Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Определение производной

x

yx

0lim

x

yx

0lim

Производной функции y=f(x) в точке х0

Называется , если этот предел существует. Производная обозначается или . Таким образом, =.)( 0xy)( 0xf

)( 0xf

Таблица производных

С´=0, где С – константа.

(sinx)´=cosx.

(xn)´=n.xn-1 где n – натуральное число

(cosx)´=-sinx

(ax)´=ax∙lna, где a>0, a≠1. В частности, (ex)´=ex

(logax)´=

, где a>0, a≠1. В частности, (lnx)´=.

ax ln

1

x

1

xtgx

2cos

1)(

xctgx

2sin

1)(

(arcsinx)´= (arctgx)´=

(arccosx)´=- (arcctgx)´=-

21

1

x

21

1

x

21

1

x

21

1

x

Правила Дифференцирования

Пусть u=u(x) и v=v(x) – функции, дифференцируемые в точке х. Тогда в этой точке дифференцируемы функции u+v, u∙v, . Последнее при условии, что v´(x)≠0. Причем, (u+v)´=u´+v´, (uv)´=u´v+uv´, .

v

u

2v

vuvu

v

u

Производная сложной функции Пусть y=f(u), а u=φ(x). Тогда функция y=f(φ(x))

называется сложной функцией от х. Теорема. Если функция u=φ(x) имеет

производную в точке х, а функция y=f(u) имеет производную в соответствующей точке u=φ(x), то сложная функция y=f(φ(x)) имеет производную в точке х, причем .xux uyy

1. с´=0 8.

2. (un)´=nun-1∙u´ 9.

3. (au)´=au∙lna.u´ 10.

3a. (eu)´=eu∙u´ 11.

4. 12.

4a. 13. (chu)´=shu∙u´

5. (sinu)´=cosu∙u´ 14. (shu)´=chu∙u´

6. (cosu)´=-sinu∙u´ 15.

7. 16.

uu

ctgu 2sin

1)(

uau

ua ln

1)(log

uu

u 1

)(ln

uu

tgu 2cos

1)(

uu

u

21

1)(arcsin

uu

u

21

1)(arccos

uu

arctgu

21

1)(

uu

arcctgu

21

1)(

uuch

thu 2

1)(

uush

cthu 2

1)(

Дифференцирование функций, заданных параметрически Пусть функция y от х задана

параметрически уравнениями: x=x(t), y=y(t), t (α;β).

t

tx x

yy

Пример

x=cos3t, y=sin3t. Вычислить yx´´.

ttxt sincos3 2 ttyt cossin3 2 поэтому

ttgtytgt

tt

tty ttxx 22

2

cos

1)()(

sincos3

cossin3

tttt

tyx 42

2

cossin3

1

sincos3

cos1

Дифференцирование функций, заданных неявно.

Вычислить y´x, если y5+xy-x2=0. Продифференцируем обе части по х.

Получим 5y4y´+y+xy´-2x=0, откуда y´(5y4+x)=2x-y и

xy

yxy

45

2

Логарифмическое дифференцирование Найти производную функции y=(sinx)x.

Логарифмируем функцию по основанию е: lny=x.lnsinx. Дифференцируем обе части равенства по х: ∙y´=lnsinx+x∙ctgx

отсюда y´=y∙(lnsinx+x∙ctgx) или y´=(sinx)x∙(lnsinx+x∙ctgx).

y

1

Дифференциал функции

dy=f´(x)∙dx

Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях!

Теорема Ферма

Пусть функция y=f(x) определена в интервале (a;b) и принимает в точке с этого интервала наибольшее или наименьшее на (a;b) значение. Если существует f´(c), то f´(c)=0

Теорема Ролля

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b) и f(a)=f(b)=0. Тогда ее производная f´(х) обращается в ноль хотя бы в одной точке c (a;b).

