم ف دخل الی ات ت وث العملی إن بح ة ف والخالص

:المشكالت في الكثیر من التنظیمات نورد منھا على سبیل المثال ال الحصر

رك* ناعة ش یارات ، ص ناعة الس واریخ ، ص ناعة الص ائرات ، ص ناعة الط ات صناعات ن الص ا م رول ، وغیرھ ناعة البت ورق ، ص ناعة ال ة ، ص ة واألدوی األطعم

.المختلفة ة(شركات االتصاالت السلكیة والالسلكیة، النقل* ة والبری ة والبحری ) الخطوط الجوی

ة، ال ات المالی ركات والمؤسس وتر، الش ة والكمبی االت الخاص ات والوك مؤسس . والحكومیة المستشفیات والمیدان العسكري

.التخطیط بشتى أنواعھ وغیرھا كثیر *

والبد ھنا من اإلشارة إلى عاملین مھمین أسھما ویسھمان في سرعة تطور بحوث * *العملیات

منذ –بالتسارع واآلخذ –ویعزى إلى التقدم التكنولوجي الكبیر الذي بدأ -:أولھما

الخمسینات من ھذا الكون ویعزي إلى ما یسمى بثورة الحاسبات فمعظم المسائل التي تتناولھا -:ثانیھما

بحوث العملیات ب بالبحث والدراسة والحل تتطلب قدرا كبیرا من الحسابات یصع اجراؤھا بالطرق الیدویة العادیة

٨

:معنى بحوث العملیات وطبیعتھا ) 1-2(

ما ھي بحوث العملیات ؟ نجد أن ھناك تعاریف متعددة لبحوث العملیات وطبقا ألحد ھذه التعاریف فإن بحوث

العملیات توصف على أنھا طرق علمیة لصنع قرار یتعلق بعملیات .یم مالتنظ

م ول العل ر من حق ى كثی ھ عل ث یمكن تطبیق . ومن الواضح أن ھذا التعریف عام بحیفإنھ یتضمن البحث في العملیات ولكن " بحوث عملیات " وكما یقتضي اسم ھذا العلم

وفي الحقیقة فإنھ یمكن اعطاء تعریف أوضح لبحوث .. أي عملیات وأي تطبیق لھا ؟ -:العملیات كما یلي

وث ا" ات بح اون العملی یم تع ة لتنظ رق العلمی الیب والط تخدام األس ي اس ات ھ لعملیواألنشطة ضمن نظام ما بغیة ایجاد حل أمثل أو حلول مثلى لمشكالت ھذا النظام من

".بین جملة من الحلول الممكنة -:فن وعلم بحوث العملیات ) 1-3(

ز تھدف بحوث العملیات إلى تحدید أفضل اجراء التخاذ قرار في ة تتمی مشكلة اداریدودة وارد مح رتبط المصطلح . بوجود م ا ی ا م ات " وغالب باستخدام " بحوث العملی

.األسالیب الریاضیة لوضع نماذج لمشاكل القرار وتحلیل ھذه المشاكل ل اك عوام اذج الریاضیة ھن ر من مجرد وضع النم ولكن حل المشكلة قد یتطلب أكث

م غیر ملموسة ھامة ال یمكن ترجمتھ ا بالصورة مباشرة في النموذج الریاضي من أھ ... ھذه العوامل ھو وجود العنصر البشري في كل بیئة القرار تقریبا

ائي " ومن أفضل األمثلة على ھذه الحاالت ھي مشكلة د فشلت " المصعد الكھرب فقارات الحلول التي اعتمدت على نظریة االنتظار في القضاء على شكوى مساكن العم

-:رة من بطء خدمة المصعد الكھربائي وبعد الدراسة تبین أن الكبی

الملل والسأم من فترة البقاء داخل المصعد ولیس من أساس الشكوى .وقت انتظار المصعد الستخدامھ حیث كان ھذا الوقت قصیر نسبیا

. اخلوضع مرآة كبیرة في مدخل المصعد من الد حل ھذه المشكلة

ھ ة نفس داخل المصعد مشغوال برؤی بح من ب ث أص ا حی ت الشكوى تمام ذلك اختف وب .ورؤیة اآلخرین في المرآة حتى یصل المصعد إلى الطابق المطلوب

السفر " وھناك أمثلة كثیرة في الحیاة تشبھ مثال المصعد الكھربائي فنرى اآلن مشكلة

" بالطائرة ةملل و أساس المشكلة ان الرحل ى مك ال من انتظار الوصول إل سأم األطف

. المطلوب

٩

العلم الحدیث والتكنولوجیا قضت على ھذه المشكلة بوضع حل ھذه المشكلة .التلفاز والبرامج التي تشغل عن التفكیر عن متى الوصول

" فن " و " علم " فبحوث العملیات أسلوب لحل المشاكل فھي

ة ال ن ناحی رار فم اكل الق ل مش ابیة لح یة والحس الیب الریاض وفر األس م ت عل .المالئمة

وذج الریاضي ي حل النم ومن ناحیة الفن نجاح كل األوجھ التي تسبق أو تل . یعتمد على اإلبداع والمقدرة الشخصیة للمحللین متخذي القرارات

وذج اء النم ى بن ات عل ع البیان د تجمی وذج ، ویعتم ن النم ق م ل ، التحق ذ الح تنفیالمتحصل علیھ على مقدرة فریق بحوث العملیات على إیجاد خطوط اتصال جیدة مع

. مصادر المعلومات مع األفراد والمسئولین عن تنفیذ الحلول الموصى بھا : نموذج قرار بسیط) 1-4( یم منظم لكل بدائل ھو مجرد أداه لتلخیص مشكلة القرار بطریقة تسمح بتعریف وتقی

وبالتالي یتم التوصل إلى القرار من خالل اختیار البدیل الذي تم . القرار في المشكلة . الحكم علیھ على أنھ األفضل من ضمن كل البدائل المتاحة

) 1-1(مثال

بین نقل مصنعھ ذا الدخل افترض صاحب مصنع إلنتاج منتج ما حیث علیھ أن یختارین دمام المطل دة أو ال ة ج ى مدین ل المصنع إل البسیط بسبب صعوبة التصدیر وبین نقي دیر ف ة التص ان بتكلف ي بی ا یل على البحر األحمر والخلیج العربي على التوالي وفیمى ل إل ة النق ار أن تكلف ة أو الشرقیة باعتب ة الغربی ى المنطق ل إل الوضع الحالي أو النق

-:دة أو الدمام متساویة كما ھي موضحة في الجدول التالي جنة الل س عودي خ ال الس ي بالری الي ھ دول الت ي الج اح ف الیف واألرب أن التك ب ا علم

ھجریة

تحليل نوعي مبني على الخبرة

مشكلة إدارية

تحليل كمي مبني على طرق رياضية

تلخيص وتقييم

قرار

١٠

)١(جدول

التكلفة باللایر السعودي في السنة

بقاء المصنع في الریاضنقل المصنع إلى الساحل الغربي أو الساحل الشرقي

تكلفة نقل المصنع تكلفة التصدیر تكلفة اإلنتاج

المبیعات

___ 8.000.000 1.000.000 3.000.000

5.000.000 50.000

1.000.000 3.000.000

الربح خالل الخمسة سنوات األولى

5 X 1.200.000 سنة 6.000.000=

5 X 950.000 سنة4.750.000=

الربح خالل الخمسة سنوات التالیة

5 X 1.200.000 سنة 6.000.000=

5 X 950.000 سنة4.750.000

سنة X 1.200.000 20 الربح خالل عشرون سنة 24.000.000=

14500.000 +19.500.000 =

34.000.000

ة وكما یبدو ومن صیاغة المشكلة أن ھناك بدیل واحد نقل المصنع إلى المنطقة الغربیي أو المنطقة الشرقیة ولیكن تعمی ل ف ي یتمث ة التشغیل والت ى تكلف م ھذا البدیل بناء عل

. تكلفة النقل وتكلفة التصدیر ویصبح ھدفنا ھو اختیار البدیل األقل تكلفة واألكثر ربح

بقاء المصنع في نقل المصنع إلى الساحل الغربي أو الشرقي الرياض

٣٨ ٣٧ ٣٦ ٣٥ ٣٤ ٣٣ ٣٢ ٣١ ٣٠ ١٤٢٩ ١.٠٠٠.٠٠٠

٢

٣

٤

٥

تاجاإلن

+ير

صدالت

+قل

الن )

فة تكل

ال (

مليون

١١

ى على اعتبار أن صاحب المصنع افترض التكالیف النقل من ال دیدھا عل تم تس ك وی بنك خالل الخمس سنوات ن البن غ المفترض م داد المبل د س ھ بع خمس سنوات حیث أن

. ویزداد الربح ) 1.050.000( األولي تقل التكلفة لتصبح د ھ بع ث أن والي 10حی دمام ح دة أو ال ى ج ل إل ة النق ي حال ربح ف ون ال نوات یك س

)14.500.000. ( بالربح في أما خالل العشرین ) 12.000.000(حالة بقاء المصنع في الریاض مقارنا

) 24.000.000(في حالة نقل المصنع و ) 24.000.000( سنة القادمة یكون الربح .في حالة بقاءه في الریاض ھذا إذا اعتبرنا أن تكالیف الصیانة متساویة في الحالین

ى إذن یتضح من المثال السابق أن نقل المصنع إلى الدم ل عل ام أو جدة ھو الحل األمث . المدى البعید

بعض نماذج بحوث العملیات ) 1-5(

ا ا وتطبیقھ م تطویرھ ي ت ة الت ات المختلف الیب والنظری اذج واألس ن النم ر م اك كثی ھن .لحل الكثیر من المشكالت المتصلة بالواقع

و ود النم دف وقی ر عن ھ ن التعبی ات یمك أو جذفي معظم تطبیقات بحوث العملی ا كمی كدوال لمتغیرات القرار وھو ما یعرف باسم النموذج الریاضي .ریاضیا

ومن بعض النماذج التي تقدمھا بحوث العملیات لحل العدید من المشكالت نماذج التحصیص) ١(

ذه ع ھ اج لتوزی ا نحت فإنن ا درتھا أحیان ل ون ا ب ام م وافرة لنظ وارد المت ة الم را لقل نظى ا وارد عل ائج أي الم ل النت ا أفض ة تعطین ام بطریق ذا النظ ي ھ ة ف طة المختلف ألنش

ا یمكن ع أفضل م اح ( بطریقة تجعل المنفعة الناتجة عن ھذا التوزی ل األرب أن نجع كویتم معالجة ) أكبر ما یمكن أو جودة اإلنتاج أفضل ما یمكن أو التكالیف أقل ما یمكن

.الریاضیة مثل ھذه المشكلة عن طریق ما یسمى بالبرمجة ام واد الخ ال والم ت والم ا كالوق ركة م وافرة لش وارد المت أن الم ثال روف م فمن المع

. الخ ھي موارد محدودة ... واألیدي العاملة واألجھزة ا أن إن علیھ ن المنتجات ف واع م ة أن اج ثالث ثال بإنت وم م ى الشركة أن تق ان عل إذا ك ف

وارد تقرر عدد الوحدات المنتجة من كل نوع وعلیھ ا بالتالي أن تقرر كیفیة توزیع المبشكل یناسب عدد الوحدات المنتجة من كل نوع وھي لیست إال عملیة تحصیص ومن ن ر م ول لكثی دم الحل ي تق ة الت ة الخطی مى البرمج ا یس یة م ة الریاض ة البرمج أمثل

عملیات التحصیص

١٢

) 2-1(مثال ات وت المحرك وعین من زی ة بتصنیع ن وم شركة وطنی ناعة IIو Iتق وتستعمل لص

ادتین أساسیتین ادة B , A ھذین النوعین م ن الم وافر م د األقصى المت ھو Aوالحادة 12 ن الم وافر م ي حین یت ا ف ة B 16 طن یومی د أقصى والحاج ا كح ن یومی ط

الطن ( الیومیة للمواد الخام وعین ) ب ة للن ع IIو Iالالزم ربح المتوق ى ال باإلضافة إل .الواحد لكال النوعین ملخصھ كما في الجدول من بیع الطن

المواد الزيوت

II I 4 2 A 2 4 B

800 SR 1200 SR الربح المتوقع للطن بالريال كم یجب أن تنتج الشركة من كال النوعین كي تكون أرباحھا الیومیة أكبر ما یمكن ؟

-:الحل

ة دودا زمنی وم( نالحظ أوال أن ھناك ح ا الشركة ) ی ي تواجھھ ) النظام ( للمشكلة الت

ة اح الیومی ر األرب ام . وھي تكبی واد الخ ة الم ة عن محدودی ناتج ودا اك قی ا أن ھن كموافر ي ت ل ف وت تتمث وعي الزی ناعة ن وافرة لص ادة 12المت ن الم وم م ي الی ن ف Aط

) .وھي نوع من القیود االقتصادیة ( Bطن یومیا من المادة 16وى استھالك نالحظ أیض ا أن ھناك نوعا اخر من القیود تتمثل في القیود المفروضة عل

وع ن الن تھالك م ي أن االس وت وھ وعي الزی ا وأن IIن ین یومی اوز طن ال یتجقیود تفرضھا البیئة ( IIال یتجاوز ثالثة أطنان عنھ من النوع Iاالستھالك من النوع

)المحیطة بالنظام .كلة تحت القیود المشار إلیھا سنبحث عن حل أمثل لھذه المش

ان (ترمز لعدد الوحدات X1نفرض أن وع ) األطن ن الن ا م X2وأن Iالمنتجة یومی .IIترمز لعدد الوحدات المنتجة یومیا من النوع

وت ) بالریال (ترمز لقیمة األرباح Zوأن وعي الزی ات ن ة من مبیع الیومیة المتحقق :فیكون

Z = 1200 X1 + 800 X2 ود Zالتي تجعل X1,X2ویكون المطلوب ھو البحث عن قیم للقی ا ا یمكن وفق ر م أكب

: اإلقتصادیة والتي یمكن التعبیر عنھا بالعالقتین 2X1+4X2≤12

طن 12ال یتجاوز Aاإلستھالك الیومي من المادة 4X1+2X2≤16

طن 16ال یتجاوز Bاإلستھالك الیومي من المادة

١٣

:اإلستھالك الیومي یمكن التعبیر عنھا بالعالقتین والقیود المفروضة علىX1≤X2+3

IIال یتجاوز ثالثة أطنان عنھ من النوع Iاإلستھالك من النوع X2≤2

. ال یتجاوز طنین IIاإلستھالك من النوع

ا النظام نفسھ ي یواجھھ ة المشكلة الت تفرضھا طبیع ودا بقي أن نشیر إلى أن ھناك قیي وھي أن عدد الوح والت البا دات المنتجة من كال نوعي الزیوت ال یمكن أن یكون س

: نعبر عنھا بالعالقتین التالیتین X1≥0 X2≥0

ة ر قیم ن أكب ث ع وب البح بح المطل ذلك یص یم( وب ھ ) ق ریین Zللدال ي المتغ ة ف كدالX1,X2 للقیود أعاله وفقا

. وسوف نحل مثل ھذه المسائل في فصل البرمجة الخطیة -:نماذج التخصیص ) ٢(

وارد ین من الم دد مع ع ع ة توزی ي كیفی اذج ف خاص ( وتبحث ھذه النم زة ، ، أش أجھع .. ) شركات ، ذا التوزی ( على عدد من األعمال بطریقة تجعل المنفعة العائدة من ھ

ة الناتجة ، زمن اإلنجاز الكلي لألعمال د الربحی تكلفة اإلنجاز الكلي لألعمال ، العوائ .أفضل ما یمكن ... ) ز ھذه األعمال عن انجا

ومن أمثلة ذلك توزیع عدد معین من الموظفین على العدد نفسھ من الوظائف وكإنجاز . عدد معین من الشركات لعدد معین من المشروعات

-: نماذج النقل ) ٣(

وارد ل الم ي نق غریھ ف ة أص ة ذات تكلف اد طریق ي إیج اذج ف ذه النم ث ھ وتبحا ( ة وغیرھ اء والمائی ة والكھرب زارع والطاق انع والم ات المص ات ) كمنتج ى غای إل

ات من ) كمخازن أو مراكز التوزیع والتسویق ( معینة بطریقة تلبي احتیاج ھذه الغایتلك الموارد في حال كون ھذه األخیرة ال تقل عن ھذا اإلحتیاج أو بطریقة تستنفذ فیھا

ات جمیع الموارد في حال كون ھ ك الغای اج تل ل من احتی وارد أق وال یقتصر . ذه المل ل المنتجات ب ي نق ة األصغریة ف ى إیجاد الطرق ذات التكلف تطبیق ھذه النماذج عل

.یمكن تطبیقھا إلى حاالت یكون الھدف فیھا ھو جعل العوائد الربحیة أكبر ما یمكن -:نماذج صفوف اإلنتظار ) ٤(

ة ف فوف الطلب ك ص ة ذل ن أمثل جیل وم ة التس راء عملی وابیر إلج فوف ، ي ط وصة زة المعطوب فوف األجھ ادات ، وص فیات والعی ي مستش الج ف ار الع ى بإنتظ المرض

الحھا ي أن.. بإنتظار اص تلخص ف فوف ت اذج الص ا نم وم علیھ ي تق یات الت والفرضائن ول الزب ن وص ة ( زم ة ، طلب زه معطوب ى ، أجھ وأن .. ) مرض وائیا ون عش یك

١٤

د ة تق ائن الخدم ام –م للزب كل ع اذج –بش ذه النم مح ھ ولھم وتس ب وص ب ترتی بحسوافرة ة المت ذین ( بتحدید العدد األمثل للزبائن الذین یمكن خدمتھم ضمن الطاق دد ال ع

