Введение в математический анализ
description
Transcript of Введение в математический анализ
![Page 1: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/1.jpg)
Введение в математический
анализ
![Page 2: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/2.jpg)
§1 Необходимые определения
О.: Функцией называется правило, по которому каждому элементу X
![Page 3: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/3.jpg)
Некоторого множества K соответствует единственный элемент Y другого множества L.
![Page 4: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/4.jpg)
Х – аргумент функции;
У – соответствующее значение функции.
Обозначается: у = f(х), у = у(х)
![Page 5: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/5.jpg)
О.: Графиком функции y=f(x) называется множество точек плоскости XOY для каждой из которых абсцисса X
![Page 6: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/6.jpg)
является значением аргумента, а ордината Y – соответствующим значениям данной функции.
![Page 7: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/7.jpg)
О.: Множество значений аргумента, при котором функция имеет смысл называется областью определения функции. И обозначается Д(у), Д(f)
![Page 8: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/8.jpg)
О.: Множество значений «у», которые получаются по правилу у = f(х) называется областью значений функций. И обозначается: Е(у), Е(f).
![Page 9: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/9.jpg)
Способы задания функции:1)аналитический (формулы) 2)табличный 3) Графический
![Page 10: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/10.jpg)
О.: К основным элементарным функциям относятся следующие:
• У = const; • у = хα , α – действительное число, α ≠ 0;• у = ах, где а>0, а≠1;
• у = log a x, где а>0, а=1;
• у = sin x; y = cos x; y = tg x; y = ctg x;
![Page 11: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/11.jpg)
• y = arcsin x; y = arccos x; y = arctg x; y = arcctg x.
![Page 12: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/12.jpg)
О.: Рассмотрим 2 ф-и y = f(x), u = φ(x).
Область значений функции u = φ(x) является областью определения функции f, тогда функция y = f(φ/x) называется сложной ф-ей или функцией от функции
![Page 13: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/13.jpg)
О.: Элементарной называется ф-я состоящая из основных элементарных ф-ий с помощью арифметических действий и операций, взятия ф-и от ф-и применимых последовательно конечное число раз.
![Page 14: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/14.jpg)
y = tg (sin3 (x2+5)+tg ln x
y = tg3x – 3sin x - Элементарные функции.
- Неэлементарная ф-я, т.к. складываем бесконечное число элементарных ф-й.
![Page 15: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/15.jpg)
О.: Окрестностью точки x0 на
числовой прямой называется любой интервал (a;b), содержащий эту точку.
О.: Если δ(∆) > 0, то δ – окрестностью точки х0 называется промежуток (х0-δ; х0+δ)
![Page 16: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/16.jpg)
О.: Внешность любого интервала (a,b)называется окрестностью бесконечности.
О.: Множество X называется ограничением сверху, если существует такое число М, что для всех xX, x≤M.
![Page 17: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/17.jpg)
О.: Множество х называется ограниченным снизу, если существует число m такое, что для всех хϵХ, х≥m.
О.: Множество х называется ограниченным, если существуют числа m, M такие, что для всех хϵХ, m≤ х ≤M.
![Page 18: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/18.jpg)
§2 Предел последовательности
![Page 19: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/19.jpg)
О.: Последовательностью х1,х2,х3,…,хn чисел называются значения функции натурального аргумента, т.е. nϵN, xn=f(n)
2;4;8;...;2n;...
xn=2n, n=1;2;...
![Page 20: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/20.jpg)
О.: Число а называется пределом последовательности xn, если для любого Ɛ˃0 существует номер N=N(Ɛ), т.е. зависящий от Ɛ такой, что n больше N и выполняется неравенство |xn - a| меньше˂Ɛ.
![Page 21: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/21.jpg)
число а - предел последовательности , если за пределами промежутка (-Ɛ+а; Ɛ+а) находится конечное число членов последовательности, а внутри промежутка бесконечное число членов последовательности и это выполняется для любого Ɛ.
