Виды конструктивных задач:
description
Transcript of Виды конструктивных задач:
![Page 1: Виды конструктивных задач:](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062422/568140ab550346895dac6b08/html5/thumbnails/1.jpg)
Развитие конструктивного мышления Развитие конструктивного мышления учащихся при решении задач на нахождение учащихся при решении задач на нахождение площади, периметра, объема геометрических площади, периметра, объема геометрических
объектовобъектов
Развитие конструктивного мышления Развитие конструктивного мышления учащихся при решении задач на нахождение учащихся при решении задач на нахождение площади, периметра, объема геометрических площади, периметра, объема геометрических
объектовобъектов
![Page 2: Виды конструктивных задач:](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062422/568140ab550346895dac6b08/html5/thumbnails/2.jpg)
Виды конструктивных задач:Виды конструктивных задач:
Решение конструктивных геометрических задач:активизирует познавательную деятельность учащихся;способствует формированию интеллектуальной культуры
школьников;формирует гибкость мышления;развивает способность к обучению на основе теоретических
знаний и применению их в нестандартных ситуациях.
Конструктивные задачи разного уровня сложности включены в задания внешнего независимого оценивания и государственной итоговой аттестации.
перестраиваниеи разрезание фигур (деление фигуры на части)
достраивание фигур
![Page 3: Виды конструктивных задач:](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062422/568140ab550346895dac6b08/html5/thumbnails/3.jpg)
Геометрические свойства фигури их элементов,
применяемые при решении конструктивных задач
![Page 4: Виды конструктивных задач:](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062422/568140ab550346895dac6b08/html5/thumbnails/4.jpg)
Основные свойства площадей
1) Равные фигуры имеют равные площади
2) Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, из которых она состоит
Если F1=F2, то SF1=SF2
F1, F2 - равновеликие фигуры
21 SSSô
![Page 5: Виды конструктивных задач:](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062422/568140ab550346895dac6b08/html5/thumbnails/5.jpg)
Медиана треугольника делит его на две равновеликие части
ADCABDABC SSS AD - медиана
![Page 6: Виды конструктивных задач:](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062422/568140ab550346895dac6b08/html5/thumbnails/6.jpg)
Пусть М – произвольная точка стороны АС треугольника ABC, тогда
MC
AM
S
S
MBC
ABM
![Page 7: Виды конструктивных задач:](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062422/568140ab550346895dac6b08/html5/thumbnails/7.jpg)
Биссектриса угла треугольника делит его площадь на части, которые пропорциональны прилежащим сторонам угла
AC
AB
S
S
ADC
ABD
![Page 8: Виды конструктивных задач:](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062422/568140ab550346895dac6b08/html5/thumbnails/8.jpg)
Площади треугольников с общим основанием относятся как высоты, проведенные к основанию
DM
BK
S
S
ADC
ABC
![Page 9: Виды конструктивных задач:](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062422/568140ab550346895dac6b08/html5/thumbnails/9.jpg)
В треугольнике точка пересечения медиан соединена с вершинами. Площадь каждого из полученных треугольников составляет третью часть площади данного треугольника
ABCAOCBOCAOB SSSS 3
1
![Page 10: Виды конструктивных задач:](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062422/568140ab550346895dac6b08/html5/thumbnails/10.jpg)
Отношение площадей подобных треугольников (фигур) равно квадрату коэффициента подобия
2kS
S
MBNABC
MBN
ABC
![Page 11: Виды конструктивных задач:](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062422/568140ab550346895dac6b08/html5/thumbnails/11.jpg)
Средние линии треугольника разделяют его на четыре равных треугольника (на четыре равновеликих треугольника)
4321 SSSS
![Page 12: Виды конструктивных задач:](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062422/568140ab550346895dac6b08/html5/thumbnails/12.jpg)
Диагонали параллелограмма разбивают его на четыре треугольника с равными площадями
4321 SSSS
![Page 13: Виды конструктивных задач:](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062422/568140ab550346895dac6b08/html5/thumbnails/13.jpg)
BDACPKMNP
Середины сторон любого четырехугольника являются вершинами параллелограмма, периметр которого равен сумме диагоналей четырехугольника
KMNP - параллелограмм
![Page 14: Виды конструктивных задач:](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062422/568140ab550346895dac6b08/html5/thumbnails/14.jpg)
Прямая, пересекающая противолежащие стороны параллелограмма и проходящая через точку пересечения образует пары равных треугольников
4343
2121
;
;
SS
SS
![Page 15: Виды конструктивных задач:](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062422/568140ab550346895dac6b08/html5/thumbnails/15.jpg)
Если параллелограмм и треугольник имеют общее основание и высоту, то площадь параллелограмма в 2 раза больше площади треугольника
AKDABCD
ABCDAKD
SS
SS
22
1
![Page 16: Виды конструктивных задач:](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062422/568140ab550346895dac6b08/html5/thumbnails/16.jpg)
ABCD – параллелограммM, K, N, P – середины сторон параллелограмма АВСDMKNP – параллелограмм
MKNPABCD SS 2
![Page 17: Виды конструктивных задач:](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062422/568140ab550346895dac6b08/html5/thumbnails/17.jpg)
Точка М – середина стороны квадрата ABCD. Площадь заштрихованной части равна 7 см2. Найти площадь всего квадрата.
