注意离散型随机变量函数的概率分布分以下两步来求 :

(1) 由 y=g(x) 计算出随机变量 Y 的所有取值 y1,y2,...,yn,...;

(2)P(Y=yn) 为 yn 对应的随机变量 X 的取值的概率和 .

X x1 x2 ... xn ...

g(X) g(x1) g(x2) … g(xn) …

P p1 p2 ... pn ...

离散型随机变量函数的概率分布 :

2.3. 随机变量函数的分布

定理 1 设 X~fX(x),y=g(x) 是 x 的单调可导函数 , 其导数不为 0, 值域为 (a,b),-∞<a<b<+∞, 记 x=h(y) 为 y=g(x) 的反函数 , 则 Y=g(X) 的概率密度函数为 :

其它0

bya|)y(h|)]y(h[f)y(f X

Y

连续型随机变量函数的概率密度函数

第第 33 章 随机向量章 随机向量 第第 33 章 随机向量章 随机向量

•随机向量及其概率分布

•随机向量的联合分布函数

•随机变量函数的分布

1. n 维随机向量 以 n 个随机变量 X1 ， X2 ，…， Xn 为分量的向量 X=(X1,X2,…,Xn) 称为 n 维随机向量。以下主要研究二维离散型及连续型随机向量的情形。

2. 二维离散型随机向量的联合概率分布、边缘概率分布

定义 如果二维随机向量（ X,Y ）的全部取值数对为有限个或至多可列个，则称随机向量（ X,Y ）为离散型的。易见，二维随机向量 (X,Y) 为离散型的等价于它的每个分量 X 与 Y 分别都是一维离散型的。

第 3.1 节 随机向量及其概率分布 例如射击一次 . 问击中否 ? 击中几环 ? 击中点的坐标 ?击中点到靶心的距离 ?

称 pij=P(X=xi,Y=yj),(i,j=1,2,…,) 为 (X,Y) 的联合概率分布 .其中 E={(xi,yj),i,j=1,2,...} 为 (X,Y) 的取值集合 , 表格形式如下 :

XXx1

x2

…x i

…

y1 y2 … y j …

p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … … … … … … pi1 pi2 … p i j … … … … … …

Y

计算 P{(X,Y)∈D }= Dyx

ij

ji

p)( ,

联合概率分布性质 ① pij≥0 ;i,j=1,2,… ②∑∑pij = 1;

联合概率分布

(1) 定义 随机向量 X= （ X1,X2,…,Xn ）中每一个 Xi 的分布，称为 X 关于 Xi 的边缘分布。(2) 边缘分布列对于离散型随机向量 (X,Y), 分量 X,Y 的分布列称为边缘分布列。若 (X,Y) 的联合概率分布为 pij=P{X=xi,Y=yj),i,j=1,2,...,则 ( ) {( ) [ ( )]}i i j

j

P X x P X x Y y {( ) ( )}i j

j

P X x Y y ( , )i jj

P X x Y y j

ijp

(i=1,2,...)

同理 ( )j iji

P Y y p 一般地 , 记 :P(X=xi) Pi .

P(Y=yj) P. j

(j=1,2,...)

概率分布表如下 :

边缘概率分布

XY

. jyyy 21

ix

x

x

2

1

ij2i1i

j22221

j11211

ppp

ppp

ppp

iP

.

.2

.1

ip

p

p

. jP j.2.1. ppp

独立性 若 (X,Y) 的联合概率分布满足

P{X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj )

称 X 与 Y 独立。例 1 某盒子中有形状相同的 2 个白球， 3 个黑球。从中一个个取球，令

。YY)3(

;)2(

；）Y，Y（)(1(:

2,1ii0

i1Y

21

21

i

的独立性与讨论边缘概率分布

的联合概率分布求

分放回或不放回情形

次取黑球第次取白球第

Y

0

1

Y1 0 1

3/10 3/10

3/10 1/10

Y1 0 1

P 3/5 2/5

Y 0 1

P 3/5 2/5

Y1 0 1

P 3/5 2/5

Y 0 1

P 3/5 2/5

Y

0

1

Y1 0 1

9/25 6/25

6/25 4/25

不放回 放回

P{X=xi,Y=yj) ≠P(X=xi)P(Y=yj )

不独立独立

P{X=xi,Y=yj)=P(X=xi)P(Y=yj )

例 2 二维随机向量 (X,Y) 的联合概率分布为 :

X

-1

0

1

Y 0 1 2

0.05 0.1 0.1

0.1 0.2 0.1

a 0.2 0.05

求 :(1) 常数 a 的取值 ;

(2)P(X≥0,Y≤1);

(3) P(X≤1,Y≤1)

解 (1) 由∑ pij=1 得 : a=0.1

(2) 由 P{(X,Y)∈D}=Dyx

ij

ji

p)( ,

得 P(X≥0,Y≤1)= P(X=0,Y=0)+

P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.2+0.1+0.2=0.6

(3)P(X≤1,Y≤1) =P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0)

+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) =0.75

XX

YY

二维随机向量区域概率图二维随机向量区域概率图 ::

-1 0 1

2

1

P{X≥0,Y≤1}P(X≤1,Y≤1}

例 3 设 (X,Y) 的联合概率分布为 :