![Page 22: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/22.jpg)
Докажем, что пределом последовательности 1- 1/10n , n→ , является число 1.
Док-во.
Если 1 предел послед-ти, то для любого Ɛ˃0 найдется номер N=N(Ɛ) такой, что для всех n˃N верно |1-1/10n-1|˂Ɛ.
![Page 23: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/23.jpg)
Должны показать, что для любого Ɛ найдется номер N:
- если N есть, то |1-1/10n-1|˂Ɛ верно.
|-1/10n|˂Ɛ
1/10n ˂Ɛ
10n ˃1/Ɛ
lg 10n ˃1/Ɛ
n lg 10˃lg 1 - lg Ɛ
n˃-lg Ɛ˃0
![Page 24: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/24.jpg)
если N=[-lg Ɛ]+1, то определение предела последовательности выполняется, а именно:
для любого Ɛ˃0 существует номер
N =[-lg Ɛ]+1 такой, что для всех n˃N верно, что |xn-a|˂Ɛ˂|(1-1/10n )/xn - 1/a|˂Ɛ
А это и обозначает, что предел послед-ти 1-1/10n есть число 1.
![Page 25: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/25.jpg)
§3 Предел функцииО.: Число "в" называется
пределом функции y=f(x), при х→х0, если Ɛ˃0 найдется такое ρ=ρ(Ɛ), ρ больше˃0, что для всех х принадлежащих ρ(∆)-окрестности х0,
![Page 26: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/26.jpg)
соответствующие значения функции принадлежат Ɛ-окрестности точки "в", т.е. если для всех х таких, что |х-хо|˂∆ соответствующие f(x) удовлетворяют неравенство |f(x)-в|˂Ɛ.
Обозначение:
для послед-ти:
для ф-и:
![Page 27: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/27.jpg)
Замечание!
Число "в" является пределом ф-и f(x) при х→х0, если, чем ближе точки х к точке хо, тем ближе соответствующие значения ф-и к точке "в".
![Page 28: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/28.jpg)
Лемма:
О.: Функция y=f(x) имеющая предел при х→х0 является ограниченной, в некоторой окрестности точки х0. Ǝ-существует, uх0 – окрестность точки х0. uх0 такая, что все хϵuх0 выполняется неравенство m≤ f(x) ≤М, где m, M некоторые конечные числа.
![Page 29: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/29.jpg)
ОБРАТНАЯ НЕВЕРНА:
Например,
y=sin x является ограниченной для всех xϵD(sin x), но при этом х→ , - не существует.
![Page 30: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/30.jpg)
§4 Односторонние пределыО.: (х0-∆;х0) называется левосторонней
окрестностью точки х0. Интервал (х0; х0+∆) называется правосторонней окрестностью точки х0.
О.: Предел lim φ(x), при х→х0(-), называется левосторонним пределом функции у = φ(x), хϵ(х0-∆;х0), т.е. х→х0(-) слева.
![Page 31: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/31.jpg)
О.: Предел lim f(x), при х→х0(+), называется правосторонним пределом функции y=f(x), xϵ(x0;x0+∆), т.е. стремятся к х0 справа.
Теорема.
Для того чтобы существовал (конечный) предел необходимо и достаточно, чтобы существовали односторонние пределы и эти пределы были равны
![Page 32: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/32.jpg)
![Page 33: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/33.jpg)
§5 Бесконечно малые и бесконечно большие функцииО.: Ф-я y=f(x) называется бесконечно
малой, если
Б.м. обозначается α(х), β(х), γ(х).
О.: Ф-я y=f(x) называется бесконечно большой при х→х0, если .
Б.б. обозначается f(x), t(x), g(x).
![Page 34: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/34.jpg)
Пример:
y=1/x;
, б.б. x→0+;
, б.м. х→0-;
,у=1/х, б.м. х→+
, у=1/х, б.м. х→-
![Page 35: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/35.jpg)
Теорема о связи б.м. и б.б. функций.
