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第三章

数 据 依 赖

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本章的主要内容：

函数依赖的概念及函数依赖公理 函数依赖集的等价和覆盖 多值依赖及多值依赖公理 连接依赖

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数据依赖 : 函数依赖、多值依赖、连接依赖

数据依赖 是通过一个关系中属性间值的相等与否体现出来的

数据间的相互关系 是现实世界属性间相互联系的抽象 是数据内在的性质 是语义的体现

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3.1 函数依赖 (Functional dependency FD)定义 1(FD)

设关系模式 R(U)， X,Y U， r是 R(U) 上的任一关系，对任意 t1、 t2r, 如果 t1[X]=t2[X] 有 t1[Y]=t2

[Y] ，称 X 函数决定 Y ，或 Y 函数依赖于 X ，记为： FD

X→Y。定义 2（ FD ） 对 X 中的任一值 x， ΠY(σX=x(r)) 的值仅有一个元组，则有 X→Y。

定义 ( 平凡 / 非平凡的 FD) 设 FD X→Y ，如果 YX ，则称 FD X→Y 为非平凡的函数依赖；否则，若 YX ，称 FD X→Y 为平凡的函数依赖。

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定义 ( 完全 FD): 设 FD X→Y ，如果对任意的XX， X→Y 都不成立，则称 X→Y 是完全函数依赖；若对 X 的真子集 X有 XX ，而 X→Y 成立，则称 FD X→Y 是部分函数依赖，即 Y 函数依赖于 X 的一部分。

定义 ( 传递 FD): 设关系模式 R， X、 Y、 Z 是 R 的属性子集，若 FD X→Y， Y → X， Y→Z ，则有 FD

X→Z ，称 FD X→Z 为传递函数依赖。

函数依赖的例子学校数据库的语义： ⒈ 一个系有若干学生， 一个学生只属于一个系； ⒉ 一个系只有一名主任； ⒊ 一个学生可以选修多门课程， 每门课程有若干

学生选修； ⒋ 每个学生所学的每门课程都有一个成绩。

R(SNO,CNO,SNAME,GRADE,DEPT,MNG) SNO → DEPT, DEPT → MNG; SNO,CNO→GRADE; SNO,CNO→SNO; SNO,CNO→SNAME; SNO→MNG

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3.2 函数依赖公理3.2.1 函数依赖公理

定义 (FD 的逻辑蕴涵 ) ： 设关系模式 R(U,F)， X,YU ，如果能从函数依赖集 F 推导出 FD X→Y ，则称 F 逻辑蕴涵 FD

X→Y ，或称 X→Y 逻辑蕴涵于 F 。记为 F|=

X→Y。

8

Armstrong 公理：设 r是 R(U) 上的一个关系， X、 Y、 Z、WU。

A1. 自反律 : 若 YXU, 则 X→Y;

A2. 增广律 : 若 X→Y且 ZU ，则 XZ→YZ;

A3. 传递律 : 若 X→Y, Y→Z ，则 X→Z.

9

证明： A1. 自反律 : 若 YXU, 则 X→Y;

设 r是 R 的关系， t1, t2是 r 的任意元组， X 、Y 、Z

U

(1) 对 X 的任意值 x ，有 ΠX(σX=x(r)) 至多有一个元组，

因 YX， ΠY(σX=x(r)) 至多只有一个元组，则有 X→Y

10

证明： A2. 增广律 : 若 X→Y且 ZU ，则 XZ→YZ;

(2)  对任意 x 值， ΠX(σX=x(r)) 至多有一个 元组。有 ：

σXZ=xz (r) σX=x(r) ，则

ΠY(σXZ=xz(r)) ΠY(σX=x(r)) 。所以，

ΠY (σXZ=xz (r)) 至多有一个元组， r 必满足 XZ→Y。

11

证明： A3. 传递律 : 若 X→Y, Y→Z ，则 X→Z.

