平面任意力系李建民

兰州石化职业技术学院

第三章 平面任意力系§3-1 平面任意力系向作用面内一点简化

(F )

F’=F”=F ,

1. 力的平移定理

A

B dB

A

F

F"

BF

A

F'

AF"

BF

F'

B

A

M

F'

B

A

M

F'

(F’,F”,F) (F’,M)(F’,F”,F) (F’,M)

M=MB(F)力的平移定理：作用于 刚体上 一点的力可以平移到 刚 体上另一点，不改变力的大小和方向； 同时 附加一个力偶，附加力偶的力偶矩等于 原力对新的作用点 之矩。思考： 1. 附加力偶作用面在哪儿？　　　 2. 同一平面内的一个力和一个力偶能否等效成一个力？

2. 平面任意力系向作用面内一点简化　主矢和主矩

FR’=F1’+F2’+F3’+…+Fn’

FF1

nF

F3

2

O

Fn

1F

F3

2F

Fn

F'1

1F

F3O

2F

O

nF

F'M

1

1

1F

F3

2F

nF

F'1M1

FO3

M2

F'2 F2

F'MO 3

F'nnM

MF'

1

1M

2

F'2

3

M

1M MO 3

nM

2RF'

O

M0 RF'

F1’=F1

M1=Mo(F1)

(F1,F2,F3,…,Fn) (F1’,F2’,F3’,…,Fn’)(M1,M2,M3,…,Mn)

(FR’,Mo)

F2’=F2 M2=Mo(F2)F3’=F3 M3=Mo(F3)Fn’=Fn Mn=Mo(Fn)结论：平面任意力系向其作用平面内一点简化，得到一个力和一个力偶。这个力等于该力系的主矢，作用于简化中心；这个力偶的力偶矩等于该力系对简化中心的主矩。

……力系的主矢

Mo=M1+M2+M3+…+Mn =Mo(F1)+Mo(F2)+…+Mo(Fn)

=∑Mo(Fi)向 O点简化的主矩

=F1+F2+F3+…+Fn=∑Fi

xO

y

M0 F'R

O

A MA

M0

RF'

RF'

平面任意力系简化结果的计算

计算步骤 :1. 建立直角坐标系；2.计算

'

'

'

'

222'2''

),cos(,),cos(

)()(

R

Ry'R

R

Rx'R

RyRxR

FF

FF

YXFFF

jFiF

YF

XF

Ry

RxiR '

'' FF

)()( yXxYMM iOO F

； YFXF RyRx'' ,

3. 计算力 FR’的大小和方向

4.计算力偶的力偶矩。思考：平面任意力系向不同点（ O点和 A点）简化时：　　　 1.得到的力是否相同？ 2. 得到的力偶是否相同？

§3-2 平面任意力系的简化结果分析00.1 ' OR M，F ( 力偶，与简化中心无关 )

O

0MO

A0MM

AM

OA 0

F'R

MMA

OA 0

00.2 ' OR M，F ( 合力 ，作用线过简化中心 )O

AFR

F'R

O

M

A

A

FR

00.3 ' OR M，F ( 最终简化结果为合力 )合力矩定理：若平面任意力系有合力，则合力对作用平面内某一点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和。

0MO

F'RF'R

M0

O

A

OFR

AFR

AM0

O

RF'

FR0M

A

O

RF'

xM0

A

O

RF'

xRF

(x,y)

)()( iOORO MMM FF

RF

合力作用线位置：合力作用线上一点坐标为 (x,y)ORxRy MyFxF 即： )()( FF ORO MM

00.4 ' OR M，F

O

A

OF'AM R

OM

AA

O

A( 平衡 )

可能存在以下四种情况：

§3-3 平面任意力系的平衡条件和平衡方程

0

0'

O

R

M

F

0)(000

0'

F

F

OO

R

MMYX

0)(00

FOMYX

1. 平衡条件2.平衡方程

M0

O

RF'

0

y

MO x

F'R

y

xM0

F'