1 теорема: Если ф-я y=f(x) является б.б. при х→х0, то обратная ей ф-я у=1/f(x) является б.м. при х→х0.
2 теорема: Если ф-я y=f(x) является б.м. при х→х0, то обратная ей ф-я у=1/α(х) является б.б. при х→х0.
![Page 36: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/36.jpg)
§6 Свойства бесконечно малых
Все бесконечно малые рассматриваются при х→х0:
1)Сумма конечного числа б.м. функций является б.м. функцией;
2) Произведение б.м. функции на const является б.м. функцией;
3) Произведение б.м. функций является б.м. функцией;
![Page 37: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/37.jpg)
4) Отношение α(х) к f(x) является б.м., если α(х) – б.м., f(x) – не является б.м.
5) Произведение б.м. функции на ограниченную функцию является б.м. функцией.
Замечание!
Отношение 2-х б.м. функций может быть как б.м., так и const, а также и б.б.
В этом случае говорят, что имеет место неопределенность вида [0/0].
![Page 38: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/38.jpg)
§7 Свойства б.б. функций
1)Const ˣ б.б. функцию является б.б. функцией, const ≠ 0;
2) Сумма б.б. функций одного знака является б.б. функцией;
3) Произведение б.б. функций является б.б. функцией.
![Page 39: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/39.jpg)
Замечание!:
1.Говорят, что отношение 2-х б.б. величин дает неопределенность вида [∞/∞].
2. При произведение б.м. × б.б. функции имеет место неопределенность вида [0×∞].
3. Разность б.б. функций одного знака дает неопределенность вида [∞ - ∞].
4. Другого вида неопределенности:
[00], [0∞], [∞0], [1∞].
![Page 40: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/40.jpg)
§8 Свойства пределов Все пределы вычисляются при х→х0,
существуют и конечные:
1)Предел const = самой const.
2) Предел суммы, разности, произведению и дроби, если предел знаменателя ≠ 0, равен соответственно сумме пределов, разности пределов, произведению пределов и частному пределов.
![Page 41: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/41.jpg)
3) Const , как множитель, можно выносить за знак предела.
4) Если ф-я не отрицательная, в некоторой окрестности х0, то предел этой функции не отрицателен при х→х0.
5) Теорема о сжатой переменной.
Если в некоторой окрестности точки х0 функция φ(x)≤f(x)≤g(x) и предел функции , то
.
![Page 42: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/42.jpg)
6) Если предел функции существует, то он единственный.
7) 2-я лемма о пределе.
О.: Для того чтобы существовал конечный предел функции y=f(x) при х→х0 необходимо и достаточно, чтобы функцию f(x) можно было представить в виде: f(x)=b+α(x), где , α(х), при х→х0, - б.м.
8) Если в точке х0 ф-я f(x) непрерывна, то знак ф-и f и значок предела можно поменять местами.
![Page 43: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/43.jpg)
Это свойство позволяет вместо х подставить х0 и тем самым показать, что при х→х0 предел ф-и будет равен значению ф-и в точке х0.
![Page 44: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/44.jpg)
§9 Замечательные пределы
П.1 I замечательный предел.
О.: lim при х→х0, но при этом α(х)→0,
П. 2 II замечательный предел.
О.:
![Page 45: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/45.jpg)
П.3 Модификация замечательных пределов.
На основании II замечательного предела, получено что:
1)
2)
![Page 46: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/46.jpg)
3)
4)
![Page 47: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/47.jpg)
§10 Сравнение бесконечно малых величин(функций)
О.: Говорят, что при х→хо б.м. величина α(х) является б.м. более высокого порядка, чем β(х) при х→х0, если
. Значит α˂β.
![Page 48: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/48.jpg)
О.: В рамках предыдущего определения величина β(х) называется б.м. более низкого порядка, чем α(х).
