第十三章 压杆稳定
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第十三章 压杆稳定. §13-1 压杆稳定性的概念. 钢板尺：一端固定 一端自由. 称为临界压力. §13-2 细长压杆的临界压力 欧拉公式. 一、两端铰支细长压杆的临界压力. 两端铰支细长压杆临界压力的 欧拉公式. 二、其它杆端约束条件下细长压杆的临界压力. 例：图示两桁架中各杆的材料和截面均相同，设 P 1 和 P 2 分别为这两个桁架稳定的最大载荷，则 (A) P 1 =P 2 (B) P 1 P 2 (D) 不能断定 P 1 和 P 2 的关系. - PowerPoint PPT Presentation
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第十三章 压杆稳定§13-1 压杆稳定性的概念
钢板尺：一端固定
一端自由
称为临界压力Pcr
§13-2 细长压杆的临界压力 欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界压力
M x Pv( )
M x Pv( )
E Iv M x Pv ( ) 即 vP
E Iv 0
令 kP
E I2 ，则 v k v2 0
特征方程为 r k2 2 0
有两个共轭复根 ki
附：求二阶常系数齐次微分方程的通解
y p y q 0
特征方程为 r pr q2 0
①两个不相等的实根 、 通解r r1 2
y C e C er x r x 1 21 2
②两个相等的实根 通解r r1 2
y C C x er x （ ）1 21
③一对共轭复根 通解r i1 2,
y e C x C xx ( cos sin )1 2
sin kl 0
通解： v A kx B kx sin cos
边界条件：x v 0 0时： B 0
x l v 时： 0 A klsin 0
kl n n ( , , , )0 1 2
kn
l
P
n E I
l
2 2
2
k
P
E I2
P
E I
PE I
lcr
2
2
两端铰支细长压杆临界压力的欧拉公式
二、其它杆端约束条件下细长压杆的临界压力
PE I
lcr
2
2( )
称为长度系数
PE I
lcr
2
2
1
PE I
lcr
2
22
2
( )
PE I
lcr
2
20 7
0 7
( . )
.
PE I
lcr
2
205
05
( . )
.
PE I
lcr
2
2
2
22
E I
l( )
2
20 7
E I
l( . )
2
205
E I
l( . )
例：图示两桁架中各杆的材料和截面均相同，设 P1和 P2 分别为这两个桁架稳定的最大载荷，则 (A) P1=P2 (B) P1<P2
(C) P1>P2 (D) 不能断定 P1和 P2 的关系
解：图 中， 杆受压( )a AD
N PAD 2 1
2
22
E I
a P
E I
a1
2
2
1
2 2
图（ ）中， 杆受压b AB
N PAB 2 2
2
E I
a P
E I
a2
2
2
例：长方形截面细长压杆， b/h=1/2 ；如果将 b 改为 h 后仍为细长杆，临界力 Pcr 是原
来的多少倍？
解：P
Pcr b
cr a
2
2
2
2
E I
l
E I
l
b
a
( )
( )
I
Ib
a
h
hb
4
312
12
h
b
3
8
例：圆截面的细长压杆，材料、杆长和杆端
约束保持不变，若将压杆的直径缩小一半，则
其临界力为原压杆的＿＿＿＿＿；若将压杆的
横截面改变为面积相同的正方形截面，则其临
界力为原压杆的＿＿＿＿＿。
解：( )1P
E I
lcr
2
2( )
24
264
Ed
l( )1
16
( )2P
Pcr
cr
正
圆
2
2
2
2
E I
l
E I
l
正
圆
( )
( )
I
I正
圆
a
d
4
412
64
d
d
2 2
4
4
12
64
3
例：三种不同截面形状的细长压杆如图所示。试标出压杆失稳时各截面将绕哪根形心主惯性轴转动。
正方形 等边角钢 槽钢
例：五根直径都为 d 的细长圆杆铰接构成平面正方形杆系 ABCD ，如各杆材料相同，弹性模量为 E 。求图 (a)、 (b) 所示两种载荷作用下杆系所能承受的最大载荷。
解：( )a 杆 受压，其余杆受拉BD
BD杆的临界压力:
P
E I
acr
2
22
2
22
E I
a
故杆系所能承受的最大载荷
P Pcrmax 2
22
E I
a
3 4
2128
Ed
a
( )b 杆 受拉，其余杆受压BD
四根受压杆的临界压力：
PE I
acr
2
2
故杆系所能承受的最大载荷：
