闽清一中 林婷
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对高三数学复习有效性的几点思考. 闽清一中 林婷. Email:[email protected] 电话 :13960897436. 高三数学第一轮复习是按知识单元或知识板块的内容进行复习，其目的是帮助学生理清知识网络，复习基本方法，初步形成基本技能。而第二轮复习则往往按专题归类、知识交汇点和思想方法块进行复习，其目的是强化复习高考重点内容，注重知识之间的联系，提升学生思维品质，训练学生应试能力。因此第二轮复习更加讲究教学的针对性、有效性。. 本讲座的主要内容. 一、高考数学试题分析 二、第二轮复习思路 三、提高复习课教学有效性的思考 四、提高“训练”有效性的思考 - PowerPoint PPT Presentation
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高三数学第一轮复习是按知识单元或知识板块的内容进行复习，其目的是帮助学生理清知识网络，复习基本方法，初步形成基本技能。而第二轮复习则往往按专题归类、知识交汇点和思想方法块进行复习，其目的是强化复习高考重点内容，注重知识之间的联系，提升学生思维品质，训练学生应试能力。因此第二轮复习更加讲究教学的针对性、有效性。
本讲座的主要内容一、高考数学试题分析
二、第二轮复习思路
三、提高复习课教学有效性的思考
四、提高“训练”有效性的思考
五、提高讲评课有效性的思考
六、第二轮复习应注意的几个问题
新课程高考数学试题特点 1 、考查双基与突出重点相结合。 2 、关注学科特点与发展思维相结合。 3 、强化数学思想与坚持通性通法相结合。 4 、注重知识交汇与提高综合能力相结合。 5 、考查数学应用与提高实践能力相结合。
一、高考数学试题分析
新课程高考数学试题特点
6 、适度创新与开发潜能相结合 .
7 、依托课本与适当延展相结合 .
总之，高考数学试题体现了以问题为背景，以知识为载体，以方法为依托，以能力为主线的命题意图 .
1.1 试卷内容分析
2013 年高考数学试卷分析
1 、理科试卷分析
表一表一 基础知识的考查分布基础知识的考查分布
表一呈现的数据表明，试卷对知识的覆盖面表一呈现的数据表明，试卷对知识的覆盖面广，考查内容较为全面．尤其是函数与导数、统广，考查内容较为全面．尤其是函数与导数、统计与概率、解析几何、三角函数、立体几何、数计与概率、解析几何、三角函数、立体几何、数列等支撑高中数学知识框架的主体知识，在三种列等支撑高中数学知识框架的主体知识，在三种题型中都作了较为深入的考查，占分比例约为题型中都作了较为深入的考查，占分比例约为74%74%．与此同时，试卷有效地考查了知识之间的．与此同时，试卷有效地考查了知识之间的交汇、渗透和综合．交汇、渗透和综合．
表二 数学思想方法的考查分布表二 数学思想方法的考查分布
表二呈现的信息表明，试卷重视对数学思想的考查，注重通性通法，表二呈现的信息表明，试卷重视对数学思想的考查，注重通性通法，
其中函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想的考查较多．其中函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想的考查较多．
1.2 1.2 试卷特点分析试卷特点分析11.2.1 .2.1 立意新颖，考查全面立意新颖，考查全面表一、表二呈现的信息表明，试卷涵盖高中的主体知识，内容紧扣《课表一、表二呈现的信息表明，试卷涵盖高中的主体知识，内容紧扣《课标》、《考纲》和《考试说明》，合理安排必考与选考部分，重视对主标》、《考纲》和《考试说明》，合理安排必考与选考部分，重视对主干知识的考查，重视对考生数学能力的考查．干知识的考查，重视对考生数学能力的考查．
试卷立意新颖试卷立意新颖 解答题解答题““布局布局””新，新，试题设计试题设计““背景背景””新，新，试题试题““设问方式设问方式””新，新，试题试题““交汇内容交汇内容””新．新．
解答题解答题““布局布局””新新
如将主要考查如将主要考查““函数与导数函数与导数””、、““解析几何解析几何””的试的试
题分别放在了题题分别放在了题 1717 和题和题 1818 ，将主要考查，将主要考查““三角函三角函
数数””的试题放在了题的试题放在了题 2020 ，与往年相比，变化较大．，与往年相比，变化较大．
新布局有效规避了新布局有效规避了““模式化模式化””，同时也对考生的心理，同时也对考生的心理
素质提出较高的要求．素质提出较高的要求．
1.2.2 1.2.2 源于教材，高于教材源于教材，高于教材 由教材试题改编成的高考试题一般低起点，宽由教材试题改编成的高考试题一般低起点，宽
“ ”入口，重点考查 双基 ，让考生感到熟悉亲切，也“ ”入口，重点考查 双基 ，让考生感到熟悉亲切，也可以很好地凸显以教材为核心的导向作用，激发学可以很好地凸显以教材为核心的导向作用，激发学生对教材知识的学习热情．生对教材知识的学习热情． 试卷出现了一些源于教材，构思巧妙的试题，试卷出现了一些源于教材，构思巧妙的试题，
“ ”并在考查学生的数学能力方面 高于 教材．“ ”并在考查学生的数学能力方面 高于 教材．
1.2 1.2 试卷特点分析试卷特点分析
例 1（理 18）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的
坐标为 10 0， ，点C的坐标为 0 10， ．分别将线段OA和AB十等分，
分点分别记为91 2A A A， ， ， 和 1 2 9B B B， ， ， ．连结 iOB，过 iA作 x轴的
垂线与 iOB交于点 * 1 9iP i i N ， ．
（Ⅰ ）求证：点 * 1 9iP i i N ，
都在同一条抛物线上，并求该抛物线E
的方程；
（Ⅱ ）略．
x
y
B9
A9
C B
Bi
B2
B1
Pi
A1 A2 Ai AO
如题如题 1818 （（ⅠⅠ）源于人教）源于人教 AA 版数学选修版数学选修 2-12-1 中习题中习题 2.2B2.2B 组第组第 44 题。编者题。编者将原题椭圆改编为抛物线，将原题四等分点改编成十等分点。考查考生的推理将原题椭圆改编为抛物线，将原题四等分点改编成十等分点。考查考生的推理
论证能力“高于”原题，充满“探究味道”论证能力“高于”原题，充满“探究味道”．．
例 2（理 9）已知等比数列 na 的公比为q，记
( 1) 1 ( 1) 2 ( 1)n m n m n m n mb a a a ，
( 1) 1 ( 1) 2n m n m nc a a ( 1) ( )m n ma m n N ， ，
则以下结论一定正确的是
A．数列 nb 为等差数列，公差为 mq B．数列 nb 为等比数列，公比为 2mq
C．数列 nc 为等比数列，公比为2mq D．数列 nc 为等比数列，公比为
mmq
理理 99 源于人教源于人教 AA 版必修版必修 55 第二章复习参考题第二章复习参考题 AA 组第组第 1010 题，将原题中的题，将原题中的
“ ” “ ” “等差数列 改成了 等比数列 ，并且将其更一般化，将原题中 从第一项开始“ ” “ ” “等差数列 改成了 等比数列 ，并且将其更一般化，将原题中 从第一项开始
” “ ”的片断和 改成 从某项开始的片断和、积 ，” “ ”的片断和 改成 从某项开始的片断和、积 ，使得在考查考生合情推理和抽象使得在考查考生合情推理和抽象
概括能力方面“高于”原题．概括能力方面“高于”原题．
1.2.3 1.2.3 能力立意，彰显选拔能力立意，彰显选拔
试卷对新背景试题的考查力度有所加强，解答试卷对新背景试题的考查力度有所加强，解答
题除了强调在知识交汇处命题外，设置了具有一定题除了强调在知识交汇处命题外，设置了具有一定
