Линейни регресионни модели

Класически линейни регресионни модели

• Основен клас модели за количествено определяне на качествено дефинираните от теорията връзки

• Позволяват да се установи валидността на теорията в поведението на икономическите субекти чрез данните за тяхната дейност


• Изучават съществуващата връзка между даден показател (зависима променлива) и един или повече показатели (фактори)

• Използват се:– за установяване съществуването на

зависимост между две или повече явления, за които не знаем предварително има ли връзка, но предполагаме, че тя съществува.


• Използват се ...:– Дадена връзка съществува, т.е. тя е

теоретично доказана, но трябва да се провери доколко тя реално функционира в практиката

– да се определи количествено теоретично доказана връзка за целите на управлението


Регресионните модели изследват връзката между една зависима променлива и една или няколко независими променливи, но това не означава непременно, че тази връзка е причинно-следствена връзка


• Регресионните модели позволяват:– Да се определят средните стойности на даден

показател, при определени средни стойности на други показатели

– Да се прогнозира състоянието, или изменението на даден показател в зависимост от измененията на други показатели

– Да се тестват различни хипотези, произтичащи от икономическата теория, по отношение на връзката между дадени показатели

– Комбинация от горните възможности.

Регресионна функция на съвкупността

Пример

Да се анализират купените количества обувки като се знае, че цените, при които са извършвани покупките и индивидуално закупените количества са показаните в таблицата


Цена Индивидуално купено количество

50 45, 46, 47, 48,49,50,51

55 44,45,46,47,48

60 40,42,44,46,48

65 35,38,42,44,46,47

70 36,39,40,42,43

75 32,35,37,38,39,42,43

80 32,34,36,38,40

85 31,32,33,34,35,36,37

90 28,30,32,34,36

95 29,30,31


Интерпретация:• При цена 50 лева - 7 потребители са

направили покупки, като купените от тях количества варират от 45 до 51 броя.

• Средното количество, купено от тези потребители е 48 броя

• При цена 55 лева 5 потребители са направили покупки, които варират от 44 до 48 броя

• средното купено количество е 46 броя

Регресионна функция на съвкупносттаЦена Брой

купувачи Средно купено

количество

50 7 48

55 5 46

60 5 44

65 6 42

70 5 40

75 7 38

80 5 36

85 7 34

90 5 32

95 3 30

Общо: 55


• Изводи– За всяка цена - различен брой купени количества

(всяка стойност на Х отговарят по няколко стойности на Y, т.е. на всяко Х отговаря едно подмножество (извадка) на Y )

– Принципно Y намалява с увеличаването на Х – Средната стойност (математическото очакване) на

Y за всяка извадка намалява при увеличаването на средната стойност за Х


• Линията, свързваща средните на всяка извадка се нарича регресионна линия на съвкупността

• Регресионната линия на съвкупността представлява средната стойност на зависимата променлива за извадката, отговаряща на всяка стойност на обясняващата променлива

• Показва как средната стойност на зависимата променлива се свързва с всяка стойност на независимата променлива


• Функцията, с която се изразява регресионната линия на съвкупността - регресионна функция на съвкупността

• a и b – параметри на модела (регресионни коефициенти)

• Стр 47 – печатна грешка във формули 3.1 и 3.2 (= вместо +)

iibXaXYE )(

Добавен slide от Боби

• Математическото очакване за зависимата променлива Y при определен конкретен набор на независимите променливи = a + bXi (1 линейна функция)

• Математическото очакване изразява средната стойност на дадена променлива спрямо конкретен набор от стойности за определен брой аргументи

• а – свободен членb – коефицент, който показва какво изменение на зависимата променлива отговаря на 1 изменение за съответния фактор

Стохастична регресионна функция на съвкупността

• Изводи: купените количества от всеки обект при дадена цена са равни на средното купено количество ± няколко броя

• ui - стохастична (случайна) грешка, или просто грешка

iii ubXaY


Цена Индивидуално купено количество

50 45, 46, 47, 48,49,50,51

55 44,45,46,47,48

60 40,42,44,46,48

65 35,38,42,44,46,47

70 36,39,40,42,43

75 32,35,37,38,39,42,43

80 32,34,36,38,40

85 31,32,33,34,35,36,37

90 28,30,32,34,36

95 29,30,31

Средно купено количество

48

46

44

42

40

38

36

34

32

30

Същност на стохастичната грешка

• Отразява влиянието на фактори, които оказват влияние върху обяснявания показател, но не са включени като фактори в разглеждания модел

• Може да бъде резултат от моментно поведение, желание, настроение и т.н. поведение, което не може да бъде предсказано

Същност на стохастичната грешка

• Може да се дължи и на грешки в измерването, например от закръгляване

• В резултат на желание да се запази модела елементарен – изключени фактори с по-слабо влияние

Регресионна функция на извадката

• На практика – наличните данни са само част от цялата съвкупност

• За целите на иконометричния анализ, е необходимо да се определи регресионната функция на съвкупността на основата на данни за някаква нейна извадка


• За примера това означава– Имаме само една извадка, например


– Въпрос: възможно ли е тези данни да определим средното купено количество при съответната цена?

