北京市三里屯一中 胡 悦

第十八章 平行四边形

数学活动数学活动

你们小时候折过纸吗？都折过些什么？

问题 1 ：在一张矩形纸片上，你怎么折出一个 45° 的角？

用一张矩形纸片你还能折出哪些度数的角？

利用折纸得到 60° 、 30° 、 15° 的角

问题 2 ：你能通过折纸的方法，折出 30° 的角吗？怎样折？

你能精确折出 30° 的角吗？

利用折纸得到 60° 、 30° 、 15° 的角

1. 对折矩形纸片 ABCD ，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF ，把纸片展平；

2. 再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上，并使折痕经过点 B ，得到折痕 BM ，同时，得到线段 BN.

A

B C

F

D

E

A

B C

F

D

E N

M

利用折纸得到 60° 、 30° 、 15° 的角

问题 3 ：观察所得到的∠ ABM ，∠ MBN 和∠ NBC ，这三个角有什么关系？你能证明吗？

A

B C

F

D

E N

M

利用折纸得到 60° 、 30° 、 15° 的角

证明：连接 AN. ∵ 四边形 AEFD 与四边形 BEFC 关于 EF 对称， ∴AN=BN. ∵△ABM 与△ NBM 关于 BM 轴对称， ∴AB=NB ，∠ 1= 2.∠ ∴AB=AN=NB ， ∴∠ABN=60° ， ∴∠1= 2=30°.∠ ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC=90°. ∴∠3=90°-60°=30° ， ∴∠1= 2= 3=30°. ∠ ∠

利用折纸得到 60° 、 30° 、 15° 的角

在图中，你能找出所有 30° 的角吗？60° 的角呢？还有其他度数的角吗？

A

B C

F

D

E N

M

G

还有 120 ° 和 150 ° 的角

利用折纸得到 60° 、 30° 、 15° 的角

问题 4 ： 怎样折出 15° 的角呢？

利用折纸得到 60° 、 30° 、 15° 的角

5×8

8×13

13×21

21×34

①①

②②

③③

④④

⑤⑤

⑥⑥

⑦⑦

⑧⑧

问题 5 ： 下列矩形中 , 哪些比较匀称 ?问题 5 ： 下列矩形中 , 哪些比较匀称 ?利用折纸得到黄金矩形

5×8

8×13

13×21

①①

②②

③③

④④

⑤⑤

⑥⑥

⑦⑦

⑧⑧

21×34

利用折纸得到黄金矩形

21×34AA BB

CC

21

34

BC

AB 0.618

DD

( 精确到0.001)

( 精确到0.001)

利用折纸得到黄金矩形

她的上半身和下半身的比值接近0.618.

世界艺术珍品——维纳斯女神 ，她是公元前一

百多年希腊雕塑鼎盛时期的代表作，

上海东方明珠电视塔高 468m, 上球体到塔底部的距离大约是289m.两者之比约为0.618.

468468

289289

文明古国埃及的金字塔，形似方锥，大小各异 . 但这些金字塔底面的边长与高这比都接近于0.618.

AA BB CC点 B把线段 AC分成两部分 ,

那么称线段 AC被点 B黄金分割 ,

点 B为线段 AC的黄金分割点 ,

BC与 AB的比叫做黄金比 ( 约为 0.618 ).

BC AB

AB AC如果 ,如果 ,

D 宽与长的比是

约为 0.618 的矩形叫做黄金矩形 .

5 1

2

黄金矩形的美感

• 黄金矩形给我们以协调、均匀的美感 . 世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计 .

这幅《蒙娜丽莎的微笑》给了数以万亿计的人们美的艺术享受，备受推崇 . 意大利著名画家达•芬奇在创作中大量运用了黄金矩形来构图 . 整个画面使人觉得和谐自然，优雅安宁 .

黄黄黄黄黄“黄黄黄黄” ——黄黄黄黄黄黄黄黄黄

雅典帕德农神庙是古希腊最著名的建筑，因为其雅典帕德农神庙是古希腊最著名的建筑，因为其建于古希腊数学繁荣的古典时期建于古希腊数学繁荣的古典时期 .. 所以整个神庙的所以整个神庙的造型是建立在严格的比例关系上的，体现了以追求和造型是建立在严格的比例关系上的，体现了以追求和谐为目的的形式美谐为目的的形式美 ..

• 各国的国旗都为长方形，都是近似的黄金矩形 .• 生活中用的纸为黄金矩形，这样的长方形让人看起来舒

服顺眼，正规裁法得到的纸张，不管其大小，如对开、 8 开、 16 开、 32 开等，都是近似的黄金矩形 .

• ……

问题 6 ： 能否用折纸的方法得到黄金矩形？

利用折纸得到黄金矩形

第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图 1 的方法折出一个正方形，然后把纸片展平 .

黄

第二步，如图 2 ，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平 .

黄

利用折纸得到黄金矩形

第三步，折出内侧矩形的对角线 AB，并把它折倒图3 所示的 AD处 .

黄

第四步，展平纸片，按照所得的 D点折出 DE，矩形BCDE就是黄金矩形（图 4 ） .

黄

利用折纸得到黄金矩形

问题 7 ：你能说明矩形 BCDE 为什么是黄金矩形吗？（提示：设 MN=2 ）

利用折纸得到黄金矩形

证明 :设正方形 MNCB

中 ,MN=2 ，则 NC=BC=2, ∠ACB=90° ，∴AC=1 ，∴在 Rt△ABC 中， AB=

∵ AD=AB=

∴ CD=AD-AC=

∴

5.

5 1,

5 1.

2

CD

BC

5,

即矩形 BCDE 的宽与长的比为 5 1.

2

利用折纸得到黄金矩形

1. 通过本节课的学习，你利用折纸可以做什么？2. 在推理论证的过程中 , 我们用到了哪些以前学过的知识？3. 在本节课的学习中 , 你体会到了哪些数学思想方法？

折黄金矩形

课堂小结

折纸轴对称全等三角形矩形直角三角形

折 60° 、 30° 、 15° 的角

1. 如何利用折纸折出 75° 的角？2. 问题 7 中的矩形 MNDE 是黄金矩形吗？你能说明吗？

作业布置