X

-1

0

1

Y 0 1 2

0.05 0.1 0.1

0.1 0.2 0.1

0.1 0.2 0.05

求 :(1)X,Y 的边缘分布 ; (2)X+Y 的概率分布 .解 (1) 由分析得 :X -1 0 1

P 0.25 0.4 0.35

Y 0 1 2

P 0.25 0.5 0.25(2)X+Y 的取值为 -1,0,1,2,3,P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05P(X+Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=-1,Y=1)=0.2P(X+Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0) +P(X=-1,Y=2)=0.4同理 ,P(X+Y=2)=0.3,

X+Y -1 0 1 2 3

P 0.05 0.2 0.4 0.3 0.05

P(X+Y=3)=0.05

所以

例 4 设随机变量 X 和 Y 相互独立 , 试将下表补充完整 .

X

x1

x2

Y y1 y2 y3

1/8

1/8

ip

jp 1/6 1

1/24 1/41/12

1/2 1/3

3/43/8 1/4

定义

F(x,y )=P{X≤x,Y≤y} (x,y) R∈ 2

第 3.2 节 随机向量的联合分布函数

二维随机向量 (X,Y) 的联合分布函数为

XX

YY

x

y

X≤x Y≤y{ , }

二维联合分布函数区域演示图二维联合分布函数区域演示图 ::

(x,y)

;1),(0)1( yxF

;0),(),(),(,1),()2( xFyFFF

),(),(),(),(

),()3(

11211222

2121

yxFyxFyxFyxF

yYyxXxP

xx yy

ij

i j

p则 F(x,y)=P{X≤x ， Y≤y}=

(4) 如果 (X,Y) 为离散型随机向量 , 其联合概率分布为

ijji pyYxXP ),( ),2,1,,2,1( ji 　

联合分布函数性质

XX

YY

x1

y1 (x1,y1)

x2

y2 (x2,y2)(x1,y2)

(x2,y1)

),(),(),(),(

),()3(

11211222

2121

yxFyxFyxFyxF

yYyxXxP

性质 (1) f(x,y)≥0 ， (x,y)∈R2

D

y)dxdyf(x,D}Y)P{(X,计算

1dxdy)y,x(f

其中 D 为任意可度量区域 .

y}Yx,P{Xy)F(x,

x ydtds)t,s(f

3. 连续型随机向量的联合概率密度

特别

在 f(x,y) 的连续点有 ),(

),(2

yxfyx

yxF

例 5 设 (X,Y) ～

其它,0

0y,0x,Ae)y,x(f

)y3x2(

试求 :(1) 常数 A ;(2)P{ X<2, Y<1};

(4) P （ X≤x,Y≤y ） .解 (1)

0 0

)y3x2( dxdyAe 0 0

y3x2 dxdyeAe

b

a

d

c

b

a

d

cdy)y(gdx)x(fdy)y(g)x(fdx 得据

所以 , A=6

0 0

y3x2 dyedxeA0)e

3

1(

0)e

2

1(A y3x2

=A/6 =1

(3)P{(X,Y) D},∈ 其中 D 为 2x+3y≤6.

XX

YY

0

所以 ,P{ X<2,Y<1}=

2

1

D

y)dxdyf(x,D}Y)P{(X,(2)

1}Y2,{X

y)dxdyf(x,

{X<2, Y<1} 2

0

1

0

)y3x2( dye6dx

2

0

1

0

y3x2 dyedxe6

2 32 11 16( ) ( )

2 0 3 0x ye e 4 3(1 )(1 )e e

(3)P{(X,Y) D},∈ 其中 D 为 2x+3y≤6.

3

2 2x+3y=6

D

y)dxdyf(x,D}Y)P{(X,

63y2x

y)dxdyf(x,

XX

YY

0

3

0

)x26(3

1

0

)y3x2( dye6dx

3 2 3

0

1(6 2 )1

6 ( ) 33

0

x y xe e dx

3 2 6

02 ( )xe e dx 6e71

(4)

x XX

YY

0

y

所以 , 当 x≥0,y≥0 时 ,

y}Yx,P{Xy)F(x,

x ydtdstsf ),(

x y ts dtdse0 0

)32(6

x

0

y

0

t3s2 dtedse60

y)e

3

1(

0

x)e

2

1(6 t3s2 )e1)(e1( y3x2

即 :

其它0

0,0)1)(1(),(

32 yxeeyYxXP

yx

例 6 设 (X,Y)~

其它0

1y0,1x0xy4)y,x(f

求 (X,Y) 的联合分布函数 .

1

1解 (1)x<0, 或 y<0 时 ,F(x,y)=0

(2)x≥1,y≥1 时 ,F(x,y)=1

(3)0≤x≤1,0≤y≤1 时 ,

F(x,y)= yxstdtds

004

22 yx

(4)0≤x≤1,y>1 时 ,F(x,y)= 1

004stdtds

x 2x

(5)x>1,0≤y≤1 时 ,F(x,y)= ystdtds

0

1

04 2y

x

y

X

Y

4xy

综合即得 :

1,11

10,1

1,10

10,10

000

),(2

2

22

yx

yxy

yxx

yxyx

yx

yxF

或