—— 数学研究

相亲相爱的亲和数

我们将学习以下内容 :• 这种数字为什么叫亲和数？• 什么是亲和数？• 亲和数如何计算？• 举例几种亲和数。• 亲和数的研究。• 编者的话。

这种数字为什么叫亲和数？• 据说，毕达哥拉斯Pythagoras, 希腊文• Πυθαγόρας ，约前 580 年—前 500 年 ) 的一个• 门徒向他提出这样一个问题：“我结交朋友时，存• 在着数的作用吗？”毕达哥拉斯毫不犹豫地回答：• “ 朋友是你的灵魂的倩影，要象 220 和 284 一样亲• 密。”又说“什么叫朋友？就象这两个数，一个是• 你，另一个是我。”后来，毕氏学派宣传说：人之间讲• 友谊，数之间也有“相亲相爱”。从此，把 220 和 284 叫• 做“亲和数”或者叫“朋友数”或叫“相亲数”。这就• 是关于“亲和数”这个名称来源的传说。 220 和 284 是人• 类最早发现，又是最小的一对亲和数。

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毕达哥拉斯• 毕达哥拉斯 (Pythagoras,572 BC?—497 • BC?)古希腊数学家、哲学家。无论是解说• 外在物质世界，还是描写内在精神世界，都• 不能没有数学 !最早悟出万事万物背后都有• 数的法则在起作用的，是生活在 2500年前的毕达• 哥拉斯。 毕达哥拉斯出生在爱琴海中的萨摩斯岛(

• 今希腊东部小岛 )，自幼聪明好学，曾在名师门下• 学习几何学、自然科学和哲学。以后因为向往东• 方的智慧，经过万水千山来到巴比伦、印度和埃• 及（有争议），吸收了阿拉伯文明和印度文明 (公• 元前 480年 )。

什么是亲和数• 人和人之间讲友情，有趣的是，数与数之间也有相• 类似的关系，数学家把一对存在特殊关系的数称为• “ 亲和数”。常言道，知音难觅，寻找亲和数更使• 数学家绞尽了脑汁。亲和数是数论王国中的一朵小• 花，它有漫长的发现历史和美丽动人的传说。• 亲和数是一种古老的数。 • 遥远的古代，人们发现某些自然数之间有特• 殊的关系：如果两个数 a 和 b ， a 的所有真因• 数之和等于 b,b 的所有真因数之和等于 a, 则• 称 a,b 是一对亲和数。

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亲和数如何计算• 古希腊数学家毕达哥拉斯在自然数研究中• 发现， 220 的所有真约数 ( 即不是自身的约• 数 ) 之和为： • 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 ＝ 284 。 • 而 284 的所有真约数为 1 、 2 、 4 、 71 、 142 ，• 加起来恰好为 220 。人们对这样的数感到很惊• 奇，并称之为亲和数。一般地讲，如果两个数• 中任何一个数都是另一个数的真约数之和，则• 这两个数就是亲和数。 ð

举例亲和数• 例如 220 和 284 ， 1184 和 1210 ， 2620 和 2924 ，• 5020 和 5564 ， 6232 和 6348 ， 10744 和 10856 ，• 12285 和 14595 ， 17296 和 18416 ， 63020和• 76084 等等 ······还有许多的亲和数•等待着我们去探索哦！所以拿起我们手中的•笔和纸一起来探索吧！

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亲和数的研究• 主要有两方面： • (1) 寻找新的亲和数。 • (2) 寻找亲和数的表达公式。 • 　　关于后一项工作，早在 9 世纪，阿拉伯的学者• 泰比特 (TabitibnQorra) 就提出了一个构造亲和数• 的公式： • 　　设 a=3*2^(x-1)-1, b=3*2^(x-1)-• 1,c=9*2^(2x-1)-1 ，这里 x 是大于 1 的自然数，如• 果 a 、 b 、 c 全是素数的话。那么 2^x*ab 与 2^x*c 。• 便是一对相亲和数。

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什么是素数 ?• 质数又称素数。指在一个大于 1 的自然数中，除了 1• 和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。换• 句话说，只有两个正因数（ 1 和自己）的自然数即• 为素数。比 1 大但不是素数的数称为合数。 1 和 0 既• 非素数也非合数。合数是由若干个质数相乘而得到• 的。所以，质数是合数的基础，没有质数就没有合• 数。这也说明了前面所提到的质数在数论中有着重要地• 位。历史上曾将 1 也包含在质数之内，但后来为了算术• 基本定理，最终 1 被数学家排除在质数之外，而从高等• 代数的角度来看， 1 是乘法单位元，也不能算在质数之• 内，并且，所有的合数都可由若干个质数相乘而得到。

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