Решение:Дополнительное построение:АС – диагональ. ∆ABC, АМ – медиана.
ABMABCAMCABM SSSS 2,
ABMABMABCABCD SSSS 4222
).(2874 2ñìSABCD
Ответ: .28 2ñìSABCD
ВНО, 2010
![Page 18: Виды конструктивных задач:](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062422/568140ab550346895dac6b08/html5/thumbnails/18.jpg)
Найти площадь Х
..7 åäêâÕ ..1262
2
åäêâ
SSÕ BDEDBC
12
Задачи на готовых чертежах
![Page 19: Виды конструктивных задач:](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062422/568140ab550346895dac6b08/html5/thumbnails/19.jpg)
Найти отношения площадей S1 : S2
3
1
2
1 S
S
3
4
Дано: ABDC - параллелограмм
1,
,
,
2
121
21
S
SSS
SSSSSS
SSSS
DECBDCAEDABD
DECAEDBDCABD
4
![Page 20: Виды конструктивных задач:](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062422/568140ab550346895dac6b08/html5/thumbnails/20.jpg)
Одна из сторон треугольника равна 20 см, а медианы, проведенные к двум другим сторонам равны 18 см и 24 см. Найти площадь треугольника.
Решение:1)
).(96)1624)(1224)(2024(24
).(242
121620
.))()((
2ñìS
ñìp
COpAOpACppS
AOC
AOC
).(16243
2
3
2
).(12183
2
3
2
.20:
ñìÑKÑO
ñìADAO
ñìACAOC
Ответ:
2) ).(2889633 2ñìSS AOCABC
.288 2ñìS ABC
![Page 21: Виды конструктивных задач:](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062422/568140ab550346895dac6b08/html5/thumbnails/21.jpg)
В равнобедренном треугольнике основание равно 66 см. Биссектриса угла при основании делит боковую сторону на отрезки 5:6, начиная от вершины. Найдите площадь частей треугольника, на которые делит его биссектриса.
Решение:
1) По свойству биссектрисы треугольника
).(55511
.5;566611;6
5
66
11
1165,
cìBCÀÂ
ñìõõõ
õõ
÷àñòåéDCBDBCABCD
BD
AC
ÀÂ
![Page 22: Виды конструктивных задач:](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062422/568140ab550346895dac6b08/html5/thumbnails/22.jpg)
2) Найдем площадь треугольника ABC по формуле Герона
3) По свойству биссектрисы треугольника
).(660132511
14525
11
5;6
5 2ñìSSS
SABCABD
ADC
ABD
).(882
176
2
66255cìp
)6688)(5588)(5588(88S
).(145222233
2222433223333882ñì
3) ).(7926601452 2ñìSSS ABDABCADC
Ответ: .792,660 22 ñìSñìS ADCABD
![Page 23: Виды конструктивных задач:](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062422/568140ab550346895dac6b08/html5/thumbnails/23.jpg)
MK – средняя линия треугольника ABC. Площадь треугольника ABC равна 20 см2. Найдите площадь четырехугольника ABMK.
Решение:1) MK || AB по свойству средней линии треугольника.
.2:
,
kKMAB
BACMKC
).(54:20.4: 22 ñìSkSS MKCMKCBAC
Ответ:
2) ).(15520 2ñìSSS MKCBACABMK
.15 2ñìSABMK
ВНО, 2008
![Page 24: Виды конструктивных задач:](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062422/568140ab550346895dac6b08/html5/thumbnails/24.jpg)
Решение:по двум равным углам.
.4
1: 2
21 kSS
DEABEC
.2
1
DE
BEk
ABCD – трапеция.Найти: S1:S2.
![Page 25: Виды конструктивных задач:](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062422/568140ab550346895dac6b08/html5/thumbnails/25.jpg)
В прямоугольнике ABCD прямые m и n проходят через точку пересечения диагоналей. Площадь фигуры, которая состоит из трех закрашенных треугольников, равна 12 см2.
).(481244,12 22 ñìSSñìS AÎBABCDAÎB
Вычислите площадь прямоугольника ABCD.Решение:
Ответ: .48 2ñìSABCD
ВНО, 2010
![Page 26: Виды конструктивных задач:](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062422/568140ab550346895dac6b08/html5/thumbnails/26.jpg)
На рисунке изображен прямоугольник ABCD и равносторонний треугольник ABK, периметры которых соответственно равны 20 см и 12 см. Найдите периметр пятиугольника AKBCD.
