第二篇 连续系统模拟

4.4 　一阶系统 系统的阶数就是系统状态变量的维数，

或流位的个数。 在社会经济系统中可能出现数十甚至数百阶的情况。

系统动力学研究的是系统的结构与行为特征。复杂系统的结构是由一些基本的结构组合而成的，因此要从了解最典型，最基本的结构开始。

最典型、最基本的结构是一阶系统，它是只含一个流位的系统。

１．一阶正反馈系统 一阶正反馈系统就是只包含一个流位的正反馈

系统。以下详细分析。（１）指数增长 指数增长又称为一阶增长模型。 在连续时间形式下，用微分方程进行描述…… ..

可得到下式：假设当 t>0 时， x(0)= x0, 则此微分方程的解为：

k 称为增长率。它描述了指数增长的快慢。下图描述了不同 k 值下的指数增长曲线。

( 0)dx

kx kdt

/0 0( ) ( 1/ )kt t Tx t x e x e T k

可以看出， x随 t 的增加而趋于无穷大。而如何看待 x 增长的快慢程度呢？

我们知道　 dx/dt≈ x/ t△ △ 。如果忽略近似关系，可有△ x=(dx/dt) t,△又如果△ t 很小，可以取△ t=1 （单位时间）则有 △ x =(dx/dt) t=k△ •x• t=k△ •x 。根据此式，可得到 k= x/x△

k 称为增长率。它描述了指数增长的快慢。特别地，当 t=T 时 x(T)= x0e

T/T =ex0

即 x 为原来的 e 倍。T是 k 的倒数，这是一个重要的时间参数，称为时

间常数。

倍增时间

一阶正反馈系统还有一个重要参数 , 倍增时间(Doubling Time)

状态量的值增长到原先的两倍所经过的时间称为倍增时间。

倍增时间用 Td 表示。根据倍增时间的定义，有 2x0 = x0exp(Td /T) 即 Td /T=Ln2 即 Td = (Ln2)T≈0.7T

看前图

（２）指数增长的系统动力学描述 ①　因果关系图

年增加人口数

POP人口总数

++

②　流图

const

POPRB

③　纯流率—流位关系图

纯流率—流位关系图又称为 L—R 图。图示为一阶正反馈系统的纯流率—流位关系图。

纯流率 纯流率—流位关系图以流位为横坐标，纯

流率为纵坐标来表示两者的关系。此处的纯流率是指与某一流位相连的所有入流率与出流率的代数和。实际上也就是该流位的变化率或导数。

借助于纯流率—流位关系图可以在不求解（解析解或仿真解）方程的情况下来分析、讨论方程的解的一些重要性质，例如，系统有没有平衡点？ 平衡点是否稳定？

借助于纯流率—流位关系图可以分析运动轨线并估计其界限。运动轨线用曲线表示，曲线上箭头表示运动的方向。

这里的纯流率—流位关系图只适用于一阶系统。但是它的某些思考方法可以用到更高阶系统的分析中去

需要注意的是社会经济系统都是正系统，即状态变量恒为非负值。因此这些系统所对应的流率—流位关系图只有第Ⅰ和第 IV 象限。

同时又注意到：当纯流率 >0 时，流位逐渐增大；当纯流率 <0 时，流位逐渐减少。反映在流率—流位关系图中，在第Ⅰ象限中，流位沿轨线向右运动；而在第Ⅱ象限中，流位沿轨线向左运动。这是流率—流位关系图的一个重要性质。

平衡点：平衡点有三种 一阶正反馈系统的流率—流位关系图中原

点是平衡点，但是它不稳定，有一点正干扰将会导致状态远离平衡点至无穷。

(3) 一阶线性正反馈系统的一般情况

系统的微分方程为 dx/dt = kx - b k>0

求得方程的解为 :

x(t)=[x(0)-b/k] ekt＋ b/k

当 b<0 ， 而 x(0)>0 时 , 系 统 行 为 是指数增长（ [x(0)-b/k]>0 ）

当 b=0, 方程为 dx/dt=kx, 前面已经分析过 , 系统行为也是指数增长

当b>0 ，则有： ① x(0)>b/k, 即 [x(0)-b/k]>0 系统行为是指数

增长 ② x(0)=b/k , x(t)=b/k 　系统表现为恒值

③ x(0)<b/k, 即 [x(0)-b/k]<0 系统行为是指数崩溃

 