О.: При х→х0 б.м. β(х) и α(х) имеют одинаковый порядок малости, если
![Page 49: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/49.jpg)
Пример:
1)При х→0 х3 б.м. более высокого порядка, чем х2, т.к.
2) В этом случае х2 является б.м. более низкого порядка, чем х3 при х→0.
3) при х→0 б.м. 3х3 и 4х3 имеют одинаковый порядок малости.
![Page 50: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/50.jpg)
О.: При х→хо б.м. α(х) и β(х) называются эквивалентными (α(х) ~ β(х)) , если
.
![Page 51: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/51.jpg)
Свойства эквивалентности:
1) α(х)~α(х)
2) α(х)~β(х)→β(х)~α(х)
3) α(х)~β(х), β(х)~γ(х), α(х)~γ(х)
α(х)~β(х) б.м. при х→х0.
![Page 52: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/52.jpg)
Таблица эквивалентных б.м.:
При х→х0, α(х)→0:
1.Sin α(x)~α(x)
2. tg α(x) ~ α(x)
3. arcsin α(x) ~ α(x)
4. 1-cos α(x) ~ (α(x))2/2
5. arctg α(x) ~ α(x)
6. eα(x) -1 ~ α(x)
![Page 53: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/53.jpg)
7) Ln (1+α(x)) ~ α(x)
Т. О применении эквивалентных б.м. величин.
Если при х→х0 α(х)~α1(х), β(х) ~ β1(х) и при этом существует предел ,
то существует предел
и эти пределы между собой равны.
![Page 54: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/54.jpg)
§11 Понятия об асимптотических формулах.
О.: Если при х→х0 справедливо равенство f(x)=φ(x)+ б.м.(φ(x)), где б.м.(φ(x)) – б.м. более высокого порядка чем φ(x), то φ(x) называется асимптотическим членом или асимптотическим выражением для ф-и f(x), при х→х0.
![Page 55: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/55.jpg)
О.: φ(x) является асимптотическим выражением для ф-и f(x), если
.
Особый интерес вызывает вопрос:
«при каких условиях существует асимптотическое выражение φ(х)=kx+b,
при х→±∞».
![Page 56: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/56.jpg)
Ответ:
Из этой формулы можно получить, что
, если k конечная, то
.
Если k и b конечные числа, то прямая y=kx+b называется невертикальной асимптотой графика функции y=f(x) при х→±∞.
![Page 57: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/57.jpg)
Если k=0, b – конечное число, y=b является горизонтальной асимптотой графика функции f(x).
Для ф-ий содержащих в своей записи показательную или логарифмическую ф-ю пределы надо отдельно вычислить для х→+∞ и х→ - ∞.
![Page 58: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/58.jpg)
Тем самым находят правые и левые, если они существуют, невертикальные асимптоты.
![Page 59: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/59.jpg)
Непрерывные функции.
Разрывные.
![Page 60: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/60.jpg)
§1 Приращение ф-и. Непрерывные ф-и.
О.: Приращение некоторой переменной называется разность между новым значением этой величины и её прежним значением.
х1-х0=∆х; х1 - новое значение; х0 - прежнее значение;
![Page 61: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/61.jpg)
О.: y=f(x), даны точки х0; х0-∆хϵD(y), тогда разность ∆у=f(x0+∆x)-f(x0) – называется приращением ф-и в точке x0
О.: Ф-я y=f(x) определенная на некотором множестве называется непрерывной в точке x0 , x0 ϵ D(y), если:
1)ф-я определена в точке x0
2)Приращение ф-и в точке х0→0. если приращение аргумента → 0.
![Page 62: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/62.jpg)
2-е определение непрерывности в точке:
О.: Ф-я y=f(x) называется непрерывной в точке х0, х0ϵD(y), если:
1)ф-я определена в точке х0 и в некоторой окрестности точки х0.
2) существует .