思维量，开放性、探索性的问题，区分度大，有利思维量，开放性、探索性的问题，区分度大，有利
于考查学生的应用能力和探究精神．于考查学生的应用能力和探究精神．
1.2 1.2 试卷特点分析试卷特点分析
例 3 （理 10）设S，T是R的两个非空子集，如果存
在 一 个 从 S 到 T 的 函 数 ( )y f x 满 足 ：（ i ）
( )T f x x S ；（ii）对任意 1 2x x S， ，当 1 2x x 时，
恒有 1 2( ) ( )f x f x ，那么称这两个集合“保序同构”．以下
集合对不是“保序同构”的是
A．A N ，B N
B． 1 3A x x ， { | 8B x x 或0 10}x
C． 0 1A x x ，B R
D．AZ，B Q
题题 1010 引入了一个新的概念“保序同构”，其中条件（引入了一个新的概念“保序同构”，其中条件（ ii ）说明对于集合）说明对于集合 TT
中的每一个元素在集合中的每一个元素在集合 SS 中都有唯一确定的元素与之对应，条件（中都有唯一确定的元素与之对应，条件（ iiii ）说明是严）说明是严格单调递增的函数，实质上是考查考生对于映射和函数内涵的理解．格单调递增的函数，实质上是考查考生对于映射和函数内涵的理解．
本题所考查的问题，没有现成的方法、公式、本题所考查的问题，没有现成的方法、公式、
定理可套用．考生可以充分展现自己的数学素养，定理可套用．考生可以充分展现自己的数学素养，
综合、灵活的应用所学的知识、数学思想和方法，综合、灵活的应用所学的知识、数学思想和方法，
创造性地解决问题，充分彰显了选拔功能。创造性地解决问题，充分彰显了选拔功能。
例 4 （理 20）已知函数 ( ) sin( )( 0f x x ，0 ) 的周
期为，图象的一个对称中心为 04
， ．将函数 ( )f x 图象上所有点
的横坐标伸长到原来的 2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平
移2
个单位长度后得到函数 ( )g x 的图象．
（Ⅰ ）求函数 ( )f x 与 ( )g x 的解析式；
（Ⅱ ）是否存在 0 6 4x
， ，使得 0( )f x ， 0( )g x ， 0 0( ) ( )f x g x 按
照某种顺序成等差数列？若存在，请确定 0x 的个数；若不存在，说
明理由；
（Ⅲ）求实数a与正整数n，使得 ( ) ( )F x f x ( )ag x 在 0 n， 内
恰有 2013个零点．
题题 2020 将三角函数、数列、不等式有机融合在一起，交汇新颖，对考将三角函数、数列、不等式有机融合在一起，交汇新颖，对考生综合运用数学知识解决复杂问题的能力提出了较高要求．生综合运用数学知识解决复杂问题的能力提出了较高要求．
1.2.4 1.2.4 突出本质，注重过程 突出本质，注重过程 试卷很好地体现了作为试卷很好地体现了作为《《课标课标》》 “ ”倡导的三维目标之一的 过程与方法 ．如题“ ”倡导的三维目标之一的 过程与方法 ．如题 77以以向量运算为载体，考查考生特殊与一般思想、数形结合的思维过程。向量运算为载体，考查考生特殊与一般思想、数形结合的思维过程。
例 5 （理 7）在四边形ABCD中， (1 2)AC ��������������
， ， ( 4 2)BD ��������������
， ，
则该四边形的面积为
A． 5 B．2 5 C．5 D．10
本题通过观察可知 0AC BD ����������������������������
，即该四边形的对角线互相垂直，
再由对角线互相垂直的四边形的面积等于它的两条对角线长乘积的一
半，可算出1
2S AC BD
����������������������������=5．若未能观察发现到这个隐藏的条件，
将耗费大量的时间在点的移动、边长的求解、角度的确定上，这无疑
将影响考生的答题心态和答题时间的统筹。
例 6（理 8）设函数 ( )f x 的定义域为R， 0 0( 0)x x
是 ( )f x 的极大值点，以下结论一定正确的是
A． x R， 0( ) ( )f x f x
B． 0x 是 ( )f x 的极小值点
C． 0x 是 ( )f x 的极小值点
D． 0x 是 ( )f x 的极小值点
题题 88 以函数图象的变换为载体，考查考生对极值定以函数图象的变换为载体，考查考生对极值定义本质的理解过程。义本质的理解过程。
例 7 （理 15）当xR， 1x 时，有如下表达式：
2 11
1nx x x
x
．
两边同时积分得：
1 1 1 1 122 2 2 2 2
0 0 0 0 0
11d d d d d
1nx x x x x x x x
x
，
从而得到如下等式：
2 3 11 1 1 1 1 1 1
1 ln 2.2 2 2 3 2 1 2
n
n
请根据以上材料结合所蕴含的数学思想方法，计算：
2 3 10 1 21 1 1 1 1 1 1
C C C C2 2 2 3 2 1 2
nn
n n n nn
= ．
题题 1515体现了对新材料的学习、理解和运用的过程．本题要求考生通过阅体现了对新材料的学习、理解和运用的过程．本题要求考生通过阅读数学推理过程，理解其中的思想及含义，用归纳类比的方法解决新问题，读数学推理过程，理解其中的思想及含义，用归纳类比的方法解决新问题，考查考生的抽象概括能力、合情推理能力和从特殊到一般的思维方法．考查考生的抽象概括能力、合情推理能力和从特殊到一般的思维方法．
22 、文科试卷的分析、文科试卷的分析2.1 文科试卷内容分析
表一表一 基础知识的考查分布基础知识的考查分布
•表一呈现的数据表明，试卷没有刻意追求知识点的表一呈现的数据表明，试卷没有刻意追求知识点的
交汇．函数与导数、数列、概率与统计、三角函数、解交汇．函数与导数、数列、概率与统计、三角函数、解
析几何、立体几何等高中数学的主体知识在文科试卷析几何、立体几何等高中数学的主体知识在文科试卷在在
三种题型中都作了较为深入的考查三种题型中都作了较为深入的考查．．
表二表二 数学思想方法的考查分布数学思想方法的考查分布
表二呈现的信息表明，中学常见的数学思想方表二呈现的信息表明，中学常见的数学思想方法贯穿于整份试卷，尤其是函数与方程思想、数形法贯穿于整份试卷，尤其是函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想的考查较多．结合思想、化归与转化思想的考查较多．
2.2 2.2 试卷特点分析试卷特点分析2.2.1 2.2.1 规避模式，注重创新规避模式，注重创新
试卷在考查基础知识、基本技能和基本思想试卷在考查基础知识、基本技能和基本思想
的同时，着力规避试题的模式化．的同时，着力规避试题的模式化．
表三 表三 2009~20132009~2013年高考数学福建卷文科解答题内容年高考数学福建卷文科解答题内容位置统计位置统计
表三呈现的信息表明，解答题虽仍然主要考查函数与导数、表三呈现的信息表明，解答题虽仍然主要考查函数与导数、数列、概率与统计、三角函数、解析几何、立体几何等主体知数列、概率与统计、三角函数、解析几何、立体几何等主体知
“ ”识，但延续了规避试卷题序 模式化 的理念．“ ”识，但延续了规避试卷题序 模式化 的理念．
试题在注重规避模式化解题的同时，减少了公式的直接套用．试题在注重规避模式化解题的同时，减少了公式的直接套用．例 1 （文 11）已知x与 y之间的几组数据如下表：
x 1 2 3 4 5 6
y 0 2 1 3 3 4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 ˆˆ ˆy bx a ，若某同学根据
上表中的前两组数据(1 0)， 和(2 2)， 求得的直线方程为 y b x a ，则以下结
