第十二章 單因子變異數分析

F 分配 FDIST()

FDIST(F, 分子的自由度 , 分母的自由度 )

FDIST(x,degrees_freedom1,degrees_freedom2) F 為用來求算此函數的 F 值。由於 F 值是兩個均方相除：

故其自由度有兩個，一為分子的自由度；另一個為分母的自由度。且因分子分母均為正值（均方），故其分配僅在 0 之右側而已。

本函數在求：於某兩個自由度下之 F 分配中，求自右尾累計到 F 值的總面積（機率）。即傳回 F 分配之右尾累計機率值（下圖之陰影部份）：

誤差的均方處理的均方

MSE

MSAF

F 分配之圖形及機率值，將隨自由度不同而略有不同。範例Ch12.xlsx 『 FDIST 』工作表，為自由度 (2,10) 與（ 3,15 ）之情況下，不同 F 值所求得之右尾累計機率：

F 分配反函數 FINV()

FINV( 左尾機率 , 分子的自由度 , 分母的自由度 )

FINV(probability,degrees_freedom1,degrees_freedom2) 本函數用以於已知自由度之 F 分配中，求某累計機率所對應之 F 值。 由於 F 分配之圖形及機率值，將隨自由度不同而略有不同。範例

Ch12.xlsx 『 FINV 』工作表，是以自由度為 (2,10) 之情況下，所求得之結果：有了此函數，即可省去查『附錄五 F 分配的臨界值』 F 分配表之麻煩。

馬上練習 查兩個自由度（ d.f. ）分別為 1~10 之情況下，單尾機率為 5% 之 F

值：（詳範例 Ch12.xlsx 『 F 分配的臨界值』工作表）

F 檢定 FTEST() 變異數分析 (Analysis-of-Variance 簡稱 ANOVA) ，為統計學家費雪

(Fisher ， R.A.) 首創，最常被用來檢定兩常母體之變異數是否相等（即，變異數同質性的檢定）與檢定多組（大於兩組）母群平均數是否相等？（若為兩組則採用 t 檢定或 z 檢定）

要使用變異數分析的基本假設為： 各樣本之母群體為常態分配 (normality) 各樣本之母群體為獨立 (independence) 各組樣本之母群體變異數相同 (homogeneity-of-variance)

兩常態母體之變異數檢定FTEST( 範圍 1, 範圍 2)

FTEST(array1,array2) 可傳回兩組資料（樣本數允許不同），變異數是否存有顯著差異的 F

檢定之右尾機率值（ P 值）。判斷檢定結果時很簡單，只須看此 P 值之二分之一是否小於所指定顯著水準之 α 值。（按理，係雙尾檢定，但通常會將數字大者當分子，故只須看右尾之臨界值即可）

本函數，可用來測試兩組樣本的變異數是否相同？即變異數同質性的檢定，其虛無假設與對立假設分別為：H0:σ1

2=σ22 （兩變異數相等）

H1:σ12≠σ2

2 （兩變異數不等）

假定，要檢定甲乙兩班之母體變異數是否相同（ α=0.05 ）？隨機抽得範例Ch12.xlsx 『 F-TEST1 』工作表之資料，以=FTEST(B2:B10,C2:C11)/2求得其右尾機率（ P 值）並將其除以 2 ，其值為 0.043<α=0.05 ，故應棄卻兩變異數相等之虛無假設：

同樣之例子，若使用『資料分析』增益集。其處理步驟為：（詳範例Ch12.xlsx 『 F-TEST2 』工作表）

1. 切換到『資料』索引標籤 , 點選『分析』群組『資料分析』鈕（ # 圖 Ch12- DataAnalysis ） , 於『分析工具』處選選「 F- 檢定：兩個常態母體變異數的檢定」

2. 續 鈕

3. 於『變數 1 的範圍』與『變數 2 的範圍』處，設定兩組資料之範圍（ B1:B10 與 C1:C11 ）

4. 點選「標記 (L) 」（因兩組資料均含『甲班』、『乙班』之字串標記）5. α 維持 0.05

6. 設定輸出範圍，本例安排於目前工作表之 E2 位置

7. 按 鈕結束，即可獲致檢定結果依此結果：自由度為 (8,9)， F值 3.4192>臨界值3.2296（ F10處之 P值 0.0426<α=0.05，同於B15之值； E15處以 FINV所算得之 F值為 3.419，同於 F9之值），故可知甲乙班之變異數有顯著差異。（應棄卻兩變異數相等之虛無假設）

FTEST() 函數實際上是以

計算求得 F 值，再代入 FDIS() 以 (n1-1,n2-1) 為自由度，求得其右尾機率。如以前面例子 n1=9 、 n2=10 、 、

此值恰等於詳範例 Ch12.xlsx 『 F-TEST3 』工作表中， B16 以 FINV() 函數所計算之結果。將其代入 FDIS() 以 (8,9) 為自由度，求得其右尾機率為0.0426 ，恰等於 B15 以 FTEST() 函數所計算之結果（該值係將雙尾機率除以 2 ）：