والسبل المثلى ) یقدمون الخدمات والوقت واألجھزة وغیرھا یكون في العادة محدودا . لھذه الخدمة

) 3-1(مثال اك ان ھن ار 10 إذا ك ل اإلنتظ ب أن یقل اء وأراد الطبی د األطب ادة أح ي عی ى ف مرض

ك ، لھؤالء المرضى قدر اإلمكان ق ذل ت ، فما ھي أفضل وسیلة لتحقی أن الوق ب ا علم -:الالزم لخدمة كل مریض كانت كما یلي

: الحلل لخدم ب األمث ة كل مریض وجد الطبیب بالتخمین أن حل ھذه المسألة یكون بالترتی

: كالتالي 5 9 4 10 2 8 3 6 7 1

ة وھي أقصر ٥٦بأخذ ھذا الترتیب للمرضى نجد أن الوقت الالزم ھو ساعة و دقیق . مده

: وبأخذ ترتیب آخر ولیكن 2 3 4 7 5 10 6 8 1 9

نجد أن الوقت الذي یستغرقھ الطبیب في عالج وخدمة المرضى ھو ساعتین .دقیقة 13و

. وھي مده أطول من الحل األمثل الذي وجده الطبیب

المريض الوقت بالدقيقة دقيقة 30 1 دقيقة 12 2 دقيقة 16 3 دقيقة 5 4 دقيقة 6 5 دقيقة 17 6 دقيقة 23 7 دقيقة 15 8 دقيقة 3 9

دقيقة 6 10

١٥

وعلى الرغم من التقدم الكبیر في بناء النماذج الریاضیة فھناك عدد كبیر من الحاالت فقد یكون النظام . عن نطاق قدرات األسالیب الریاضیة المتاحة حالیا الحقیقیة تخرج

ل ھ ریاضیا التمثی ى . المناسب الحقیقي معقد أو متشابك جدا بما ال یسمح بتمثیل وحتث یصعب د بحی ن التعقی إذا أمكن صیاغة النموذج الریاضي فقد یكون ھذا النموذج م

دة ( ختلف لوضع نموذج للنظم وكمدخل م. حلھ باستخدام طرق الحل المتاحة ) المعقدم ي ع یة ف اذج الریاض ن النم اة ع اذج المحاك ف نم اة وتختل تخدام المحاك ن اس یمك

.امكانیة التعبیر عن العالقات بین المدخالت والمخرجات تعبیرا صریحا :أسالیب المحاكاة ) ٥(

وذج ا ب) ریاضي ( تواجھ األنظمة أحیانا مشكالت معقدة یصعب إیجاد نم سیط لحلھ .كما ھي الحال في النماذج المشار إلیھا أعاله

ان صعبا ومن جھة ثانیة فإن إجراء التجارب على النظام نفسھ یكون في معظم األحی .وباھظ التكالیف ویحتوي على شيء من المخاطرة

ا ن المنتج دد م نیع ع وم بتص ا یق نعا م ال أن مص بیل المث ى س رض عل وأن تفلنفتة التقلید إن الدراس الي ف لعة وبالت ى الس ب عل ي الطل ادة ف اك زی رت أن ھن د أظھ ة ق ی

ررت إدارة التوسع في اإلنتاج سیعود على أصحاب المصنع بفوائد كبیرة ولذلك فقد قالمصنع زیادة عدد ساعات عمل كل من األجھزة والعاملین في المصنع باإلضافة إلى

ر من إن القیام بتنفیذ مثل .شراء مزید من المواد الخام ھذا القرار قد ینطوي على كثیة .المخاطر ل أو ظاھرة مؤقت فقد یكون سبب زیادة الطلب على السلعة قد نتج عن خل

ا د زوالھ ة . مما سینتج عنھ خسارة كبیرة عن ذه الظاھرة لیست مؤقت لمنا أن ھ وإذا سفقد تظھر مشكالت أخرى متنوعة كعدم جدوى التشغیل اإلضافي ومشكالت في زیادة

.لیف التخزین أو النقل أو تكالیف المواد الخام تكاع ل الواق اة المشكلة المطروحة بعمل صورة تماث ونقوم في مثل ھذه الحاالت بمحاك

وقد یستلزم منا ذلك استخدام ) ھنا المصنع ( الفعلي لھذه المشكلة دون المساس بالنظامة وز للمشكلة الحقیقی ي أو أي رم ائج القلم والورقة أو الحاسب اآلل ن النت م نستفید م ثعرض النظام ألي خسارة أو ضرر .التي حصلنا علیھا دون أن ن

:العملیات الحسابیة في بحوث العملیات ) 1-6( :یوجد نوعین ممیزین من العملیات الحسابیة في بحوث العملیات

.األول یستخدم في المحاكاة .الریاضیة الثاني یستخدم في النماذج

ي ا ف ت ولكنھ خمة الحجم ومستھلكة للوق اة ض اذج المحاك ي نم فالعملیات الحسابیة فا ائج المرغوب فیھ ى النت ت . نفس الوقت تضمن الحصول عل وب ھو وق ل المطل فك

.كافي على الحاسبات اإللكترونیة ا اذج الریاضیة لبحوث العملی ي النم ات الحسابیة ف ت ومن ناحیة أخرى تكون العملی

تكراریة تحسینیة في طبیعتھا بمعنى أنھ ال یتم التوصل إلى الحل األمثل مباشرة بتنفیذ ن ة م س المجموع رار نف ر تك تلزم األم ل یس دة ب رة واح وات م ن الخط ة م مجموع

رب ( الخطوات عدة مرات حتى یتم التوصل إلى الحل األمثل ففي كل مرة تكرار یقت .مثل الحل أكثر فأكثر من الحل األ) یتحسن

١٦

)4-1(مثال ث یجب دن حی افترض مشكلة رجل البیع المتجول الذي یجب أن یسافر إلى خمسة مأن یزور كل مدینة مرة واحدة فقط قبل أن یرجع مرة أخرى إلى بلدتھ ویلخص الشكل

دن ل الم ة . التالي المسافات بالمیل بین ك ھ المسافة الكلی ى تدنی ع إل دف رجل البی ویھ . للسفر

ویمكن صیاغة ھذه المشكلة كنموذج ریاضى إال أنھ ثبت أن عملیة إیجاد الحل األمثل ى حل ذلك یمكن التوصل إل ول دا ة ج د " لھذه المشكلة ستكون مرھق باستخدام " جی

د ا بع م یزرھ د ل رب بل ى أق ة إل دة الحالی ن البل ل م ب سفر الرج ذي یتطل ین ال . التخمة ن المدین ة م ة سیس 1وبذلك بدای ى المدین ل 3المسافة ( 4افر الرجل إل م من ) می ث

ة 2إلى 3ومن 3إلى 5ومن 5إلى 4المدینة ى المدین ود إل ة ویع ومنھا تكتمل الرحل والتي ال تعتبر مثالیة ألن 18وبذلك تكون اجمالى المسافة المقطوعة في السفر ١ میال

. ة أمیال أقصر بمقدار ثالث 1 5 4 3 2 1 المسار : مراحل دراسة بحوث العملیات ) 1-7(

-:وتتمثل المراحل التي سیمر بھا فریق بحوث العملیات للقیام بالدراسة في اآلتي

نعم

ال

" تعریف المشكلة" - :المرحلة األولى

التنفيذ

حل النموذج

بناء النموذج

تعريف المشكلة

التحقق من صحة النموذج

2

3

4 5

1

3

4 7 3 6

5 8

2 6

1

١٧

: یتلخص العمل في ھذه الخطوة بما یلي ت فھي معرفة أن المشك لة موجودة فعال فقد تظھر المشكلة نتیجة لخلل طارئ أو مؤق

دة ع معق الم الواق ي ع ي تنشأ ف ألن المشكالت الت ا ونظرا لحلھ كبیرا ال تستحق جھداین ز ب أن نمی ا ا أحیان د یكون من الصعب علین ھ ق ل فإن بسبب تداخل كثیر من العوام

ن وجود مشكلة فإن المرحلة التالیة ھي وبعد التأكد م. المشكالت العرضیة والحقیقیة ا ة والمحیطة بھ . جمع الحقائق والمعلومات والبیانات ودراسة جمیع الشروط المتعلق

-:والنوع التالي من األسئلة یساعد إلى حد كبیر على اإلحاطة بالمشكلة وفھمھا

ما ھي ؟ وأین ؟ ومتي ؟ ومن ؟ وكیف ؟

. ثم تصنیفھا لوضع نموذج أو طریقة لحلھا وبالتالي إلى تعریف المشكلة ومن

ماهى

أين

متى

من

كيف

موارد النظام

اإلدارة

لماذا؟

األجهزة

السيولة النقدية

األيدي العاملة

المواد

)إحاطة بالمشكلة وفهمها (

تعريف المشكلة

١٨

" بناء النموذج" -: المرحلة الثانیةاء ا وبن وذج لھ اء نم ة تكون بن ة التالی إن المرحل بعد أن قمنا بتحدید عناصر المشكلة ف

لعناصر المشكلة بمجموعة من العبارات الریاضیة كالمعادال تالنموذج لیس إال ربطا . المفروضة ) القیود ( للفرضیات والمتطلبات والمتباینات وفقا

" حل النموذج" -: المرحلة الثالثة

ا ممكن ي تعطي حال رار الت رات الق یم متغی یعرف حل النموذج بأنھ إیجاد مجموعة ق . للمشكلة قید الدراسة ومن ثم إیجاد الحل األمثل من بینھا

" التحقق من صحة النموذج" -: المرحلة الرابعة

م ا ل ال یمكننا بالطبع أن نتحقق من صالحیة النموذج للنظام أو المشكلة قید الدراسة م إذا كان یتمتع بالخواص التالیة . ننتھ من حل النموذج :ویكون النموذج صالحا

. أن یكون ذا بناء منطقي سلیم -١٢- . أن تكون النتائج المستخلصة منھ صحیحة وقابلة للتطبیق عملیا على تقدیم الحل األمثل للنظام أو المشكلة قید الدراسة -٣ .أن یكون قادرادات -٤ رق ومع ن ط تجد م ا یس تیعاب م تطیع اس ث یس ویر بحی للتط ابال ون ق أن یك

. تكنولوجیة حدیثة

" التنفیذ" -: المرحلة الخامسةم الت. یعرف التنفیذ بأنھ وضع الحل المقترح موضع التطبیق ذ حل ت ھ وتنفی وصل إلی

اذج ات تصمیم النم ت بعملی ا قورن في بحوث العملیات ھو من العملیات الصعبة إذا مذا الحل ، وحلھا واختبارھا ذ ھ د تحول دون تنفی ي ق ات الت ض العقب ك لوجود بع وذل

م من ة واألھ ض المصاعب المالی ذ وكوجود بع كموافقة اإلدارة المسؤولة عن التنفی . ذلك ھو الخوف من التغییر

١٩

الفصل الثاني صياغات وحل بياني: البرمجة الخطية

(2) مرجع مقدمة (2-1)

(1)مرجع استقصاء مشكالت النظم وصياغتها (2-2) (1)مرجع بناء النموذج (2-3) (2) مرجع ية بسيط وحله بيانيا نموذج برمجة خط (2-4) (1)مرجع تحليل الحساسية (2-5)

٢٠

الفصل الثاني ياغات وحل بياني ص: البرمجة الخطية

مقدمة (2-1)

في اتخاذ القرارات راءالبرمجة الخطیة ھي طریقة لحل المسائل عملت لمساعدة المد -:بیقات التي استخدمت فیھا البرمجة الخطیة ما یلي أمثلة للتط

تج - 1 ى المن ب عل ة الطل زین لتلبی اج وسیاسة للتخ ل خطة لإلنت د عم ناعي یری ص

عادة الخطة والسیاسة تساعد الشركة على تلبیة الطلب وفي نفس . للفترات المستقبلیة .الوقت تقلیل تكلفة اإلنتاج والتخزین الكلیة

دف ال. متاحةیرید اختیار استثمار من عدة خیارات استثماریة محلل مالي -2 ل مھ حل

.ھو اختیار االستثمار الذي لھ أعلى عائد على االستثمار د أحس -3 د تحدی ة لتومدیر تسویق یری ة ن طریق ع میزانی دة زی ى ع ددة عل إعالن مح

حف والمجالت ، التلفزیون ، الرادیو -: قنوات إعالن مثل د، الص د الم د یر تحیری دی . تأثیر إعالني مزیج القنوات الذي یودي ألعلى

اطق -4 دة من ي ع تودعات ف دة مس ا ع ركة لھ ى . ش ب عل ركة للطل ة الش ع معرف م

د ائعھا تری د بض ركة تحدی ة الش تودع لتلبی ن أي مس ا وم ون م حونة لزب ة المش الكمی . الطلب بأقل تكلفة نقل

لھا خاصیة واألمثلة كثیرة ولكنھا د إجمیعا ا نری ا تعظھي أنن ا م ة م ل كمی ، یم أو تقلی

لمسائل البرمجة الخطیة ھي أن ھناك قیود تحدد المدى الذي یمكن فیھ خاصیة أخرى . متابعة الھدف

ة وارد المنظم ة . البرمجة الخطیة ھي وسیلة ریاضیة إلیجاد أحسن استغالل لم كلمرین أو أك"خطیة " ین متغی ة ب ر عن العالق ر استخدمت للتعبی ة ، ث ة ھي عالق والعالق

. نسبیة مباشرة ة " البرمجة " ول الممكن تشیر إلى استخدام أسالیب ریاضیة معینة إلیجاد أحسن الحل

. دة وللمسألة ذات الموارد المحدان ن األحی ر م ي كثی ي ف ل الكم تخدام التحلی ى اس رارات عل اذ الق ة اتخ د عملی تعتم

وارد للوصول إلى القرار الصحیح لحل المشكالت ع الم التي تواجھھا النظم ھي توزیأكبر األرباح أو أقل الخسائر أو ( بشكل فعال بغیة الوصول إلى أفضل المنافع للنظام

ة ). الخ ... أفضل طاقة إنتاجیة إن األنظم ف ثال ة م ففیما یتعلق بإنتاج السلع في األنظم ترغب بشكل عام في معرفة أي السلع ستنتج؟

٢١

اج ما الكمیات الواجب استخدامھا إلنتاج ھذه السلع ؟ ما الطریقة الواجب اتباعھا لإلنتدف ق ھ ذي یحق لیم ال رار الس ى الق ة ھو الوصول إل ذه المعرف ؟ والھدف العام من ھ

ذه . النظام ل ھ ب بشكل عام أن تقب ا یتطل ق لمشكلة م والوصول إلى قرار سلیم ودقی . المشكلة الصیاغة بمفاھیم ریاضیة

ر ة البر" وتعتب ل " مجة الخطی ي ح یة المستخدمة ف واع البرمجة الریاض ر أن ن أكث مة رق فعال نظم بط وارد ال ع م كالت توزی ن مش ر م ة . الكثی ة الخطی رف البرمج وتع

على أنھا طریق ث تكون ةاختصارا ات حی ي بحوث العملی ة ف اذج الخطی لمعالجة النم .كل من دالة الھدف والقیود دوال خطیة في متغیرات القرار

ة ي تتضمن ایجاد أفضل قیم ع المسائل الت ة بشكل خاص م وتتعامل البرمجة الخطیود الناتجة ) أكبر قیمة أو أصغر قیمة بحسب الھدف ( لدالة الھدف تحت عدد من القی

. عن محدودیة الموارد في معظم األحیان

-:استقصاء مشكالت النظم وصیاغتھا (2-2)ظام ما البد لنا أوال من التأكد من وجود المشكلة لكي نتمكن من حل مشكلة یواجھھا ن

ى ئذ أن نكون قادریندویجب علینا بع ا حت ع جوانبھ تمكن من على معرفة وفھم جمی نق وأن نكون قادرین أیضا على صیاغ. تحدیدھا تحدیدا دقیقا حیحة وف تھا صیاغة ص

ي انموذج سلیم یأ ي تسھم ف ل العناصر األساسیة الت ار ك ي خذ بعین االعتب لتوصل إل . الحل الصحیح

ذي ب ال ل الطبی ر عم ویشبھ عمل باحث العملیات أو المعني بحل المشكلة إلى حد كبیھ عرضي م أم أن یبدأ أوال بتحدید ما إذا كان ھناك اضطراب حقیقي في وظائف الجس ب أیضا اج الطبی د یحت ي مستشفي وق لعالج أو لمكوث ف أو وھمي ال یستحق وصفا

ل راء تحالی ل أن إلج یة قب كلة المرض ن المش ف ع ي الكش اعده ف ل تس عة كعوام وأشى ،لھا) النموذج( یقترح العالج المناسب وبالمقابل فإن باحثي العملیات یستعینون عل

ك المشكلة اذج وصفیة لتل م نم ات ورس ل للبیان إجراء تحلی د المشكلة ب ع أن .تحدی وممن طبیب آلخر إال أن الطبیب العالج المقترح لحالة مرضیة معینة یختلف بشكل عام

. الماھر یختار أفضل وأنجح الطرق للعالج الفعال والسریع خص ك الش اجح ھو ذل ات الن إن باحث العملی وكذلك الحال بالنسبة لباحثي العملیات فالذي یستطیع أن یقدم أفضل النماذج للمشكالت المعینة والتي تساعده على استخالص

.الحلول منھا بسھولة ویسر -:صیاغة المشكلة

:تحدید عناصر المشكلة ة ھي صیاغة المشكلة ھ التالی إن خطوت بعد أن تعرف الباحث على مواطن المشكلة فة إستخدام بغی ا ونھائی ا دقیق صیاغة عملیة والذي یعني تحدید عناصر المشكلة تحدیدا