论正确的是
A．b b ，a a B．b b ，a a
C．b b ，a a D．b b ，a a
题题 1111 打破了线性回归的传统考查方式，不再只是考查公式的套用，打破了线性回归的传统考查方式，不再只是考查公式的套用，而将目标放在考查考生对线性回归知识发生、发展的过程性理解上，要而将目标放在考查考生对线性回归知识发生、发展的过程性理解上，要求考生运用直观感知、操作确认等数学实验方法予以解决．求考生运用直观感知、操作确认等数学实验方法予以解决．
分析 考生若直接运用公式计算b，b，a，a的值，显得计算繁杂，耗费时间长．其实本题只要比较两数大小，无需精确算出每个数
的值，可通过描点画出线性回归直线方程 ˆˆ ˆy bx a 的草图，再准
确画出过两点的直线方程 y b x a 的图象，对比斜率与纵截距即
可得出答案为 C．本题有效地考查学生对数形结合思想方法的理解和掌
握程度，充分体现了多思少算的课程理念．
例 1 （文 11）已知x与 y之间的几组数据如下表：
x 1 2 3 4 5 6
y 0 2 1 3 3 4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 ˆˆ ˆy bx a ，若某同学根据
上表中的前两组数据(1 0)， 和(2 2)， 求得的直线方程为 y b x a ，则以下结
论正确的是
A．b b ，a a B．b b ，a a
C．b b ，a a D．b b ，a a
2.2.2 2.2.2 体现区分，彰显选拔体现区分，彰显选拔 试卷关注不同要求层次的问题设计，既有容易题，也有试卷关注不同要求层次的问题设计，既有容易题，也有
中等题、难题，各种题型的试题梯度明显，例如选择题和填中等题、难题，各种题型的试题梯度明显，例如选择题和填
空题的起点低，再逐步增加难度，而最后两题有较大的思维空题的起点低，再逐步增加难度，而最后两题有较大的思维
量．量．
解答题在整体难度递增解答题在整体难度递增的同时，每一小题也均从易到难．如题的同时，每一小题也均从易到难．如题
2121 、、 2222 的第（的第（ⅠⅠ）问均入题较易，而第（）问均入题较易，而第（ⅡⅡ）或第（）或第（ⅢⅢ）问则将检测考）问则将检测考
生是否具备在自然语言、图形语言和符号语言之间进行熟练的转化和思生是否具备在自然语言、图形语言和符号语言之间进行熟练的转化和思
考的能力作为重要的考查目标．考的能力作为重要的考查目标．
试卷注重考查考生的探试卷注重考查考生的探究能力．如题究能力．如题 1616 考生需考生需
“ ”先理解 保序同构 的概“ ”先理解 保序同构 的概念，并搜索已有的知识念，并搜索已有的知识进而运用最本源的函数进而运用最本源的函数知识予以解决，考查考知识予以解决，考查考生解决新情境问题的能生解决新情境问题的能力．力．
例 2 （文 16）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数 ( )y f x 满足：（i） ( )T f x x S ；（ii）对
任意 1 2x x S， ，当 1 2x x 时，恒有 1 2( ) ( )f x f x ，那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下 3对集合：
⑴A N ，B N
⑵ 1 3A x x ， { |B x 8 10}x
⑶ 0 1A x x ，B R
其中，“保序同构”的集合对的序号是 （写出所有“保序同构”的集合对的序号）
2.2.3 2.2.3 关注探究，凸显能力关注探究，凸显能力
例 3 （文 22）已知函数 ( ) 1 (exa
f x x a R，e为自然对
数的底数）．
（Ⅰ ）若曲线 ( )y f x 在点(1 (1))f， 处的切线平行于x轴，求a
的值；（Ⅱ ）求函数 ( )f x 的极值；
（Ⅲ）当 1a 时，若直线 : 1l y kx 与曲线 ( )y f x 没有公
共点，求k的最大值．
题题 2222 改编自改编自 20122012 年高考福建卷理年高考福建卷理 2020 “，但 年年岁岁“，但 年年岁岁‘ ’ ‘ ’ ” “意 相似，岁岁年年 题 不同 ，该题合理地实现了 陈题出‘ ’ ‘ ’ ” “意 相似，岁岁年年 题 不同 ，该题合理地实现了 陈题出
”新 ．”新 ． 本题需要考生对问题进行不断地转化，考查考生的推本题需要考生对问题进行不断地转化，考查考生的推理论证能力和运算求解能力．理论证能力和运算求解能力．
1 、第二轮复习指导思想
巩固、完善、综合、提高。
巩固：巩固第一轮单元复习的成果，巩固基础知识、基
本技能、基本方法。 完善：通过专题复习、查漏补缺，进一步完善知识体系。 综合：减少单一知识的训练，注重知识的交汇，增强题
目的综合性。 提高：提高学生分析问题和解决问题的能力。
关注考点和命题趋势，强化主干知识，注重数学思想方法，
深入知识板块间的本质联系，提升综合能力 .
2 、复习目标：
专题复习应着眼于知识的重组、联系与转化，
应该以解决问题为目的，将知识进行必要的拆分、
加工和重组，要关注在相关知识的交汇点进行组织
复习资料，强化对这些内容的复习。
3 、教与学的方式：
以专题形式组织教学内容，加强学生的练与测。
思想方法为主线，重点知识大串联。 一轮复习是在复习基础知识和基本技能中提炼数学思
想方法，这样的提炼是零散的。 在一轮复习的基础上，二轮复习要系统地用思想方法、
哲理的观点去统率题目，将重点知识进行强化、综合、提升、
融会贯通，达到“一览众山小”的境地。
4 、教学原则：
《考试说明》是我省根据《课程标准》、《福建省
普通高中新课程教学要求（数学）》、《考试大纲》制定
的、适用于我省的高考的指导性文件，是我省高考自主命
题的直接依据，也是教师有效备考的依据，因此要认真研
读、仔细推敲，准确把握定位和要求。
5 、研究《考试说明》
要做到三个明确：（ 1 ）明确各部分考查的知识点；（ 2 ）明确各知识点的要求层次；（ 3 ）明确其中隐含的数学思想、数学能力及
其考查要求。
5 、研究《考试说明》
高考考题是对考纲的最直接的阐释， 任何“题
典”、“题霸”、“题库”都无法与之相提并论。 研究高考数学试题，能学习命题教师的创新思维，
体会“能力立意”的命题指导思想，准确把握《考试说
明》的要求。
6 、研究高考试题
通过分析历年来高考试题的变化趋势，明确 哪些知识和方法是必备的 哪些是可以拓展的 哪些是可以整合融会贯通的 哪些是重点考或是反复考 哪些是随机考
6 、研究高考试题
这些知识与方法在考试中的呈现方式有何特点？ 在历年的考试中有何变化，变化的趋势是什么？等
等。 唯有这样的研究与分析，复习才能胸有成竹，做到
有的放矢。
6 、研究高考试题
研究高考数学试题的视角很多，一般可从以下角度
进行。 视角 1：试卷的布局 研究试卷的布局主要包括研究题型的种类及分值，
各章知识点所占的比重，试题的难度要求和分布情况等。
研究高考试题的几种视角
视角 2：试题的立意 高考数学考试的重点是考查考生运用知识分析问题
和解决问题的能力，检测考生已有的和潜在的学习能力。 这就要求我们的教学要突出对学生思维能力的训练，
培养学生的迁移能力、应变能力、创新能力。
视角 3：试题的解法 研究试题的解法主要是指试题的一题多解、多题一
解等。这既能培养学生学习的兴趣，又能培养学生思维
的发散性、选择性、灵活性、深刻性、还能培养数学探
究意识。
视角 4：试题的背景
高等数学的一些基本思想、基本概念为设计高考试题
提供了广阔而又深刻的背景。教师只有具备坚实的高等
数学功底，才能深刻理解高中数学知识的来龙去脉，才
能居高临下地将高等数学与初等数学结合起来。
视角 5：试题的推广 研究试题的推广是指对高考中的一些优秀试题进行引申、拓展。
视角 6：试题的改编