3) этот предел равен значению ф-и в точке х0 , т.е. .
![Page 63: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/63.jpg)
Теорема.
1-е и 2-е определения непрерывности в точке эквивалентны.(из 1-го вытекает 2-е и наоборот).
![Page 64: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/64.jpg)
§2 Функции непрерывные на отрезке. Теоремы о
непрерывности функции.
О.: Ф-я, непрерывная в каждой точке некоторого отрезка называется непрерывной на этом отрезке.
![Page 65: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/65.jpg)
Теоремы о непрерывных функциях:
Все ф-и рассматриваются в точке х0 или на некотором отрезке:
1)Основные элементарные ф-и(и элементарные ф-и) непрерывны в области определения.
2) Сумма конечного числа непрерывных ф-ий является непрерывной ф-ей.
![Page 66: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/66.jpg)
3) Произведение конечного числа непрерывных ф-й является непрерывной ф-ей.
4) Частное от деления 2-х непрерывных ф-й является непрерывной ф-ей в тех точках, в которых делитель ≠ 0.
Следствие!
Дробно-рациональная ф-я непрерывна всюду, за исключением тех точек, в которых знаменатель = 0.
![Page 67: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/67.jpg)
5) Непрерывность сложной ф-и.
Непрерывная ф-я от непрерывной ф-и, т.е. сложная, является непрерывной ф-ей в области определения.
6) т. о непрерывности обратной ф-и.
Если ф-я y=f(x) непрерывна и строго монотонна, на некотором промежутке [a;b], то существует однозначная обратная ф-я, х=φ(у), определенная на промежутке [f(a);f(b)] непрерывная и монотонная в том же смысле.
![Page 68: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/68.jpg)
§3 «Истинное» значение функции.
Ф-я y=f(x) непрерывна всюду, за исключением точки х0.
Вопрос:
Как подобрать f(х0), чтобы новая ф-я была непрерывна в точке х0 . По определению, если , то f(x) непрерывна в точке х0 .
![Page 69: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/69.jpg)
Пример 1.
y=1/(x-7)
Lim 1/(x-7)=∞, при х→7.
У(7)-не существует.
Т.к. предел = ∞, то заданную ф-ю нельзя доопределить до непрерывной ф-и.
Предполагаемого у(7) не существует.
![Page 70: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/70.jpg)
О.: Операция нахождения предела называется раскрытием неопределенности, а сам предел, если он существует, называется «истинным» значением ф-и y=f(x) в точке х0.
y=x2-4/(x-2), D(y)≠2;
Ф-я непрерывна всюду, за исключением точки 2.
![Page 71: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/71.jpg)
Заданную ф-ю доопределим в точке 2 значением 4.
И новая ф-я у = : • х2-4/(х-2), если х≠2;• 4, если х=2;
Является непрерывной для всех х.
Для заданной ф-и «4» является «истинным» значением ф-и.
![Page 72: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/72.jpg)
§4 Классификация точек разрыва графика функции.
О.: Точка х0 называется точкой разрыва, если в этой точке нарушается хотя бы одно условие непрерывности ф-и.
В зависимости от того, какое нарушение имеет место различают следующие виды разрывов:
![Page 73: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/73.jpg)
1. О.: если точка х0, точка разрыва графика ф-и и существуют конечные односторонние пределы ф-и в этой точке, то х0 точка разрыва I-го рода.
При этом, если односторонние пределы равны между собой( но не равны значению ф-и в этой точке), то х0 называется точкой точкой
устранимого разрыва. устранимого разрыва.
![Page 74: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/74.jpg)
Если односторонние пределы конечны, но не равны между собой, то х0 точка скачка ф-и;
Величина скачка h вычисляется по формуле:
2. Все остальные разрывы являются разрывами II-го рода.
![Page 75: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/75.jpg)
Производная функции
![Page 76: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/76.jpg)
§1 Дифференцирование функций заданных неявно.
