Бийский лицей Алтайского края
description
Transcript of Бийский лицей Алтайского края
Бийский лицей Алтайского края
Алгебра 11 классКомплексные числа
Вам поклоняюсь, вас желаю, числа!Свободные, бесплотные как тени,Вы радугой связующей повислиК раздумиям с вершины вдохновенья.
Валерий Яковлевич Брюсов(русский писатель 1873-1924)
Историческая справка
Итальянский математик Джерсламс Кардано (1501-1576), решая задачу о представлении числа 10 в видесуммы двух слагаемых так, чтобы произведение этих слагаемых равнялось 40, встретился с ситуацией, что система
не имеет действительных решений. Величины, квадраткоторых равен отрицательному числу Кардано назвал«софически отрицательными», считал, что они лишены всякого реального содержания. Писал: «Для осуществления таких действий нужна была бы новая арифметика, которая была бы настолько же утонченной, насколько бесполезной»
40
10
ху
ух
Основатели теории комплексных чисел
Бомбелли-итальянский алгебраист в 1572г. ввёл правила арифметических действий
Р. Декарт- французкий математик и философ в 1637г. Дал название «мнимые числа»
Эйлер-русский математик, щвейцарец по происхождению, ввёл символ i , а в 1748г. нашел формулу, носящую теперь его имя.
из формулы получается таинственное равенство единения арифметики, алгебры, геометрии и анализа.
К.Гаусс в 1799г. доказал основную теорему алгебры, в 1831г. предложил геометрическую интерпретацию.
Независимо от него датчанином Весселем (1797) и французом
Аргоном (1806) предложено геометрическое толкование комплексных
чисел
2 xпри ,sincos xixеix
Словарь терминов
Комплексный-лат. составной, сложный. Термин введён Гауссом
i-первая буква французского слова imaginaire, мнимый
Инверсия, inversio - лат. переворачивание
Цель занятия: повторение и обобщение знаний по теме;с выходом на ознакомление с теорией функций комплексного переменного.
План работы на уроке:1 этап - повторение вопросов теории2 этап - вычислительная работа3 этап - практическая работа, выход на новый материал4 этап – итоговый контроль
Этап 1.1
Работа в парах (устно)
1)Сформулируйте определение комплексного числа.2)Как изображается комплексное число на плоскости?3)Как вычислить модуль комплексного числа?4)Что называется аргументом?5) В каких границах заключен главный аргумент?6) Как записать число в тригонометрической форме?7) Какое число называется сопряженным? Свойство сопряженных чисел?8) Запишите теоремы о модуле и аргументе9) Формула Муавра для Z в степени n
Этап 1.2.Основные определения
Число вида z=a+bi называется комплексным, а и b-действительные числа, i-мнимая единица
Re z=a, Im z=b Модулем комплексного числа называется
Аргументом комплексного числа z называется угол между положительным направлением полуоси ОХ и радиус-вектором ОМ, М(а,b)
Главный аргумент arg z заключен в границах
Тригонометрическая форма комплексного числа
22 baz
;(
sincos izz
Этап 1.3.Основные формулы
))sin()(cos(
)sin()cos(
))sin()(cos(
)sin(cos zz ),sin(cos
21212
1
2
1
21212121
22221111
22
ninzz
iz
z
z
z
izzzz
iizz
bazz
biaz
nn
Этап 2.1.Выполните действия, ответы запишите в тетрадь
1) (3+2i)+3(-1+3i) 2) i-2-(6-5i)3) (1+i)(1-i) 4)
5) 6)
Разложите на множители в комплексных числах:
1013 i ,i
i
3 4)1( i
16 x9) ,4а 8) ,1 )7 4222 bх
Этап 2.2. Проверь себя!
1) 11i 2) -8+6i 3) 2 4) –i, I 5) -3i 6) -4 7)(x-i)(x+i) 8)(a+2bi)(a-2bi) 9) (x-2)(x+2)(x-2i)(x+2i)
Этап 2.3. Тригонометрическая форма комплексного числа
Изобразите комплексное число на плоскости z=-2+2i
Запишите данное число в тригонометрической форме---------------------------------------------------------------------
4
3arg,22
zz
Этап 2.4.Решите задачу различными способами в алгебраической и тригонометрической форме
izzеслиzНайдите 84 , 6
Этап 2.5. Указания к решению.
