Понятие объема.Понятие объема.Объем призмы.Объем призмы.

Геометрия, Геометрия, 11 класс11 класс

Воробьев Леонид Альбертович, Воробьев Леонид Альбертович, г.Минскг.Минск

Любое геометрическое тело в пространстве характеризуется величиной, называемой ОБЪЕМОМ. Так что же такое – объем пространственной фигуры?

Под объемом пространственной фигуры понимается положительная величина, обладающая следующими свойствами:

1) равные фигуры имеют равные объемы;

2) объем фигуры равен сумме объемов ее частей;

3) объем куба с ребром единичной длины равен одной кубической единице.

V1=V2 V=V1+V2+V3

1 ед.отр.

1 ед.отр.

1 ед.отр.

V=1 куб.ед.

a

b

c=Habc

1

abc

1

abc

1

abc

3 3 3

1ĺ ä.ęóáŕV

a b c

a,b,c R

2a a bcabc

2b ab cabc

2c abcabc

2 2 23 3 3 î ńí .V a bc ab c abc abc S Ha b c

Самым естественным образом определяется объем прямоугольного параллелепипеда, как геометрического тела составленного из определенного количества единичных кубов. А значит, его объем определяется как сумма объемов этих единичных кубов.

a

b

c=H

Эту же формулу объема прямоугольного параллелепипеда можно получить пользуясь понятием бесконечной интегральной суммы. Объем прямоугольного параллелепипеда можно понимать как бесконечную сумму площадей основания, взятых вдоль его высоты.

x

0

x

x[ 0; H ]

00 0

H H H

î ńí . î ńí . î ńí . î ńí .V S dx S dx S x S H

A

B

A1 C1

E1

D E

M

M1

Рассмотрим произвольную треугольную прямую призму ABCA1B1C1.

1) Разобьем призму на две прямые треугольные призмы ABMA1B1M1 и BCMB1C1M1 плоскостью, проходящей через высоту основания B1M1 и боковое ребро BB1.

2) Достроим данную призму до прямоугольного параллелепипеда ADECA1D1C1E1.

C

3) Получили ещё две прямые треугольные призмы ADBA1D1B1 и BECB1E1C1.

D1 B1

1 1 1 1 1 1 1

1 1

2 2ABCA B C AFBCA F B C AFBC ABC î ńí .V V S H S H S H

A

B

C

A1

B1

C1

D1 E1

D E

M

M1

Нетрудно заметить, что объем треугольной призмы в два раза меньше объема прямоугольного параллелепипеда, т.е.

HAFB BCAS S

1

2ABC AFBCS S

B1

B

M1

M

AFB BCA Объясните

самостоятельно:F1

F

Пусть дана наклонная треугольная призма. Построим сечение, перпендикулярное боковому ребру (BKC).

A

B

C

K

A1

B1

C1

β

F

Примем KAF= за угол наклона бокового ребра к основанию призмы, а KFA=β – за угол между плоскостями основания и сечения. Очевидно, что +β=900.

Сечение (KBC) разбивает призму на две пространственные фигуры – треугольную пирамиду KABC и многогранник KBCA1B1C1. По свойству объема фигуры объем призмы равен сумме объемов этих частей.

Вспомним, что:

Hm ńĺ ÷.

î ńí .

Scos sin

S

Hsin cos

m

β

Перемещая соответствующим образом одну из частей можно получить прямую треугольную призму, равную по объему данной наклонной призме.

B

C

K

A1

B1

C1

A

K1

m

Тогда:1 1 1 1 1 1ABCA B C KBCK B C KBCV =V =S =S ńĺ ÷.m m , где Sсеч. – площадь

сечения, перпендикулярного

боковому ребру и m –длина бокового ребра.

1 1 1ABCA B C ńĺ ÷. ńĺ ÷.

ńĺ ÷.î ńí .

HV S m S

sinS

H S Hcos

С учетом вспомненных соотношений, получим:

B

C

K

B1

C1

K1

m

A

B

C

B1

H

A1 C1

Если применить метод бесконечных интегральных сумм, то получится:

00 0

H H H

î ńí . î ńí . î ńí . î ńí .V S dx S dx S x S H x

xx[ 0; H ]

0

H

Рассмотрим произвольную n-угольную призму A1A2…An B1B2…Bn. Разобьем её на

(n–2) треугольные призмы, полученные при проведении диагональных сечений из вершины A1. По свойству объема:

A1

A2

An

B1

B2

Bn

1 2 1 2 1 2 3 1 3 4 1 1

1 2 3 1 3 4 1 1

... n ... n n n

n n

A A A B B B A A A A A A A A A

A A A A A A A A A î ńí .

V S H S H ... S H

H S S ... S S H

ńĺ ÷.V S m

Итак, для любой n-угольной призмы:

î ńí .V S H ИЛИ

,где Sосн. – площадь основания призмы, Sсеч. – площадь перпендикулярного

сечения, H – высота призмы, m – длина бокового ребра призмы.