Динамическая метеорология.
description
Transcript of Динамическая метеорология.
Динамическая метеорология.
Векторные операции
Кто изобрел вектора?
Мёбиус ввел в математику операции с направленными отрезками
Гамильтон ввел слово вектор и определил скалярное и векторное произведение
Гиббс ввел основные обозначения А·В и АВ
В автором первого русского
учебника по векторному
анализу был Н.Е.Кочин
Чтобы понимать дальнейшее вспомни тригонометрию!
Для чего нужны вектора?- 1
Для сокращения записи уравнений
Для чего нужны вектора?- 2
Чтобы не зависеть от системы координат при записи фундаментальных законов и понятий
Вихрь в декартовых прямолинейных координатах
Вихрь в ортогональных криволинейных координатах
Эти вектора и равенства с ними нужно знать и уметь
употреблять
Векторная запись формул и уравнений применяется для краткости.
Но для расчетов необходимо переходить к координатной записи.
Следует уметь читать векторную запись и знать правила перехода к координатной!
Вектор это величина, которая характеризуется не только размерами, но и направлением.
Обозначаем жирными прописными буквами! Вектора – это реальные
объекты, их можно складывать (по правилу параллелограмма)
Примеры векторов: перемещение r, скорость v, ускорение a, сила f
Обозначения: Скорость V={u,v,w}={u1, u2, u3}= ui (i=1,2,3)
НЕ все есть ВЕКТОР!
Если хочешь быть вектором, то складывайся по правилу
параллелограмма• Контрпример 1: Скаляры: длина -l,
масса -m, температура-t. Объединив их в одно множество {l,m,t} получим формальный , а не реальный вектор не получить! Почему?
• Контрпример 2: Набор {T,P,e} – не вектор, т.к. компоненты а) зависимы и б) не характеризуют единый геометрический объект
Операции с векторами осуществимы практически, так же, как и в случае скаляров.
Пример: Сложение и вычитание• Сумма векторов –
вектор, который имеет начало в начале первого и конец в конце последнего
• Введя вектор (–N), равный по величине вектору N и противоположный ему по направлению, можно определить операцию вычитания
Проекции вектора на оси• Проекции вектора на
координатные оси вычисляются по формулам
• P1=|P|cosx
• P2=|P|cosy
• P3=|P|cosxzЗамечание 1: если модуль вектора равен 1 (единичный вектор), то его координаты – это косинусы углов между им и осями.Т.Е. единичный вектор определяет направление вектора в пространстве
Обратно: вектор направления s для вектора P(P1,P2,P3)
• определяется формулой: s= P/|P| • Сos(s,x)=P1/|P|, • сos(s,y)=P2/|P|, • сos(s,z)=P3/|P|
– Пример: направление нормали к поверхости f(x,y,z)=0 или z=h(x,y) определяется по вектору градиента поля f (см.ниже)
Скалярное произведение – это операция проектирования
• Оно представляет собой результат операции проектирования одного из векторов на другой
Координатное представление
• Основная теорема: любой вектор D может быть разложен по трем некомпланарным (aA+bB+cC 0)
• D=mA+nB+pC• На ней основано разложение вектора по трем единичным
взаимно перпендикулярным векторам (ортам)-i,j,k• V=vxi+vyj+vzk
Важные вектора 1(знать!)Радиус-вектор точки:
r = xi+yj+zk или r = {x,y,z}Единичный вектор направления:
е = x/|x| i+y/|x| j+z/|x k или e = {x/|x|,y/|x|,z/|x|}=
={cosr,X)x/|x|,cosr,Y)y/|x|,cosr,Z)z/|x|}=
= {cos(,cos,cos}
Радиус-вектор точки
Важные вектора 2 (знать!)
