第四章 态和力学量的表象

引入：三维空间中的一个矢量 A，可在直角坐标系 OXYZ 下表示为

（ Ax ， Ay ， Az ），其中 Ai(i=x,y,z)是

A

在三个坐标轴上的投影。同一个矢量 A

也可以在另一个旋转角（绕 Z 轴的）直角坐

标系 O ZYX 下表示为（ zAyAxA ,, ），二组投影分量之间可以用矩阵或线性方程组进行变换。A

矢量也可在球坐标系下

为（ Ar ， A A ），与（ Ax ， Ay ， Az) 之间也可以作坐标变换。一个矢量可以在不同的坐标系下表示，即有许多等价的表示方式，可根据解决问题的方便需要来选择。

量子力学的状态和力学量的具体表达方式称为表象（ repreenstation)通过广义傅利叶变换，可以将（ x ）坐标表象的状态矢量变换为以 P,E ， L 等算符的状态矢量，即变换到动量表象，能量表象，角动量表象等。

2l

Chapter 4.1 态的表象( , )x t

( , ) ( , ) ( ) ,px t c p t x dp

一，状态 用动量为变量的波函数描写 :

1, 其中 （ 1 ）

1

2

1( )

(2 )

ipx

p x e

*1

2

1( )

(2 )

ipx

p x e

*( , ) ( ) ( , )

pc p t x x t dx

2 2| ( , ) | | ( , ) | 1,x t dx c p t dp 归一化：

简记： c(p)=(

, )p

(2)

(3)

( , )c p t2| ( , ) | :c p t dp 粒子动量值在 p—p+dp 中的几率。实际上 为同一状态

在动量表象中的波函数。

2 ，具有确定动量值的p 的自由粒子的态： ( , ) ( )p

iE t

px t x e

(4)

则 , ,

,

* ,( , ) ( ) ( ) ( )p p

i iE t E t

p pc p t x x e dx p p e

(5)

略去含时因子： ,( ) ( )c p p p p: 变量 'p ：确定值 简记：

' '( ) ( , ) ( )c p p p p p

（ 5 ）或（ 6 ）是具有确定动量 的粒子的状态在动量表象中的表示。'p

3 ，具有确定坐标的粒子状态在坐标表象中的表示 :

, ' '( ) ( )x x x x x x (7)

(6)

(7) 也是坐标表象中坐标算符 的本征值方程。x

二，状态 在任意力学量 的表象中的表示( , )x t

1 ，分立谱，例如无限深势阱中电子 ， H 原子中电子束缚态 , 谐振子,x np E 2l��������������

zlnE

nE , 设力学量 的算符 具有分立的本征值： 1 2``` `````, nQ Q Q

Q

Q

对应分立的本征函数：1 ``` 2 ``` ```( ) ( ) ( )nu x u x u x

则可以用正交归一完全系 将 展开为级数：{ ( )}nu x ( , )x t

*

( , ) ( ) ( )

( ) ( ) ( , )

n nn

n n

x t a t u x

a t u x x t dx

其中

简记： ( , )n na u

归一化：2 * *

* * * * * *

2

1 | ( , ) | ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

| ( ) | 1

m m n nm n

m n m n m n mnmn mn

mm

x t dx a t u x a t u x dx

a t a t u x u x dx a t a t

a t

Q

即若 已归一化，则 也自然归一化。 是在 所描写的态中测量力学量 Q 所得结果为 Qn 的几率，而数列

( , )x t ( )ma t 2| |na ( , )x t

1 2 ````̀ ``` ````( ), ( ) ( )na t a t a t 就是 所描写的态在 Q 表象中的表示。写为( , )x t

列矢量：1

2

( )

( )

( )n

a t

a t

a t

(10)

其转置复共轭为： † * * *1 2 ````` ``````( ( ), ( ) ( ) )na t a t a t (11)