. ھذه العناصر في بناء نموذج أمثل لھا -:مما یلي ونحدد في ھذه المرحلة كال

-:األھداف

٢٢

ھ ي تحقیق إن . وھي ما نرغب ف ف ثال اوالت م ب الحالي لشركة مق ص الجان ا یخ ففیمادة ون ع داف تك ةاألھ الیف موجھ ل التك اح أو تقلی ر األرب و تكبی در . نح ا یج ومم

. اإلشارة إلیھ في ھذا العدد ھو أن بعض األنظمة ال تھدف المنفعة لنفسھا فقطإن مثال فالمستشفى الطبع ف تھدف بالدرجة األولى إلى تقدیم أفضل عنایة للمرضى وب

ذه . ثمة ھدف ضمني آخر ھو تقلیل تكالیف اإلنفاق ل ھ ي مث وقد یكون من الصعب فد ق الحاالت تحدید ھدف موحد یحقق جمیع أھداف النظام بل البد من تحدی دف یوف ھ

ي حا دف ف اق بین ھذه األھداف بطریقة متوازنة كأن یكون الھ ة المستشفى ھو اإلنف لؤدى ذي ی د ال ى ضرورة تحدی ى أن نشیر إل ة ، بق ة الطبی ن العنای ول م لمستوى معق

. عالیة في ھذه المرحلة من خالل تحدید أھداف النظام مقیاس للف

- : المتغیرات

-:وھي على ثالثة أنواع

-) :رات القرار متغی( المتغیرات القابلة للضبط ) ١( . لمتغیرات بأنھا قابلة للمعالجة والتحكم من قبل صانعي القرار تتمیز ھذه ا

-:ط بالمتغیرات غیر قابلة للض) ٢(

أثر ا تت ألن قیمھ را رات نظ ذه المتغی ل ھ ي مث تحكم ف رار ال انعو الق تطیع ص ال یسومن أمثلة ذلك األسعار التي یفرضھا الموردون ) البیئة ( بعناصر خارجة عن النظام

واد ى الم رى – عل ة األخ ھا األنظم ي تفرض ة الت عار المنافس ذه . األس أثر ھ د تت وقة تغیرات بعناصر من النظام نفسھ كطاقة األجھزة التي یستخدمھا النظام مال وكحدودی

. الوقت والمال المتوافرة للنظام -:المتغیرات الناتجة) ٣(

ام ھ النظ ل فی ذي یعم توى ال ة المس ي معرف رات ف ذه المتغی اعد ھ ھ وتس وغ أھداف لبلل وتعتمد ھذه . وبالتالي فھي تساعد في قیاس مستوى فعالیة النظام ى ك المتغیرات عل

.من المتغیرات القابلة وغیر القابلة للضبط

-:القیودة د المتبع ي تفرضھا عادة القواع ة الت وارد–ونحدد فیھا جمیع القیود الفعلی درة الم -ن

ة ا-المنافس ا...التكنولوجی خ أو غیرھ بط ال ة للض ر القابل رات غی ن المتغی د . م وتحدیا النظام ل فیھ یستلزم معرفة تفصیلیة بالطریقة التي یعم عناصر المشكلة تحدیدا دقیقاى عل والذي یعني إجراء ما یسمى تحلیل النظام ویساعد إجراء مثل ھذا التحلیل أیضا

ا ي بن ھم ف ي تس ات الت ات والبیان ن المعلوم الزم م در ال وفیر الق حیح ت وذج ص ء النم . المشكلة

من القیود ال تدخل ضمن وھذا النوع من )) القیود الفعلیة(( وقد یتصور البعض نوعا .القیود القیود ھو في الحقیقة قیود وھمیة ویعطى المثال التالي فكرة عن ھذا النوع من

(1-2)مثال

٢٣

اط) ١(یحوي المربع التالي شكل ذه النق ط ھ وب رب ة خطوط تسع نقاط والمطل بأربع .فقط دون رفع القلم عن الورقة

:الحل

دید القطع التي تصل النقاط التسع ل ھذا اللغز أنھ من غیر الممكن تمقد یتصور من یحع ھ . خارج منطقة المرب اه فإن إذا تجاوزن د وھمي ف و قی ة ھ ي الحقیق ذا التصور ف وھ

) ٢(یمكن حل ھذا اللغز بسھولة كما في الشكل

-:بناء النموذج (2-3)

ا وم بھ ات یعتبر بناء النموذج من أمتع وأصعب األعمال التي یق ھ ، باحث العملی ولكنال ذه األعم ري لھ ود الفق ك العم ع ذل ل م كلة . یمث ف المش ة تعری ت عملی د أن تم فبع

وذج ى شكل نم ھا عل ة ھي تلخیص وة التالی ذا ) إن أمكن ( وتصنیفھا تكون الخط وھرار النموذج غ ویجب أن یتحدد في النموذج متغیرات الق ریاضیا ما یكون نموذجا البا

والمتغیرات الناتجة والمتغیرات الغیر قابلة للضبط ات د العالق م تحدی ن ث ات( وم ادالت ومتراجح رات )مع ذه المتغی ین ھ ربط ب ي ت . الت

دود الفرض یات ویجب أن نتحرى التبسیط في النموذج قدر المستطاع ولكن ضمن حع والقیود ھ لواق المفروضة ویعنى ذلك ایجاد توازن بین عملیة تبسیط النموذج وتمثیل

صحیحا . المشكلة تمثیال

-:ویتألف النموذج من ثالثة عناصر .دالة الھدف ) ١( .القیود ) ٢( . شرط عدم السالبیة) ٣(

اج أو ا اح أو اإلنت ادي كاألرب دف اقتص ن ھ ادة ع دف ع ة الھ ر دال الیف أو وتعب لتك .الخ ... ساعات أو ایام العمل األسبوعیة

)٢(شكل )١(شكل

٢٤

وتعبر معظم القیود عن محدودیة الموارد كمحدودیة ساعات العمل أو المال أو الطاقة . الخ ...اإلنتاجیة أو المواد الخام المتوافرة

. وقد توجد بعض القیود األخرى المتعلقة بطبیعة المتغیرات أو النظام نفسھ

نمو (2-4) -:ذج برمجة خطیة بسیط وحلھ بیانیا

- : (2-2)مثال تعظیم

س ال لسوق المالب ررت اإلنتق شركة تقوم بصناعة مالبس رجالیة لمحدودي الدخل قالي ط و الع عر المتوس ن . ذات الس وعین م د بن ط الجدی دأ الخ ررت أن تب ركة ق الش

م . البدالت الرجالیة وع األول اس ى الن ى ال" عصري"أطلق عل اني اسم وعل وع الث نى شراء " دبلوماسیي" ق عل د وواف اجي الجدی للخط اإلنت دا موزع الشركة متحمس ج

. كل اإلنتاج لفترة الثالثة شھور القادمة اج ددت إدارة الشركة خطوات االنت دالت ح بعد دراسة الخطوات المطلوبة النتاج الب

:التالیة القص -١ التفصیل -٢ التشطیب -٣ لتغلیف المراجعة وا -٤

-:مدیر التصنیع حلل الخطوات ووصل للنتائج التالیةة ي األقسام " عصري"إذا انتجت الشركة بدل ة ف ات التالی اج لألوق ة تحت ل بدل إن ك ف

-:المختلفة ساعة في قسم القص 7/10 -١ ساعة في قسم التفصیل 1/2 -٢ ساعة في قسم التشطیب 1 -٣ عة والتغلیف ساعة في قسم المراج 1/10 -٤

-:یحتاج لألوقات التالیة " دبلوماسي"النوع عالي السعر ساعة في قسم القص 1 -١ ساعة في قسم التفصیل 5/6 -٢ ساعة في قسم التشطیب 2/3 -٣ ساعة في قسم المراجعة والتغلیف 1/4 -٤

ام بحساب سعر قام قسم الحاسب بالشركة بتحلیل معلومات االنتاج وتحدید التكالیف وق -:یؤدي لربح على النوعین كاآلتي ت للبدال

جنیھ 10عصري -١ جنیھ 9 دبلوماسي -٢

افة ذا باإلض ام ، لھ ي األقس وفرة ف اج المت اعات االنت د س نیع بتحدی دیر التص ام م ق المختلفة للشھور

٢٥

-:الثالثة القادمة كاآلتي ساعة 630القص -١ ساعة 600التفصیل -٢ ساعة708شطیب الت -٣ ساعة 135المراجعة والتغلیف -٤

: الحل

مشكلة الشركة ھي تحدید كمیة االنتاج من النوعین التي تعظم الربح یم ال و تعظ ا ھ دف ھن دف الھ د، بح رالھ ة الھ ن كتاب ف یمك بتعری یا ف ریاض

: عل اج. مصطلح بسیط X1 = تي تنتجھا الشركةال" النوع عصري"عدد البدالت. X2 = التي تنتجھا الشركة" النوع دبلوماسي"عدد البدالت .

-:المساھمة في الربح تأتي من مصدرین .من النوع عصري X1 المساھمة الناتجة عن انتاج عدد -١ . من النوع دبلوماسیي X2المساھمة الناتجة عن انتاج عدد -٢

ن دة م ة الواح ى البدل ربح عل ر"وألن ال وع 10" يعص ذا الن اھمة ھ إن مس ة ف جنی10X1.

ألن الربح عل وع وأیضا ذا 9" دبلوماسي"ى بدلة واحدة من الن إن مساھمة ھ ھ ف جنی .X2 9النوع ھي

-:فإن المساھمة الكلیة بالربح ھي Zإذا اشرنا للربح الكلي بالرمز

Z=10X1+9X2 ر عن مشكلة الشركة بأن یم یمكن اآلن التعبی د ق ا تحدی ى X1 ،X2ھ ي تعطي أعل الت

في مصطلح البرمجة الخطیة . Zمساھمة في الربح الكلي X1 ،X2متغیرات الحل

10X1+9X2دالة الھدف -:ھدف الشركة یعبر عنھ كاآلتي تعظیم للتعبیر عن MAXویستخدم الرمز

MAX Z=10X1+9X2

فإن أي مزیج انتاجیة للنوعین یشار إلیھ بحل للمسألة في مسألة الشركة كنة ھي المطلوبة یشار إلیھا بالحلول الممولكن فقط الحلول التي تحقق كل القیود

. الممكن الذي یؤدي ألعظم مساھمة في الربح یشار لھ بالحل األمثل الحل ز ط م نجھ ل ول د حتي اآلن نحن ال نعرف ماذا یمكن أن یكون الحل األمث ة لتحدی ریق

تحدید القیود للمسألة . الحلول الممكنة الطریقة لعمل ذلك تتطلب منا أوال

-:القیود

٢٦

ل ھك أربع مراحل بدل ر ب وعین تم ن الن ة م وفر . انتاجی زمن المت ل ألن ال ي المراح فمن إنتاجیةفإننا نتوقع وجود أربع قیود تحدد العدد الممكن ، اإلنتاجیة المختلفة محدود

.وعین النوع ، ومعلومات االنتاج اج ل" عصري"نعلم أن أي بدلة من الن ي 7/10 ـتحت ساعة ف

الزمن المطلوب في قسم القص النتاج . قسم القص وع X1إذا ن الن " عصري"بدلة م كل بدلة من 7/10X1ھو ، تحتاج لساعة قص " دبلوماسي"أیضا

الزمن . 1X2ھو دبلوماسي" بدلة X2لذلك فإن الزمن المطلوب في قسم القص النتاج ھومن النوعین X2 , X1الكلي في قسم القص المطلوب النتاج

7/10X1+1X2 رح 630وألن الزمن الكلي المتاح في ھذا القسم ھو اجي المقت ساعھ فإن المزیج االنت

: یجب أن یلبي الشرط التالي 7/10X1+1X2 ≤ 630

-:س الطریقة فإن القیود لألقسام األخرى ھي وبنف

1/2X1+5/6X2 ≤ 600 1X1+2/3X2 ≤ 708

1/10X1+1/4X2 ≤ 135

وألن كمیة االنتاج ال یمكن أن تكون سالبة فإننا نضیف القیود التالیة X1 ≥ 0 , X2 ≥ 0 -):المسماه قیود عدم السلبیة (

كما یلي ن تإذا یمك -:مثیل المسألة ریاضیا

MAX 10X1+9X2 7/10X1 + X2 ≤ 630 1/2X1 + 5/6X2 ≤ 600 1X1 + 2/3X2 ≤ 708 1/10X1 + 1/4X2 ≤ 135 X1, X2 ≥ 0

یعطي أعظم یحقق القیود وفي نفس الوقت X1,X2الھدف ھو ایجاد مزیج انتاجي لـ

)أحسن الحلول الممكنة ( ربح ممكن *خاصیة للبرمجة الخطیة ھي أن دالة الھدف وجمیع القیود ھي دوال خطیة * -:لحل البیاني ا

اني م البی ق الرس ا عن طری ط یمكن حلھ ران فق . مسألة البرمجة الخطیة التي بھا متغی على المحور األفقي وقیم X1 یم الرسم یضع ق. الرسم یوضح الحلول الممكنة للمسألة

٢٧

X2 ى . على المحور الرأسي یم الرسمأي نقطة عل دھا بق ي X1, X2 یمكن تحدی التدد عتح ي والرأسي موق ى المحورین األفق ل نقطة. النقطة عل ا أن ك ( X1, X2)بم

الحل عندما نقطة . فإن كل نقطة على الرسم تسمى نقطة حل ، تشیر لحل X1 = 0 , X 2 = 0 تسمى نقطة البدایة أو المنشأ.

ة ول ممكن ر حل اط الحل تعتب د أي من نق ة ھي تحدی X1, X2أن ابم. الخطوة التالی X1 ≥ 0 , X2 ≥ 0غیر سالبات فسننظر فقط للجزء من الرسم حیث

ذا تي تعبر وایجاد كل نقاط الحل ال 7/10X1 + X2 ≤ 630 لتمثیل القید عن ھ . 7/10X1 + X2 = 630أي ، القید فإننا نبدأ برسمھ كمعادلة

ین ومن الخط د نقطت یمكن تحدی ة ھو خط مستقیم ف ر عن المعادل بما أن الرسم المعب . بینھما ) X1 = 0 , X 2 = 630(فإن النقطة األولى ھي X 2والحل لـ X1 = 0بجعل

ة نجع ة الثانی اد النقط ـ X 2 = 0 ل والیج ل ل ي X 1ونح ة ھ د النقط ونج)X1 = 900 , X 2 =0 (

) 1رسم بیاني رقم ( یمكننا اآلن رسم الخط

-:نواصل بتحدید النقاط التي تحقق القیود الثالثة اآلخري ) 2الرسم البیاني رقم ( ( 720 , 0 ) , ( 0 , 1200) قید التفصیل -١ ) 3الرسم البیاني رقم ( (1062 , 0 ) , ( 0, 708 ) قید التشطیب -٢ ) 4الرسم البیاني رقم ( ( 540 , 0) ،( 0 , 1350 )قید المراجعة والتغلیف -٣

X1

X2

100 200 300 400 500 600 700 800 900

100

200

300

400

500

600

( 900.0)

( 0.630 )

) ١الرسم رقم (

٢٨

( 1200.0 )

100 200 300 400 500 600 700

100

200

300

400

500

600

( 0.1062 )

( 708.0 )

700

X1

X2

800

900

1000

) ٣ الرسم رقم(

100 200 300 400 500 600 700 800 900

100

200

300

400

500 ( 0.540 )

( 1350.0 ) 1000 1100

X1

X2

) ٤الرسم رقم (

1200 1300

) ٢الرسم رقم (

100 200 300 400 500 600 700 800 900

100

200

300

400

500

600

( 0.720 )

1000 1100 1200

700

X1

X2

٢٩

. نحتاج لتحدید نقاط الحل التي تحقق جمیع القیود مجتمعة في مسائل البرمجة الخطیة اط لعمل ذلك یمكن رسم جمیع القیود في رسم واحد ومالحظة المساحة التي تشمل نق

)5الرسم رقم ( التي تحقق القیود األربعة مجتمعھ الحل

ة ق 0abcdالمساحة المظلل ا تحق اط فیھ ع النق تسمى مساحة الحل الممكن ألن جمیا تسمى نقطة حل . جمیع القیود ة الحل الممكن أو داخلھ دود منطق ى ح أي نقطة عل

.ممكن . ھو أفضل الحلول الممكنةنواصل اآلن الیجاد الحل األمثل الذي -

ار أفضل إحدى الطرق لعمل ذلك ھي تقییم دالة الھدف لكل نقاط الحل الممكن واختی إذا ، الحلول دا ولكن ھذه الطریقة شبھ مستحیلة ألن نقاط الحل الممكن عددھا كبیر ج

ي تعط X 1 , X 2 فإن جمیع القیم لـ ) 1800مثال ( حددنا قیمة لدالة الھدف ي التى خط مستقیم ع عل دف تق ادة . ھذه القیمة لدالة الھ ة یمكن زی دف ورسم قیم ة الھ دال

دف . خطوط جدیدة لدالة الھدف ة الھ ة دال ة وأن قیم ذه الخطوط متوازی نالحظ أن ھ . ( 0 , 0)عن نقطة األصل تزید كلما ابتعدنا

دة نصل لنقط ق رسم خطوط جدی دف عن طری ة یكون بمواصلة زیادة قیمة دالة الھي . الخط كلھ خارج منطقة الحل الممكن دف ف ة ھ ى خط دال ي أعل ع ف النقطة التي تق

. منطقة الحل الممكن ھي نقطة الحل األمثل ة . ھي قیمھا عند الحل األمثل , X 2 X 1القیم المثلى لمتغیرات الحل بناء على دق

. من الرسم الرسم أوعدمھا یمكن معرفة ھذه القیم عند تقاطع قیدي cإلى الرسم نجد أن الحل األمثل یكون عند النقطة بالنظر