Направленный элемент кривой:dl = dx i+dy j+dz k или dl = {dx,dy,dz}
Важные вектора 2 (знать!)Направленный элемент площади:
dS =ndS= dScos(n,X)i+dScos(n,Y)j +dScos(n,Z) k =
= dydz i+dxdz j+ dxdy k
n – единичный вектор нормали к поверхности(Для памяти: Направление нормали совпадает с направлением вектора градиента функции, задающей поверхность)
Направленный элемент поверхности
Важные вектора 3 (знать!)• Формальный вектор градиент
• или оператор Гамильтона • или набла-оператор:
zyx
zyxzyx
;;сокращенно
;;илиkji
kji
Применение вектора набла
f f ff fx y z
i j k grad
BB Byx z divx y z
B B
i j kB BB BB By yx xz z
x y z y z z x x yB B Bx y z
rot B B i j k
Градиент скалярного поля f
Дивергенция векторного поля B
Вихрь (ротор) векторного поля B
Определение скалярного произведения векторов a и b
Определение косинуса угла между векторами по координатам:
Поскольку орты – единичные взаимно перпендикулярные вектора, то:
Условие перпендикулярности (ортогональности) векторов:
Через скалярное произведение определяется длина (норма) вектора:
2 2 2x x y y z z x y za a a a a a a a a a a a
Определение скалярного произведения совпадает с определением коэффициента корреляции
~ cos( , )xy x y
r Z Z
Смысл к-та корреляции – это угол между двумя многомерными векторами!Если он равен нулю, то вектора перпендикулярныЕсли он +1– они сонаправленыЕсли он -1 – они противоположны по направлению
Важные скалярные произведения
• Кинетическая энергия единицы массы - (V·V)/2• Элементарная работа силы (циркуляция) - F·dl • Элементарный поток вектора А - A·dS• Спиральность скорости - V·• Градиент скалярного поля f - f • Адвекция скаляра f - V·f • Дивергенция вектора DivV:
Индексная (тензорная) формазаписи вектора
, ,
31 2
1 2 3
i
i 1 2 3 i
iii
i
u v wDivx y z
VV V
x x xV
xV
Vx
V V
Особенности тройного скалярного произведения
• Определение АВС смысла не имеет!• Обязательно указать пару, образующую
скаляр: (АВ)С или А(ВС)• Почему?
– (АВ)С – это вектор С, длина которого увеличена в (АВ) раз
– А(ВС) – это вектор А, длина которого увеличена в (ВС) раз
• Различие важно в преобразованиях
Пример использования тройного скалярного произведения
1
1 2 3 21 2 3
3
1 1 11 2 3
1 2 3
2 2 21 2 3
1 2 3
3 3 31 2 3
1 2 3
( ) ( )
a
V A v v v ax x x
a
a a av v v
x x x
a a av v v
x x x
a a av v v
x x x
Скалярное произведение
в рамке – неразделимо в операциях
(( ) ) (V U A V U A
Справка: вычисление определителя 3-его порядка
Метод разложения по первой строке (нам нужен!):
Метод получения числового значения (для теории нам не нужен!)
Контролируй себя:
Векторное произведение– это описание поворота!
Векторное произведение двух векторов А и В определяется как вектор С с величиной |А||B| sin β и с направлением, перпендикулярным плоскости, проходящей через А и В так, чтобы вращающийся вправо винт, который поворачивал бы А (первый вектор) к В (второй вектор) и перемещался (ввинчивался) в направлении С.
(вектор С перпендикулярен плоскости, в которой лежат a и b и образует с ними правовинтовую систему и численно равен площади параллелограмма, построенного на них, как на сторонах)
Помнить, что ab= -ba
Вычисление векторного произведения
Векторное произведение ортов:
(доказать самостоятельно)
Условие колинеарности (параллельности) двух векторов
.
x y z
y z x yx zx y z
y z x z x yx y z
y z x yx zx y zy z x z x y
c c c
a a a aa aa a a b b b b b bb b b
a a a aa ac c cb b b b b b
c i j k a b
i j ka b i j k
Запись не точна! Направление?