研究试题的改编是指对一些优秀高考试题进行变式、重组
和改造。改编后的新问题是学生进行探究性学习的好素材。
试题改编的常用方法有 :
加强和削弱题目的条件和结论，变换试题的背景和情境，
迁移试题涉及的知识或方法，改变图形的放置和位置等。
视角 7：试题的评价 研究试题的评价主要包括分析试题在一套试卷中的地位和作用，考查“四度”（难度、信度、效度、区分度）测量指标是否达到预期的目标，了解高考后学生和教师对该题的“满意度”，判断该题是不是一道好题。
好的数学问题对巩固基础知识、形成数学方法和数学思想、训练思维能力、提高数学素质具有重要作用。
研究试题可以采取如下方式：
①（历年试题）整体研究——找共性；
②（本省试题）重点研究——找趋势；
③（相同考点试题）对比研究——找变化；
④（不同题型试题）分类研究——找差别；
⑤（近年各地高考试题）集中研究——找新意，找动态。
在教学实践中，许多教师习惯于“习题——评讲——习题”的复习模式，题目讲练得很多，但学生并没有真正理解和掌握，从而导致取得的成绩与投入的时间远远不成正比。
究其原因，主要是高考复习教学中的“满堂灌”现象使“学生主体地位”出现了严重的“虚化或缺失”。如何突出学生的主体性，提高复习教学的有效性呢？以下结合高三教学实践，谈谈高考复习教学中的一些做法与体会。
引导学生回顾并系统的梳理高中数学的基础知识、
基本方法、基本技能，使学生在头脑中形成清晰的知
识网络。掌握知识的内在联系，对所学知识内容方法
进行升华，使其形成理性认识，完善认知结构。
（一）梳理知识 , 形成网络
处理方式：通过师生对话、生生对话的方式进行。 在专题复习中，教师要引领学生明确：（ 1 ）考点；（ 2 ）要点；（ 3 ）易漏点和易错点。
教法设计：学生课前进行整理，课堂上进行交流，教师根据学生交流情况进行补充完善。在教学过程中充分体现讲重点、补弱点、析难点、纠错点、扫盲点的教学思路。
案例 1 三角函数复习课教学片段
1 、展示整体知识结构：
设计意图：理清知识网络，关注知识联系。
2 、围绕高考的“热点”和学生的“错点”选择题型，使学生练有所获，评有所悟。
根据三角函数的考查要求，主要围绕以下三个类型选题：
类型 1：三角函数化简求值（可以以化“同名”、化同
角”的思想方法为主线选取例题）
类型 2：三角函数的图象与性质
类型 3：学生易错的问题
在教学中要驾驭好三条线：
知识（结构）是明线（要清晰、明了，编一张知识的网
络）；
方法（能力）是暗线（要提炼、领悟）；
思维（训练）是主线（要重视、加强）。
（二）利用数学知识类比和统一的特征，引导学生进行类比、对比复习
数学知识具有类比和统一的特征，利用数学知识的这种内在联系特征，我们可以站在更高的角度处理问题，打破复习资料章节的界限，将相似知识、题目集中在一起，引导学生进行类比、对比探究。
这样不仅可以帮助学生从整体的高度把握相关知识、题目，领悟数学思想方法，还可以减少相似题目的相互干扰，凸显数学本质，是高效复习的捷径。
例如，把类比的思想贯穿在等差数列、等比数列的复习中，使得复习课的立体感变强，体现了教学过程中教师站在更高的角度处理问题。
三种圆锥曲线也可打破椭圆、双曲线、抛物线定义与性质逐一讲解的顺序，进行类比复习，不仅可以类比他们的定义、性质等知识点，还可以引导学生对比相似题型及其相关方法，针对三类圆锥曲线的相似性探究一般性结论。
教师利用知识的迁移规律，引导学生对同类知识进行类比，获得新知。
第二次变式时，突破双曲线的限制，引入抛物线，综合难度提高了。
第三次变式从思想高度上引申到椭圆、双曲线与直线的综合解答上。这种变式，体现了数学知识、数学方法与数学思想的层层展示与应用，启发学生用联系的眼光看问题。
知识的内化需要时间和空间。 在高考复习教学中，将相似知识、题目集中在一起，
引导学生类比探究，不仅能给学生带来新鲜感，而且能够帮助学生从整体的“高度”把握相关知识，减少相似问题的相互干扰。
随着学生主体性的充分发挥，对类比问题的思考不断深入，对数学本质的提炼也有了质的飞跃。
例题的选取除了应重视教材的基础作用，重视覆盖全面、突出重点、突破难点，重视突出数学思想和方法等等，还应体现以下几个方面的原则：
(1) 新颖性原则。心理学研究表明，学生的学习效果与其所接触的材料是否有新鲜感是有关系的，切忌同一问题以同一形式多次重复，以免学生觉得单调乏味，没有新意。
（三）精挑经典例题——高效复习的基点
(2)梯度性原则。
不同的学生认知水平不同，就是同一学生认知的过程也是由浅入深，由表及里的。
根据个体差异和认知规律，在复习课中，教师的“选题”应体现梯度性，遵循由低到高的原则。这样，多数学生都能找到思考的起点，学习的主动性、积极性才能得到有效的调动，同时也为学生的思考向纵深发展铺平道路。如果突然出示一道难度较大或设问跳度较大的问题，势必会挫伤学生学习的自信心。
(3)过程性原则。 “ 重结果，更重过程”是新课程的要求。 因此，在复习课中，教师的“选题”应体现过程性，
体现把抽象的数学问题具体化和形象化的过程，训练学生解决问题的思维过程。
（ 4 ）关联性原则。 “ 选题”应体现数学知识之间的相互关联，体现其不
同表现形式之下的本质属性，使学生能自觉联系知识，举一反三。
（ 5 ）创新性原则。 “ 选题”应有利于营造学生创新的氛围，点燃学生创
新心理的火种。 总之，在复习中，每选一道题，都要明确为什么要
选这道题，切实发挥例题沟通教与学的桥梁作用，促进学生能力的提高，使例题的教学功能得到最大的发挥。
数学思想方法是数学的灵魂，是人们对数学知识本质的认识，是对数学知识熟练掌握和应用的基础上更高层次的抽象与概括。
重视对数学思想方法的考查是近几年数学高考命题的显著特点之一。《考试大纲》和《考试说明》非常强调高考试题在注重学科内涵，突出学科特色，在考查基础知识、基本技能的同时突出对数学思想与方法的考查。
（四）领悟数学思想方法的真谛——高效复习的立足点
常用的数学思想方法可分为三类：一是数学基本方法，如待定系数法、换元法、配方法、割补法
等；二是数学逻辑方法或思维方法，如分析与综合、归纳与演绎、比较与类比、具体与抽象等；
三是数学思想，主要有函数与方程的思想、数形结合的思想、分类与整合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想、有限与无限思想、必然与或然思想等。
在复习中，要结合具体问题不失时机地运用、渗透数学思想方法，对其进行多次再现、不断深化，逐步内化为自己能力的组成部分，实现“知识型”向“能力型”的转化。
1 、函数与方程思想
• 函数思想是指利用函数图象与性质来分析问题、转化问题和解决问题的思维方式。
• 方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型，运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决 . 函数与方程相互渗透，形成了重要的函数与方程思想。
• 函数在中学的地位决定了函数与方程思想成为核心的思想，也成为高考考查的重点，在选择、填空和解答题中都有涉及。
数形结合就是根据数与形之间的对应关系，通过抽象思维与形象思维的结合来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想从“数”“形”两个方面对数学问题进行分析，既注重“数”的严谨性，又充分发挥“形”的直观性。“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而达到优化解题途径的目的。因此它是高中数学中非常重要的数学思想，也是高考的热点和重点内容。
观察历年的数学高考试卷可以发现，数形结合的考查经常以集合、函数、方程与不等式、向量、数列、解析几何、立体几何等为载体。
2 、数形结合思想
3 、化归与转化思想