X2

1300

C

b

(2)

(3)

a

d

(0.1062)

(0.720)

(0.630)

(0.540)

(708.0) (900.0) (1200.0) (1350.0) 1300

Fss

X1

) ٥الرسم رقم (

٣٠

متحققھعلى القیدین ولذا فإنھا تقع القص و التشطیب أي أن النقطة ا تماما 7/10X1 + X2 = 630 (1)القص

1X1 + 2/3X2 = 708 (2) التشطیب

:لقص یكون بالنظر لقید ا

7/10X1 = 630 - X2 X1 = 900 - 10/7X2 (3)

:نجد X2وبالحل لـ (2)في المعادلة X1بتعویض ھذه القیمة لـ

1 (900 – 10/7 X2 ) + 2/3 X2 = 708

900 – 10/7 X2 + 2/3 X2 = 708 900 – 30/21 X2 + 14/21 X2 = 708

-16/21 X2 = -192 X2 = 252

:نجد (3)في المعادلة X2 = 252باستخدام X1 = 900 - 10/7(252) = 900 – 360 = 540

: ھي X1 , X2إذن القیم الدقیقة لـ X1 = 540

X2 = 252 (3-2)مثال

اج صنفین وم بإنت جاد یق للس ك شركة مصنعا اح II , Iتمتل در األرب جاد وتق من السدة ل وح ن ك دة م جادة ( العائ ن) س نف مص ن الص دار Iوعة م ا 200بمق لایر أم

. لایر 140فتقدر بمقدار IIلكل سجادة مصنوعة من الصنف األرباح العائدة ونظرادره ق ھریا ش ا من انتاج ركة یتض الي للش امج الح إن البرن وارد ف ة الم 650لمحدودی

دة من الصنف دة من الصنف 2600و Iوح ي إعادة . IIوح ترغب الشركة فنظر في برنامجھا الحالي لإلنتاج لمعرفة ما إذا كان ھناك برنامج أفضل لإلنتاج یدر ال

ھر ي الش ر ف أكب ا ا أرباح ة . علیھ ام ونتیج ة أقس ي أربع جاد ف اج الس ة انت ر عملی تمللدراسة التي قام بھا المختصون في األقسام األربعة تبین أن محدودیة الوقت المتوافر

. اإلنتاجیةلة بمحدودیة الطاقة الصھي العنصر الوحید ذو , IIالذي تتطلبھ صناعة كل وحدة من الصنفین ) بالساعة ( الوقت )أ ( یبین الجدول

I ت ة الوق ة وطاق ام األربع ن األقس ل م ي ك ام ف ذه األقس ن ھ ل م ي ك وافرة ف المت ) )بالساعة شھریا

)أ ( جدول

٣١

طاقة الوقت بالساعة المتوافر لل قسم شھریا

الوقت بالساعة الالزم لصناعة القسم الوحدة

Iالصنف IIالصنف 6000 8000 7500 5000

0 2.9 2

1.5

3 0

2.5 1.3

1 2 3 4

ي ر ف ح أكب ق رب ا الحالي لتحقی ر برنامجھ لھذه البیانات ھل على الشركة أن تغی وفقا

الشھر أم ال ؟

-: الحل جاد إیجاد بر األھداف اج صنفي الس امج النت ح شھري II , Iن ر رب ق أكب یحق

. ممكن للشركة وبذلك فإن الفعالیة تقاس باألرباح الشھریة العائدة من صنفي السجاد كما ھو واضح من نص المشكلة في المثال فإن المتغیرات ذات الصلة المتغیرات

-:بالمشكلة ھي .من كل من صنفي السجاد عدد الوحدات الواجب انتاجھا شھریا X1 = عدد الوحدات المنتجة من الصنفI .

X2 = عدد الوحدات المنتجة من الصنفII . X1 , X2متغیرات القرار Z = 200 X1 + 140 X2دالة الھدف

وzھي األرباح الشھریة العائدة من الصنفین وھي دالة الھدف التي نرغب :في إیجاد أكبر قیمة لھا

-:القیود

X1 , X2باإلضافة إلى قیود الال سلبیة الناتجة عن طبیعة المتغیرات X1 , X2 ≥ 0 وافر ت المت ة الوق ك الناتجة عن محدودی دة ھي تل ود الوحی إن القی ف

:شھریا وھذه القیود ھي ساعة شھریا 6000ھو توافر ) 1(القید المتعلق بالقسم

ط I القسم مخصص للصنف وھذا ذا الصنف تستغرق. فق دة من ھ ا أن كل وح وبم 3X1 ≤ 6000ساعات فإنھ یمكن التعبیر عن ھذا القید بالمتباینة 3

ة ي 4,3,2باألقسام وبالمثل یمكننا التعبیر عن القیود المتعلق ات المعطاة ف ا للبیان وفق :والمتباینات التالیة ) أ ( الجدول

2.9X2 ≤ 8000 2.5 X 1 + 2 X 2 ≤ 7500

1.3 X 1 + 1.5 X 2 ≤ 5000 على الترتیب

٣٢

-:ویمكن صیاغة المسألة ریاضیا كما یلي MAX 200X1 + 140X2

3X1 + 0.X2 ≤ 6000 0.X1 + 2.9X2 ≤ 8000 2.5X1 + 2X2 ≤ 7500

1.3X1 + 1.5X2 ≤ 5000 X1 , X2 ≥ 0

:الحل البیاني ود ع القی ذا . إن فضاء الحل الممكن ھو ذلك الفضاء الذي یحقق جمی ى ھ وبالنسبة إل

اط المثال فإن فضاء الحل الممكن ھو ع ) X1 , X2( مجموعة النق ق جمی ي تحق الت القیود التي استنتجناھا

یعني أن منطقة الحل المشترك للمتباینات X1 , X2 ≥ 0نالحظ أن القید .مقصورة على الربع األول )القیود األخرى (

ا من المستقیمات النا) القیود ( وبأخذ كل من المتباینات تجة ال كمساواة نالحظ أن أیة ( 0 , 0 )تمر بالمبدأ ي 3X1 ≤ 6000ولذلك نجد بسھولة أن المتباین ق ف تتحق

ى یسار المستقیم ى وإل ة عل ة الواقع ة X1 = 2000المنطق ≥ 2.9X2والمتباین تتحقق في المنطقة الواقعة على وأسفل المستقیم 8000

. ة ى وأسفل 2.5X1 + 2X2 ≤ 7500والمتباین ة عل ة الواقع ي المنطق ق ف تتحق المستقیم

2X1 + 2X2 -7500 = 0 ة فل 1.3X1 + 1.5X2 ≤ 5000والمتباین ى وأس ة عل ة الواقع ي المنطق ق ف تتحق 1.3X1+ 1.5X2 -5000 = 0المستقیم

ى محیط المضلع ) القیود ( فالحل المشترك للمتباینات ھو مجموعة النقاط الواقعة عل0ABCDE 6الرسم رقم ( وداخلھ في (

)6( رسم رقم

9.28000

=2X

٣٣

ل Z = 200X1 + 140X2وبما أننا نرغب في تكبیر الدالة وفقا للقیود فالحل األمثي )وداخلھ 0ABCDEمحیط المضلع (FSS ھو النقطة أو النقاط من الفضاء ، الت

.أكبر ما یمكن Zتكون عندھا مثال اختیاریتینقیمتین Zیكفي أن نعطي Zولتحدید اتجاه تزاید أو تناقص

Z= 200000 و Z= 280000 سم المستقیمین الناتجین ثم نر

200X1 +140X2 = 280000 200 وX1 +140X2 = 200000 .Zعلى الشكل نفسھ الذي عینا علیھ فضاء الحل ونجد من خاللھا اتجاه تزاید

د اه تزای تقیمین بإتج ذین المس د ھ ا أح إذا حركن اء Zف س الفض ھ یم د أن ي FSSنج فل " Dولذلك فإن النقطة Zفي اتجاه تزاید كأبعد نقطة من ھذا الفضاء Dالنقطة تمث

ل ة " الحل األمث دثیات النقط د أح ل نوج اد الحل األمث ة Dوالیج د Zوقیم Dعندثیات ى أح ة المستقیمین Dونحصل عل + X1 2.5و X1 = 2000بحل معادل

2X2 – 7500 =0 المتقاطعین فيD فنجد أن أحدثیاتD ھي : X1=2000 , X2= 1250

Z(D) = 200 (2000) + 140 (1250) = 575000لایر ربح امج الحالي فی ا البرن ل 49400= (2600) 140 + (650) 200 أم أي أق

من البرنامج الذي حصلنا علیھ 81000بـ .لایر شھریا فالبرنامج الشھري األمثل النتاج صنفي السجاد ھو أن تنتج الشركة

II صنفوحدة من ال X*2 = 1250 و I وحدة من الصنفX*1 = 2000 لایر Z* = 575000وتحقق بذلك أكبر ربح شھري ممكن وقدره

تحلیل الحساسیة (2-5)

ل ى الحل األمث . یقصد بتحلیل الحساسیة االجراء الذي یتم تنفیذه عادة بعد التوصل إلي أساسیات تجاه حدوث أيوھو یحدد مدى حساسیة الحل األمثل دودة ف رات مح تغی

.النموذج األصلى ل ي الحل األمث رات ف فعلى سبیل المثال یمكن في نموذج شركة المالبس دراسة التغی

. أو في المواد الخام المتاحة –نتیجة للزیادة أو النقص في الطلب . كما یمكن أیضا معرفة التغیر في الحل األمثل نتیجة للتغیرات في أسعار السوق

وذج ة وأي نم اذج البرمجة الخطی لحل نم ال مكم ویعتبر ھذا النوع من التحلیل جزءا . في بحوث العملیات ي الحل " صفة الحركیة"فھو یعطي النموذج التي تسمح للمحلل أن یختبر التغیرات ف

. األمثل التي یمكن أن تحدث نتیجة لتغیرات مستقبلیة ممكنھ في أساسیات النموذج -:متغیرات ومن ھذه ال

: تغییر الموارد المتوافرةا یمكن للموارد المتوافرة لنظام س . أن تتغیر زیادة أونقصان ال شركة المالب ي مث فف

ال ر) 2-2(مث ركة أن یتغی وافر للش ت المت ن للوق ادة أو یمك ددة كزی االت متع ي ح ف

٣٤

ص ت نق ى الوق ة أو اللجوء إل ل الیومی دد ساعات العم افيع تخدا اإلض م آالت أو اس .الخ ... إنتاجیةأكثر كفاءة

وترغب الشركة في مثل ھذه الحاالت أن تعرف مدى تأثیر مثل ھذه التغیرات على وبعبارة أخرى فإن الشركة تھتم عادة بمعرفة أي . برنامج اإلنتاج األمثل الحالي

تي وأي الموارد ال Zالموارد التي یمكن زیادتھا والتي ترفع من قیمة الحل األمثل دون أن یتغیر الحل األمثل ؟ ولإلجابة نالحظ أن الحل األمثل متمثل إنقاصھایمكن

في الحل األمثل ھي تلك cفي النقطة ومن المتوقع لذلك أن تكون أكثر القیود تأثیراویطلق على مثل ھذه . المحددة بالمستقیمات المتقاطعة في النقطة الممثلة للحل األمثل

مثل القیدین" قیود محددة"القیود عادة اسم

1X1 + 2/3 X2 ≤ 708 , 7/10 X1 + X2 ≤ 630 مثل القیدین" قیود غیر محددة"ویطلق على غیرھما اسم

1/10 X1 + 1/4 X2 ≤ 135 , 1/2 X1 + 5/6 X2 ≤ 600 الحالیة Zیمة قیمة أي من القیدین المحددین فإن ق) زدنا الطرف األیمن ( فإذا رفعنا

ترتفع ر وإذا دین غی ن القی إن الخفضنا قیمة الطرف األیمن ألي م ین ف د مع ى ح ددین إل مح

.ال تتغیر Zقیمة الحل األمثل الحالي

:أي أن ھناك أمرین ا ن : أولھم ر م ددة یغی القیود المح ة ب وارد المتعلق ي الم ض ف ع أو خف ل أن أي رف الح

.األمثل وقیمتھ ین ال : ثانیھما د مع ى ح ددة إل ر المح القیود الغی ة ب وارد المتعلق ض الم ع أو خف أن رف

م ددة اس القیود المح ة ب وارد المتعلق ى الم ذلك یشار إل ل ول ل األمث ة الح ن قیم ر م یغیادرة أو "وإلى الموارد المتعلقة بالقیود غیر المحددة اسم " موارد نادرة" موارد غیر ن

" مواردة وفیرة

: دف تغیر دالة الھ

ة تمثل عائ Zان دالة الھدف إذا. لة من المستقیمات المتوازی ذه ف ة ھ ل عائل ر می تغیة cالمستقیمات فیمكن عندئذ أن یتغیر الحل األمثل الحالي من النقطة إلى نقطة ركنی

أخرى األمر الذي قد ینتج عنھ تغیر بعض القیود من قیود محددة إلى قیود غیر محددة : یھم األنظمة في مثل ھذه الحاالت ھو معرفة وما. أو العكس

ر -١ ن أن نغی دى یمك ى أي م امالتإل ة المع ي دال ل ف ر الح ث ال یتغی دف بحی الھ ؟ األمثل

ل -٢ ض أو ك ى بع ذي یمكن اجراؤه عل امالت ما ھو التغییر ال دف المع ة الھ ي دال فوارد ال ض الم الي بع ھ بالت ب مع ل وتنقل وارد والذي یتغیر فیھ الحل األمث ى م ادرة إل ن

وفیرة أو العكس ؟

٣٥

: زیادة أو تقلیل بعض القیود فقد تتغیر شروط لما كانت مشكالت األنظمة محدودة بحدود معینة كحدود الزمن مثالرورة ھ ض تج عن د ین ا ق ة مم ة معین رة زمنی رور فت د م كالت بع ذه المش روف ھ وظ

ود القدی ض القی ذف بع ة إضافة بعض القیود الجدیدة أو ح ك بشكل عام . م ؤدي ذل ویى FSSإلى تغییر الفضاء دوره إل ؤدي ب د ی ا ق دة مم زائ ودا ما لم تكن ھذه القیود قی . تغییر الحل األمثل

:زیادة بعض األنشطة

دة ذات ض األنشطة الجدی ر الظروف وظھور بع ر نتیجة لتغی ذا األم وقد یقع مثل ھل الصلة بالمشكلة مما ینتج عنھ تغیر في نموذ ج المسألة وبالتالي تغییر في الحل األمث

.

٣٦

الفصل الثالث الحل الجبري: البرمجة الخطية

(1)مرجع مقدمة) 3-1( (4)مرجع لنموذج البرمجة الخطية القياسيالشكل ) 3-2( (1)مرجع . التوضيح البياني لخوارزمية طريقة السمبلكس) 3-3( (1)مرجع .المقابلة بين الحل البياني والحل الجبري) 3-4( (1)مرجع .خوارزمية طريقة السمبلكس) 3-5( (1)مرجع .مالءمة طريقة السمبلكس لجميع البرامج الخطية) 3-6( (3)مرجع .حاالت خاصة عند تطبيق طريقة السمبلكس )3-7( (1)مرجع .طريقة السمبلكس وتحليل الحساسية )3-8(

٣٧

الثالث الفصل

)السمبلكس طریقة( الجبري الحل: الخطیة البرمجة

مقدمة) 3-1(اذج بعض لحل السابق الفصل في استخدمنا ة البرمجة نم رین الخطی ة بمتغی الطریق

.البیانیة

ع ھ وم ن أن ن یمك ة م ة الناحی تخدام النظری ة ةالطریق اس ل البیانی ائل لح ة مس البرمجة ھذه أن إال متغیرات بثالثة الخطیة ة لیست الطریق عملی مع التعامل لصعوبة نظرا .العادي اإلقلیدي الفضاء في الھندسیة األشكال

فإن ثانیة جھة ومن العملي الواقع في صادفھان التي الخطیة البرمجة مسائل من كثیرا تتضمن عددا ا الطریقة یجعل مما راتالمتغی من كبیرا ة البی ام عاجزة تقف نی ذا أم ھ

. المسائل من النوع مسائل جمیع لحل تصلح» السمبلكس طریقة« ىتسم جدیدة طریقة طورت فقد ولذلك

.المتغیرات من عدد بأي الخطیة البرمجة

د م1947 عام Dantzig المعروف العالم إلى الطریقة ھذه وترجع ا أجریت وق علیھا د فیم ضب بع ینات ع ا التحس ر لتجعلھ ة أكث ة مالءم الكمبیوتر للمعالج د ب ذه وتعتم ھ

ة الطریق ا ى أساس ا عل میناه م ة« أس ة نظری ة النقط ة أو الحدی ركن نقط ة »ال للبرمج . الخطیة

ا نستطیع تكراریة خوارزمیة وتستخدم ة نحسن أن بموجبھ ة قیم دریج الھدف دال بالتة نقطة من االنتقال خالل من ا مجاورة رىأخ إلى حدی تم حتى لھ للنقطة الوصول ی

.الھدف دالة تحسین بعدھا یتعذر التي

: الخطیة البرمجة لنموذج القیاسي الشكل) 3-2(

یتضمن الخطیة البرمجة نموذج . ≤ ،= ، ≥ النوع من قیودا

٣٨

ة إلى باإلضافة ھذا رات تكون أن إمكانی ر المتغی ر أو سالبة غی . اإلشارة محدودة غی وھو عام شكل في الخطیة البرمجة نموذج یوضع أن یجب عامة، حل قةطری ولوضع