Теорема Лагранжа

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема в интервале (a;b). Тогда существует хотя бы одна точка c (a;b), для которой выполняется условие:

)()()(

cfab

afbf

Теорема Лопиталя (правило Лопиталя). Пусть f(x) и φ(x) – функции,

непрерывные на [a;b], дифференцируемые на (a;b); φ´(x)≠0 при всех х (a;b) и f(a)=φ(a)=0. Тогда если существует , то существует причем :

)(

)(lim

x

xfax

)(

)(lim

x

xfax

)(

)(lim

x

xfax )(

)(lim

x

xfax

Пример

02

lim2

limlim2

xxxxxx ee

x

e

x

Применение производной к исследованию функций

Экстремумы функции.

Необходимо условие монотонности функции

Если дифференцируемая в интервале (a;b) функция y=f(x) возрастает (убывает) на (a;b), то для всех х(a;b) f´(x)≥0 (f´(x)≤0)

Достаточный признак существования экстремума Если непрерывная на интервале функция

y=f(x) имеет производную f´(x) во всех точках этого интервала, за исключением, может быть, критической точки с, принадлежащей этому интервалу, и если f´(x) при переходе аргумента слева направо через критическую точку с меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то функция в точке с имеет максимум (минимум)

Выпуклость и вогнутость графика функции График дифференцируемой функции

называется выпуклым (вогнутым) в интервале (a;b), если он расположен ниже (выше) любой своей касательной на этом интервале

Достаточный признак выпуклости и вогнутости Пусть функция y=f(x) имеет вторую

производную f´(x) во всех точках интервала (a;b). Если во всех точках этого интервала f´(x)<0 (f´(x)>0), то график на (a;b) выпуклый (вогнутый).

Достаточный признак существования точки перегиба

Если вторая производная f´(x) непрерывной функции меняет знак при переходе аргумента через точку х0, то точка (x0;f(x0)) является точкой перегиба графика функции.

Асимптоты графика функции Асимптотой графика функции y=f(x)

называется прямая, расстояние от которой до текущей точки графика функции стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат.

План исследования функции и построение графика

1. Область определения функции.2. Точки пересечения графика функции с осями

координат.3. Четность, нечетность функции.4. Исследование функции на непрерывность.

Вертикальные асимптоты.5. Невертикальные асимптоты.6. Интервалы монотонности и экстремумы.7. Интервалы выпуклости, вогнутости и точки

перегиба.8. Дополнительные точки, , периодичность

(по мере необходимости).9. Построение графика.

)(lim xfx

Пример Исследовать функцию и построить ее график.

1. Область определения:

так как при х=-2 и х=2 знаменатель дроби обращается в ноль.

42

2

x

xy

042

x

x

(-∞;-2) (-2;2) (2;+∞),

2. Пусть х=0, тогда у=0. Пусть у=0, тогда , откуда х=0.

(0;0) – точка пересечения графика с осями координат

3.

- функция четная.

)(4

)(2

2

xyx

xxy

4. Функция имеет разрывы в точках х=-2 и х=2, так как f(-2) и f(2) не определены.

, ,

, ,

следовательно, х=-2 и х=2 – точки разрыва II рода и прямые х=-2 и х=2 – вертикальные асимптоты.

4

lim2

2

2 x

xx

4

lim2

2

2 x

xx

4

lim2

2

2 x

xx

4

lim2

2

2 x

xx

5.Невертикальные асимптоты

следовательно, прямая у=1 – асимптота.

04

1

1

lim4

lim)4(

lim

2

22

2

x

xx

x

xx

xk

xxx

14

1

1lim

4lim

2

2

2

xx

xb

xx

6.

у´=0, если -8х=0, откуда х=0 – критическая точка. Откуда х=-2 и х=2 – критические точки.

На интервалах (-∞;-2) и (-2;0) функция возрастает, а на интервалах (0;2) и (2;+∞) – убывает.

Уmax(0)=0.

2222

22

)4(

8

)4(

2)4(2

x

x

x

xxxxy

7.

у´´≠0 при х(-∞;∞), х=-2 и х=2 – критические точки второго порядка.

На интервалах (-∞;-2) и (2;+∞) – график функции вогнутый, а на интервале (-2;2) – выпуклый. Точек перегиба нет

32

22

42

222

)4(

32)4(8

)4(

2)4(28)4(8

x

xx

x

xxxxy

32

2

32

22

)4(

3224

)4(

32328

x

x

x

xx