†： dagger

归一化： † 1

2, 分立谱 + 连续谱例如，氢原子中电子能量 ：束缚态 , 电离态 连续；有限深方势阱，当E nE E 0E

为束缚态，nE 分立 ， 0E 则连续， 也是p

又：完全连续谱例子：电子自由运动时的动量，动能，自由粒子的坐标 ， H 原子 中电子的

xr

坐标表象的波函数 用 算符的本征函数系 展开：( , )x t { }nu

*

*

( , ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( , )

( ) ( . )

n n q qn

n n

q q

x t a t u x a t u x dq

a u x x t dx

a u x x t dx

例如 ,H 基态的 表象波函数 即为状态 在 p 表象中的表示，即测得力学量 Q 数值为 Qn 的几率，而 即测得力学量 Q 值的结果在 内的几率。归一化：

85P { , }n qa apc 2| ( ) |na t2| ( ) |qa t dq

q q dq

* *( ) ( ) ( ) ( ) 1n n q qn

a t a t a t a t dq

Q

状态矢量：

1

2

( )

( )

( )

( )

n

q

a t

a t

a t

a t

† * * * *1 2( ( ), ( ), ( ) ( ))n qa t a t a t a t

归一化： † 1

归纳：求力学量 Q 表象中波函数 , 即用 Q 算符的本征

函数的共轭 与坐标空间波函数相乘并积分 :

ia*( )q x

*( ) ( ) ( , )n na t u x x t dx

1 ，状态 态矢量，选定一个 Q 表象，即选定一特定的坐标系来描述 ， 的本征函数系 即为这个表象中的基矢， 表象中的波函数 即态矢量 在 Q 表象中沿各基矢方向的分量。量子力学中的 的本征函数

有无限多，所以张成了描写态矢量的无限希尔伯特空间。2 ，表象常用：

{ ( )}nu x 1 2 ````̀ ``` ````( ( ), ( ) ( ) )na t a t a t

1 ``` 2 ``` ```( ( ) ( ) ( ) )nu x u x u x

2, , , , ,z zx p H l l

三，希尔伯特空间 (Hibert space)

Chapter4.2 算符的矩阵表示一1 ， , ( , ) ( , ) ( , )F x t F x x t

i x

，算符 F (1)

( , ) ( ) ( )

( , ) ( ) ( )

( ) ( ) ( , ) ( ) ( )

( ) Q

m mm

m mm

m m m mm m

m

x t a t u x

x t b t u x

b t u x F x a t u xi x

u x

其中， 为 算符的本征函数

(2)

(3)

以 左乘（ 3 ）并积分：*nu

* *

*

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )

m n m m n m mm m m

m mn n n m mm m

b t u x u x dx a t u x F x a t u x dxi x

b t b t u x F x u x dxa ti x

(4)

(5)

即 ( ) ( )n nm m

m

b t F a t

其中 * ( ) ( , ) ( )nm n mF u x F x u x dxi x

为算符 在 表象中的表示。F

{ ( )},{ ( )}n mb t a t 分别为状态 和 在 Q 表象中的表示。

1 111 12 1

2 2221 22

1 2

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

n

n

n mm m mn

b t a tF F F

b t a tFF F

b t a tF F F

(6)

即算符 在 Q 表象中是一矩阵， 为其矩阵元。简记为 。F nmF F 2 ， Q 表象中的厄密算符

*

* * *

( ) ( )

( )[ ( )] ( ) ( )

nm n m

nm n m m n mn

F u x Fu x dx

F u x Fu x dx u x Fu x F

（厄密性定义）

(7)

转置并共轭： † *mn nmF F

比较得 † †mn mnF F 或F=F

即厄密算符 在 Q 表象中为厄密矩阵。F3 。 Q 在自身表象中的矩阵元

* *Q ( )Q( , ( ) ( )Q Qnm n m n m m m nmu x x u x dx u x u dxi x

可见 : 算符在自身表象中的矩阵元是一个对角矩阵，并且对角元素就是算符的本征值

值。如 矩阵 ，一维无限深势阱，谐振子，能量表象中 为本征值 。amiltonH mnHnE

4, 如果 Q 算符的本征值只构成连续谱，本征值 不可数，（如坐标 ，动量 ），则q x p

'