(3) 若 X→Y ，则 t1[X] = t2[X] ， t1[Y] = t2[Y]

又 Y→Z ，则有 t1[Y]=t2[Y] ，

t1[Z]=t2[Z]。

显然， X→Y在 r 中成立。

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推论 1 若 X→Y， X→Z ，则 X→YZ。

证明：若 X→Y X → XY

X→Z XY→YZX→YZ

推论 2 若 X→Y且 ZY ，则 X→Z。

证明： ZY Y→Z

推论 3 若 X→Y， YZ→W ，则XZ→W。

证明： X→Y XZ→Y Z

YZ→ W

XZ→W

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示例：SC(SNO,CNO,SNAME,GRADE,DEPT,MN)

F={ SNO,CNO→GRADE，

SNO → SNAME，DEPT，

DEPT → MN}

SNO → SNAME，DEPT，MN

SNO,CNO → SNAME，DEPT，MN

SNO,CNO →

SNAME,GRADE,DEPT,MN

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定理 1 如果 Ai (i =1, 2, …, n) 是关系模式 R

的属性，则 X→ A1 A2 … An 成立的充要条件

是：

X→ Ai (i =1, 2, …, n) 都成立。

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例： 设F={AB→E， AG→J， BE→I， E→G，GI→H}

试证： F|= AB→GH

证明：用公理系统和 F 中的函数依赖，推导过程如下： 1. 已知 AB→E， E→G 则： AB→G ； ( 传递律 )

2. 已知 AB→E 则： AB→BE ； ( 增广律 )

3. 已知 BE→I ，又 AB→BE 则： AB→I ( 传递律 )

4. 由 1 和 3有 AB→G ， AB→I 则： AB→GI ( 合成规则)

5. 由 4 有 AB→GI ，又 GI→H 则： AB→H ( 传递律 )

6. 由 1 和 5 有 AB→H， AB→G 则： AB→GH ( 合成规则 )

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定义 ( 使用集 )

用公理从 F 推出 X→Y 成立所使用的函数依赖组成的序列称 F 上的一个推理序列。由推理序列中出现的且包含在 F 中的函数依赖的集合称推理序列的使用集 (use set) ，记为： U(F, X→Y)例： U(F, AB→GH)

={AB→E， E→G ， BE→I ， GI→H}

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3.2.2 公理的完备性定义 (FDs 的闭包 F +) 设 F 是关系 r(R) 上的 FDs， F 所蕴含的所有 FD 的集合称为 F 的闭包，记作 F + 。

F + = { X→Y | 所有 F |= X→Y }

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例：设 F={AB→C， C→B} 。

F+ 为： F+ = {A→A, AB→A, AC→A, ABC→A, B→B,

AB→B,

BC→B， ABC→B， C→C， AC→C， BC→C,ABC

→C， AB→AB， ABC→AB， AC→AC， ABC→AC

， BC→BC, ABC→BC, ABC→ABC, AB→C,

AB→AC, AB→BC, AB→ABC， C→B,

C→BC， AC→B ， AC→AB}

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定义 ( 属性集的闭包 X + )

设关系模式 R(U, F)， X U, 所有用公理推出的

X→Ai中 Ai 的属性集合称 X 对于 F 的闭包，记作： X +

X +={ Ai | 用公理推出的 X→Ai 且 Ai U}

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定理 2 Armstrong 公理是完备的。

证明：如果能证明 X→Y 不能由公理推出将不会被 F 所蕴涵，则公理得证。为此，构造一个关系 r(R)。

我们将证明两点： (1). F 中的所有函数依赖在 r (R) 上都成立； (2). X→Y在 r(R) 上不成立。

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设 R=A1A2 … An ，关系 r 中仅有二个元组 t 和 t'。

元组 t=〈 a1a2 … an〉。元组 t' 被定义为： ai 若 Ai X+

t'(Ai ) =

bi 若 Ai X+ X+ U - X+

A1 A2 ... Ak Ak+1 ... An

t a1 a2 ... ak ak+1 ... an

t' a1 a2 ... ak bk+1 ... bn

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证明： (1) 设W→ZF，W 在 r 中有两种情况 : (a) W X+ 。根据属性闭包定义，有 X→W ，又因W→Z ，根据公理 A3 有 X→Z 。因此 ZX+ ，即 t[Z]= t’[Z]= ai , 所以， W→Z在 r 上成立。 (b) W X+ 。则在 r 中有 t[W] t’[W] ，因此， W→Z在 r 上总是成立的。 由 (a) 和 (b) 得： r(R) 满足 F。