النمطي الشكل علیھ یطلق ما

:خصائصھ من والذي

.سالب غیر أیمن جانب ذات بمعادالت قیوده كل عن یعبر أن) 1(

.سالبة غیر متغیرات كل أن) 2(

) كالیفالت مثال ( تدنیھ أو) الربح مثال( تعظیم اما الھدف دالة تكون أن) 3(

.النمطي شكلھ في خطیة برمجة نموذج أي وضع یمكن كیف سنرى واآلن

-:القیود

عاطل متغیر اضافة طریق عن معادلة إلى ≤ أو ≥ النوع من القید تحویل یمكن) ١( القید في المثال سبیل فعلى القید من األیسر الطرف إلى) زائد متغیر طرح(

X1 + 2X2 ≤ 6

المعادلة على لنحصل األیسر الجانب إلى S1≥0 العاطل یرالمتغ إضافة یمكن

X1 + 2X2 + S1 = 6 S1 ≥ 0

3X1 + 2X2 – 3 X3 ≥ 5 القید افترض واآلن

ر نطرح اذن األیمن الطرف من أكبر األیسر الطرف أن حیث د المتغی S2 ≥ 0 الزائ على لنحصل األیسر الطرف من

X1 + 2 X2 – 3 X3 – S2 = 5 S2 ≥ 0 3 المعادلة

موجب المعادلة من األیمن الطرف یكون أن یمكن) ٢( طرفي ضرب خالل من دائما X1 + 3X2 – 7 X3 = -5 2 المثال سبیل فعلى) -١( في المعادلة

تكافيء 2X1 – 3 X2 + 7X3 = 5- ریاضیا

المثال سبیل فعلى المتساویة غیر اتجاهمن غیرت) 1-( في الضرب عملیة أن) ٣(

٣٩

إحالل یمكن إذن 4- < 2- , 4 > 2 أن حیث

-2 X1 + X2 ≥ 5 2 محلX1- X2 ≤ - 5

: الھدف دالة

ة أو للتعظیم یكون قد الخطیة للبرمجة النمطي النموذج أن من الرغم على د ، للتدنی فق .اآلخر إلى أحدھما تحویل األحیان بعض في المفید من یكون

ة عملیة تكافيء الدالة تعظیم فعملیة ة تدنی نفس السالبة القیم ة ل صحیح، والعكس الدال ):تعظیم( الھدف دالة المثال سبیل فعلى

Z = 5X1 + 2X2 + 3X3 تعظیم المطلوبة

تكافيء ) :تدنیة( الدالة ریاضیا

5X1 – 2X2 – 3X3- = (Z-) تدنیھ المطلوبة

رات مثلىال القیم أن تكافيء كلمة وتعني من كل في نفسھا ھي X3, X2 , X1 للمتغی تساوي من الرغم على الھدف دالة قیم اشارة في سیكون الوحید واإلختالف. الحالتین

القیمة .رقمیا

: السمبلكس طریقة لخوارزمیة البیاني التوضیح) 3-3(

ا تعمل التي الطریقة یلي فیما سنوضح ة بھ ة خوارزمی ام لحل السمبلكس طریق جبرني ن. خط الل م ة خ ائج مالحظ ل نت اني الح ال البی ن) 3-2( لمث ل م ابق الفص . الس

.الفصل لھذا األمثلة أحد وسنعتبره

) :1-3(مثال

كبر الدالة

Z = 200 X1 + 140 X2 (3.1)

للقیود وفقا

3 X1 + 0.X2 ≤ 6000 (3.2)

0. X1 + 2.9 X2 ≤ 8000 (3.3)

٤٠

2.5 X1 + 2 X2 ≤ 7500 (3.4)

1.3 X1 + 1.5 X 2 ≤ 5000 (3.5)

X1 ≥ 0 (3.6)

X2 ≥ 0 (3.7)

ال ھو محیط المضل ذا المث ق وقد سبق لنا أن وجدنا أن فضاء الحل الممكن لھ ع المغلOABCDE 3.1(وداخلھ شكل(

(1-3)شكل

ودا ون موج دما یك ل عن ل األمث ى أن الح نص عل ركن ت ة ال ة نقط ت نظری ا كان ولمة ة لطریق ة التكراری إن الخوارزمی ة ف اط الركنی د النق ي أح ل ف ھ یتمث فإن ووحیدا

ثم تنتقل إلى FSSلفضاء ل) عاد ة نقطة األصل(السمبلكس تبدأ من أحد النقاط الركنیة

٤١

ھي نقطة مجاورة لنقطة األصل A,Eمثال كل من النقطتین (نقطة ركنیة مجاورة لھا O (تعطي قیمة أفضل لدالة الھدف.

ى أفضل نقطة إل را ى نصل أخی ا حت ة مجاورة لھ ى نقطة ركنی رة إل ومن ھذه األخیا أو ھي النقطة ركنیة وھي النقطة الركنیة التي تبلغ عندھا دالة الھدف أفض ل قیمة لھ

ة تكون من الركنیة التي ال یمكن بعدھا تحسین دالة الھدف ففي مثالنا أعاله فإن البدایدائي«والتي تسمى عادة O (0.0) نقطة األصل دى » حل ابت ى إح دھا إل ل بع م ننتق ث

ان Zلما كان الھدف ھو تكبیر الدالة و Aأو Eالنقطتین الركنیتین المجاورتین ولما كل دف X1معام ة الھ ي دال ر من معامل Zف ذي X2 أكب ي اإلتجاه ال ا نتحرك ف فإنن

. Eأي في اتجاه النقطة Zیحقق لنا أكبر زیادة في

) :1-3(قاعدة

.نتحرك في اإلتجاه الذي یعطي أفضل تحسین لدالة الھدف

ن النقطة ة م ى النقطة Oوبالطبع فإن الحرك ة المستقیم Eإل ى القطع تم عل OEة ی .Oھي أفضل منھا عند Eمباشرة كما أن قیمة دالة الھدف عند

ل Dإلى النقطة الركنیة المجاورة Eنتحرك بعد ذلك من النقطة وھي النقطة التي تمث .الحل األمثل كما سبق وأن وجدنا بالطریقة البیانیة

د Dولكي نحكم بأن النقطة تمثل الحل األمثل البد لنا من فحص قیمة دالة الھدف عنC المجاورة لـD ونتأكد من أن قیمةZ عندC أقل من قیمةZ عندD.

:ح في ھذا الصدد القاعدة التالیة لوتص

)2-3 :(قاعدة

اط ) حدیة(إذا كانت قیمة دالة الھدف عند نقطة ركنیة أفضل من قیمتھا عند جمیع النقد المجاورة لھا، فإن ھذه القیمة ھي أفضل م) الحدیة(الركنیة دف عن ة الھ ة دال ن قیم

.األخرى بفضاء الحل الممكن) الحدیة(جمیع النقاط الركنیة

ونخلص مما سبق إلى أن الطریقة التي تعمل بھا خوارزمیة السمبلكس تكون كما

:یلي

٤٢

دود الفضاء ) نقطة األصل عادة(نبدأ من نقطة الحل االبتدائي ى ح ا عل ونتحرك منھFSS ل ي أفض ذي یعط اه ال ة وباالتج ة ركنی ى نقط دف إل ة الھ ن لدال ین ممك تحس

رة ذه األخی مجاورة ثم نكرر الحركة تحت الشروط نفسھا إلى نقطة ركنیة مجاورة لھوھكذا حتى نصل إلى النقطة التي ال یمكن بعدھا أن نجري أي تحسین في دالة الھدف

بھذه النقطة ة من نق. فیكون الحل األمثل عندئذ ممثال ة ونطلق على كل حرك طة ركنیرار« إلى أخرى مجاورة لھا اسم ى كل » تك ق عل ل نفسھ ویطل ھ العم ا نكرر فی ألنن

ة«خوارزمیة مكونة من عدة خطوات تكراریة اسم ة تكراری وع » خوارزمی ذا الن وھول اد حل ي ایج ف تخداما ات اس ر الخوارزمی ع أكث ي الواق و ف ات ھ ن الخوارزمی م

دد و. لمشكالت األمثلیة في بحوث العملیات ة السمبلكس ھو أن ع ھ طریق ز ب مما تتمیھ دد منت امج خطي ھو ع ة لحل أي برن دد . التكرارات الالزم ى أن ع ك إل ویرجع ذل

ة لفضاء القیود في أي برنامج خطي ھو عدد منتھ مما ینتج عنھ أن عدد النقاط الركنیین أو أك ر من الحل الممكن ھو عدد منتھ وذلك ألن كل نقطة ركنیة تتحدد بتقاطع اثن ث

.ھذه القیود

المقابلة بین الحل البیاني والحل الجبري(3-4)

ذا ة لحل ھ ة جبری ى طریق امج خطي عل تعتمد خوارزمیة طریقة السمبلكس لحل برنیة ورتھ القیاس ي ص ھ ف د كتابت امج بع ي . البرن امج الخط ي البرن ا یل تخدم فیم وسنس

الجبریة من خالل ترجمة لتوضیح ھذه الطریقة ) 7-3(إلى ) 1-3(المعطى بالعالقات ك ى تل ة إل ا البیانی مضمون خوارزمیة طریقة السمبلكس الموضحة أعاله من مفاھیمھ

:فإن الصورة القیاسیة لھذا البرنامج ھي. المكافئة لھا جبریا

كبر الدالة

Z = 200 X1 + 140 X2 + 0.S1 + 0.S2 + 0.S3 + 0.S4 (3.8)

للقیود وفقا

3X1 + 0. X2 + S1 = 6000 (3.9)

0. X1 + 2.9 X2 + S2 = 8000 (3.10)

2.5 X1 + 2 X2 + S3 = 7500 (3.11)

٤٣

1.3 X1 + 1.5 X2 + S4 = 5000 (3.12)

X1, X2, S1, S2, S3, S4 ≥ 0 (3.13)

ث رات S1 , S2 , S3 , S4 حی ذه المتغی ة وإدراج ھ رات عاطل امالتھي متغی بمعة ذه الدال ر ھ دف ال یغی ة الھ ي دال ود . صفریة ف ى ) 3.9(إن مجموعة القی ) 3.12(إل

ا افيء مقابالتھ ى ) 3.2(تك وعتین (3.5)إل ا المجم ث إن كلت ن حی ب م ى الترتی علددان دو«تح دود FSSد الفضاء ح OE ‘ED ، DC ،BC ،AB ،OA فالح

بعد (3.6)، (3.3)، (3.5)، (3.4)، (3.2)، (3.7)د یوالممثلة على الترتیب بالق بالعالقات .استبدال إشارة المتباینة بإشارة مساواة، یمكن تمثیلھا أیضا

X1 = 0, S2 = 0, S4 = 0, S3 = 0, S1 = 0, X2 = 0 (3.14)

ي الشكل ة (1-3)على الترتیب كما ھو موضح ف د X2 = 0فالعالق افيء القی تك ثال مة بمساواة أي أن (3.7) د استبدال إشارة المتباین ل الضلع X2 = 0بع إذاو OEتمث

عنا ي S3 = 0وض د (3.11)ف ى القی ل عل ا نحص ارة (3.4)فإنن تبدال إش د اس بعل DCى الضلع بمساواة أي أننا نحصل علالمتباینة دود (3.14)فإذا اعتبرنا التمث لحاء ھ FSSالفض د نقاط ي أح دود یعط ذه الح ن ھ اورین م دین متج اطع أي ح إن تق ف تقاطع الحدین المتجاورین . الركنیة Oیعطي النقطة الركنیة x2 = 0 , x1 = 0فمثال

.اوھكذ Dیعطي النقطة الركنیة S3 = 0, S1 = 0 وتقاطع الحدین المتجاورین

ادالت بستة (3.12)إلى (3.9) )القیود(ونترجم ذلك بلغة المعادالت ة مع وھي أربع :كما یلي -مجاھیل

ادالت ذه المع ي ھ ادالت X2 = 0 , X1= 0إذا وضعنا ف ع مع دینا أرب ى ل ھ یتبق فإنوقد S4 = 5000, S3 = 7500 , S2 = 8000 , S1 = 6000بأربعة مجاھیل ھي ادال ذه المع ا ھ ل أعطتن یم المجاھی ة S1, S2, S3, S4ت ق ة الركنی فالنقط رة مباش

( X1 = 0, X2 = 0) على الشكل یمكن أن تكتب أیضا

O (S1 = 6000, S2 = 8000, S3 = 7500, S4 = 5000)

ة إن النقطة الركنی ذلك ف رات D (S1 = 0, S3 = 0)وك یم المتغی ل بق یمكن أن تمثX1, X2, S2, S4 بعد أن نعوض (3.12)إلى (3.9)ة عن حلول المعادالت والناتج

:أي عن حلول المعادالت S3 = 0, S1 = 0فیھا

٤٤

3X1 = 6000

2.9 X2 + S2 = 8000 (3.15)

2.5 X1 + 2 X2 = 7500

1.3 X1 + 1.5 X2 + S4 = 5000

ھو (3.15)وبسھولة نجد أن حل المعادالت

X1 = 2000, X2= 1250, S2= 4375 و S4= 525

:ا یلي بشكل آخر كم Dفیمكننا لذلك أن نعبر عن النقطة الركنیة

D (X1 = 2000, X2 = 1250, S2 = 4375, S4 = 525)

ول ى الق ة للفضاء : ونخلص من ذلك إل اط الركنی د النق ى أح ھ یمكن الحصول عل بأنFSS )ادالت ) في ھذا المثال ي المع واردة ف بإعطاء متغیرین من المتغیرات الستة ال

ادالت ا (3.12)إلى (3.9)األربع ع الناتجة الحظ أن القیمة صفر أو بحل المع ألربفر ة ص ي القیم ي تعط رات الت دد المتغی كل = 2= ع ي الش ي ف رات الكل دد المتغی ع

ادالت دد المع ھ ع من ا ي مطروح امج الخط ي للبرن ود (القیاس ال قی ا خ ود م دد القی ع :وھذه النتیجة صحیحة بشكل عام وننص علیھا فیما یلي) الالسلبیة

(1-3)نتیجة

nـامج تكبیر أو تصغیر خطي بإذا كان لدینا برن رار(متغیرا mو ) متغیرات الق دا قیة وإذا ≥ من النوع) الالسلبیة دقیو عدا( ا موجب ى لھ بحیث إن جمیع األطراف الیمن

ع افة جمی د إض ي بع رات الكل دد المتغی إن ع ي ف كل القیاس امج بالش ذا البرن ا ھ كتبنرات العالمتغی ة یصبح مساویا ا) n+m(اطل ذلك أن نعطي فعلین m=n - (n+m) ل

من ھذه المتغیرات القیمة صفر لنحصل على مجھول ویعطي m معادلة بـ mمتغیراع ج ول جمی ة محل اط الحدی ع النق ة جمی ادالت الناتج ة(ل المع ل ) الركنی اء الح لفض

وتجدر اإلشارة إلى أن حلول بعض جمل المعادالت الناتجة ال . الممكن لذلك البرنامج ركنیة للفضاء یعطي بال .FSSضرورة نقاطا

خوارزمیة طریقة السمبلكس) 3-5(

" خوارزمیة طریقة السمبلكس" بعد كتابة البرنامج الخطي بالصورة القیاسیة فإن

٤٥

:تتلخص بالخطوات التالیة

:خطوة إبتدائیة

ي المسألة ( nنوجد حل ابتدائي ممكن من خالل إعطاء رار ف رات الق بقدر عدد متغی .من المتغیرات، القیمة صفر، وحل جملة المعادالت الناتجة) صلیةاأل

)1 (خطوة

ر أساسي ى ) ي صفر (نختار من الحل الذي وصلنا إلیھ متغیر غی ر داخل عل كمتغیم أن یتم اختیار المتغیر غیر األساسي الذي یعطي أفضل تحسین في دالة الھدف فإذا ل

ذي وصل ل للخطوة نجد مثل ھذا المتغیر كان الحل ال ا ننتق وإال فإنن ا أمثلی ھ حال نا إلی .التالیة

)2(خطوة

ھ نختار المتغیر الخارج من بین المتغیرات األساسیة في الحل الذي وصلنا إلیھ ونجعلھ ا فی ذي جعلن ت ال ع الوق م ا ك متزامن ل ذل الي ونجع ي الحل الت متغیر غیر أساسي ف

أساسیا .المتغیر الداخل متغیرا

)3(خطوة

ر أساسي بعد ) الجدید(مكن التاليمساسي النحدد الحل األ داخل كمتغی ر ال ل المتغی جع .وجعل المتغیر الخارج كمتغیر غیر أساسي في آن واحد

)4(خطوة

ن الخطوة حة ) 1(نكرر العمل اعتبارا ة الموض ل بالطریق حتى نصل إلى الحل األمث ).1(في خطوة

ول ا ى الحل ة وتعتمد ھذه الخوارزمیة عل د كتاب ا بع ي نصل إلیھ ادالت الت ة للمع لجبریدالة الھدف بآن واحد مع القیود فإنھ فحصولكي تتم عملیة . البرنامج بالشكل القیاسي

ا إیتم دف كم ة الھ ھ دال ر فی عادة كتابة البرنامج الخطي بطریقة مكافئة على نحو تظھود د القی ا أح و أنھ مبلك. ل ة الس اله بطریق ا أع ل مثالن لح ثال امج فم ذا البرن ب ھ س نكت

:بالشكل التالي

٤٦

Zكبر الدالة

للقیودو فقا

Z – 200 X1 – 140 X2 + 0.S1 + 0.S2 + 0.S3 + 0.S4 = 0

3 X1 + 0. X2 + S1 + 0.S2 + 0.S3 + 0.S4 = 6000

0. X1 + 2.9 X2 + 0.S1 + S2 + 0.S3 + 0.S4 = 8000

(3.16)