* ( ) ( , ) ( )qq n qF u x F x u x dx

i x

（积分后 中无 ）' qq

F x

如： 坐标表象

'

" ' " " '( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )xxF x x F x x x dx F x x x

i x i x

'

* ( ) ( , ) ( )p pppF x F x x dx

i x

（积分后 无'ppF )x

二，例题1 ，求一维线性谐振子的坐标 动量 和哈密顿量 在能量表象中的矩阵表示。（ 分立谱）解：以 表示线性谐振子 态的能量本征函数（ ） 有公式

x p H

( )m x m 1( )

2mE m

2 2

2

*, 1

( ) ( )

1 1( , ) [

2

x

n n n

mn m n m n m n

x N e H x

nx x dx x

, 1], (14)

2 m n

n

, 1 . 1

1( , ) [ ], 0,1,2

2 2mn m n m n m n

n np p i n

10 0 02

1 20 0221

( ) 320 02 2

30 0 02

mnx

10 0 02

1 20 022( ) 320 02 2

30 0 02

mnp i

1H ( , ) ( )

2mn m n n mn mnH E n

1 0 0 0230 0 02

( ) 50 0 020 0 0

mnH

H 在自身表象中为对角矩阵 本题矩阵元为分立值，写成可数的矩阵元，是由于谐振子能量本征值构成分立谱。

Chapter4.3 量子力学公式的矩阵表述

一，平均值公式

*( ) ( )F x F x dx 简记： ( , )F F

在 Q 表象中，以 Q 算符的本征函数系 展开 ：{ ( )}nu x ( )x

* *

* *

*

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( , ) ( ) ( )

( ) ( ) ( , ) ( ) ( )

( ) ( )

n nn

m m n nmn

m m n nm

m mn nmn

x a t u x

F a t u x F x a t u x dxi x

a t u x F x u x dxa ti x

a t F a t

111 12 1

221 22 2* * *1 2 ````` ``````

1 2

( )

( )

( ( ), ( ) ( ) )

( )

n

n

n

m m mn n

a tF F F

a tF F F

F a t a t a t

F F F a t

简写： †F F

二，本征值方程 简记：

同上节步骤，写为

( , ) ( , ) ( , )F x p x t x t F

111 12 1

221 22 2

1 2

( )

( )

0

( )

( ) ( ) 0, 1,2,

n

n

n n nn n

mn mn nn

a tF F F

a tF F F

F F F a t

F a t m

(5)

(6)

(7)

有非 0 解，所以 称为久期方程

{ ( )}na tdet | | 0mn mnF (8)

解久期方程可得一组 值： 它们就是 的本征值。把求得的 代入原方程，就可以求出与 对应的本征矢： 其中

1, 2 , ,n F ii 1 2( ( ), ( ), ( ) )i i ina t a t a t 1,2, ,i n

三，薛定谔方程

( , ) ( . )

( ) ( ) ( )m mn nn

i x t H x tt

i a t H t a tt

简记： di H

dt

1,2n

1,2, ,i n

其中 * ( ) ( , ) ( )mn m nH u x H x p u x dx

是哈密顿算符 在 Q 表象中的矩阵元。H

(9)

(10)

(11)

§4.4 么正变换

引入：量子力学中的表象的选取随所讨论的问题而定。表象取得适当可使得问题的讨论大为简化。为此常需要将波函数和力学量从一个表象变换到另一个表象。变换的思路完全类同于将同一矢量 在两个正交坐标中用分量式表示，而求两组分量的关系。所不同的是，态矢量展开表示的两个“坐标系”（即表象）中的基矢分别为力学量 和 的本征函数系 。 以下按曾谨言导论内容表述，以求简单明了。注意 矩阵定义二者不同！一，平面矢量 在两个直角坐标系中的表示1 ， 系：