化归与转化思想是数学解题过程中常用的思想方法与手段，目的在于发现数学问题的内在本质联系，有机地转化数学问题，使之向已知、简捷和合理的方向转化。
观察、分析 待解决的问题 A 容易解决的问题 B
问题 A 的解 问题 B 的解
类比、联想应用 解决
还原
4 、分类整合思想
• 分类与整合思想指在解决某些数学问题时，由于问题所给对象不能统一处理，需要根据对象本质属性的相同点和不同点，按一定标准将对象分为不同种类，将整体问题转化为若干部分来解决，在各个部分得到解决之后，最后综合各类结果得到整个问题的解答。
• 高考在对分类与整合思想的考查上，着重体现对分类方法与整合原则的考查。
分析：本题引发分类与整合的原因是圆锥曲线具有不同
的类型，着重考查学生对圆锥曲线不同类型的掌握情况。
• 基于高考在考查基础知识、基本技能的同时突出对数学思想与方法的考查， 因此在复习教学中，我们应把数学思想方法的教学与基础知识的复习融为一体，结合具体问题不失时机地渗透强化“七思想”（函数方程最重要，分类整合常用到，数形结合千般好，化归转化离不了，有限自将无限描、或然终被必然表、特殊一般多辨证）
• 引导学生在主动探索问题的过程中深刻领悟蕴涵其中的数学思想方法，从而逐步内化为能力的组成部分。
此解法是解析几何的基本方法即坐标法。通过设而不求，联立方程，辅以向量坐标运算，充分体现了整体消元与方程的思想。
（教师出示题目，引导学生解决问题）
• 此解法通过平移把两个向量放在同一直线上，转化为我们熟悉的直线与椭圆的位置关系问题来解决，体现了化归与转化的思想。
• 解法三用参数方程求解，运用了方程思想和消元思想，过程简洁。
• 教师充分利用典型例题，引导学生体会和
感悟其中所蕴涵的数学思想方法，让学生对所学的知识有更深层次的认识，提高他们有效地处理数学问题的思维能力，提高复习的有效性。
有效的教学过程是师生、生生之间不断进行互动交流的过程，因此课堂要加强师生之间的交流，鼓励学生勇于暴露自己在学习中存在的问题。
• 让学生“从出错中学习” , 是催生课堂生成的一种策略，也是一种艺术。
• 只有暴露问题，才能找到学生思维链上的“漏洞”，才能进行有针对性的点拨和指导，达到高效复习的目的。
（五）暴露问题——高效复习的关键点
教师引导学生暴露问题，通过交流、反思、总结，提升错误的价值。
师：函数的定义域是函数三个要素之一，下面请同学们举例说明忽视函数的定义域容易引起的各种错误。
本题的讨论并没有到此结束，教师继续引导学生讨论，深化对知识的理解，拓展知识内涵，完善知识结构，提升数学素养。
生 5：忽视函数的定义域易错判函数的奇偶性。
生 6：忽视函数的定义域容易错求函数的单调区间。
生 7：忽视函数的定义域容易错求函数的值域。
师（总结）：上述各位同学所举的例子很有代表性，分析也很到位。因此我们在研究与函数有关的各种问题时，要优先考虑定义域。
在课堂教学中，教师没有越俎代庖，把结论强加给学生，而是抓住时机，把解决问题的主动权交给学生，以倾听者的身份让他们自主探究，自主体验，在互动交流中深刻剖析错误的来龙去脉，从而实现思维的自我调控。
同时，教师及时给予鼓励性的评价，激发了学生的学习热情，促进他们在愉悦的环境中不断反思与提升。
（六）拓展延伸——高效复习的捷径
高三课堂复习的时间有限，教师应当在有限的教学时间内努力提高学生学习的有效性，变式教学就是一种行之有效的途径。
在复习过程中，教师要充分发挥题目的“迁移”作用，引导学生从最近发展区对例题进行深入挖掘，加工改造，探索知识的内在联系，使学生理解和掌握例题阐述的概念、原理、规律和解题方法，进而培养学生独立分析和解决问题的智慧。
这样才能做到以不变应万变，在高考中立于不败之地。
《考试大纲》要求命题者要精心设计好三种题： 考查数学主体内容，体现数学素质的试题； 反映数、形运动变化的试题； 研究型、探究型、开放型试题。 研究型、探究型、开放型试题必须通过探究性学习来应对。 因此在复习教学中，教师要适时为学生提供材料，设置航标，让学生亲历数学探究的过程，引导学生对试题进行多层次、多视角的加工、引申、探究，使学生在情境变化中“既见到珠宝又寻到宝库”，深刻领悟解题方法，促进数学思维提高到一个由例及类的档次，形成有效的“思维链”。
解决了该题后，教师引导学生思考：思考 1：点 A 的横坐标与椭圆右焦点的横坐标恰好相同，直线 EF 的斜率恰好
等于椭圆的离心率。如果是巧合，何以如此之巧？是否所有的椭圆都有此性质呢？
学生感到非常好奇，探究的热情被激发，开始思考一般情形。
同学们经过探究发现，命题的结果仍是一个漂亮的等式（略）。
思考 3：椭圆有上述性质，在双曲线、抛物线中是否也有相同的性质呢？
经过探究，得到了如下结论：
这样探究得到圆锥曲线所共有的一个优美性质：
复习教学离不开解题，但题不在多，而在于如何将
题目的作用发挥到极致。 这位教师充分发挥学生的主体作用，精心铺设探究之路，点燃学生的探究热情，引导学生从不同角度、不同侧面自主探索，让学生在探究中有效地领悟、吸收、内化解题规律，促进学生知识能力的高效正迁移，收到了“解一题，带一片”的效果，提高了复习的有效性。
（七）引导学生反思——高效复习的生长点
著名数学家波利亚指出：“数学问题的解决仅仅只是一半，而更重要的是解题之后的回顾与反思。” 在寻找问题的求解过程中，一般包括对问题情境的认识，思想方法的探求，解题行动的实施和解题后的反思等环节，也即是完成波利亚“怎样解题”表中的四个步骤 :
理解题目——拟订方案——实现计划——回顾。其中“回顾”即解题后的反思。
（七）引导学生反思——高效复习的生长点
反思有助于挖掘知识之间的内在联系，促进知识的同化和迁移； 有助于抓住数学的本质，提升思维层次； 有助于改进学生数学学习的策略和方法，实现知识与方法的有效迁移。
教师引导学生反思该问题是否还有其他解法。同学们通过反思，又得到了以下解法：
三角函数做为工具性知识在解决本题中起着很好的桥梁作用。
点评：数形结合是一种很重要的数学思想方法，在解决问题时经常用到。
在复习教学中，教师可从以下几个方面引导学生反思： “ 解决问题的关键是什么？如何进行突破？还有其他的解
法吗？” 一个问题解决后，不要急于进入下一题，要创造一个平台让学生有反思的机会，这样不仅能巩固学生的知识、技能，而且对提高思维品质有特殊功效。
“ 解决此类问题的最佳方法是什么？” 一题多解之后，有必要引导学生通过反思寻找解决问题的最佳方案，优化解题过程，提高数学解题能力。
“这种思路对本题为何行不通？”要引导学生不仅注重成功解法的总结与提炼，也要对失败的解法进行反思，以养成理性思维的习惯。
“ 此命题能否进行变式、推广和引申？命题的逆命题是否成立？”这样可以促使学生随时根据条件的变化积极思考，培养思维的灵活性。
“ 解题中运用了哪些数学思想方法？”回顾解决问题的过程中用到的思想方法 , 能增强学生对数学思想方法的应用意识，真正掌握解题的“金钥匙”。
“ 解题过程中哪些步骤容易发生错误？原因何在？如何防范和克服错误？”在解完一道题后有必要反思解答有无漏洞，有没有忽视了一些隐含条件，逻辑上是否严密等等。
这样的反思可以提高学生对相关知识理解的层次，提高学生思维的严谨性、批判性，以达到知错、改错、防错之功效。
第二轮复习需要解决的问题很多，比如重点知识的再巩固、再复习 ;
重要的数学思想和方法的进一步渗透和强化 ;
热点问题和难点问题的排查与复习 ;
学生易错、易混点的排查与解决 ;
解题速度与准确率如何双提高 ;
规范答题等等。所有这些问题都可以与各种形式的训练有机结合，让训练成为第二轮复习的一个重要抓手。
（一）训练的形式
1 、重点板块的“专项训练”2 、课堂教学的“变式训练”3 、订正错误的“纠错训练”4 、控制速度的“限时训练” 5 、模拟高考的“模拟训练”
如果说第一轮复习要全面细致，那么第二轮复习则要重点强化；如果说第一轮复习是“地毯式排查”，那么第二轮复习则应“重点轰炸” .