2.5 X1 + 2 X2 + 0.S1 + 0.S2 + S3 + 0.S4 = 7500

1.3 X1 + 1.5 X2 + 0.S1 + 0.S2 + 0.S3 + S4 = 5000

X1, X2, S1, S2, S3, S4 ≥ 0

سنوضح اآلن تفاصیل العمل في خطوات خوارزمیة طریقة السمبلكس من خالل حل وده (3.16)تفصیلي للبرنامج د من قی د (الذي یتصف كل قی لبیة وقی ود الالس دا قی ع

وسیملك ) الھدف دالة عاطال ذه نمتغیرا ى ھ ة عل دیالت الالزم ى توضیح التع عود إلالطریقة عندما یحتوي البرنامج الخطي على متغیرات أخرى غیر المتغیرات العاطلة ي ا ف كالمتغیرات الفائضة أو كالمتغیرات الزائفة أو االصطناعیة التي سنتعرف علیھ

بإیجاد حل ابتدائ. حینھا ي ممكن من خالل إعطاء متغیرین القیمة صفر وحل نبدأ أوالة ادالت الناتج ة المع امج . جمل ي كالبرن امج خط ي برن ي ( (3.16)وف رامج الت أي الب

ا لبیة -نضیف لكل قید من قیودھ ود الالس دا قی -ع را متغی ار نقطة عاطال ا نخت فإننع . كحل ابتدائي Oاألصل رونحصل على نقطة األصل بإعطاء جمی رار اتمتغی الق

ھ بالشكل القیاسي(األصلیة ي النموذج، ) وھي متغیرات النموذج األصلي قبل كتابت ف :حصلنا على الحل االبتدائي التالي X1 = X2 = 0القیمة صفر، وفي مثالنا إذا جعلنا

S1 = 6000, S2 = 8000 , S3 = 7500, S4 = 5000

ة وكما ھو مالحظ فإن ھذا الحل ھو حل أساسي ممكن ویتم ا O ثل بالنقطة الركنی كمن النموذج م ارا ة اعتب اذج المتتابع ى تلخیص النم ادة عل د جرت الع سبق وأشرنا وق

ھ دأ ب ذي نب ي ال وذج (القیاس ال (3.16)النم ي المث ا ) ف ب فیھ داول نكت كل ج ى ش علل بدال المتغیرات معامالت رات نو. من كتابة المعادالت بالكام المتغی ا أیضا ر فیھ ظھ

٤٧

ر األس داخل والمتغی ر ال ى المتغی افة إل اتج باإلض ن الن ي الممك ل األساس یة والح اسدول ل ج ي ك ارج ف دائي . الخ دول االبت م الج ھ اس دأ ب دول نب ى أول ج نطلق عل . وس

:التالي (1-3)فالجدول االبتدائي في مثالنا ھو الجدول

) (0)التكرار ( (1-3)الجدول االبتدائي مثال (1-3)جدول

األطراف

الیمنى

)الحل(

أمثال المتغیرات متغیر

داخل

متغیرات أساسیة

S4 S3 S2 S1 X2 X1 Z

Z 1 200- 140- 0 0 0 0 0 النسبة

6000/3=2000 6000 0 0 0 1 0 3 0 S1 متغیر خارج

S2

S3

S4

8000 0 0 1 0 2.9 0 0

7500/2.5=3000 7500 0 1 0 0 2 2.5 0

5000/1.3=3846 5000 1 0 0 0 1.5 1.3 0

دول الي ج ل الح ي الح یة ف رات األساس ز المتغی رات (1-3)ونمی ك المتغی ا تل بأنھـ» متغیرات أساسیة«المكتوبة في العمود المعنون دأ ب والتي تقع تحت السطر الذي یب

Z أي أنھاS1, S2, S3, S4 األطراف «وتظھر قیم ھذه المتغیرات في العمود المعنونـ» ىالیمن دأ ب ذي یب طر ال ل الس ود مقاب ك العم ي ذل دف ف ة الھ ة دال ر قیم ا تظھ Z كم

ون ) . وھي صفر في الحل الحالي( ود المعن ي العم ر ف رات «وكل متغیر ال یظھ متغی غیر أساسي في الحل الحالي» أساسیة و X1 مثالنا یعتبر كل من ففي. یعتبر متغیرا

X2 غیر غیر أساسي في الحل الحاليمت.

والسؤال اآلن ھو حل أمثل أم ال ؟) وھو حل أساسي ممكن(كیف نحكم فیما إذا كان الحل الحالي

ة ة لدال ل قیم ي أفض ن یعط ي ممك ل أساس و ح ل ھ ل األمث أن الح ذكر ب ة، ن ولإلجابدة . الھدف ا (2-3) وبموجب القاع و الحل األساسي ا یمكنن ل ھ ول إن الحل األمث لق

دف ة الھ ده دال ن بع ن أن نحس ذي ال یمك الي ال ن الح دف . الممك ة الھ ت دال ا كان ولم

٤٨

ودبق(األصلیة د القی ى أح ا إل ت (Z=200 X1 + 140 X2)ھي ) ل تحویلھ ي كتب والت بالشكل 140-فإن ظھور المعامالت السالبة (Z – 200 X1 – 140 X2 = 0)جدولیا

و X1معامالت في جدول الحل الحالي یعني أن) وعلى الترتیب( X1 X2لـ 200 - ,X2 ادة إن أي زی الي ف ة وبالت ي موجب لیة ھ دف األص ة الھ ي دال رامج (ف بة لب بالنس

ر ي ) التكبی دف X2 أو X1ف ة الھ ل حل . سیزید من دال دول یمث ل من ج دما ننتق وعنل حل أساسي مم امالت أساسي ممكن إلى جدول آخر یمث إن مع كن مجاور للسابق ف

X1 أو X2 في السطر الذي یمثل دالة الھدفZ وعندما نصل إلى . ستتغیر بشكل عامذه X2 و X1الجدول الذي تظھر فیھ معامالت ي ظھور ھ ك یعن كأعداد موجبة فإن ذل

ادة معامالتك المعامالت إن أي زی بالنسبة (سالبة في دالة الھدف األصلیة، وبالتالي فال یعطي أي زیادة في دالة الھدف ونكون عندھا قد X2 في أو X1في ) رامج التكبیرلب

.ونخلص مما سبق إلى النتیجة التالیة. وصلنا إلى الحل األمثل

(2-3)نتیجة

دول الحل الحالي یعطي ) تصغیر(إذا كان البرنامج الخطي ھو برنامج تكبیر إن ج فت جم امج إذا كان ذلك البرن ل ل ي الحل األمث ر األساسیة ف رات غی امالت المتغی ع مع ی )غیر موجبة(سطر دالة الھدف لھذا الجدول غیر سالبة

م ویطل ادة اس رة ع ة األخی ى النتیج مبلكس " ق عل ة الس ة لطریق رط األمثلی " شدول ، (1-3)وبموجب شرط األمثلیة ھذا فإن الحل الحالي والمعطى بالج ا یس أمثلی ل

التالیة من خوارزمیة طریقة السمبلكس وھي اختیار متغیر لذا نقوم بتطبیق الخطوات د دد الحل األساسي الممكن الجدی م نح داخل ومتغیر خارج من الحل الحالي ومن ث

) ).3(، ) 2(، ) 1(الخطوات (

إلى القاعدة فإن المتغیر الداخل ھنا ھو الذي یملك أكبر معامل سالب (1-3)واستنادا :بصورة أوضح كما یلي (1-3)لننص اآلن على القاعدة X1بالقیمة المطلقة أي

) :3-3(قاعدة

ر امج تكبی ي برن داخل ف ر ال ذي ) تصغیر(المتغی ر األساسي ال ر غی و المتغی خطي ھر ك أكب امالتیمل ة مع ة المطلق البة بالقیم ل (س امالتأق ة مع ة ) موجب طر دال ي س ف

.الھدف للحل الحالي

٤٩

:لقاعدة التالیة ولتحدید المتغیر الخارج تتبع ا

)4-3(قاعدة

ذي ر األساسي ال ك المتغی المتغیر الخارج من الحل األساسي الممكن الحالي ھو ذلة ة« تقابل بة موجب ل نس ل » أق الیعنحص ى ھ یة عل رات األساس یم المتغی مة ق ن قس م

.المعامالت المقابلة للمتغیر الداخل

ر ا» موجبة«وكلمة ا ال نعتب ا في ھذه القاعدة تعني أنن ي تقابلھ رات األساسیة الت لمتغیر معامالت ود الناتجة تقطع محور المتغی سالبة للمتغیر الداخل ألن ذلك یعني أن القی

وكذلك فإننا ال نعتبر المتغیرات األساسیة التي تقابلھا معامالت . الداخل بالقسم السالبي النتیجة صفریة للمتغیر الداخل ألن عمل دورھا والت lیة القسمة عندئذ تعن ي ب ي تعن

د وإلظھار). یوازیھ(أن القید الناتج ال یقطع محور المتغیر الداخل المتغیر الخارج فقة تدرج ون بكلم ود خاص معن ي عم « العادة على كتابة النسبة المشار إلیھا أعاله ف

داخل» النسبة ر ال ة المتغی ا . یتم بعد معرفة قیم المتغیرات األساسیة ومعرف ذلك فإنن ولم عم ر نعل دھا المتغی دد بع بة لنح ود النس أل عم م نم ھ ث د معرفت داخل بع ر ال ود المتغی

للقاعدة ر الخارج (4-3) الخارج وفقا ى . ثم نعلم بعدھا سطر المتغی ق عادة عل ویطلكما یطلق على سطر المتغیر الخارج » العمود المحوري«عمود المتغیر الداخل اسم

رقم الوا» السطر المحوري «اسم ى ال ا وعل ي تقاطعھم ع ف دول 3العنصر (ق ي ج ف .»الرقم المحوري«اسم ) الحل الحالي

ھنا ناتجة من أن السطر والعمود والرقم التي أعطینا لكل منھا » محوري«ولعل صفة ن ي الممك ل األساس ى الح ل إل ي توص ابات الت ور الحس ل مح ي بالفع فة ھ ذه الص ھ

دة وتتم عملیة الوصول إلى ھذا. المجاور للحل الحالي ادالت جدی ة مع اء جمل الحد ببند( دول جدی ة ) ج ادالت الحالی ة المع ة لجمل الى(مكافئ دول الح راء ) الج الل إج ن خ م

.بعض العملیات الحسابیة على الجدول الحالي

:وبعد إحالل المتغیر الداخل مكان المتغیر الخارج فإن ھذه العملیات تھدف إلى أمرین

:أولھما

ویمكن الوصول 1مساویة ) في المثال X 1(ساسي الجدید جعل معامالت المتغیر األال S1سطر (إلى ھذا األمر بقسمة عناصر السطر المحوري الحالي ي المث ى ) ف عل

٥٠

د" الي ویطلق على السطر الناتج اسم الرقم المحوري الح " السطر المحوري الجدی :وبذلك فإن

العنصر المقابل من السطر

المحور الحالي =العنصر من السطر المحوري الجدید ) 3.17(

الرقم المحوري

د (2-3)ویوضح الجدول داخل X1السطر المحوري الجدی ر ال ا المتغی د أن أحللن بعX1 مكان المتغیر الخارجS1 على السطر المحوري (17-3)وبعد أن أجرینا العملیة

.S1الحالي

عمود النسبة ألننا لم نصل بعد إلى كامل وال یھمنا في ھذه المرحلة ما ھو موجود في .الجدول الذي یمثل جملة معادالت مكافئة للجملة الحالیة

السطر المحوري الجدید) 2-3(جدول

متغیرات أمثال المتغیرات )الحل(األطراف الیمنى S4 S3 S2 S1 X2 X1 Z أساسیة

Z السطر المحوري الجدید

2000 0 0 0 1/3 0 1 0 X1

S2

S3 S4

:ثانیھما

ع (في بقیة األسطر ) في المثال X1(جعل معامالت المتغیر األساسي الجدید أي جمیباستخدام مساویة للصفر ویمكن الوصول لذلك ) السطور عدا السطر المحوري الجدید

.الصیغة التالیة

٥١

=العنصر من السطر الجدید

العنصر المقابل من ابل منالعنصر المق المقابل العنصر

)3.18( ) ( - ) ( × ) (

السطر المحوري الجدید العمود المحوري الحالي من السطر القدیم

ث طر الثال ذ الس طر (فیأخ دول ) S2س الي ج ل الح ن الح طر ) 1-3(م د أن الس نج :الثالث الجدید

.القدیم الحالي S2سطر [8000 0 0 1 0 2.9 0]

-0 x [1 0 – 0 0 0 2000 ] ) العنصر المقابل من العمود المحوري الحالي (×

)السطر المحوري الجدید(

الجدید S2سطر = [8000 0 0 1 0 2.9 0]

ا ھو موضح S4, S3 , Z وبالمثل نجد أن حسابات السطور الجدیدة لـ ستكون كم :أدناه

1 3

٥٢

:التالي ) 3-3(صل بذلك على الجدول ونح

))١(التكرار ( (1-3)حل أساسي ممكن مجاور للحل االبتدائي مثال (3-3)جدول

داخل ر ال امالت المتغی أن مع ھ أوال د مالحظت ا تج ود X1ومم ي عم بحت X1ف أص ما عدا تلك المقابلة للسطر الذي یبدأ بـ ھو ما و ١حیث أصبحت X1 جمیعھا أصفارا

ھ ب بتحقیق ا نرغ دول . كن ن الج ظ م ـ) 3-3(نالح ة ل امالت المقابل البة X2 أن المع سدول ل بالج ا تحسین الحل الحالي المتمث ا زال بإمكانن ي ) 3-3(وھذا یعني أنھ م ویعن

و داخل ھ ر ال ذلك أن المتغی ود X2ك یم عم ذلك بتعل وم ل ود X2 نق اره العم واعتب للقاعدة نحدد اآلن المتغیر الخ. المحوري ل S3 فنجد أنھ (4-3)ارج وفقا ل أق ألنھ یقاب

دھا سطر . نسبة موجبة م بع و S3نعل رقم المحوري ھ ى ٢فیكون ال ال إل ل االنتق وقب :الحل التالي یجب أن نالحظ ما یلي

یمثل حل أساسي ممكن مجاور للحل االبتدائي السابق المتمثل بالنقطة ) 3-3(الجدول O یة ف رات األساس ي والمتغی ل ھ ذا الح ا X1, S2, S3, S4 ي ھ ، 2400وقیمھ

S1و X2على الترتیب أما المتغیرات غیر األساسیة وھي 2000، 8000، 2500 أن قیمة . فقیمھا أصفارا ى Zنالحظ أیضا ومن 400000 قد ارتفعت من الصفر إل

٥٣

ى الشكل دنا إل ة، إذا ع ة ثانی د أن (1-3)جھ إال لیست (S1 = 0, X2 = 0)نج (فالحل األساسي الممكن الحالي Eالنقطة Eیتمثل في النقطة ) الحل الحالي اختصارا

Oالمجاورة لـ ابقا دول . وھو ما یتوافق مع ما وجدناه س ل ) 3-3(ومن الج ذي یمث الادالت ة المع تخراج جمل ا اس الي یمكنن ل الح ي(الح امج الخط ة ) البرن ة للجمل المكافئ

:االبتدائي وھذه الجملة ھي التي أعطت الحل (3.16)

للقیود Zكبر الدالة وفقا

Z – 0. X 1 – 140 X 2 + ---- S1 + 0.S2 + 0.S3 + 0.S4 = 400000

X1 + 0.X 2 + --- S1 + 0.S2 + 0.S3 + 0.S4 = 2000

0.X1 + 2.9 X 2 + 0.S1 + S2 + 0.S3 + 0.S4 = 8000

0. X 1 + 2 X 2 - ---- S1 + 0.S2 + S3 + 0.S4 = 2500 (3.19)

0. X 1 + 1.5 X 2 - ------ S1 + 0.S2 + 0.S3 + S4 = 2400

X1, X 2 , S1, S2, S3, S4 ≥ 0

ر أساسیین (صفریین X2و S1وكما ھو مالحظ فإن جعل المتغیرین ة ) غی ي الجمل ف األخیرة یعطینا النتیجة

)Z=40000, X1= 2000, S2 = 8000, S3= 2500 , S4 = 2400(

.مباشرة) 3-3(وھي النتیجة نفسھا التي حصلنا علیھا من الجدول

بتدائي بغرض الوصول إلى التي أجریناھا على جدول الحل اال ونكرر العملیات نفسھادول ي الج ل ف دول ) 3-3(حل أفضل من الحل الحالي المتمث ى ج ) 4-3(فنحصل عل

.التالي

200 3

1 3

2.5 3

1.3 3

) (2)التكرار ( (1-3)جدول الحل األمثل مثال (4-3)جدول

٥٤

مقابل المتغیرات غیر األساسیة في سطر دالة الھدف وبما أنھ ال توجد معامالت سالبةZ للنتیجة أ) 4-3(یمثل الجدول ) 2-3(فوفقا قیم متغیراتھ األساسیة ھيحال :مثال

S4=525, S2= 4375, X2= 1250, X1=2000

ي یة ھ ر األساس ھ غی ة S1= 0و S3= 0ومتغیرات ي النقط ل ف ل یتمث ذا الح Dوھد الحل ( 400000قد ارتفعت فیھ من Zحظ فإن قیمة وكما ھو مال Eالمجاورة لـ عن

) . Dعند الحل الحالي المتمثل في ( 575000إلى ) Eالسابق المتمثل في الحظ أیضاة ) 4-3(أن نتائج جدول الحل األمثل دناھا بالطریق تتوافق مع النتائج التي سبق وأوج