F

A Bs

1 2ox x( , )i j ije e ����������������������������

( 1, 2)i j

1 1 2 2A A e A e ������������������������������������������

其中1 1 2 2( , ), ( , )A e A A e A

��������������������������������������������������������

代表矢量 与两个基矢的标积（投影）

2. 系：原系顺时针转 角，基矢 ' '1 2ox x ' '

1 2,e e����������������������������

' '( , )i j ije e ����������������������������

( 1, 2)i j

' ' ' '1 1 2 2A A e A e ������������������������������������������ 其中 ' ' ' '

1 1 2 2( , ), ( , )A e A A e A ���������������������������� ����������������������������

' '1 2,A A 为矢量 在 系中的表示。A

�������������� ' '1 2ox x

1x

2x

'1x

'2x

A

1A

2A

'1A

'2A

3 ，同一个矢量在两个坐标系中的表示有什么关系？

' ' ' '1 1 2 2 1 1 2 2A A e A e A e A e

����������������������������������������������������������������������

对一式分别用 点乘（取标积）得：

' ' '1 1 1 1 2 1 2

' ' '2 1 2 1 2 2 2

( , ) ( , )

( , ) ( , )

A A e e A e e

A A e e A e e

���������������������������� ����������������������������

���������������������������� ����������������������������{ 注意，由 表示 ，用 点乘1 2,A A ' '1 2,A A ' '

1 2, ,e e����������������������������

将（ 2 ）改写成矩阵形式：

' ''1 1 1 2 1 11

' ' '2 22 2 1 2 2

( , ) ( , ) cos sin(3)

sin cos( , ) ( , )

e e e e A AA

A AA e e e e

���������������������������� ����������������������������

���������������������������� ����������������������������

记为'

11'

22

cos sin( ) , ( ) = (4)

sin cos

AAR R

AA

其中

为将 在两个坐标系中的表示 和 联系起来的变换矩阵。实际上变换矩阵 的矩阵元正是两个坐标系的基矢之间的标积描述基矢之间的关系。由于矢量就均可表示成各基矢的迭加，因而 可以变换不同坐标系中的同一矢量 的不同表示。

A'

11'

22

AA

AA

R

R A 'i jA A

4 ，变换矩阵 的性质：R转置 R

† *

† † † 1

1, det 1( 5

( R R R

1

RR RR R

R

RR R R R R

*

正交矩阵） （ ）

又 R 实） 转置共轭

即

满足（ 6 ）式得矩阵为么正矩阵。一个矢量在两个坐标系中的表示由么正变换向联系。

二，量子态的表象变换 1 ，任何一个量子态（可归一化），可以可以看成抽象的希尔伯特空间的一个态矢量，体系的任何一组力学量完全集 的共同本征态 （设为分立谱），可以用来F k

(6)

构成此态空间的一组正交归一完备的基矢（称为 表象）F

( , )k j kj

体系的任何一个状态 用 展开： { }k

, ,k k k kk

a a *k其中 =( )= d (8)

展开系数 就是 态在 表象中的表示，它们分别是 与各基矢标积。1, 2( , )a a F 2 ，设有另外一组力学量完全集 ，共同的本征函数 （基矢）记为 ，

量子态 也用 展开：

'F'

' '( , ) '{ }

' ' , a 其中 ' ' ' *( , ) (10)a d

展开系数 就是同一个量子态 在 表象中的表示。' '1, 2( , )a a 'F

3 ，两组表示 与 有何联系？描写同一 态' '1, 2( , )a a 1, 2( , )a a

' ' (11)

(11)

k kk

a a

'式左乘 ，并取标积（积分）：

' '

'

( , )

( , )

k k k kk

k k

a a s a

s

(12)