Важные векторные произведения• Линейная скорость вращения точки относительно оси
V=r• Сила Кориолиса, отнесенная к единице массы
К = 2 V• Момент импульса , отнесенный к единице массы
Vr• Момент силы F
M = Fr • Вихрь вектора V=rotV:
y z x yz xx y z w uv w u vu v ww v u w v uy z z x x y
i j krotV V i j k
i j k
Смешанное произведение (скалярно-векторное произведение)
Оно является скалярной величиной и для векторов A, B, C вычисляется по формуле:
C· (A B)
x y z
x y z
x y z
c c ca a ab b b
C A B
Интерпретация-объем соответствующего параллелепипеда
Свойства смешанного произведения (четные и
нечетные перестановки векторов)
но
A B C B C A C A BA B C B A C
Помнить: Вектора лежат в одной плоскости (компланарны), если: A · (B
C)=0
Векторно-векторное произведение- это вектор
A (B C)
Вычисляется по правилу:
A A (B(B C)=B·(A·C) C)=B·(A·C)--C·C· (A·B)(A·B)Мнемоника:Мнемоника:
«БАЦ минус ЦАБ»«БАЦ минус ЦАБ»Применение к примеру. Если n единичный вектор (n·n)=1 , перпендикулярный данному вектору X, то векторно-векторное произведение осуществляет поворот вектора X на 1800:
( ) n n X n n X т.к. ( ) ,0 1
X n n X
n X n n
С помощью A (B C) решается важная задача :
• Разложить вектор B по двум направлениям: параллельно и перпендикулярно заданному вектору A
• Решение – заменить в формуле С на А:
,
, где ,
A B C B A C C A B C A A B A B A A A A BB A A A A B A B A
A B A A BB B B B B A
A A A A
Два важных примера из ДМ:
( ) div div
Вычисление вихря от векторного произведениявекторов вихря и скорости:
Ω V Ω V Ω V V Ω V Ω
1 1 10 0
0 0 1 0 0 0 0 0 1 1
div
p l p l pl
l ( l ) l ( )
lu lv lg g
Обозначения и
Решение уравнения геострофического баланса
V V V Ω V Ω
k k U k U U kg g g
k k U k k U U k kg g g
k U g
l Ug
К лекции 11 и 10
Упражнение:
• Упростить выражение:(R)=?• R –радиус вектор точки, вращающейся
вокруг оси - вектор угловой скорости вращения• Подсказка: R= R┴ + R║
• Сделать чертеж и применить правило• A(BC)=B(AC)-C(AB)
Упражнение
• Выполнить преобразование:
( ) ( ) ( ) ( )I I I I I
I I I I
V V V V V V V V V V
V V V V V V V V
Дифференцирование вектора по скалярному аргументу.
dAdA dAd yx zdt dt dt dt
A i j k
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )df t t df t d tt f tdt dt dt
A AA
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )d t t d t d tt tdt dt dt
A B A BB A
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )d t t d t d tt tdt dt dt
A B A BB A
Примеры дифференцирование вектора по скалярному аргументу.
Скорость и направление, касательная
Ускорение, нормаль, кривизна и ее радиус
Касательная и нормаль перпендикулярны
( ) ( ) ( )( ) , ;d t ds d t ds d tt V где Vdt dt ds dt ds
r r rv τ τ
2( )( ) ,d t dV dV d ds dV V dt V где Rdt dt dt ds dt dt R ds
v τ τ τa τ τ n n
1 2 0
d d d ddt ds ds ds
τ τ τ τ ττ τ τ τ τ
Примеры дифференцирование вектора по скалярному аргументу.
• В подвижной системе координат орты изменяются и их следует дифференцировать
абсолютная система координат
относительная(подвижная) система координат
вращательное дви переносное движение
dAdA dAd yx zdt dt dt dtабс
dAdA dAd d d dyx z А А Аx y zdt dt dt dt dt dt dtотн
A i j k
A i j ki j k
жение
Теорема Эйлера о вращении точки с постоянной угловой скоростью
d lim lim sindt t tt 0 t 0
sin ,t
ddt
A A ω AAω A
ω A ω A ω
A ω A
Здесь M2 , М1 , M0 – конечное, среднее и начальное положения точки
A = M2-M0 - вектор малого перемещения точки, - угол поворота e – единичный вектор, определяющий направление перемещения
V=r dr/dt = r если = , то
если = , то
если = , то
ddt
ddtddtddt
r rir i ijr j jkr k k
( ) ( ) ( )
абс отн
dAdA dAd d d dyx z А А Аx y zdt dt dt dt dt dt dtdAdA dAyx z А А Аx y zdt dt dtd d ddt dt dt перенос
A i j ki j k
i j k i j k
A A A A
Применение теоремы Эйлера – вращение подвижных ортов
Полное изменение
вектора во вращ.
системе координат
Применение вектора набла
f f ff fx y z
i j k grad
BB Byx z divx y z
B B
i j kB BB BB By yx xz z
x y z y z z x x yB B Bx y z
rot B B i j k
Градиент скалярного поля f
Дивергенция векторного поля B
Вихрь (ротор) векторного поля B
Градиент векторного поля определяется иначе и
порождает новые математические объекты – тензора.
Дифференцирование вектора по вектору порождает три новых вектора!
Теорема Гаусса (A=Pi+Qj+Rk)
dVV S
A dS Векторная запись:
Координатная запись:
Теорема Стокса (A=Pi+Qj+Rk)
)S L
A dS A dL
Координатная запись:
Векторная запись:
Математика – это легко и просто.
/проф. Д.Л.Лайхтман –
мой учитель/