(2) 若 X→Y 不能由公理推出。即 XX+而 YX+ ，由 r 的构造知， X→Y在 r 上不成立，即 X→Y 不被 F 所蕴涵。

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3.2.3 函数依赖集闭包及成员测试算法算法 1 计算属性集 X 的闭包 X+ 的算法 输入：属性集 X 和函数依赖集 F 输出： X 的闭包 X+

While RESULT≠VAR do Begin VAR:=RESULT; for every FD W→Z in F do if WRESULT then RESULT:=RESULT∪Z end; return(RESULT) end.

CLOSURE(X, F) Begin VAR:=φ; RESULT:=X;

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例： F={A→D, AB→E, BI→E， CD→I， E→C} 求： AE+ 解： AE0 = AE AE1 = AED AE2 = AEDC … AE+ = ACDEI

F={A2→A1, A3→A2, A4→A3，， Am→Am-1}

算法改进：每个 FD 仅考察一次；每个属性仅考察一次

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计算属性闭包的改进算法：

1. 构造一个 LIST 表，存放含相同左部属性的

FD 。 如 list[A] ，将存放左部含 A 的 FD ； 2. 构造一个计数器 COUNT ，计数 FD 的左部属性数。 如 : COUNT[W→Z]=|W|; 3. 变量 UPDATE 记录未考察的属性，使每个属性仅 考察一次， RESULT 放中间和最后结果。

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算法 3.2.2 计算属性闭包的改进算法LINCLOSURE(X, F)Ⅰ. 初始化 for each FD W→Z in F do begin COUNT[W→Z]:=│W│; for each attribute A in W do add W→Z to list[A] end; RESULT:=X; UPDATE:=X.

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Ⅱ. 计算 While UPDATEφ do begin Choose an A in UPDATE; UPDATE:=UPDATE-A; for each FD W→Z in LIST[A] do begin COUNT[W→Z]:=COUNT[W→Z]-1; if COUNT[W→Z]=0 then begin ADD:=Z-RESULT; RESULT:=RESULT∪ADD UPDATE:=UPDATE∪ADD end end end.Ⅲ. return(RESULT).

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例 : 设F={A→D， AB→E， BI→E， CD→I， E→C} 计算： LINCLOSURE(AE,F)。 解： (1) 初始化： RESULT=AE UPDATE=AE LIST[A]=A→D， AB→E COUNT[A→D]=1 LIST[B]=BI→E， AB→E COUNT[AB→E]=2 LIST[C]=CD→I COUNT[BI→E]=2 LIST[D]=CD→I COUNT[CD→I]=2 LIST[E]=E→C COUNT[E→C]=1 LIST[I]=BI→E (2) COUNT[A→D]=0 COUNT[AB→E]=1 RESULT=ADE UPDATE=ED 其余不变。 (3) COUNT[E→C]=0 RESULT=ACDE UPDATE=CD 其余不变。 最后返回结果为 ACDEI。

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定理 1 ： LINCLOSURE 算法对输入长度 n 而言，具有时间复杂度 O(n)。

证明： (1) 初始化阶段计算 COUNT[W→Z] 所用时间和 |W| 成正比。计算 COUNT 的全部初始化值为 O(n) 次。 (2) 填写 LIST 表花费O(n)， RESULT和UPDATE 能用O(n) 时间进行初始化。 (3) 计算阶段， F 中的属性加入到UPDATE 至多一次。减COUNT 所花费的时间为 O(n) 。算法中涉及 ADD 的计算与│ Z│ 成正比，是 O(n) 的。

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算法 3.2.3 判定 F 是否蕴涵 X→Y 的成员测试算法

输入：函数依赖集 F 和 FD X→Y。输出：若 F 蕴涵 X→Y 输出为 true ，否则为falseMEMBER(F, X→Y) begin if Y LINCLOSURE(X,F) then return(true) eles return(false) end.