– Или възможно ли е да определим регресионната функция на съвкупността от извадката, с която разполагаме

– Възможно е това да не може да се направи с необходимата коректност, поради колебанията в извадките (грешката на извадката)


• По данните от двете таблици могат да се построят две различни прави линии, които отговарят на данните най-добре

• Всяка една от тези линии се нарича регресионна линия на извадката

• Двете регресионни линии не съвпадат


• От съвкупността могат да се направят различни извадки, всяка от които има различна регресионна линия

• Въпросът е, коя от регресионните линии на извадката съвпада с тази на съвкупността


• Изводи:– Не всички наблюдения лежат на регресионната

линия на извадката– За отразяването на горния факт – добавяне на

случайна грешка (както и при регресионната функция на съвкупността)

– Регресионната функция на извадката има същия вид, който и регресионната функция на съвкупността

iii BXAY


• Основен въпрос: да се оценят параметрите по данни от извадката, така че те да съвпаднат (възможно най-близки) с тези на съвкупността

• Коефициентите А и В трябва да се оценят по такъв начин, че да бъдат възможно най-близки до коефициентите a и b (от регресионната линия на извадката)

Видове регресионни модели

• Линейни [точни методи за оценка (имаме формула; прилагаме; и се получава точно

“това”)] и нелинейни [инерционни; получава се поредица от стойности, които клонят

към 1 стойност (оценка)] – определя се от вида на функцията, с която се описва регресионната линия

• Линейните регресионни модели – два типа– Линейни по отношение на факторите на модела– Линейни по отношение на параметрите на

модела


• Променливите на модела се включват без преобразуване - линейни по отношение на факторите на модела

• Променливите на модела се включват чрез някаква функция, но модела се изразява чрез линейна функция на нелинейните агрументи - линейни по отношение на параметрите на модела


• По броя на включените фактори – 2 вида– Единични (еднофакторни) (– в модела се

включва един фактор– Множествени (многофакторни) – в модела

се включват повече от един фактори

Единични регресионни модели

• Примерите разгледани досега – единични (еднофакторни) регресионни модели

• Общ вид

• Където:– Y – зависима (обяснявана) променлива– X – една независима (обясняваща, фактор)

променлива

– ε - грешка

iii BXAY

Множествени регресионни модели

• Обикновенно – 1 фактор не е достатъчен за обясняване на икономическите явления

• За примера – не са отчетени доходите, продуктите заместители (боти, ботуши, сандали, и т.н.


• Повече от 1 обясняваща променлива• Общ вид (матричен запис)

• Където:– Y – зависима (обяснявана) променлива– X – вектор на независимите (обясняващите) променлива– B – също вектор с точно толкова елемента, колкото и

вектора X

– ε - грешка

iii BXAY


Общ вид - разгънат

• Където:– Y – зависима (обяснявана) променлива

– X1 , X2 , X3 – фактори (обясняващи променливи)

– u - грешка

ii uXaXaXaaY 3322110

iuYE )(

В учебника, на страница 55,формулата накрая е объркана!Трябва да е +u, а не =u! (3.6)


• Зависимата променлива - сума от детерминиран компонент (средната стойност на зависимата променлива за дадено фиксирано равнище на обясняващите промеливи) и случаен компонент (грешка)

• а0 - изразява средната стойност на обясняваната променлива при нулеви стойности на обясняващите променливи


• Коефициентите а1, а2 и а3 - частични или частни регресионни коефициенти

• изразявят изменението на средната стойност на зависимата променлива при единица изменение на съответната обясняваща променлива при условие, че останалите обясняващи променливи се запазват постоянни

• отразяват частичния ефект от изменението на една обясняваща променлива върху средната стойност на зависимата променлива при отсъствие на изменения в останалите обясняващи променливи

Линейни регресионни модели

Documents

Transcript of Линейни регресионни модели