.البیانیة

:خطیة مالءمة طریقة السمبلكس لجمیع البرامج ال) 3-6(

امج تعرفنا في الفقرة السابقة على كیفیة تطبیق خوارزمیة طریقة السمبلكس لحل برنر غیر(تكبی وده ) تص ع قی ي جمی لبیة(خط ود الالس دا قی وع ) ع ن الن ع ≤م وجمی

ة ود موجب ذه القی ى لھ امج . األطراف الیمن ة البرن بكتاب دأ أوال ة نب ذه الطریق وللحل بھلھذا النوع -وھو حل أساسي ممكن -االبتدائي الحل بصورتھ القیاسیة ونحصل على

من البرامج بعدئذ بإعطاء قیم متغیرات القرار األصلیة في البرنامج القیمة صفر حیث دائي ا ال نحصل . تمثل قیم المتغیرات العاطلة الناتجة عندئذ قیمة ھذا الحل االبت ولكنن

امج ا ف برن دما ال یتص دائي عن ل االبت ذا الح ل ھ ى مث ي عل غیر الخط ر أو التص لتكبیع ة م ود موجب ى للقی ع األطراف الیمن أي عندما تكون جمی بالصفة المشار إلیھ مسبقا

وع ن الن ود م ك نسوق ≤وجود قیود على شكل مساواة أو مع وجود قی ولتوضیح ذل :المثال التالي

)2-3(مثال

اج ى إنت ة عل ي 1000تعاقدت شركة للصناعات الكیمیائی و غرام ف األسبوع من كیلة ادة كیمیائی ادة . Eم اج الم تم إنت ة Eی ات كیمیائی زج مكون و A,B,.Cبم ة الكیل تكلف على الترتیب وتخضع صناعة المادة 5,6,7غرام لھا ھي :للشروط التالیة Eریاال

.في المزیج Aكیلو غرام من المادة 300 ال یمكن استخدام أكثر من ) ١(

.في المزیج Bكیلو غرام من المادة 150ال یمكن استخدام أقل من ) ٢(

٥٥

.في المزیج Cكیلو غرام من المادة 200ال یمكن استخدام أقل من ) ٣(

ا یمكن) تكلفة اإلنتاج األسبوعیة(ترغب الشركة في جعل تكلفة المزیج ل م اھي . أق مل A, B , Cالمثلى لمزج المكونات الطریقة ا ھي أق والتي تحقق أھداف الشركة وم

إنتاج أسبوعیة ممكنة عندئذ؟؟تكلفة

:الحل

ـ ا ب دات . X 1 , X2, X3 إذا رمزن دد الوح ات(لع و غرام بوع ) الكیل ي األس فات ن المكون زیج م ي الم تخدمة ف ـ A,B,Cوالمس ا ب ب رمزن ى الترتی ة Zعل لتكلف

وذاإلنتاج األسب ى النحو جوعیة فمن الواضح عندئذ أن النم الریاضي للمسألة ھو عل :التالي

غر الدالة ص

Z=5X1 + 6 X 2 + 7 X 3

للقیود وفقا

X 1 + X 2 + X 3 = 1000

X 1 ≤ 3000

X 2 ≥ 150 (3-20)

X 3≥200

X1 , X 2 , X 3 ≥ 0

والشكل القیاسي لھذا البرنامج ھو

صغر الدالة

Z= 5 X 1 + 6 X 2 +7 X 3 (3-21)

للقیود وفقا

X 1 + X 2 + X 3 = 1000

X 1 + S1 = 300 (3-22)

٥٦

X 2 - S2 = 150

X3 - S3 = 200

X 1, X 2, X 3, S1 , S2 , S3 ≥ 0 (3-23)

ود إن القی ظ ف و مالح ا ھ رات ) 23-3(وكم تة متغی ادالت بس ع مع ن أرب ارة ع عبل( ال ) مجاھی ي مث ال ف و الح ا ھ دائي كم ل إبت ل كح ة األص دأ بنقط ا أن نب وإذا أردنرار األصلیة ) 3-1( رات الق ة X1, X2 , X3أعاله فعلینا أن نعطي كل من متغی القیم

. وھي تناقض 1000=0ولكن القید األول یؤدي إلى النتیجة ) 22-3(في القیود صفرة ) 22-3(ا فإن أي حل لجملة المعادالت ــبق وأوضحنـوكما س یجب أن یعطي بدالل

ن ال X 1, X 2, X 3, S1 , S2 , S3 من المتغیرات الستة اثنین ا ل بثالثة ویعني ذلك أنندائي ااآلن سنقبل بغیر نقطة األصل كحل .بتدائيانحصل على نقطة األصل كحل بت

أي . ثنین من المتغیرات الستة القیمة صفراولنعطي إذا ثال تعطي X 1 = X 2 = 0م الحل

S1= 300 , S2 = - 150, X 3 = 1000, S3 = 800

ر ممكن رات . وھو حل أساسي غی ق أن إعطاء أي زوج من المتغی ا أن نتحق ویمكننذ ( ر الستة أعاله القیمة صف ل 15) = (علینا أن نحل عندئ ادالت ك ة من المع جمل

ـ ا ب إن بع 4 منھ ظ ف و مالح ا ھ ل وكم لضمجاھی اقض مث ى تن ود إل ھا یقX 1= S1 = 0 ممكنا أساسیا .ال یعطي حال

ة صفر القیم ا من جھة ثانیة، أن إعطاء بعض األزواج الخمسة عشر المشار إلیھا آنف أن نجرب جمیع ھذه األزواج حتى نحصل على یؤد ي إلى حل ابتدائي ممكن فعلینا إذا

وتر . مثل ھذا الحل ألن الحل بخوارزمیة طریقة السمبلكس یتم بوساطة الكمبی ونظرا را ا تضاعف كثی وتر ألنھ فإن طریقة تجریب جمیع األزواج ھذه ال تتناسب مع الكمبی

ول إل ة للوص ابات الالزم م الحس ن حج دد م ون ع دما یك عن ة ل وخاص ل األمث ى الح نسبیا .القیود كبیرا

وما یھمنا في الحقیقة ھو إضافة بعض المتغیرات غیر السالبة إلى األطراف الیسرى والتي من شأنھا أن توصل إلى حل ) بعد كتابتھا بالشكل القیاسي(لبعض أو كل القیود

ل. ممكن) أساسي(ابتدائي ا نأم ارة أخرى فإنن ذه اإلضافة أن تلعب وبعب ل ھ من مث

62

٥٧

وع ن الن ود م ادة للقی یفھا ع ي نض ة الت رات العاطل افة دور المتغی رات المض ≥المتغی على شكل مساواة أو ولذلك فإننا نضیف متغیرات غیر سالبة للقیود التي كانت أصال

) 22-3(فإذا أجرینا مثل ھذه اإلضافة على القیود . فقط ≤على شكل متباینة من النوع :عدا الثاني منھا ألصبح برنامجنا بشكلھ القیاسي الجدید كما یلي

صغر الدالة

Z=5 X 1 + 6 X 2 + 7 X 3

للقیود وفقا

X 1 + X 2 + X 3 + R1 = 1000

X 1 + S1 = 300

X 2 - S2 + R2 = 150 (3.24)

X 3 - S3 + R3 = 200

X 1, X 2, X 3, S1, S2, S3, R1, R2, R3 ≥ 0 (3.25)

ر وارد غی ل م ا تمث ة أو الفائضة من أنھ رات العاطل لما رأیناه بالنسبة للمتغی وخالفاراتة أو مواكمستھل ائي R3 , R2 , R1 رد زائدة فإنھ ال یوجد للمتغی ى فیزی أي معن

مماثل وتسمى لذلك

رات سیوسع من متغ ذه المتغی ل ھ إن إضافة مث الطبع ف ة أو اصطناعیة وب یرات زائفود فضاء الحل الممكن للمسألة األصلیة وبالتالي فإن أي حل ممكن للمسألة تحت القی

ود (3.24) ت القی ا تح ن لھ ل ممك ح ا و أیض رات (3.22)ھ ا المتغی و جعلن ا ل فیم حل (3.24)مسألة تحت القیود وعندئذ یكون الحل األمثل لل. الزائفة صفرا ھو أیضا

ود ت القی ألة تح ل للمس ود (3.22)أمث ت القی ألة تح ل للمس ل األمث إن الح ك ف ع ذل ومود (3.24) ألة تحت القی للمس ا ممكن ال ون ح د ال یك ول (3.22)ق من وص م نض إذا ل

ل ذا الح ي ھ فر ف ى الص ة إل رات الزائف بھ. المتغی يء یش ناد ش وم بإس ا نق ذلك فإنن ولالرمز -الغرامة الكبیرة دف - Mویرمز لھا عادة ب ة الھ ي دال ة ف رات الزائف . للمتغی

٥٨

خارج (3.24) ومھمة ھذه الغرامة ھي أن تمنع وجود حل أمثل للمسألة تحت القیودولكي ال تتغیر قیمة الحل األمثل ھذا (3.22)منطقة الحل الممكن للمسألة تحت القیود

ى فإن Mبسبب وجود الغرامة ة عل رات الزائف ع المتغی ر جمی طریقة السمبلكس تجب فإن ذلك یضمن لنا أن الحل . أخذ القیمة صفر في الحل األمثل النھائي وكما ذكرنا آنفا

ود (3.24)األمثل الناتج للمسألة تحت القیود للمسألة تحت القی أمثال یكون عندئذ حالحل األمثل النھائي للمسألة تحت وقد تحوي الحلول التي نحصل علیھا قبل ال (3.22)ة (3.24)القیود ول لیست ذات أھمی ذه الحل ة إال أن ھ یم موجب متغیرات زائفة ذات ق

.بالنسبة لنا ما دامت ھذه المتغیرات الزائفة تأخذ القیمة صفر في الحل األمثل النھائي

(2-3)التالي للمسألة في مثال » النموذج المعدل «نخلص مما سبق إلى

لدالةصغر ا

Z= 5 X 1 + 6 X 2 + 7 X 3 + 0.S1 + 0.S2 + 0.S3 + MR1 + MR2 + MR3

(3.26)

للقیود (3.25)و (3.24)وفقا

أصبحت اآلن (3.24) إن القیود »المسألة المعدلة« اسم (3.26)ویطلق على المسألة ة ل القیم ذه المجاھی ن ھ م ا ي خمس أن نعط ا إذا ل فعلین عة مجاھی ادالت بتس ع مع أرب

,R1صفر لكي نحصل على حل ابتدائي، وفي الحقیقة فإننا نستثني المتغیرات الزائفة R2, R3 ة رات S1العاطل ة المتغی ة صفر X 1, X 2, X 3, S2, S3 ونعطي بقی القیم

(3.26) فنحصل على الحل االبتدائي التالي للنموذج المعدل

R1 = 1000, S1 = 300 , R2 = 150 , R3 = 200 (3.27)

ا R1, S1, R2, R3فالمتغیرات دائي وأمثالھ ذا الحل االبت ي ھ ھي متغیرات أساسیة فة ن الدال رة م دھا مباش ي نج ل والت ذا الح دف لھ ة الھ طر دال ي س وذج Zف ي النم ف

والي (3.26) ى الت ي عل ة M,M,0,M,(M>0) ھ رات الزائف ال المتغی أي أن أمثیة ( رات أساس ر غیر) كمتغی و أم ة وھ ة موجب ل بخوارزمی ة العم ھ لمتابع موح ب مس

.طریقة السمبلكس

٥٩

وم دل نق وذج المع دائي للنم د الحل االبت د أن نوج وللتخلص من ھذه المشكلة فإننا وبعبح ث تص دة بحی ة جدی دف بطریق ة الھ ة دال ادة كتاب امالتبإع رات مع ع المتغی جمی

فریة امالت ص یة مع إن . األساس ا ف ي مثالن امالتوف ر األسا مع ي المتغی ي S1س ھامالت ل مع أن نجع ذلك أن . مساویة للصفر R3, R2, R1الصفر، فعلینا إذا ي ل ویكف

ـ (3.24) نضرب كل من القیود األول والثالث والرابع من ى (M)ب اتج إل ع الن ونجم :بعد كتابتھا على شكل أحد القیود أي (3.26)في Zسطر الدالة

Z – 5 X 1 – 6 X 2 – 7 X 3 + 0.S1 + 0.S2 + 0.S3 – MR1 – MR2 – MR3 = 0

M (X 1 + X 2 + X 3 + R1 = 1000)

M ( X 2 - S2 + R = 150) (3.28)

M ( X 3 - S3 + R3 = 200)

یة رات األساس ع المتغی امالت جمی ظ أن مع تلعب دور R1, R2, R3الح ي س والتة ي العالق فریة ف امالت ص رت مع د ظھ ة ق رات العاطل ابع اآل ن (3.29)المتغی نت

وذج افيء للنم الي المك وذج الت ن النم م ا مبلكس انطالق ة الس ة طریق ل بخوارزمی العم(3.26)

Zصغر الدالة

ل لقیودوفقا

Z+ (M-5) X 1+(2M-6) X 2+(2M-7) X 3+0.S1+MS2-

MS3+0.R1+0.R2+0.R3=1350M) (3.29)

X 1 + X 2 + + R1 = 1350M

X 1 + S1 = 300

X 2 - S2 + R2 = 150

X 3 - S3 + R3 = 200

X 1, X 2 , X 3, S1, S2, S3, R1, R2, R3, ≥ 0

٦٠

دول ة بالج ة الممثل ول المتتابع ى الحل ل عل ر (3.5)فنحص دول األخی ل الج ث یمث حی الحل األمثل

ع ) ھي غرامة كبیرة Mنذكر بأن ( M ≤ 6فیما لو اخترنا حیث تصبح عندئذ جمیي سطر دف معامالت المتغیرات غیر األساسیة ف ة الھ ة Zدال ر موجب ا ھو . غی وكم

مالحظ فإن الدور األساسي الذي لعبتھ المتغیرات الزائفة ھو إیجاد الحل االبتدائي وقد قمنا بعد ذلك بالتخلص من ھذه المتغیرات بالتدریج حتى وصلنا إلى الحل األمثل الذي

منھا :وھذا الحل األمثل ھو . ال یحوي أیا

*X ,) كغ(*X ,) كغ( 200 = 3

*X) كغ( 500 = 2 Z* = 5900و لایر 300 = 1

ال ة «أعاله (2-3)ویطلق على الطریقة التي استخدمت لحل مث رة Mطریق » الكبی في Mوقد لعبت الغرامة الكبیرة » طریقة الغرامة الكبیرة« أو أساسیا كما رأینا دورا

ریقة بعض المساويء ومع ذلك فإن لھذه الط. إبعاد المتغیرات الزائفة عن الحل األمثل

٦١

ر ك بسبب كب الكمبیوتر وذل لدى حل البرنامج الخطي ب ذي Mالتي قد تظھر أحیانا ال M = 1000000أعاله أن (2-3) ولإلیضاح لنفترض في مثال. افترضناه

رار رات الق امالت متغی ذ تصبح مع دف األصلیة X 1 , X 2, X 3فعندئ ة الھ ي دال فدور الرئیسيM وتلعب Mلـ مھملة أمام ھذه القیمة الكبیرة ي الحسابات عندئذ ال . ف

ائج ر نت ي تغی وتر ف ي الكمبی راكم األخطاء ف ھ ت ا تلعب ومن المعروف من جھة ثانیة مذا - ففي مثالنا قد نجد مثال . حساباتال راكم األخطاء ھ ل -ونتیجة لت فيS2 أن معام

رار Zسطر ي التك دول 2ف ر (5-3)من الج ذا السطر X 1 معامل من أكب ي ھ ف من S2 فیصبح المتغیر الداخل عندئذ ھو دال و X 1 ب ویصبح العنصر المحوري ھ

ھ إیجاد السطر المحوري من الواحد مما یتعذر مع ي . الصفر بدال وع ف ب الوق ولتجند اذیر فق ذه المح ل ھ ا أمث ق علیھ ة أطل ت طریق ي « قترح ي ف رحلتین وھ ة الم طریقة Mبیرة إال أن الك Mالحقیقة مكافئة لطریقة ي الحسابات الخاصة بطریق ال تدخل ف

:المرحلتین وتقوم فلسفة ھذه األخیرة على ما یلي

ل ع معام ة م ة بالمقارن بح مھمل دف تص ة الھ ي دال رار ف رات الق ل متغی ا أن معام بمذه (المتغیرات الزائفة الكبیرة امالتكل من ھ ى ) Mیساوي المع دف إل ا نھ ا كن ولم

ائي من لك المعامالتجعل ل النھ ي الحل األمث ة مساویة للصفر ف رات الزائف المتغیلئال یكون لھذه المتغیرات أي أثر في ذلك الحل فإنھ یمكننا أن نبدأ أوال بالبحث ضمن

ل اء الح ة«فض ألة المعدل ل » وللمس ي تجع ألة والت ذه المس ي ھ رات ف یم متغی ن ق عوذلك باتباع ) ع یساوي الصفرأي المجمو(مجموع المتغیرات الزائفة أصغر ما یمكن

ل اسم ذا العم ى ھ ق عل ى« طریقة السمبلكس ونطل ة األول ي » المرحل ل ف دأ العم ویبة« ة الثانی ى » المرحل ة األول ي المرحل ھ ف لنا إلی ذي توص ار الحل ال ذي (باعتب لحل ال

رات الز وع المتغی ل مجم نیجع ا یمك غر م ة أص دائي ) ائف ل إبت ي نكح ھ ف ق من نطلة الثان ل المرحل ل األمث اد الح ة إلیج لیة« ی ألة األص مبلكس » للمس ة الس اع طریق وباتب

ى . أیضا ة األول ل للمرحل الحل ( ونؤكد ثانیة أن قیم المتغیرات الزائفة في الحل األمثذا ) االبتدائي للمرحلة الثانیة یجب أن تكون مساویة للصفر بالضرورة لكي یكون ھ