22

21

S

SF

75.64821 S 73.1892

1 S

419.373.189

75.64822

21 S

SF

先檢定變異數再進行均數檢定 當以 t 檢定，進行兩獨立樣本（小樣本）均數檢定時，將視其變異數

相同或不同，而使用不同之計算方法。實務上，很多知名的統計套裝軟體（如： SPSS 、 SAS ），就先以 F 檢定，判斷其變異數是否相同？然後再進行適當之 t 檢定。

如，要對範例 Ch12.xlsx 『 F&T 』工作表之資料，進行兩班抽樣成績之均數檢定：

以前，我們是假設變異數相等（或不等）後，才來進行 t 檢定。但這種假設合理否？誰都不知道！所以，就先以 F 檢定，判斷其變異數是否相同：

由其 F10 處之 P 值為 0.27>α=0.05 ，故無法棄卻兩變異數相等之虛無假設。

由於， F 檢定之結果顯示甲乙兩班之變異數相等。故可使用『 t 檢定：兩個母體平均數差異檢定，假設變異數相等』之方法進行檢定。假定，要判斷在α=0.05 之顯著水準下，乙班之平均成績是否高過甲班？由於是變異數相同， t 檢定之類型為 2 。且虛無假設與對立假設分別為：H0:μ1≧μ2

H1:μ1<μ2

故此類檢定為單尾檢定。所以，以=TTEST(C2:C11,B2:B10,1,2)或以『資料分析』之「 t 檢定：兩個母體平均數差異檢定，假設變異數相等」增益集：

均可進行檢定：

無論由 B16 或 F27 之單尾 P 值來看，均顯示其值 0.1856>α=0.05 ，故仍無法棄卻兩班之均數相等的虛無假設，所以並無法證明乙班之平均成績會高過甲班。

馬上練習 以範例 Ch12.xlsx 『 F&T 馬上練習』工作表，利用 F 檢定，判斷北區與南區給予剛畢業之大學生的薪資變異數是否相等（ α=0.05 ）？續以適當之 t 檢定，判斷北區給剛畢業之大學生的平均薪資是否高過南區（ α=0.05 ）？

由其 G10處之 P值為 0.17>α=0.05，故無法棄卻兩變異數相等之虛無假設，故得使用兩個母體變異數相等之均數檢定：

由 G26之單尾 P值0.003<α=0.05，故得棄卻兩區均數相等之虛無假設，所以北區給剛畢業之大學生的平均薪資高過南區。

單因子變異數分析（ ANOVA ） 變異數分析的另一種用途，是用來檢定多組（ >2 ）母群平均數是否

相等？亦即， Z 與 t 檢定是用於兩組資料比較平均數差異時；而比較二組以上的平均數是否相等時，就須使用到變異數分析。其虛無假設與對立假設為：H0:μ1=μ2=…=μk（每組之均數相等）H1: 至少有兩個平均數不相等

假定，範例 Ch12.xlsx 『 ANOVA 』工作表資料，為調查各地區對政府施政的整體滿意程度（滿分為 100 分），試以 α=0.01 之顯著水準，檢定各地區之滿意程度是否存有顯著差異？

本例，以使用『資料分析』進行處理最為便捷。其步驟為：1. 切換到『資料』索引標籤 , 點選『分析』群組『資料分析』鈕 , 於『分析工

具』處選「單因子變異數分析」

2. 續按 鈕

3. 於『輸入範圍』處，設定三組資料之範圍，選取可包括所有資料之最小範圍即可（本例為 B2:D12 ，別管其內可能仍含有空白儲存格）

4. 將『分組方式』安排為「逐欄 (C) 」5. 點選「類別軸標記在第一列上 (L) 」（因各組資料均含標題之字串標記）6. α 設定為 0.01

7. 設定輸出範圍，本例安排於目前工作表之 G2 位置

8. 按 鈕結束，即可獲致單因子變異數分析之 ANOVA 表

依此結果：自由度為 (2,24) ， F 值 10.79886> 臨界值 5.61 （ L13 處之 P值 0.00045<α=0.01 ），故可知三個地區之整體滿意度存有顯著差異。南區的滿意度 86.5 要比其餘兩區（ 66.30 與 79.89 ）來得高。

馬上練習 某公司於報紙上進行廣告，範例 Ch12.xlsx 『廣告 ANOVA 』工作表，

為不同方式廣告當天所獲得之回應人數：試以 α=0.05 之顯著水準，檢定不同方式廣告之回應人數是否存有顯著差異？

答案： F=6.56 ， d.f.=3,19 ， P- 值 =0.00 ，不同方式廣告之回應人數間存有顯著差異。全版與半版廣告之回應人數（ 1173.5 與 1083.2 ）高於 1/4版與小廣告（ 724.4 與 733.0 ）。