О.: Ф-я «у» считается заданной неявно, если она задана уравнением f(x;y)=0.
Например:
x2+y2 = 7 – неявная ф-я.
х3sin y – xy = 5 – неявная ф-я.
у’х - ?
![Page 77: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/77.jpg)
Правило.
Для того чтобы найти у’х ф-и заданной неявно, нужно продифференцировать обе части равенства f(x;y) = 0 по переменной х. И из получившегося уравнения выразить у’х .
![Page 78: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/78.jpg)
Например:
х2+sin y – xy = 5
Считаем, что х – независимая переменная, а «у» ф-я зависящая от «х».
2х+cos y × y` - (x`y + xy`) = 0
2x + cosy × y` - y – xy` = 0
y`(cosy – x) = y – 2x
y`=y-2x/(cosy – x)
![Page 79: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/79.jpg)
§2 Производная степенно – показательной функции.
О.: Ф-я вида y = (u(x))v(x) называется степенно – показательной ф-ей.
Найдем у`х.
Прологарифмируем обе части равенства по основанию e.
Ln y = ln uv
Ln y = v ln u
![Page 80: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/80.jpg)
Получим ф-ю заданную неявно.
Продифференцируем обе части.
y`/у` = V`ln u + V(ln u)
y`/y = V`ln u + V(u`/u) | y=uv
y`= uv (V`ln u + (v/u)u`)
Раскроем скобки:
y` = uv lnu V` + uv V/u u`
y`= uv lnu v` + V uv-1 u`
Производная степенно – показательной ф-и = сумме производных показательной и степенной ф-ий.
![Page 81: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/81.jpg)
§3 Производная функция заданной параметрически
О.: Ф-я вида
называется ф-ей заданной параметрически, где t – параметр.
Производная y’x вычисляется по формуле:
y`x = y’t / x’t
![Page 82: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/82.jpg)
§4 Производные высших поярдков.
О.: Если у’ есть производная ф-и y=f(x), то производная от у’ называется второй производной или производной второго порядка. И обозначается y”x.
О.: Производные более высоких порядков находят по формуле:
yn = (yn-1)’.
![Page 83: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/83.jpg)
§5 Уравнение касательной к графику ф-и в точке с
абсциссой х0.Геометрический смысл производной:
Угловой коэффициент касательной проведенной к графику ф-и в точке с абсциссой х0 равен значению производной ф-и в точке х0, получим уравнение касательной:
y = f(x0) + f`(x0)(x-x0)
![Page 84: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/84.jpg)
0C constC
xxctg
2sin
1)( 0sin x
211)(arcsin
xx
211)(arccos
xx
211)(x
xarctg
211)(arcsin
xx
1)( nxnnx
axaxa ln)( 1axexe )(
axxa ln
1log
1a
xx 1ln
xx cos)(sin
xx sin)(cos
xxtg
2cos1)(
0cos x
1) , где
2)
3)
4)
5)
6)
, где n – натуральное число
, где a>0,
Частный случай:
8)
, где a>0,
Частный случай:
9)
10)
11)
Таблица производных элементарных функций
7)
12)
0cos x
![Page 85: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/85.jpg)
Применение дифференциального
исчисления в некоторых задачах математического
анализа.
![Page 86: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/86.jpg)
Правило Лопиталя к применение нахождения
пределов функций.
1. Теорема(Правило Лопиталя):
Пусть ф-и f(x) и φ(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x0 и обращается в нуль в точке х0.
![Page 87: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/87.jpg)
Пусть φ`(x) ≠ 0 в окрестности х0, тогда, если существует конечный предел
, то справедливо равенство
.
![Page 88: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/88.jpg)
2) Теорема.
Пусть ф-и f(x) и φ(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки х0(может быть, за исключением точки х0), при этом ,
. φ`(x) ≠ 0.
