線型変換のイメージ固有値、固有ベクトル

平賀譲（２０９研究室）hiraga@slis.tsukuba.ac.jp

資料http://www.slis.tsukuba.ac.jp/~hiraga/LA/

話の概要

• 線型写像、線型変換とは• 線型変換と図形、ベクトル• 固有値と固有ベクトル• 線型変換と座標変換• 線型変換・座標変換の応用

線型変換

• ベクトル x, y 、行列 A によって：　　 yy = A xで表される x → y の関係

• （ x, y は n 次元ベクトル、 A は n×n 行列）

• 正比例　 y=ax の一般化（多変数化）「掛け算」で表せる関係

線型変換の（代数的）定義• ベクトル空間 V 上の写像 f: V→V で：

足してから掛けても掛けてから足しても同じ：　 f (x+y) = f (x)+f (y)

定数倍してから掛けても、掛けてから定数倍しても同じ： f (ax) = af (x)

特に f (0) = 0 　（ 0 はゼロベクトル）

• 行列積はこの条件を満たす（確かめよ）：　 A(x+y) = Ax+Ay　 A(ax) = aAx

変換の合成、逆変換

• ２つの変換 φ 、 ψ （変換行列 A, B ）の合成　　 x 　 →　 φ(x) 　 →　 ψ(φ(x))は、行列の積として表せる。　　 x 　 →　 Ax 　 →　 BAx

