微積分報告 介紹笛卡兒

物治系B0107036 李雅涵B0107003 翁倩雯B0107047 王芋雯

勒內 · 笛卡兒 René Descartes 1596/3/31 －

1650/2/11 生於法國安德爾 - 羅亞爾省的圖賴

訥拉海。 1650/2/11 逝世於瑞典斯 德哥爾摩。是法國著名的哲學家、 數學家、物理學家。 他對現代數 學的發展做出了重要的貢獻 因將 幾何坐標體系公式化而被認為是解析幾何之父。他還是西 方現代哲學思想的奠基人。

生平

對數學的貢獻笛卡兒對數學最重要的貢獻是創立了解析幾何。他成功地將當時完全分開的代數和幾何學聯繫在一起，在他的著作《幾何》中，笛卡兒證明幾何問題可歸結成代數問題，也可通過代數轉換來發現、證明幾何性質。他將幾何圖形『轉譯』代數方程式，將幾何問題以代數方法求解，這就是今日的解析幾何或稱『座標幾何』

笛卡兒引入了坐標系以及線段的運算概念。笛卡兒在數學上的成就為後人在微積分上提供了堅實的基礎，而微積分又是現代數學的重要基石。此外，現在用的許多數學符號都是笛卡兒最先使用的，包括已知數 a, b, c 和未知數

x, y, z 等，還有指數的表示法。他還發現了凸多面體邊、頂點、面之間的關係，後人稱為歐拉 - 笛卡兒公式。還有微積分中常見的笛

卡兒葉形線也是他發現的。

笛卡兒座標系也稱直角坐標系，是一種正交坐標系。二維的直角坐標系由兩個互相垂直的坐標軸設定，通常稱 X 軸 和 Y 軸。兩軸相交稱為原點 ( 標記為

O) 。每軸都指向一個特定方向。兩軸決定了一個平面，稱為 XY 平面，又稱笛卡兒平面。 習慣性， X 軸被水平擺放稱為橫軸指向右方。Y 軸被直放而稱為縱軸指向上方。分為四象限。

採用直角坐標幾何形狀可以用代數公式明確的表達出來幾何形狀的每一個點的直角坐標必須遵守這代數公式。例如：一個圓圈，半徑是 2 圓心位於直角坐標系 的原點。圓可以用 公式表達為 X2 +Y2 =4  。

在二維直角坐標系再添加一個垂直於 X 軸 Y 軸的坐標軸稱為 Z 軸。這三軸相互交於原點。在三維空間的任何一點，可以用直角坐標 來表達其位置。三個平面， XY 平面YZ 平面， XZ 平面，將三維空間分成了八個部分稱為卦限

笛卡兒符號法則

是一個用於確定多項式的正根或負根的個數的方法。如果把一元實係數多項式按降冪方式排列，則多項式的正根的個數要麼等於相鄰的非零係數的符號的變化次數，要麼比它小 2 的倍數。而負根的個數則

是把所有奇數次項的係數變號以後，所得到的多項式的符號的變化次數，或者比它小 2 的倍數。

例如，以下的多項式 X3+X2-X-1在第二項和第三項有一個符號變化。因此它正好有一個正根。實際上，我們可以看到，這個多項式可以分解為：因此它的根為− 1（二重根）和 1 。把奇數次項變號，可得： -X3+X2+X-1這個多項式有兩個符號變化，因此這個多項式有 2 個或 0 個正根，原來的多項式有 2 個或 0 個負根。這個多項式可以分解為： 因此根為 1（二重根）和− 1 。

心臟線心臟線是有一個尖點的外擺線。也就是說，一個圓沿著另一個半徑相同的圓滾動時，圓上一點的軌跡就是心臟線。

笛卡兒坐標系中心臟線的參數方程式

r 是圓的半徑，曲線的尖點位於（ r ， 0）在極坐標系中的方程為：

其心臟線面積為

心臟線小故事傳聞，笛卡兒曾經流落到瑞典，邂逅公主克里斯蒂娜，並成為公主的數學老師，兩人萌生愛意。國王知道後強行拆散他們，並且沒收了之後笛卡爾寫給公主的所有信件。後來，笛卡爾染上黑死病，臨死前給公主寄最後一封信，信中只寫著一行字： r=a(1-sinθ) 。國王和大臣們都看不懂意

思，只好交還給公主。公主在紙上建立了極坐標系，用筆描下方程的點，看到了方程所表示的心臟線了解笛卡兒對自己的愛意。

另外，笛卡兒還提出了微積分有名的葉形線，還有等角螺線。

其它重要貢獻 - 哲學

笛卡兒也是哲學家，人們稱他為西洋哲學的「近代哲學之父」他的「哲學方法」就是所謂「懷疑的方法」。他認為雖然我們「懷疑」，但又必須有所行動時，我們所能做的，最好就是堅持當初開始的態度，持續到底。他提出了「我思故我在」和「演繹法」

影片補充

http://www.youtube.com/watch?v=QjF8C0rUpqg ( 1 ： 00-1 ： 30)

http://www.youtube.com/watch?v=O-vGT-g8ShE (3 ： 16-9 ： 26)