一阶线性正反馈系统一般情况下的流图、纯流率—流位关系图和系统行为。

２．一阶负反馈系统

一阶负反馈系统就是只含一个流位的负反馈系统。负反馈系统的共同特征是寻找目标。（１）一般情况 一阶负反馈系统的微分方程是 dx/dt＝－ kx +b (k>0) 因为 k>0 ，所以系统运动轨线斜率为负。 方程的解析解为： x(t) = [x(0) - b/k]e-kt + b/k 根据参数 b 的情况，做讨论如下：

① 　 b=0 （指数衰减）

原方程成为 dx/dt＝ - kx (k>0)

方程解为： x(t) = x(0)e-kt

由于 △ x ≈dx/dt t= - kx△ · t△ 当△ t＝ 1 （单位时间）时，有 k= x /x∣△ ∣ 可见 k 为衰减率，它描述了指数衰减的快慢

。即 K 值越大，指数衰减就愈快。 同样，定义 1/k=Ｔ，其中Ｔ为时间常数。

由方程可解出，当 t=T 时， x(t) = x(0)(1/e)

即 x衰减为原来的 1/e （约为 0.37 ）倍，从理论上讲， x衰减至 0 ，要经过无穷长时间。而在实际应用中，近似地认为经过３至５个周期（ 3T ~ 5T ）后 e 已经达到了零值。

当状态 x衰减至原来值的一半所需要时间称为半衰期。半衰期用 Th 表示。根据定义，有 x(0)/2 = x(0)exp(- Th/T),

exp (Th/T) = 2

Th/T = Ln2

  Th = Ln2•T ≈ 0.7T

不同衰减率下的指数衰减曲线 自然界中可观察到不少指数衰减的

例子，例如，天然矿产越开采越少；放射性元素的放射性强度越来越低。放射性物质的衰减和非再生资源的开采等都是负反馈系统。

根据指数函数可判断曲线的走向，图中所示的情况也称为渐近衰减。

一阶负反馈系统的因果关系图、流图和纯流率－流位图 .