第二轮复习中，专题复习的课堂模式不再是第一轮常用的“例题 + 练习”，取而代之的是“例题练习化”，也就是说以“先做后讲”取代“先讲后做”。
1 、重点板块的“专项训练”
第二轮复习中，我们往往按计划每周进行 1一 2 个专题
的复习，具体操作时，会根据教学目标选取或编制几道题目，让学生先做。一方面是了解学生对这部分内容的掌握情况，使后面的讲解更有针对性；另一方面是由于学生在掌握一定的基础知识和基本技能后的动手训练一定比仅仅听老师讲解的效果更显著 .
选题力求全面、典型、综合、新颖 .
全面：指要更多地涵盖本专题的主要内容和方法； 典型：指要让熟悉学生本专题重要的题型和方法； 综合：指有意识地提高知识和方法的综合程度，为的是让学生
在跃跃欲试的状态下更好地体验高考的“此情此景”； 新颖：就是尽量有较多的不同于第一轮的“新面孔”式的题目
出现 , 其目的主要是为了提高学生的解题兴趣。
1 、重点板块的“专项训练”
2 、课堂教学的“变式训练” 就是利用第二轮的课堂教学，培养学生的思维品质，提升学生的综合能力，其中一个较好的做法就是，在课堂教学中充分注意变式训练。
3 、订正错误的“纠错训练” 高考前的每一次训练，一个重要目的就是为了发现错误，找到症结所在。因此第二轮复习要确立“问题就是增长点”的意识，引导和帮助学生认真分析每次训练中产生错误的原因，在此基础上引导学生建立个人“错题集”。
3 、订正错误的“纠错训练”
同一个班级或同一个年段可以根据学生的共性错误，将学生容易做错的题目汇集起来，每周安排一定量的纠错训练 .
值得注意的是，“纠错训练”中的题目最好不是原题，而在原题的基础上适当变形，只有“吃一堑长一智”才能真正达到纠错的目的。
4 、控制速度的“限时训练”
一份高考试卷都是在规定的时间内完成的，解题的速度直接影响解题的质量和成绩。 有的学生因为小题做得太慢，而导致后面能做的题来不及做，也有学生由于过于赶速度而导致前面的容易题因审题不清或计算失误等原因而失分。
为了提高选填题的答题速度和质量，我们往往在高考前两个月左右的时候启动“选填题限时训练” . 每次限时 45 分钟，目的是引导学生控制选填题作答时间。 “ 选填题限时训练”还有另外一个目的，就是可以有效复习一些小知识点 . 第二轮复习中不可能将所有知识再复习一遍。 比如 : 集合、常用逻辑用语、算法初步、复数、合情推理、线性规划等，这些小知识点在高考中一般以选填题的形式出现，所以每次训练有计划地安排这些内容，就可将这些内容的复习有机地融入到“选
填题限时训练”中。
第二轮复习的后期阶段，一般都会组织学生做几份“临摹”高考的模拟试卷。
模拟训练”是一种综合训练，其综合性体现在两个方面：一是训练题所涉及的内容是综合的，它尽量多地涵盖高考要求的重点内容，所以备课组在编制这几份试卷时，往往集体研究，将这些内容有计划地安排到这几份“模拟试卷”中去，目的是在高考之前不出现训练盲区。
5 、模拟高考的“模拟训练”
高三复习时间紧、任务重，特别是到了第二轮复
习，对师生而言，无论生理还是心理都会出现一定的
疲惫状态，因此不注意“训练”效果的“题海战术”，
只会使学生淹没在“题海”中，从而导致问题越来越
多，心情越来越差，斗志越来越低，后果可想而知 .
我们集备组练习、试题的编写遵循“四原则”：（ 1 ）合适的难度定位。（ 2 ）较广的覆盖面。（ 3 ）重点（主干）知识重点考查。（ 4 ）缺漏知识重复考查。
1 、注意题目的典型性和层次性。
错题笔记包括三方面：（ 1 ）错误是什么，最好用红笔画出；（ 2 ）错误原因是什么；（ 3 ）错误纠正方法及注意事项。
2 、引导学生做错题笔记
讲评课上，教师引导学生做错题笔记 .
错误纠正方法及注意事项：
注意事项：抓住等差数列前 n项的和的本质特征，正确运用等差数列的定义与性质解题。
• 训练，除了巩固知识提高能力外，还有一个重要的目的就是把脉学生的情况，暴露学生的问题，使训练后的讲解更能对症下药，更能切中要害。
• 只有切中要害的讲解，才能更加吸引学生的注意力，引起学生的共鸣，从而提高课堂教学的效益。所以在第二轮复习中，讲与练要有机结合 .
