Системы счисления

Позиционные и непозиционные системы

счисления.

Цель занятия

Изучить понятия позиционной и непозиционной систем счисления.

Научиться записи чисел в позиционных системах счисления.

Научиться переводить числа из одной системы счисления в другую.

Система счисления – это способ представления чисел и соответствующие ему правила действий над числами.

Символы для представления числовой информации называются цифрами.

Системы счисления

Непозиционные системы

Позиционные системы

От положения знака в изображении числа не зависит величина, которую он обозначает.

Например: VIII, XXI

Величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции.

Например: 138, 335

характеристика

В позиционных системах счисления значение каждой цифры в изображении числа зависит от ее положения (позиции) в ряду других цифр, изображающих число, а в непозиционных системах счисления каждый знак (цифра), употребляемый для записи чисел, всегда означает одно и то же число.

Примеры непозиционных систем счисления: унарная, древнеегипетская, римская, славянская система нумерации.Примеры позиционных систем счисления: десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная, шестидесятеричная.

НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Унарная (единичная)

Древнеегипетская десятичная

Римская

Алфавитные системы счисления: Греческая, славянская, финикийская и др.

Древнеегипетская десятичная

чтобы изобразить 3252 рисовали три цветка лотоса (три тысячи), два свернутых пальмовых листа (две сотни), пять дуг (пять десятков) и два шеста (две единицы). Величина числа не зависела от того, в каком порядке располагались составляющие его знаки: их можно было записывать сверху вниз, справа налево, вперемежку.

Римская система счисления

_______________

Си

мвол I V X L C D M

Значение в д.с.с.

1 5 10 50 100 500 1000

Пон

ятие

Один палец

Раскрытая ладонь

Две слож

енные

ладони

Полусотня

Centum

сто

Dem

imille

Половина ты

сячи

Mille

тысяча

Чтобы записать число, римляне разлагали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусетен, десятков, пятков, единиц.

Для записи промежуточных чисел римляне использовали не только сложение, но и вычитание. При этом применялось следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него. Т.е. запомните: числа складываются при переходе от «большей» буквы к «меньшей», например: VI= 5+1=6 (V>I); числа вычитаются при переходе от «меньшей» буквы к «большей»: IX=10-1=9 (I<X).

Алфавитная система счислениячисла от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита.

В алфавитной системе счисления Древней Греции числа 1,2,…..,9 обозначались первыми девятью буквами греческого алфавита, для обозначения чисел 10,20,…..,90 применялись следующие 9 букв; для обозначения чисел 100, 200, ….., 900 – последние 9 букв

В России славянская нумерация сохранилась до конца 17 века. При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация, которой мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранилась только в богослужебных книгах.

В Славянской системе нумерации роль цифр также играли буквы алфавита, над которыми ставился знак - титло

число 324 в славянской системе записывалось в виде

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:

существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел;невозможно представлять дробные и отрицательные числа;сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения – это основной недостаток.

Позиционные системы счисления:

Десятичная

Двоичная

Восьмеричная

Шестнадцатеричная

шестидесятеричная

Пример десятичной системы счисления

Представим число 156 в виде суммы разрядных слагаемых:

156 = 1 * 10 + 5 * 10 + 6 * 10

Обозначим номер позиции каждой цифры данного числа, начиная с 0-й, справа налево:2 1 0156 = 1 * 10 + 5 * 10 + 6 * 10 Заметим, что в данном разложении номер позиции каждой цифры совпадает с показателем степени, в которую возведено число 10.

Число 10 является основанием десятичной системы счисления (для изображения чисел в ней используется десять цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9)

Основанием позиционной системы счисления называется возводимое в степень целое число, которое равно количеству цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.

Название системы Основание Цифры, используемые в данной системе

Двоичная 2 0,1

Восьмеричная 8 0,1,2,3,4,5,6,7

Десятичная 10 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Шестнадцатеричная

16 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E,F

Достоинства позиционной системы счисления

простота выполнения арифметических операций

ограниченное количество символов (цифр), необходимых для записи любых чисел.

Двоичная система счисления

В компьютерах используется двоичная система счисления, т.к. она имеет ряд преимуществ перед другими системами:для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток – нет тока, намагничен – не намагничен и т.п.);представление информации посредством только двух состояний надёжно и помехоустойчиво;возможно применение аппарата булевой алгебры (логика) для выполнения логических преобразований информации;двоичная арифметика намного проще десятичной.

0 1

Недостаток двоичной системы – быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.Двоичная система счисления, является минимальной системой, в которой реализуется принцип позиционности в цифровой форме записи числа. В двоичной системе счисления значение каждой цифры по месту при переходе от любого данного разряда к следующему старшему увеличивается вдвое.

Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления

В компьютерах используется также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Числа в этих системах читаются легко, как и десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 соответственно третья и четвёртая степени числа два).