O

R

y

M0

O x

y

xO

平面任意力系有且只有三个独立的平衡方程 3. 平衡方程的其他形式

二矩式方程

0)(0)(

0

FF

B

A

MMX

F'R

MA

OAM

OA

y

RF'

xA

O

y

RF

AxO

A

yFR

x

B

O

y

xA

x

R

OA

yB

F

两矩心的连线与投影轴不垂直

三矩式方程

0)(0)(0)(

FFF

C

B

A

MMM

MA

RF'C

AO

B

OA

B

C

RF

O

C

RF

A

B

C

OA

B

O

C

FBA

R

三矩心不共线同样，有且只有三个独立的平衡方程

例题：

解：以 AB 及重物作为研究对象；受力分析，画出受力如图；列平衡方程

， 0X 030cos BCAx FF

，0Y 030sin QPFF BCAy

， 0)(FAM

QP

B

C

AD

3m 1m 2m

E

C

A

EP

Q

D B

F

AxFA

P

D

Q

BC

B

AyF

C

E

A

3m 1mP

D

Q2m

B

C

AyF FBC

FAx E

　　如图所示简易吊车， A、 C处为固定铰支座， B处为铰链。已知 AB 梁重 P=4kN ，重物重 Q=10kN 。求拉杆 BC和支座 A的约束反力。

解得：kNF

kNFkNF

BC

Ay

Ax

33.17

33.501.15

030sin AEQADPABFBC 00)(030sin0)(

030cos0

ABFEBQDBPMAEQADPABFM

FFX

AyB

BCA

BCAx

，，

，

FF

00)(

00)(030sin0)(

AEQADPACFM

ABFEBQDBPMAEQADPABFM

AxC

AyB

BCA

，

，，

F

FF

4-4 物系平衡 一、几个概念物系：由多个构件相互连接在一起，以共同承担外载荷的物体系统称为物系。静定问题：利用平衡方程能够求解出全部未知量的问题，即未知量的数目小于或等于独立平衡方程的数目的问题。超静定问题：利用独立平衡不能求出全部未知量的问题，即未知量的数目大于独立平衡方程的数目的问题。二、解决物系平衡问题的依据 当物系保持平衡时，其组成该物体系统的每一个物体均应保持平衡，或只有当物系内每一个物体都保持平衡时，则物系平衡。

• 三、研究对象的可解条件• 1 、有已知力；• 2 、未知量的数目小于或等于独立平衡方程的数目。• 四、部分可解条件• 1 、有已知力；• 2 、未知量的数目大于独立平衡方程的数目，但存在以下两个特殊情况：• 1 ）有 N个未知力，但有 N-1 未知力的作用线回交于一点；• 2 ）有 N个未知力，但有 N-1 个未知力的作用线相互平行；

例 图示两根梁由铰 B 连接，它们置于 O， A， C三个支承上，梁上有一集度为 q 的均布载荷，一集中力 F 和一力偶矩 M，求各个支承处的约束力。O A B C D

F

qM

a a a a

约束类型，固定铰支座的约束反力可以分解到两坐标轴方向，活动铰支座各有一个约束力O A B C D

F

qM

y

OXF

OYF

AYF

CYF

受力分析受力分析主动力： 分布载荷、集中力 F 、主动力偶 M约束反力：

x

外力：物体系统与周围构件之间的相互作用力；内力：系统内部构件与构件之间的相互作用力；

O A B C D

F

qM

y

OXF

OYF

AYF

CYF x

解法一： [ 整体 ] ∑X=0 FCY [CD] ∑MB （ F ） =0 FCY

[ 整体 ] ∑M0(F)=0 FAY ∑Y=0 F OY

解法二：［ CD ］∑ MB(F)=0 FC

Y ［整体］∑ MO(F)=0 FAY

∑X= 0 FOX ∑Y=0 FOY

a aB

D Mqa

CYFBXF

BYF

02

aqaMaFCY

2qa

aMFCY

[ 整体 ] ∑X=0 FOX=0

∑M0(F) =0

FAY *a+ FCY*3a-M-q*2a*2a-F*2a=0

FAY=2F+2.5qa-2M/a

∑y=0

FOY+FAY+FCY-q*2a-F=0

FOY=-F-qa+M/a

O A B C D

qM

a a a a

[CD] ∑MB(F)=0

O A B C D

F

qM

y

OXF

OYF

AYF

CYF x

F

y

q

E

A

C

(a)

B D

x

q

例 图示一结构由 AB、 BC 与 CE 三个构件构成。 E 处有一滑轮，细绳通过该轮悬挂一重为 12 kN 的重物。 A为固定铰支座， B 为滑动铰支座， C、 D 与 E 为圆柱铰。 AD = BD = l1= 2m， CD = DE = l2= 1.5m。不计杆件与滑轮的重量，求支座处的反力及 BC 所受力。 (不计滑轮摩擦）分析： 系统主动力只有重力 G

G

TF AxF

AyF

BF