② 　 b<0

此时系统的行为模式与 b=0 时的模式相同。不同的是，此时状态 x 趋向一个负值 （ b/k ）。

③ 　 b>0系统的行为根据其初始值的不同，分别有以下不同的

情况：a. x(0)>b/k, 即 [x(0)-b/k]>0 ， 系统表现出渐近衰减

行为。b. x(0)=b/k, 即 [x(0)-b/k]=0 ， 系统表现出恒值行为

。c. x(0)<b/k,即 [x(0)-b/k]<0, 系统表现出渐近增长

行为。 此时原方程的解析解为： x(t)=(b/k)- x(0)-b/k e∣ ∣ -kt

一阶负反馈系统的行为

以上系统的行为的趋势和特点： 对于③的情况， x 的最终值都是正值，且

其值均为 b/k ，与初值无关。这表示了负反馈系统的一个重要性质，即负反馈系统的行为具有寻找目标的特性。

由于社会经济系统为正系统，所以系统动力学特别地对 b>0 情况感兴趣。分析如下：

将原方程 dx/dt = -k x + b 改写为 dx/dt = k ((b / k )- x) ，其中的 b / k 正是系统的稳定平衡点，称为系统目标。

当系统状态 x 小于目标值，即 (b/k)-x>0 ，导致 x增长，趋向于目标。

当系统状态 x 大于目标值，即 (b/k)-x<0 ，导致 x减少，也趋向于目标。

当系统状态 x等于目标值，即 (b/k)-x=0 ，系统状态保持不变。

在此处， k 可理解为比例系数，即目前状 态 与目标 的偏差间 的调整率 ， 一般 0<k<1 。

而 1/k = T ，Ｔ为时间常数（在调整偏差的场合，常称为调整时间）。例如库存系统中的库存调整时间。

一阶负反馈系统因果关系图

在决策过程中，检测出关于状态的信息，并将目前状态与目标进行比较，根据偏差作出如何行动的决策。

在行动过程中，决策产生的行动将改变系统的状态，从而产生关于状态的信息。

一阶负反馈系统的流图

4.5 一阶系统中主导反馈环的转移

１．一阶系统稳定性判据 非线性系统的平衡点也就是是非线性方程的解。非

线性系统的平衡点的分布比线性情况下要复杂，它可以没有、有一个或任意有限个平衡点。

平衡点的性能是对系统最终行为的质的规定。它定性地确定了系统行为的模式。对一阶系统可以不求代数方程而直接利用流率—流位关系图找到平衡点并判别其稳定性。

流率—流位关系曲线（ PR—LEV 关系曲线）与横轴的交点即要找的平衡点。

如何确定平衡点稳定性呢？

判据① 如果 RP—LEV 关系曲线在平衡点处的斜率为负，则该平衡点稳定。

参见相应图示。

判据②　如果 RP—LEV 关系曲线在平衡点处的斜率为正，则该平衡点不稳定。

判据③　如果 RP—LEV 关系曲线在平衡点处的斜率为 0，则该平衡点可能不稳定，也可能稳定。

２．非线性与主导反馈环的转移

实际系统几乎都带有非线性的特征。系统的非线性是导致主导反馈环极性转移的根本原因。

复杂系统内存在相互作用的正的或负的多重反馈环 ,其中起主导作用的反馈环称为主导反馈环。

如果系统行为表现为指数增长（或指数崩溃）特性，则可以推断出系统中必定存在正反馈环，并且此正反馈环起着主导作用。

如果系统的行为表现寻找目标特性，则可以推断系统中必定存在负反馈环，并且此负反馈环起着主导作用。

虽然系统行为是由多重反馈环相互作用共同产生的，但其模式却主要由主导反馈环决定。

主导反馈环也不是固定不变的，它们往往随着系统状态的变化而在反馈环中发生转移，由此产生了多种多样的复杂的系统行为。因此，我们不仅要研究正反馈环或负反馈环的作用，而且要研究主导反馈环转移的作用。

３．主导反馈环由负反馈环向正反馈环转移实例（污染模型）本实例分成线性和非线性两种情况介绍。 (1) 线性污染吸收模型 某地区由于某些工厂排放污染物，假定每年以恒定速率排放。一般认为污染的吸收速率与某一时期环境中的污染量有关。污染量大，吸收速率也增加。模型的流图

模型的流图

变量符号说明：POL—— 污染量 （吨污染物）POLGR——年污染排放量（吨污染物 /年）POLAR——年污染吸收量（吨污染物 /年）PAT——污染吸收时间（年）DYNAMO 方程：L POL.K=POL.J+(DT)(POLGR.JK-POLAR.JK)N POL=0R POLGR.KL=CONSTC CONST=10R POLAR.KL=POL.K/PATC PAT=1

在图中，纯流率为 NPR=POLGR-POLAR 。纯流率—流位关系曲线为一条直线，它与横座标交点为10 （吨）。该平衡点稳定，由此可知污染量 POL将从零值随时间渐近增至 10 （吨）

线性污染吸收模型模拟结果输出曲线图

由图可知，只要污染吸收时间 PAT 是常数，则不管年污染量排放量为何值，年污染吸收量总是能趋近该值的，从而污染量 POL总是要达到一平衡值的。

这是建立在如下假设之上，即大自然对污染的自净能力是无限的。

但实际上，当污染达到一定的程度时，大自然的净化能力会遭到破坏，即污染吸收时间不是常数，而是一个随污染程度变化的变量。因此引出了……

（ 2 ）非线性污染模型

本模型与前者的重要区别是污染吸收时间被处理为变量。即污染吸收时间 PAT 是污染指数POLR 的非线性函数。

POLR 0 10 20 30 40 50 60 70 80--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

PAT .6 2.5 5 8 11.5 15.5 20 31 50

污染吸收时间（ PAT ）的变化

非线性污染模型流图

变量说明： POLS——1970年的污染量（吨污染物） 作为污染程度的衡量基准 POLR——污染指数（无量纲），当前污染量与 POLS 的比值。

模型的 DYNAMO 方程：L POL.K= POL.J + (DT) (POLGR.JK - POLAR.JK)N POL=0R POLGR.KL=CONSTC CONST=10R POLAR.KL = POL.K / PAT.KA POLR.K = POL.K / POLSC POLS = 1A PAT.K = TABLE (PATT, POLR.K, 0, 80, 10)T PATT = .6/2.5/5/8/11.5/15.5/20/31/50 此模型在定常年污染排放量的情况下又会呈现怎样的行为？首先研究污染吸收量（ POLAR ）与污染量（ POL ）的关系。