31

3.3 函数依赖的等价和覆盖3.3.1 函数依赖的等价和覆盖 定义 ( 等价和覆盖 ) 在模式 R 上的 FDs F和G ，若 F+=G+ ，则 F 和 G 等价。 记作 FG。 若 FG ，称 F 是 G 的一个覆盖，也称 G 是 F 的一个覆盖。

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定理 4 已知模式 R 上的函数依赖集 F 和G 。当且仅当 F|=G 且 G|=F ，则 F G。

证明：如果 F|=G ，若有 X→Y∈G ，则 F|=X→Y ，即X→Y∈F + ， 有GF +， (G)+(F+)+ = F + 。 同理，如果 G|=F ，有 F + G + 。因此， F +=G + ，则FG。 反之，若 FG ，则 F|=G和G|=F 是显然的。证毕。例 : 证明 F={A→BC, A→D, CD→E} 和 G={A→BCE, A→ABD, CD→E} 等价

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3.3.2 无冗余覆盖 定义 (无冗余覆盖 ) 如果 FDs F 不存在真子集 F使F F 成立，则 F 是无冗余的。如果 F 是 G 的一个覆盖且F 是无冗余的，则 F 是 G 的一个无冗余覆盖。

例 : 求 F={A→B, B→A, B→C, AB→C } 的一个无冗余覆盖。 {A→B, B→A, B→C, AB→C }

* 一个函数依赖集的无冗余覆盖不是唯一的 .

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算法 3.3.1 计算无冗余覆盖NONREDUN(F) begin G: =F ; for each FD X→Y in F do if MEMBER(G－ {X→Y}, X→Y) then G: =G－ {X→Y}; return(G) end.

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定理 5 设 F和 G 是模式 R 上的两个等价的、无冗余的 FDs 。令 X→Y是 F 上的一个 FD 。则在 G 中存在一个 FD V→W 使得 XV。

定义 ( 属性集等价 ) 设 X、 YR ，若 F|

=X→Y ，且 F|=Y→X ，则 X和 Y在 F 上等价。记作 XY。

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证明：若 X→YF ，因 FG ，G|=X→Y. 则对 X→Y

有一个基于 G 的推理序列，其使用集为 U(G,X→Y) 。 对任一 FD S→ZU(G,X→Y) ，则根据属性闭包的概念，有： G|=X→S 。 又因 FG ， F|= S→Z. 则该函数依赖有一个基于 F 的推理序列。

要证明： XV

在 G 中 一 定 有 一 个 FD V→W U(G,X→Y) ， 则 有X→V 。 因 FG ， V→W 有一个基于 F 的推理序列且X→Y U(F,V→W),

则有 G|= V→X。 < 接下页 >

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否则 ,若 X→YU(F,V→W) ，则 FD V→W 的使用集可写为： U(F{X→Y}， V→W) 。这样，由 F 和 G 等价可推出： F{X→Y} |= U(G,X→Y) ，则 X→Y在 F 中是冗余的 ，这与 F 是无冗余 的 相矛盾。 因 此 ， 必 定 有 X→YU(F,V→W) ，则 F|=V→X。

由以上证明可知， G|=X→V ，则 F|=X→V ，又 F|=V→X 。因此，在 F 中有 XV ，同理，在 G 中亦有 XV 。 证毕。

示例

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例：设无冗余的等价的函数依赖集 FG F ={A→BC， B→A， AD→E} G={A→ABC， B→A， BD→E}

F 和 G 中左部等价的属性集为： AA， BB， ADBD

AD→E是 F 中的 FD ，在 G 中有 BD→E 使得ADBD：在 G中， U（G， AD→E）={A→ABC， BD→E}在 F 中， U（ F， A→ABC ）={A→BC} U（ F， BD→E ）={B→A， AD→E} 因此，在 F 和 G 中有 ADBD。