Если существует предел ,
То справедливо равенство:
![Page 89: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/89.jpg)
Применение дифференциального
исчисления в исследовании ф-и и построению графика
этих функций.
y=ln x/(x+6) - 1y=ln x/(x+6) - 1
1)1) Область определения функции.Область определения функции.
- Те значения аргумента х, при которых ф-я имеет смысл.
x/(x+6)>0; D(y)ϵ(-∞;-6)U(0;+∞)
![Page 90: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/90.jpg)
2) ПериодичностьПериодичность.
3) Четность / нечетностьЧетность / нечетность.
y=f(x), x;-x ϵ D(y)
- Если f(x) = f(-x) – ф-я называется четной;
- Если f(-x) = -f(x) – ф-я называется нечетной;
- Если f(-x) ≠ f(x); f(-x) ≠ -f(x) – ф-я называется ни четная, ни нечетная;
y(-x) = ln (-x/(-x+6)) - 1 = ln (x/(x-6)) – 1
![Page 91: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/91.jpg)
4) Точки пересечения графика ф-и с осями Точки пересечения графика ф-и с осями координат.координат.
С осью ОУ:
О.: при х=0, находим значение у.
0 не принадлежит D(y). Следовательно, с осью ОУ график ф-и не пересекается.
С осью ОХ:
О.: При у=0, находим значение х.
Если у=0,то ln(x/(x+6)) – 1 = 0
Ln(x/(x+6))=1; x/(x+6)=e; x=e(x+6); x=ex+6e.
![Page 92: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/92.jpg)
X(1-e)=6e
x=6e/(1-e)
X≈ - 10
(-10;0)
5) Исследование функции на Исследование функции на непрерывность.непрерывность.
Т.к. заданная ф-я является элементарной, то она является непрерывной в области определения, т.е. хϵ(-∞;-6)U(0;+∞)
![Page 93: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/93.jpg)
Точки -6;0 являются точками разрыва графика ф-и.
Исследуем в этих точках характер разрыва.
Для нашей ф-и:
-6 – точка разрыва II-го рода, т.к. правосторонний предел не существует.
![Page 94: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/94.jpg)
Рассмотрим поведение ф-и при х→0+.
0 – точка разрыва II-го рода, т.к. при х→0 предела не существует.
Т.к. -6 и 0 точки разрыва II-го рода, то прямые х=-6, х=0 являются вертикальными асимптотами графика функции.
![Page 95: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/95.jpg)
Невертикальные асимптоты найдем как прямые с уравнением y=kx+b1,2, где
;
Для нашей ф-и:
-
У=-1-правая горизонтальная асимптота графика ф-и.
![Page 96: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/96.jpg)
У=-1 – левая горизонтальная асимптота.
6) Точки экстремума. Промежутки Точки экстремума. Промежутки монотонности.монотонности.
![Page 97: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/97.jpg)
О.: Точка х0, принадлежащая некоторому промежутку из области определения ф-и называется точкой локального минимума, если значение ф-и в этой точке наименьшее по сравнению со значениями ф-и в точках этого промежутка;
![Page 98: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/98.jpg)
И х0 точка локального максимума, если значение ф-и в этой точке наибольшее по сравнению со значениями ф-и в точках промежутка.
О.: Точка min и max ф-и называются точками экстремума ф-и.
![Page 99: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/99.jpg)
Теорема о необходимом условии Теорема о необходимом условии существования экстремума ф-и.существования экстремума ф-и.
Если х0ϵ D(y) и х0 является точкой экстремума ф-и, то производная ф-и в этой точке = 0 или не существует.
О.: Ф-я y=f(x) возрастающая(убывающая) на некотором промежутке, если на этом промежутке чем больше х, тем больше у(чем больше х, тем меньше у).
![Page 100: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/100.jpg)
Необходимое и достаточное Необходимое и достаточное условие убывания или условие убывания или возрастания функции:возрастания функции:
Ф-я y=f(x) возрастающая, на некотором промежутке, если f `(x)>0 на этом промежутке и убывающая, на некотором промежутке, если f `(x)<0 на этом промежутке.