)(4123
1ñìAB
Решение:
Ответ:
∆ABK - равносторонний
).(244212202 ñìABPPP ABKABCDAKBCD
.24ñìPAKBCD
ВНО, 2010
![Page 27: Виды конструктивных задач:](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062422/568140ab550346895dac6b08/html5/thumbnails/27.jpg)
На рисунке изображен квадрат ABCD и треугольник BKC, периметры которых соответственно равны 24 см и 20 см. Найдите периметр пятиугольника ABKCD.
)(6244
1ñìBÑ
Решение:
Ответ:
, ABСD – квадрат
).(326220242 ñìBÑPPP BKÑABCDABKCD
.32ñìPABKCD
ВНО, 2010
![Page 28: Виды конструктивных задач:](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062422/568140ab550346895dac6b08/html5/thumbnails/28.jpg)
В четырехугольнике диагонали равны 8 см и 5 см. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.
Решение:
Ответ:
ABСD – параллелограмм
).(1358 ñìPABCD
.13ñìPABCD
ВНО, 2009
![Page 29: Виды конструктивных задач:](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062422/568140ab550346895dac6b08/html5/thumbnails/29.jpg)
Точка K лежит на стороне DC параллелограмма ABCD. Известно, что угол AKB прямой, АК = 8 см, KB = 5 см. Найдите площадь параллелограмма.
Решение:
Ответ: .40 2ñìSABCD
).(402022
).(20582
1
2
1
2
2
ñìSS
ñìKBAKS
AKBABÑÂ
AKB
ВНО, 2008
![Page 30: Виды конструктивных задач:](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062422/568140ab550346895dac6b08/html5/thumbnails/30.jpg)
Дано: ABCD – трапецияНайти: S1:S2.Решение:как площади треугольников с общим основанием AD и высотой h.
ACDABD SS
.1:
,,
21
21
2
1
SS
üíîñëåäîâàòåëSS
SSS
SSS
AEDACD
AEDABD
![Page 31: Виды конструктивных задач:](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062422/568140ab550346895dac6b08/html5/thumbnails/31.jpg)
Найти: S1:S2.Решение: дополнительные построения KN, NP – средние линии треугольника, следовательно: S1:S2=1:3.
![Page 32: Виды конструктивных задач:](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062422/568140ab550346895dac6b08/html5/thumbnails/32.jpg)
№256 Геометрия, 10 класс, Бевз Г.П, и др, профильный уровень
В треугольнике ABC через точку М – середину стороны АВ – проведена плоскость α, α||BC, α AC = N. Найдите: а) ВС, если MN=a; б) SBMNC:SMAN.
;22,2
1
,,)2
;||
,),(,)()1
aMNBCBCMN
ëèíèÿñðåäíÿÿMNABC
MNBC
BCABCBCMNABC
.1:3:)3 MANBMNC SS
![Page 33: Виды конструктивных задач:](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062422/568140ab550346895dac6b08/html5/thumbnails/33.jpg)
Из цилиндра выточен конус так, что его основание совпадает с одним из оснований цилиндра, а вершина с центром другого основания цилиндра. Найдите отношение объема сточенной части цилиндра к объему конуса.
öèëèíäðàêîíóñà VV 3
1
Решение:
1:23
1:
3
2:
.3
2
.
öèëöèëêîí
öèëêîíöèë
VVVV
VVVV
öèëèíäðà÷àñòèñòî÷åííîéîáúåìV
ВНО, 2010
![Page 34: Виды конструктивных задач:](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062422/568140ab550346895dac6b08/html5/thumbnails/34.jpg)
Объем куба ABCDA1B1C1D1 равен 216 см3. Найдите объем пирамиды D1ACD.
;6
;2
;3
1
111
1111
ACDDêóáà
DCACDAêóáà
ACDDDCACDA
VV
VV
VV
Решение:
).(362166
1;
6
1 3
11ñìVVV ACDDêóáàACDD
Ответ: .36 3
1ñìV ACDD
ВНО, 2010
![Page 35: Виды конструктивных задач:](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062422/568140ab550346895dac6b08/html5/thumbnails/35.jpg)
В сосуд цилиндрической формы, наполненный водой доверху, положили металлический шар, который касается дна и стенок. Определите отношение объема воды, которая осталась в сосуде, к объему воды, которая вылилась.
.1 øàðàöèë VVV
Решение:V1 – объем воды, которая осталась;V2 – объем вылившейся воды.
.2
1
4
2
3432
;3
2
3
42
3
3
2
13321
R
R
V
VRRRRV
32 3
4RVV øàðà
ВНО, 2008
![Page 36: Виды конструктивных задач:](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022062422/568140ab550346895dac6b08/html5/thumbnails/36.jpg)
В правильной четырехугольной призме через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, пересекающая три боковых ребра и наклоненная к плоскости основания под углом α. Сторона основания равна a. Найдите площадь полученного сечения.
Решение: ортогональной проекцией сечения KMNPL на плоскость основания является пятиугольник ABCMK.
.cos8
7
cos
.8
7
8
1
2
222
aS
S
aaaSSS
ABCMKñå÷
KDMABCDABCMK
№16. П. 19 Многогранники. Геометрия, Погорелов А.В.