P Pcrmax 2 2
64
3 4
2
Ed
a
例：图示结构，①、②两杆截面和材料相同，为细长压杆。确定使载荷 P 为最大值时的 θ 角（设 0<θ<π/2 ）。
90 ②①
解：由静力平衡条件可解得两杆的压力分别为：N P N P1 2 cos sin ，
两杆的临界压力分别为：
PE I
lP
E I
lcr cr1
2
12 2
2
22
，
要使 最大，只有 、 都达到临界压力，即
P N N1 2
PE I
l
PE I
l
cos
sin
2
12
2
22
1
2
（ ）
（ ）
90②①
将式 除以式 便得( ) ( ),2 1 1
2
2
tg
l
lctg2
由此得 arc tg(ctg2 )
90 ②①
§13-3 压杆的临界应力及临界应力总图
一、压杆的临界应力
PE I
lcr
2
2( )
crcrP
A
2
2
E I
l A( )
2 2
2
E i A
l A
( )
( )
2
2
E
l
i
令
l
i则
crE
2
2
l
i压杆的长细比压杆的柔度
计算压杆的临界应力的欧拉公式
crE
2
2
二、欧拉公式的适用范围 经验公式 在推导欧拉公式时 , 使用了挠曲线的近似微分方程 E Iv M x ( )
cr pE
2
2
在推导该方程时 , 应用了胡克定律。因此，欧拉公式也只有在满足胡克定律时才能适用：
或写成
2E
p
欧拉公式的适用范围：
满足该条件的杆称为细长杆或大柔度杆
记 pp
E
2
则 p
对 A3 钢，当取 E=206GPa， σp=200MPa, 则
pp
E
2
所以，只有压杆的长细比 λ≥100 时，才能应用欧拉公式计算其临界压力。
2 9
6
206 10
200 10100
当压杆的长细比 λ＜ λp 时，欧拉公式已不适用。
cr a b 直线公式
式中 a、 b 是与材料性质有关的系数。
在工程上，一般采用经验公式。
在我国的设计手册和规范中给出的是直线公式和抛物线公式。
表 13-2 直线公式的系数 a和 b
材料 a(MPa) b(MPa)
A3钢 304 1.12
优质碳钢 461 2.568
硅钢 578 3.744
铬钼钢 9807 5.296
铸铁 332.2 1.454
强铝 373 2.15
松木 28.7 0.19
下面考虑经验公式的适用范围：
cr sa b
经验公式的适用范围
对于塑性材料：
即
ab
s
记 s
sa
b
则 s p
对于 λ＜ λs 的杆，不存在失稳问题，应考虑强度问题
cr s
cr a b 1 12
a b1 1、
经验公式中，抛物线公式的表达式为
式中 也是与材料性质有关的系数，可在有关的设计手册和规范中查到。
三、临界应力总图1
2
3
2
2
. ( ),
. ( ),
. ( ),
细长杆 用欧拉公式
中长杆 用经验公式
粗短杆 用强度条件
p
cr
s p
cr
s
cr s
E
a b
cr s cr a b
crE
2
2
s
sa
b
pp
E
2
l
i
cr
O
小柔度杆 中柔度杆 大柔度杆
s
p
§13-4 压杆的稳定性计算
稳定性条件： PP
ncr
s tmax
[ ]
PmaxPcr[ ]ns t
nP
Pns t
c rs t
max
[ ]
ns t
式中 ------ 压杆所受最大工作载荷------ 压杆的临界压力------ 压杆的规定稳定安全系数
稳定性条件也可以表示成：
式中 为压杆实际的工作稳定安全系数。
例：非细长杆如果误用了欧拉公式计算临界力，其结果比实际＿＿＿＿＿＿；横截面上的正应力有可能＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
大，危险超过比例极限
例：三根材料、长度均相同、两端均为球铰支座的细长杆结构，各自的截面形状如图，求三根杆的临界应力之比以及临界力之比。
cr a cr b cr c: :
2
12
2
22
2
32
E E E: : i i i1
222
32: :
I
A
I
A
I
A1
1
2
2
3
3
: :
d
d
d
d
d d d
d
4
2
4
2
4 2 2
264
4
642
42
64 4 24
44
: :
1 1 5: :
P P Pcr a cr b cr c: : cr a cr b cr cA A A1 2 3: :
1 2 20: :
例：图示圆截面压杆 d=40mm， σs=235MPa 。求可以用经验公式 σcr=304-1.12λ (MPa) 计算临界应力时的最小杆长。
解： s
sa
b
304 235
112616
..
由 得：
l
is
li
s
616
0 04
40 7
088.
.
.. m