馬上練習 依範例 Ch12.xlsx 『信用卡刷卡金額』工作表

試以 α=0.05 之顯著水準，檢定大學生每月刷卡金額是否隨零用金來源不同而存有顯著差異？

答案： F=0.46， d.f.=2,32， P-值 =0.64，大學生每月刷卡金額並不會因其零用金來源不同而存有顯著差異。

馬上練習 將範例 Ch12.xlsx 『手機平均月費』工作表之內容

將其整理成僅剩有手機者（刪除無手機者），並以居住狀況分組：

試以 α=0.05 之顯著水準，檢定大學生每月手機月費是否隨其居住狀況不同而存有顯著差異？

答案： F=6.887， d.f.=2,116， P-值 =0.001＜α=0.05，故大學生每月手機月費將隨其居住狀況不同而存有顯著差異，住家裡最高（ 572.36）、其次為住校外（ 447.59），最後為住學校宿舍（ 319.43）。這可能與住學校者較為節儉有關。

量表的檢定—多組 對於如：

等之評價量表，我們也經常得進行分組檢定。看對某一屬性之注重程度，是否會因組別不同而有顯著差異？

若僅分兩組，係以『資料分析』之「 Z 檢定：兩個母體平均數差異檢定」來進行檢定。若組數為兩組以上，則以『資料分析』之「單因子變異數分析」來進行檢定。

以範例 Ch12.xlsx 『擁有手機時間長短 X 附屬功能多屬性』工作表，其內僅安排一個『附屬功能多』評價項目（非常重要 -5 、……、非常不重要 -1 ）及擁有手機之時間長短資料（ 1.未滿六個月、 2.六個月至一年、 3. 一年 ~ 一年半、 4. 一年半以上）：

由於分組結果超過兩組，故得以『附屬功能多』之「單因子變異數分析」來進行檢定。先將其資料整理成：

然後，以『資料分析』之「單因子變異數分析」來進行檢定

其檢定結果為：

由於本例之虛無假設及對立假設為：H0:μ1=μ2=…=μk（每組之均數相等）H1: 至少有兩個平均數不相等α=0.05

依此結果： F=2.9767 ， d.f.=3,115 ， P- 值 =0.0345 ＜ α=0.05 ，故大學生對『附屬功能多』評價項目的注重程度，將隨其擁有手機時間長短而存有顯著差異。擁有手機時間一年～一年半者的注重程度（ 2.79 ），低於其他各組（ 3.45 以上）。

馬上練習 依範例 Ch12.xlsx 『擁有手機時間長短 X 雙頻手機屬性』工作表內容

將其資料整理成：

然後，以『資料分析』之「單因子變異數分析」來進行檢定大學生對『雙頻手機』評價項目的注重程度，是否隨其擁有手機時間長短而存有顯著差異？

依此結果： F=2.747， d.f.=3,115， P-值 =0.046＜ α=0.05，故大學生對『雙頻手機』評價項目的注重程度，將隨其擁有手機時間長短而存有顯著差異。擁有手機時間一年半以上者的注重程度（ 4.2），高於其他各組。

於報告上量表檢定的寫法 -多組 通常，我們問卷上的評價量表，絕不會是少數的幾個評價項目而已。

以『資料分析』之「單因子變異數分析」來進行檢定，也是得一個一個進行檢定，其過程相當辛苦。這也是沒辦法的事，主要是 Excel 並不是專門的統計軟體，能做到這樣也算是不錯的了。

最後，將其彙總成下表：（詳範例 Ch12.xlsx 『手機屬性 -ANOVA 』工作表）

檢定結果顯著者，於其 P 值後加註 "*" （表其＜ α=0.05 ），並於報告中對其詳將解釋；檢定結果不顯著者，則僅解釋其重要程度之排序即可。如：

根據調查解果，受訪者較注重之手機屬性，依序為：『收訊狀況佳』、『電磁波的傷害』、『待機時間長』、『大小適中』與『重量輕巧』。

經逐一以 F 檢定，以擁有手機時間長短分組，對其注重程度進行檢定，發現有『附屬功能多』與『雙頻手機』等屬性之注重程度會隨擁有手機時間長短不同，而有顯著差異（ P<α=0.05）。這些項目，均是『一年 ~ 一年半』組的著重程度較低，可能是剛開始有手機者，會較注重這些項目，隨時間增長，慢慢地發現其實這些項目也沒多大重要性；至於，『一年半以上』者，可能或真正發現沒這些功能的不便性，或許也開始考慮要換手機，故其注重程度又明顯的高於其他各組。

第十二章 結束謝謝！