3 、讲与练有机结合
课堂讲解时，根据不同的训练形式，讲解的重点要有所侧重。
比如限时训练的讲评中要突出如何提高速度与准确率，让学生体会填空题解题的常规方法和技巧；
模拟训练后的讲解要注意培养学生“抢分”意识，变“会做”为“做对”，变“做对”为“做全”。
教师除了讲解学生的解题错误和正确解法外，更要强调答题的规范性和完整性。
教师要带领学生一起学习评分标准，研究解题的得分点和失分点，同时要告诫学生不要在个别题上过多纠缠，合理“放弃”是为了更多“得到”，其原则是要保证基础题，立足中档题，冲击难题。
讲评课是数学复习教学的重要环节，在弥补学生的知识缺漏、巩固所学知识、优化思维品质等方面起着重要作用。
然而很多老师对试卷讲评课的重视程度不够，讲评课效益低，以致于大量试卷讲评的时间都用来“重复昨天的故事”，但学生的错误却“涛声依旧”。
因此探讨如何上好试卷讲评课具有重要的现实意义。以下我结合教学实践谈谈如何提高试卷讲评课的有效性。
当前讲评课中，许多老师使用一讲到底的讲评方法，即把学生出现的问题逐一讲解，平均用力，既缺少对思路的深入分析，也没有对题目进行挖掘，导致重点不突出，难点突不破，讲评课效益不佳。由于讲评课有别于其他课型，是学生预设下的教师生成教学，因此教师讲评要确立“根治错误，提高能力”的指导思想，课前充分做好试卷讲评的准备，对
1 、取舍分明——提高针对性
阅卷过程中收集到的素材进行全面深入的分析。通过“查病情”，“找病源”，总结学生出错的原因；
明确哪些是典型性错误，哪些是一般性错误； 哪些错误是知识性问题，哪些错误是能力问题。 只有做到心中有数，才能明确哪些题目可以不讲，哪些题目只要略作说明，哪些题目应当详细讲解。
只有有针对性、有重点地讲评，才能收到事半功倍的教学效果。
由于复习时间紧，任务重，一些教师为了“节约”时间，自顾自地讲下去。大部分学生忙于接受老师所传授的解题方法，没有自己的思考空间，只能被动接受，这导致了学生在某些知识点上的模糊认识得不到解决，更没有对问题的深刻认识。结果教师在上面讲得“口干舌燥”，学生在下面听得“如坠云烟”，讲评的实际效果大打折扣。
2 、师生互评——辨明“道理”
因此教师要打破一言堂的讲评习惯，选择一些有代表性的试题，让学生参与评析。
对于学生认识上比较模糊的一些问题，教师要善于采取以错制错，以误导悟的方法，用多媒体展示典型的错解，让学生暴露自己的思维过程。
引导学生“自我反思”、“自我否定”、“自我完善”，让学生在动脑、动口、动手中提升自我评价和独立矫正错误的能力，提高思维水平。
2 、师生互评——辨明“道理”
教师请一位答错的同学回答是怎么得到结果的。
师：同学们，生 1 的解答错在哪里？
师：大家讨论一下生 2 的解答正确吗？（同学们展开了热烈的讨论）
师：你是如何解的？
师：好！生 3 的解法最严谨，生 2 的解法很简洁，但需要检验。从这一道题，我们可以得到什么启发呢？
生：⑴解决函数问题要先考虑定义域； ⑵判断函数的奇偶性用定义求解最可靠。 师：从生 3 的解法还可以得到一个启示： 对于等式的恒成立问题，可以用待定系数法求解参变量的值。
面对错解，教师不是代替学生思考——直接指出错误原因，给出正确答案，而是通过查错、思错、纠错活动，使其充分暴露出错的过程，并在分析讨论中生成正误知识的辨析点。
这样有利于促进学生对已完成的思维过程进行周密且有批判性的思考，对数学本质产生新的顿悟，提升思维监控能力，提高复习效益。
为了赶时间，学生往往只注重解题思路的寻找，不按规定格式解题，导出会而不对，对而不全。
罗增儒教授将“会而不对，对而不全”称之为“老大难”，并指出解决好“会而不对，对而不全”是一件事半功倍的工作，它能立竿见影提高考试成绩。
3 、评讲得分法则——减少失误
因此，可通过对试卷的分析、评讲、示范表述给出评分标准，引导学生规范答题踩准得分点，减少过失性失分。
著名的特级教师万尔遐老师建议把答案写成诗行短语。
满篇答案，密密麻麻，阅卷人是来不及细看的，
3 、评讲得分法则——减少失误
阅卷老师的实际操作办法就是专找那几个答点，解答题规定“分步记分”，所谓“分步”就是“答点分解”。
为了使阅卷人能迅速清楚地看到答点，建议答案写成“诗行式”， 不要写成“散文段”。
因为“诗行式”容易显示“答点”，而散文段容易淹没“答点”。
3 、评讲得分法则——减少失误
本题是利用导数研究函数的性质，有两个考点：（ 1 ）函数的单调区间；（ 2 ）函数的最值。
（ 以下以“诗行式”显示第（ 1 ）问的“答点”）
诗行短语需要锤炼，建议将学生的典型答卷投影到大屏幕上，由学生点评，然后再梳理自己答卷。
一些老师在讲评课中也讲解题思路和方法，但只是就题讲题，停留在浅显层次，没有比较与归纳，也没有举一反三，学生自然就难以触类旁通，遇到类似的题目仍然不能独立解决。
事实上，很多试题背景深刻，解法灵活，是培养学生思维能力的好题，对这些题目进行挖掘、引申，最大限度地发掘其中的含金量，通过研究一题带动一类题，能充分扩大试卷的讲评效果，培养学生思维的灵活性，提升其数学素养。
4 、挖掘内涵——拓宽知识
点评：本题将选择支代入验算，易求出答案 A 。教师引导学生探索规律。
进一步猜想得到：
一些学生通过探究还得到：
对试题进行挖掘、变式、拓展，最大限度地发掘其中的含金量，不仅可以加深学生对原有问题的理解，更有利于扩大学生的视野，举一反三，触类旁通，实现知识与方法的有效迁移，使讲评课收到事半功倍的效果。
试卷讲评课的根本目的是纠正错误，巩固基础，提高能力，所以试卷讲评后 , 为了更好地针对学生的知识缺陷、薄弱环节矫正错误，与之配套的跟踪训练必不可少。 教师可根据讲评的重点、难点和学生答题易错点设计题组性练习，作为讲评后的补救性强化训练，以达到强化所学知识、提高解题能力的目的。
5 、跟踪训练——感悟提升
试卷讲评时发现一些学生对向量的几何含义掌握不到位，对三角形几个心概念比较模糊 , 因此讲评后设计了如下一组变式作为补偿练习 :
教之道在于度，学之道在于悟。在讲评课中引导学生对相关问题进行多角度、多层次、多方位的反思，可以提高学生纠错的有效性。反思的内容主要有：（ 1 ）这次考试有没有达到理想的效果？哪些题的错答本可以避免？错误产生的原因是什么？如何防止这些错误？
（ 2 ）在解题过程中，自己是否真正理解了题意？ 此题与以前的哪些题目类似？解决此类问题的基本思路是什么？（ 3 ）解题过程能否简化？解题方法能否优化？ 命题能否进行变式、引申和拓展？
（ 4 ）此问题是否还有其他不同的解法？哪一种方法最基本、最典型？ 哪一种最简便？哪一种最巧妙？ 此题与以前的哪些题目类似？解决此类问题的基本思路是什么？ （ 5 ）解题中涉及的知识方法有哪些？它们之间有何联系？
反思认知行为，能促使学生打通知识之间的脉络， 使相关知识模块化、立体化、集约化； 反思解题过程，能够培养学生书写规范、表达严谨的解题习惯， 减少不必要的过失性失分； 反思数学思想方法，能使掌握知识的层次更具深度和广度，把数学思 维提高到一个由例及类的档次，形成有效的“思维链”，提升解题能力。
总之，一节高质量的试卷讲评课，需要教师
精心准备；讲评中要充分发挥学生的主体作用，给学生参与活动的时空，让学生的思维品质在活动中发展、完善和升华，从而提高数学学习成绩。
“ 问渠那得清如许，为有源头活水来”． 近几年全国各地的高考试题，大量题目“源于教材，高于教材”，其解题思路、方法、思想都可以在教材中找到“影子”，是教材基础知识、例题及习题的加工、综合、类比、延伸和拓展的结果，这充分体现了教材良好的示范作用。
（一）注重回归教材
教材是众多数学教育专家集体智慧的结晶，具有深刻的思想性、严谨性和科学性，是最高水平的教科书。任何人命制高考试题，均要以教材作为“蓝本”。因此我们应重视回归教材。
只有吃透课本上的例题、习题，才能全面、系统地掌握基础知识和基本方法，构建数学的知识网络，以不变应万变。
（一）注重回归教材
教材例题具有典型性、示范性和关联性，它们或是渗透某些数学方法，或是体现某种数学思想，或是提供某种重要结论．
1 、基于教材例题改编的考查
A B
D C
P
注：本题改编于人教注：本题改编于人教 AA 版必修版必修 2§2.3.22§2.3.2 的例的例 33 ．．原题中底面三角形的三个顶点在圆上，隐含了“三角形原题中底面三角形的三个顶点在圆上，隐含了“三角形
为直角三角形”，本题把三角形改为梯形，条件包含一腰和底为直角三角形”，本题把三角形改为梯形，条件包含一腰和底边垂直．边垂直．
A B
D C
P
第（第（ⅠⅠ）问与三视图结合，背景新颖，知识点以“混搭”）问与三视图结合，背景新颖，知识点以“混搭”形式出现，令人耳目一新，要求学生解题时将知识融会贯通，形式出现，令人耳目一新，要求学生解题时将知识融会贯通，考查了学生的数学思维能力．考查了学生的数学思维能力．
教材习题具有示范、拓展延伸等功能，教材中习题的解决是数学教学的重要环节之一。通过解题来达到对数学知识的理解、掌握、应用，深刻领悟数学思想方法，是数学教学的本质．
2 、基于教材习题改编的考查
3 、基于教材“数学探究”背景的考查
“ 数学探究是高中数学课标课程中引入的一种新的学
习方式，有助于学生初步了解数学概念和结论产生的过程，初步理解直观和严谨的关系，建立严谨的科学态度和不怕困难的科学精神”．高考试卷对数学探究的考查主要通过创设适度开放需进行探索讨论的试题实现。
B1
C1D1
A B
CD
A1
本题的图形源于人教 A 版必修 2§2.3.1 探究题，第 ( )Ⅲ 问是补形的思想，上下补是同一种，左右补包括不同情形，需要讨论，考查了考生分析问题和解决问题的能力．
B1
C1D1
A B
CD
A1
对高考试卷认真分析会发现，不少题目在教材中对高考试卷认真分析会发现，不少题目在教材中
“ ”都能找到其 原型 ，实际上这些试题的命制就是对教“ ”都能找到其 原型 ，实际上这些试题的命制就是对教
材中题型的变形、改造、延伸及综合，特别是那些综材中题型的变形、改造、延伸及综合，特别是那些综
合题，探索性问题也是由教材的例、习题从基础知识合题，探索性问题也是由教材的例、习题从基础知识
以及知识的交汇处混合，加工而成的以及知识的交汇处混合，加工而成的 ..