• 逆変換は逆行列で表せる。　　 x 　 →　 y = φ(x)= Ax　　⇒　 x = A-1y（ただし正則変換であることが条件）

（参考：「線形」と「線型」）• “linear” の訳語で、どちらでもいいような

ものだが、正確に言えば「線型」のほうが正しいだろう。

• しかし世の中は「線形」のほうが優勢。ここでは（趣味として）「線型」を用いる。

• 高校等で「１次結合」、「１次変換」、「１次独立」などと言う場合の「１次」も同じ意味。

図形的な性質（１）

• 一般には、線型変換によってベクトルの向きも大きさも変わる。

• どのように変わるかは、変換行列 A の性質として決まる。

• 個別のベクトルでは特殊な性質が成り立つものがある。　　向きが変わらない⇒「固有ベクトル」

デモ１

図形的な性質（２）：正則変換• 直線 ⇒　直線

　原点を通る直線　⇒　原点を通る直線　平行な２直線　⇒　平行な２直線

• 同じ向きの線分は長さの比が変わらない

• 多角形 ⇒　多角形平行四辺形 ⇒　平行四辺形

（長方形 ⇒　平行四辺形）三角形 ⇒　三角形

図形的な性質（３）：正則変換• 円 ⇒　円、楕円• 放物線 ⇒　放物線• （一般に２次曲線は２次曲線に写る）

• 図形の面積 ⇒　定数倍（定数：行列式の値（の絶対値））

デモ２

図形的な性質（４）：非正則な場合• A x = 0 （ x≠0 ）となるベクトル x が存在

する場合、 A は非正則行列。• 非正則な場合、変換によって情報が失われ

る（復元不能である）。• 例：　（正）射影

• 任意の x について、 Ox = 0 （ O はゼロ行列）

デモ３1 00 0

xy

x0

= 0 00 1

xy

0y

=

（正則）線型変換の分類（２次元）• 角 の回転

• 相似拡大

• 反転（鏡映）

• ずらし変換（ Shear 変換）

cos -sinsin cos

a 00 b

0 11 0

1 a0 1

1 00 -1

a 00 a

デモ４

（続き）• どのベクトルの向きも変わらない変換

←この場合だけ

• どのベクトルの大きさも変わらない変換　　⇒　直交変換（直交行列）

• 直交変換は回転と鏡映の２種類。これに平行移動を加えたもの：「合同変換」

• 直交行列の列ベクトル同士・行ベクトル同士は互いに直交する。

• 直交行列の行列式は ± １。

a 00 a

固有値、固有ベクトル（１）

• 行列 A によって向きが変わらないベクトル⇒　 A の 固有ベクトル

• x が A の固有ベクトルなら、　　 Ax = xとなる定数 がある　⇒　 A の 固有値

固有値、固有ベクトル（２）

• 一般に n 次正方行列には、複素数まで許せば（重複も数えて） n 個の固有値がある。

• 回転行列の固有値は複素数（非実数）。⇔　回転はすべてのベクトルの向きを変える。

• 対称行列の固有値はすべて実数。• A が非正則　⇔　 A は固有値 0 をもつ。

（ Ax = 0 ・ x = 0 だから） デモ５

固有値、固有ベクトル（３）

• 　 が A の固有値なら、　 Ax = x = x 　　（ I は単位行列）

• したがって：　　 (A ー x = 0つまり行列 A ーは非正則 ⇔　　 det(A ー ) = 0 （ det A は A の行列式）

• これを A の 固有方程式、左辺を 固有多項式 と呼ぶ。

固有値、固有ベクトル（４）

• ２次元なら： A ー　 = det(A ー ) = (a － )(d － ) － bc = 2 － (a+d) + ad － bc = 0つまり はこの２次方程式の根。（一般に n 次行列なら n 次方程式になる）

• 参考： n 次方程式は複素数の範囲で必ず n 個の根を持つ（代数学の基本定理）。

a- bc d-

おまけ

• 行列 A の固有多項式を () とする。このとき () = O が成り立つ。（ Cayley-Hamilton の定理）

• () は普通の多項式であるのに対し、　 () は行列の多項式であることに注意。

• ２次元の場合が高校で覚えさせられるもの：　　　 2 － (a+d) + ad － bc = O

固有値・固有ベクトルの役割

• 行列 A による線型変換は、固有ベクトルの方向には単なる定数倍として働く。

• したがって固有ベクトルを軸とする座標系では、 A は簡単な形で表せる。対角行列（対称行列の場合など）一般には対角化できない場合もあるが、その場合

でも「ジョルダン標準形」にはできる。

• ⇒　座標変換

座標変換

• 座標系を固定して図形を変換するのと、図形を固定して座標系を逆変換するのとは実質的に同じこと。　例：　図形を角回転するのと、座標系を　　　角 ( － ) 回転するのとは同じ結果。

• 座標系の移動　⇒　座標変換

デモ６

座標変換（２）

• 　　 = x + y が、一次独立なベクトル

, により = X + Y と表せる

⇒ (x,y) 座標系から (X,Y) 座標系への変換

• = F = ：座標変換行列

xy

10

01

ab

cd

ab

cd

xy

xy

XY

a cb d

a cb d

座標変換（３）

• 行列（＝線型変換） A により y = Ax とする。

• x = FX, y = FY として、 FY = AFX 、つまり Y = F-1AF X （ XY 座標系での変換）

• 同様に Y = BX なら y = FBF-1 x

• B = F-1AF ：　 A の 相似変換

座標変換（４）

• xy 座標系での y = Ax を計算するには、XY 座標系で Y = BX を計算して xy 座標系に戻せばよい。

• B = F-1AF が簡単な形の場合に有効。（特に B が対角行列の場合）

• 例えば An = (FBF-1)n

　 = (FBF-1) (FBF-1)...(FBF-1) = FBnF-1

であり、 B が対角行列なら計算が簡単。

相似変換

• B = F-1AF が対角行列であるような F が存在するとき：B の対角成分は A の固有値F の行・列ベクトルは A の固有ベクトル

• （一般には対角化できない場合もある。）

• A が対称行列の場合、固有値はすべて実数、対角化可能で、 F は直交行列。

線型変換・座標変換の応用

• 応用例はヤマのようにある。漸化式（線型差分方程式）の解法（線型）微分方程式の解法統計解析（回帰分析、相関分析等々）２次曲線・２次曲面の分類コンピュータグラフィックス、計算幾何

• 正射影（平行投影）• 透視射影• 同次座標

事例紹介