非线性污染条件下吸收量与污染量的关系

以上关系说明大自然的自净能力不是无限的。所示的曲线上显示了极大年污染吸收量。它会对系统行为产生决定性影响。

为了分析系统行为，考察系统的纯流率—流位关系图。从图中可见， POLGR 的值的大小关系重大。根据 GOLGR与极大年污染吸收量的相对大小，分出两种情况：

（ a）年污染排放量 < 极大年污染吸收量（ 即CONST<MAR ）

从图中看到， NPR-POL 曲线与横坐标有两个交点，即系统有两个平衡点，即 B1和 B2 。

根据稳定性的定义和判据，可以判定左边的平衡点（ B1 ）渐近稳定，右边的平衡点（ B2 ）不稳定。渐近稳定平衡点的吸引区如图中所示。

如果初始污染量 POL（ 0 ）落在吸引区之外，污染量将呈指数增长；而如果初始污染量 POL（ 0 ）落在吸收区里面，污染量最终趋于平衡态水平。 相应的模拟结果见图。同时还要注意以下各种情况的不同：

① 当 0〈 POL(0)<B1 ，系统行为呈渐近增长； ② 当 B1<POL(0)<10 时，系统行为呈渐近衰减； ③ 当 10<POL(0)<20 时，系统行为呈线性衰减； ④ 当 20<POL<B2 时，系统行为呈指数崩溃。 因 B1 的吸收作用，情况② ~④ 一般不会发生，除非以

前遗留下来的 POL（ 0 ）因为高污染排放 （ CONST>MAR ）而呈高水平。

（ b） CONST>MAR 此时 NPR—POL 曲线与横座标无交点，可知系统无平

衡点。整个过程的模拟结果如图所示。箭头表明 POL 的状态走向，可以看到， POL 一直增长无限制。

在曲线的起始段，斜率为负，表明负反馈环起主导作用，相应 POL 状态行为是渐近增长特性；

在曲线的中间段，斜率为 0 ，表明负反馈的力量已被削弱，正负反馈力量相当，两者相持不下，状态 POL 的行为呈线性增长模式；

在曲线的后面段，斜率为正，正反馈力量加强，正反馈环成了主导反馈环，状态 POL 行为呈指数增长特性。

图中未画出的最后段，斜率由正趋于 0 ， 因为 POL 趋向无穷，而 POLAR 趋于 0 。从式子 NPR=POLGR—POLAR 可推出 POLGR=CONST 。表示 POL 行为最终由指数增长过渡到线性增长。

年污染排放量 > 极大年污染吸收量时的模拟结果

从以上的结果和分析可以得出结论，当 POLR>MAR（大自然的极大自净能力）时，系统主导反馈环由负反馈环向正反馈环转移，导致污染量无限制增长。

本例为非线性系统中外生变量引起模型行为模式改变的典型实例。

非线性模型揭示了污染系统中的基本反馈机制，模拟结果符合实际。它对于治理污染政策的制定有重大参考价值。它提醒我们，对于污染，晚治理不如早治理，任何时候都应该及早采取措施严格控制污染排放，防止污染无限制蔓延和积重难返。

４．主导反馈环由正反馈环向负反馈环转移实例 （ S型增长）

以非线性购物模型为例来说明主导反馈环由正反馈环向负反馈环的转移。

假设情况是某地区大宗耐用商品比如家电（空调）的销售情况。同时假设：

①用户不到其他地区购买，且每户只需一件这样的商品。

②该地区总户数恒定。 ③商品更新周期远大于商品普及所需时间。即不

考虑商品的更新换代问题。

商品的最大市场容量是该地区的总户数，设为此数值为M，已购买商品户数为 X ，则 X 可代表该商品的销售量。

实际上，一开始人们对新商品往往不了解，购买的人不会太多，大部分人只是在听到已购买商品人的介绍或见到别人购买后的使用情况才逐渐对商品有所了解，购买者才逐渐增多。从这个角度看，已购买商品的户数越多，越会促成更多的销售。