例如例如 20132013 年福建高考理年福建高考理 66 、理、理 1010 、理、理 1515 、理、理
2020、文、文 1212、文、文 1616、文、文 2020等．等．
对教材的处理可包括：
数学背景生活化，
数学内容结构化，
数学知识考点化，
数学问题试题化。
挖掘例（习）题功能通常包括：
（ 1 ）一题多变、一题多解或多题归一，进行哲理的升华；（ 2 ）反思命题的逆命题是否成立；（ 3 ）改变命题的条件与结论等。 在各次考试中命出“源于教科书”的好题， 让学生对课本爱不释手，让回归课本成为平时习惯。
作为一线教师，立足教材、钻研理解教材、沟通对话教材，用学生的眼光看教材，从高考的角度品味教材，提高对教材的研究水平，是提高教学水平的前提，是提高教学质量的基础．
通性通法是指具有某些规律性和普遍意义的常规解题模式和常用的数学思想方法，是解决问题的基本方法，是学生应该重点掌握的方法。 纵观近几年我省的高考试题，所选用的解决问题的方法和手段，更加强调“注重通性通法，淡化特殊技巧”，就是说高考最重视的是具有普遍意义的方法和相关的知识。 这就启示我们要着眼于通法，引导学生运用通性通法解题。只有吃透基本概念，熟练基本运算，掌握基本方法，才能以不变应万变。
（二）落实“通性通法”
阅读是理解的前提，理解是阅读的目的。 每年高考应用题和创新题的得分率低，究其原因，是考生在将文字转化为数学语言的能力方面欠缺，同时在考试中出现的新题型主要新在数学符号和信息的表达上，考生在短时间内处理它们比较困难。 所以课堂教学中呈现新概念、新符号时，我们要花足够的时间引导学生去阅读和理解，体会新知识并将其内化，从而正确理解题意。
（三）加强读题、审题、规范表达训练
讲解例题时，教师应将重点放在教给学生如何审题，如何进行数学三种种语言的转换，如何根据题意构造图形，如何在理解算理的基础上选择合理的运算，如何规范、有条理的表达，如何做解题后的反思等等。
（三）加强读题、审题、规范表达训练
书写不规范，准确运用数学语言表达的能力较差导致失分是考生答题的通病。 课堂教学中，老师在讲解例题时往往注重解题思路的分析，至于解题过程，一般都要求学生课下完成，这样，规范化的训练没有真正落到实处。
（三）加强读题、审题、规范表达训练
教师要经常有意识地训练学生完整准确的解答，使学生能条理清晰、准确流畅地表述问题的解决过程。 “会且对，对且全”，应该成为备考的策略与要求。
（三）加强读题、审题、规范表达训练
数学高考的特点是以学生解题能力的高低为标准的选拔性考试，这就使得临场发挥显得尤为重要。 考试的过程是紧张劳动的过程，既有体力上的，又有心理上的，想在高考中取得好成绩，不仅取决于掌握扎实的数学基础知识、熟练的基本技能和出色的解题能力，还取决于考前的身体状况、心理状况和临场发挥。
（四）注重提高学生的的临场解题策略
因此应帮助学生调适考试心理，以平常心态参加考试，克服考试的烦躁、畏难心理，使学生力争找到适合自己的心理调节方式和临场审题、答题的具体方法，提高应试能力。
良好的开端是成功的一半，应指导学生拿到试题后，不要
急于求成、立即下手解题，而应通览一遍整套试题，摸透题情，然后稳操一两个易题熟题，让自己产生“旗开得胜”的快意，从而有一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，进入最佳思维状态，即发挥心理学所谓的“门坎效应”，之后做一题得一题，不断产生正激励，稳拿中低档题，见机攀高。
1 、沉着应战，确保旗开得胜
教师可引导学生依自己的解题习惯和基本功，结合整套试题的结构，因人因卷选择执行
“六先六后”的解题策略： 1.1 先易后难： 思路自然、演算简单的有把握的题目优先解答，创造一个宽松的心理基础。
2 、“六先六后”因人因卷制宜
1.2 先熟后生： 即先做那些内容掌握比较好，题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目，这样，在拿下熟题的同时，可以使思维流畅、超常发挥，达到拿下中高档题目的目的。1.3 先同后异： 先做同类型的题目，思考比较集中，知识和方法的运用比较容易，有利于提高单位时间的效益。
1.4 先小后大： 小题一般信息量少，运算量小，易于把握，应争取做大题之前尽快解决，为解决大题赢得时间。1.5 先点后面： 高考数学解答题多呈现为一题多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，而前面问题的解决又为后面问题准备了思维基础和解题条件，所以要步步为营，由点到面。
1.6 先高后低： 即在考试的后半段要特别注重时间效益，如两道题都会做，应先做高分题，后做低分题，以便时间不足时少失分；到了最后十分钟，也应对那些拿不下来的题目就高分题“分段得分”，以增加在时间不足前提下的得分。
数学高考题要在 120 分钟内完成，时间紧张，不允许做大量细致的解后检验，所以要指导学生尽量准确运算 ( 关键步骤，力求准确，宁慢勿快 ) ，立足一次成功。 解题速度是建立在解题准确度基础上，更何况数学题的中间数据常常不但从“数量”上，而且从“性质”
3 、确保运算准确，立足一次成功
上影响着后继各步的解答。所以，要指导学生在以快为上的前提下，稳扎稳打，层层有据，步步准确，不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。
3 、确保运算准确，立足一次成功
考试的一个特点是以卷面为唯一依据。这就要求不但会做而且要对、对且全，全而规范。 会而不对，令人惋惜；对而不全，得分不高。 “ 考虑不周、推理不严、书写不规范”是造成高考数学失分的一大方面。因此应指导学生努力消灭“常规失分”， 力争既对又全。
4 、讲求规范书写，力争既对又全
教学是一门遗憾的艺术，没有最好， 只有更好！追寻有效课堂，只有起点，没有终点！
• 预祝
2014 年高考取得优异成绩！
谢谢！