(13)式中

是 表象基矢与 表象基矢的标积，类似于一（ 4 ）式中 。（ 12 ）式可写为矩阵形式：

'F F ijR

'1 11 12 1'2 21 22 2

a s s a

a s s a

简记为： 'a sa

(14)

(15)

从 ：已有 求 ，用 去左乘 构成 。

'F F ia'a

* k ks( )

（ 14 ）式就是同一个量子态在 表象中的表示与它在 表象中表示的关系。'F F

变换矩阵 为么阵矩阵：s † † † 1 sss s s I s 即 (16)

在 表象的表示与 表象表示之间为么阵变换。 F'F

4 ，证明 为么阵矩阵s

† † *

'

† ' * ' '* ' 'kj

' '* ' ' * '

( )

13 ( , )

s s = ( ) ( ) ( ) ( )

= ( ) ( ) ( ) ( )

kj k j k j

k k

k j

k j

s s s s s s

s

d r r d r r

d d r r r r

����������������������������

����������������������������

在 表象中：

由定义（ ）式： 有

（ ）

' ' * ' * = d ( - ) ( ) ( ) ( ) ( )k j k j kjd r r r r d r r ����������������������������

F

在 表象中为单位矩阵。而单位矩阵在任何表象中均为单位矩阵。

与表象无关。†s s I三，力学量的变换 1 ，在 表象中（基矢 ），力学量 表示成F k L ( ),kjL L

*( , )kj k j k jL L L d 设有另一表象 （基矢 ），则在 表象中 表示成（ ），'F

' 'F L 'L

' ' '* '( , )L L L d k '

{ }k利用 将 展开： ' 用 展开

' ' ' * *

'

' ' ' * *

( , ) ( , ) (20)

( , )

( , ) ( , ) (21)

k k k k k kk k k

k

j j j j j jj j j

s

s

k其中 s 是变换矩阵元

将（ 20 ） ,(21)带入（ 19 ）式可得：

' ' * * *

' *

( , ) (( ) , ( ))

( , ) (22)

(23)

k k j jkj kj

k k j jkj

L L s L s

L s L s

即

† †( ) k kj jkj

s L s sLs † 1L sLs sLs

其中 为么正矩阵元，而 分别是力学量 在 表

象和 表象的矩阵表示。 是从 表象 表象的么阵变换矩阵。 注意，此处么阵变换与周书 相反：

四，总结与比较

' ( , ) k ks ' '( ) ( )kjL L L L 和 FL

'F ( )ks s F 'F

114P

* *

( , ),

( , )

n n

m m

s

s

量子态

力学量

表象（基矢 ） 表象（基矢 ）

1

2 , ( , )k k

a

a a a

'1

' ' ' '2 , ( , )

a

a a a

F'Fk

'

L

' ,11 12 11 12

' ' ' '21 22 21 22

' ' '

( ) , ( )

( , ) ( , )

kj

kj k j

L L L L

L L L L L L L L

L L L L

'a sa1L sLs

其中11 12

21 22( ) , k

s s

s s s s

'( , ) k ks F 是从 表象 表象的么阵变换矩阵

'F

其逆变换为 † 1s s 。（实际上不需要逆变换，只需重新定义 。）s

五。么阵变换的两个重要性质。 1 ，么阵变换不改变算符的本征值： 证：

' ' 1 '

Fa a

F a sFs sa sFa s a sa a

如果 是对角矩阵，即 表象是 自身的表象，那么 的对角元素就是 自身的表

象，那么 的对角元就是 算符的本征值。于是求算符本征值的问题归结为寻找一个

么正变换把算符 从原来的表象变换到自身表象。使 的矩阵表示对角化。解定态薛

定谔方程就是把坐标表象中的哈密顿量算符对角化，即有 表象变换到能量表象。 2 ，么正变换不改变矩阵的迹

矩阵在求逆运算下可依次轮换次序，迹不变。

'F B F

F

F

' 1

' 1 1( ) ( ) .

F sFs

TrF Tr sFs Tr s sF TrF

'F

'F

F Fx