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等价类：对于模式 R 上的 FDs集 F 和属性集 X

R 。设 EF(X)是 F 中左部等价于 X 的函数依赖集，即： EF(X)={Z→W Z→WF 且 XZ}

令 EF 为 F 上所有左部等价的函数依赖的集合，即：

EF ={ EF(X) X R且 EF (X) φ}

*F 上左部等价的依赖集的集合 EF 是 F 的一个划分。

设无冗余的等价的函数依赖集 F和 G：

|EF| = | EG|

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例： 设 F={A→BC， B→A， AD→E}，

G={A→B， B→A ， B→C ， BD→E}，

F和 G 是无冗余的且 FG

求： F和 G 中左部等价的依赖集。

解： EF 为： EF (A)={A→BC， B→A}，

EF (AD)={AD→E}

EG 为： EG (A)={A→B ， B→A ， B→C}，

EG (AD)={BD→E}

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3.3.3 规范覆盖 (canonical cover)

定义 设 F 是模式 R 上的一个 FDs

集， X→YF 。若模式 R 中的属性 A 满足下列条件，则称属性 A 在 X→Y 中是外部属性。 1. X=AZ, XZ ，且 (F－ {X→Y})∪{Z→Y} F 或者 ; 2. Y=AW, YW ，且 (F－{X→Y)}∪{X→W} F。

3635

42

定义 ( 化简覆盖 ) 若 FD X→Y 的左部或右部都不包含外部属性，称 FD X→Y 是化简的。 如果 FDs集 F 中的所有 FD 都是化简的，称FDs集 F 是化简的。如果 F 是 G 的一个覆盖且 F是化简的，称 F 是 G 的一个化简覆盖。

例 : G={A→BC, B→C, AB→D}求： G 的化简覆盖。解： A→BC 、 AB→D中 C、 B 是外部属性， G1={A→B, B→C, A→D}是 G 的化简覆盖。

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Ⅰ. 左化简 G:=F; for each FD X→Y in F do for each attribute A in X do if MEMBER(G, (X－ A)→Y) then remove A from X in X→Y in G;

算法 3.3.2 求化简覆盖 输入：函数依赖集 F输出：化简的 FREDUCE(F)begin

44

Ⅱ. 右化简 F:=G; for each FD X→Y in F do for each attribute A in Y do if MEMBER(G －{X→Y}∪{X→(Y －A)}, X→A) then remove A from Y in X→Y in G;

Ⅲ.除去形如 X→φ的 FD remove all FDs of the form X→φ from G; F:=G return(F) end.

45

例 : 已知： F={A→C， AB→D， AE→CI， AC→J, C→D} 求：化简 F

解： (1) 左简化 检查 F 中的 FD, 在 AB→D和 AC→J

中分别有属性 B 和 C 为外部属性，去掉B 和 C ：

F={A→C， A→D， AE→CI， A→J, C→D } (2) 右简化 检查 A→D和 AE→CI 分别有外部属性 D 和 C, 去掉D和 C 后： F={A→C， A→φ, AE→I， A→J， C→D}

(3) 去掉 A→φ 结果为：F={A→C， AE→I， A→J， C→D}。

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** 求简化覆盖时，应该按照算法中给出的顺序： (1) 左简化 (2) 右简化

例： F={B→A，D→A， AB→D } (1) 右简化 结果为 F (2) 左简化 结果为： F={ B→A，D→A， B→D }

(3) 右简化 结果为： F ={ D→A， B→D }

47

定义 ( 规范覆盖 ) 如果 FDs集 F是 G 的一个覆盖， F 中的每个 FD 都具有 X→A形式而且 F

是左化简的和无冗余的，称 F是 G 的一个规范覆盖。 计算规范覆盖：（ 1）将每个 FD的右部化为单属性；（ 2）将每个 FD化为左简化的；（ 3）计算无冗余的覆盖。

48

3.3.4 最小覆盖 定义 ( 最小覆盖 ) 如果 FDs集 F 和任一等价的 FDs集 G 相比，具有最少的函数依赖数，则称 F

为 G 的最小覆盖。

例： G={A→BC, B→A, AD→E, BD→I}

F={A→BC, B→A, AD→EI}

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例： G={A→CD ， AB→E ， B→I，DI→J}