于是，符合实际的假设是，商品的销售量正比于还没有购买商品的户数和已购买该商品的户数的乘积。

根据以上假设，得出该非线性购物模型为： dx / dt= k x (M-x) 　　　　　　　　 ⑴其中，（ M-x ）表示尚未购买数量，也就是潜在用户。 x 表示已购买数量，此处考虑其产生的广告影响作用。以

上两者同时都对销售量存在影响。但是， ①　在商品销售的初始阶段：x<<m ， 即（ M-x ）非常接近于 M式 ⑴　可近似写成为 dx/dt=(k M) x 这样就成了指数增长方程。其时间常数为 1/(kM) 。这表明系统初期的行为近似于指数增长。

② 在商品销售的后期，市场逐渐趋于饱和，有x≈M 。即两者非常接近。

式 ⑴可近似写成为： dx/dt = (kM) (M-x)

这就成了形如 dx/dt=k (b/k-x) 的渐近增长方程，其时间常数为 1/(kM) 。这表明系统后期的行为近似于渐近增长。

因果关系图

总数户

尚未购买商品户数

每月新增购买数

已购买商品户数

+-

++

+

TBFR PB

BYRBY

对上图中的变量说明如下： BY ——已购商品户数 （户） TB ——总户数 （户） PB ——尚未购买商品户数 （户） FR ——比例系数 （百分数 /(月 *户 )） BYR——购买速率 （户 /月）

系统的 DYNAMO 方程为：L BY.K=BY.J+(DT)(BYR.JK)N BY=10R BYR.KL=FR*BY.K*PB.KC FR=0.002A PB.K=TB-BY.KC TB=100

可以看出，在系统中存在着一正一负两个反馈环，它们分别对对系统的行为发生着影响。对此可以从考察系统的流率—流位关系曲线入手进行分析。

　从图中可以看到非线性购物系统的纯流率—流位关系曲线分成左右两段。

曲线的左半段的斜率为正，表明正反馈环起主导作用。而斜率随状态增加而递减至 0 ，表明正反馈的力量逐渐削弱。系统在此阶段的状态行为近似于指数增长。购买率BYR随着已购商品户数 BY 的增长而达到其最大值。

　　 曲线的右半段的斜率为负，且其绝对值随状态的增加由 0 逐渐递增，表明此时系统中负反馈起主导作用，且其力量在不断加强。系统状态的行为近似于渐进增长。购买率 BYR随着已购商品户数 BY 的增长由最大值逐渐衰减至 0 。

非线性购物系统的模拟结果

　　　根据以上分析可知，系统的总体行为是正负反馈环交互作用的结果。

在初期，系统中正反馈环占主导地位，系统行为表现出指数增长模式。

但是，指数增长不会无限制地持续下去。

实际上，指数增长持续一段时间以后必定会发生变化，而这种变化只会产生两种结果，即要么系统无法控制导致系统崩溃；或者在状态变量达到某一较高水平时，由负反馈环取代它占主导地位。

而本系统中发生的正是后一种情况。我们看到转变以后系统的行为表现出渐进增长的模式，这表明后期系统中的负反馈环占据了主导地位。

　 从整体上看，系统的行为曲线由两个阶段的情况组合而成，其形状类似于英语字母Ｓ，所以称其为Ｓ型增长。

以上 S型增长的流率—流位关系曲线是抛物线

的一部分，事实上以下的流率—流位关系曲线图均可能产生S型增长。

图中各种情况的流率－流位关系曲线有这样一些共同特点：

（ 1 ）流率－流位关系曲线可以分为前后二段，前一段曲线斜率为正，称为正反馈轨线；后一段曲线斜率为负，称为负反馈轨线。

系统运行在正反馈轨线上时，主导反馈环为正反馈环；系统运行在负反馈轨线上时，主导反馈环为负反馈环。

主导反馈环的转移发生在前后两段轨线的交接处。

（ 2 ） 流率－流位关系曲线与横坐标都有两个交点，左边一个交点是系统的不稳定平衡点；右边一个交点是系统的稳定平衡点，这也是 S型增长趋近的目标。

具有以上特点的流率—流位关系曲线图均可能产生S型增长。

“主导反馈环的转移”结束