1 способ.Если z=x+iy, то получаем уравнение 3x+3yi-x+yi=-4+8i, x+2yi=-2+4i,Используем условие равенства комплексных чисел, получаем, что х=-2, у=2.При возведении в квадрат, получаем число -8i, которое возводим в куб.Ответ: 512i
2 способ.Представленное в тригонометрической форме число возвести по формуле Муавра в 6-ю степень.
Этап 3.1.Геометрическое место точек
Изобразить на плоскости ГМТ, удовлетворяющих условиям:
01 wуравнения Решения.5
0)Re(.4
4arg
6.3
2Im.2
5,1.1
6
2
№
z№
z№
z№
iz№
Этап 3.2.1. Полученные ГМТ.
№1. Окружность с центром (0;-1) и радиусом 1,5№2. Полуплоскость у2.№3. Угол, заключенный между заданными лучами.№4. Прямые у=х и у=-х.№5. Точки, расположенные в вершинах правильного
6-тиугольника с центром (0;0).
Модуль равен 1. Простейший аргумент
6
Этап 3.2.2. Решения задач.
i2
1-
2
3 i;- ;
2
1
2
3- ;
2
1
2
3- i; ;
2
1
2
3 :форме скойалгебраиче
.6
11 ;
2
3 ;
6
7 ;
6
5 ;
2 ;
6 иаргументам с числа Получаем
Z.k ;6
2sin
6
2cos
:имеем Тогда ).sin1(cos 1-
1- .1w
5. №
-y. xилиy x0; y-x
;)2Re(x ;2 xz ;)(
4. №
2. y -2;y- ;z Im ;
.2
2
3)1( ;
2
3)1( );1( .1
6
22
222222222
222
222
iiiВ
ki
kw
i
формерическойтригонометвчислоЗапишем
yxyxyiyxyiiyxz
yiyxz
№
yxyxyixiz№
k
Этап 3.3. Функции комплексного переменного
Задайте условиями четверть круга с центром в точке (0;0), радиусом 2.
Выполните преобразования и постройте ГМТ w, удовлетворяющее условию:
Выполните: I вариант - а, в, д II вариант - б, г, д.
zwд
zwг
izв
zwб
izwа
1)
)
)1()
2)
)3()
3
Этап 3.4.1.Решения задач.
)4
sin4
(cos2
)4
sin4
(cos2i-1 );sin(cos
)0;0( 2
; 2
)
)sin(cos2 );sin(cos
.2 )0;0( )
).1;3( )
2
2arg0
izw
iizz
центромитомкоэффициенсгомотетия
стрелкечасовойпоуголнаповоротв
izwizz
томкоэффициеницентромсгомотетияб
векторнапереносыйпараллельнa
z
z
Этап 3.4.2.Решения задач.
. называется аниепреобразов Такое
фигуры. вне штриховка
внешние, во переходят
0arg2
2
1w
).sin()(cos(1
);0sin()0(cos(1
);0sincos0(11 )
2
3arg0
8w
);3sin3(cosz w)
00
00
3
инверсией
точкиВнутренние
w
iz
w
iz
w
iд
w
iг
Этап 4.1. Итоговый тест. Проверь себя! ( «да» или «нет»)
1. Число 1+i является действительным?2. -2(cos90 0+i sin90 0)-является тригонометрической формой
комплексного числа?3. Многочлен (х+4) можно разложить на множители в
комплексных числах?4. Если комплексное число равно своему сопряженному, то
оно является действительным?5. Число имеет аргумент равный /3 ?
i2
3
2
1
Этап 4.2. Ответы.
1. Нет2. Нет3. Да4. Да5. Нет
Молодцы! Спасибо за хорошую работу на уроке!
Урок подготовлен и проведен учителем математики высшей категории КГОУ «Бийский лицей Алтайского края»
Безкишкиной Мариной Васильевной
для слушателей курсов повышения квалификации БФАКИПКРО
и студентов ФМФ БГПУ им. В.М.Шукшина
2007г.