AB→J 因 U（G， AB→ J )∩EF(AB)=φ

定义 (FD 的直接决定 ) 如果存在一个 G 的无冗余覆盖F ，使U(F, X→Y)∩EF(X)=φ 。 则在 G 中 X 直接决定 Y，记作： X→Y。说明： (1)若 Y=X ，有 X→Y 总是成立的。 (2) 如果 X→Y, 则有 X→Y, 反之不一定成立。 (3) 如果 X 为单属性，除了 Y=X 外 X→Y 都不成立。

50

定理 6 在 FDs集 G 中若 X → Y ，则对 G 的每

一个无冗余覆盖 F ，有U(F, X→Y)∩EF(X)=φ

51

证明： 设 F 是 G 的一个无冗余覆盖， 因 X→Y ，在 F 中有： U(F, X→Y)∩EF(X)=φ。 设 F是 G 的另一个无冗余覆盖，对任一 FD W→Z U(F, X→Y), 假设在 F 中有 :U(F, W→Z)∩ EF (X)=φ, 则有 U(F, X→Y)∩EF (X)=φ ，定理得证。

如果假设不成立，即有 U(F, W→Z)∩ EF (X)φ。

设有 V→TU(F, W→Z) 而且 V→TEF(X)。则有： F|=W→V ， XV 。 有 F|=W→X ，因而有 F|=W→X 。 但 W→Z U(F, X→Y) ，即 F|=X→W。 因此，在 F 下有 WX ，即W→ZEF(X)。 这与 U(F, X→Y)∩EF(X)=φ 相矛盾。 证毕

52

定理 7 若在 FDs集 G 中有 X → Y， Y → Z ，则X → Z 成立。 证明： 若 X → Z 成立，需 U(G, X→Z)∩EG(X)=φ 成立。而 U(G, X→Z) 可表示为： U(G, X→Z)= U(G, X→Y)∪U(G, Y→Z)。因有 X → Y ，则 U(G, X→Y)∩EG(X)=φ， 则仅需证 U(G, Y→Z)∩EG(X)=φ 即可。

若 Y→X 。 XY ，则 EG(X) =EG(Y)。

若 Y→X 。假设 U(G, Y→Z)∩EG(X)≠φ ，则 有 V→WU(G,Y→Z)且 V→WEG(X) ，则有Y→V ， XV ，则 XY ，与 Y→X 矛盾。 证毕

53

定义： eF(X)={Z | 所有 Z→W

EF(X) }

例：

G={A→CD， B→EF， CE→G， C→BJ， E→I

K}

有： AB→CE ， CE →JK

则： AB → JK

54

定理 8 设 F 是一个无冗余的 FDs 集。若 F 中某个FD 的左部 X 和属性 Y 有 XY ，则在 eF(X) 中存在一个 Z ，满足 Y → Z。 证明： (1) 若 YeF(X) ，则 Z=Y ，有 Y → Y。

(2) 若 Y eF(X) 。对 eF(X) 中任一属性集 W因 XY,有 F|=Y→W 。 假设 ZeF(X) 使得 U(F,

Y→Z) 具有最少函数依赖数， Y → Z。 若 Y→Z 不成立，则有 V→T U(F,Y→Z)且VeF(X) ，而U(F, Y→Z) ∩EG(X)≠φ 。如果这样的V→T 存在，则 U(F, Y→V)比 U(F, Y→Z) 具有更少的函数依赖数，与假设矛盾。因此， ZeF(X)且 Y →

Z。

55

例：F={A→DE，DE→A， AC→BI， I→D}

有： AC CDE ， CDE→AC

56

定理 9 设 F 为最小函数依赖集，在任一个 EF(X) 中不存在不同的 Y→U和 Z→V 能使 Y → Z 成立。

证明： 假设在 EF(X) 中存在不同的 Y→U和 Z→V 能使Y → Z 成立。即： U (F, Y→Z) ∩EF(X)=φ

也就是有： Y→U EF(X) 而 Y→U U (F, Y→Z)