![Page 101: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/101.jpg)
Теорема.Теорема.
Достаточное условие существования Достаточное условие существования экстремума.экстремума.
- Если при переходе через некоторую точку производная меняет знак с «+» на «-», то это точка является точкой максимума ф-и;
- Если при переходе через некоторую точку производная меняет знак с «-» на «+», то это точка является точкой минимума ф-и;
![Page 102: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/102.jpg)
О.: Точки, в которых производная = 0 или не существует называются критическими точками ф-и.
Для нашей ф-и:
Вычислим у`:
y`=(ln(x/(x+6))-1)` = (lnx – ln (x+6) – 1)` = 1/x – 1/(x+6) = x+6-x/(x(x+6)) = 6/x(x+6);
y`≠0 в области определения;
D(y `): x≠0, x≠-6;
0 и -6 не являются критическими точками;
![Page 103: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/103.jpg)
Отсюда следует, что на 2-х промежутках у` определена непрерывна, не обращается в ноль и, следовательно, сохраняет знаки своих значений.
Найдем знак y` на промежутках (-∞;-6) и (0;+∞):
y`(-7)>0; y`(1)>0
Ф-я возрастает на промежутках (-∞;-6) и (0;+∞).
![Page 104: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/104.jpg)
7) Точки перегиба графика функции. Точки перегиба графика функции. Промежутки выпуклости, вогнутости Промежутки выпуклости, вогнутости графика функции.графика функции.
О.: Ф-я называется вогнутой на некотором промежутке, если её график расположен выше любой касательной.
О.: Ф-я называется выпуклой на некотором промежутке, если её график расположен ниже любой касательной, проведенной в любой точке этого промежутка.
![Page 105: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/105.jpg)
О.: Точки из области определения ф-и, в которых вогнутость меняется на выпуклость( или наоборот) называются точками перегиба графика функции.
Теорема. Необходимое условие Теорема. Необходимое условие существования точки перегиба.существования точки перегиба.
Если х0, из области определения ф-и, точка перегиба графика ф-и, то в этой точке у”=0 или не существует.
![Page 106: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/106.jpg)
Теорема. Достаточное условие Теорема. Достаточное условие вогнутости(выпуклости): графика вогнутости(выпуклости): графика функций:функций:
- Если на некотором промежутке у”>0, то на этом промежутке ф-я вогнута;
- Если на некотором промежутке y”<0, то на этом промежутке ф-я выпукла;
![Page 107: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/107.jpg)
Достаточное условие существования Достаточное условие существования точки перегиба.точки перегиба.
Если при переходе через точку х0ϵD(y), y” поменяла знак, то х0 является точкой перегиба графика функции.
Для заданной ф-и:
Возможные точки перегиба найдем из необходимого условия.
Найдем y”:
![Page 108: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/108.jpg)
y’= 6/x(x+6) = 6*(x2+6x)-1
y”=6(-1)(x2+6x )-2 (2х+6) = -6(2х+6/(х2+6х)2)
D(y”) : x(x+6) ≠ 0; x≠0; x≠-6;
0;-6 – не принадлежат области определения функции.
y”=0;(2x+6)/x(x+6) = 0.
2x+6=0, x=-3, -3 – не принадлежит области определения функции; x(x+6)≠0, x≠0. x≠-6;
![Page 109: Введение в математический анализ](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062314/56813e2a550346895da808ec/html5/thumbnails/109.jpg)
Следовательно, критических точек нет. Точек перегиба график функции не имеет. Так как в данном примере точек перегиба нет, то найдем знак y” в области определения.
y”(1) = -6(1+6/49)˂0;
y”(7) = -6(-8/7)˃0;
(-∞; -6) – промежуток вогнутости;
(0;+∞) – промежуток выпуклости;
На основании исследований построим график.