للمسألة األصلیة ویمكن ممكنا .نا بالتالي أن ننطلق منھ في المرحلة الثانیةالحل حال

٦٢

-:حاالت خاصة عند تطبیق طریقة السمبلكس(3-7)

ة وذج البرمج ل نم ي ح ر ف ي تظھ ض الحاالت الت زء بع ذا الج ي ھ رض ف سوف نع -:الخطیة سواء بالطریقة البیانیة أو بطریقة السمبلكس وھذه الحاالت ھي

-:التكرار (1)حل في مرحلة من مراحل طریقة السمبلكس فإن ھذا الحل ال عند الوصول إلى ال

یتغیر ویكرر نفسھ أما في حالھ الطریقة البیانیة فإن أحد القیود یكون إضافي ال حاجة

-:لھ ولیس لھ أي تأثیر على الحل ، وسنوضح ھذه الحالة في المثال التالي

Max Z = 3X1+7X2

للقیود وفقا

1- 2X1 + 8X2 ≤ 16

2- 2X1 + 4X2 ≤ 8

X1 , X2 ≥ 0

-:لطریقة البیانیة یكون كالتالي والحل با

القید األول

2X1 + 8X2 = 16

X1 =0 X2 =2

A = (0 , 2 )

X2 =0 X1 =8

B = ( 8 , 0 )

ي القید الثان

2X1 + 4X2 = 8

X1 =0 X2 =2

C= ( 0 , 2 )

X2 =0 X1 =4

D = ( 4 , 0 )

٦٣

. على منطقة الحل أن القید األول لیس لھ تأثیرنالحظ ھنا

:السمبلكس ففي البدایة نحول النموذج إلى الشكل القیاسى أما الحل بطریقة

Z - 3X1-7X2 =0

2X1 + 8X2 + S1 = 16

2X1 + 4X2+S2 = 8

X1 , X2 , S1 , S2 ≥ 0

وفیما یلي جداول الحل بطریقة السمبلكس

solution S2 S1 X2 X1 Basic 16 0 1 8 2 S1

1 8 1 0 4 2 S2 0 0 0 -7 -3 Z 2 0 1/8 1 1/4 X2

2 0 1 -1/2 0 1 S2 14 0 7/8 0 -5/4 Z 2 -1/4 1/4 1 0 X2

3 0 1 -1/2 0 1 X1 14 5/4 1/4 0 0 Z

.ل الثاني وبالتالي لم یتغیر الحلنالحظ أن الحل في الجدول الثالث ھو نفسھ في الجدو

٦٤

- :الحل البديل (2)واحد لدالة الھدف وسنوضح ھذه لحلرات وھي احتمالیة وجود أكثر من قیمة للمتغی

.الفكرة بالطریقتین البیانیة وطریقة السمبلكس

:مثال

Max Z = 2X1 + 4X2

للقیود وفقا

1- X1 + 2X2 ≤ 5

2 - X1 + X2 ≤ 4

X1 , X2 ≥ 0

-:بالطریقة البیانیة

القید األول

X1 + 2X2 = 5

X1 = 0 X2 = 5/2

A = ( 0 , 5/2 )

X2 = 0 X1 = 5

B = ( 5 , 0 )

القید الثاني

X1 + X2 = 4

X1 = 0 X2 = 4

C= ( 0 , 4 )

X2 = 0 X1 = 4

D = ( 4 , 0 )

٦٥

: Eوإلیجاد إحداثیات النقطة

بحل القیدین

X1 + X2 = 4

X1 + 2X2 = 5

نحصل على

X1 = 3 X2 = 1

E = ( 3 , 1 )

- :الختیار الحل األمثل

تساوي A = ( 0 , 5/2) عند النقطة Z نجد قیمة

Z = 2 (0) + 4 ( 5/2 ) = 10

يوتسا D = ( 4 , 0 ) عند النقطة Zوقیمة

Z = 2 ( 4 ) + 4 ( 0) = 8

تساوي E = ( 3 , 1 ) عند النقطة Z وقیمة

Z = 2 ( 3 ) + 4 ( 1)

6 + 4 = 10

٦٦

عند النقطة 10 ھي A عند النقطة Z نالحظ أن قیمة ولكن 10 ھي E وأیضا

قیمة للمتغیرات ولكن قیم المتغیرات عند ھذه النقاط مختلفة ولذلك یعطینا أكثر من

.قیمة واحدة لدالة الھدف ال تتغیر

: أما بطریقة السمبلكس ففي البدایة یحول النموذج إلى الشكل القیاسي لیصبح

Z - 2X1 - 4X2 = 0

X1 + 2X2 + S1 = 5

X1 + X2 + S2 = 4

X1 , X2 , S1 , S2 ≥ 0

solution

S2 S1 X2 X1 Basic

5 0 1 2 1 S1 1 4 1 0 1 1 S2

0 0 0 -4 -2 Z 5/2 0 1/2 1 1/2 X2

2 3/2 1 -1/2 0 1/2 S2 10 0 2 0 0 Z 1 -1 1 1 0 X2

3 3 2 -1 0 1 X1 10 0 2 0 0 Z

وھنا نجد أن الجدول الثاني والثالث تعطي نفس القیمة لدالة الھدف ولكن بقیم مختلفة

.لبیاني كما في الحل ا X2 , X1 لمتغیرات

-:منطقة الحل الغير محددة (3)وفي ھذه الحالة تكون منطقة الحل مفتوحة ولیست مغلقة وبالتالي ال یكون لھا حدود

: ذلك في المثال التالي نالحظ وتظھر ھذه الحالة جلیة في الحل بالطریقة البیانیة

:مثال

Max Z = X1 + 2X2

للقیود وفقا

٦٧

1- X1 - 2X2 ≥ 5

2 - X1 ≤ 7

X1 , X2 ≥ 0

القید األول

X1 - 2X2 = 5

X1 = 0 X2 = -5/2

A = ( 0 , -5/2 )

X2 = 0 X1 = 5

B = ( 5 , 0 )

القید الثاني

X1 = 7

C = ( 7 , 0 )

. نالحظ ھنا أن منطقة الحل مفتوحة من أعلى أي لیس لھا حدود

-:عدم توفر الحل (4)

وتكون منطقة الحل للقیود في ھذه الحالة متعاكسة أي ال تتقاطع في منطقة حل واحدة

. للقیدین في الطریقة البیانیة

٦٨

-: مثال

Max Z = 2X1 + 3X2

للقیود وفقا

1- 5/2 X1 + 2X2 ≤ 5

2 - 5X1 + 4 X2 ≥ 20

X1 , X2 ≥ 0

القید األول

5/2 X1 + 2X2 = 5

X1 = 0 X2 = 5/2

A = ( 0 , 5/2 )

X2 = 0 X1 = 2

B = ( 2 , 0 )

ید الثانيالق

5 X1 + 4X2 = 20

X1 = 0 X2 = 5

C = ( 0 , 5 )

X2 = 0 X1 = 4

D = ( 4 , 0 )

ل للقیدین األول والثاني متعاكستاالح منطقتانالحظ ھنا أن .ن وال یتقاطعان نھائیا

٦٩

-:كس وتحلیل الحساسیة طریقة السمبل (3-8) ي وأعطینا تعرفنا في الفصل السابق على أھمیة تحلیل الحساسیة لنتائج برنامج خط

ي بمتغرین وبالطریقة فكرة عنھا من خالل إجراء تحلیل الحساسیة لبرنامج خط

ي بطریقة السمبلكس فإننا بمتغیرینوبعد أن تعرفنا على طریقة حل . البیانیة خط

ألسالیب طریقة السمبلكس التي استخدمت في حل سندرس ثانیة تحلیل الحساسیة وفقا

.ھذا البرنامج

نعید إلى األذھان

أن المقصود بتحلیل الحساسیة ھو دراسة أثر التغیرات التي نجریھا على المعالم أوال

ي واألطراف الیمني (ci) كمعامالت المتغیرات في دالة الھدف[ في برنامج خط

. مج على الحل األمثل لھذا البرنا ( Rij) والمعامالت الداخلة أو الخارجة (bi) للقیود

جدول الحل : وتعتمد آلیة ھذه الدراسة على ما أوضحناه في طریقة السمبلكس من أن

أمثل لبرنامج تكبیر ي إذا وفقط) تصغیر(الحالي یمثل حال كانت األطراف إذا خط

وكانت معامالت جمیع ن ھذا الحل غیر سالبةالیمني لجمیع القیود المستخرجة م

).غیر موجبة ( المتغیرات غیر األساسیة في سطر دالة الھدف لھذا الحل غیر سالبة

أمثل لبرنامج تكبیر وینتج عن ھذه المالحظة أنھ لو كان جدول الحل الحالي یمثل حال

ون أن تحدث ھذه البرنامج دھذا خطي وإذا قمنا بإجراء تغیرات في معالم ) تصغیر(

على معامالت )الالیجابیة(التغیرات أي أثر في شرط الالسلبیة المشار إلیھ آنفا

المتغیرات غیر األساسیة في سطر دالة الھدف أو على األطراف الیمنى للقیود فإن

أمثل للمسألة الناتجة بعد التغییر .الحل الحالي یبقى حال

عل واحد أو أكثر من األطراف الیمني الناتجة بعد أما إذا كان لھذه التغیرات أثر في ج

أو في جعل معامالت واحد أو أكثر من المتغیرات غیر األساسیة في التغییر سالبا

(سطر دالة الھدف سالبا أمثل ) موجبا والبد لنا عندئذ . فإن الحل الحالي لم یعد حال

وما الناتجة بعد التغییر من متابعة الحل بطریقة السمبلكس إلیجاد حل أمثل للمسألة

٧٠

ھو مھم بالنسبة لنا ھو معرفة أكبر مدى یمكن أن تتحول فیھ معالم برنامج خطي

أمثلیا . بحیث یبقى الحل الحالي حال

- :مدى التغيير في معامالت دالة الهدف ي إلى معرفة القیم المثلى لقیم متغیرات القرار ا نھدف من حل برنامج خط لما كن

عطى أفضل قیمة لدالة الھدف فما یھمنا في ھذه الدراسة ھو دراسة تأثیر والتي ت

وكما . التغیرات التي نجریھا على معامالت متغیرات القرار على الحل األمثل

نالحظ من األمثلة السابقة في ھذا الفصل فإن متغیرات القرار قد تكون جمیعھا

وقد یكون بعضھا (1-3)ثال متغیرات أساسیة في الحل األمثل كما ھي الحال في م

في الحل األمثل وبعضھا اآلخر غیر أساسي في الحل األمثل .أساسیا

فیما یلي سندرس تأثیر تغیر معامالت متغیرات القرار في سطر دالة الھدف على

: الحل األمثل في حالتین

.متغیر القرار أساسي في الحل األمثل

.مثل متغیر القرار غیر أساسي في الحل األ

نالحظ من األمثلة السابقة لھذا الفصل أن سطر دالة الدراسةوقبل البدء بإجراء ھذه

ولذلك فإن إجراء تغییرات في معامالت ھذا السطر ال محوریا الھدف ال یكون سطرا

ما لم تؤدي ھذه التغییرات إلى تغییر ، تؤثر على نتائج باقي السطور في جدول ما

.المتغیر الداخل

ر القرار أساسي في الحل األمثل متغي

من II , Iالمتعلق بإنتاج صنفي السجاد (1-3 )بالعودة إلى مثال نالحظ أنھ كال

أساسي في الحل األمثل ولو فرضنا أننا غیرنا معامالت X1 , X2متغیري القرار

X1 لتصبح

من 1∂ + 200 قى وبحیث یب) مقدار موجب أو سالب 1∂( 200بدال

200 + ∂1 ≥ 140 Q) ∂1 ≥ -60 (فإن سطورZ المتتابعة لجداول طریقة

،التالي ( 6-3)السمبلكس تصبح كما في الجدول

٧١

الجدیدة السطور المحوریة نفسھا للجداول Zنالحظ أننا استخدمنا لحساب سطور [

] . ال تتغیر كما أشرنا أعاله باعتبار أن ھذه السطور ( 3-1 ) , ( 3-3) , ( 3-4)

من Iبعد جعل أرباح الصنف (1-3)المتتابعة لمثال Zسطور . ( 6-3)جدول

من (1∂ + 200)السجاد .لایر 200ریاال بدال

في التكرار األخیر وبموجب شرط األمثلیة نستنتج أن الحل األمثل Zومن سطر

معامالتیبقى حال أمثلیا فیما لو بقیت ( X*1= 2000 , X*2 = 1250 )الحالي

S1 ≥ 0 النتیجة الحظ أن ھذه ( 25- ≤ 1∂ والتي تكافئ 0 ≤ 3/(1∂ +25)أي

وتعني ھذه النتیجة األخیرة أنھ ) . 60- ≤ 1∂تقتضي شرط عدم تغیر المتغیر الداخل

كحد أدنى أو أن 175لحدود Iیمكننا أن ننقص من سعر السجادة من الصنف ریاال

ھناوما تجدر مالحظتھ . نزید في سعرھا كما نرید دون أن یتغیر الحل األمثل الحالي

ستتغیر Iثل الناتج عن التغییر أعاله في سعر السجادة من الصنفأن قیمة الحل األم

ویعنى ذلك 1∂ 2000أي بزیادة جبریة قدرھا ] 1∂ 2000+ 575000[ لتصبح

من ) سینقص ( سیزید Iفي سعر السجادة من الصنف ) ننقصھ (أن كل لایر نزیده

عن Iادة من الصنف لایر شریطة أال یقل سعر السج 2000األرباح الكلیة بمقدار

175 .ریاال

في ) األساسي في الحل األمثل ( Xj القرار وباختصار إذا غیرنا معامالت متغیر

دون أن یؤدى ھذا التغیر إلى تغییر المتغیر Cj+ ∂jإلى Cj سطر دالة الھدف من

التكرار S4 S3 S2 S1 X2 X1 الحل

0 0 0 0 0 -140 -200 - ∂1 Z 0

400000 +2000 ∂1 0 0 0 (200 + ∂1)/3 -140 0 Z 1

575000 +2000 ∂1 0 70 0 (25+ ∂1)/3 0 0 Z 2

٧٢

أمثلیا وتتغیر قیمة دالة الھدف عندئذ مثل الحالي یبقىالداخل فإن الحل األ من حالZ* إلى Z* + ∂j X*

j.

-:متغير القرار غير أساسي في الحل األمثل

إلى Cjأساسیا في الحل األمثل وغیرنا معامالتھ من Xjوإذا لم یكن متغیر القرار

j Cj+ ∂ دون أن یكون لذلك أثر في تغییر المتغیر الداخل فإن الحل األمثل الحالي

أمثلیا وتبقى قیمة دالة وسبب عدم ( كما ھي دون تغیر *Zالھدف المثلى یبقى حال

) . ھو أن قیمة أي متغیر غیر أساسي ھي الصفر *Zتغییر قیمة

-:مدى التغيير في األطراف اليمنى للقيود

ي تمثل في العادة بق فإن األطراف الیمنى لقیود برناكما أشرنا في الفصل السا مج خط

منا ھنا ھو أن نعرف من جداول طریقة السمبلكس وما یھ. موارد متوافرة أو مطلوبة

إلى أي مدى یمكن أن نغیر الموارد المتوافرة أو المطلوبة دون أن یتغیر الحل األمثل

أن نتعرف على الموارد النادرة والوفیرة من جدول الحل ، ومن المفید قبل ذلك .

في یلعب) نادر أو وفیر (فإن نوع المورد . األمثل لطریقة السمبلكس أساسیا دورا

أي الموارد أكثر أھمیة من األخرى بمعنى أن الحل األمثل ذو حساسیة عالیة تحدید

)یتغیر فور إجراء أي تغییر في الموارد النادرة (بالنسبة للموارد النادرة

ال یتغیر إال بعد إجراء تغییرات ( وذو حساسیة ضعیفة بالنسبة للموارد الوفیرة

أن موارد (1-3)عودة إلى مثال وبال. ) الوفیرة كبیرة في الموارد فقد وجدنا بیانیا

ھي (2 ) , (4)ھي موارد نادرة وأن موارد كل القسمین (1) , (3)القسمین من كل

. موارد وفیرة

:فنالحظ ما يلي S1=S3=0 بالكامل (1) , (3) والذي یعنى أنھ تم استھالك موارد القسمین

. موارد كل من ھذین القسمین ھي موارد نادرة ویعنى بالتالي أن S4= 525 , S2 = 4375 والذي یعنى أنھ لم یتم استھالك كامل موارد

. وفیره وبالتالي فإن موارد ھذین القسمین موارد (2), (4)القسمین

٧٣

غیر من الحل أي تغییر في الموارد النادرة سی وكما أشرنا آنفا فإننا متأكدون من أن

ر الحل وإال أننا نستطیع أن نغیر في الموارد الوفیرة دون أن یتغی. وقیمتھ األمثل

معینة األمثل وقیمتھ شریطة أال ت . تجاوز التغیرات حدودا

-:مالحظة

عند اجراء تحلیل الحساسیة لبرنامج تصغیر خطي فإن تحلیل الحساسیة یجرى

. ت الخاصة ببرامج التصغیرلمصطلحات والتعدیالبالطریقة نفسھا أعاله مع مراعاة ا

٧٤

مقدمه في بحوث العمليات - ١ . زيد تميم البلخي . د

" برمجة الخوارزمي "بحوث العمليات واستخدام حزم البرمجيات -٢ .عاصم عبد الرحمن . د

يات مقدمه في بحوث العمل -٣ .رشيق رفيق مرعي . خليل حمدان و د. د

مقدمه في بحوث العمليات -٤ Dr. Hamdy A.Taha