因 YZ ，则用 Z→UV 代替 Y→U 和 Z→V ， 结果为 F，

且 F F 即 F |= Y→U 和 F |= Z→V 。 但 F 有更少的函数依赖数，因而与 F 是最小函数依赖集矛盾。

57

定理 10 若 F 和 G 是等价的最小函数依赖集，则对任一X， |EF(X)|＝ |EG(X)| 。

证明：假设 |EF(X)| |EG(X)| ， EF(X)和 EG(X) 分别由以下 FDs 组成，且 m n 。 |EF(X)| = { Xi → Xi | 1 < i < m}

|EG(X)| ={ Yj→Yj | 1 < j < n}

X1 → X1 Y1→Y1

X2 →X2 Y2→Y2

… …

Xm →Xm Ym→ Ym

…

Yn→Yn

eF(X)={X1,X2,…,Xm}

eG(X)={Y1,Y2, …,

Yn}

58

在 EG(X) 中，对所有的 Yj 其中有些与 Xi 是相同的。有

些不同，即 YjXi 。 对于这些 YjXi ，因 Yj Xi ，根据

定理 8，一定有某个 Xi 能使得 Yj→ Xi 。因此，在 G 中用

Xi →Yj 代替 Yj→Yj 不会改变 G 的闭包，也不会改变G 的最小性。 找寻所有这样的 Yj → Xi ，之后都用对应的 Xi →Yj 代替 Yj→Yj 。代替后对 EG(X) 中的函数依赖重新排序。

因m < n ，在 EG(X) 中一定有某个 Xi →Yi 和 Xj →Yj其左部相等。合并这二个 FD 为： Xi →YiYj ，使

EG(X) 中的函数依赖数减少，这与 G 是最小依赖集矛盾。 因此，应有 m = n。

59

例 : 设 F={A→BC， B→A， I→BDEJ， BDE→IJ} ，

G={A→B, B→AC, I→ACDE, ADE→IJ}。

F和 G 都是最小覆盖且 FG。

在 F和 G 中有： A → A ， B → B ， I → I， BDE → ADE， ADE → BDE。

*** 二个等价的最小依赖集 F和 G 其等价类中的 FD 间存在着对应关系： Xi → Yj ， Yj → Xi

。若 Yj → Xi ，在 G 中用 Xi代替 Yj 不改变 G 的闭包。

60

定理 11 若 G 是无冗余的但不是最小依赖集，则存在某个 EG(X) 含有不同的 FD Y→U和 Z→V ，使得 Y → Z。证明：设 F是 G 的一个最小覆盖。因 G 不是最小

的，必存在某一 X 使得 |EF(X)| < |EG(X)| 。根据定理 9 ，因 |EF(X)|<|EG(X)| ， 必有X→WEF(X)， Y→U 、 Z→VEG(X) ， 且 Y→X

和 Z→X， YZ 。同样 有 X→Y 或 X→Z 。假定有 X→Z ，则根据定理 7，得 Y→Z 。

61

算法 3.3.4 求最小覆盖输入：函数依赖集 G输出： G 的最小覆盖MINIMIZE(G) begin F:=NONREDUN(G); find the set of EF ;

for each EF(X) in EF do

for each Y→U in EF(X) do

for each Z→V Y→U in EF(X) do

if MEMBER(F EF(X)， Y→Z) then

replace Y→U and Z→V by Z→UV in Freturn(F);

end.

62

(3) 考察每个 EF(X)， EF(AD)中 EC → AD 用 AD→EGH 代替 AD→E, EC→GH 得最小依赖集为： F={A→BC, C→A, AD→EGH, E→D}

例 : 设 F={A→BC, C→A, AD→E, EC→GH, AE→H, E→D} 求： F 的最小覆盖解： (1) 计算 F 的无冗余覆盖。考察 F 得 FD AE→H 是冗余的，去掉冗余 FD ，则： F={A→BC, C→A, AD→E, EC→GH, E→D}。

(2) 找出 F 中 FD 左部的等价类如下： EF(A)={A→BC,C→A} EF(AD)={AD→E, EC→GH} EF(E)={E→D}